Metody rozwiązywania równań kwadratowych. Równania kwadratowe

Problem jest dobrze znany z matematyki. Danymi początkowymi są tutaj współczynniki a, b, c. Rozwiązaniem w ogólnym przypadku są dwa pierwiastki x 1 i x 2, które oblicza się ze wzorów:

Wszystkie wartości użyte w tym programie są rzeczywiste.

alg pierwiastki równania kwadratowego

rzecz a, b, c, x1, x2, d

wczesny wejście a, b, c

x1:=(-b+Öd)/(2a)

x2:=(-b–Öd)/(2a)

wyjście x1, x2

Słabość takiego algorytmu widoczna jest gołym okiem. On nie posiada najważniejsza własność zastosowanie do algorytmów jakościowych: uniwersalność w stosunku do danych wyjściowych. Bez względu na wartości danych początkowych algorytm musi prowadzić do określonego wyniku i dotrzeć do końca. Wynikiem może być odpowiedź liczbowa, ale może też być komunikat, że przy takich danych problem nie ma rozwiązania. Zatrzymania w środku algorytmu z powodu niemożności wykonania jakiejś operacji są niedozwolone. Ta sama właściwość w literaturze dotyczącej programowania nazywana jest efektywnością algorytmu (w każdym razie należy uzyskać jakiś wynik).

Aby zbudować uniwersalny algorytm, należy najpierw dokładnie przeanalizować matematyczną treść problemu.

Rozwiązanie równania zależy od wartości współczynników a, b, c. Oto analiza tego problemu (ograniczamy się tylko do znalezienia prawdziwych korzeni):

jeśli a=0, b=0, c=0, to dowolny x jest rozwiązaniem równania;

jeśli a=0, b=0, c¹0, to równanie nie ma rozwiązań;

jeśli a=0, b¹0, to to równanie liniowe, który ma jedno rozwiązanie: x=–c/b;

jeśli a¹0 i d=b 2 -4ac³0, to równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste (wzory podano powyżej);

jeśli a¹0 i d<0, то уравнение не имеет вещественных корней.

Schemat blokowy algorytmu:

Ten sam algorytm w języku algorytmicznym:

alg pierwiastki równania kwadratowego

rzecz a, b, c, d, x1, x2

wczesny wejście a, b, c

jeśli a=0

a następnie, jeśli b=0

a następnie, jeśli c=0

następnie wyjście "dowolne x jest rozwiązaniem"

Inaczej wyjście "brak rozwiązań"

Inaczej x:= -c/b

Inaczej d:=b2–4ac

jeśli i d<0

następnie wyjście "bez prawdziwych korzeni"

Inaczej e x1:=(-b+Od)/(2a); x2:=(-b–Öd)/(2a)

wyjście „x1=”,x1, „x2=”,x2

Ten algorytm jest ponownie używany Polecenie struktury gałęzi. Ogólny widok polecenia branch na schematach blokowych oraz w języku algorytmicznym wygląda następująco:

Najpierw sprawdzany jest „warunek” (obliczana jest relacja, wyrażenie logiczne). Jeżeli warunek jest spełniony, to wykonywana jest "seria 1" - sekwencja poleceń wskazana strzałką z napisem "tak" (gałąź dodatnia). W przeciwnym razie wykonywana jest „seria 2” (gałąź ujemna). W EL warunek jest zapisywany po słowie serwisowym „jeżeli”, gałąź dodatnia – po słowie „następnie”, gałąź ujemna – po słowie „inaczej”. Litery „kv” oznaczają koniec gałęzi.

Jeżeli gałęzie jednej gałęzi zawierają inne gałęzie, to taki algorytm ma strukturę zagnieżdżone gałęzie. To właśnie ta struktura ma algorytm „pierwiastków równania kwadratowego”. W nim, dla zwięzłości, zamiast słów „tak” i „nie” stosuje się odpowiednio „+” i „-”.

Rozważmy następujący problem: dana dodatnia liczba całkowita n. Wymagane jest obliczenie n! (n-silnia). Przypomnij sobie definicję silni.

