Formula pentru suma progresiilor geometrice. Progresie geometrică

Scopul lecției: introducerea elevilor într-un nou tip de succesiune - o progresie geometrică infinit descrescătoare.
Sarcini:
formularea ideii inițiale a limitei succesiunii numerice;
cunoașterea unui alt mod de conversie a fracțiilor periodice infinite în fracții obișnuite folosind formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare;
dezvoltarea calităților intelectuale ale personalității școlarilor, cum ar fi gândirea logică, capacitatea de acțiuni evaluative, generalizare;
educaţia activităţii, asistenţa reciprocă, colectivismul, interesul pentru subiect.

Descarca:

Previzualizare:

Lecție aferentă „Progresie geometrică în scădere infinită” (algebră, clasa a 10-a)

Scopul lecției: introducerea elevilor într-un nou tip de succesiune – o progresie geometrică în scădere infinită.

Sarcini:

formularea ideii inițiale a limitei succesiunii numerice; cunoașterea unui alt mod de conversie a fracțiilor periodice infinite în fracții obișnuite folosind formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare;

dezvoltarea calităților intelectuale ale personalității școlarilor, cum ar fi gândirea logică, capacitatea de acțiuni evaluative, generalizare;

educaţia activităţii, asistenţa reciprocă, colectivismul, interesul pentru subiect.

Echipament: clasa de calculatoare, proiector, ecran.

Tip de lecție: Lecție - stăpânirea unui subiect nou.

În timpul orelor

I. Org. moment. Mesaj despre subiectul și scopul lecției.

II. Actualizarea cunoștințelor elevilor.

În clasa a IX-a ai studiat progresiile aritmetice și geometrice.

Întrebări

1. Definirea unei progresii aritmetice.

(O progresie aritmetică este o succesiune în care fiecare membru,

Începând cu al doilea, este egal cu termenul anterior, adăugat cu același număr).

2. Formula n -al-lea membru al unei progresii aritmetice

3. Formula pentru suma primelor n membrii unei progresii aritmetice.

( sau )

4. Definirea unei progresii geometrice.

(O progresie geometrică este o succesiune de numere diferite de zero,

Fiecare termen al căruia, începând cu al doilea, este egal cu termenul anterior, înmulțit cu

același număr).

5. Formula n al treilea termen al unei progresii geometrice

6. Formula pentru suma primelor n membrii unei progresii geometrice.

7. Ce formule mai știi?

(, Unde ; ;

; , )

Sarcini

1. Progresia aritmetică este dată de formula a n = 7 - 4n. Găsiți un 10. (-33)

2. Progresie aritmetică a 3 = 7 și a 5 = 1 . Găsiți un 4. (4)

3. Progresie aritmetică a 3 = 7 și a 5 = 1 . Găsiți un 17. (-35)

4. Progresie aritmetică a 3 = 7 și a 5 = 1 . Găsiți S 17 . (-187)

5. Pentru o progresie geometricăgăsiți al cincilea termen.

6. Pentru o progresie geometrică găsiți al n-lea termen.

7. Exponenţial b 3 = 8 și b 5 = 2 . Găsiți b 4 . (4)

8. Exponenţial b 3 = 8 și b 5 = 2 . Găsiți b 1 și q .

9. Exponenţial b 3 = 8 și b 5 = 2 . Găsiți S 5 . (62)

III. Explorarea unui subiect nou(prezentare demonstrativă).

Să considerăm un pătrat cu latura egală cu 1. Să desenăm un alt pătrat, a cărui latură este jumătate din primul pătrat, apoi altul, a cărui latură este jumătate din al doilea, apoi următorul și așa mai departe. De fiecare dată când latura noului pătrat este jumătate din cea precedentă.

Ca rezultat, am obținut o succesiune de laturi ale pătratelorformând o progresie geometrică cu numitor.

Și, ceea ce este foarte important, cu cât construim mai multe astfel de pătrate, cu atât latura pătratului va fi mai mică. De exemplu ,

Acestea. pe măsură ce numărul n crește, termenii progresiei se apropie de zero.

