Gradele cu exponenți raționali și iraționali sunt exemple. Gradul de număr: definiții, denumire, exemple

În acest articol, vom înțelege ce este gradul de. Aici vom da definiții ale gradului unui număr, luând în considerare în detaliu toți exponenții posibili ai gradului, începând cu un exponent natural, terminând cu unul irațional. În material veți găsi o mulțime de exemple de grade care acoperă toate subtilitățile care apar.

Navigare în pagină.

Gradul cu exponent natural, pătratul unui număr, cubul unui număr

Sa incepem cu . Privind în viitor, să presupunem că definiția gradului a cu exponent natural n este dată pentru a , pe care o vom numi baza gradului, și n , pe care le vom numi exponent. De asemenea, rețineți că gradul cu un indicator natural este determinat prin produs, așa că pentru a înțelege materialul de mai jos, trebuie să aveți o idee despre înmulțirea numerelor.

Definiție.

Puterea numărului a cu exponent natural n este o expresie de forma a n , a cărei valoare este egală cu produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a , adică .
În special, gradul unui număr a cu exponentul 1 este numărul a însuși, adică a 1 =a.

Imediat merită menționat regulile de citire a gradelor. Mod universal citind intrarea a n este: „a la puterea lui n”. În unele cazuri, sunt acceptabile și astfel de opțiuni: „a la a n-a putere” și „a n-a putere a numărului a”. De exemplu, să luăm puterea lui 8 12, aceasta este „opt la puterea lui doisprezece”, sau „opt la puterea a douăsprezecea”, sau „puterea a douăsprezecea a opt”.

A doua putere a unui număr, precum și a treia putere a unui număr, au propriile nume. Se numește a doua putere a unui număr pătratul unui număr, de exemplu, 7 2 se citește ca „șapte pătrat” sau „pătrat al numărului șapte”. Se numește a treia putere a unui număr numărul cubului, de exemplu, 5 3 poate fi citit ca „cinci cuburi” sau spune „cubul numărului 5”.

E timpul să aduci exemple de grade cu indicatori fizici. Să începem cu puterea lui 5 7 , unde 5 este baza puterii și 7 este exponentul. Să dăm un alt exemplu: 4,32 este baza, iar numărul natural 9 este exponentul (4,32) 9 .

Vă rugăm să rețineți că în ultimul exemplu, baza gradului 4,32 este scrisă între paranteze: pentru a evita discrepanțe, vom lua între paranteze toate bazele gradului care sunt diferite de numerele naturale. Ca exemplu, oferim următoarele grade cu indicatori naturali , bazele lor nu sunt numere naturale, deci sunt scrise între paranteze. Ei bine, pentru o claritate completă în acest punct, vom arăta diferența conținută în înregistrările de forma (−2) 3 și −2 3 . Expresia (−2) 3 este puterea lui −2 cu exponent natural 3, iar expresia −2 3 (se poate scrie ca −(2 3) ) corespunde numărului, valorii puterii 2 3 .

Rețineți că există o notație pentru gradul lui a cu un exponent n de forma a^n . Mai mult, dacă n este un număr natural cu mai multe valori, atunci exponentul este luat între paranteze. De exemplu, 4^9 este o altă notație pentru puterea lui 4 9 . Și aici sunt mai multe exemple de scriere a grade folosind simbolul „^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . În cele ce urmează, vom folosi în principal notația gradului formei a n .

Una dintre problemele inverse exponentierii cu un exponent natural este problema găsirii bazei gradului prin valoare cunoscută grad și exponent cunoscut. Această sarcină duce la .

Se știe că mulțimea numerelor raționale este formată din numere întregi și numere fracționale și fiecare număr fracționar poate fi reprezentat pozitiv sau negativ fracție comună. Am definit gradul cu un exponent întreg în paragraful anterior, așadar, pentru a completa definiția gradului cu indicator rațional, trebuie să dați semnificația gradului numărului a cu un exponent fracționar m / n, unde m este un număr întreg și n este un număr natural. S-o facem.

Să considerăm un grad cu un exponent fracționar de forma . Pentru ca proprietatea de grad într-un grad să rămână valabilă, egalitatea trebuie să fie valabilă . Dacă luăm în considerare egalitatea rezultată și modul în care am definit , atunci este logic să acceptăm, cu condiția ca pentru m, n și a dat expresia să aibă sens.

Este ușor de verificat că toate proprietățile unui grad cu exponent întreg sunt valabile pentru ca (acest lucru se face în secțiunea despre proprietățile unui grad cu exponent rațional).

Raționamentul de mai sus ne permite să facem următoarele concluzie: dacă pentru m, n și a dat expresia are sens, atunci puterea numărului a cu exponent fracționar m / n este rădăcina gradului al n-lea al lui a la puterea m.

Această afirmație ne aduce aproape de definiția unui grad cu exponent fracționar. Rămâne doar să descriem pentru care m, n și a expresia are sens. În funcție de restricțiile impuse asupra m , n și a, există două abordări principale.

Cel mai simplu mod de a constrânge a este să presupunem a≥0 pentru m pozitiv și a>0 pentru m negativ (deoarece m≤0 nu are o putere de 0 m). Apoi obținem următoarea definiție a gradului cu un exponent fracționar.

