Ogólny wzór sinusa w trygonometrii. Sinus, cosinus, tangens i cotangens - wszystko, co musisz wiedzieć w OGE i USE

Podano stosunki między głównymi funkcjami trygonometrycznymi - sinus, cosinus, tangens i cotangens formuły trygonometryczne. A ponieważ istnieje wiele połączeń między funkcjami trygonometrycznymi, wyjaśnia to również obfitość formuł trygonometrycznych. Niektóre formuły łączą funkcje trygonometryczne tego samego kąta, inne - funkcje kąta wielokrotnego, inne - pozwalają obniżyć stopień, czwarta - wyraża wszystkie funkcje przez styczną półkąta itp.

W tym artykule wymienimy w kolejności wszystkie podstawowe wzory trygonometryczne, które wystarczą do rozwiązania ogromnej większości problemów trygonometrycznych. Dla ułatwienia zapamiętywania i używania pogrupujemy je według ich przeznaczenia i wprowadzimy do tabel.

Nawigacja po stronach.

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Podstawowe tożsamości trygonometryczne ustawić relację między sinusem, cosinusem, tangensem i cotangensem jednego kąta. Wynikają one z definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa oraz pojęcia okręgu jednostkowego. Pozwalają wyrazić jedną funkcję trygonometryczną za pomocą dowolnej innej.

Szczegółowy opis tych wzorów trygonometrycznych, ich wyprowadzenie i przykłady zastosowania można znaleźć w artykule.

Formuły odlewane

Formuły odlewane wynikają z własności sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa, czyli odzwierciedlają własność periodyczności funkcji trygonometrycznych, własność symetrii, a także własność przesunięcia o zadany kąt. Te wzory trygonometryczne pozwalają przejść od pracy z dowolnymi kątami do pracy z kątami od zera do 90 stopni.

W artykule można zapoznać się z uzasadnieniem dla tych formuł, mnemoniczną zasadą ich zapamiętywania oraz przykładami ich zastosowania.

Formuły dodawania

Wzory trygonometryczne dodawania pokazać, w jaki sposób funkcje trygonometryczne sumy lub różnicy dwóch kątów są wyrażane w kategoriach funkcji trygonometrycznych tych kątów. Wzory te służą jako podstawa do wyprowadzenia następujących wzorów trygonometrycznych.

Formuły dla podwójnych, potrójnych itp. kąt

Formuły dla podwójnych, potrójnych itp. kąt (są one również nazywane formułami wielu kątów) pokazują, w jaki sposób funkcje trygonometryczne podwójne, potrójne itp. kąty () są wyrażone w funkcjach trygonometrycznych pojedynczego kąta. Ich wyprowadzenie opiera się na wzorach dodawania.

Bardziej szczegółowe informacje są gromadzone w formułach artykułów dla podwójnych, potrójnych itp. kąt .

Wzory półkątowe

Wzory półkątowe pokaż, jak funkcje trygonometryczne półkąta są wyrażone w postaci cosinusa kąta całkowitego. Te wzory trygonometryczne wynikają z wzorów podwójnego kąta.

Ich wnioski i przykłady zastosowania można znaleźć w artykule.

Formuły redukcyjne

Wzory trygonometryczne na malejące stopnie są zaprojektowane tak, aby ułatwić przejście od naturalnych potęg funkcji trygonometrycznych do sinusów i cosinusów w pierwszym stopniu, ale pod różnymi kątami. Innymi słowy, pozwalają zredukować potęgi funkcji trygonometrycznych do pierwszego.

Wzory na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych

główny cel wzory na sumę i różnicę dla funkcji trygonometrycznych polega na przejściu do iloczynu funkcji, co jest bardzo przydatne przy upraszczaniu wyrażeń trygonometrycznych. Wzory te są również szeroko stosowane w rozwiązywaniu równań trygonometrycznych, ponieważ pozwalają na faktoryzację sumy i różnicy sinusów i cosinusów.

Wzory na iloczyn sinusów, cosinusów i sinus przez cosinus

Przejście od iloczynu funkcji trygonometrycznych do sumy lub różnicy odbywa się za pomocą wzorów na iloczyn sinusów, cosinusów i sinusa po cosinusie.

Bashmakov MI Algebra i początek analizy: Proc. na 10-11 komórek. śr. Szkoła - 3. ed. - M.: Oświecenie, 1993. - 351 s.: ch. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra i początek analizy: Proc. na 10-11 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; Wyd. A. N. Kolmogorova.- 14. wyd.- M.: Oświecenie, 2004.- 384 s.: il.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych): Proc. dodatek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., chor.

