Cum se rezolvă rădăcina pătrată. Cum să extragi rapid rădăcini pătrate

Printre multele cunoștințe care sunt un semn al alfabetizării, alfabetul este pe primul loc. Următoarele, același element „semn”, sunt abilitățile de adunare-înmulțire și, alăturate acestora, dar inverse în sens, operații aritmetice de scădere-împărțire. Abilitățile învățate în copilăria școlară îndepărtată servesc cu fidelitate zi și noapte: TV, ziar, SMS, Și peste tot citim, scriem, numărăm, adunăm, scădem, înmulțim. Și, spune-mi, ai fost nevoit să prinzi deseori rădăcini în viață, decât la țară? De exemplu, o astfel de problemă distractivă, cum ar fi rădăcina pătrată a numărului 12345 ... Mai există praf de pușcă în baloanele cu pulbere? Putem sa o facem? Da, nimic mai ușor! Unde este calculatorul meu... Și fără el, corp la mână, slab?

În primul rând, să clarificăm despre ce este vorba - Rădăcină pătrată numere. În general, „a extrage o rădăcină dintr-un număr” înseamnă a efectua operația aritmetică opusă ridicării la o putere - aici ai unitatea contrariilor în aplicarea vieții. să presupunem că un pătrat este o înmulțire a unui număr prin el însuși, adică, așa cum au predat la școală, X * X = A sau într-o altă notație X2 = A, iar în cuvinte - „X pătratul este egal cu A”. Atunci problema inversă sună astfel: rădăcina pătrată a numărului A este numărul X, care, la pătrat, este egal cu A.

Extragerea rădăcinii pătrate

Din cursul școlar de aritmetică, sunt cunoscute metode de calcul „în coloană”, care ajută la efectuarea oricăror calcule folosind primele patru operatii aritmetice. Vai... Pentru pătrate, și nu numai pătrate, rădăcinile unor astfel de algoritmi nu există. Și în acest caz, cum să extrageți rădăcina pătrată fără un calculator? Pe baza definiției rădăcinii pătrate, există o singură concluzie - este necesar să se selecteze valoarea rezultatului prin enumerarea secvențială a numerelor, al căror pătrat se apropie de valoarea expresiei rădăcinii. Numai și totul! Înainte de a trece o oră sau două, poate fi calculat folosind metoda binecunoscută de înmulțire într-o „coloană”, orice rădăcină pătrată. Dacă aveți abilitățile, câteva minute sunt suficiente pentru asta. Chiar și un calculator nu prea avansat sau un utilizator de PC o face dintr-o singură lovitură - progres.

Dar, serios, calculul rădăcinii pătrate este adesea efectuat folosind tehnica „furcă de artilerie”: în primul rând, ei iau un număr al cărui pătrat corespunde aproximativ cu expresia rădăcinii. Este mai bine dacă „pătratul nostru” este puțin mai mic decât această expresie. Apoi corectează numărul în funcție de propria lor înțelegere a abilităților, de exemplu, înmulțesc cu doi și ... pătrați din nou. Dacă rezultatul este mai mare decât numărul de sub rădăcină, ajustând succesiv numărul inițial, apropiindu-se treptat de „colegul” său de sub rădăcină. După cum puteți vedea - fără calculator, doar capacitatea de a număra „într-o coloană”. Desigur, există mulți algoritmi motivați științific și optimizați pentru calcularea rădăcinii pătrate, dar pentru „utilizare acasă” tehnica de mai sus oferă 100% încredere în rezultat.

Da, aproape că am uitat, pentru a confirma alfabetizarea noastră crescută, calculăm rădăcina pătrată a numărului indicat anterior 12345. O facem pas cu pas:

1. Luați, pur intuitiv, X=100. Să calculăm: X * X = 10000. Intuiția este în top - rezultatul este mai mic decât 12345.

2. Să încercăm, de asemenea, pur intuitiv, X = 120. Apoi: X * X = 14400. Și din nou, cu intuiție, ordinea - rezultatul este mai mult de 12345.

3. Mai sus, se obține o „furcătură” de 100 și 120. Să alegem numere noi - 110 și 115. Obținem, respectiv, 12100 și, respectiv, 13225 - furculița se îngustează.

4. Încercăm „poate” X = 111. Obținem X * X = 12321. Acest număr este deja destul de aproape de 12345. În conformitate cu precizia necesară, „potrivirea” poate fi continuată sau oprită la rezultatul obținut. Asta e tot. După cum am promis - totul este foarte simplu și fără un calculator.

Un pic de istorie...

Gândește-te la folosire rădăcini pătrateîncă pitagoreenii, elevi ai școlii și adepți ai lui Pitagora, timp de 800 de ani î.Hr. și chiar acolo, „a dat peste” noi descoperiri în domeniul numerelor. Și de unde a venit?