Definiție.

Puterea unui număr pozitiv a cu exponent fracționar m/n, unde m este un număr întreg și n este un număr natural, se numește rădăcină a n-a a numărului a la puterea lui m, adică .

Gradul fracționar de zero este, de asemenea, definit cu singura avertizare că exponentul trebuie să fie pozitiv.

Definiție.

Puterea lui zero cu exponent pozitiv fracționar m/n, unde m este un întreg pozitiv și n este un număr natural, este definit ca .
Când gradul nu este definit, adică gradul numărului zero cu un exponent negativ fracționar nu are sens.

De remarcat că, cu o astfel de definiție a gradului cu exponent fracționar, există o nuanță: pentru unele negative a și unele m și n, expresia are sens și am înlăturat aceste cazuri introducând condiția a≥0 . De exemplu, are sens să scrii sau , iar definiția de mai sus ne obligă să spunem că grade cu un exponent fracționar al formei sunt lipsite de sens, deoarece baza nu trebuie să fie negativă.

O altă abordare pentru determinarea gradului cu un exponent fracționar m / n este de a lua în considerare separat exponenții pari și impari ai rădăcinii. Această abordare necesită condiție suplimentară: gradul numărului a, al cărui exponent este, este considerat gradul numărului a, al cărui exponent este fracția ireductibilă corespunzătoare (importanța acestei condiții va fi explicată mai jos). Adică, dacă m/n este o fracție ireductibilă, atunci pentru orice număr natural k gradul este mai întâi înlocuit cu .

Pentru n par și m pozitiv, expresia are sens pentru orice a nenegativ (rădăcina unui grad par dintr-un număr negativ nu are sens), pentru m negativ, numărul a trebuie să fie în continuare diferit de zero (altfel există va fi o împărțire cu zero). Și pentru n impar și m pozitiv, numărul a poate fi orice (rădăcina unui grad impar este definită pentru orice numar real), iar pentru negativ m, numărul a trebuie să fie diferit de zero (astfel încât să nu existe împărțire la zero).

Raționamentul de mai sus ne conduce la o astfel de definiție a gradului cu exponent fracționar.

Definiție.

Fie m/n o fracție ireductibilă, m un număr întreg și n un număr natural. Pentru orice fracție ordinară reductibilă, gradul este înlocuit cu . Puterea lui a cu un exponent fracționar ireductibil m / n este pentru



Să explicăm de ce un grad cu un exponent fracționar reductibil este mai întâi înlocuit cu un grad cu un exponent ireductibil. Dacă am defini pur și simplu gradul ca , și nu am face o rezervă cu privire la ireductibilitatea fracției m / n , atunci am întâlni situații similare cu următoarele: deoarece 6/10=3/5 , atunci egalitatea , dar , A .

Lecția video „Grad cu un indicator rațional” conține un vizual material educațional pentru a preda pe această temă. Lecția video conține informații despre conceptul de diplomă cu exponent rațional, proprietăți, astfel de grade, precum și exemple care descriu utilizarea materialului educațional pentru a rezolva probleme practice. Sarcina acestei lecții video este de a prezenta clar și clar materialul educațional, de a facilita dezvoltarea și memorarea acestuia de către elevi, de a forma capacitatea de a rezolva probleme folosind conceptele învățate.

Principalele avantaje ale lecției video sunt capacitatea de a face transformări și calcule vizuale, capacitatea de a folosi efecte de animație pentru a îmbunătăți eficiența învățării. Acompaniamentul vocal ajută la dezvoltarea vorbirii matematice corecte și, de asemenea, face posibilă înlocuirea explicației profesorului, eliberându-l pentru munca individuală.

Tutorialul video începe prin introducerea subiectului. Studiu de legătură subiect nou cu materialul studiat anterior, se sugerează să reamintim că n √ a este altfel notat cu a 1/n pentru n natural și a pozitiv. Această reprezentare a rădăcinii n este afișată pe ecran. În plus, se propune să se ia în considerare ceea ce înseamnă expresia a m / n, în care a este un număr pozitiv, iar m / n este o fracție. Definiția gradului evidențiat în casetă este dată cu un exponent rațional ca m/n = n √ a m . Se observă că n poate fi un număr natural, iar m - un număr întreg.

După determinarea gradului cu un exponent rațional, semnificația acestuia este relevată prin exemple: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . De asemenea, este prezentat un exemplu în care o putere reprezentată printr-o zecimală este convertită într-o fracție comună pentru a fi reprezentată ca rădăcină: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 și un exemplu din valoare negativă grade: 3 -1/8 \u003d 8 √3 -1.

Separat, o caracteristică a unui anumit caz este indicată atunci când baza gradului este zero. Se observă că acest grad are sens numai cu un exponent fracționar pozitiv. În acest caz, valoarea sa este egală cu zero: 0 m/n =0.