Poniżej znajduje się schemat blokowy algorytmu. Używa trzech zmiennych typu całkowitego: n jest argumentem; i jest zmienną pośrednią; F jest wynikiem. Zbudowano tablicę śledzenia w celu sprawdzenia poprawności algorytmu. W takiej tabeli, dla określonych wartości danych początkowych, krokowo śledzone są zmiany zmiennych zawartych w algorytmie. Ta tabela jest kompilowana dla przypadku n=3.

Ślad świadczy o poprawności algorytmu. Napiszmy teraz ten algorytm w języku algorytmicznym.

alg Factorial

cały n, ja, F

wczesny wejście n

F:=1; ja:=1

Do widzenia ja, powtarzać

nc F:=F´i

Algorytm ten ma strukturę cykliczną. Algorytm używa polecenia strukturalnego „pętla podczas” lub „pętla z warunkiem wstępnym”. Ogólny widok polecenia „loop-bye” na schematach blokowych i w EL jest następujący:

Wykonanie serii poleceń (treść pętli) jest powtarzane, gdy warunek pętli jest prawdziwy. Gdy warunek stanie się fałszywy, pętla się kończy. Słowa serwisowe „nts” i „kts” oznaczają odpowiednio początek i koniec cyklu.

Pętla z warunkiem wstępnym jest główną, ale nie jedyną formą organizacji algorytmów cyklicznych. Inną opcją jest pętla z warunkiem końcowym. Wróćmy do algorytmu rozwiązywania równania kwadratowego. Można do niego podejść z tej pozycji: jeśli a=0, to nie jest to już równanie kwadratowe i można je zignorować. W takim przypadku założymy, że użytkownik popełnił błąd podczas wprowadzania danych i powinien zostać poproszony o powtórzenie wpisu. Innymi słowy, algorytm zapewni kontrolę wiarygodności danych początkowych, dając użytkownikowi możliwość skorygowania błędu. Obecność takiej kontroli to kolejny znak dobrej jakości programu.

Ogólnie rzecz biorąc, polecenie strukturalne „pętla z warunkiem końcowym” lub „pętla przed” jest reprezentowane w następujący sposób:

Tutaj używany jest warunek zakończenia pętli. Kiedy stanie się prawdą, pętla się kończy.

Skomponujmy algorytm do rozwiązania następującego problemu: danych dwóch liczb naturalnych M i N. Należy obliczyć ich największy wspólny dzielnik - gcd(M,N).

Ten problem został rozwiązany za pomocą metody znanej jako Algorytm Euklidesa. Jego pomysł opiera się na własności, że jeśli M>N, to gcd(M

1) jeśli liczby są równe, jako odpowiedź przyjmij ich całkowitą wartość; w przeciwnym razie kontynuuj wykonywanie algorytmu;

2) określić większą z liczb;

3) zastąpić większą liczbę różnicą między większą i mniejszą wartością;

4) powrót do wykonania ust. 1.

Schemat blokowy i algorytm w AL będą następujące:

Algorytm ma strukturę pętli z zagnieżdżonymi rozgałęzieniami. Wykonaj własne śledzenie tego algorytmu dla przypadku M=18, N=12. Wynik to gcd=6, co jest oczywiście prawdą.

Opis bibliograficzny: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Solutions równania kwadratowe// Młody naukowiec. - 2016r. - nr 6.1. - S. 17-20.04.2019).

Nasz projekt poświęcony jest sposobom rozwiązywania równań kwadratowych. Cel projektu: nauczenie rozwiązywania równań kwadratowych w sposób nieuwzględniony w szkolnym programie nauczania. Zadanie: znajdź wszystkie możliwe sposoby rozwiązywania równań kwadratowych i naucz się ich używać samodzielnie oraz zapoznaj kolegów z klasy z tymi metodami.

Czym są „równania kwadratowe”?

Równanie kwadratowe- równanie postaci topór2 + bx + c = 0, gdzie a, b, c- kilka liczb ( 0), x- nieznany.