1. Rezolvarea problemei cu extragerea rădăcinii, dă rezultatul sub formă de numere ale unei noi clase. Au fost numite iraționale, cu alte cuvinte, „nerezonabile”, pentru că. nu sunt scrise ca un număr complet. Cel mai clasic exemplu de acest fel este rădăcina pătrată a lui 2. Acest caz corespunde calculului diagonalei unui pătrat cu latura egală cu 1 - aici este, influența școlii pitagoreice. S-a dovedit că într-un triunghi cu o mărime unitară foarte specifică a laturilor, ipotenuza are o dimensiune care este exprimată printr-un număr care „nu are sfârșit”. Deci în matematică a apărut

2. Se știe că s-a dovedit că aceasta operatie matematica mai conține o captură - extragând rădăcina, nu știm ce pătrat al cărui număr, pozitiv sau negativ, este expresia rădăcinii. Această incertitudine, rezultatul dublu dintr-o singură operație, se notează.

Studiul problemelor asociate cu acest fenomen a devenit o direcție în matematică numită teoria unei variabile complexe, care are o mare importanță practică în fizica matematică.

Este curios că denumirea de rădăcină – radical – a fost folosită în „Aritmetica universală” a sa de către același omniprezent I. Newton, dar exact aspect modernÎnregistrarea rădăcină este cunoscută încă din 1690 din cartea francezului Roll „Ghid de algebră”.

Matematica s-a născut atunci când o persoană a devenit conștientă de sine și a început să se poziționeze ca unitate autonomă a lumii. Dorința de a măsura, compara, calcula ceea ce te înconjoară este ceea ce stă la baza uneia dintre științele fundamentale ale zilelor noastre. La început, acestea au fost piese de matematică elementară, care au făcut posibilă asocierea numerelor cu expresiile lor fizice, ulterior concluziile au început să fie prezentate doar teoretic (datorită abstractității lor), dar după un timp, așa cum a spus un om de știință, " matematica a atins plafonul complexității când toate numerele”. Conceptul de „rădăcină pătrată” a apărut într-un moment în care putea fi susținut cu ușurință de date empirice, trecând dincolo de planul calculelor.

Cum a început totul

Prima mențiune a rădăcinii, care pe acest moment notat ca √, a fost consemnat în scrierile matematicienilor babilonieni, care au pus bazele aritmeticii moderne. Desigur, semănau puțin cu forma actuală - oamenii de știință din acei ani au folosit pentru prima dată tablete voluminoase. Dar în mileniul II î.Hr. e. au venit cu o formulă de calcul aproximativă care arăta cum să ia rădăcina pătrată. Fotografia de mai jos arată o piatră pe care oamenii de știință babilonien au sculptat procesul de ieșire √2 și s-a dovedit a fi atât de corectă încât discrepanța în răspuns a fost găsită doar în a zecea zecimală.

În plus, rădăcina era folosită dacă era necesar să se găsească latura unui triunghi, cu condiția ca celelalte două să fie cunoscute. Ei bine, atunci când rezolvați ecuații pătratice, nu există nicio scăpare de a extrage rădăcina.

Alături de lucrările babiloniene, subiectul articolului a fost studiat și în lucrarea chineză „Matematica în nouă cărți”, iar grecii antici au ajuns la concluzia că orice număr din care nu este extrasă rădăcina fără rest dă un rezultat irațional. .

Originea acestui termen este asociată cu reprezentarea arabă a numărului: oamenii de știință antici credeau că pătratul unui număr arbitrar crește de la rădăcină, ca o plantă. În latină, acest cuvânt sună ca radix (se poate urmări un model - tot ceea ce are o încărcătură semantică „rădăcină” este consoanică, fie că este ridiche sau sciatică).

Oamenii de știință din generațiile următoare au preluat această idee, desemnând-o drept Rx. De exemplu, în secolul al XV-lea, pentru a indica că rădăcina pătrată este luată dintr-un număr arbitrar a, au scris R 2 a. Obișnuit aspect modern„căpușa” √ a apărut abia în secolul al XVII-lea datorită lui Rene Descartes.

Zilele noastre

Matematic, rădăcina pătrată a lui y este numărul z al cărui pătrat este y. Cu alte cuvinte, z 2 =y este echivalent cu √y=z. Cu toate acestea, această definiție este relevantă numai pentru rădăcina aritmetică, deoarece implică o valoare nenegativă a expresiei. Cu alte cuvinte, √y=z, unde z este mai mare sau egal cu 0.

În general, ceea ce este valabil pentru determinarea rădăcinii algebrice, valoarea expresiei poate fi fie pozitivă, fie negativă. Astfel, datorită faptului că z 2 =y și (-z) 2 =y, avem: √y=±z sau √y=|z|.

Datorită faptului că dragostea pentru matematică a crescut doar odată cu dezvoltarea științei, există diverse manifestări de afecțiune pentru aceasta, neexprimate în calcule seci. De exemplu, alături de evenimente atât de interesante precum ziua lui Pi, sunt sărbătorite și sărbătorile rădăcinii pătrate. Ele sunt sărbătorite de nouă ori într-o sută de ani și sunt determinate după următorul principiu: numerele care indică ziua și luna în ordine trebuie să fie rădăcina pătrată a anului. Da, în data viitoare Această sărbătoare va fi sărbătorită pe 4 aprilie 2016.