Prawa autorskie autorstwa sprytnych studentów

Wszelkie prawa zastrzeżone.
Chronione prawem autorskim. Żadna część witryny www.witryna, w tym materiały wewnętrzne i projekty zewnętrzne, nie mogą być powielane w jakiejkolwiek formie ani wykorzystywane bez uprzedniej pisemnej zgody właściciela praw autorskich.

Nasze badanie trygonometrii rozpoczynamy od trójkąta prostokątnego. Zdefiniujmy, co to jest sinus i cosinus, a także tangens i cotangens kąta ostrego. To są podstawy trygonometrii.

Odwołaj to prosty kąt to kąt równy 90 stopni. Innymi słowy połowa rozłożonego narożnika.

Ostry róg- mniej niż 90 stopni.

Kąt rozwarty- powyżej 90 stopni. W stosunku do takiego kąta „tępy” nie jest obelgą, a matematycznym terminem :-)

Narysujmy trójkąt prostokątny. Zazwyczaj oznaczany jest kąt prosty. Zauważ, że strona przeciwna do rogu jest oznaczona tą samą literą, tylko małą. Tak więc oznaczono stronę leżącą przeciwnie do kąta A.

Kąt jest oznaczony odpowiednią grecką literą.

Przeciwprostokątna Trójkąt prostokątny to strona przeciwna do kąta prostego.

Nogi- boki przeciwległe do ostrych rogów.

Noga naprzeciwko rogu nazywa się naprzeciw(w stosunku do kąta). Druga noga, która leży po jednej stronie narożnika, nazywa się przylegający.

Zatoka kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej:

Cosinus kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:

Tangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek przeciwległej nogi do sąsiedniej:

Inna (równoważna) definicja: tangens kąta ostrego to stosunek sinusa kąta do jego cosinusa:

Cotangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwnej (lub równoważnie stosunek cosinusa do sinusa):

Zwróć uwagę na podstawowe współczynniki dla sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa, które podano poniżej. Przydadzą się nam w rozwiązywaniu problemów.

Udowodnijmy niektóre z nich.

Dobra, podaliśmy definicje i napisane formuły. Ale po co nam sinus, cosinus, tangens i cotangens?

Wiemy to suma kątów dowolnego trójkąta wynosi.

Znamy związek między imprezy trójkąt prostokątny. Oto twierdzenie Pitagorasa: .

Okazuje się, że znając dwa kąty w trójkącie, można znaleźć trzeci. Znając dwa boki w trójkącie prostokątnym, możesz znaleźć trzeci. Tak więc dla kątów - ich stosunek, dla boków - ich własny. Ale co zrobić, jeśli w trójkącie prostokątnym znany jest jeden kąt (oprócz prawego) i jedna strona, ale trzeba znaleźć inne boki?

Z tym mierzyli się ludzie w przeszłości, robiąc mapy okolicy i rozgwieżdżonego nieba. W końcu nie zawsze można bezpośrednio zmierzyć wszystkie boki trójkąta.

Sinus, cosinus i tangens - są również nazywane funkcje trygonometryczne kąta- podaj stosunek między imprezy I rogi trójkąt. Znając kąt, możesz znaleźć wszystkie jego funkcje trygonometryczne za pomocą specjalnych tabel. A znając sinusy, cosinusy i tangensy kątów trójkąta i jednego z jego boków, możesz znaleźć resztę.

Narysujemy również tabelę wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla „dobrych” kątów od do.

Zwróć uwagę na dwie czerwone kreski w tabeli. Dla odpowiednich wartości kątów tangens i cotangens nie istnieją.

Przeanalizujmy kilka problemów z trygonometrii z zadań Banku FIPI.

1. W trójkącie kąt to , . Znajdować .

Problem został rozwiązany w cztery sekundy.

O ile , .

2. W trójkącie kąt to , , . Znajdować .

Znajdźmy według twierdzenia Pitagorasa.

Problem rozwiązany.

Często w problemach występują trójkąty z kątami i/lub z kątami i . Zapamiętaj na pamięć podstawowe dla nich proporcje!

Dla trójkąta z kątami i odnogą przeciwną do kąta w jest równe połowa przeciwprostokątnej.

Trójkąt z kątami i równoramiennymi. W nim przeciwprostokątna jest razy większa niż noga.

Rozważaliśmy problemy związane z rozwiązywaniem trójkątów prostokątnych - czyli znajdowaniem nieznanych boków lub kątów. Ale to nie wszystko! W wariantach egzaminu z matematyki jest wiele zadań, w których pojawia się sinus, cosinus, tangens lub cotangens zewnętrznego kąta trójkąta. Więcej na ten temat w następnym artykule.

Nie przekonam Cię do pisania ściągawek. Pisać! W tym ściągawki z trygonometrii. Później zamierzam wyjaśnić, dlaczego potrzebne są ściągawki i jak przydatne są ściągawki. A tutaj - informacje o tym, jak się nie uczyć, ale zapamiętać kilka wzorów trygonometrycznych. A więc - trygonometria bez ściągawki!Do zapamiętywania używamy skojarzeń.