Liczby a, b, c nazywane są współczynnikami równania kwadratowego.

a nazywa się pierwszym współczynnikiem;
b jest nazywany drugim współczynnikiem;
c - wolny członek.

A kto pierwszy „wymyślił” równania kwadratowe?

Niektóre techniki algebraiczne do rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych były znane już 4000 lat temu w starożytnym Babilonie. Znalezione starożytne babilońskie gliniane tabliczki, datowane gdzieś między 1800 a 1600 pne, są najwcześniejszymi dowodami badania równań kwadratowych. Te same tabliczki zawierają metody rozwiązywania niektórych typów równań kwadratowych.

Konieczność rozwiązywania równań nie tylko pierwszego, ale i drugiego stopnia w starożytności była spowodowana potrzebą rozwiązywania problemów związanych ze znalezieniem obszarów gruntów i robót ziemnych o charakterze militarnym, a także rozwojem astronomii i sama matematyka.

Reguła rozwiązywania tych równań, podana w tekstach babilońskich, zasadniczo pokrywa się z regułą współczesną, ale nie wiadomo, w jaki sposób Babilończycy doszli do tej reguły. Niemal wszystkie dotychczas odnalezione teksty klinowe podają jedynie problemy z rozwiązaniami podanymi w formie przepisów, bez wskazania sposobu ich odnalezienia. Pomimo wysokiego poziomu rozwoju algebry w Babilonie, w tekstach klinowych brakuje koncepcji liczby ujemnej i ogólnych metod rozwiązywania równań kwadratowych.

Matematycy babilońscy z około IV wieku p.n.e. zastosował metodę dopełnienia kwadratowego do rozwiązywania równań z pierwiastkami dodatnimi. Około 300 p.n.e. Euclid wymyślił bardziej ogólną metodę rozwiązania geometrycznego. Pierwszym matematykiem, który znalazł rozwiązania równania z ujemnymi pierwiastkami w postaci wzoru algebraicznego, był indyjski naukowiec. Brahmagupta(Indie, VII wne).

Brahmagupta nakreślił ogólną zasadę rozwiązywania równań kwadratowych zredukowanych do jednej postaci kanonicznej:

ax2 + bx = c, a>0

W tym równaniu współczynniki mogą być ujemne. Rządy Brahmagupty zasadniczo pokrywają się z naszymi.

W Indiach powszechne były publiczne konkursy w rozwiązywaniu trudnych problemów. W jednej ze starych indyjskich książek o takich konkursach mówi się: „Jak słońce swoim blaskiem przyćmiewa gwiazdy, tak uczona osoba przyćmiewa chwałę na publicznych zebraniach, proponując i rozwiązując problemy algebraiczne”. Zadania często ubierano w poetycką formę.

W traktacie algebraicznym Al-Chwarizmi podana jest klasyfikacja równań liniowych i kwadratowych. Autor wymienia 6 typów równań, wyrażając je następująco:

1) „Kwadraty są równe pierwiastkom”, tj. ax2 = bx.

2) „Kwadraty są równe liczbie”, tj. ax2 = c.

3) „Pierwiastki są równe liczbie”, tj. ax2 = c.

4) „Kwadraty i liczby są równe pierwiastkom”, czyli ax2 + c = bx.

5) „Kwadraty i pierwiastki są równe liczbie”, tj. ax2 + bx = c.

6) „Pierwiastki i liczby są równe kwadratom”, tj. bx + c == ax2.

Dla Al-Khwarizmi, który unikał używania liczb ujemnych, warunki każdego z tych równań są dodatkami, a nie odejmowaniem. W tym przypadku równania, które nie mają pozytywnych rozwiązań, oczywiście nie są brane pod uwagę. Autor nakreśla metody rozwiązywania tych równań, wykorzystując metody al-dżabra i al-muqabala. Jego decyzja oczywiście nie pokrywa się całkowicie z naszą. Nie mówiąc już o tym, że jest to czysto retoryczne, należy na przykład zauważyć, że rozwiązując niepełne równanie kwadratowe pierwszego typu, Al-Khwarizmi, jak wszyscy matematycy przed XVII wiekiem, nie bierze pod uwagę zera rozwiązanie, prawdopodobnie dlatego, że w konkretnych zadaniach praktycznych nie ma to znaczenia. Rozwiązując pełne równania kwadratowe, Al-Khwarizmi określa zasady ich rozwiązywania na podstawie konkretnych przykładów liczbowych, a następnie ich geometrycznych dowodów.