Proprietățile rădăcinii pătrate pe câmpul R

Aproape toate expresiile matematice au o bază geometrică, această soartă nu a trecut și √y, care este definită ca latura unui pătrat cu aria y.

Cum să găsești rădăcina unui număr?

Există mai mulți algoritmi de calcul. Cel mai simplu, dar în același timp destul de greoi, este calculul aritmetic obișnuit, care este după cum urmează:

1) din numărul a cărui rădăcină avem nevoie, numerele impare se scad pe rând - până când restul de la ieșire este mai mic decât cel scăzut sau par zero. Numărul de mișcări va deveni în cele din urmă numărul dorit. De exemplu, calculând rădăcina pătrată a lui 25:

Următorul număr impar este 11, restul este: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Pentru astfel de cazuri, există o extindere a seriei Taylor:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , unde n ia valori de la 0 la

+∞ și |y|≤1.

Reprezentarea grafică a funcției z=√y

Se consideră o funcție elementară z=√y pe câmpul numerelor reale R, unde y este mai mare sau egal cu zero. Graficul ei arată astfel:

Curba crește de la origine și traversează în mod necesar punctul (1; 1).

Proprietățile funcției z=√y pe câmpul numerelor reale R

1. Domeniul de definire al funcției considerate este intervalul de la zero la plus infinit (zero este inclus).

2. Gama de valori ale funcției considerate este intervalul de la zero la plus infinit (zero este din nou inclus).

3. Funcția ia valoarea minimă (0) numai în punctul (0; 0). Nu există o valoare maximă.

4. Funcția z=√y nu este nici pară, nici impară.

5. Funcția z=√y nu este periodică.

6. Există un singur punct de intersecție a graficului funcției z=√y cu axele de coordonate: (0; 0).

7. Punctul de intersecție al graficului funcției z=√y este și zero al acestei funcții.

8. Funcția z=√y este în continuă creștere.

9. Funcția z=√y ia doar valori pozitive, prin urmare, graficul său ocupă primul unghi de coordonate.

Opțiuni pentru afișarea funcției z=√y

În matematică, pentru a facilita calculul expresiilor complexe, se folosește uneori forma de putere a scrierii rădăcinii pătrate: √y=y 1/2. Această opțiune este convenabilă, de exemplu, pentru ridicarea unei funcții la o putere: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Această metodă este, de asemenea, o reprezentare bună pentru diferențierea cu integrare, deoarece datorită ei rădăcina pătrată este reprezentată de o funcție de putere obișnuită.

Și în programare, înlocuirea simbolului √ este combinația de litere sqrt.

Este de remarcat faptul că în această zonă rădăcina pătrată este la mare căutare, deoarece face parte din majoritatea formulelor geometrice necesare calculelor. Algoritmul de numărare în sine este destul de complicat și se bazează pe recursivitate (o funcție care se numește singură).

Rădăcina pătrată din câmpul complex C

În general, subiectul acestui articol a stimulat descoperirea domeniului numerelor complexe C, deoarece matematicienii erau bântuiți de problema obținerii unei rădăcini de grad par dintr-un număr negativ. Așa a apărut unitatea imaginară i, care se caracterizează printr-o proprietate foarte interesantă: pătratul său este -1. Datorită acestui fapt, ecuațiile pătratice și cu un discriminant negativ au obținut o soluție. În C, pentru rădăcina pătrată, aceleași proprietăți sunt relevante ca și în R, singurul lucru este că restricțiile privind expresia rădăcinii sunt eliminate.

Suprafața unui teren pătrat este de 81 dm². Găsiți partea lui. Să presupunem că lungimea laturii pătratului este X decimetri. Atunci aria parcelei este X² decimetri pătrați. Întrucât, conform stării, această suprafață este de 81 dm², atunci X² = 81. Lungimea laturii unui pătrat este un număr pozitiv. Un număr pozitiv al cărui pătrat este 81 este numărul 9. La rezolvarea problemei, a fost necesar să se găsească numărul x, al cărui pătrat este 81, adică să se rezolve ecuația X² = 81. Această ecuație are două rădăcini: X 1 = 9 și X 2 \u003d - 9, deoarece 9² \u003d 81 și (- 9)² \u003d 81. Ambele numere 9 și - 9 sunt numite rădăcini pătrate ale numărului 81.

Rețineți că una dintre rădăcinile pătrate X= 9 este un număr pozitiv. Se numește rădăcina pătrată aritmetică a lui 81 și se notează √81, deci √81 = 9.

Rădăcina pătrată aritmetică a unui număr dar este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu dar.

De exemplu, numerele 6 și -6 sunt rădăcinile pătrate ale lui 36. Numărul 6 este rădăcina pătrată aritmetică a lui 36, deoarece 6 este un număr nenegativ și 6² = 36. Numărul -6 nu este o rădăcină aritmetică.

