Și raportul de aur. Raport de aur - matematică - geometrie sacră - știință - catalog de articole - trandafir al lumii

Fiecare persoană care întâlnește geometria obiectelor în spațiu cunoaște bine metoda secțiunii de aur. Este folosit în artă, design interior și arhitectură. Chiar și în ultimul secol, raportul de aur s-a dovedit a fi atât de popular, încât acum mulți susținători ai viziunii mistice asupra lumii i-au dat un alt nume - regula armonică universală. Caracteristicile acestei metode merită luate în considerare mai detaliat. Acest lucru vă va ajuta să aflați de ce este interesat de mai multe domenii de activitate simultan - artă, arhitectură, design.

Esența proporției universale

Principiul secțiunii de aur este doar o dependență de numere. Cu toate acestea, mulți sunt părtinitori față de ea, atribuind unele puteri mistice acestui fenomen. Motivul constă în proprietățile neobișnuite ale regulii:

• Multe obiecte vii au proporții ale trunchiului și membrelor care sunt apropiate de indicațiile raportului de aur.
• Dependența 1,62 sau 0,63 determină raporturile de mărime numai pentru ființe vii. Obiectele legate de natura neînsuflețită corespund foarte rar sensului regulii armonice.
• Proporțiile de aur ale structurii corpului ființelor vii sunt o condiție esențială pentru supraviețuirea multor specii biologice.

Raportul de aur poate fi găsit în structura corpului diferitelor animale, trunchiuri de copaci și rădăcini de arbuști. Susținătorii universalității acestui principiu încearcă să demonstreze că sensul său este vital pentru reprezentanții lumii vii.

Puteți explica metoda secțiunii de aur folosind imaginea unui ou de găină. Raportul segmentelor din punctele cochiliei, la fel de îndepărtate de centrul de greutate, este egal cu raportul de aur. Cel mai important indicator pentru supraviețuirea păsărilor este forma oului și nu rezistența cochiliei.

Important! Raportul de aur este calculat pe baza măsurătorilor multor obiecte vii.

Originea raportului de aur

Matematicienii Greciei antice știau despre regula universală. A fost folosit de Pitagora și Euclid. În celebra capodopera arhitecturală - piramida lui Keops, raportul dintre dimensiunile părții principale și lungimea laturilor, precum și basoreliefurile și detaliile decorative, corespund regulii armonice.

Metoda secțiunii de aur a fost adoptată nu numai de arhitecți, ci și de artiști. Misterul proporției armonice a fost considerat unul dintre cele mai mari mistere.

Primul care a documentat proporția geometrică universală a fost călugărul franciscan Luca Pacioli. Abilitatea lui în matematică era excelentă. Secțiunea de aur a câștigat o largă recunoaștere după publicarea rezultatelor lui Zeising privind secțiunea de aur. A studiat proporțiile corpului uman, sculpturile antice, plantele.

Cum a fost calculat proporția de aur?

Pentru a înțelege care este raportul de aur, o explicație bazată pe lungimile segmentelor vă va ajuta. De exemplu, în interiorul unuia mare sunt mai multe mici. Apoi lungimile segmentelor mici sunt legate de lungimea totală a segmentului mare ca 0,62. O astfel de definiție ajută la a afla în câte părți poate fi împărțită o anumită linie, astfel încât să respecte regula armonică. Un alt avantaj al folosirii acestei metode este că puteți afla care ar trebui să fie raportul dintre cel mai mare segment și lungimea întregului obiect. Acest raport este 1,62.

Astfel de date pot fi reprezentate ca proporții ale obiectelor măsurate. La început au fost căutați, selectând empiric. Cu toate acestea, acum sunt cunoscute rapoartele exacte, așa că nu va fi dificil să construiți un obiect în conformitate cu acestea. Raportul de aur se găsește în următoarele moduri:

• Construiți un triunghi dreptunghic. Împărțiți una dintre laturile sale, apoi desenați perpendiculare cu arce secante. La efectuarea calculelor, este necesar să construiți o perpendiculară de la un capăt al segmentului, egală cu ½ din lungimea acestuia. Apoi se completează un triunghi dreptunghic. Dacă marcați un punct pe ipotenuză, care va arăta lungimea segmentului perpendicular, atunci o rază egală cu restul dreptei va tăia baza în două jumătăți. Liniile rezultate vor fi legate între ele în funcție de raportul de aur.
• Valorile geometrice universale se obțin și în alt mod - prin construirea pentagramei Durer. Ea este o stea care este plasată într-un cerc. Conține 4 segmente, ale căror lungimi corespund regulii secțiunii de aur.
• În arhitectură, proporția armonică este utilizată într-o formă modificată. Pentru a face acest lucru, un triunghi dreptunghic trebuie împărțit de-a lungul ipotenuzei.

Important! Față de conceptul clasic al metodei raportului de aur, varianta arhitectului are un raport de 44:56.

Dacă în interpretarea tradițională a regulii armonice pentru grafică, aceasta a fost calculată ca 37:63, atunci 44:56 a fost folosit mai des pentru structurile arhitecturale. Acest lucru se datorează nevoii de a construi clădiri înalte.

Secretul raportului de aur

Dacă în cazul obiectelor vii raportul de aur, care se manifestă în proporțiile corpului oamenilor și animalelor, se poate explica prin nevoia de adaptare la mediu, atunci folosirea regulii proporțiilor optime în secolul al XII-lea. a construi case era nou.

Partenonul, păstrat din timpul Greciei Antice, a fost ridicat folosind metoda secțiunii de aur. Multe castele ale nobililor din Evul Mediu au fost create cu parametri corespunzători regulii armonice.

Raportul de aur în arhitectură

Multe clădiri din antichitate care au supraviețuit până în zilele noastre servesc drept confirmare că arhitecții din Evul Mediu erau familiarizați cu regula armonică. Se vede foarte clar dorința de a menține o proporție armonioasă în construcția de biserici, clădiri publice semnificative, reședințe ale persoanelor regale.

De exemplu, Catedrala Notre Dame a fost construită în așa fel încât multe dintre secțiunile sale corespund regulii secțiunii de aur. Puteți găsi multe lucrări de arhitectură din secolul al XVIII-lea care au fost construite în conformitate cu această regulă. Regula a fost aplicată și de mulți arhitecți ruși. Printre aceștia s-a numărat și M. Kazakov, care a creat proiecte pentru moșii și clădiri rezidențiale. El a proiectat clădirea Senatului și spitalul Golitsyn.

Desigur, casele cu un astfel de raport de părți au fost ridicate chiar înainte de descoperirea regulii secțiunii de aur. De exemplu, astfel de clădiri includ Biserica Mijlocirii de pe Nerl. Frumusețea clădirii devine și mai misterioasă, în condițiile în care clădirea Bisericii de Mijlocire a fost ridicată în secolul al XVIII-lea. Cu toate acestea, clădirea și-a căpătat aspectul modern după restaurare.

În scrierile despre raportul de aur, se menționează că în arhitectură percepția obiectelor depinde de cine observă. Proporțiile formate folosind secțiunea de aur oferă cel mai relaxat raport al părților structurii unul față de celălalt.

Un reprezentant izbitor al unui număr de clădiri care respectă regula universală este Partenonul, un monument de arhitectură ridicat în secolul al V-lea î.Hr. e. Partenonul este dispus cu opt coloane pe fațadele mai mici și șaptesprezece pe cele mai mari. Templul a fost construit din marmură nobilă. Din acest motiv, utilizarea coloranților este limitată. Înălțimea clădirii se referă la lungimea sa 0,618. Dacă împărțiți Partenonul în funcție de proporțiile secțiunii de aur, veți obține anumite margini ale fațadei.

Toate aceste structuri au un lucru în comun - armonia combinației de forme și calitatea excelentă a construcției. Acest lucru se datorează utilizării regulii armonice.

Importanța raportului de aur pentru o persoană

Arhitectura clădirilor antice și a caselor medievale este destul de interesantă pentru designerii moderni. Acest lucru se datorează unor astfel de motive:

• Datorită designului original al caselor, puteți preveni clișeele enervante. Fiecare astfel de clădire este o capodopera arhitecturală.
• Aplicarea în masă a regulii pentru decorarea sculpturilor și statuilor.
• Datorită respectării proporțiilor armonice, privirea este atrasă de detalii mai importante.

Important! Atunci când au creat un proiect de construcție și au creat un aspect exterior, arhitecții Evului Mediu au folosit proporții universale, bazate pe legile percepției umane.

Astăzi, psihologii au ajuns la concluzia că principiul raportului de aur nu este altceva decât o reacție umană la un anumit raport de dimensiuni și forme. Într-un experiment, unui grup de subiecți li s-a cerut să plieze o foaie de hârtie în așa fel încât părțile laterale să fie în proporții optime. În 85 de rezultate din 100, oamenii au împăturit foaia aproape exact după regula armonică.

Potrivit oamenilor de știință moderni, indicatorii secțiunii de aur sunt mai mult în domeniul psihologiei decât caracterizează legile lumii fizice. Acest lucru explică de ce există un astfel de interes față de el din partea pașilor. Cu toate acestea, atunci când construiește obiecte conform acestei reguli, o persoană le percepe mai confortabil.

Folosind raportul de aur în design

Principiile utilizării unei proporții universale sunt din ce în ce mai utilizate în construcția de case private. O atenție deosebită se acordă respectării proporțiilor optime ale structurii. Se acordă multă atenție distribuției corecte a atenției în interiorul casei.

Interpretarea modernă a secțiunii de aur nu se mai referă doar la regulile de geometrie și formă. Astăzi, principiul proporțiilor armonice se supune nu numai dimensiunilor detaliilor fațadei, suprafeței camerelor sau lungimii frontoanelor, ci și paletei de culori folosite la crearea interiorului.

Este mult mai ușor să construiești o structură armonioasă pe o bază modulară. Multe departamente și încăperi în acest caz sunt realizate ca blocuri separate. Sunt proiectate în strictă conformitate cu regula armonică. A ridica o clădire ca un set de module separate este mult mai ușor decât a crea o singură cutie.

Multe firme implicate în construcția de case de țară, atunci când creează un proiect, urmează regula armonică. Acest lucru permite clienților să dea impresia că structura clădirii a fost elaborată în detaliu. Astfel de case sunt de obicei descrise ca fiind cele mai armonioase și confortabile de utilizat. Cu alegerea optimă a zonelor camerei, rezidenții se simt calm din punct de vedere psihologic.

Dacă casa a fost construită fără a ține cont de proporțiile armonice, puteți crea un aspect care va fi aproape de 1: 1,61 în ceea ce privește raportul dimensiunilor pereților. Pentru a face acest lucru, în camere sunt instalate pereți despărțitori suplimentari sau sunt rearanjate piese de mobilier.

În mod similar, dimensiunile ușilor și ferestrelor sunt modificate astfel încât deschiderea să aibă o lățime de 1,61 ori mai mică decât valoarea înălțimii.

Mai greu de ales culorile. În acest caz, puteți observa valoarea simplificată a secțiunii de aur - 2/3. Fundalul de culoare principală ar trebui să ocupe 60% din spațiul camerei. Umbra de umbrire ocupă 30% din încăpere. Suprafața rămasă este pictată cu tonuri apropiate unele de altele, sporind percepția culorii selectate.

Pereții interiori ai camerelor sunt despărțiți de o bandă orizontală. Este situat la 70 cm de podea. Înălțimea mobilierului trebuie să fie în armonie cu înălțimea pereților. Această regulă se aplică și distribuției lungimii. De exemplu, o canapea ar trebui să aibă dimensiuni care să fie de cel puțin 2/3 din lungimea peretelui. Zona camerei, care este ocupată de piese de mobilier, ar trebui să aibă, de asemenea, o anumită valoare. Se referă la suprafața totală a întregii încăperi ca 1:1,61.

Raportul de aur este greu de aplicat în practică din cauza prezenței unui singur număr. De aceea. Proiectez clădiri armonioase, folosesc o serie de numere Fibonacci. Aceasta oferă o varietate de opțiuni pentru formele și proporțiile detaliilor clădirii. O serie de numere Fibonacci se mai numește și numere de aur. Toate valorile corespund strict unei anumite dependențe matematice.

Pe lângă seria Fibonacci, arhitectura modernă folosește și o altă metodă de proiectare - principiul stabilit de arhitectul francez Le Corbusier. Atunci când alegeți această metodă, unitatea de măsură de pornire este înălțimea proprietarului casei. Pe baza acestui indicator se calculează dimensiunile clădirii și ale interiorului. Datorită acestei abordări, casa nu este doar armonioasă, ci dobândește și individualitate.

Orice interior va căpăta un aspect mai complet dacă folosiți cornișe în el. Când utilizați proporții universale, puteți calcula dimensiunea acesteia. Indicatoarele optime sunt 22,5, 14 și 8,5 cm.Străinii trebuie instalate conform regulilor secțiunii de aur. Partea mică a elementului decorativ ar trebui să fie legată de partea mai mare, așa cum este cu valorile combinate ale celor două laturi. Dacă latura mare este egală cu 14 cm, atunci cea mică ar trebui să fie de 8,5 cm.

Puteți oferi confort camerei împărțind suprafețele pereților cu ajutorul oglinzilor din gips. Dacă peretele este împărțit de o bordură, înălțimea benzii de cornișă trebuie scăzută din partea mai mare rămasă a peretelui. Pentru a crea o oglindă de lungime optimă, aceeași distanță ar trebui să fie retrasă față de bordură și cornișă.

Concluzie

Casele construite după principiul secțiunii de aur se dovedesc cu adevărat a fi foarte confortabile. Cu toate acestea, prețul construirii unor astfel de clădiri este destul de mare, deoarece costul materialelor de construcție crește cu 70% din cauza dimensiunilor atipice. Această abordare nu este deloc nouă, deoarece majoritatea caselor din secolul trecut au fost create pe baza parametrilor proprietarilor.

Datorită utilizării metodei secțiunii de aur în construcție și proiectare, clădirile sunt nu numai confortabile, ci și durabile. Arată armonioase și atractive. Interiorul este, de asemenea, decorat după o proporție universală. Acest lucru vă permite să utilizați cu înțelepciune spațiul.

În astfel de camere, o persoană se simte cât se poate de confortabil. Puteți construi singur o casă folosind principiul secțiunii de aur. Principalul lucru este să calculați sarcinile asupra elementelor structurii și să alegeți materialele potrivite.

Metoda secțiunii de aur este folosită în designul interior, plasând elemente decorative de anumite dimensiuni în cameră. Acest lucru vă permite să oferiți confort camerei. Soluțiile de culoare sunt, de asemenea, alese în conformitate cu proporțiile armonice universale.