Se remarcă o altă caracteristică a gradului cu exponent rațional - că gradul cu exponent fracționar nu poate fi considerat cu un exponent fracționar. Sunt date exemple de notare incorectă a gradului: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

În continuare, în lecția video, sunt luate în considerare proprietățile unui grad cu un exponent rațional. Se observă că proprietățile unui grad cu exponent întreg vor fi valabile și pentru un grad cu exponent rațional. Se propune reamintirea listei de proprietăți care sunt valabile și în acest caz:

1. La multiplicarea puterilor cu aceleași temeiuri indicatorii lor se adună: a p a q =a p+q .
2. Împărțirea gradelor cu aceleași baze se reduce la un grad cu o bază dată și diferența de exponenți: a p:a q =a p-q .
3. Dacă ridicăm puterea la o anumită putere, atunci ca rezultat obținem puterea cu baza dată și produsul exponenților: (a p) q =a pq .

Toate aceste proprietăți sunt valabile pentru puteri cu exponenți raționali p, q și bază pozitivă a>0. De asemenea, transformările de grade rămân adevărate la deschiderea parantezelor:

1. (ab) p =a p b p - ridicarea unui produs de două numere la o anumită putere cu un exponent rațional se reduce la un produs de numere, fiecare dintre acestea fiind ridicat la o putere dată.
2. (a/b) p =a p /b p - exponentiația cu un exponent rațional al unei fracții se reduce la o fracție al cărei numărător și numitor sunt ridicate la puterea dată.

Tutorialul video discută soluția exemplelor care folosesc proprietățile considerate ale gradelor cu exponent rațional. În primul exemplu, se propune găsirea valorii unei expresii care conține variabilele x la o putere fracționară: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). În ciuda complexității expresiei, folosind proprietățile gradelor, se rezolvă destul de simplu. Rezolvarea sarcinii începe cu o simplificare a expresiei, care folosește regula ridicării unei puteri cu un exponent rațional la o putere, precum și înmulțirea puterilor cu aceeași bază. După înlocuirea valorii date x=8 în expresia simplificată x 1/3 +48, ​​este ușor să obțineți valoarea - 50.

În al doilea exemplu, este necesară reducerea unei fracții al cărei numărător și numitor conțin puteri cu un exponent rațional. Folosind proprietățile gradului, selectăm factorul x 1/3 din diferență, care este apoi redus în numărător și numitor, iar folosind formula diferenței de pătrate, numărătorul este descompus în factori, ceea ce dă mai multe reduceri ale aceiași factori în numărător și numitor. Rezultatul unor astfel de transformări este o fracție scurtă x 1/4 +3.

Lecția video „Grad cu un indicator rațional” poate fi folosită în locul ca profesorul să explice noua temă a lecției. De asemenea, acest manual conține suficiente informații pentru auto-studiu student. Materialul poate fi util în învățământul la distanță.

MBOU „Sidorskaya

şcoală cuprinzătoare»

Elaborarea unui plan-schemă lectie deschisa

la algebră în clasa a 11-a pe tema:

Pregătit și condus

profesor de matematica

Iskhakova E.F.

Schița unei lecții deschise de algebră în clasa a 11-a.

Subiect : „Grad cu exponent rațional”.

Tipul de lecție : Învățarea de material nou

Obiectivele lecției:

Pentru a familiariza studenții cu conceptul de diplomă cu un indicator rațional și principalele sale proprietăți, pe baza materialului studiat anterior (o diplomă cu un indicator întreg).

Dezvoltați abilitățile de calcul și capacitatea de a converti și compara numere cu un exponent rațional.

Să cultive alfabetizarea matematică și interesul matematic la elevi.

Echipamente : Fișe de activitate, prezentarea unui student pe o diplomă cu un indicator întreg, prezentarea unui profesor pe o diplomă cu un indicator rațional, un laptop, un proiector multimedia, un ecran.

În timpul orelor:

Organizarea timpului.

Verificarea asimilării temei acoperite de fișele de sarcini individuale.

Sarcina numărul 1.

=2;

B) = x + 5;

Rezolvați sistemul ecuații iraționale: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Sarcina numărul 2.

Rezolvați ecuația irațională: = - 3;

B) = x - 2;

Rezolvați un sistem de ecuații iraționale: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Prezentarea temei și a obiectivelor lecției.

Tema lecției noastre de astăzi Gradul cu exponent rațional».

Explicarea materialului nou pe exemplul studiat anterior.

Sunteți deja familiarizat cu conceptul de grad cu un exponent întreg. Cine mă poate ajuta să le amintesc?

Repetiție cu prezentare Gradul cu exponent întreg».

Pentru orice numere a , b și orice numere întregi m și n egalitățile sunt adevărate:

a m * a n = a m + n ;

a m: a n = a m-n (a ≠ 0);

(am) n = a mn ;

(a b) n = a n * b n ;

(a/b) n = a n / b n (b ≠ 0) ;

a 1 = a ; a 0 = 1(a ≠ 0)

Astăzi vom generaliza conceptul de grad al unui număr și vom da sens expresiilor care au exponent fracționar. Să vă prezentăm definiție grade cu un indicator rațional (Prezentarea „Grad cu un indicator rațional”):

Gradul de a > 0 cu un exponent rațional r = , Unde m este un număr întreg și n - natural ( n > 1), numit numărul m .

Deci, prin definiție, obținem asta = m .