Cu ajutorul acestei figuri, mai poate fi luată în considerare o secvență.

De exemplu, succesiunea ariilor pătratelor:

Și, din nou, dacă n crește la nesfârșit, apoi zona se apropie de zero în mod arbitrar aproape.

Să luăm în considerare încă un exemplu. Un triunghi echilateral cu latura de 1 cm. Să construim următorul triunghi cu vârfuri în punctele mijlocii ale laturilor primului triunghi, conform teoremei liniei mediane a triunghiului - latura celui de-al 2-lea este egală cu jumătatea laturii primului, latura celui de-al 3-lea este jumătatea laturii lui. al 2-lea etc. Din nou obținem o succesiune de lungimi ale laturilor triunghiurilor.

La .

Dacă luăm în considerare o progresie geometrică cu numitor negativ.

Apoi, din nou, cu un număr tot mai mare n termenii progresiei se apropie de zero.

Să fim atenți la numitorii acestor secvențe. Peste tot numitorii au fost mai mici de 1 modulo.

Putem concluziona: o progresie geometrică va fi infinit descrescătoare dacă modulul numitorului său este mai mic de 1.

Lucru din față.

Definiție:

Se spune că o progresie geometrică este infinit descrescătoare dacă modulul numitorului său este mai mic de unu..

Cu ajutorul definiției, este posibil să se rezolve întrebarea dacă o progresie geometrică este în scădere infinit sau nu.

Sarcină

Este succesiunea o progresie geometrică infinit descrescătoare dacă este dată de formula:

Decizie:

Să găsim q.

; ; ; .

această progresie geometrică este infinit în scădere.

b) această succesiune nu este o progresie geometrică infinit descrescătoare.

Luați în considerare un pătrat cu latura egală cu 1. Împărțiți-l în jumătate, una dintre jumătăți din nou în jumătate și așa mai departe. ariile tuturor dreptunghiurilor rezultate formează o progresie geometrică infinit descrescătoare:

Suma ariilor tuturor dreptunghiurilor obținute în acest fel va fi egală cu aria primului pătrat și egală cu 1.

Dar în partea stângă a acestei egalități se află suma unui număr infinit de termeni.

Luați în considerare suma primilor n termeni.

Conform formulei pentru suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice, este egal cu.

Dacă n crește la nesfârșit, atunci

sau . Prin urmare, i.e. .

Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoareexistă o limită de secvență S 1 , S 2 , S 3 , …, Sn , … .

De exemplu, pentru o progresie,

noi avem

La fel de

Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoarepoate fi găsit folosind formula.

III. Reflecție și consolidare(finalizarea sarcinilor).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Rezumând.

Ce secvență v-ați întâlnit astăzi?

Definiți o progresie geometrică infinit descrescătoare.

Cum se demonstrează că o progresie geometrică este în scădere infinită?

Dați formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare.

V. Tema pentru acasă.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați un cont Google (cont) și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Toată lumea ar trebui să fie capabilă să gândească în mod consecvent, să judece în mod concludent și să respingă concluziile greșite: un fizician și un poet, un tractorist și un chimist. E.Kolman În matematică, ar trebui să ne amintim nu formulele, ci procesele gândirii. VP Ermakov Este mai ușor să găsești pătratul unui cerc decât să depășești un matematician. Augustus de Morgan Ce știință ar putea fi mai nobilă, mai admirabilă, mai utilă omenirii decât matematica? Franklin

Progresie geometrică în scădere infinită Clasa 10

eu. Progresii aritmetice și geometrice. Întrebări 1. Definirea unei progresii aritmetice. O progresie aritmetică este o succesiune în care fiecare termen, începând cu al doilea, este egal cu termenul anterior adăugat aceluiași număr. 2. Formula celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice. 3. Formula pentru suma primilor n membri ai unei progresii aritmetice. 4. Definirea unei progresii geometrice. O progresie geometrică este o succesiune de numere nenule, fiecare membru al cărora, începând cu al doilea, este egal cu membrul anterior înmulțit cu același număr 5. Formula celui de-al n-lea membru al unei progresii geometrice. 6. Formula pentru suma primilor n membri ai unei progresii geometrice.