RATIA DE AUR

1. Introducere 2 . Raport de aur - proporție armonică
3 . Al doilea raport de aur
4 . Zo triunghi de lotus (pentagramă)
5 . Istoria raportului de aur 6 . Raport de aur și simetrie 7. Seria Fibonacci 8 . Raportul de aur generalizat 9 . Principiile formării în natură 1 0 . Corpul uman și raportul de aur 1 1 . Raportul de aur în sculptură 1 2 . Raportul de aur în arhitectură 1 3 . Raportul de aur în muzică 1 4 . Raportul de aur în poezie 1 5 . Raportul de aur în fonturi și articole de uz casnic 1 6 . Parametrii fizici optimi ai mediului 1 7 . Raportul de aur în pictură 1 8 . Raportul de aur și percepția imaginii 19. Raportul de aur în fotografii 2 0 . Raportul de aur și spațiul 2 1 . Concluzia 2 2 . Bibliografie
INTRODUCERE Din cele mai vechi timpuri, oamenii au fost îngrijorați de întrebarea dacă lucruri atât de evazive precum frumusețea și armonia sunt supuse unor calcule matematice.. Desigur, toate legile frumuseții nu pot fi cuprinse în câteva formule, dar studiind matematica, putem descoperi câțiva termeni ai frumuseții.- ratia de aur. Sarcina noastră este să aflăm care este proporția de aur și să stabilim unde umanitatea a găsit utilizarea aurului. a sectiunea. Probabil ați acordat atenție faptului că noi tratăm diferit obiectele și fenomenele din realitatea înconjurătoare. Dezordinea, lipsa de formă, disproporția sunt percepute de noi ca fiind urâte și produc o impresie respingătoare. Iar obiectele și fenomenele care se caracterizează prin măsură, oportunitate și armonie sunt percepute ca frumoase și ne provoacă un sentiment de admirație, bucurie, înveselire. O persoană în activitatea sa întâlnește constant obiecte care folosesc proporția de aur ca bază.Sunt lucruri care nu pot fi explicate. Așa că vii la o bancă goală și te așezi pe ea. Unde vei sta - la mijloc? Sau poate chiar de la margine? Nu, cel mai probabil nu unul sau altul. Te vei așeza astfel încât raportul dintre o parte a băncii și alta, în raport cu corpul tău, să fie de aproximativ 1,62. Un lucru simplu, absolut instinctiv... Așezat pe o bancă, ai produs un „raport de aur”. Raportul de aur era cunoscut în Egiptul antic și Babilon, în India și China. Marele Pitagora a creat o școală secretă în care a fost studiată esența mistică a „secțiunii de aur”. Euclid l-a aplicat, creându-și geometria, iar Phidias - sculpturile sale nemuritoare. Platon spunea că universul este aranjat conform „secțiunii de aur”. Și Aristotel a găsit corespondența „secțiunii de aur” cu legea etică. Cea mai înaltă armonie a „secțiunii de aur” va fi predicată de Leonardo da Vinci și Michelangelo, pentru că frumusețea și „secțiunea de aur” sunt una și aceeași. Iar misticii creștini vor desena pe pereții mănăstirilor lor pentagrame ale „secțiunii de aur”, scăpând de Diavol. În același timp, oamenii de știință - de la Pacho l și înaintea lui Einstein - vor căuta, dar nu vor găsi niciodată semnificația lui exactă. O serie fără sfârșit după virgulă - 1,6180339887... Un lucru ciudat, misterios, inexplicabil: această proporție divină însoțește mistic toate viețuitoarele. Natura neînsuflețită nu știe ce este „secțiunea de aur”. Dar cu siguranță veți vedea această proporție în curbele scoicilor și sub formă de flori și sub formă de gândaci și într-un corp uman frumos. Tot ceea ce este viu și totul frumos - totul se supune legii divine, al cărei nume este „secțiunea de aur”. Deci, ce este „secțiunea de aur”?.. Care este această combinație ideală, divină? Poate e legea frumuseții? Sau este încă un secret mistic? Fenomen științific sau principiu etic? Răspunsul este încă necunoscut. Mai precis - nu, se știe. „Secțiunea de aur” este atât aceea, cât și alta, și a treia. Numai că nu separat, ci în același timp... Și acesta este adevăratul lui mister, marele lui secret. Probabil că este dificil să găsești o măsură fiabilă pentru o evaluare obiectivă a frumuseții în sine, iar logica singură nu va funcționa aici. Cu toate acestea, experiența celor pentru care căutarea frumosului a fost însuși sensul vieții, care au făcut din aceasta profesia lor, va ajuta aici. În primul rând, aceștia sunt oameni de artă, așa cum îi numim noi: artiști, arhitecți, sculptori, muzicieni, scriitori. Dar aceștia sunt și oameni de științe exacte, - în primul rând, matematicieni. Având încredere în ochi mai mult decât în ​​alte organe de simț, o persoană a învățat în primul rând să distingă obiectele din jurul său după formă. Interesul pentru forma unui obiect poate fi dictat de necesitatea vitală sau poate fi cauzat de frumusețea formei. Forma, care se bazează pe o combinație de simetrie și raportul de aur, contribuie la cea mai bună percepție vizuală și la apariția unui sentiment de frumusețe și armonie. Întregul constă întotdeauna din părți, părți de diferite dimensiuni sunt într-o anumită relație între ele și cu întregul.Principiul secțiunii de aur este cea mai înaltă manifestare a perfecțiunii structurale și funcționale a întregului și a părților sale în artă, știință, tehnologie și natură. SECȚIUNEA DE AUR - PROPORȚIA ARMONICĂ În matematică, proporția este egalitatea a două rapoarte: a: b = c: d. Segmentul de linie AB poate fi împărțit în două părți în următoarele moduri: -- în două părți egale - AB: AC = AB: BC; -- în două părți inegale în orice raport (astfel de părți nu formează proporții); -- astfel, când AB: AC = AC: BC. Ultima este diviziunea de aur. Secțiunea de aur este o astfel de împărțire proporțională a unui segment în părți inegale, în care întregul segment se raportează la partea mai mare în același mod în care partea mai mare în sine se raportează la cea mai mică; sau cu alte cuvinte, segmentul mai mic este legat de cel mai mare, așa cum cel mai mare este legat de tot a: b = b: c sau c: b = b: a. Cunoașterea practică cu raportul de aur începe cu împărțirea unui segment de linie dreaptă în raportul de aur folosind o busolă și o riglă. Din punctul B se restabilește o perpendiculară egală cu jumătatea AB. Punctul rezultat C este legat printr-o dreaptă de punctul A. Pe linia rezultată este trasat un segment BC, care se termină cu punctul D. Segmentul AD este transferat pe linia dreaptă AB. Punctul rezultat E împarte segmentul AB în raportul raportului de aur. Segmentele raportului de aur sunt exprimate ca o fracție infinită AE \u003d 0,618 ..., dacă AB este luată ca unitate, BE \u003d 0,382 ... În scopuri practice, valorile aproximative \u200b\u200de 0,62 și 0,38 sunt folosit des. Dacă segmentul AB este luat ca 100 de părți, atunci cea mai mare parte a segmentului este de 62, iar cea mai mică este de 38 de părți. Proprietățile secțiunii de aur sunt descrise de ecuația: x2 - x - 1 = 0. Rezolvarea acestei ecuații:

Proprietățile raportului de aur au creat în jurul acestui număr o aură romantică de mister și aproape o generație mistică. De exemplu, într-o stea obișnuită cu cinci colțuri, fiecare segment este împărțit de un segment care îl intersectează în raportul de aur (adică, raportul dintre segmentul albastru și verde, roșu cu albastru, verde cu violet este 1,618).)
A DOUA SECȚIUNEA DE AUR Revista bulgară „Patria” a publicat un articol al lui Tsvetan Tsekov-Karandash „Despre a doua secțiune de aur”, care decurge din secțiunea principală și oferă un alt raport de 44: 56. Această proporție se găsește în arhitectură. Împărțirea se realizează după cum urmează. Segmentul AB este împărțit proporțional cu secțiunea de aur. Din punctul C, CD-ul perpendicular este restaurat. Raza AB este punctul D, care este legat printr-o linie de punctul A. Unghiul drept ACD este bisectat. Se trasează o dreaptă din punctul C până la intersecția cu dreapta AD. Punctul E împarte segmentul AD în raport de 56:44. Figura arată poziția liniei celei de-a doua secțiuni de aur. Este situat la mijloc între linia de secțiune de aur și linia de mijloc a dreptunghiului. TRIUNGHIUL DE AUR Pentru a găsi segmente ale raportului de aur al rândurilor ascendente și descendente, puteți folosi pentagrama. Pentru a construi o pentagramă, trebuie să construiți un pentagon obișnuit. Metoda construcției sale a fost dezvoltată de pictorul și graficianul german Albrecht Dürer. Fie O centrul cercului, A un punct al cercului și E punctul de mijloc al segmentului OA. Perpendiculara pe raza OA, ridicată în punctul O, se intersectează cu cercul în punctul D. Cu ajutorul unui compas, marcați pe diametru segmentul CE = ED. Lungimea unei laturi a unui pentagon regulat înscris într-un cerc este DC. Lăsăm deoparte segmentele DC pe cerc și obținem cinci puncte pentru desenarea unui pentagon obișnuit. Conectăm colțurile pentagonului printr-o diagonală și obținem o pentagramă. Toate diagonalele pentagonului se împart reciproc în segmente conectate prin raportul de aur. Fiecare capăt al stelei pentagonale este un triunghi de aur. Laturile sale formează un unghi de 36° în partea de sus, iar baza așezată lateral îl împarte proporțional cu secțiunea aurie. Desenați linia dreaptă AB. Din punctul A întindem pe el un segment O de mărime arbitrară de trei ori, prin punctul rezultat P trasăm o perpendiculară pe dreapta AB, pe perpendiculară pe dreapta și stânga punctului P amânăm segmentele O. Rezultatul rezultat punctele d și d1 sunt legate prin drepte cu punctul A. Punem segmentul dd1 pe linia Ad1, obținând punctul C. Ea a împărțit dreapta Ad1 proporțional cu raportul de aur. Liniile Ad1 și dd1 sunt folosite pentru a construi un dreptunghi „de aur”. ISTORIA SECȚIUNII DE AUR
Este în general acceptat că conceptul de diviziune de aur a fost introdus în uz științific de către Pitagora, un filozof și matematician grec antic. Există o presupunere că Pitagora și-a împrumutat cunoștințele despre diviziunea de aur de la egipteni și babilonieni. Într-adevăr, proporțiile piramidei lui Keops, templele, obiectele de uz casnic și decorațiunile din mormântul lui Tutankhamon indică faptul că meșterii egipteni au folosit rapoartele diviziunii de aur atunci când le-au creat. Arhitectul francez Le Corbusier a descoperit că în relieful din templul faraonului Seti I din Abydos și în relieful care îl înfățișează pe faraonul Ramses, proporțiile figurilor corespund valorilor diviziunii de aur. Arhitectul Khesira, înfățișat pe un relief al unei plăci de lemn din mormântul numelui său, ține în mâini instrumente de măsură, în care sunt fixate proporțiile diviziunii de aur. Grecii erau geometri pricepuți. Chiar și aritmetica a fost predată copiilor lor cu ajutorul figurilor geometrice. Pătratul lui Pitagora și diagonala acestui pătrat au stat la baza construirii dreptunghiurilor dinamice. Platon știa și despre diviziunea de aur. Pitagoreeanul Timeu în dialogul cu același nume al lui Platon spune: „Este imposibil ca două lucruri să fie perfect legate fără un al treilea, deoarece între ele trebuie să apară un lucru care să le țină împreună. Acest lucru se poate face cel mai bine prin proporție, deoarece dacă trei numere au proprietatea că media la fel este cu cel mai mic cu cât este mai mare cu medie și, invers, cu atât mai mic este cu medie, așa cum media este cu cel mai mare, atunci ultimul și primul vor fi mijlocul și mijlocul primul şi ultimul. deoarece va fi la fel, va face un întreg." Platon construiește lumea pământească folosind triunghiuri de două tipuri: isoscel și non-isoscel. El consideră că cel mai frumos triunghi dreptunghic este unul în care ipotenuza este de două ori mai mică dintre catete (un astfel de dreptunghi este jumătate echilateral, figura principală a babilonienilor, are un raport de 1: 3). 1/2 , care diferă de proporția de aur cu aproximativ 1/25 și este numit de Thymerding „rivalul raportului de aur”). Folosind triunghiuri, Platon construiește patru poliedre regulate, asociindu-le cu cele patru elemente pământești (pământ, apă, aer și foc). Și numai ultima dintre cele cinci poliedre regulate existente - dodecaedrul, toate cele douăsprezece fețe ale cărora sunt pentagoane regulate, pretinde a fi o imagine simbolică a lumii cerești.

Icosaedru și dodecaedru Onoarea descoperirii dodecaedrului (sau, după cum se presupunea, Universului însuși, această chintesență a celor patru elemente, simbolizată, respectiv, prin tetraedru, octaedru, icosaedru și cub) îi aparține lui Hippasus, care a murit ulterior într-un naufragiu. Această figură surprinde într-adevăr multe relații ale secțiunii de aur, așa că acestuia din urmă i s-a atribuit rolul principal în lumea cerească, asupra căruia a fost insistat ulterior de către fratele minor Luca Pacioli. Pe fațada templului antic grecesc al Partenonului există proporții de aur. În timpul săpăturilor sale au fost găsite busole, care au fost folosite de arhitecții și sculptorii lumii antice. Busola pompeiană (Muzeul din Napoli) conține și proporțiile diviziunii de aur. În literatura antică care a ajuns până la noi, diviziunea de aur a fost menționată pentru prima dată în „Începuturile” lui Euclid. În cartea a II-a a „Începuturilor” este dată construcția geometrică a diviziunii de aur. După Euclid, Hypsicles (secolul al II-lea î.Hr.), Pappus (secolul al III-lea d.Hr.) și alții au studiat diviziunea de aur.În Europa medievală s-au familiarizat cu diviziunea de aur din traducerile arabe ale „Începuturilor” lui Euclid. Traducatorul J. Campano din Navarra (sec. III) a comentat traducerea. Secretele diviziei de aur erau păzite cu gelozie, păstrate în strict secret. Erau cunoscuți doar de inițiați. În Evul Mediu, pentagrama a fost demonizată (cum, într-adevăr, mult ceea ce era considerat divin în păgânismul antic) și și-a găsit adăpost în științele oculte. Cu toate acestea, Renașterea scoate din nou la lumină atât pentagrama, cât și raportul de aur. Deci, o schemă care descrie structura corpului uman a câștigat o largă circulație în acea perioadă de afirmare a umanismului: Leonardo da Vinci a recurs și el în mod repetat la o astfel de imagine, reproducând în esență o pentagramă. Interpretarea sa: corpul uman are perfecțiune divină, deoarece proporțiile inerente acestuia sunt aceleași ca și în figura cerească principală. Leonardo da Vinci, artist și om de știință, a văzut că artiștii italieni aveau multă experiență empirică, dar puține cunoștințe. A conceput și a început să scrie o carte de geometrie, dar în acel moment a apărut o carte a călugărului Luca Pacioli, iar Leonardo a abandonat ideea lui. Potrivit contemporanilor și istoricilor științei, Luca Pacioli a fost un adevărat luminat, cel mai mare matematician din Italia între Fibonacci și Galileo. Luca Pacioli a fost elevul artistului Piero della Francesca, care a scris două cărți, dintre care una se numea Despre perspectiva în pictură. El este considerat creatorul geometriei descriptive.