1. Formuły dodawania:

cosinusy zawsze „idą parami”: cosinus-cosinus, sinus-sinus. I jeszcze jedno: cosinusy są „niewystarczające”. „Wszystko jest nie tak”, więc zmieniają znaki: „-” na „+” i odwrotnie.

Zatoki - "mix": sinus-cosinus, cosinus-sinus.

2. Wzory na sumy i różnice:

cosinusy zawsze „idą parami”. Po dodaniu dwóch cosinusów - "bułeczki" otrzymujemy parę cosinusów - "koloboks". A odejmując, na pewno nie dostaniemy koloboków. Dostajemy kilka sinusów. Wciąż z minusem przed nami.

Zatoki - "mix" :

3. Wzory przeliczania produktu na sumę i różnicę.

Kiedy otrzymamy parę cosinusów? Przy dodawaniu cosinusów. Dlatego

Kiedy otrzymamy parę sinusów? Przy odejmowaniu cosinusów. Stąd:

„Mieszanie” uzyskuje się zarówno przez dodawanie, jak i odejmowanie sinusów. Co jest fajniejsze: dodawanie czy odejmowanie? Zgadza się, spasuj. A do formuły dodaj:

W pierwszym i trzecim wzorze w nawiasie – kwota. Od przestawienia miejsc terminów suma się nie zmienia. Kolejność jest ważna tylko dla drugiej formuły. Aby jednak się nie pomylić, dla ułatwienia zapamiętania, we wszystkich trzech formułach w pierwszych nawiasach bierzemy różnicę

a po drugie, suma

Prześcieradła do łóżeczka w kieszeni zapewniają spokój ducha: jeśli zapomnisz formułę, możesz ją spisać. I dają pewność: jeśli nie użyjesz ściągawki, wzory można łatwo zapamiętać.

Trygonometria jako nauka wywodzi się ze starożytnego Wschodu. Astronomowie opracowali pierwsze stosunki trygonometryczne w celu stworzenia dokładnego kalendarza i orientacji według gwiazd. Obliczenia te dotyczyły trygonometrii sferycznej, podczas gdy na kursie szkolnym bada się stosunek boków i kąt trójkąta płaskiego.

Trygonometria to dział matematyki zajmujący się właściwościami funkcji trygonometrycznych oraz relacjami między bokami i kątami trójkątów.

W okresie rozkwitu kultury i nauki w I tysiącleciu naszej ery wiedza rozprzestrzeniła się ze starożytnego Wschodu do Grecji. Ale główne odkrycia trygonometrii to zasługa ludzi z arabskiego kalifatu. W szczególności turkmeński naukowiec al-Marazvi wprowadził takie funkcje, jak tangens i cotangens, skompilował pierwsze tabele wartości dla sinusów, tangensów i cotangensów. Pojęcie sinusa i cosinusa zostało wprowadzone przez indyjskich naukowców. Wiele uwagi poświęca się trygonometrii w dziełach tak wielkich postaci starożytności jak Euklides, Archimedes i Eratostenes.

Podstawowe wielkości trygonometrii

Podstawowe funkcje trygonometryczne argumentu liczbowego to sinus, cosinus, tangens i cotangens. Każdy z nich ma własny wykres: sinus, cosinus, tangens i cotangens.

Wzory do obliczania wartości tych wielkości oparte są na twierdzeniu Pitagorasa. Jest lepiej znany uczniom w sformułowaniu: „Pitagorejskie spodnie, równe we wszystkich kierunkach”, ponieważ dowód podano na przykładzie równoramiennego trójkąta prostokątnego.

Sinus, cosinus i inne zależności ustalają związek między kątami ostrymi a bokami dowolnego trójkąta prostokątnego. Podajemy wzory do obliczania tych wielkości dla kąta A i śledzimy zależność funkcji trygonometrycznych:

Jak widać, tg i ctg są funkcjami odwrotnymi. Jeśli reprezentujemy nogę a jako iloczyn sin A i przeciwprostokątnej c, a nogę b jako cos A * c, to otrzymujemy następujące wzory na tangens i cotangens:

koło trygonometryczne

Graficznie stosunek wymienionych wielkości można przedstawić w następujący sposób:

Okrąg w tym przypadku reprezentuje wszystkie możliwe wartości kąta α - od 0° do 360°. Jak widać na rysunku, każda funkcja przyjmuje wartość ujemną lub dodatnią w zależności od kąta. Na przykład sin α będzie ze znakiem „+”, jeśli α należy do ćwiartek koła I i II, czyli znajduje się w zakresie od 0 ° do 180 °. Przy α od 180° do 360° (ćwiartka III i IV), sin α może mieć tylko wartość ujemną.