II. Progresie aritmetică. Atribuții O progresie aritmetică este dată de formula a n = 7 – 4 n Aflați a 10 . (-33) 2. În progresia aritmetică a 3 = 7 și a 5 = 1 . Găsiți un 4. (4) 3. În progresia aritmetică a 3 = 7 și a 5 = 1 . Găsiți un 17. (-35) 4. În progresia aritmetică a 3 = 7 și a 5 = 1 . Găsiți S 17 . (-187)

II. Progresie geometrică. Sarcini 5. Pentru o progresie geometrică, găsiți al cincilea termen 6. Pentru o progresie geometrică, găsiți al n-lea termen. 7. Exponențial b 3 = 8 și b 5 = 2. Găsiți b 4 . (4) 8. În progresie geometrică b 3 = 8 și b 5 = 2 . Găsiți b 1 și q . 9. În progresie geometrică b 3 = 8 și b 5 = 2. Găsiți S 5 . (62)

definiție: Se spune că o progresie geometrică este infinit descrescătoare dacă modulul numitorului său este mai mic de unu.

Problema №1 Este succesiunea o progresie geometrică infinit descrescătoare, dacă este dată de formula: Rezolvare: a) această progresie geometrică este infinit descrescătoare. b) această succesiune nu este o progresie geometrică infinit descrescătoare.

Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare este limita șirului S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … . De exemplu, pentru o progresie, avem Deoarece suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare poate fi găsită prin formula

Finalizarea sarcinilor Aflați suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu primul termen 3, al doilea 0,3. 2. Nr. 13; nr. 14; manual, p. 138 3. Nr. 15 (1; 3); #16(1;3) #18(1;3); 4. Nr. 19; nr. 20.

Ce secvență v-ați întâlnit astăzi? Definiți o progresie geometrică infinit descrescătoare. Cum se demonstrează că o progresie geometrică este în scădere infinită? Dați formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare. Întrebări

Celebrul matematician polonez Hugo Steinghaus susține în glumă că există o lege care este formulată astfel: un matematician o va face mai bine. Și anume, dacă încredințezi două persoane, dintre care unul este matematician, să facă orice muncă pe care nu o cunosc, atunci rezultatul va fi întotdeauna următorul: matematicianul o va face mai bine. Hugo Steinghaus 14.01.1887-25.02.1972

Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice, adică fiecare termen diferă de cel anterior de q ori. (Vom presupune că q ≠ 1, altfel totul este prea banal). Este ușor de observat că formula generală a celui de-al n-lea membru al progresiei geometrice este b n = b 1 q n – 1 ; termenii cu numere b n și b m diferă de q n – m ori.

Deja în Egiptul antic, ei cunoșteau nu numai aritmetica, ci și progresia geometrică. Iată, de exemplu, o sarcină din papirusul Rhind: „Șapte fețe au șapte pisici; fiecare pisică mănâncă șapte șoareci, fiecare șoarece mănâncă șapte spice de porumb, fiecare spic poate crește șapte măsuri de orz. Cât de mari sunt numerele din această serie și suma lor?

Orez. 1. Problema de progresie geometrică a Egiptului antic

Această sarcină a fost repetată de multe ori cu diferite variații între alte popoare și în alte momente. De exemplu, în scris în secolul al XIII-lea. „Cartea abacului” de Leonardo din Pisa (Fibonacci) are o problemă în care 7 bătrâne apar în drum spre Roma (evident pelerini), fiecare având câte 7 catâri, fiecare având câte 7 pungi, fiecare dintre ele. conține 7 pâini, fiecare având 7 cuțite, fiecare fiind în 7 teci. Problema întreabă câte articole sunt.