Luca Pacioli era bine conștient de importanța științei pentru artă. În 1496, la invitația ducelui de Moreau, a venit la Milano, unde a ținut prelegeri despre matematică. Leonardo da Vinci a lucrat și la curtea Moro din Milano la acea vreme. În 1509, cartea lui Luca Pacioli „Despre proporția divină” (De divina proportione, 1497, apărută la Veneția în 1509) a fost publicată la Veneția cu ilustrații strălucit executate, motiv pentru care se crede că au fost realizate de Leonardo da Vinci. Cartea a fost un imn entuziast la raportul de aur. Există o singură astfel de proporție, iar unicitatea este cel mai înalt atribut al lui Dumnezeu. Ea întruchipează Sfânta Treime. Această proporție nu poate fi exprimată printr-un număr accesibil, rămâne ascunsă și secretă și este numită irațională de matematicieni înșiși (deci Dumnezeu nu poate fi nici definit și nici explicat prin cuvinte). Dumnezeu nu schimbă niciodată și reprezintă totul în totul și totul în fiecare dintre părțile sale, așa că raportul de aur pentru orice cantitate continuă și definită (indiferent dacă este mare sau mică) este același, nu poate fi schimbat sau perceput în alt mod de minte. Dumnezeu a chemat virtutea cerească, altfel numită a cincea substanță, cu ajutorul ei alte patru corpuri simple (patru elemente - pământ, apă, aer, foc), și pe baza lor a chemat la ființă orice alt lucru din natură; deci proporția noastră sacră, conform lui Platon în Timeu, dă ființă formală cerului însuși, căci este atribuită formei unui corp numit dodecaedru, care nu poate fi construit fără secțiunea de aur. Acestea sunt argumentele lui Pacioli.
Leonardo da Vinci a acordat multă atenție studiului diviziei de aur. A realizat secțiuni dintr-un corp stereometric format din pentagoane regulate și de fiecare dată a obținut dreptunghiuri cu rapoarte de aspect în diviziune de aur. Prin urmare, a dat acestei diviziuni numele secțiunii de aur. Deci este încă cel mai popular. În același timp, în nordul Europei, în Germania, Albrecht Dürer lucra la aceleași probleme. El schițează o introducere în prima schiță a unui tratat despre proporții. Durer scrie. "Este necesar ca cel care știe să o predea altora care au nevoie de ea. Asta mi-am propus să fac." Judecând după una dintre scrisorile lui Dürer, s-a întâlnit cu Luca Pacioli în timpul șederii sale în Italia. Albrecht Dürer dezvoltă în detaliu teoria proporțiilor corpului uman. Dürer a atribuit un loc important în sistemul său de rapoarte secțiunii de aur. Înălțimea unei persoane este împărțită în proporții de aur de linia centurii, precum și de linia trasă prin vârfurile degetelor mijlocii ale mâinilor coborâte, partea inferioară a feței - de la gură etc. Cunoscut busolă proporțională Dürer. Mare astronom al secolului al XVI-lea Johannes Kepler a numit raportul de aur una dintre comorile geometriei. El este primul care atrage atenția asupra semnificației raportului de aur pentru botanică (creșterea și structura plantelor). Kepler a numit raportul de aur continuând în sine: „Este aranjat în așa fel”, a scris el, „că cei doi termeni juniori ai acestei proporții infinite se adună la al treilea termen, iar oricare doi ultimi termeni, dacă sunt adunați împreună, dau termenul următor și aceeași proporție rămâne până la infinit”. Construirea unei serii de segmente ale raportului de aur se poate face atât în ​​sensul creșterii (serie crescătoare), cât și pe direcția scăderii (serie descrescătoare). Dacă pe o linie dreaptă de lungime arbitrară, punem deoparte segmentul m, apoi punem deoparte segmentul M. Pe baza acestor două segmente, construim o scară de segmente a proporției de aur a rândurilor ascendente și descendente. În secolele următoare, regula raportului de aur s-a transformat într-un canon academic, iar când, de-a lungul timpului, a început o luptă în artă cu rutina academică, în plina luptei, „au aruncat copilul împreună cu apa. " Secțiunea de aur a fost „descoperită” din nou la mijlocul secolului al XIX-lea. În 1855, cercetătorul german al secțiunii de aur, profesorul Zeising, și-a publicat lucrarea „Cercetarea estetică”. Cu Zeising, exact ceea ce s-a întâmplat trebuia să se întâmple cercetătorului care consideră fenomenul ca atare, fără legătură cu alte fenomene. El a absolutizat proporția secțiunii de aur, declarând-o universală pentru toate fenomenele naturii și ale artei. Zeising a avut numeroși adepți, dar au existat și oponenți care au declarat că doctrina lui despre proporții este „estetică matematică”. Zeising a făcut o treabă grozavă. A măsurat aproximativ două mii de corpuri umane și a ajuns la concluzia că raportul de aur exprimă legea statistică medie. Împărțirea corpului după punctul buricului este cel mai important indicator al raportului de aur. Proporțiile corpului masculin fluctuează în cadrul raportului mediu de 13: 8 = 1,625 și se apropie de proporția de aur ceva mai aproape de proporțiile corpului feminin, în raport cu care valoarea medie a proporției este exprimată în raportul 8: 5 = 1,6. La un nou-născut, proporția este de 1: 1, până la vârsta de 13 ani este de 1,6, iar până la vârsta de 21 de ani este egală cu bărbatul. Proporțiile secțiunii de aur se manifestă și în raport cu alte părți ale corpului - lungimea umărului, antebrațului și mâinii, mâinii și degetelor etc. Zeising a testat validitatea teoriei sale asupra statuilor grecești. El a dezvoltat proporțiile lui Apollo Belvedere în cele mai multe detalii. Au fost supuse cercetărilor vaze grecești, structuri arhitecturale din diverse epoci, plante, animale, ouă de păsări, tonuri muzicale, contoare poetice. Zeising a definit raportul de aur, a arătat cum este exprimat în segmente de linie și în numere. Când au fost obținute cifrele care exprimă lungimile segmentelor, Zeising a văzut că acestea constituiau o serie Fibonacci, care putea fi continuată la nesfârșit într-o direcție și în cealaltă. Următoarea sa carte a fost intitulată „Diviziunea de aur ca lege morfologică de bază în natură și artă”. În 1876, o carte mică, aproape un pamflet, a fost publicată în Rusia, subliniind opera lui Zeising. Autorul s-a refugiat sub inițialele Yu.F.V. Nici un tablou nu este menționat în această ediție. La sfârșitul secolului XIX - începutul secolului XX. au apărut o mulțime de teorii pur formaliste despre utilizarea secțiunii de aur în opere de artă și arhitectură. Odată cu dezvoltarea designului și a esteticii tehnice, legea raportului de aur s-a extins la proiectarea mașinilor, mobilierului etc. PROPORȚIA DE AUR ȘI SIMETRIA Raportul de aur nu poate fi considerat în sine, separat, fără legătură cu simetria. Marele cristalograf rus G.V. Wulff (1863...1925) a considerat raportul de aur ca fiind una dintre manifestările simetriei. Diviziunea de aur nu este o manifestare a asimetriei, ceva opus simetriei.Conform conceptelor moderne, diviziunea de aur este o simetrie asimetrica. Știința simetriei include concepte precum simetria statică și dinamică. Simetria statică caracterizează odihna, echilibrul, iar simetria dinamică caracterizează mișcarea, creșterea. Deci, în natură, simetria statică este reprezentată de structura cristalelor, iar în artă caracterizează pacea, echilibrul și imobilitatea. Simetria dinamică exprimă activitatea, caracterizează mișcarea, dezvoltarea, ritmul, este o dovadă a vieții. Simetria statică se caracterizează prin segmente egale, mărimi egale. Simetria dinamică se caracterizează printr-o creștere a segmentelor sau scăderea acestora și este exprimată în valorile secțiunii de aur a unei serii crescătoare sau descrescătoare. RÂND FIBON AF H ȘI
Numele călugărului matematician italian Leonardo din Pisa, mai cunoscut sub numele de Fibonacci, este indirect legat de istoria secțiunii de aur. A călătorit mult în Orient, a introdus în Europa cifrele arabe. În 1202 a fost publicată lucrarea sa de matematică Cartea Abacului (Tabla de numărare), în care erau adunate toate problemele cunoscute la acea vreme. O serie de numere 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 etc. cunoscut sub numele de seria Fibonacci. Particularitatea șirului de numere este că fiecare dintre membrii săi, începând cu al treilea, este egal cu suma celor doi anterioare 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34 etc., iar raportul numerelor adiacente ale seriei se apropie de raportul diviziunii de aur. Deci, 21:34 = 0,617 și 34:55 = 0,618. Acest raport este notat cu simbolul Ф. Numai acest raport - 0,618: 0,382 - dă o împărțire continuă a unui segment de dreaptă în raportul de aur, crescându-l sau micșorându-l la infinit, când segmentul mai mic este legat de cel mai mare ca cea mai mare este la tot. După cum se arată în figura de mai jos, lungimea fiecărei articulații ale degetului este legată de lungimea următoarei articulații într-o proporție F. Aceeași relație se vede în toate degetele de la mâini și de la picioare. Această conexiune este oarecum neobișnuită, deoarece un deget este mai lung decât celălalt fără niciun model vizibil, dar acest lucru nu este întâmplător - așa cum totul în corpul uman nu este accidental. Distanțele de pe degete, marcate de la A la B la C la D la E, sunt toate legate între ele în proporția F, la fel ca și falangele degetelor de la F la G la H.
Aruncă o privire la acest schelet de broaște și vezi cum fiecare os se potrivește modelului cu proporție F așa cum se întâmplă în corpul uman.

RAPORT DE AUR GENERALIZAT Oamenii de știință au continuat să dezvolte în mod activ teoria numerelor Fibonacci și a raportului de aur. Yu. Matiyasevich folosind numerele Fibonacci rezolvă 10- Yu problema lui Hilbert. Există metode pentru rezolvarea unui număr de probleme cibernetice (teoria căutării, jocuri, programare) folosind numerele Fibonacci și secțiunea de aur. În SUA se creează chiar și Asociația Mathematical Fibonacci, care publică un jurnal special din 1963. Una dintre realizările în acest domeniu este descoperirea numerelor Fibonacci generalizate și a rapoartelor de aur generalizate. Seria Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) și seria „binară” de greutăți 1, 2, 4, 8, descoperite de el, sunt complet diferite la prima vedere. Dar algoritmii pentru construirea lor sunt foarte asemănători între ei: în primul caz, fiecare număr este suma numărului anterior cu el însuși 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., în al doilea - aceasta este suma celor două numere anterioare 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... Este posibil pentru a găsi o formulă matematică generală din care serie "binară" și seria Fibonacci? Sau poate această formulă ne va oferi noi seturi numerice cu unele proprietăți unice noi? Într-adevăr, să setăm un parametru numeric S, care poate lua orice valori: 0, 1, 2, 3, 4, 5... separat de cel anterior prin S pași. Dacă notăm al n-lea membru al acestei serii cu? S (n), atunci obținem formula generală? S(n) = ? S (n - 1) + ? S (n - S - 1). Evident, cu S = 0, din această formulă vom obține o serie „binară”, cu S = 1 - o serie Fibonacci, cu S = 2, 3, 4. serie nouă de numere, care se numesc numere S-Fibonacci. În general, proporția S de aur este rădăcina pozitivă a ecuației x secțiunii S de aur S+1 - x S - 1 = 0. Este ușor de arătat că la S = 0 se obține împărțirea segmentului în jumătate, iar la S = 1 secțiunea de aur clasică familiară. Rapoartele numerelor S din Fibonacci vecine cu acuratețe matematică absolută coincid în limită cu proporțiile S de aur! În astfel de cazuri, matematicienii spun că secțiunile S aurii sunt invarianți numerici ai numerelor S Fibonacci. Faptele care confirmă existența secțiunilor S de aur în natură sunt date de omul de știință din Belarus E.M. Soroko în cartea „Structural Harmony of Systems” (Minsk, „Science and Technology”, 1984). Se dovedește, de exemplu, că aliajele binare bine studiate au proprietăți funcționale deosebite, pronunțate (stabile termic, dure, rezistente la uzură, rezistente la oxidare etc.) numai dacă greutățile specifice ale componentelor inițiale sunt legate între ele. de una dintre proporțiile S aurii. Acest lucru a permis autorului să prezinte o ipoteză conform căreia secțiunile S aurii sunt invarianți numerici ai sistemelor auto-organizate. Fiind confirmată experimental, această ipoteză poate avea o importanță fundamentală pentru dezvoltarea sinergeticii - un nou domeniu de știință care studiază procesele din sistemele auto-organizate. Folosind coduri de proporție S de aur, orice număr real poate fi exprimat ca suma de grade de proporții S de aur cu coeficienți întregi. Diferența fundamentală dintre această metodă de codificare a numerelor este că bazele noilor coduri, care sunt proporții S de aur, se dovedesc a fi numere iraționale pentru S > 0. Astfel, noile sisteme de numere cu baze iraționale, parcă, pun „peste în jos” ierarhia stabilită istoric a relațiilor dintre numerele raționale și iraționale. Cert este că la început au fost „descoperite” numerele naturale; atunci rapoartele lor sunt numere raționale. Și abia mai târziu - după ce pitagoreicii au descoperit segmente incomensurabile - au apărut numerele iraționale. De exemplu, în sistemele zecimale, quinare, binare și alte sisteme de numere poziționale clasice, numerele naturale - 10, 5, 2 - au fost alese ca un fel de principiu fundamental, din care au fost toate celelalte numere naturale, precum și numerele raționale și iraționale. construit după anumite reguli. Un fel de alternativă la metodele existente de numerotare este un sistem nou, irațional, ca principiu fundamental, al cărui început este ales ca număr irațional (care, reamintim, este rădăcina ecuației secțiunii de aur); alte numere reale sunt deja exprimate prin ea. Într-un astfel de sistem de numere, orice număr natural este întotdeauna reprezentabil ca număr finit - și nu infinit, așa cum se credea anterior! - sumele de grade ale oricăreia dintre proporțiile S de aur. Acesta este unul dintre motivele pentru care aritmetica „irațională”, având o simplitate și o eleganță matematică uimitoare, pare să fi absorbit cele mai bune calități ale aritmeticii binare clasice și „Fibonacci”. PRINCIPII DE MODIFICARE ÎN NATURĂ Tot ceea ce a luat o formă s-a format, a crescut, s-a străduit să ocupe un loc în spațiu și să se păstreze. Această aspirație își găsește împlinirea în principal în două variante - creșterea ascendentă sau răspândirea pe suprafața pământului și răsucirea în spirală. Cochilia este răsucită în spirală. Dacă îl desfaceți, obțineți o lungime puțin inferioară lungimii șarpelui. O coajă mică de zece centimetri are o spirală lungă de 35 cm. Spiralele sunt foarte comune în natură. Conceptul raportului de aur va fi incomplet, dacă nu să spun despre spirală. Forma cochiliei ondulate în spirală a atras atenția lui Arhimede. A studiat-o și a dedus ecuația spiralei. Spirala desenată conform acestei ecuații este numită după numele lui. Creșterea pasului ei este întotdeauna uniformă. În prezent, spirala lui Arhimede este utilizată pe scară largă în inginerie. Până și Goethe a subliniat tendința naturii spre spiralare. Aranjarea în spirală și spirală a frunzelor de pe ramurile copacilor a fost observată cu mult timp în urmă.


Spirala a fost văzută în aranjamentul semințelor de floarea soarelui, în conuri de pin, ananas, cactusi etc. Munca comună a botaniştilor şi matematicienilor a aruncat lumină asupra acestor fenomene naturale uimitoare. S-a dovedit că în aranjarea frunzelor pe o ramură (filotaxis), semințe de floarea soarelui, conuri de pin, seria Fibonacci se manifestă și, prin urmare, se manifestă legea secțiunii de aur. Păianjenul își învârte pânza într-un model în spirală. Un uragan este în spirală. O turmă speriată de reni se împrăștie într-o spirală. Molecula de ADN este răsucită într-o dublă helix. Goethe a numit spirala „curba vieții”. Zo Spirala aurie este strâns legată de cicluri. Știința modernă a haosului studiază operațiile simple de feedback ciclic și formele fractale generate de acestea, care erau necunoscute anterior. Figura 6 prezintă celebra serie Mandelbrot, o pagină dintr-un dicționar de infinitate de modele individuale numit seria Julian. Unii oameni de știință asociază seria Mandelbrot cu codul genetic al nucleelor ​​celulare. O creștere consistentă a secțiunilor dezvăluie fractali uimitoare în complexitatea lor artistică. Și aici, există spirale logaritmice! Acest lucru este cu atât mai important cu cât atât seria Mandelbrot, cât și seria Julian nu sunt invenții ale minții umane. Ele apar din domeniul prototipurilor lui Platon. După cum a spus medicul R. Penrose, „sunt ca Muntele Everest.” Spirala este strâns legată de cicluri. Știința modernă a haosului studiază operațiile simple de feedback ciclic și pe cele fractale generate de acestea.

Printre ierburile de pe marginea drumului crește o plantă neremarcabilă - cicoarea. Să aruncăm o privire mai atentă. Din tulpina principală s-a format o ramură. Iată prima frunză.

Orez. . Cicoare

Procesul face o ejecție puternică în spațiu, se oprește, eliberează o frunză, dar este mai scurtă decât prima, face din nou o ejecție în spațiu, dar cu o forță mai mică, eliberează o frunză și mai mică și ejectează din nou. Dacă primul valori anormal este luat ca 100 de unități, atunci al doilea este de 62 de unități, al treilea este de 38, al patrulea este de 24 și așa mai departe. Lungimea petalelor este, de asemenea, supusă raportului de aur. În creștere, cucerirea spațiului, planta și-a păstrat anumite proporții. Impulsurile sale de creștere au scăzut treptat proporțional cu raportul de aur. La mulți fluturi, raportul dintre dimensiunea părților toracice și ventrale ale corpului corespunde raportului de aur. După ce și-a îndoit aripile, fluturele de noapte formează un triunghi echilateral regulat. Dar merită să întindeți aripile și veți vedea același principiu de împărțire a corpului în 2,3,5,8. Libelula este creată și conform legilor raportului de aur: raportul dintre lungimile cozii și corpului este egal cu raportul dintre lungimea totală și lungimea cozii.

La șopârlă, la prima vedere, sunt surprinse proporții care sunt plăcute pentru ochii noștri - lungimea cozii se raportează la lungimea restului corpului, de la 62 la 38.

Orez. . șopârlă vivipară

Atât în ​​lumea vegetală, cât și în cea animală, tendința naturii de formare a formei străpunge în mod persistent - simetria față de direcția de creștere și mișcare. Aici raportul de aur apare în proporțiile părților perpendiculare pe direcția de creștere. Natura a realizat împărțirea în părți simetrice și proporții de aur. În părți, se manifestă o repetare a structurii întregului. De mare interes este studiul formelor ouălor de păsări. Diferitele lor forme fluctuează între două tipuri extreme: unul dintre ele poate fi înscris într-un dreptunghi al secțiunii de aur, celălalt - într-un dreptunghi cu un modul de 1,272 (rădăcina proporției de aur)

Astfel de forme de ouă de păsări nu sunt întâmplătoare, deoarece acum s-a stabilit că forma ouălor descrisă de raportul secțiunii de aur corespunde caracteristicilor de rezistență mai mari ale cojii de ou.

Orez. . ou de pasăre

Colții elefanților și mamuților dispăruți, ghearele leilor și ciocul papagalilor sunt forme logaritmice și seamănă cu forma unei axe care tinde să se transforme într-o spirală. În viața sălbatică, formele bazate pe simetrie „pentagonală” (stelele de mare, aricii de mare, florile) sunt larg răspândite. Raportul de aur este prezent în structura tuturor cristalelor, dar majoritatea cristalelor sunt microscopic mici, astfel încât nu le putem vedea cu ochiul liber.

Cu toate acestea, fulgii de zăpadă, care sunt și cristale de apă, sunt destul de accesibili ochilor noștri.

Toate figurile de o frumusețe rafinată care formează fulgi de nea, toate axele, cercurile și figurile geometrice în fulgi de nea sunt, de asemenea, întotdeauna, fără excepție, construite după formula clară perfectă a secțiunii de aur.

În microcosmos, formele logaritmice tridimensionale construite după proporții de aur sunt omniprezente. De exemplu, mulți viruși au o formă geometrică tridimensională a unui icosaedru. Poate cel mai faimos dintre acești virusuri este virusul Adeno. Învelișul proteic al virusului Adeno este alcătuit din 252 de unități de celule proteice dispuse într-o anumită secvență. În fiecare colț al icosaedrului sunt 12 unități de celule proteice sub forma unei prisme pentagonale, iar din aceste colțuri se extind structuri în formă de vârfuri.