Formy rozwiązywania równań kwadratowych na modelu Al-Khwarizmi w Europie zostały po raz pierwszy opisane w „Księdze Liczydła”, napisanej w 1202. włoski matematyk Leonard Fibonacci. Autor samodzielnie opracował kilka nowych algebraicznych przykładów rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie podszedł do wprowadzenia liczb ujemnych.

Książka ta przyczyniła się do rozpowszechnienia wiedzy algebraicznej nie tylko we Włoszech, ale także w Niemczech, Francji i innych krajach europejskich. Wiele zadań z tej księgi zostało przeniesionych do prawie wszystkich europejskich podręczników XIV-XVII wieku. Ogólna zasada rozwiązywania równań kwadratowych zredukowanych do pojedynczej postaci kanonicznej x2 + bx = c ze wszystkimi możliwymi kombinacjami znaków i współczynników b, c została sformułowana w Europie w 1544 roku. M. Stiefela.

Vieta ma ogólne wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego, ale Vieta rozpoznał tylko pierwiastki dodatnie. włoscy matematycy Tartaglia, Cardano, Bombelli jeden z pierwszych w XVI wieku. weź pod uwagę oprócz dodatnich i ujemnych pierwiastków. Dopiero w XVII wieku. dzięki pracy Girard, Kartezjusz, Newton i innych naukowców sposób rozwiązywania równań kwadratowych przybiera nowoczesną formę.

Rozważ kilka sposobów rozwiązywania równań kwadratowych.

Standardowe sposoby rozwiązywania równań kwadratowych z programu szkolnego:

Faktoryzacja lewej strony równania.
Pełnokwadratowa metoda selekcji.
Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą wzoru.
Graficzne rozwiązanie równania kwadratowego.
Rozwiązywanie równań z wykorzystaniem twierdzenia Viety.

Zastanówmy się bardziej szczegółowo nad rozwiązaniem zredukowanych i niezredukowanych równań kwadratowych przy użyciu twierdzenia Viety.

Przypomnijmy, że aby rozwiązać powyższe równania kwadratowe, wystarczy znaleźć dwie liczby takie, których iloczyn jest równy członowi wolnemu, a suma jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku.

Przykład.x 2 -5x+6=0

Musisz znaleźć liczby, których iloczyn to 6, a suma to 5. Te liczby to 3 i 2.

Odpowiedź: x 1 =2, x 2 =3.

Ale możesz użyć tej metody do równań, w których pierwszy współczynnik nie jest równy jeden.

Przykład.3x 2 +2x-5=0

Bierzemy pierwszy współczynnik i mnożymy go przez wyraz wolny: x 2 +2x-15=0

Pierwiastkami tego równania będą liczby, których iloczyn to - 15, a suma to - 2. Liczby te to 5 i 3. Aby znaleźć pierwiastki pierwotnego równania, dzielimy uzyskane pierwiastki przez pierwszy współczynnik.

Odpowiedź: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Rozwiązywanie równań metodą „przeniesienia”.

Rozważ równanie kwadratowe ax 2 + bx + c = 0, gdzie a≠0.

Mnożąc obie jego części przez a, otrzymujemy równanie a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Niech ax = y, skąd x = y/a; wtedy dochodzimy do równania y 2 + przez + ac = 0, które jest równoważne danemu. Znajdujemy jego pierwiastki w 1 i 2, używając twierdzenia Vieta.

W końcu otrzymujemy x 1 = y 1 /a i x 2 = y 2 /a.