Să încercăm să aplicăm această definiție atunci când executăm o sarcină.

EXEMPLUL #1

Exprim ca rădăcină a unui număr expresia:

DAR) B) LA) .

Acum să încercăm să aplicăm această definiție în sens invers

II Exprimați expresia ca putere cu exponent rațional:

DAR) 2 B) LA) 5 .

Puterea lui 0 este definită numai pentru exponenții pozitivi.

0 r= 0 pentru orice r> 0.

Folosind această definiție, Case veți completa #428 și #429.

Să arătăm acum că definiția de mai sus a unui grad cu un exponent rațional păstrează proprietățile de bază ale gradelor care sunt adevărate pentru orice exponent.

Pentru orice numere raționale r și s și orice a și b pozitive, egalitățile sunt adevărate:

1 0 . A r A s =a r+s ;

EXEMPLU: *

20 . a r: a s =a r-s ;

EXEMPLU: :

3 0 . (a r ) s =a rs ;

EXEMPLU: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = A r b r ; 5 0 . ( = .

EXEMPLU: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

EXEMPLU despre utilizarea mai multor proprietăți simultan: * : .

Fizkultminutka.

Am pus pixuri pe birou, am îndreptat spatele, iar acum întindem mâna înainte, vrem să atingem tabla. Și acum ne-am ridicat și ne-am aplecat la dreapta, la stânga, înainte, înapoi. Mi-au arătat pixurile și acum arată-mi cum pot dansa degetele tale.

Lucrați la material

Observăm încă două proprietăți ale puterilor cu exponenți raționali:

60 . Lasa r este un număr rațional și 0< a < b . Тогда

A r < b r la r> 0,

A r < b r la r< 0.

7 0 . Pentru orice numere raționalerși s din inegalitate r> s urmează că

A r> a r pentru a > 1,

A r < а r la 0< а < 1.

EXEMPLU: Comparați numerele:

Și ; 2 300 și 3 200 .

Rezumatul lecției:

Astăzi, în lecție, ne-am amintit proprietățile unui grad cu un exponent întreg, am învățat definiția și proprietățile de bază ale unui grad cu un exponent rațional, luând în considerare aplicarea acestui material teoreticîn practică în timpul exercițiilor fizice. Vreau să vă atrag atenția asupra faptului că subiectul „Grad cu un indicator rațional” este obligatoriu în USE sarcini. La pregătirea temelor Nr. 428 și Nr. 429

După ce gradul numărului este determinat, este logic să vorbim despre proprietăți de grad. În acest articol, vom oferi proprietățile de bază ale gradului unui număr, atingând toți exponenții posibili. Aici vom oferi dovezi ale tuturor proprietăților gradului și, de asemenea, vom arăta cum aceste proprietăți sunt aplicate atunci când rezolvăm exemple.

Navigare în pagină.

Proprietăți ale gradelor cu indicatori naturali

Prin definiția unei puteri cu un exponent natural, puterea unui n este produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a . Pe baza acestei definiții și folosind proprietățile înmulțirii numerelor reale, putem obține și justifica următoarele proprietăți de grad cu exponent natural:

1. proprietatea principală a gradului a m ·a n =a m+n , generalizarea acestuia ;
2. proprietatea puterilor parțiale cu aceleași baze a m:a n =a m−n ;
3. proprietatea gradului de produs (a b) n =a n b n , extensia sa ;
4. proprietatea câtului în natură (a:b) n =a n:b n ;
5. exponentiația (a m) n =a m n , generalizarea ei (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
6. compararea gradului cu zero:
   • dacă a>0, atunci a n >0 pentru orice n natural;
   • dacă a=0, atunci a n =0;
   • în cazul în care un<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 dacă a<0 и показатель степени есть numar impar 2 m−1 , apoi a 2 m−1<0 ;
7. dacă a și b sunt numere pozitive și a
8. dacă m și n sunt numere întregi, că m>n , apoi pentru 0 0 inegalitatea a m >a n este adevărată.

Observăm imediat că toate egalitățile scrise sunt identicîn condițiile specificate, iar părțile lor din dreapta și din stânga pot fi schimbate. De exemplu, proprietatea principală a fracției a m a n = a m + n cu simplificarea expresiilor folosit adesea sub forma a m+n = a m a n .

Acum să ne uităm la fiecare dintre ele în detaliu.

Să începem cu proprietatea produsului a două puteri cu aceleași baze, care se numește principala proprietate a gradului: pentru orice număr real a și orice număr natural m și n, egalitatea a m ·a n =a m+n este adevărată.

Să demonstrăm principala proprietate a gradului. Prin definiția unui grad cu exponent natural, produsul puterilor cu aceleași baze de forma a m a n poate fi scris ca produs. Datorită proprietăților înmulțirii, expresia rezultată poate fi scrisă ca , iar acest produs este puterea lui a cu exponent natural m+n , adică a m+n . Aceasta completează dovada.