Virusul adeno

Raportul de aur în structura virușilor a fost descoperit pentru prima dată în anii 1950. oameni de știință de la Birkbeck College din Londra A.Klug și D.Kaspar. Prima formă logaritmică a fost dezvăluită în sine de virusul Polyo. Forma acestui virus părea a fi similară cu cea a virusului Rhino. Se pune întrebarea cum formează virușii forme tridimensionale atât de complexe, a căror structură conține proporția de aur, care este destul de dificil de construit chiar și cu mintea noastră umană? Descoperitorul acestor forme de virusuri, virologul A. Klug face următorul comentariu: „Dr. Kaspar și cu mine am arătat că pentru o învelișă sferică a unui virus, cea mai optimă formă este o simetrie de tip icosaedru. Această ordine minimizează numărul de elemente de legătură... Majoritatea cuburilor emisferice geodezice ale lui Buckminster Fuller sunt construite pe un principiu geometric similar. 14 Asamblarea unor astfel de cuburi necesită o schemă explicativă extrem de precisă și detaliată, în timp ce virușii inconștienți înșiși construiesc o înveliș atât de complex de unități de celule proteice elastice și flexibile."
Comentariul lui Klug amintește încă o dată de adevărul extrem de evident: chiar și în structura unui organism microscopic, pe care oamenii de știință îl clasifică drept „cea mai primitivă formă de viață”, în acest caz, un virus, există un plan clar și un proiect rezonabil are a fost implementat 16. Acest proiect este incomparabil prin perfecțiunea și acuratețea execuției cu cele mai avansate proiecte arhitecturale create de oameni. De exemplu, proiectele create de strălucitul arhitect Buckminster Fuller. Modelele tridimensionale ale dodecaedrului și icosaedrului sunt de asemenea prezente în structura scheletelor radiolarienilor (beamers) ale microorganismelor marine unicelulare, al căror schelet este format din silice. Radiolarii își formează corpul de o frumusețe foarte rafinată, neobișnuită. Forma lor este un dodecaedru regulat. Mai mult, pseudo-alungirea-membrul și alte forme neobișnuite-creșteri cresc din fiecare dintre colțurile sale. Marele Goethe, poet, naturalist și artist (a pictat și pictat în acuarelă), a visat să creeze o doctrină unificată a formei, formării și transformării corpurilor organice. El a fost cel care a introdus termenul de morfologie în uz științific. Pierre Curie a formulat la începutul secolului nostru o serie de idei profunde de simetrie. El a susținut că nu se poate lua în considerare simetria oricărui corp fără a lua în considerare simetria mediului. Modelele de simetrie „de aur” se manifestă în tranzițiile energetice ale particulelor elementare, în structura unor compuși chimici, în sistemele planetare și spațiale, în structurile genice ale organismelor vii. Aceste modele, așa cum s-a indicat mai sus, sunt în structura organelor individuale ale unei persoane și a corpului în ansamblu și se manifestă, de asemenea, în bioritmuri și funcționarea creierului și percepția vizuală. CORPUL UMAN ŞI SECŢIUNEA DE AUR Toate oasele umane sunt proporționale cu secțiunea de aur.

Proporțiile diferitelor părți ale corpului nostru formează un număr foarte apropiat de raportul de aur. Dacă aceste proporții coincid cu formula raportului de aur, atunci aspectul sau corpul unei persoane este considerat a fi construit în mod ideal.

Dacă luăm punctul buricului ca centru al corpului uman și distanța dintre piciorul uman și punctul buricului ca unitate de măsură, atunci înălțimea unei persoane este echivalentă cu numărul 1.618.

Distanța de la nivelul umărului până la coroana capului și dimensiunea capului este 1:1.618

Distanța de la vârful buricului până la coroana capului și de la nivelul umărului până la coroana capului este de 1:1,618.

Distanța punctului buric până la genunchi și de la genunchi până la picioare este 1:1,618

Distanța de la vârful bărbiei la vârful buzei superioare și de la vârful buzei superioare la nări este de 1:1,618

De fapt, prezența exactă a proporției de aur în fața unei persoane este idealul de frumusețe pentru ochiul uman.

Distanța de la vârful bărbiei până la linia superioară a sprâncenelor și de la linia superioară a sprâncenelor până la vârful capului este de 1:1,618
Înălțimea feței / Lățimea feței
Punctul central al joncțiunii buzelor cu baza nasului / lungimea nasului.
Înălțimea feței / distanța de la vârful bărbiei până la punctul central al joncțiunii buzelor
Lățimea gurii / Lățimea nasului
Lățimea nasului / distanța dintre nări
Distanța pupilei/Distanța sprâncenelor Este suficient doar să aduci palma mai aproape de tine acum și să te uiți cu atenție la degetul arătător și vei găsi imediat formula secțiunii de aur în ea.

Fiecare deget al mâinii noastre este format din trei falange.Suma primelor două falange ale degetului în raport cu întreaga lungime a degetului dă proporția de aur (cu excepția degetului mare).

În plus, raportul dintre degetul mijlociu și degetul mic este de asemenearatia de aur
O persoană are 2 mâini, degetele de pe fiecare mână sunt formate din 3 falange (cu excepția degetului mare). Pe fiecare mână sunt 5 degete, adică un total de 10, dar cu excepția a două degete mari cu două falange, doar 8 degete sunt create după principiul raportului de aur. În timp ce toate aceste numere 2, 3, 5 și 8 sunt numerele șirului Fibonacci.
De asemenea, trebuie remarcat faptul că la majoritatea oamenilor distanța dintre capetele brațelor răspândite este egală cu înălțimea. Adevărurile raportului de aur sunt în noi și în noi spaţiu

Particularitatea bronhiilor care alcătuiesc plămânii unei persoane constă în asimetria lor. Bronhiile sunt formate din două căi respiratorii principale, una (stânga) este mai lungă și cealaltă (dreapta) este mai scurtă.

S-a constatat că această asimetrie continuă în ramurile bronhiilor, în toate căile respiratorii mai mici.

Mai mult, raportul dintre lungimea bronhiilor scurte și lungi este, de asemenea, raportul de aur și este egal cu 1:1,618.

Urechea internă umană conține un organ Cohlea („Melc”), care îndeplinește funcția de transmitere a vibrațiilor sonore. Această structură asemănătoare oaselor este umplută cu fluid și, de asemenea, creată sub forma unui melc, care conține o formă spirală logaritmică stabilă = 73? 43". Tensiunea arterială se modifică pe măsură ce inima bate. Ea atinge cea mai mare valoare în ventriculul stâng al inimii în momentul contracției (sistolei). În arterele în timpul sistolei ventriculilor inimii, tensiunea arterială atinge o valoare maximă egală cu 115-125 mm Hg la o persoană tânără, sănătoasă. În momentul relaxării mușchiului inimii (diastolă), presiunea scade la 70-80 mm Hg. Raportul dintre presiunea maximă (sistolica) și cea minimă (diastolice) este în medie de 1,6, adică aproape de raportul de aur.

Dacă luăm tensiunea arterială medie în aortă ca unitate, atunci tensiunea arterială sistolica în aortă este 0,382, iar tensiunea arterială diastolică este 0,618, adică raportul lor corespunde raportului de aur. Aceasta înseamnă că activitatea inimii în raport cu ciclurile de timp și modificările tensiunii arteriale sunt optimizate după același principiu - legea raportului de aur.

Molecula de ADN este formată din două elice împletite vertical. Fiecare dintre aceste spirale are 34 angstrom lungime și 21 angstrom lățime. (1 angstrom este o sută de milionime dintr-un centimetru). structura secțiunii helix a moleculei de ADN

Deci 21 și 34 sunt numere care urmează unul după altul în succesiunea numerelor Fibonacci, adică raportul dintre lungimea și lățimea helixului logaritmic al moleculei de ADN poartă formula secțiunii de aur 1: 1,618

SECȚIUNEA DE AUR ÎN SCULPTURĂ Structurile sculpturale, monumentele sunt ridicate pentru a perpetua evenimente semnificative, pentru a păstra în memoria urmașilor numele unor oameni celebri, isprăvile și faptele acestora. Se știe că și în antichitate baza sculpturii a fost teoria proporțiilor. Relația părților corpului uman a fost asociată cu formula secțiunii de aur.Proporțiile „secțiunii de aur” creează impresia de armonie a frumuseții, astfel încât sculptorii le-au folosit în lucrările lor. Sculptorii susțin că talia împarte corpul uman perfect în raport cu „secțiunea de aur”. De exemplu, faimoasa statuie a lui Apollo Belvedere este formată din părți împărțite prin proporții de aur.Marele sculptor grec antic Phidias a folosit adesea „secțiunea de aur” în lucrările sale. Cele mai faimoase dintre ele au fost statuia lui Zeus Olimpian (care era considerată una dintre minunile lumii) și Athena Parthenos. Proporția de aur a statuii lui Apollo Belvedere este cunoscută: înălțimea persoanei reprezentate este împărțită de linia ombilicală în secțiunea de aur.

SECȚIUNEA DE AUR ÎN ARHITECTURĂ În cărțile despre „secțiunea de aur” se găsește observația că în arhitectură, ca și în pictură, totul depinde de poziția observatorului și că, dacă unele proporții dintr-o clădire pe o parte par să formeze „secțiunea de aur”, apoi din alte puncte de vedere vor arăta diferit. „Secțiunea de aur” oferă cel mai relaxat raport al dimensiunilor anumitor lungimi. Una dintre cele mai frumoase lucrări ale arhitecturii grecești antice este Partenonul (sec. V î.Hr.). Cifrele arată o serie de modele asociate cu raportul de aur. Proporțiile clădirii pot fi exprimate prin diferite grade ale numărului Ф = 0,618 ... Partenonul are 8 coloane pe laturile scurte și 17 pe cele lungi. marginile sunt realizate în întregime din pătrate de marmură Pentile. Noblețea materialului din care a fost construit templul a făcut posibilă limitarea folosirii colorării, care era obișnuită în arhitectura greacă, ea doar subliniază detaliile și formează un fundal colorat (albastru și roșu) pentru sculptură. Raportul dintre înălțimea clădirii și lungimea acesteia este de 0,618. Dacă împărțim Partenonul în funcție de „secțiunea de aur”, vom obține anumite proeminențe ale fațadei. Pe planul Partenonului, puteți vedea și „dreptunghiurile de aur”: Putem vedea raportul de aur în clădirea Catedralei Notre Dame (Notre Dame de Paris) și în piramida lui Keops: Nu numai piramidele egiptene au fost construite în conformitate cu proporțiile perfecte ale raportului de aur; acelasi fenomen se intalneste si in piramidele mexicane. Multă vreme s-a crezut că arhitecții Rusiei Antice au construit totul „cu ochi”, fără calcule matematice speciale. Cu toate acestea, cele mai recente cercetări au arătat că arhitecții ruși cunoșteau bine proporțiile matematice, fapt dovedit de analiza geometriei templelor antice. Celebrul arhitect rus M. Kazakov a folosit pe scară largă „secțiunea de aur” în lucrarea sa. Talentul său a fost cu mai multe fațete, dar într-o măsură mai mare s-a revelat în numeroase proiecte finalizate de clădiri rezidențiale și moșii. De exemplu, „secțiunea de aur” poate fi găsită în arhitectura clădirii Senatului din Kremlin. Conform proiectului lui M. Kazakov, la Moscova a fost construit Spitalul Golitsyn, care se numește în prezent Primul Spital Clinic numit după N.I. Pirogov (prospect Leninsky, d. Palatul Petrovsky din Moscova. Construită după proiectul lui M.F. Kazakov. O altă capodoperă arhitecturală a Moscovei - Casa Pașkov - este una dintre cele mai perfecte lucrări de arhitectură ale lui V. Bazhenov. Minunata creație a lui V. Bazhenov a intrat ferm în ansamblul centrului Moscovei moderne, l-a îmbogățit. Aspectul exterior al casei a supraviețuit aproape neschimbat până astăzi, în ciuda faptului că a fost ars grav în 1812. În timpul restaurării, clădirea a căpătat forme mai masive. Nu s-a păstrat nici dispunerea interioară a clădirii, despre care doar desenul etajului inferior dă o idee. Multe declarații ale arhitectului merită atenție astăzi. Despre arta sa preferată, V. Bazhenov a spus: „Arhitectura are trei subiecte principale: frumusețea, calmul și puterea clădirii... Pentru a realiza acest lucru, cunoașterea proporției, perspectivei, mecanicii sau fizicii în general servește drept ghid și toți au un lider comun este rațiunea.”

PROPORTUL DE AUR ÎN MUZICĂ
Orice piesă muzicală are o extensie temporală și este împărțită în anumite „repere estetice” în părți separate care atrag atenția și facilitează percepția în ansamblu. Aceste repere pot fi puncte de culminare dinamice și intonaționale ale unei opere muzicale. Intervalele de timp separate ale unei piese muzicale, conectate printr-un „eveniment climatic”, de regulă, sunt în raportul raportului de aur.

În 1925, criticul de artă LL Sabaneev, analizând 1770 de lucrări muzicale a 42 de autori, a arătat că marea majoritate a lucrărilor remarcabile pot fi împărțite cu ușurință în părți fie după temă, fie după intonație sau sistem modal, care sunt în relație cu fiecare. altele.proporţia de aur. Mai mult, cu cât compozitorul era mai talentat, cu atât se regăseau mai multe secțiuni de aur în lucrările sale. Potrivit lui Sabaneev, raportul de aur duce la impresia unei armonii speciale a unei compoziții muzicale. Acest rezultat a fost verificat de Sabaneev pe toate cele 27 de studii Chopin. A găsit în ele 178 de secțiuni de aur. În același timp, s-a dovedit că nu numai mari părți ale studiilor sunt împărțite în funcție de durată în raport cu secțiunea de aur, dar părți ale studiilor din interior sunt adesea împărțite în același raport.

Compozitorul și omul de știință M.A. Marutaev a numărat numărul de măsuri din celebra sonată „Appassionata” și a găsit o serie de rapoarte numerice interesante. În special, în dezvoltare - unitatea structurală centrală a sonatei, unde temele sunt intens dezvoltate și cheile se înlocuiesc reciproc - există două secțiuni principale. Primul are 43,25 bare, al doilea are 26,75. Raportul 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 dă raportul de aur.

Arensky (95%), Beethoven (97%), Haydn (97%), Mozart (91%), Chopin (92%), Schubert (91%) au cel mai mare număr de lucrări în care este prezentă Secțiunea de Aur.

Dacă muzica este ordonarea armonică a sunetelor, atunci poezia este ordonarea armonică a vorbirii. Un ritm clar, o alternanță regulată de silabe accentuate și neaccentuate, o dimensionalitate ordonată a poemelor, bogăția lor emoțională fac din poezie sora operelor muzicale. Raportul de aur în poezie se manifestă în primul rând ca prezența unui anumit moment al poeziei (climax, punct de cotitură semantic, ideea principală a operei) în linia atribuită punctului de împărțire a numărului total de rânduri ale poeziei. în raportul de aur. Deci, dacă poemul conține 100 de rânduri, atunci primul punct al Secțiunii de Aur cade pe a 62-a linie (62%), al doilea - pe a 38-a (38%) etc. Lucrările lui Alexandru Sergheevici Pușkin, inclusiv „Eugene Onegin” - cea mai bună corespondență cu raportul de aur! Lucrările lui Shota Rustaveli și M.Yu. Lermontov sunt, de asemenea, construite pe principiul Secțiunii de Aur.

Stradivarius a scris că cu ajutorul lui

raportul de aur, a determinat locurile pentru f -decupaje în formă de pe corpurile celebrelor lor viori. SECȚIUNEA DE AUR ÎN POEZIE poezia lui Pușkin Studiile operelor poetice din aceste poziții sunt abia la început. Și trebuie să începeți cu poezia lui A.S. Pușkin. La urma urmei, lucrările sale sunt un exemplu al celor mai remarcabile creații ale culturii ruse, un exemplu de cel mai înalt nivel de armonie. Cu poezia lui A.S. Pușkin, vom începe căutarea proporției de aur - măsura armoniei și frumuseții. O mare parte din structura operelor poetice face ca această formă de artă să fie legată de muzică. Un ritm clar, o alternanță regulată de silabe accentuate și neaccentuate, o dimensionalitate ordonată a poemelor, bogăția lor emoțională fac din poezie sora operelor muzicale. Fiecare vers are propria sa formă muzicală - propriul ritm și melodie. Se poate aștepta ca în structura poeziei să apară unele trăsături ale operelor muzicale, modele de armonie muzicală și, în consecință, raportul de aur. Să începem cu dimensiunea poeziei, adică numărul de rânduri din ea. S-ar părea că acest parametru al poeziei se poate schimba în mod arbitrar. Cu toate acestea, s-a dovedit că nu a fost cazul. De exemplu, analiza poeziilor lui A.S. Pușkin a arătat din acest punct de vedere că dimensiunile versurilor sunt distribuite foarte neuniform; s-a dovedit că Pușkin preferă în mod clar dimensiunile de 5, 8, 13, 21 și 34 de linii (numerele Fibonacci).
Mulți cercetători au observat că poeziile sunt ca piese muzicale; au și puncte culminante care împart poemul proporțional cu raportul de aur. Luați în considerare, de exemplu, o poezie de A.S. Pușkin „cizmar”: Un cizmar a căutat odată o poză
Și a subliniat eroarea din pantofi;
Luând pensula deodată, artistul s-a corectat,
Iată, akimbo, cizmarul a continuat:
„Cred că fața este puțin strâmbă...
Nu-i așa că pieptul ăla este prea gol?
Aici Apelles îl întrerupse nerăbdător:
— Judecă, prietene, nu deasupra cizmei!