Suma primilor n membri ai progresiei geometrice S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Această formulă poate fi demonstrată, de exemplu, după cum urmează: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Să adunăm numărul b 1 q n la S n și să obținem:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Prin urmare, S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), și obținem formula necesară.

Deja pe una dintre tăblițele de lut ale Babilonului antic, datând din secolul VI. î.Hr e., conține suma 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Adevărat, ca și într-o serie de alte cazuri, nu știm unde acest fapt era cunoscut babilonienilor. .

Creșterea rapidă a progresiei geometrice într-un număr de culturi, în special în India, este folosită în mod repetat ca simbol vizual al imensității universului. În legenda binecunoscută despre apariția șahului, conducătorul îi oferă inventatorului lor posibilitatea de a alege el însuși o recompensă și el cere un astfel de număr de boabe de grâu cât se va obține dacă unul este plasat pe prima celulă a tablei de șah. , doi pe al doilea, patru pe al treilea, opt pe al patrulea și etc., de fiecare dată când numărul este dublat. Vladyka a crezut că sunt, cel mult, câțiva saci, dar a greșit. Este ușor de observat că pentru toate cele 64 de pătrate ale tablei de șah inventatorul ar fi trebuit să primească (2 64 - 1) granule, care este exprimată ca un număr de 20 de cifre; chiar dacă s-ar semăna întreaga suprafață a Pământului, ar dura cel puțin 8 ani pentru a colecta numărul necesar de boabe. Această legendă este uneori interpretată ca o referire la posibilitățile aproape nelimitate ascunse în jocul de șah.

Faptul că acest număr are într-adevăr 20 de cifre este ușor de observat:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (un calcul mai precis dă 1,84 10 19). Dar mă întreb dacă poți afla cu ce cifră se termină acest număr?

O progresie geometrică crește dacă numitorul este mai mare decât 1 în valoare absolută sau descrește dacă este mai mic de unu. În acest din urmă caz, numărul q n poate deveni arbitrar mic pentru n suficient de mare. În timp ce un exponențial crescător crește neașteptat de repede, un exponențial descrescător scade la fel de repede.

Cu cât n este mai mare, cu atât numărul q n diferă de zero mai slab și cu atât suma de n membri ai progresiei geometrice S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) este mai apropiată de numărul S \u003d b 1 / (1 - q) . (Așa argumentat, de exemplu, F. Viet). Numărul S se numește suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare. Cu toate acestea, timp de multe secole, întrebarea care este sensul însumării progresiei geometrice ALL, cu numărul său infinit de termeni, nu a fost suficient de clară pentru matematicieni.

O progresie geometrică descrescătoare poate fi observată, de exemplu, în aporia lui Zeno „Mușcătură” și „Achile și broasca țestoasă”. În primul caz, se arată clar că întreg drumul (presupunem lungimea 1) este suma unui număr infinit de segmente 1/2, 1/4, 1/8 etc. Desigur, așa este. din punct de vedere al ideilor despre progresia geometrică infinită sumă finită. Și totuși - cum poate fi asta?

Orez. 2. Progresie cu un factor de 1/2

În aporia despre Ahile, situația este puțin mai complicată, pentru că aici numitorul progresiei nu este egal cu 1/2, ci cu un alt număr. Să fie, de exemplu, Ahile să alerge cu viteza v, broasca țestoasă se mișcă cu viteza u, iar distanța inițială dintre ele este l. Ahile va parcurge această distanță în timpul l/v, broasca țestoasă se va deplasa cu o distanță lu/v în acest timp. Când Ahile trece prin acest segment, distanța dintre el și țestoasă va deveni egală cu l (u / v) 2 etc. Se dovedește că a ajunge din urmă cu țestoasa înseamnă a găsi suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu prima. termenul l și numitorul u/v. Această sumă - segmentul pe care Ahile îl va alerga în cele din urmă până la punctul de întâlnire cu țestoasa - este egală cu l / (1 - u / v) \u003d lv / (v - u) . Dar, din nou, cum ar trebui interpretat acest rezultat și de ce are vreun sens, nu a fost foarte clar de mult.