Dzięki tej metodzie współczynnik a jest mnożony przez człon swobodny, jakby „przeniesiony” do niego, dlatego nazywa się to metodą „przeniesienia”. Ta metoda jest używana, gdy łatwo jest znaleźć pierwiastki równania za pomocą twierdzenia Viety i, co najważniejsze, gdy dyskryminator jest dokładnym kwadratem.

Przykład.2x 2 - 11x + 15 = 0.

„Przenieśmy” współczynnik 2 do wyrazu wolnego i dokonując podstawienia otrzymamy równanie y 2 – 11y + 30 = 0.

Zgodnie z odwrotnym twierdzeniem Viety

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5, y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Odpowiedź: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Własności współczynników równania kwadratowego.

Niech zostanie podane równanie kwadratowe ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Jeśli a + b + c \u003d 0 (tj. suma współczynników równania wynosi zero), to x 1 \u003d 1.

2. Jeśli a - b + c \u003d 0 lub b \u003d a + c, to x 1 \u003d - 1.

Przykład.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Ponieważ a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), to x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Odpowiedź: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Przykład.132x 2 + 247x + 115 = 0

Ponieważ a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), następnie x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Odpowiedź: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Istnieją inne właściwości współczynników równania kwadratowego. ale ich użycie jest bardziej skomplikowane.

8. Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą nomogramu.

Rys 1. Nomogram

To stara i obecnie zapomniana metoda rozwiązywania równań kwadratowych, umieszczona na s. 83 zbioru: Bradis V.M. Czterocyfrowe tablice matematyczne. - M., Edukacja, 1990.

Tabela XXII. Nomogram do rozwiązywania równań z2 + pz + q = 0. Ten nomogram pozwala, bez rozwiązywania równania kwadratowego, wyznaczyć pierwiastki równania na podstawie jego współczynników.

Skala krzywoliniowa nomogramu zbudowana jest według wzorów (ryc. 1):

Zarozumiały OS = p, ED = q, OE = a(wszystkie w cm), z rys. 1 podobieństwo trójkątów SAN oraz CDF otrzymujemy proporcję

stąd po podstawieniach i uproszczeniach następuje równanie z 2 + pz + q = 0, i list z oznacza etykietę dowolnego punktu na zakrzywionej skali.

Ryż. 2 Rozwiązywanie równania kwadratowego za pomocą nomogramu

Przykłady.

1) Dla równania z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram daje pierwiastki z 1 = 8,0 i z 2 = 1,0

Odpowiedź: 8,0; 1.0.

2) Rozwiąż równanie za pomocą nomogramu

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Podziel współczynniki tego równania przez 2, otrzymamy równanie z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogram daje pierwiastki z 1 = 4 i z 2 = 0,5.

Odpowiedź: 4; 0,5.

9. Geometryczna metoda rozwiązywania równań kwadratowych.

Przykład.X 2 + 10x = 39.

W oryginale problem ten jest sformułowany w następujący sposób: „Kwadrat i dziesięć pierwiastków równa się 39”.

Rozważ kwadrat o boku x, prostokąty są zbudowane po jego bokach, tak aby druga strona każdego z nich wynosiła 2,5, dlatego powierzchnia każdego z nich wynosi 2,5x. Wynikowa liczba jest następnie uzupełniana o nowy kwadrat ABCD, uzupełniając cztery równe kwadraty w rogach, bok każdego z nich wynosi 2,5, a pole wynosi 6,25

Ryż. 3 Graficzny sposób rozwiązania równania x 2 + 10x = 39

Pole S kwadratu ABCD można przedstawić jako sumę pól: pierwotnego kwadratu x 2, czterech prostokątów (4∙2,5x = 10x) i czterech dołączonych kwadratów (6,25∙4 = 25), tj. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Zastępując x 2 + 10x liczbą 39, otrzymujemy, że S \u003d 39 + 25 \u003d 64, co oznacza, że bok kwadratu ABCD, tj. odcinek AB \u003d 8. Dla żądanego boku x pierwotnego kwadratu otrzymujemy

10. Rozwiązywanie równań z wykorzystaniem twierdzenia Bezouta.

Twierdzenie Bezouta. Reszta po podzieleniu wielomianu P(x) przez dwumian x - α jest równa P(α) (czyli wartość P(x) przy x = α).