Rădăcina pătrată aritmetică a unui număr dar notată după cum urmează: √ dar.

Semnul se numește semnul rădăcinii pătrate aritmetice; dar se numește expresie rădăcină. Expresia √ dar citit astfel: rădăcina pătrată aritmetică a unui număr dar. De exemplu, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. În cazurile în care este clar că vorbim despre rădăcina aritmetică, ei spun pe scurt: „rădăcina pătrată a dar«.

Acțiunea de a găsi rădăcina pătrată a unui număr se numește luarea rădăcinii pătrate. Această acțiune este inversul pătratului.

Orice număr poate fi pătrat, dar nu orice număr poate fi rădăcină pătrată. De exemplu, este imposibil să extrageți rădăcina pătrată a numărului - 4. Dacă o astfel de rădăcină a existat, atunci, notând-o cu litera X, am obține egalitatea greșită x² \u003d - 4, deoarece există un număr nenegativ în stânga și unul negativ în dreapta.

Expresia √ dar are sens doar când a ≥ 0. Definiția rădăcinii pătrate poate fi scrisă pe scurt ca: √ a ≥ 0, (√dar)² = dar. Egalitatea (√ dar)² = dar valabil pentru a ≥ 0. Astfel, pentru a vă asigura că rădăcina pătrată a unui număr nenegativ dar egală b, adică că √ dar =b, trebuie să verificați dacă sunt îndeplinite următoarele două condiții: b ≥ 0, b² = dar.

Rădăcina pătrată a unei fracții

Să calculăm. Rețineți că √25 = 5, √36 = 6 și verificați dacă egalitatea este valabilă.

pentru că și , atunci egalitatea este adevărată. Asa de, .

Teorema: Dacă dar≥ 0 și b> 0, adică rădăcina fracției egal cu rădăcina de la numărător împărțit la rădăcina numitorului. Se cere să se demonstreze că: și .

Din moment ce √ dar≥0 și √ b> 0, atunci .

Prin proprietatea de a ridica o fractie la o putere si de a determina radacina patrata teorema este demonstrată. Să ne uităm la câteva exemple.

Calculați , conform teoremei dovedite .

Al doilea exemplu: Demonstrează asta , dacă dar ≤ 0, b < 0. .

Un alt exemplu: Calculați .

.

Transformarea rădăcinii pătrate

Scoaterea multiplicatorului de sub semnul rădăcinii. Să fie dată o expresie. Dacă dar≥ 0 și b≥ 0, apoi prin teorema rădăcinii produsului, putem scrie:

O astfel de transformare se numește factorizarea semnului rădăcină. Luați în considerare un exemplu;

Calculați la X= 2. Substituție directă X= 2 în expresia radicală duce la calcule complicate. Aceste calcule pot fi simplificate dacă mai întâi eliminăm factorii de sub semnul rădăcinii: . Acum înlocuind x = 2, obținem:.

Deci, la scoaterea factorului de sub semnul rădăcinii, expresia radicală este reprezentată ca un produs în care unul sau mai mulți factori sunt pătratele numerelor nenegative. Apoi se aplică teorema produsului rădăcină și se ia rădăcina fiecărui factor. Luați în considerare un exemplu: simplificați expresia A = √8 + √18 - 4√2 scotând factorii de sub semnul rădăcinii în primii doi termeni, obținem:. Subliniem că egalitatea valabil numai atunci când dar≥ 0 și b≥ 0. dacă dar < 0, то .

Destul de des, atunci când rezolvăm probleme, ne confruntăm cu numere mari din care trebuie să extragem Rădăcină pătrată. Mulți elevi decid că aceasta este o greșeală și încep să rezolve întregul exemplu. Sub nicio formă nu trebuie făcut acest lucru! Există două motive pentru aceasta:

1. Rădăcini din numere mari apar de fapt în sarcini. Mai ales în text;
2. Există un algoritm prin care aceste rădăcini sunt considerate aproape verbal.

Vom lua în considerare acest algoritm astăzi. Poate că unele lucruri ți se vor părea de neînțeles. Dar dacă acordați atenție acestei lecții, veți obține cea mai puternică armă împotriva rădăcini pătrate.

Deci algoritmul:

1. Limitați rădăcina dorită deasupra și dedesubt la multipli de 10. Astfel, vom reduce intervalul de căutare la 10 numere;
2. Din aceste 10 numere, îndepărtați-le pe cele care cu siguranță nu pot fi rădăcini. Ca urmare, vor rămâne 1-2 numere;
3. Patratează aceste 1-2 numere. Acela dintre ei, al cărui pătrat este egal cu numărul inițial, va fi rădăcina.

Înainte de a aplica acest algoritm funcționează în practică, să ne uităm la fiecare pas individual.