Orez. 3. Progresie geometrică cu coeficient 2/3

Suma unei progresii geometrice a fost folosită de Arhimede pentru a determina aria unui segment de parabolă. Fie segmentul dat al parabolei mărginit de coarda AB și fie tangenta din punctul D al parabolei paralelă cu AB . Fie C mijlocul lui AB , E mijlocul lui AC , F mijlocul lui CB . Desenați drepte paralele cu DC prin punctele A , E , F , B ; fie tangenta trasata in punctul D , aceste drepte se intersecteaza in punctele K , L , M , N . Să desenăm și segmentele AD și DB. Fie ca dreapta EL să intersecteze dreapta AD în punctul G și parabola în punctul H; linia FM intersectează linia DB în punctul Q și parabola în punctul R. Conform teoriei generale a secțiunilor conice, DC este diametrul unei parabole (adică un segment paralel cu axa acesteia); ea și tangenta din punctul D pot servi ca axe de coordonate x și y, în care ecuația parabolei este scrisă ca y 2 \u003d 2px (x este distanța de la D la orice punct cu un diametru dat, y este lungimea unui segment paralel cu o tangentă dată de la acest punct de diametru până la un punct de pe parabolă în sine).

În virtutea ecuației parabolei, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , iar din moment ce DK = 2DL , atunci KA = 4LH . Deoarece KA = 2LG , LH = HG . Aria segmentului ADB al parabolei este egală cu aria triunghiului ΔADB și ariile segmentelor AHD și DRB combinate. La rândul său, aria segmentului AHD este egală cu aria triunghiului AHD și a segmentelor rămase AH și HD, cu fiecare dintre acestea putând fi efectuată aceeași operațiune - împărțită într-un triunghi (Δ) și cele două segmente rămase (), etc.:

Aria triunghiului ΔAHD este egală cu jumătate din aria triunghiului ΔALD (au o bază comună AD, iar înălțimile diferă de 2 ori), care, la rândul său, este egală cu jumătate din aria lui triunghiul ΔAKD și, prin urmare, jumătate din aria triunghiului ΔACD. Astfel, aria triunghiului ΔAHD este egală cu un sfert din aria triunghiului ΔACD. De asemenea, aria triunghiului ΔDRB este egală cu un sfert din aria triunghiului ΔDFB. Deci, ariile triunghiurilor ∆AHD și ∆DRB, luate împreună, sunt egale cu un sfert din aria triunghiului ∆ADB. Repetând această operație așa cum este aplicată segmentelor AH , HD , DR și RB, se va selecta și triunghiuri din ele, aria cărora, luate împreună, va fi de 4 ori mai mică decât aria triunghiurilor ΔAHD și ΔDRB , luate împreună și, prin urmare, de 16 ori mai puțin decât aria triunghiului ΔADB . etc:

Astfel, Arhimede a demonstrat că „fiecare segment cuprins între o linie dreaptă și o parabolă este patru treimi dintr-un triunghi, având cu el aceeași bază și înălțime egală”.

Progresie geometrică nu mai puţin important în matematică decât în ​​aritmetică. O progresie geometrică este o astfel de succesiune de numere b1, b2,..., b[n] fiecare membru următor al cărui membru se obține prin înmulțirea celui precedent cu un număr constant. Acest număr, care caracterizează și rata de creștere sau scădere a progresiei, se numește numitorul unei progresii geometrice si denota

Pentru o atribuire completă a unei progresii geometrice, pe lângă numitor, este necesară cunoașterea sau determinarea primului său termen. Pentru o valoare pozitivă a numitorului, progresia este o succesiune monotonă, iar dacă această succesiune de numere este monoton descrescătoare și monoton crescândă când. Cazul în care numitorul este egal cu unu nu este luat în considerare în practică, deoarece avem o succesiune de numere identice, iar însumarea lor nu prezintă interes practic.

Termen general al unei progresii geometrice calculate după formula

Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice determinat de formula

Să luăm în considerare soluțiile problemelor clasice de progresie geometrică. Să începem cu cel mai simplu de înțeles.