Am un prieten in minte:
Nu stiu ce subiect este.
Era un cunoscător, deși strict non-verbal,
Dar diavolul îl poartă să judece lumina:
Încearcă să judeci cizmele!

Să analizăm această pildă. Poezia este formată din 13 rânduri. Evidențiază două părți semantice: prima în 8 rânduri și a doua (morala pildei) în 5 rânduri (13, 8, 5 - numerele Fibonacci). Una dintre ultimele poezii ale lui Pușkin „Nu prețuiesc drepturile de mare profil...” este formată din 21 de rânduri și se disting două părți semantice: în 13 și 8 rânduri. Nu prețuiesc drepturile importante, De care nimeni nu amețește. Nu mormăiesc de faptul că zeii au refuzat Sunt în lotul dulce de taxe provocatoare Sau împiedică-i pe regi să se lupte între ei; Și puțină durere pentru mine, presa este liberă Păcălii păcăliți sau cenzură sensibilă În planurile revistei, jokerul este jenant. Toate acestea, vezi tu, cuvinte, cuvinte, cuvinte. Alte drepturi, mai bune, îmi sunt dragi: Un alt, mai bine, am nevoie de libertate: Depinde de rege, depinde de oameni - Nu ne pasă tuturor? Dumnezeu este cu ei. Nimeni Nu da un raport, doar pentru tine Serviți și vă rog; pentru putere, pentru livre Nu îndoi nici conștiința, nici gândurile, nici gâtul; După pofta ta să rătăci pe ici pe colo, Minunându-te de frumusețea divină a naturii, Și înaintea creaturilor de artă și inspirație Tremurând de bucurie în deliciile tandreței, Aici este fericirea! Asta e corect... Este caracteristic faptul că prima parte a acestui vers (13 rânduri) este împărțită în 8 și 5 rânduri în ceea ce privește conținutul semantic, adică întregul poem este construit după legile raportului de aur. De un interes indubitabil este analiza romanului „Eugene Onegin” realizată de N. Vasyutinskiy. Acest roman este format din 8 capitole, fiecare cu o medie de aproximativ 50 de versuri. Cel mai perfect, cel mai rafinat și mai bogat din punct de vedere emoțional este al optulea capitol. Are 51 de versuri. Împreună cu scrisoarea lui Yevgeny către Tatyana (60 de rânduri), aceasta corespunde exact cu numărul Fibonacci 55! N. Vasyutinskiy afirmă: „Cumunea capitolului este explicația lui Eugene despre dragostea lui pentru Tatyana - linia „Deveniți palid și decolorați... asta-i fericire!” Această linie împarte întregul capitol al optulea în două părți - în primele 477 de rânduri și în al doilea. - 295 de linii.Raportul lor este 1,617 "Cea mai subtilă corespondență cu valoarea raportului de aur! Acesta este un mare miracol al armoniei, realizat de geniul lui Pușkin!" Poezie Lermontov E Rosenov a analizat multe lucrări poetice ale lui M.Yu. Lermontov, Schiller, A.K. Tolstoi și, de asemenea, a descoperit în ele „secțiunea de aur”.
Celebrul poem „Borodino” al lui Lermontov este împărțit în două părți: o introducere adresată naratorului și care ocupă o singură strofă („Spune-mi, unchiule, nu e fără motiv...”), iar partea principală, reprezentând un întreg independent, care este împărțit în două părți echivalente. În primul dintre ele, așteptarea bătăliei este descrisă cu o tensiune crescândă, în a doua - bătălia în sine cu o scădere treptată a tensiunii spre sfârșitul poeziei. Granița dintre aceste părți este punctul culminant al lucrării și cade exact pe punctul de a o împărți la secțiunea de aur. Partea principală a poeziei este formată din 13 șapte rânduri, adică 91 de rânduri. Împărțind-o la proporția de aur (91:1.618 = 56.238), ne asigurăm că punctul de împărțire se află la începutul versetului 57, unde există o frază scurtă: „Ei bine, a fost o zi!”. Această frază reprezintă „punctul culminant al așteptării emoționate”, care completează prima parte a poemului (așteptarea bătăliei) și deschide cea de-a doua parte a acesteia (descrierea bătăliei). Astfel, raportul de aur joacă un rol foarte semnificativ în poezie, evidențiind punctul culminant al poeziei. Poezia lui Shota Rustaveli Mulți cercetători ai poeziei lui Shota Rustaveli „Cavalerul în pielea de pantere” remarcă armonia și melodia excepționale a versului său. Aceste proprietăți ale poemului academicianului de știință georgian G.V. Tsereteli o atribuie utilizării conștiente a raportului de aur de către poet atât în ​​formarea formei poemului, cât și în construirea poeziei sale. Poezia lui Rustaveli este formată din 1587 de strofe, fiecare dintre ele formată din patru rânduri. Fiecare rând este format din 16 silabe și este împărțit în două părți egale de 8 silabe în fiecare jumătate de linie. Toate jumătățile de linii sunt împărțite în două segmente de două tipuri: A - o jumătate de linie cu segmente egale și un număr par de silabe (4 + 4); B - o jumătate de linie cu o împărțire asimetrică în două părți inegale (5 + 3 sau 3 + 5). Astfel, în semilinia B, rapoartele sunt 3:5:8, ceea ce este o aproximare a raportului de aur.
S-a stabilit că din 1587 de strofe din poezia lui Rustaveli, mai mult de jumătate (863) sunt construite după principiul secțiunii de aur. În vremea noastră s-a născut un nou tip de artă - cinematografia, care a absorbit dramaturgia acțiunii, picturii, muzicii. Este legitim să cauți manifestări ale secțiunii de aur în lucrări remarcabile ale cinematografiei. Primul care a făcut acest lucru a fost creatorul capodoperei cinematografice mondiale „Cuirasatul Potemkin”, regizorul de film Serghei Eisenstein. În construcția acestei imagini, el a reușit să întruchipeze principiul de bază al armoniei - raportul de aur. După cum notează însuși Eisenstein, steagul roșu de pe catargul navei de luptă rebelă (punctul de apogeu al filmului) zboară în punctul de raport de aur, numărat de la sfârșitul filmului. PROPORTUL DE AUR ÎN FONTURI ȘI OBIECTE DE CASĂ Un tip special de artă plastică a Greciei antice trebuie evidențiat fabricarea și pictura tuturor tipurilor de vase. Într-o formă elegantă, proporțiile secțiunii de aur sunt ușor de ghicit.


În pictura și sculptura templelor, pe obiectele de uz casnic, egiptenii antici au reprezentat cel mai adesea zei și faraoni. Au fost stabilite canoanele imaginii unei persoane în picioare, mergând, șezând etc. Artiștilor li s-a cerut să memoreze forme și scheme individuale de imagini din tabele și mostre. Artiștii greci antici au făcut călătorii speciale în Egipt pentru a învăța cum să folosească canonul. PARAMETRI FIZICI OPTIMI AI MEDIULUI EXTERN Volumul sunetului.
Se știe că volumul maxim de sunet care provoacă durere este de 130 de decibeli.
Dacă împărțim acest interval la proporția de aur de 1,618, obținem 80 de decibeli, care sunt tipice pentru zgomotul unui țipăt uman.
Dacă împărțim acum 80 de decibeli la proporția de aur, obținem 50 de decibeli, ceea ce corespunde cu volumul vorbirii umane.
În cele din urmă, dacă împărțim 50 de decibeli la pătratul raportului de aur de 2,618, obținem 20 de decibeli, ceea ce corespunde unei șoapte umane.
Astfel, toți parametrii caracteristici ai volumului sunetului sunt interconectați prin raportul de aur.

Umiditatea aerului. La o temperatură de 18-20®, intervalul de umiditate de 40-60% este considerat optim.

Limitele intervalului optim de umiditate pot fi obținute dacă umiditatea absolută de 100% este împărțită de două ori la raportul de aur: 100 / 2,618 = 38,2% (limită inferioară); 100/1,618 = 61,8% (limită superioară).

Presiunea aerului. La o presiune a aerului de 0,5 MPa, o persoană experimentează senzații neplăcute, activitatea sa fizică și psihologică se înrăutățește. La o presiune de 0,3 - 0,35 MPa, este permisă doar funcționarea pe termen scurt, iar la o presiune de 0,2 MPa, se lasă să funcționeze cel mult 8 minute.

Toți acești parametri caracteristici sunt interconectați prin raportul de aur: 0,5 / 1,618 = 0,31 MPa; 0,5 / 2,618 = 0,19 MPa.

Temperatura aerului exterior. Parametrii limită ai temperaturii aerului exterior, în care este posibilă existența normală (și, cel mai important, originea) unei persoane, este intervalul de temperatură de la 0 la + (57-58) ® С. Evident, nu este nevoie să dai explicații la prima graniță.

Împărțim intervalul indicat de temperaturi pozitive la raportul de aur. Acest lucru ne oferă două limite:

Ambele limite sunt temperaturi caracteristice corpului uman: prima corespunde temperaturii A doua limită corespunde temperaturii exterioare maxime posibile pentru corpul uman.
SECȚIUNEA DE AUR ÎN PICTURA
În perioada Renașterii, artiștii au descoperit că orice tablou are anumite puncte care ne atrag involuntar atenția, așa-numitele centre vizuale. În acest caz, nu contează ce format are imaginea - orizontală sau verticală. Există doar patru astfel de puncte și sunt situate la o distanță de 3/8 și 5/8 de marginile corespunzătoare ale planului.


Această descoperire în rândul artiștilor din acea vreme a fost numită „secțiunea de aur” a tabloului. Revenind la exemplele „secțiunii de aur” din pictură, nu se poate decât să-și oprească atenția asupra operei lui Leonardo da Vinci. Identitatea lui este unul dintre misterele istoriei. Însuși Leonardo da Vinci spunea: „Nimeni care nu este matematician să nu îndrăznească să-mi citească lucrările”.
A câștigat faima ca un artist de neîntrecut, un mare om de știință, un geniu care a anticipat multe invenții care nu au fost implementate până în secolul al XX-lea.
Fără îndoială că Leonardo da Vinci a fost un mare artist, contemporanii săi au recunoscut deja acest lucru, dar personalitatea și activitățile sale vor rămâne învăluite în mister, întrucât a lăsat posterității nu o prezentare coerentă a ideilor sale, ci doar numeroase schițe, note scrise de mână. care spun „atât toți cei din lume”.
A scris de la dreapta la stânga cu o scriere ilizibilă și cu mâna stângă. Acesta este cel mai faimos exemplu de scriere în oglindă care există.
Portretul Monnei Lisei (La Gioconda) atrage atenția cercetătorilor de mulți ani, care au descoperit că compoziția desenului se bazează pe triunghiuri de aur care fac parte dintr-un pentagon stelar obișnuit. Există multe versiuni despre istoria acestui portret. Iată una dintre ele.
Odată, Leonardo da Vinci a primit ordin de la bancherul Francesco de le Giocondo să picteze un portret al unei tinere femei, soția bancherului, Monna Lisa. Femeia nu era frumoasă, dar era atrasă de simplitatea și naturalețea aspectului ei. Leonardo a fost de acord să picteze un portret. Modelul lui era trist și trist, dar Leonardo i-a povestit un basm, după ce l-a auzit, a devenit vie și interesantă.
BASM
A fost odată un om sărac, el avea patru fii: trei deștepți, și unul dintre ei încoace și în altul. Și apoi a venit moartea pentru tată. Înainte să se despartă de viață, și-a chemat copiii la el și i-a spus: „Fiii mei, în curând voi muri. De îndată ce mă îngropați, încuiați coliba și mergeți la capătul lumii să vă faceți propria fericire. Lăsați fiecare dintre voi să învețe ceva, pentru a se putea hrăni singur.” Tatăl a murit, iar fiii s-au împrăștiat în întreaga lume, acceptând să se întoarcă în poiana crângului lor natal trei ani mai târziu. A venit primul frate, care a învățat să tâmplărie, a tăiat un copac și l-a tăiat, a făcut din el o femeie, a mers puțin și așteaptă. Al doilea frate s-a întors, a văzut o femeie de lemn și, de vreme ce era croitor, într-un minut a îmbrăcat-o: ca un meșter iscusit, i-a cusut haine frumoase de mătase. Al treilea fiu a împodobit-o pe femeie cu aur și pietre prețioase - la urma urmei, era un bijutier. În cele din urmă, a sosit al patrulea frate. Nu știa să tamplarească și să coasă, știa doar să asculte ce spuneau pământul, copacii, ierburile, animalele și păsările, cunoștea mersul trupurilor cerești și știa și să cânte cântece minunate. A cântat un cântec care i-a făcut să plângă pe frații ascunși în spatele tufișurilor. Cu acest cântec, el a reînviat femeia, ea a zâmbit și a oftat. Frații s-au repezit la ea și fiecare a strigat același lucru: „Trebuie să fii soția mea”. Dar femeia a răspuns: „Tu m-ai creat - fii tatăl meu. M-ai îmbrăcat și m-ai decorat - fii frații mei.
Iar tu, care mi-ai suflat sufletul în mine și m-ai învățat să mă bucur de viață, am nevoie de tine singur pe viață".
După ce a terminat povestea, Leonardo s-a uitat la Monna Lisa, chipul i s-a luminat de lumină, ochii i-au strălucit. Apoi, de parcă s-ar fi trezit dintr-un vis, a oftat, și-a trecut mâna pe față și, fără să scoată un cuvânt, s-a dus la locul ei, și-a încrucișat mâinile și și-a luat postura obișnuită. Dar fapta a fost făcută - artistul a trezit statuia indiferentă; zâmbetul fericirii, dispărând încet de pe chipul ei, a rămas în colțurile gurii și a tremurat, dându-i chipului o expresie uimitoare, misterioasă și ușor vicleană, ca a unei persoane care a aflat un secret și, păstrându-l cu grijă, nu poate. să-și înfrâneze triumful. Leonardo a lucrat în tăcere, de teamă să rateze acest moment, această rază de soare care i-a luminat modelul plictisitor...
Este greu de observat ce s-a observat în această capodopera de artă, dar toată lumea a vorbit despre cunoașterea profundă a lui Leonardo asupra structurii corpului uman, datorită căreia a reușit să prindă acest, parcă, zâmbet misterios. Au vorbit despre expresivitatea părților individuale ale imaginii și despre peisaj, un însoțitor fără precedent al portretului. Au vorbit despre naturalețea expresiei, simplitatea ipostazei, frumusețea mâinilor. Artistul a făcut ceva fără precedent: imaginea înfățișează aerul, învăluie figura cu o ceață transparentă. În ciuda succesului, Leonardo a fost sumbru, situația din Florența i s-a părut dureroasă artistului, s-a pregătit să plece. Mementourile privind ordinele de inundații nu l-au ajutat.