Constrângerea rădăcinilor

În primul rând, trebuie să aflăm între ce numere se află rădăcina noastră. Este foarte de dorit ca numerele să fie multiplu de zece:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Obținem o serie de numere:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Ce ne oferă aceste numere? Este simplu: primim limite. Luați, de exemplu, numărul 1296. Se află între 900 și 1600. Prin urmare, rădăcina sa nu poate fi mai mică de 30 și mai mare de 40:

[Figura]

Același lucru este cu orice alt număr din care puteți găsi rădăcina pătrată. De exemplu, 3364:

[Figura]

Astfel, în loc de un număr de neînțeles, obținem un interval foarte specific în care se află rădăcina originală. Pentru a restrânge și mai mult domeniul de aplicare al căutării, treceți la pasul al doilea.

Eliminarea numerelor evident superflue

Deci, avem 10 numere - candidați pentru rădăcină. Le-am primit foarte repede, fără gândire complexă și înmulțire în coloană. E timpul să mergem mai departe.

Credeți sau nu, acum vom reduce numărul de numere de candidați la două - și din nou fără calcule complicate! suficient pentru a sti regula speciala. Iată-l:

Ultima cifră a pătratului depinde doar de ultima cifră numărul original.

Cu alte cuvinte, este suficient să ne uităm la ultima cifră a pătratului - și vom înțelege imediat unde se termină numărul inițial.

Există doar 10 cifre pe care pot sta ultimul loc. Să încercăm să aflăm în ce se transformă atunci când sunt la pătrat. Uită-te la tabel:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Acest tabel este un alt pas către calcularea rădăcinii. După cum puteți vedea, numerele din a doua linie s-au dovedit a fi simetrice față de cele cinci. De exemplu:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

După cum puteți vedea, ultima cifră este aceeași în ambele cazuri. Și asta înseamnă că, de exemplu, rădăcina lui 3364 se termină în mod necesar în 2 sau 8. Pe de altă parte, ne amintim restricția din paragraful anterior. Primim:

[Figura]

Pătratele roșii arată că nu cunoaștem încă această cifră. Dar la urma urmei, rădăcina se află între 50 și 60, pe care există doar două numere care se termină în 2 și 8:

[Figura]

Asta e tot! Dintre toate rădăcinile posibile, am lăsat doar două opțiuni! Și acesta este în cel mai dificil caz, deoarece ultima cifră poate fi 5 sau 0. Și atunci singurul candidat pentru rădăcini va rămâne!

Calcule finale

Deci, mai avem 2 numere de candidat. De unde știi care este rădăcina? Răspunsul este evident: pătratează ambele numere. Cel care la pătrat va da numărul inițial și va fi rădăcina.

De exemplu, pentru numărul 3364, am găsit două numere candidate: 52 și 58. Să le pătram:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.

Asta e tot! S-a dovedit că rădăcina este 58! Totodată, pentru a simplifica calculele, am folosit formula pătratelor sumei și diferenței. Datorită acestui lucru, nici nu a fost nevoie să înmulți numerele dintr-o coloană! Acesta este un alt nivel de optimizare a calculelor, dar, desigur, este complet opțional :)

Exemple de calcul rădăcină

Teoria este bună, desigur. Dar haideți să-l testăm în practică.

[Figura]

Mai întâi, să aflăm între ce numere se află numărul 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Acum să ne uităm la ultimul număr. Este egal cu 6. Când se întâmplă acest lucru? Doar dacă rădăcina se termină cu 4 sau 6. Obținem două numere:

Rămâne să pătrați fiecare număr și să comparați cu originalul:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Amenda! Primul pătrat s-a dovedit a fi egal cu numărul inițial. Deci aceasta este rădăcina.

O sarcină. Calculați rădăcina pătrată:

[Figura]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Să ne uităm la ultimul număr:

1369 → 9;
33; 37.

Să-l pătram:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.

Iată răspunsul: 37.

O sarcină. Calculați rădăcina pătrată:

[Figura]

Limităm numărul:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Să ne uităm la ultimul număr:

2704 → 4;
52; 58.

Să-l pătram:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Am primit răspunsul: 52. Al doilea număr nu va mai trebui să fie pătrat.

O sarcină. Calculați rădăcina pătrată:

[Figura]

Limităm numărul:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Să ne uităm la ultimul număr:

4225 → 5;
65.

După cum puteți vedea, după al doilea pas, rămâne o singură opțiune: 65. Aceasta este rădăcina dorită. Dar să facem totuși la pătrare și să verificăm:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Totul este corect. Scriem răspunsul.

Concluzie

Vai, nu mai bine. Să aruncăm o privire asupra motivelor. Sunt două dintre ele:

• Este interzisă utilizarea calculatoarelor la orice examen normal de matematică, fie că este vorba de GIA sau de examenul de stat unificat. Și pentru că purtați un calculator în clasă, aceștia pot fi scoși cu ușurință din examen.
• Nu fi ca americanii proști. Care nu sunt ca rădăcinile - nu pot adăuga două numere prime. Și la vederea fracțiilor, acestea devin în general isterice.