Exemplul 1. Primul termen al unei progresii geometrice este 27, iar numitorul său este 1/3. Găsiți primii șase termeni ai unei progresii geometrice.

Rezolvare: Scriem starea problemei în formular

Pentru calcule, folosim formula pentru al n-lea membru al unei progresii geometrice

Pe baza acestuia, găsim membri necunoscuți ai progresiei

După cum puteți vedea, calcularea termenilor unei progresii geometrice nu este dificilă. Progresia în sine va arăta astfel

Exemplul 2. Se dau primii trei membri ai unei progresii geometrice: 6; -12; 24. Aflați numitorul și al șaptelea termen.

Rezolvare: Calculăm numitorul progresiei geometrice pe baza definiției acesteia

Avem o progresie geometrică alternativă al cărei numitor este -2. Al șaptelea termen se calculează prin formula

Pe această sarcină este rezolvată.

Exemplul 3. O progresie geometrică este dată de doi dintre membrii săi . Găsiți al zecelea termen al progresiei.

Decizie:

Să scriem valorile date prin formule

Conform regulilor, ar fi necesar să găsim numitorul și apoi să căutăm valoarea dorită, dar pentru al zecelea termen avem

Aceeași formulă poate fi obținută pe baza unor manipulări simple cu datele de intrare. Împărțim al șaselea termen al seriei la altul, ca rezultat obținem

Dacă valoarea rezultată este înmulțită cu al șaselea termen, obținem al zecelea

Astfel, pentru astfel de probleme, cu ajutorul unor transformări simple într-un mod rapid, puteți găsi soluția potrivită.

Exemplul 4. Progresia geometrică este dată de formule recurente

Aflați numitorul progresiei geometrice și suma primilor șase termeni.

Decizie:

Scriem datele date sub forma unui sistem de ecuații

Exprimați numitorul împărțind a doua ecuație la prima

Găsiți primul termen al progresiei din prima ecuație

Calculați următorii cinci termeni pentru a afla suma progresiei geometrice

Să luăm în considerare o serie.

7 28 112 448 1792...

Este absolut clar că valoarea oricăruia dintre elementele sale este exact de patru ori mai mare decât cea precedentă. Deci această serie este o progresie.

O progresie geometrică este o succesiune infinită de numere, a cărei caracteristică principală este că următorul număr se obține din cel anterior prin înmulțirea cu un anumit număr. Aceasta este exprimată prin următoarea formulă.

a z +1 =a z q, unde z este numărul elementului selectat.

În consecință, z ∈ N.

Perioada în care o progresie geometrică este studiată la școală este clasa a 9-a. Exemplele vă vor ajuta să înțelegeți conceptul:

0.25 0.125 0.0625...

Pe baza acestei formule, numitorul progresiei poate fi găsit după cum urmează:

Nici q, nici b z nu pot fi zero. De asemenea, fiecare dintre elementele progresiei nu trebuie să fie egal cu zero.

În consecință, pentru a afla următorul număr din serie, trebuie să-l înmulțiți pe ultimul cu q.

Pentru a specifica această progresie, trebuie să specificați primul ei element și numitorul. După aceea, este posibil să găsiți oricare dintre termenii următori și suma lor.

Soiuri

În funcție de q și a 1, această progresie este împărțită în mai multe tipuri:

• Dacă atât a 1 cât și q sunt mai mari decât unu, atunci o astfel de secvență este o progresie geometrică care crește cu fiecare element următor. Un exemplu în acest sens este prezentat mai jos.

Exemplu: a 1 =3, q=2 - ambii parametri sunt mai mari decât unul.

Apoi șirul numeric poate fi scris astfel:

3 6 12 24 48 ...

• Dacă |q| mai puțin de unu, adică înmulțirea cu ea echivalează cu împărțirea, atunci o progresie cu condiții similare este o progresie geometrică descrescătoare. Un exemplu în acest sens este prezentat mai jos.