Spróbujmy zbudować tabele trygonometryczne dla określonych kątów i dowiedzieć się, co oznaczają wielkości.

Wartości α równe 30°, 45°, 60°, 90°, 180° itd. nazywane są przypadkami specjalnymi. Wartości funkcji trygonometrycznych dla nich są obliczane i prezentowane w postaci specjalnych tabel.

Te kąty nie zostały wybrane przypadkowo. Oznaczenie π w tabelach dotyczy radianów. Rad to kąt, pod którym długość łuku koła odpowiada jego promieniowi. Wartość ta została wprowadzona w celu ustalenia uniwersalnej zależności, przy obliczaniu w radianach rzeczywista długość promienia w cm nie ma znaczenia.

Kąty w tabelach funkcji trygonometrycznych odpowiadają wartościom w radianach:

Nietrudno więc zgadnąć, że 2π to pełne koło lub 360°.

Własności funkcji trygonometrycznych: sinus i cosinus

W celu rozważenia i porównania podstawowych właściwości sinusa i cosinusa, tangensa i cotangensa konieczne jest narysowanie ich funkcji. Można to zrobić w postaci krzywej znajdującej się w dwuwymiarowym układzie współrzędnych.

Rozważ tabelę porównawczą właściwości fali sinusoidalnej i cosinusoidalnej:

sinusoida	cosinus fala
y = grzech x	y = cos x
ODZ [-1; jeden]	ODZ [-1; jeden]
sin x = 0, dla x = πk, gdzie k ϵ Z	cos x = 0, dla x = π/2 + πk, gdzie k ϵ Z
sin x = 1, dla x = π/2 + 2πk, gdzie k ϵ Z	cos x = 1, dla x = 2πk, gdzie k ϵ Z
sin x = - 1, przy x = 3π/2 + 2πk, gdzie k ϵ Z	cos x = - 1, dla x = π + 2πk, gdzie k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, czyli funkcja nieparzysta	cos (-x) = cos x, czyli funkcja jest parzysta
	funkcja jest okresowa, najmniejszy okres to 2π
sin x › 0, gdzie x należy do ćwiartek I i II lub od 0° do 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, gdzie x należy do ćwiartek I i IV lub od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, gdzie x należy do ćwiartek III i IV lub od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, gdzie x należy do ćwiartek II i III lub od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
wzrasta na przedziale [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	przyrosty na przedziale [-π + 2πk, 2πk]
spadki na przedziałach [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	spadki w interwałach
pochodna (sin x)' = cos x	pochodna (cos x)’ = - sin x

Ustalenie, czy funkcja jest parzysta, czy nie, jest bardzo proste. Wystarczy wyobrazić sobie okrąg trygonometryczny ze znakami wielkości trygonometrycznych i mentalnie „zwinąć” wykres względem osi OX. Jeśli znaki są takie same, funkcja jest parzysta, w przeciwnym razie jest nieparzysta.

Wprowadzenie radianów i wyliczenie głównych właściwości fali sinusoidalnej i cosinusoidalnej pozwala na sprowadzenie następującego wzoru:

Bardzo łatwo jest zweryfikować poprawność formuły. Na przykład, dla x = π/2, sinus jest równy 1, podobnie jak cosinus x = 0. Sprawdzenia można dokonać patrząc na tabele lub śledząc krzywe funkcji dla danych wartości.

Właściwości tangensa i kotangtoidu

Wykresy funkcji tangensa i cotangensa znacznie różnią się od przebiegu sinusoidalnego i cosinusoidalnego. Wartości tg i ctg są względem siebie odwrotne.

Y = tgx.
Styczna dąży do wartości y przy x = π/2 + πk, ale nigdy ich nie osiąga.
Najmniejszy dodatni okres stycznej to π.
Tg (- x) \u003d - tg x, tj. funkcja jest nieparzysta.
Tg x = 0, dla x = πk.
Funkcja rośnie.
Tg x › 0, dla x (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, dla x ϵ (— π/2 + πk, πk).
Pochodna (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Rozważ graficzną reprezentację cotangentoidu poniżej w tekście.

Główne właściwości kotangentoidu:

Y = ctgx.
W przeciwieństwie do funkcji sinus i cosinus, w stycznej Y może przyjmować wartości zbioru wszystkich liczb rzeczywistych.
Cotangentoid dąży do wartości y przy x = πk, ale nigdy ich nie osiąga.
Najmniejszy dodatni okres cotangentoidu to π.
Ctg (- x) \u003d - ctg x, tj. funkcja jest nieparzysta.
Ctg x = 0, dla x = π/2 + πk.
Funkcja maleje.
Ctg x › 0, dla x (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, dla x (π/2 + πk, πk).
Pochodna (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fix