În acest articol vă vom prezenta conceptul de rădăcină a unui număr. Vom acționa secvenţial: vom începe cu rădăcina pătrată, de la ea vom trece la descriere rădăcină cubă, după aceea generalizăm conceptul de rădăcină prin definirea rădăcinii de gradul al n-lea. În același timp, vom introduce definiții, notație, vom da exemple de rădăcini și vom oferi explicațiile și comentariile necesare.

Rădăcină pătrată, rădăcină pătrată aritmetică

Pentru a înțelege definiția rădăcinii unui număr, și în special a rădăcinii pătrate, trebuie să aveți . În acest moment, vom întâlni adesea a doua putere a unui număr - pătratul unui număr.

Sa incepem cu definiții de rădăcină pătrată.

Definiție

Rădăcina pătrată a lui a este numărul al cărui pătrat este un .

Pentru a aduce exemple de rădăcini pătrate, luați mai multe numere, de exemplu, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 și pătrați-le, obținem numerele 25 , 0.09 , 0.09 și respectiv 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3)2 =0,3 0,3=0,09 şi 02 =00=0). Apoi, după definiția de mai sus, 5 este rădăcina pătrată a lui 25, -0,3 și 0,3 sunt rădăcinile pătrate a lui 0,09 și 0 este rădăcina pătrată a lui zero.

Trebuie remarcat faptul că nu pentru niciun număr există a , al cărui pătrat este egal cu a . Și anume, pentru orice număr negativ a nu există numar real b , al cărui pătrat ar fi egal cu a . Într-adevăr, egalitatea a=b 2 este imposibilă pentru orice a negativ, deoarece b 2 este un număr nenegativ pentru orice b . În acest fel, pe mulțimea numerelor reale nu există rădăcină pătrată a unui număr negativ. Cu alte cuvinte, pe mulțimea numerelor reale, rădăcina pătrată a unui număr negativ nu este definită și nu are sens.

Aceasta duce la o întrebare logică: „Există o rădăcină pătrată a lui a pentru orice a nenegativ”? Raspunsul este da. Rațiunea acestui fapt poate fi considerată o metodă constructivă folosită pentru a găsi valoarea rădăcinii pătrate.

Atunci apare următoarea întrebare logică: „Care este numărul tuturor rădăcinilor pătrate ale unui număr nenegativ dat a - unu, doi, trei sau chiar mai mult”? Iată răspunsul la acesta: dacă a este zero, atunci singura rădăcină pătrată a lui zero este zero; dacă a este un număr pozitiv, atunci numărul de rădăcini pătrate din numărul a este egal cu doi, iar rădăcinile sunt . Să argumentăm acest lucru.

Să începem cu cazul a=0 . Să arătăm mai întâi că zero este într-adevăr rădăcina pătrată a lui zero. Aceasta rezultă din egalitatea evidentă 0 2 =0·0=0 și din definiția rădăcinii pătrate.

Acum să demonstrăm că 0 este singura rădăcină pătrată a lui zero. Să folosim metoda opusă. Să presupunem că există un număr diferit de zero b care este rădăcina pătrată a lui zero. Atunci trebuie îndeplinită condiția b 2 =0, ceea ce este imposibil, deoarece pentru orice b diferit de zero valoarea expresiei b 2 este pozitivă. Am ajuns la o contradicție. Acest lucru demonstrează că 0 este singura rădăcină pătrată a lui zero.

Să trecem la cazurile în care a este un număr pozitiv. Mai sus am spus că există întotdeauna o rădăcină pătrată a oricărui număr nenegativ, fie b rădăcina pătrată a lui a. Să presupunem că există un număr c , care este și rădăcina pătrată a lui a . Atunci, prin definiția rădăcinii pătrate, sunt valabile egalitățile b 2 =a și c 2 =a, din care rezultă că b 2 −c 2 =a−a=0, dar întrucât b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , atunci (b−c) (b+c)=0 . Egalitatea rezultată în vigoare proprietățile acțiunilor cu numere reale posibil numai când b−c=0 sau b+c=0 . Astfel numerele b și c sunt egale sau opuse.

Dacă presupunem că există un număr d, care este o altă rădăcină pătrată a numărului a, atunci prin raționamente similare celor deja date, se demonstrează că d este egal cu numărul b sau cu numărul c. Deci, numărul de rădăcini pătrate ale unui număr pozitiv este două, iar rădăcinile pătrate sunt numere opuse.

Pentru confortul de a lucra cu rădăcini pătrate rădăcină negativă se separă de pozitiv. În acest scop, introduce definiția rădăcinii pătrate aritmetice.

Definiție

Rădăcina pătrată aritmetică a unui număr nenegativ a este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu a .

Pentru rădăcina pătrată aritmetică a numărului a se acceptă notația. Semnul se numește semnul rădăcinii pătrate aritmetice. Se mai numește și semnul radicalului. Prin urmare, puteți auzi parțial atât „rădăcină”, cât și „radical”, ceea ce înseamnă același obiect.