Exemplu: a 1 =6, q=1/3 - a 1 este mai mare decât unu, q este mai mic.

Apoi, succesiunea numerică poate fi scrisă după cum urmează:

6 2 2/3 ... - orice element este de 3 ori mai mare decât elementul care îl urmează.

• Variabila semnului. Dacă q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Exemplu: a 1 = -3 , q = -2 - ambii parametri sunt mai mici decât zero.

Apoi secvența poate fi scrisă astfel:

3, 6, -12, 24,...

Formule

Pentru utilizarea convenabilă a progresiilor geometrice, există multe formule:

• Formula membrului z. Vă permite să calculați elementul sub un anumit număr fără a calcula numerele anterioare.

Exemplu:q = 3, A 1 = 4. Este necesar să se calculeze al patrulea element al progresiei.

Decizie:A 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Suma primelor elemente al căror număr este z. Vă permite să calculați suma tuturor elementelor unei secvențe până laa zinclusiv.

Din moment ce (1-q) este la numitor, atunci (1 - q)≠ 0, prin urmare q nu este egal cu 1.

Notă: dacă q=1, atunci progresia ar fi o serie de un număr care se repetă la infinit.

Suma unei progresii geometrice, exemple:A 1 = 2, q= -2. Calculați S 5 .

Decizie:S 5 = 22 - calcul prin formula.

• Suma dacă |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Exemplu:A 1 = 2 , q= 0,5. Găsiți suma.

Decizie:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Unele proprietăți:

• proprietate caracteristică. Dacă apare următoarea condiție efectuat pentru oricez, atunci seria de numere dată este o progresie geometrică:

a z 2 = a z -1 · Az+1

• De asemenea, pătratul oricărui număr al unei progresii geometrice se găsește prin adăugarea pătratelor oricăror alte două numere dintr-o serie dată, dacă acestea sunt echidistante de acest element.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Undeteste distanța dintre aceste numere.

• Elementediferă în qo singura data.
• Logaritmii elementelor de progresie formează și ele o progresie, dar deja aritmetică, adică fiecare dintre ele este mai mare decât precedentul cu un anumit număr.

Exemple de probleme clasice

Pentru a înțelege mai bine ce este o progresie geometrică, exemplele cu o soluție pentru clasa a 9-a pot ajuta.

• Conditii:A 1 = 3, A 3 = 48. Găsițiq.

Soluție: fiecare element următor este mai mare decât cel anterior înq o singura data.Este necesară exprimarea unor elemente prin altele folosind un numitor.

Prin urmare,A 3 = q 2 · A 1

La înlocuireq= 4

• Conditii:A 2 = 6, A 3 = 12. Calculați S 6 .

Decizie:Pentru a face acest lucru, este suficient să găsiți q, primul element și să îl înlocuiți în formulă.

A 3 = q· A 2 , prin urmare,q= 2

a 2 = q a 1,De aceea a 1 = 3

S 6 = 189

• · A 1 = 10, q= -2. Găsiți al patrulea element al progresiei.

Soluție: pentru a face acest lucru, este suficient să exprimați al patrulea element prin primul și prin numitor.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Exemplu de aplicare:

• Clientul băncii a făcut un depozit în valoare de 10.000 de ruble, în condițiile căreia în fiecare an clientul va adăuga 6% din aceasta la suma principală. Câți bani vor fi în cont după 4 ani?

Soluție: Suma inițială este de 10 mii de ruble. Deci, la un an de la investiție, contul va avea o sumă egală cu 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

În consecință, suma din cont după un alt an va fi exprimată după cum urmează:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Adică în fiecare an suma crește de 1,06 ori. Aceasta înseamnă că pentru a găsi suma de fonduri în cont după 4 ani, este suficient să găsiți al patrulea element al progresiei, care este dat de primul element egal cu 10 mii, iar numitorul egal cu 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Exemple de sarcini pentru calcularea sumei:

În diverse probleme se folosește o progresie geometrică. Un exemplu pentru găsirea sumei poate fi dat după cum urmează:

A 1 = 4, q= 2, calculeazăS5.