Jeżeli liczba α jest pierwiastkiem wielomianu P(x), to ten wielomian jest podzielny przez x -α bez reszty.

Przykład.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Podziel P(x) przez (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 lub x-3=0, x=3; Odpowiedź: x1 =2, x2 =3.

Wniosek: Zdolność do szybkiego i racjonalnego rozwiązywania równań kwadratowych jest po prostu niezbędna do rozwiązywania bardziej złożonych równań, na przykład ułamkowych równań wymiernych, równań wyższych potęg, równań dwukwadratowych oraz w licealnych równaniach trygonometrycznych, wykładniczych i logarytmicznych. Po przestudiowaniu wszystkich znalezionych metod rozwiązywania równań kwadratowych, możemy doradzić kolegom z klasy, oprócz standardowych metod, rozwiązywanie metodą transferu (6) i rozwiązywanie równań według właściwości współczynników (7), ponieważ są one bardziej dostępne do zrozumienia .

Literatura:

Bradis V.M. Czterocyfrowe tablice matematyczne. - M., Edukacja, 1990.
Algebra klasa 8: podręcznik do klasy 8. ogólne wykształcenie instytucje Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. wyd. S. A. Telyakovsky 15th ed., poprawione. - M.: Oświecenie, 2015
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
Glazer G.I. Historia matematyki w szkole. Przewodnik dla nauczycieli. / Wyd. V.N. Młodszy. - M.: Oświecenie, 1964.

slajd 2

Cykl lekcji równań kwadratowych z algebry w 8 klasie według podręcznika A.G. Mordkovich

Nauczyciel MBOU Grushevskaya gimnazjum Kireeva T.A.

slajd 3

Cele: wprowadzenie pojęć równania kwadratowego, pierwiastka z równania kwadratowego; pokazać rozwiązania równań kwadratowych; wykształcić umiejętność rozwiązywania równań kwadratowych; pokazać sposób rozwiązywania pełnych równań kwadratowych za pomocą wzoru na pierwiastki równania kwadratowego.

slajd 4

zjeżdżalnia 5

Trochę historii Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie. Konieczność rozwiązywania równań nie tylko pierwszego, ale i drugiego stopnia, już w starożytności była spowodowana koniecznością rozwiązywania problemów związanych ze znalezieniem obszarów gruntów i robót ziemnych o charakterze militarnym, a także rozwojem sama astronomia i matematyka. Babilończycy wiedzieli, jak rozwiązywać równania kwadratowe około 2000 lat przed naszą wiarą. Stosując współczesną notację algebraiczną można powiedzieć, że w ich tekstach klinowych oprócz niepełnych występują np. zupełne równania kwadratowe.

zjeżdżalnia 6

Zasada rozwiązywania tych równań, podana w tekstach babilońskich, pokrywa się ze współczesną, ale nie wiadomo, w jaki sposób Babilończycy doszli do tej reguły. Prawie wszystkie odnalezione dotychczas teksty klinowe podają jedynie problemy z rozwiązaniami określonymi w formie przepisów, bez wskazania sposobu ich odnalezienia. Pomimo wysokiego poziomu rozwoju algebry w Babilonii pojęcie liczby ujemnej i ogólne metody rozwiązywania równań kwadratowych są nieobecne w tekstach klinowych.