Numărul de sub semnul rădăcinii pătrate aritmetice se numește numărul rădăcinii, și expresia de sub semnul rădăcinii - expresie radicală, în timp ce termenul „număr radical” este adesea înlocuit cu „expresie radicală”. De exemplu, în notație, numărul 151 este un număr radical, iar în notație, expresia a este o expresie radicală.

Când citiți, cuvântul „aritmetică” este adesea omis, de exemplu, intrarea este citită ca „rădăcină pătrată a șapte virgulă douăzeci și nouă sutimi”. Cuvântul „aritmetică” se pronunță doar atunci când vor să sublinieze că vorbim despre rădăcina pătrată pozitivă a unui număr.

În lumina notației introduse, din definiția rădăcinii pătrate aritmetice rezultă că pentru orice număr nenegativ a .

Rădăcinile pătrate ale unui număr pozitiv a se scriu folosind semnul aritmetic al rădăcinii pătrate ca și . De exemplu, rădăcinile pătrate ale lui 13 sunt și . Rădăcina pătrată aritmetică a lui zero este zero, adică . Pentru numerele negative a, nu vom atașa semnificații intrărilor până când nu studiem numere complexe. De exemplu, expresiile și sunt lipsite de sens.

Pe baza definiției rădăcinii pătrate, sunt dovedite proprietățile rădăcinilor pătrate, care sunt adesea folosite în practică.

Pentru a încheia această subsecțiune, observăm că rădăcinile pătrate ale unui număr sunt soluții de forma x 2 =a față de variabila x .

rădăcină cub de

Definiția rădăcinii cubice al numărului a este dat în mod similar cu definiția rădăcinii pătrate. Numai că se bazează pe conceptul de cub al unui număr, nu de pătrat.

Definiție

Rădăcina cubă a lui a se numește un număr al cărui cub este egal cu a.

Să aducem exemple rădăcini cubice . Pentru a face acest lucru, luați mai multe numere, de exemplu, 7 , 0 , −2/3 , și cubează-le: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Apoi, pe baza definiției rădăcinii cubice, putem spune că numărul 7 este rădăcina cubă a lui 343, 0 este rădăcina cubă a lui zero și −2/3 este rădăcina cubă a lui −8/27.

Se poate demonstra că rădăcina cubă a numărului a, spre deosebire de rădăcina pătrată, există întotdeauna și nu numai pentru a nenegativ, ci și pentru orice număr real a. Pentru a face acest lucru, puteți folosi aceeași metodă pe care am menționat-o atunci când studiem rădăcina pătrată.

Mai mult, există o singură rădăcină cubă a unui număr dat a. Să demonstrăm ultima afirmație. Pentru a face acest lucru, luați în considerare trei cazuri separat: a este un număr pozitiv, a=0 și a este un număr negativ.

Este ușor de arătat că pentru a pozitiv, rădăcina cubă a lui a nu poate fi nici negativă, nici zero. Într-adevăr, fie b rădăcina cubă a lui a , atunci prin definiție putem scrie egalitatea b 3 =a . Este clar că această egalitate nu poate fi adevărată pentru b negativ și pentru b=0, deoarece în aceste cazuri b 3 =b·b·b va fi un număr negativ sau, respectiv, zero. Deci rădăcina cubă a unui număr pozitiv a este un număr pozitiv.

Acum să presupunem că în plus față de numărul b mai există o rădăcină cubică din numărul a, să o notăm c. Atunci c 3 =a. Prin urmare, b 3 −c 3 =a−a=0 , dar b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(aceasta este formula de înmulțire prescurtată diferenta de cuburi), de unde (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Egalitatea rezultată este posibilă numai când b−c=0 sau b 2 +b c+c 2 =0 . Din prima egalitate avem b=c , iar a doua egalitate nu are soluții, deoarece partea stângă este un număr pozitiv pentru orice numere pozitive b și c ca suma a trei termeni pozitivi b 2 , b c și c 2 . Aceasta dovedește unicitatea rădăcinii cubice a unui număr pozitiv a.

Pentru a=0, singura rădăcină cubă a lui a este zero. Într-adevăr, dacă presupunem că există un număr b , care este o rădăcină cubă diferită de zero a lui zero, atunci egalitatea b 3 =0 trebuie să fie valabilă, ceea ce este posibil numai când b=0 .

Pentru negativ a , se poate argumenta similar cu cazul pentru pozitiv a . În primul rând, arătăm că rădăcina cubă a unui număr negativ nu poate fi egală nici cu un număr pozitiv, nici cu zero. În al doilea rând, presupunem că există o a doua rădăcină cubă a unui număr negativ și arătăm că va coincide în mod necesar cu primul.

Deci, există întotdeauna o rădăcină cubă a oricărui număr real dat a și numai unul.

Să dăm Definiția rădăcinii cubice aritmetice.