Să dăm un exemplu care confirmă proprietatea principală a gradului. Să luăm grade cu aceleași baze 2 și puteri naturale 2 și 3, conform proprietății principale a gradului, putem scrie egalitatea 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Să verificăm validitatea acestuia, pentru care calculăm valorile expresiilor 2 2 ·2 3 și 2 5 . Efectuând exponentiație, avem 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32și 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, deoarece se obțin valori egale, atunci egalitatea 2 2 2 3 \u003d 2 5 este corectă și confirmă proprietatea principală a gradului.

Proprietatea principală a unui grad bazată pe proprietățile înmulțirii poate fi generalizată la produsul a trei sau mai multe grade cu aceleași baze și exponenți naturali. Deci pentru orice număr k de numere naturale n 1 , n 2 , …, n k egalitatea a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

De exemplu, (2,1) 3 (2,1) 3 (2,1) 4 (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Puteți trece la următoarea proprietate a grade cu un indicator natural - proprietatea puterilor parţiale cu aceleaşi baze: pentru orice număr real diferit de zero a și numere naturale arbitrare m și n care îndeplinesc condiția m>n , egalitatea a m:a n =a m−n este adevărată.

Înainte de a face dovada acestei proprietăți, să discutăm despre sensul condițiilor suplimentare din enunț. Condiția a≠0 este necesară pentru a evita împărțirea la zero, deoarece 0 n =0, iar când ne-am familiarizat cu împărțirea, am convenit că este imposibil să împărțim la zero. Se introduce condiția m>n pentru a nu depăși exponenții naturali. Într-adevăr, pentru m>n exponentul a m−n este un număr natural, altfel va fi fie zero (ceea ce se întâmplă pentru m−n ) fie un număr negativ (ceea ce se întâmplă pentru m

Dovada. Proprietatea principală a unei fracții ne permite să scriem egalitatea a m−n a n =a (m−n)+n =a m. Din egalitatea obţinută a m−n ·a n =a m şi din aceasta rezultă că a m−n este un coeficient de puteri ale lui a m şi a n . Aceasta dovedește proprietatea puterilor parțiale cu aceleași baze.

Să luăm un exemplu. Să luăm două grade cu aceleași baze π și exponenți naturali 5 și 2, proprietatea considerată a gradului corespunde egalității π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Acum luați în considerare proprietatea gradului de produs: gradul natural n al produsului a oricăror două numere reale a și b este egal cu produsul gradelor a n și b n , adică (a b) n =a n b n .

Într-adevăr, prin definiția unui grad cu exponent natural, avem . Ultimul produs, bazat pe proprietățile înmulțirii, poate fi rescris ca , care este egal cu a n b n .

Iată un exemplu: .

Această proprietate se extinde la gradul de produs a trei sau mai mulți factori. Adică, proprietatea puterii naturale n a produsului k factori este scrisă ca (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

Pentru claritate, arătăm această proprietate cu un exemplu. Pentru produsul a trei factori la puterea lui 7, avem .

Următoarea proprietate este proprietate naturală: câtul numerelor reale a și b , b≠0 la puterea naturală n este egal cu câtul puterilor a n și b n , adică (a:b) n =a n:b n .

Dovada poate fi efectuată folosind proprietatea anterioară. Asa de (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, iar egalitatea (a:b) n b n =a n implică faptul că (a:b) n este câtul a n împărțit la b n .

Să scriem această proprietate folosind exemplul unor numere specifice: .

Acum hai să ne dăm voce proprietatea de exponentiare: pentru orice număr real a și orice numere naturale m și n, puterea lui a m la puterea lui n este egală cu puterea lui a cu exponent m·n , adică (a m) n =a m·n .

De exemplu, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

Dovada proprietății puterii într-un grad este următorul lanț de egalități: .

Proprietatea considerată poate fi extinsă la grad în grad în grad și așa mai departe. De exemplu, pentru orice numere naturale p, q, r și s, egalitatea . Pentru o mai mare claritate, iată un exemplu cu numere specifice: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Rămâne să ne oprim asupra proprietăților de a compara grade cu un exponent natural.

Începem prin a demonstra proprietatea de comparație a zero și a puterii cu un exponent natural.

Mai întâi, să justificăm că a n >0 pentru orice a>0 .

Produsul a două numere pozitive este un număr pozitiv, după cum reiese din definiția înmulțirii. Acest fapt și proprietățile înmulțirii ne permit să afirmăm că rezultatul înmulțirii oricărui număr de numere pozitive va fi, de asemenea, un număr pozitiv. Iar puterea lui a cu exponent natural n este, prin definiție, produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a. Aceste argumente ne permit să afirmăm că pentru orice bază pozitivă a gradul lui n este un număr pozitiv. În virtutea proprietății dovedite 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 și .

Este destul de evident că pentru orice n natural cu a=0 gradul lui n este zero. Într-adevăr, 0 n =0·0·…·0=0 . De exemplu, 0 3 =0 și 0 762 =0 .

Să trecem la baze negative.

Să începem cu cazul în care exponentul este un număr par, notăm-l ca 2 m , unde m este un număr natural. Apoi . Pentru fiecare dintre produsele de forma a·a este egal cu produsul modulelor numerelor a și a, prin urmare, este un număr pozitiv. Prin urmare, produsul va fi, de asemenea, pozitiv. iar gradul a 2 m . Iată exemple: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 și .