Soluție: toate datele necesare pentru calcul sunt cunoscute, trebuie doar să le înlocuiți în formulă.

S 5 = 124

• A 2 = 6, A 3 = 18. Calculați suma primelor șase elemente.

Decizie:

Geom. progresie, fiecare element următor este de q ori mai mare decât cel anterior, adică pentru a calcula suma, trebuie să cunoașteți elementulA 1 și numitorulq.

A 2 · q = A 3

q = 3

În mod similar, trebuie să găsimA 1 , știindA 2 șiq.

A 1 · q = A 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Luați în considerare acum problema însumării unei progresii geometrice infinite. Să numim suma parțială a unei progresii infinite date suma primilor săi termeni. Notați suma parțială prin simbol

Pentru fiecare progresie infinită

se poate compune o succesiune (de asemenea infinită) a sumelor sale parțiale

Lasă o secvență cu creștere nelimitată să aibă o limită

În acest caz, numărul S, adică limita sumelor parțiale ale progresiei, se numește suma unei progresii infinite. Vom demonstra că o progresie geometrică descrescătoare infinită are întotdeauna o sumă și vom obține o formulă pentru această sumă (putem arăta și că pentru o progresie infinită nu are sumă, nu există).

Scriem expresia pentru suma parțială ca sumă a membrilor progresiei conform formulei (91.1) și considerăm limita sumei parțiale la

Din teorema articolului 89 se ştie că pentru o progresie descrescătoare ; prin urmare, aplicând teorema limitei diferenței, găsim

( aici se folosește și regula: factorul constant este scos din semnul limitei). Se dovedește existența și, în același timp, se obține formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare:

Egalitatea (92.1) poate fi scrisă și ca

Aici poate părea paradoxal că o valoare finită bine definită este atribuită sumei unui set infinit de termeni.

O ilustrare clară poate fi dată pentru a explica această situație. Considerăm un pătrat cu latura egală cu unu (Fig. 72). Împărțim acest pătrat printr-o linie orizontală în două părți egale și aplicăm partea superioară pe cea inferioară astfel încât să se formeze un dreptunghi cu laturile 2 și . După aceea, împărțim din nou jumătatea dreaptă a acestui dreptunghi în jumătate printr-o linie orizontală și atașăm partea superioară la cea inferioară (așa cum se arată în Fig. 72). Continuând acest proces, transformăm constant pătratul original cu o suprafață egală cu 1 în figuri de dimensiuni egale (luând forma unei scări cu trepte mai subțiri).

Cu o continuare infinită a acestui proces, întreaga zonă a pătratului se descompune într-un număr infinit de termeni - ariile dreptunghiurilor cu baze egale cu 1 și înălțimi. Ariile dreptunghiurilor formează doar o progresie descrescătoare infinită, suma sa

adică, așa cum era de așteptat, este egală cu aria pătratului.

Exemplu. Aflați sumele următoarelor progresii infinite:

Rezolvare, a) Observăm că această progresie Prin urmare, prin formula (92.2) găsim

b) Aici înseamnă că prin aceeași formulă (92.2) avem

c) Constatăm că această progresie Prin urmare, această progresie nu are sumă.

În secțiunea 5, a fost prezentată aplicarea formulei pentru suma termenilor unei progresii infinit descrescătoare la conversia unei fracții zecimale periodice într-o fracție obișnuită.

Exerciții

1. Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare este 3/5, iar suma primilor săi patru termeni este 13/27. Găsiți primul termen și numitorul progresiei.

2. Găsiți patru numere care formează o progresie geometrică alternativă, în care al doilea termen este mai mic decât primul cu 35, iar al treilea este mai mare decât al patrulea cu 560.

3. Arată ce se întâmplă dacă secvența

formează o progresie geometrică infinit descrescătoare, apoi succesiunea

pentru orice formă o progresie geometrică infinit descrescătoare. Este valabilă această afirmație pentru

Deduceți o formulă pentru produsul termenilor unei progresii geometrice.