Secțiunea de aur din pictura de I. I. Shishkin „Pine Grove” În acest celebru tablou de I. I. Shishkin, motivele secțiunii de aur sunt clar vizibile. Pinul puternic luminat (stă în prim plan) împarte lungimea imaginii în funcție de raportul de aur. În dreapta pinului se află un deal iluminat de soare. Împarte partea dreaptă a imaginii pe orizontală în funcție de raportul de aur. În stânga pinului principal sunt mulți pini - dacă doriți, puteți continua cu succes împărțirea imaginii în funcție de secțiunea de aur și mai departe.
Prezența în tablou a verticalelor și orizontalelor luminoase, împărțind-o în raport cu secțiunea de aur, îi conferă caracterul de echilibru și liniște, în conformitate cu intenția artistului. Când intenția artistului este diferită, dacă, să zicem, creează o imagine cu o acțiune în dezvoltare rapidă, o astfel de schemă geometrică de compoziție (cu predominanța verticalelor și orizontalelor) devine inacceptabilă.
V. I. Surikov. Boierul Morozova. Rolul ei este atribuit părții din mijloc a imaginii. Este legat de punctul cu cea mai mare înălțime și punctul cu cea mai mică cădere a complotului imaginii. 1) Aceasta este ridicarea mâinii Morozovei cu semnul crucii cu două degete ca punct cel mai înalt. 2) Aceasta este o mână întinsă neputincios aceleiași nobile, dar de data aceasta este mâna unei bătrâne - o sărmană rătăcitoare, o mână de sub care, împreună cu ultima speranță a mântuirii, iese capătul saniei. . Și cum rămâne cu „punctul cel mai înalt”? La prima vedere, avem o aparentă contradicție: la urma urmei, secțiunea A1B1, care este 0,618 ... din marginea dreaptă a imaginii, nu trece prin mână, nici măcar prin capul sau ochiul nobilei, ci se dovedește a fi undeva în fața gurii nobilei! Raportul de aur se referă cu adevărat la cel mai important lucru. În el, și tocmai în el, se află cea mai mare forță a Morozovei. Raportul de aur în pictura de Leonardo da Vinci „La Gioconda”
	Portretul Monei Lisei atrage prin faptul că compoziția desenului este construită pe „triunghiuri de aur” (mai precis, pe triunghiuri care sunt bucăți dintr-un pentagon obișnuit în formă de stea).
Nu există pictură mai poetică decât tabloul lui Sandro Botticelli, iar marele Sandro nu are pictură mai faimoasă decât „Venus” lui. Pentru Botticelli, Venus lui este întruchiparea ideii de armonie universală a „secțiunii de aur” care predomină în natură. Analiza proporțională a lui Venus ne convinge de acest lucru. Rafael „Școala din Atena” Rafael nu era un matematician, dar, la fel ca mulți artiști din acea epocă, avea cunoștințe considerabile despre geometrie. În celebra frescă „Școala din Atena”, unde societatea marilor filozofi ai antichității se ține în templul științei, atenția ne este atrasă de grupul lui Euclid, cel mai mare matematician antic grec, care analizează un desen complex. Combinația ingenioasă a două triunghiuri este construită și în conformitate cu raportul de aur: poate fi înscrisă într-un dreptunghi cu un raport de aspect de 5/8. Acest desen este surprinzător de ușor de inserat în secțiunea superioară a arhitecturii. Colțul superior al triunghiului se sprijină pe cheia de boltă a arcului în zona cea mai apropiată de privitor, cel inferior - în punctul de fuga al perspectivelor, iar secțiunea laterală indică proporțiile decalajului spațial dintre cele două părți ale arcadelor. . Spirala de aur în „Masacrul inocenților” de Rafael
Spre deosebire de secțiunea de aur, sentimentul de dinamică, emoție, este poate cel mai pronunțat într-o altă figură geometrică simplă - o spirală. Compoziția cu mai multe figuri, realizată în 1509 - 1510 de Rafael, când celebrul pictor și-a creat frescele la Vatican, se remarcă doar prin dinamismul și dramatismul intrigii. Rafael nu a dus niciodată la bun sfârșit ideea sa, totuși, schița sa a fost gravată de un grafician italian necunoscut Marcantinio Raimondi, care, pe baza acestei schițe, a creat gravura Masacrul inocenților. Dacă, pe schița pregătitoare a lui Rafael, se trasează mental linii care merg din centrul semantic al compoziției - punctul în care degetele războinicului s-au închis în jurul gleznei copilului - de-a lungul figurilor unui copil, o femeie strângându-l pentru sine, un războinic cu o sabie ridicată, apoi de-a lungul figurilor aceluiași grup în părțile din dreapta ale schiței (în figură, aceste linii sunt desenate în roșu), apoi conectați aceste bucăți ale curbei cu o linie punctată, apoi este o spirală aurie obţinute cu o precizie foarte mare. Acest lucru poate fi verificat prin măsurarea raportului dintre lungimile segmentelor tăiate de spirală pe liniile drepte care trec prin începutul curbei.
RAȚIA DE AUR ȘI PERCEPȚIA IMAGINII Abilitatea analizorului vizual uman de a distinge obiectele construite conform algoritmului secțiunii de aur ca fiind frumoase, atractive și armonioase este cunoscută de mult. Raportul de aur dă senzația celui mai perfect întreg întreg. Formatul multor cărți urmează proporția de aur. Se alege pentru ferestre, tablouri si plicuri, timbre, carti de vizita. O persoană poate să nu știe nimic despre numărul Ф, dar în structura obiectelor, precum și în succesiunea evenimentelor, el găsește subconștient elemente ale raportului de aur. Au fost efectuate studii în care subiecții au fost rugați să selecteze și să copieze dreptunghiuri de diferite proporții. Au fost trei dreptunghiuri din care să alegeți: un pătrat (40:40 mm), un dreptunghi „secțiune de aur” cu un raport de aspect de 1:1,62 (31:50 mm) și un dreptunghi cu proporții alungite de 1:2,31 (26: 60 mm). Atunci când alegeți dreptunghiuri în stare normală, în 1/2 cazuri se acordă preferință unui pătrat. Emisfera dreaptă preferă raportul de aur și respinge dreptunghiul alungit. Dimpotrivă, emisfera stângă gravitează spre proporții alungite și respinge raportul de aur. La copierea acestor dreptunghiuri s-au observat următoarele. Când emisfera dreaptă era activă, proporțiile din copii au fost menținute cu cea mai mare acuratețe. Când emisfera stângă era activă, proporțiile tuturor dreptunghiurilor au fost distorsionate, dreptunghiurile au fost întinse (un pătrat a fost desenat ca dreptunghi cu un raport de aspect de 1:1,2; proporțiile dreptunghiului întins au crescut brusc și au ajuns la 1:2,8). ). Cele mai puternic distorsionate proporții ale dreptunghiului „de aur”; proporțiile sale în copii au devenit proporțiile dreptunghiului 1:2.08. Când desenați propriile desene, predomină proporțiile apropiate de raportul de aur și alungite. În medie, proporțiile sunt 1:2, în timp ce emisfera dreaptă preferă proporțiile secțiunii de aur, emisfera stângă se îndepărtează de proporțiile secțiunii de aur și întinde modelul. Acum desenați câteva dreptunghiuri, măsurați-le laturile și găsiți raportul de aspect. Ce emisferă ai?

PROPORTUL DE AUR ÎN FOTOGRAFIE
Un exemplu de utilizare a raportului de aur în fotografie este locația componentelor cheie ale cadrului în puncte care sunt situate la 3/8 și 5/8 de marginile cadrului. Acest lucru poate fi ilustrat prin exemplul următor.

Iată o fotografie a unei pisici, care se află într-un loc arbitrar din cadru.

Acum să împărțim condiționat cadrul în segmente, în proporție de 1,62 din lungimea totală de pe fiecare parte a cadrului. La intersecția segmentelor, vor fi principalele „centre vizuale” în care merită plasate elementele cheie necesare imaginii. Să ne transferăm pisica în punctele „centrelor vizuale”. RAPORT DE AUR ȘI SPAȚIU Din istoria astronomiei se știe că I. Titius, un astronom german al secolului al XVIII-lea, folosind această serie, a găsit regularitate și ordine în distanțele dintre planetele sistemului solar.
Cu toate acestea, un caz care părea a fi contrar legii: nu a existat nicio planetă între Marte și Jupiter.Observarea concentrată a acestei părți a cerului a dus la descoperirea centurii de asteroizi. Acest lucru s-a întâmplat după moartea lui Titius la începutul secolului al XIX-lea. Seria Fibonacci este utilizată pe scară largă: cu ajutorul ei, ele reprezintă arhitectura ființelor vii și a structurilor create de om și structura galaxiilor. Aceste fapte sunt dovezi ale independenței seriei de numere față de condițiile manifestării sale, care este unul dintre semnele universalității sale.



Cele două Spirale Aurii ale galaxiei sunt compatibile cu Steaua lui David. Fiți atenți la stelele care ies din galaxie într-o spirală albă. Exact 180® dintr-una dintre spirale vine o altă spirală care se desfășoară. ... Multă vreme, astronomii au crezut pur și simplu că tot ceea ce este acolo este ceea ce vedem; dacă ceva este vizibil, atunci există. Ei fie nu au observat deloc partea invizibilă a Realității, fie nu au considerat-o importantă. Dar partea invizibilă a Realității noastre este de fapt mult mai mare decât partea vizibilă și probabil mai importantă. ... Cu alte cuvinte, partea vizibilă a Realității este mult mai mică de unu la sută din întreg - aproape nimic. De fapt, adevărata noastră casă este universul invizibil... În Univers, toate galaxiile cunoscute omenirii și toate corpurile din ele există sub forma unei spirale, corespunzătoare formulei secțiunii de aur. În spirala galaxiei noastre se află proporția de aur


CONCLUZIE Natura, înțeleasă ca întreaga lume în varietatea formelor ei, constă, parcă, din două părți: natura vie și natura neînsuflețită. Creațiile naturii neînsuflețite se caracterizează prin stabilitate ridicată, variabilitate scăzută, judecând după amploarea vieții umane. O persoană se naște, trăiește, îmbătrânește, moare, dar munții de granit rămân la fel și planetele se învârt în jurul Soarelui în același mod ca pe vremea lui Pitagora. Lumea vieții sălbatice ne apare într-un mod complet diferit - mobil, schimbător și surprinzător de divers. Viața ne arată un carnaval fantastic al diversității și al originalității combinațiilor creative! Lumea naturii neînsuflețite este, în primul rând, o lume a simetriei, care dă stabilitate și frumusețe creațiilor sale. Lumea naturii este, în primul rând, o lume a armoniei, în care operează „legea secțiunii de aur”. În lumea modernă, știința are o importanță deosebită datorită impactului crescut al omului asupra naturii. Sarcini importante în etapa actuală sunt căutarea unor noi modalități de conviețuire a omului și natură, studiul problemelor filozofice, sociale, economice, educaționale și de altă natură cu care se confruntă societatea. În această lucrare a fost luată în considerare influența proprietăților „secțiunii de aur” asupra naturii vii și nevie, asupra cursului istoric al dezvoltării istoriei omenirii și a planetei în ansamblu. Analizând toate cele de mai sus, se poate minuna din nou de măreția procesului de cunoaștere a lumii, de descoperirea modelelor sale mereu noi și de a concluziona: principiul secțiunii de aur este cea mai înaltă manifestare a structurii și funcţional perfecțiunea sa a întregului și a părților sale în artă, știință, tehnologie și natură. Se poate aștepta ca legile dezvoltării diverselor sisteme ale naturii, legile creșterii, să nu fie foarte diverse și să poată fi urmărite în cele mai diverse formațiuni. Aceasta este manifestarea unității naturii. Ideea unei astfel de unități, bazată pe manifestarea acelorași modele în fenomene naturale eterogene, și-a păstrat relevanța de la Pitagora până în prezent. al. 51

Există încă multe mistere nerezolvate în univers, dintre care unele oamenii de știință au reușit deja să le identifice și să le descrie. Numerele Fibonacci și raportul de aur formează baza pentru dezlegarea lumii din jurul nostru, construindu-i forma și percepția vizuală optimă de către o persoană, cu ajutorul căreia poate simți frumusețea și armonia.

ratia de aur

Principiul determinării dimensiunii secțiunii de aur stă la baza perfecțiunii întregii lumi și a părților sale în structura și funcțiile sale, manifestarea ei putând fi văzută în natură, artă și tehnologie. Doctrina raportului de aur a fost fondată ca rezultat al cercetărilor efectuate de oamenii de știință antici asupra naturii numerelor.

Se bazează pe teoria proporțiilor și raporturilor diviziunilor segmentelor, care a fost făcută de filosoful și matematicianul antic Pitagora. El a demonstrat că atunci când se împarte un segment în două părți: X (mai mic) și Y (mai mare), raportul dintre cel mai mare și cel mai mic va fi egal cu raportul dintre suma lor (a întregului segment):

Rezultatul este o ecuație: x 2 - x - 1=0, care se rezolvă ca x=(1±√5)/2.

Dacă luăm în considerare raportul 1/x, atunci este egal cu 1,618…

Dovada utilizării raportului de aur de către gânditorii antici este dată în cartea „Începuturilor” lui Euclid, scrisă încă din secolul al III-lea. BC, care a folosit această regulă pentru a construi 5-gonuri obișnuite. Printre pitagoreeni, această figură este considerată sacră, deoarece este atât simetrică, cât și asimetrică. Pentagrama simbolizează viața și sănătatea.

numerele Fibonacci

Celebra carte Liber abaci a matematicianului italian Leonardo din Pisa, care mai târziu a devenit cunoscut sub numele de Fibonacci, a fost publicată în 1202. În ea, omul de știință oferă pentru prima dată un model de numere, într-o serie a cărora fiecare număr este suma. din cele 2 cifre anterioare. Secvența lui Fibonacci este următoarea:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 etc.

Omul de știință a citat, de asemenea, o serie de modele:

• Orice număr din serie, împărțit la următorul, va fi egal cu o valoare care tinde spre 0,618. Mai mult, primele numere Fibonacci nu dau un astfel de număr, dar pe măsură ce te deplasezi de la începutul secvenței, acest raport va fi din ce în ce mai precis.
• Dacă împărțiți numărul din serie la cel precedent, atunci rezultatul va tinde spre 1,618.
• Un număr împărțit la următorul va arăta o valoare care tinde spre 0,382.

Aplicarea conexiunii și modelelor secțiunii de aur, numărul Fibonacci (0,618) poate fi găsită nu numai în matematică, ci și în natură, în istorie, în arhitectură și construcții și în multe alte științe.

Spirala lui Arhimede și dreptunghi auriu

Spiralele, foarte comune în natură, au fost explorate de Arhimede, care a derivat chiar și ecuația ei. Forma spiralei se bazează pe legile raportului de aur. Când este nerăsucită, se obține o lungime căreia i se pot aplica proporții și numere Fibonacci, creșterea pasului are loc uniform.

Paralela dintre numerele Fibonacci și raportul de aur poate fi văzută și prin construirea unui „dreptunghi de aur” ale cărui laturi sunt proporționale ca 1,618:1. Se construiește prin trecerea de la un dreptunghi mai mare la unul mai mic, astfel încât lungimile laturilor să fie egale cu numerele din rând. Construcția sa se poate face în ordine inversă, începând cu pătratul „1”. La conectarea colțurilor acestui dreptunghi cu linii în centrul intersecției lor, se obține o spirală Fibonacci sau logaritmică.

Istoria utilizării proporțiilor de aur

Multe monumente arhitecturale antice ale Egiptului au fost construite folosind proporții de aur: celebrele piramide ale lui Keops și altele.Arhitecții Greciei Antice le-au folosit pe scară largă în construcția de obiecte de arhitectură, precum temple, amfiteatre, stadioane. De exemplu, astfel de proporții au fost folosite în construcția templului antic Partenon (Atena) și a altor obiecte care au devenit capodopere ale arhitecturii antice, demonstrând armonie bazată pe modele matematice.

În secolele următoare, interesul pentru raportul de aur a scăzut, iar tiparele au fost uitate, dar din nou reluate în Renaștere, împreună cu cartea călugărului franciscan L. Pacioli di Borgo „Proporția divină” (1509). Include ilustrații de Leonardo da Vinci, care a fixat noul nume „secțiunea de aur”. De asemenea, 12 proprietăți ale proporției de aur au fost dovedite științific, iar autorul a vorbit despre modul în care se manifestă în natură, în artă și a numit-o „principiul construirii lumii și naturii”.

Omul Vitruvian Leonardo

Desenul prin care Leonardo da Vinci a ilustrat cartea lui Vitruvius în 1492 înfățișează o figură a unui bărbat în 2 poziții cu brațele întinse în lateral. Figura este înscrisă într-un cerc și un pătrat. Acest desen este considerat a fi proporțiile canonice ale corpului uman (mascul), descrise de Leonardo pe baza studiului lor în tratatele arhitectului roman Vitruvius.

Centrul corpului ca punct echidistant față de capătul brațelor și picioarelor este buricul, lungimea brațelor este egală cu înălțimea unei persoane, lățimea maximă a umerilor = 1/8 din înălțime, distanța de la vârful pieptului până la păr = 1/7, de la vârful pieptului până la vârful capului = 1/6 etc.

De atunci, desenul a fost folosit ca simbol care arată simetria internă a corpului uman.

Termenul „Rația de Aur” a fost folosit de Leonardo pentru a se referi la relațiile proporționale din figura umană. De exemplu, distanța de la talie la picioare este legată de aceeași distanță de la buric până la vârful capului la fel ca înălțimea până la prima lungime (de la talie în jos). Acest calcul se face similar cu raportul segmentelor atunci când se calculează raportul de aur și tinde spre 1,618.

Toate aceste proporții armonioase sunt adesea folosite de artiști pentru a crea lucrări frumoase și impresionante.

Studii ale raportului de aur în secolele XVI-XIX

Folosind raportul de aur și numerele Fibonacci, lucrările de cercetare privind problema proporțiilor se desfășoară de mai bine de un secol. În paralel cu Leonardo da Vinci, artistul german Albrecht Dürer dezvolta și teoria proporțiilor corecte ale corpului uman. Pentru aceasta, a creat chiar și o busolă specială.

În secolul al XVI-lea problema relației dintre numărul Fibonacci și secțiunea de aur a fost dedicată lucrării astronomului I. Kepler, care a aplicat pentru prima dată aceste reguli botanicii.