În cele din urmă, când baza lui a este un număr negativ și exponentul este un număr impar 2 m−1, atunci . Toate produsele a·a sunt numere pozitive, produsul acestor numere pozitive este de asemenea pozitiv, iar înmulțirea lui cu numărul negativ rămas a are ca rezultat un număr negativ. Datorită acestei proprietăți (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Ne întoarcem la proprietatea de a compara grade cu aceiași exponenți naturali, care are următoarea formulare: a două grade cu aceiași exponenți naturali, n este mai mic decât cel a cărui bază este mai mică și mai mult decât cel a cărui bază este mai mare. Să demonstrăm.

Inegalitatea a n proprietățile inegalităților inegalitatea fiind demonstrată de forma a n (2,2) 7 și .

Rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate ale puterilor cu exponenți naturali. Să o formulăm. Dintre cele două grade cu indicatori naturali și aceleași baze pozitive mai mici decât unul, gradul este mai mare, al cărui indicator este mai mic; iar de două grade cu indicatori naturali și aceleași baze mai mari decât unul, gradul este mai mare, al cărui indicator este mai mare. Ne întoarcem la dovada acestei proprietăți.

Să demonstrăm că pentru m>n și 0 0 datorita conditiei initiale m>n , de unde rezulta ca la 0

Rămâne de dovedit a doua parte a proprietății. Să demonstrăm că pentru m>n și a>1, a m >a n este adevărat. Diferența a m −a n după scoaterea a n din paranteze ia forma a n ·(a m−n −1) . Acest produs este pozitiv, deoarece pentru a>1 gradul lui n este un număr pozitiv, iar diferența a m−n −1 este un număr pozitiv, deoarece m−n>0 datorită condiției inițiale, iar pentru a>1, gradul unui m−n este mai mare decât unu . Prin urmare, a m − a n >0 și a m >a n , ceea ce trebuia demonstrat. Această proprietate este ilustrată de inegalitatea 3 7 >3 2 .

Proprietăți ale gradelor cu exponenți întregi

Deoarece numerele întregi pozitive sunt numere naturale, atunci toate proprietățile puterilor cu exponenți întregi pozitivi coincid exact cu proprietățile puterilor cu exponenți naturali, enumerate și dovedite în paragraful anterior.

Gradul cu exponent întreg negativ, precum și gradul cu exponent zero, am definit astfel încât toate proprietățile gradelor cu exponenți naturali exprimate prin egalități să rămână valabile. Prin urmare, toate aceste proprietăți sunt valabile atât pentru exponenții zero, cât și pentru exponenții negativi, în timp ce, desigur, bazele gradelor sunt diferite de zero.

Deci, pentru orice numere reale și non-nule a și b, precum și pentru orice numere întregi m și n, următoarele sunt adevărate proprietățile gradelor cu exponenți întregi:

1. a m a n \u003d a m + n;
2. a m: a n = a m−n ;
3. (a b) n = a n b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n = a m n ;
6. dacă n este un număr întreg pozitiv, a și b sunt numere pozitive și a b-n;
7. dacă m și n sunt numere întregi și m>n, atunci la 0 1 inegalitatea a m >a n este îndeplinită.

Pentru a=0, puterile a m și a n au sens numai atunci când ambele m și n sunt numere întregi pozitive, adică numere naturale. Astfel, proprietățile tocmai scrise sunt valabile și pentru cazurile în care a=0 și numerele m și n sunt numere întregi pozitive.

Nu este greu de demonstrat fiecare dintre aceste proprietăți, pentru aceasta este suficient să folosim definițiile gradului cu exponent natural și întreg, precum și proprietățile acțiunilor cu numere reale. Ca exemplu, să demonstrăm că proprietatea puterii este valabilă atât pentru numerele întregi pozitive, cât și pentru numerele întregi nepozitive. Pentru a face acest lucru, trebuie să arătăm că, dacă p este zero sau un număr natural și q este zero sau un număr natural, atunci egalitățile (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) și (a−p)−q =a (−p) (−q). S-o facem.

Pentru p și q pozitive, egalitatea (a p) q =a p·q a fost demonstrată în subsecțiunea anterioară. Dacă p=0 , atunci avem (a 0) q =1 q =1 și a 0 q =a 0 =1 , de unde (a 0) q =a 0 q . În mod similar, dacă q=0 , atunci (a p) 0 =1 și a p 0 =a 0 =1 , de unde (a p) 0 =a p 0 . Dacă ambele p=0 și q=0 , atunci (a 0) 0 =1 0 =1 și a 0 0 =a 0 =1 , de unde (a 0) 0 =a 0 0 .

Să demonstrăm acum că (a −p) q =a (−p) q . Prin definiția unui grad cu un exponent întreg negativ , atunci . După proprietatea coeficientului în grad, avem . Deoarece 1 p =1·1·…·1=1 și , atunci . Ultima expresie este, prin definiție, o putere de forma a −(p q) , care, în virtutea regulilor de înmulțire, poate fi scrisă ca a (−p) q .

În mod similar .

Și .

Prin același principiu, se pot demonstra toate celelalte proprietăți ale unui grad cu exponent întreg, scrise sub formă de egalități.