Slajd 7

Definicja 1. Równanie kwadratowe jest równaniem postaci, w której współczynniki a, b, c są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, a wielomian nazywamy trójmianem kwadratowym. a jest pierwszym lub najwyższym współczynnikiem c jest drugim współczynnikiem c jest członem swobodnym

Slajd 8

Definicja 2. Równanie kwadratowe nazywamy zredukowanym, jeśli jego wiodący współczynnik jest równy 1; równanie kwadratowe nazywa się nieredukowane, jeśli wiodący współczynnik jest różny od 1. Przykład. 2 - 5 + 3 = 0 - nieredukowane równanie kwadratowe - zredukowane równanie kwadratowe

Slajd 9

Definicja 3. Pełne równanie kwadratowe to równanie kwadratowe, w którym występują wszystkie trzy człony. a + in + c \u003d 0 Niepełne równanie kwadratowe to równanie, w którym nie występują wszystkie trzy składniki; jest równaniem, dla którego co najmniej jeden ze współczynników w, z zero.

Slajd 10

Metody rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych.

slajd 11

Rozwiąż zadania nr 24.16 (a, b) Rozwiąż równanie: lub Odpowiedz. lub Odpowiedz.

zjeżdżalnia 12

Definicja 4 Pierwiastek równania kwadratowego to dowolna wartość zmiennej x, przy której znika trójmian kwadratowy; taka wartość zmiennej x nazywana jest również pierwiastkiem trójmianu kwadratowego.Rozwiązanie równania kwadratowego oznacza znalezienie wszystkich jego pierwiastków lub ustalenie, że nie ma pierwiastków.

slajd 13

Wyróżnik równania kwadratowego D 0 D=0 Równanie nie ma pierwiastków Równanie ma dwa pierwiastki Równanie ma jeden pierwiastek Wzory na pierwiastki równania kwadratowego

Slajd 14

D>0 równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki, które znajdują się we wzorach Przykład. Rozwiąż równanie Rozwiązanie. a \u003d 3, b \u003d 8, c \u003d -11, Odpowiedź: 1; -3

zjeżdżalnia 15

Algorytm rozwiązywania równania kwadratowego 1. Oblicz dyskryminator D ze wzoru D = 2. Jeśli D 0, to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki.

Równania kwadratowe są badane w klasie 8, więc nie ma tu nic skomplikowanego. Niezbędna jest umiejętność ich rozwiązania.

Równanie kwadratowe to równanie postaci ax 2 + bx + c = 0, gdzie współczynniki a , b i c są liczbami arbitralnymi, a a ≠ 0.

Przed przestudiowaniem konkretnych metod rozwiązania zauważamy, że wszystkie równania kwadratowe można podzielić na trzy klasy:

Nie mają korzeni;
Mają dokładnie jeden korzeń;
Mają dwa różne korzenie.

Jest to ważna różnica między równaniami kwadratowymi i liniowymi, w których pierwiastek zawsze istnieje i jest unikalny. Jak określić, ile pierwiastków ma równanie? Jest w tym cudowna rzecz - dyskryminujący.

Dyskryminujący

Niech dane będzie równanie kwadratowe ax 2 + bx + c = 0. Wtedy wyróżnikiem jest po prostu liczba D = b 2 − 4ac .

Ta formuła musi być znana na pamięć. Skąd pochodzi, nie jest teraz ważne. Kolejna rzecz jest ważna: za pomocą znaku wyróżnika możesz określić, ile pierwiastków ma równanie kwadratowe. Mianowicie:

Jeśli D< 0, корней нет;
Jeśli D = 0, istnieje dokładnie jeden pierwiastek;
Jeśli D > 0, będą dwa pierwiastki.

Uwaga: wyróżnik wskazuje liczbę korzeni, a nie ich znaki, jak z jakiegoś powodu myśli wiele osób. Spójrz na przykłady, a sam wszystko zrozumiesz:

Zadanie. Ile pierwiastków mają równania kwadratowe:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Piszemy współczynniki dla pierwszego równania i znajdujemy wyróżnik:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Czyli dyskryminator jest dodatni, więc równanie ma dwa różne pierwiastki. Drugie równanie analizujemy w ten sam sposób:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Dyskryminator jest negatywny, nie ma korzeni. Pozostaje ostatnie równanie:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Dyskryminator jest równy zero - pierwiastek będzie jeden.

Zauważ, że współczynniki zostały wypisane dla każdego równania. Tak, to jest długie, tak, to nudne - ale nie pomylisz szans i nie popełnisz głupich błędów. Wybierz dla siebie: szybkość lub jakość.