O nouă „descoperire” aștepta raportul de aur în secolul al XIX-lea. odată cu publicarea „Cercetării estetice” de către omul de știință german profesor Zeisig. El a ridicat aceste proporții la absolut și a anunțat că sunt universale pentru toate fenomenele naturale. El a efectuat studii asupra unui număr mare de oameni, sau mai degrabă asupra proporțiilor lor corporale (aproximativ 2 mii), în urma cărora s-au tras concluzii despre modele confirmate statistic în raporturile diferitelor părți ale corpului: lungimea umerilor, antebrațelor. , mâini, degete etc.

Au fost studiate și obiectele de artă (vaze, structuri arhitecturale), tonurile muzicale, dimensiunile la scrierea poeziei - Zeisig a afișat toate acestea prin lungimile segmentelor și numerelor, a introdus și termenul de „estetică matematică”. După primirea rezultatelor, s-a dovedit că se obține seria Fibonacci.

Numărul Fibonacci și raportul de aur în natură

În lumea vegetală și animală, există tendința de a se forma sub formă de simetrie, care se observă în direcția creșterii și mișcării. Împărțirea în părți simetrice în care se observă proporțiile de aur este un model inerent multor plante și animale.

Natura din jurul nostru poate fi descrisă folosind numerele Fibonacci, de exemplu:

• dispunerea frunzelor sau ramurilor oricăror plante, precum și distanțele, sunt legate de seria numerelor date 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 și așa mai departe;
• seminte de floarea soarelui (solzi pe conuri, celule de ananas), dispuse in doua randuri in spirale rasucite in directii diferite;
• raportul dintre lungimea cozii și întregul corp al șopârlei;
• forma oului, dacă trageți o linie condiționat prin partea sa largă;
• raportul dintre dimensiunea degetelor de pe mâna omului.

Și, desigur, cele mai interesante forme sunt cochiliile de melci în spirală, modelele de pe rețea, mișcarea vântului în interiorul unui uragan, spirala dublă din ADN și structura galaxiilor - toate acestea includ șirul numeric Fibonacci. .

Utilizarea raportului de aur în art

Cercetătorii care caută exemple de utilizare a secțiunii de aur în artă examinează în detaliu diferite obiecte de arhitectură și picturi. Sunt cunoscute lucrări sculpturale celebre, creatorii cărora au aderat la proporții de aur - statuile lui Zeus Olimpian, Apollo Belvedere și

Una dintre creațiile lui Leonardo da Vinci – „Portretul Mona Lisei” – a făcut obiectul cercetărilor oamenilor de știință de mulți ani. Ei au descoperit că compoziția lucrării constă în întregime din „triunghiuri de aur”, unite împreună într-o stea pentagon obișnuită. Toate lucrările lui da Vinci sunt dovada cât de profunde erau cunoștințele sale despre structura și proporțiile corpului uman, datorită cărora a reușit să surprindă zâmbetul incredibil de misterios al Mona Lisei.

Raportul de aur în arhitectură

De exemplu, oamenii de știință au studiat capodopere arhitecturale create după regulile „secțiunii de aur”: piramidele egiptene, Panteonul, Partenonul, Catedrala Notre Dame de Paris, Catedrala Sf. Vasile etc.

Partenonul, una dintre cele mai frumoase clădiri din Grecia Antică (sec. V î.Hr.), are 8 coloane și 17 pe laturi diferite, raportul dintre înălțimea sa și lungimea laturilor este de 0,618. Proeminențele de pe fațadele sale sunt realizate conform „secțiunii de aur” (foto de mai jos).

Unul dintre oamenii de știință care a inventat și aplicat cu succes îmbunătățirea sistemului modular de proporții pentru obiectele de arhitectură (așa-numitul „modulor”) a fost arhitectul francez Le Corbusier. Modulorul se bazează pe un sistem de măsurare asociat cu o împărțire condiționată în părți ale corpului uman.

Arhitectul rus M. Kazakov, care a construit mai multe clădiri rezidențiale la Moscova, precum și clădirile Senatului din Kremlin și Spitalul Golitsyn (acum Prima Clinică numită după NI Pirogov), a fost unul dintre arhitecții care au folosit legile în proiectarea și construcția despre raportul de aur.

Aplicarea proporțiilor în proiectare

În designul de modă, toți designerii de modă realizează imagini și modele noi, ținând cont de proporțiile corpului uman și de regulile raportului de aur, deși prin natura lor nu toți oamenii au proporții ideale.

Atunci când planificați amenajarea peisajului și creați compoziții voluminoase de parc cu ajutorul plantelor (copaci și arbuști), fântâni și obiecte de arhitectură mici, se pot aplica și modelele de „proporții divine”. La urma urmei, compoziția parcului ar trebui să se concentreze pe crearea unei impresii asupra vizitatorului, care va putea să navigheze liber în el și să găsească centrul compozițional.

Toate elementele parcului sunt în astfel de proporții încât, cu ajutorul structurii geometrice, aranjamentului reciproc, iluminarii și luminii, dau o impresie de armonie și perfecțiune unei persoane.

Aplicarea secțiunii de aur în cibernetică și tehnologie

Modelele secțiunii de aur și numerelor Fibonacci se manifestă și în tranziții energetice, în procese care au loc cu particule elementare care alcătuiesc compușii chimici, în sistemele spațiale, în structura genei ADN.

Procese similare apar în corpul uman, manifestându-se în bioritmurile vieții sale, în acțiunea organelor, de exemplu, creierul sau vederea.

Algoritmii și modelele de proporții de aur sunt utilizate pe scară largă în cibernetica și informatica modernă. Una dintre sarcinile simple pe care programatorii începători trebuie să le rezolve este să scrie o formulă și să determine suma numerelor Fibonacci până la un anumit număr folosind limbaje de programare.

Cercetări moderne asupra teoriei raportului de aur

De la mijlocul secolului al XX-lea, interesul pentru problemele și influența legilor proporțiilor de aur asupra vieții umane a crescut dramatic și din partea multor oameni de știință de diverse profesii: matematicieni, cercetători etnologici, biologi, filozofi, lucrători medicali, economiști, muzicieni etc.

Începând cu anii 1970, The Fibonacci Quarterly a fost publicat în Statele Unite, unde sunt publicate lucrări pe această temă. În presă apar lucrări în care regulile generalizate ale secțiunii de aur și seria Fibonacci sunt folosite în diverse ramuri ale cunoașterii. De exemplu, pentru codificarea informațiilor, cercetări chimice, biologice etc.

Toate acestea confirmă concluziile oamenilor de știință antici și moderni că raportul de aur este conectat multilateral cu problemele fundamentale ale științei și se manifestă în simetria multor creații și fenomene ale lumii din jurul nostru.

Chiar și în Egiptul antic era cunoscut ratia de aur, Leonardo da Vinci și Euclid i-au studiat proprietățile.Percepția vizuală a unei persoane este aranjată în așa fel încât să distingă în formă toate obiectele care o înconjoară. Interesul său pentru un obiect sau forma acestuia este uneori dictat de necesitate, sau acest interes ar putea fi cauzat de frumusețea obiectului. Dacă în baza construcției formei, se folosește o combinație ratia de aurși legile simetriei, atunci aceasta este cea mai bună combinație pentru percepția vizuală de către o persoană care simte armonie și frumusețe. Întregul întreg este format din părți, mari și mici, iar aceste dimensiuni diferite de părți au o anumită relație, atât între ele, cât și cu întregul. Și cea mai înaltă manifestare a perfecțiunii funcționale și structurale în natură, știință, artă, arhitectură și tehnologie este Principiul ratia de aur. Conceptul de ratia de aur a introdus în uz științific pe matematicianul și filozoful grec antic (sec. VI î.Hr.) Pitagora. Dar însăși cunoașterea ratia de aur a împrumutat de la vechii egipteni. Proporțiile tuturor clădirilor templului, piramidele lui Keops, basoreliefurile, obiectele de uz casnic și decorațiunile din morminte arată că raportul ratia de aur a fost folosit activ de maeștrii antici cu mult înaintea lui Pitagora. Ca exemplu: basorelieful din templul lui Seti I de la Abydos și basorelieful lui Ramses folosesc principiul ratia de aurîn proporţiile cifrelor. Arhitectul Le Corbusier a aflat acest lucru. Pe o placă de lemn recuperată din mormântul arhitectului Khesir este înfățișat un desen în relief, pe care este vizibil arhitectul însuși, ținând în mâini instrumente de măsurare, care sunt înfățișate într-o poziție care fixează principiile. ratia de aur. Cunoștea principiile ratia de aurși Platon (427...347 î.Hr). Dialogul Timeu este o dovadă în acest sens, deoarece este dedicat întrebărilor diviziune de aur, vederi estetice și matematice ale școlii lui Pitagora. Principii secțiunea de aur folosit de arhitecții greci antici în fațada templului din Partenon. Busolele pe care arhitecții și sculptorii din lumea antică le foloseau în munca lor au fost descoperite în timpul săpăturilor din templul Partenon.

Partenon, Acropole, Atena În Pompeii (muzeu din Napoli) proporții diviziune de aur sunt de asemenea disponibile.În literatura antică care a ajuns până la noi, principiul ratia de aur menționat pentru prima dată în Elementele lui Euclid. În cartea „Începuturi” din partea a doua, este dat un principiu geometric ratia de aur. Urmașii lui Euclid au fost Pappus (secolul al III-lea d.Hr.), Hypsicles (secolul al II-lea î.Hr.) și alții. În Europa medievală cu principiul ratia de aur Ne-am cunoscut prin traduceri din arabă ale „Începuturilor” lui Euclid. Principii ratia de aur erau cunoscuți doar de un cerc restrâns de inițiați, erau păziți cu gelozie, ținuți în strict secret. A venit o renaștere și un interes pentru principii ratia de aur crește în rândul oamenilor de știință și artiștilor, deoarece acest principiu este aplicabil în știință, arhitectură și artă. Și Leonardo Da Vinci a început să folosească aceste principii în lucrările sale, chiar mai mult decât atât, a început să scrie o carte despre geometrie, dar în acel moment a apărut o carte a călugărului Luca Pacioli, care l-a devansat și a publicat cartea " Proporția divină” după care Leonardo și-a părăsit lucrarea nu este terminată. Potrivit istoricilor științei și ai contemporanilor, Luca Pacioli a fost un adevărat luminat, un genial matematician italian care a trăit între Galileo și Fibonacci. În calitate de elev al pictorului Piero della Francesca, Luca Pacioli a scris două cărți, Despre perspectiva în pictură, titlul uneia dintre ele. El este considerat de mulți a fi creatorul geometriei descriptive. Luca Pacioli, la invitația ducelui de Moreau, a sosit la Milano în 1496 și a ținut acolo prelegeri despre matematică. Leonardo da Vinci în acest moment lucra la curtea Moro. Proporția divină a lui Luca Pacioli, publicată la Veneția în 1509, a devenit un imn entuziast ratia de aur, cu ilustrații frumos executate, există toate motivele să credem că ilustrațiile au fost realizate chiar de Leonardo da Vinci. Călugărul Luca Pacioli, ca una dintre virtuți ratia de aur a subliniat „esența sa divină”. Înțelegând valoarea științifică și artistică a raportului de aur, Leonardo da Vinci a dedicat mult timp studierii lui. Efectuând o secțiune a unui corp stereometric format din pentagoane, a obținut dreptunghiuri cu rapoarte de aspect în conformitate cu ratia de aur. Și i-a dat un nume ratia de aur". Care încă ține. Albrecht Dürer, învață și el ratia de aurîn Europa, se întâlnește cu călugărul Luca Pacioli. Johannes Kepler, cel mai mare astronom al vremii, a fost primul care a atras atenția asupra importanței ratia de aur pentru botanica numind-o comoara geometriei. El a numit proporția de aur autocontinuă. „Este astfel aranjat”, a spus el, „suma celor doi termeni juniori într-o proporție infinită dă al treilea termen, iar oricare doi ultimi termeni, dacă sunt adunați împreună, dă termenul următor. , iar aceeași proporție rămâne la nesfârșit.”

Triunghiul de aur:: Raportul de aur și raportul de aur:: Dreptunghiul de aur:: Spirala de aur

Triunghiul de Aur

Pentru a găsi segmente ale raportului de aur al rândurilor descendetoare și ascendente, vom folosi pentagrama.

Orez. 5. Construcția unui pentagon obișnuit și a unei pentagrame

Pentru a construi o pentagramă, trebuie să desenați un pentagon obișnuit conform metodei de construcție dezvoltată de pictorul și graficianul german Albrecht Dürer. Dacă O este centrul cercului, A este un punct al cercului, iar E este punctul de mijloc al segmentului OA. Perpendiculara pe raza OA, ridicată în punctul O, intersectează cercul în punctul D. Cu ajutorul unui compas, marcați un segment pe diametrul CE = ED. Atunci lungimea unei laturi a unui pentagon regulat înscris într-un cerc este egală cu DC. Lăsăm deoparte segmentele DC pe cerc și obținem cinci puncte pentru desenarea unui pentagon obișnuit. Apoi, printr-un colț, conectăm colțurile pentagonului cu diagonale și obținem o pentagramă. Toate diagonalele pentagonului se împart reciproc în segmente conectate prin raportul de aur.

Fiecare capăt al stelei pentagonale este un triunghi de aur. Laturile sale formează un unghi de 36° în partea de sus, iar baza așezată lateral îl împarte proporțional cu secțiunea aurie. Desenați linia dreaptă AB. Din punctul A întindem pe el un segment O de mărime arbitrară de trei ori, prin punctul rezultat P trasăm o perpendiculară pe dreapta AB, pe perpendiculară pe dreapta și stânga punctului P amânăm segmentele O. Rezultatul rezultat punctele d și d1 sunt legate prin drepte cu punctul A. Punem segmentul dd1 pe linia Ad1, obținând punctul C. Ea a împărțit dreapta Ad1 proporțional cu raportul de aur. Liniile Ad1 și dd1 sunt folosite pentru a construi un dreptunghi „de aur”.

Orez. 6. Construirea unui aur

triunghi

Raportul de aur și raportul de aur

În matematică și artă, două cantități sunt în raportul de aur dacă raportul dintre suma acestor cantități și cea mai mare este același cu raportul dintre cea mai mare și cea mai mică. Exprimat algebric: Raportul de aur este adesea notat cu litera greacă phi (? sau?). figura raportului de aur ilustrează relaţiile geometrice care definesc această constantă. Raportul de aur este o constantă matematică irațională, aproximativ 1,6180339887.

dreptunghi auriu

Dreptunghiul de aur este un dreptunghi ale cărui lungimi ale laturilor sunt în raportul de aur, 1:? (unu-la-fi), adică 1: sau aproximativ 1:1,618. Dreptunghiul auriu poate fi construit doar cu o riglă si un cerc: 1. Construiți un pătrat simplu 2. Desenați o linie de la mijlocul unei laturi a pătratului până la colțul opus 3. Utilizați această linie ca rază pentru a desena un arc care definește înălțimea dreptunghiului 4. Completează dreptunghiul auriu

spirală aurie

În geometrie, spirala aurie este o spirală logaritmică al cărei factor de creștere b este legat de? , ratia de aur. În special, spirala aurie devine mai largă (mai departe de locul în care a început) cu un factor ? pentru fiecare sfert de tură pe care îl face.

Punctele succesive de împărțire a dreptunghiului de aur în pătrate se află pe spirală logaritmică, uneori cunoscută sub denumirea de spirală aurie.

Secțiunea de aur în arhitectură și artă.

Mulți arhitecți și artiști și-au executat lucrările în conformitate cu proporțiile secțiunii de aur, în special sub forma unui dreptunghi de aur, în care raportul dintre latura mai mare și cea mai mică are proporțiile secțiunii de aur, crezând că acest raport ar fi estetic. [Sursa: Wikipedia.org ]

Aici sunt cateva exemple:

Partenon, Acropole, Atena . Acest templu antic se potrivește aproape exact în dreptunghiul de aur.

Omul Vitruvian de Leonardo da Vinci puteți desena multe linii dreptunghiuri în această figură. Apoi, există trei seturi diferite de dreptunghiuri aurii: Fiecare set este pentru zona capului, trunchiului și picioarelor. Desenul lui Leonardo da Vinci Omul Vitruvian este uneori confundat cu principiile „dreptunghiului de aur”, dar nu este cazul. Construcția Omului Vitruvian se bazează pe trasarea unui cerc cu diametrul egal cu diagonala pătratului, deplasându-l în sus astfel încât să atingă baza pătratului și trasarea cercului final între baza pătratului și mijlocul dintre aria centrului pătratului și a centrului cercului: Explicație detaliată despre construcția geometrică >>

Raportul de aur în natură.