În penultima dintre proprietățile scrise, merită să ne oprim asupra dovezii inegalității a −n >b −n , care este adevărată pentru orice întreg negativ −n și orice a și b pozitiv pentru care condiția a . Deoarece prin condiția a 0 . Produsul a n ·b n este de asemenea pozitiv ca produsul numerelor pozitive a n și b n . Atunci fracția rezultată este pozitivă ca un cât de numere pozitive b n − a n și a n b n . De unde a −n >b −n , care trebuia demonstrat.

Ultima proprietate a gradelor cu exponenți întregi este dovedită în același mod ca proprietatea analogă a gradelor cu exponenți naturali.

Proprietățile puterilor cu exponenți raționali

Am definit gradul cu un exponent fracționar extinzându-i proprietățile unui grad cu un exponent întreg. Cu alte cuvinte, grade cu exponenți fracționari au aceleași proprietăți ca și grade cu exponenți întregi. Și anume:

Demonstrarea proprietăților gradelor cu exponenți fracționari se bazează pe definirea unui grad cu exponent fracționar, pe și pe proprietățile unui grad cu exponent întreg. Să dăm dovada.

Prin definiția gradului cu exponent fracționar și , atunci . Proprietățile rădăcinii aritmetice ne permit să scriem următoarele egalități. În plus, folosind proprietatea gradului cu exponent întreg, obținem , de unde, prin definiția unui grad cu exponent fracționar, avem , iar exponentul gradului obținut poate fi convertit astfel: . Aceasta completează dovada.

A doua proprietate a puterilor cu exponenți fracționari se demonstrează exact în același mod:

Restul egalităților sunt dovedite prin principii similare:

Ne întoarcem la dovada următoarei proprietăți. Să demonstrăm că pentru orice a și b pozitiv, a b p . Scriem numărul rațional p ca m/n , unde m este un număr întreg și n este un număr natural. Condiții p<0 и p>0 în acest caz va fi echivalent cu condițiile m<0 и m>0 respectiv. Pentru m>0 și a

În mod similar, pentru m<0 имеем a m >b m , de unde , adică și a p >b p .

Rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate. Să demonstrăm că pentru numerele raționale p și q , p>q pentru 0 0 – inegalitatea a p >a q . Putem reduce întotdeauna numerele raționale p și q la un numitor comun, să obținem fracții obișnuite și, unde m 1 și m 2 sunt numere întregi, iar n este un număr natural. În acest caz, condiția p>q va corespunde condiției m 1 >m 2, care rezultă din . Apoi, prin proprietatea de a compara puteri cu aceleași baze și exponenți naturali la 0 1 – inegalitatea a m 1 >a m 2 . Aceste inegalități în ceea ce privește proprietățile rădăcinilor pot fi rescrise, respectiv, ca și . Iar definirea unui grad cu exponent rațional ne permite să trecem la inegalități și, respectiv. De aici tragem concluzia finală: pentru p>q și 0 0 – inegalitatea a p >a q .

Proprietăți ale gradelor cu exponenți iraționali

Din modul în care este definit un grad cu exponent irațional, se poate concluziona că are toate proprietățile gradelor cu exponent rațional. Deci pentru orice a>0 , b>0 și numere irationale p și q proprietăți ale gradelor cu exponenți iraționali:

1. a p a q = a p + q ;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (a b) p = a p b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p q ;
6. pentru orice numere pozitive a și b , a 0 inegalitatea a p b p ;
7. pentru numerele iraționale p și q, p>q la 0 0 – inegalitatea a p >a q .

Din aceasta putem concluziona că puterile cu orice exponenți reali p și q pentru a>0 au aceleași proprietăți.

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Manual de matematică Zh pentru 5 celule. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: un manual pentru 7 celule. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru 8 celule. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: un manual pentru 9 celule. institutii de invatamant.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi alţii.Algebra şi începuturile analizei: un manual pentru clasele 10-11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice).

Gradul cu exponent rațional

Khasyanova T.G.,

profesor de matematică

Materialul prezentat va fi util profesorilor de matematică atunci când studiază tema „Grad cu indicator rațional”.

Scopul materialului prezentat: dezvăluirea experienței mele în desfășurarea unei lecții pe tema „Grad cu un indicator rațional” program de lucru disciplina „Matematică”.

Metodologia lecției corespunde tipului său - o lecție în studiul și consolidarea primară a noilor cunoștințe. Cunoștințele și abilitățile de bază au fost actualizate pe baza experienței acumulate anterior; memorarea primară, consolidarea și aplicarea de noi informații. Consolidarea și aplicarea de material nou a avut loc sub forma rezolvării unor probleme de complexitate variabilă pe care le-am testat, oferind rezultat pozitiv stăpânirea subiectului.

La începutul lecției, mi-am propus elevilor următoarele obiective: educațional, de dezvoltare, educațional. În clasă, am folosit diferite căi activitati: frontala, individuala, baie de aburi, independenta, test. Sarcinile au fost diferențiate și au permis identificarea, la fiecare etapă a lecției, a gradului de asimilare a cunoștințelor. Volumul și complexitatea sarcinilor corespunde caracteristici de vârstă elevi. Din experienta mea - teme pentru acasă, similar cu problemele rezolvate în sala de clasa vă permite să consolidați în siguranță cunoștințele și abilitățile dobândite. La sfârșitul lecției s-a făcut reflecție și a fost evaluată munca individuală a elevilor.