Definiție

Rădăcină cubă aritmetică a unui număr nenegativ a se numește un număr nenegativ al cărui cub este egal cu a.

Rădăcina cubă aritmetică a unui număr nenegativ a se notează ca , semnul se numește semnul rădăcinii cubice aritmetice, numărul 3 din această notație se numește indicator de rădăcină. Numărul de sub semnul rădăcinii este numărul rădăcinii, expresia de sub semnul rădăcinii este expresie radicală.

Deși rădăcina cubului aritmetic este definită numai pentru numere nenegative a, este, de asemenea, convenabil să folosiți intrări în care numerele negative sunt sub semnul rădăcinii cubice aritmetice. Le vom înțelege astfel: , unde a este un număr pozitiv. De exemplu, .

Vom vorbi despre proprietățile rădăcinilor cubice în articolul general proprietățile rădăcinilor.

Calcularea valorii unei rădăcini cubice se numește extragerea unei rădăcini cubice, această acțiune este discutată în articolul extragerea rădăcinilor: metode, exemple, soluții.

Pentru a încheia această subsecțiune, spunem că rădăcina cubă a lui a este o soluție de forma x 3 =a.

Rădăcina a N-a, rădăcina aritmetică a lui n

Generalizăm conceptul de rădăcină dintr-un număr - introducem determinarea rădăcinii a n-a pentru n.

Definiție

a n-a rădăcină a lui a este un număr a cărui putere a n-a este egală cu a.

Din această definiție este clar că rădăcina primului grad din numărul a este numărul a însuși, deoarece atunci când studiem gradul cu un indicator natural, am luat a 1 = a.

Mai sus, am luat în considerare cazuri speciale ale rădăcinii de gradul al n-lea pentru n=2 și n=3 - rădăcina pătrată și rădăcina cubă. Adică rădăcina pătrată este rădăcina gradului al doilea, iar rădăcina cubă este rădăcina gradului al treilea. Pentru a studia rădăcinile gradului al n-lea pentru n=4, 5, 6, ..., este convenabil să le împărțiți în două grupuri: primul grup - rădăcinile de grade pare (adică pentru n=4, 6 , 8, ...), al doilea grup - rădăcinile grade impare (adică pentru n=5, 7, 9, ... ). Acest lucru se datorează faptului că rădăcinile de grade pare sunt similare cu rădăcina pătrată, iar rădăcinile de grade impare sunt similare cu rădăcina cubică. Să ne ocupăm de ei pe rând.

Începem cu rădăcini ale căror puteri sunt numere pare 4, 6, 8, ... După cum am spus deja, ele sunt analoge cu rădăcina pătrată a lui a. Adică, rădăcina oricărui grad par din numărul a există numai pentru a nenegativ. Mai mult, dacă a=0, atunci rădăcina lui a este unică și egală cu zero, iar dacă a>0, atunci există două rădăcini de grad par din numărul a și sunt numere opuse.

Să justificăm ultima afirmație. Fie b o rădăcină de grad par (o notăm ca 2 m, unde m este ceva numar natural) de la numărul a . Să presupunem că există un număr c - o altă rădăcină de 2 m a lui a . Atunci b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Dar știm de forma b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), atunci (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Din această egalitate rezultă că b−c=0 , sau b+c=0 , sau b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Primele două egalități înseamnă că numerele b și c sunt egale sau b și c sunt opuse. Și ultima egalitate este valabilă numai pentru b=c=0, deoarece partea stângă conține o expresie care este nenegativă pentru orice b și c ca sumă de numere nenegative.

În ceea ce privește rădăcinile de gradul al n-lea pentru n impar, ele sunt similare cu rădăcina cubă. Adică, rădăcina oricărui grad impar din numărul a există pentru orice număr real a, iar pentru un număr dat a este unică.

Unicitatea rădăcinii de grad impar 2·m+1 din numărul a se dovedește prin analogie cu demonstrarea unicității rădăcinii cubice din a . Doar aici în loc de egalitate a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) o egalitate de forma b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Expresia din ultima paranteză poate fi rescrisă ca b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). De exemplu, pentru m=2 avem b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Când a și b sunt ambele pozitive sau ambele negative, produsul lor este un număr pozitiv, atunci expresia b 2 +c 2 +b·c , care se află în parantezele celui mai înalt grad de imbricare, este pozitivă ca sumă pozitivă. numerele. Acum, trecând succesiv la expresiile din paranteze ale gradelor anterioare de imbricare, ne asigurăm că acestea sunt și pozitive ca sume de numere pozitive. Ca rezultat, obținem că egalitatea b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 posibil numai când b−c=0 , adică atunci când numărul b este egal cu numărul c .

Este timpul să ne ocupăm de notarea rădăcinilor gradului al n-lea. Pentru aceasta, este dat determinarea rădăcinii aritmetice a gradului al n-lea.

Definiție

Rădăcina aritmetică a gradului al n-lea al unui număr nenegativ a se numește un număr nenegativ, a cărui putere a n-a este egală cu a.