Adolf Zeising, ale cărui principale interese erau matematica și filozofia, a găsit raportul de aur în aranjarea ramurilor de-a lungul tulpinii plantei și a nervurilor din frunze. Și-a extins studiile de la plante la animale, studiind scheletele animalelor și ramurile venelor și nervilor acestora, precum și proporțiile compușilor chimici și geometria cristalelor, până la utilizarea raportului de aur în arta plastică. În aceste fenomene, el a văzut că raportul de aur era folosit peste tot ca o lege universală, scria Zeising în 1854: Raportul de aur este o lege universală, care conține principiul de bază care formează dorința de frumusețe și completitudine în domenii precum natura și arta, care pătrunde, ca ideal spiritual primordial, toate structurile, formele și proporțiile, fie că este vorba despre un cosmic. sau persoană fizică, organică sau anorganică, acustică sau optică, dar principiul secțiunii de aur își găsește cea mai completă realizare, în formă umană.

Exemple:

O tăietură a carcasei Nautilus dezvăluie principiul de aur al construcției în spirală.

Mozart și-a împărțit sonatele în două părți, ale căror lungimi se reflectă ratia de aur, deși există multe dezbateri dacă a făcut-o cu bună știință. În vremuri mai moderne, compozitorul maghiar Béla Bartók și arhitectul francez Le Corbusier au încorporat intenționat raportul de aur în lucrările lor. Chiar și astăzi ratia de aur ne înconjoară peste tot în obiecte artificiale. Privește aproape orice cruce creștină, raportul dintre verticală și orizontală este raportul de aur. Pentru a găsi dreptunghiul de aur, uită-te în portofel și acolo vei găsi cărți de credit.În ciuda acestor multe dovezi date în operele de artă create de-a lungul secolelor, există în prezent o dezbatere în rândul psihologilor despre dacă oamenii percep cu adevărat proporțiile de aur, în special dreptunghiul de aur, ca fiind mai frumoase decât alte forme. Într-un articol din jurnal din 1995, profesorul Christopher Green, de la Universitatea York din Toronto, discută o serie de experimente de-a lungul anilor care nu au arătat nicio preferință pentru forma dreptunghiului de aur, dar notează că alte câteva au furnizat dovezi că o astfel de preferință nu exista.. Dar indiferent de știință, proporția de aur își păstrează mistica, în parte pentru că se aplică atât de bine în multe locuri neașteptate din natură. Spirală scoici de scoici nautilus sunt surprinzător de aproape de ratia de aur, iar raportul dintre lungimea pieptului și a abdomenului la majoritatea albinelor este aproape ratia de aur. Chiar și secțiuni transversale ale celor mai comune forme de ADN uman se potrivesc perfect în decagonul de aur. ratia de aur iar rudele sale apar și în multe contexte neașteptate în matematică și continuă să trezească interesul comunităților matematice. Dr. Steven Marquardt, un fost chirurg plastician, a folosit această proporție misterioasă ratia de aur, în opera sa, care a fost mult timp responsabil pentru frumusețe și armonie, să facă o mască, pe care a considerat-o cea mai frumoasă formă a chipului uman care poate fi.

Masca chip uman perfect

Regina egipteană Nefertiti (1400 î.Hr.)

Chipul lui Iisus este o copie de pe Giulgiul din Torino și corectat după masca doctorului Stephen Marquardt.

Un chip de celebritate „mediat” (sintetizat). Cu proporții ale secțiunii de aur.

S-au folosit materialele site-ului: http://blog.world-mysteries.com/

Este general acceptat că conceptul de diviziune de aur a fost introdus în uz științific de către Pitagora, un filosof și matematician grec antic (sec. VI î.Hr.). Există o presupunere că Pitagora și-a împrumutat cunoștințele despre diviziunea de aur de la egipteni și babilonieni. Într-adevăr, proporțiile piramidei lui Keops, templele, basoreliefurile, obiectele de uz casnic și decorațiunile din mormântul lui Tutankhamon indică faptul că meșterii egipteni au folosit rapoartele diviziunii de aur atunci când le-au creat. Arhitectul francez Le Corbusier a descoperit că în relieful din templul faraonului Seti I din Abydos și în relieful care îl înfățișează pe faraonul Ramses, proporțiile figurilor corespund valorilor diviziunii de aur. Arhitectul Khesira, înfățișat pe un relief al unei plăci de lemn din mormântul numelui său, ține în mâini instrumente de măsură, în care sunt fixate proporțiile diviziunii de aur.

Grecii erau geometri pricepuți. Chiar și aritmetica a fost predată copiilor lor cu ajutorul figurilor geometrice. Pătratul lui Pitagora și diagonala acestui pătrat au stat la baza construirii dreptunghiurilor dinamice.

Platon (427...347 î.Hr.) știa și el despre diviziunea de aur. Dialogul său „Timaeus” este consacrat viziunilor matematice și estetice ale școlii lui Pitagora, în special, întrebărilor diviziunii de aur.

În literatura antică care a ajuns până la noi, diviziunea de aur a fost menționată pentru prima dată în „Începuturile” lui Euclid. În cartea a II-a a „Începuturilor” este dată construcția geometrică a diviziunii de aur. După Euclid, Hypsicles (secolul II î.Hr.), Pappus (secolul III d.Hr.) și alții s-au angajat în studiul diviziunii de aur.Navarra (secolul III). Secretele diviziei de aur erau păzite cu gelozie, păstrate în strict secret, erau cunoscute doar de inițiați.

În timpul Renașterii, interesul față de diviziunea de aur între oameni de știință și artiști a crescut datorită utilizării sale atât în ​​geometrie, cât și în artă, în special în arhitectură. Leonardo da Vinci, artist și om de știință, a văzut că artiștii italieni aveau multă experiență empirică, dar puține cunoștințe. A conceput și a început să scrie o carte de geometrie, dar în acel moment a apărut o carte a călugărului Luca Pacioli, iar Leonardo a abandonat ideea lui. Potrivit contemporanilor și istoricilor științei, Luca Pacioli a fost un adevărat luminat, cel mai mare matematician din Italia între Fibonacci și Galileo. Luca Pacioli a fost elevul artistului Piero della Francesca, care a scris două cărți, dintre care una se numea Despre perspectiva în pictură. El este considerat creatorul geometriei descriptive.

Luca Pacioli era bine conștient de importanța științei pentru artă. În 1509, a fost publicată la Veneția cartea lui Luca Pacioli, Divine Proportion, cu ilustrații executate cu strălucire, motiv pentru care se crede că au fost realizate de Leonardo da Vinci. Cartea a fost un imn entuziast la raportul de aur. Printre numeroasele avantaje ale raportului de aur, călugărul Luca Pacioli nu a omis să-și numească „esența divină” ca expresie a treimii divine a lui Dumnezeu Fiul, Dumnezeu Tatăl și Dumnezeu Duhul Sfânt (s-a înțeles că micul segmentul este personificarea lui Dumnezeu Fiul, segmentul mai mare este personificarea lui Dumnezeu Tatăl și întregul segment - zeul duhului sfânt).

Leonardo da Vinci a acordat multă atenție studiului diviziei de aur. A realizat secțiuni dintr-un corp stereometric format din pentagoane regulate și de fiecare dată a obținut dreptunghiuri cu rapoarte de aspect în diviziune de aur. Prin urmare, a dat acestei diviziuni numele secțiunii de aur. Și așa continuă până astăzi.

În același timp, în nordul Europei, în Germania, Albrecht Dürer lucra la aceleași probleme. El schițează o introducere în prima schiță a unui tratat despre proporții. Durer scrie. „Este necesar ca cel care știe ceva să-l învețe pe alții care au nevoie. Acesta este ceea ce mi-am propus să fac.” Albrecht Dürer dezvoltă în detaliu teoria proporțiilor corpului uman. El a atribuit un loc important în sistemul său de rapoarte secțiunii de aur. Cunoscut busolă proporțională Dürer.

Mare astronom al secolului al XVI-lea Johannes Kepler a numit raportul de aur una dintre comorile geometriei. El este primul care atrage atenția asupra semnificației raportului de aur pentru botanică (creșterea și structura plantelor). Kepler a numit raportul de aur continuându-se „Este aranjat în așa fel”, a scris el, „că cei doi termeni juniori ai acestei proporții infinite se adună la al treilea termen, iar oricare doi ultimi termeni, dacă sunt adunați împreună, dau următorul termen și aceeași proporție rămâne până la infinit.”

Construirea unei serii de segmente ale raportului de aur se poate face atât în ​​sensul creșterii (serie crescătoare), cât și pe direcția scăderii (serie descrescătoare).

În secolele următoare, regula raportului de aur s-a transformat într-un canon academic, iar când, de-a lungul timpului, a început o luptă în artă cu rutina academică, în plina luptei, „au aruncat copilul împreună cu apa. ” Raportul de aur a fost „descoperit” din nou la mijlocul secolului al XIX-lea. În 1855, cercetătorul german al secțiunii de aur, profesorul Zeising, și-a publicat lucrarea Aesthetic Research. Zeising consideră raportul de aur fără legătură cu alte fenomene. El a absolutizat proporția secțiunii de aur, declarând-o universală pentru toate fenomenele naturii și ale artei. Zeising a avut numeroși adepți, dar au existat și oponenți care au declarat că doctrina lui despre proporții este „estetică matematică”.

Zeising a testat validitatea teoriei sale asupra statuilor grecești. El a dezvoltat proporțiile lui Apollo Belvedere în cele mai multe detalii. Au fost supuse cercetărilor vaze grecești, structuri arhitecturale din diverse epoci, plante, animale, ouă de păsări, tonuri muzicale, contoare poetice. Zeising a definit raportul de aur, a arătat cum este exprimat în segmente de linie și în numere. Când au fost obținute cifrele care exprimă lungimile segmentelor, Zeising a văzut că acestea constituiau o serie Fibonacci, care putea fi continuată la nesfârșit într-o direcție și în cealaltă. Următoarea sa carte a fost intitulată „Diviziunea de aur ca lege morfologică de bază în natură și artă”. În 1876, o carte mică a fost publicată în Rusia, subliniind această lucrare a lui Zeising.

La sfârșitul secolului XIX - începutul secolului XX. au apărut multe teorii pur formaliste despre utilizarea secțiunii de aur în opere de artă și arhitectură. Odată cu dezvoltarea designului și a esteticii tehnice, legea raportului de aur s-a extins la proiectarea mașinilor, mobilierului etc.

Știința nu a absorbit arta, dar în acele perioade istorice în care matematica și arta convergeau, acest lucru a dat impuls dezvoltării ambelor.

Conceptul raportului de aur

Să aflăm ce este comun între piramidele egiptene antice, tabloul lui Leonardo da Vinci „Mona Lisa”, o floarea soarelui, un melc, un fulg de nea, o galaxie și degetele umane?

În matematică, proporția (latină proportio) este egalitatea a două rapoarte: a: b = c: d.

Secțiunea de aur este o astfel de împărțire proporțională a unui segment în părți inegale, în care întregul segment se raportează la partea mai mare în același mod în care partea mai mare în sine se raportează la cea mai mică.

Segmentul de linie AB poate fi împărțit în două părți prin punctul C în următoarele moduri:

• în două părți egale - AB: AC = AB: BC;
• în două părți inegale în orice raport (astfel de părți nu formează proporții);
• în raportul extrem și mediu în așa fel încât AB: AC \u003d AC: BC.

Ultima este diviziunea de aur.

Cunoașterea practică cu raportul de aur începe cu împărțirea unui segment de linie dreaptă în raportul de aur folosind o busolă și o riglă. BC = 1/2 AB; CD=BC

Din punctul B se restabilește o perpendiculară egală cu jumătatea AB. Punctul rezultat C este legat printr-o dreaptă de punctul A. Pe linia rezultată este trasat un segment BC, care se termină cu punctul D. Segmentul AD este transferat pe linia dreaptă AB. Punctul rezultat E împarte segmentul AB în raportul raportului de aur.

Segmentele raportului de aur sunt exprimate ca o fracție irațională infinită, dacă AB este luată ca unitate, atunci AE \u003d 0,618 ..., BE \u003d 0,382 ... În scopuri practice, valori aproximative \u200b\u200bo de 0,62 și 0,38 sunt adesea folosite. Dacă segmentul AB este luat ca 100 de părți, atunci cea mai mare parte a segmentului este de 62, iar cea mai mică este de 38 de părți.

Construcția celei de-a doua secțiuni de aur. Împărțirea se realizează după cum urmează. Segmentul AB este împărțit proporțional cu secțiunea de aur. Din punctul C, CD-ul perpendicular este restaurat. Raza AB este punctul D, care este legat printr-o linie de punctul A. Unghiul drept ACD este bisectat. Se trasează o dreaptă din punctul C până la intersecția cu dreapta AD. Punctul E împarte segmentul AD în raport de 56:44.

Linia celei de-a doua secțiuni de aur a dreptunghiului se află la mijloc între linia secțiunii de aur și linia de mijloc a dreptunghiului.

Pentagramă

Pentru a găsi segmente ale raportului de aur al rândurilor ascendente și descendente, puteți folosi pentagrama.

Construcția unui pentagon obișnuit și a unei pentagrame.

Pentru a construi o pentagramă, trebuie să construiți un pentagon obișnuit. Metoda construcției sale a fost dezvoltată de pictorul și graficianul german Albrecht Dürer (1471...1528). Fie O centrul cercului, A un punct al cercului și E punctul de mijloc al segmentului OA. Perpendiculara pe raza OA, ridicată în punctul O, se intersectează cu cercul în punctul D. Cu ajutorul unui compas, marcați pe diametru segmentul CE = ED. Lungimea unei laturi a unui pentagon regulat înscris într-un cerc este DC. Lăsăm deoparte segmentele DC pe cerc și obținem cinci puncte pentru desenarea unui pentagon obișnuit. Conectăm colțurile pentagonului printr-o diagonală și obținem o pentagramă. Toate diagonalele pentagonului se împart în segmente în raportul de aur. Fiecare capăt al stelei pentagonale este un triunghi de aur. Laturile sale formează un unghi de 36° la vârf, iar baza așezată pe partea laterală îl împarte în raportul de aur.

Seria Fibonacci

Numele călugărului matematician italian Leonardo din Pisa, mai cunoscut sub numele de Fibonacci (fiul lui Bonacci), este indirect legat de istoria secțiunii de aur. A călătorit mult în Orient, a introdus în Europa cifrele indiene (arabe). În 1202, a fost publicată lucrarea sa de matematică „Cartea Abacului” (tabla de numărare), în care erau adunate toate problemele cunoscute la acea vreme. Una dintre sarcini era „Câte perechi de iepuri într-un an se vor naște dintr-o pereche”. Reflectând la acest subiect, Fibonacci a construit următoarea serie de numere: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 etc.

Această serie este cunoscută sub numele de seria Fibonacci. Particularitatea secvenței de numere este că fiecare dintre membrii săi, începând de la al treilea, este egal cu suma celor două anterioare, iar raportul numerelor adiacente ale seriei se apropie de raportul diviziunii de aur. Mai mult, după al 13-lea număr din succesiune, acest rezultat al împărțirii devine constant până la infinitatea seriei. Acest număr constant de diviziuni în Evul Mediu a fost numit Proporția Divină, iar acum astăzi este denumit secțiunea de aur, media de aur sau proporția de aur. În algebră, acest număr este notat cu litera greacă φ (phi).

Deci raportul de aur este 1:1,618

Deci, 21:34 = 0,617 și 34:55 = 0,618. Acest raport este notat cu simbolul φ. Acest raport - 0,618: 0,382 - oferă o împărțire continuă a unui segment de linie dreaptă în raportul de aur.

Seria Fibonacci ar fi putut rămâne doar un incident matematic dacă nu ar fi fost faptul că toți cercetătorii diviziunii de aur din lumea vegetală și animală, ca să nu mai vorbim de artă, au ajuns invariabil la această serie ca o expresie aritmetică a legii diviziunii de aur. . Oamenii de știință au continuat să dezvolte în mod activ teoria numerelor Fibonacci și a raportului de aur. Există metode elegante pentru rezolvarea unui număr de probleme cibernetice (teoria căutării, jocuri, programare) folosind numerele Fibonacci și secțiunea de aur. În SUA se creează chiar și Asociația Mathematical Fibonacci, care publică un jurnal special din 1963.

dreptunghi auriu și spirală aurie

În geometrie, un dreptunghi cu o proporție de aur a laturilor a început să fie numit aur. Laturile sale lungi sunt legate de cele scurte - într-un raport de 1,168: 1.

Dreptunghiul auriu are, de asemenea, multe proprietăți uimitoare. Prin tăierea unui pătrat din dreptunghiul auriu, a cărui latură este egală cu latura mai mică a dreptunghiului, obținem din nou un dreptunghi auriu mai mic. Acest proces poate fi continuat la infinit. Pe măsură ce continuăm să tăiem pătratele, vom obține dreptunghiuri aurii din ce în ce mai mici. Mai mult, ele vor fi amplasate într-o spirală logaritmică, ceea ce este important în modelele matematice ale obiectelor naturale. Polul spiralei se află la intersecția diagonalelor dreptunghiului inițial și a primului tăiat vertical. Mai mult, diagonalele tuturor dreptunghiurilor de aur descrescătoare ulterioare se află pe aceste diagonale. Desigur, există și un triunghi de aur.