Obiectivele au fost atinse. Elevii au studiat conceptul și proprietățile unei diplome cu exponent rațional, au învățat cum să folosească aceste proprietăți în rezolvarea problemelor practice. In spate muncă independentă notele sunt anunțate în lecția următoare.

Consider că metodologia folosită de mine pentru desfășurarea orelor de matematică poate fi aplicată de profesorii de matematică.

Tema lecției: Gradul cu un indicator rațional

Scopul lecției:

Identificarea nivelului de stăpânire de către studenți a unui complex de cunoștințe și abilități și, pe baza acestuia, aplicarea unor soluții pentru îmbunătățirea procesului de învățământ.

Obiectivele lecției:

Tutoriale: să formeze noi cunoștințe în rândul studenților despre concepte de bază, reguli, legi pentru determinarea gradului cu un indicator rațional, capacitatea de a aplica în mod independent cunoștințele în condiții standard, în condiții modificate și nestandard;

în curs de dezvoltare: gândește logic și implementează Abilități creative;

educatori: pentru a forma un interes pentru matematică, a completa vocabularul cu termeni noi, a obține Informații suplimentare despre lumea din jur. Cultivați răbdarea, perseverența, capacitatea de a depăși dificultățile.

Organizarea timpului

Actualizarea cunoștințelor de bază

La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, se adună exponenții, iar baza rămâne aceeași:

De exemplu,

2. La împărțirea puterilor cu aceleași baze, exponenții se scad, iar baza rămâne aceeași:

De exemplu,

3. Când se ridică un grad la o putere, exponenții sunt înmulțiți, iar baza rămâne aceeași:

De exemplu,

4. Gradul produsului este egal cu produsul puterilor factorilor:

De exemplu,

5. Gradul coeficientului este egal cu câtul puterilor dividendului și divizorului:

De exemplu,

Exerciții de rezolvare

Găsiți valoarea unei expresii:

Decizie:

În acest caz, niciuna dintre proprietățile unui grad cu exponent natural nu poate fi aplicată în mod explicit, deoarece toate gradele au temeiuri diferite. Să scriem câteva grade într-o formă diferită:

(gradul produsului este egal cu produsul gradelor factorilor);

(la înmulțirea puterilor cu aceeași bază, se adună exponenții, iar baza rămâne aceeași, la ridicarea unui grad la o putere, exponenții sunt înmulțiți, dar baza rămâne aceeași).

Atunci obținem:

LA acest exemplu au fost folosite primele patru proprietăţi ale gradului cu exponent natural.

Rădăcina pătrată aritmetică
este un număr nenegativ al cărui pătrat esteA,
. La
- expresie
nedefinit, deoarece nu există un număr real al cărui pătrat să fie egal cu un număr negativA.

Dictarea matematică(8-10 min.)

Opțiune

II. Opțiune

1. Găsiți valoarea expresiei

A)

b)

1. Găsiți valoarea expresiei

A)

b)

2. Calculați

A)

b)

LA)

2. Calculați

A)

b)

în)

Autotestare(pe placa cu rever):

Matricea de răspuns:

№ opțiune/sarcină

Sarcina 1

Sarcina 2

Opțiunea 1

a) 2

b) 2

a) 0,5

b)

în)

Opțiunea 2

a) 1.5

b)

A)

b)

la 4

II.Formarea de noi cunoștințe

Luați în considerare sensul expresiei, unde - număr pozitiv– număr fracționar și m-întreg, n-natural (n>1)

Definiție: gradul numărului a›0 cu exponent raționalr = , m- intreg, n- natural ( n›1) se numește un număr.

Asa de:

De exemplu:

Note:

1. Pentru orice a pozitiv și orice r rațional, numărul pozitiv.

2. Când
puterea rațională a unui numărAnedefinit.

Expresii precum
nu au sens.

3.Dacă număr pozitiv fracționar
.

În cazul în care un fracționat număr negativ, atunci -nu are sens.

De exemplu: - nu are sens.

Luați în considerare proprietățile unui grad cu exponent rațional.

Fie a>0, в>0; r, s - orice numere rationale. Atunci un grad cu orice exponent rațional are următoarele proprietăți:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Consolidare. Formarea de noi abilități și abilități.

Fișele de activitate funcționează în grupuri mici sub forma unui test.

Recomandăm și noi

• Gândirea productivă și reproductivă
• Egoismul rezonabil - care este teoria egoismului rezonabil?
• Boris Nikolaevici Elțin, primul președinte al Rusiei
• Lupte subterane. regii subterani. Ce înseamnă „a nu lupta pentru mase”? Unde poți lupta pentru bani?
• Yakov Pavlov și alți eroi din Stalingrad pe care trebuie să-i cunoașteți
• Supraviețuiește un accident pe mare într-un vis - în realitate, experimentează o nouă iubire