Nawiasem mówiąc, jeśli „wypełnisz rękę”, po pewnym czasie nie będziesz już musiał wypisywać wszystkich współczynników. Takie operacje wykonasz w swojej głowie. Większość ludzi zaczyna to robić gdzieś po rozwiązaniu 50-70 równań - generalnie nie tak wiele.

Pierwiastki równania kwadratowego

Przejdźmy teraz do rozwiązania. Jeżeli dyskryminator D > 0, pierwiastki można znaleźć za pomocą wzorów:

Podstawowy wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Gdy D = 0, możesz użyć dowolnej z tych formuł - otrzymasz tę samą liczbę, która będzie odpowiedzią. Wreszcie, jeśli D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Pierwsze równanie:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ równanie ma dwa pierwiastki. Znajdźmy je:

Drugie równanie:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ równanie znów ma dwa pierwiastki. Znajdźmy je

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Wreszcie trzecie równanie:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ równanie ma jeden pierwiastek. Można użyć dowolnej formuły. Na przykład pierwszy:

Jak widać na przykładach, wszystko jest bardzo proste. Jeśli znasz formuły i umiesz liczyć, nie będzie problemów. Najczęściej błędy pojawiają się, gdy do wzoru wstawia się ujemne współczynniki. Tutaj ponownie pomoże opisana powyżej technika: spójrz na formułę dosłownie, pomaluj każdy krok - i szybko pozbądź się błędów.

Niepełne równania kwadratowe

Zdarza się, że równanie kwadratowe różni się nieco od tego, co podano w definicji. Na przykład:

x2 + 9x = 0;
x2 − 16 = 0.

Łatwo zauważyć, że w tych równaniach brakuje jednego z terminów. Takie równania kwadratowe są jeszcze łatwiejsze do rozwiązania niż standardowe: nie trzeba nawet obliczać dyskryminatora. Przedstawmy więc nową koncepcję:

Równanie ax 2 + bx + c = 0 nazywa się niepełnym równaniem kwadratowym, jeśli b = 0 lub c = 0, tj. współczynnik zmiennej x lub wolnego elementu jest równy zero.

Oczywiście bardzo trudny przypadek jest możliwy, gdy oba te współczynniki są równe zeru: b \u003d c \u003d 0. W tym przypadku równanie ma postać ax 2 \u003d 0. Oczywiście takie równanie ma jedno korzeń: x \u003d 0.

Rozważmy inne przypadki. Niech b \u003d 0, wtedy otrzymamy niekompletne równanie kwadratowe postaci ax 2 + c \u003d 0. Przekształćmy to nieco:

Ponieważ arytmetyka Pierwiastek kwadratowy istnieje tylko od liczby nieujemnej, ostatnia równość ma sens tylko dla (−c /a ) ≥ 0. Wniosek:

Jeżeli niepełne równanie kwadratowe postaci ax 2 + c = 0 spełnia nierówność (−c / a ) ≥ 0, to będą dwa pierwiastki. Wzór podano powyżej;
Jeśli (−c / a )< 0, корней нет.

Jak widać dyskryminator nie był wymagany - w niepełnych równaniach kwadratowych nie ma w ogóle skomplikowanych obliczeń. W rzeczywistości nie trzeba nawet pamiętać o nierówności (−c / a ) ≥ 0. Wystarczy wyrazić wartość x 2 i zobaczyć, co jest po drugiej stronie znaku równości. Jeśli jest liczba dodatnia, będą dwa pierwiastki. Jeśli jest ujemny, w ogóle nie będzie korzeni.

Zajmijmy się teraz równaniami postaci ax 2 + bx = 0, w których wolny element jest równy zero. Tutaj wszystko jest proste: zawsze będą dwa korzenie. Wystarczy rozłożyć wielomian na czynniki:

Wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasu

Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero. Stąd pochodzą korzenie. Podsumowując, przeanalizujemy kilka z tych równań: