Wiodący współczynnik równania kwadratowego. Niepełne równania kwadratowe

Równanie kwadratowe - łatwe do rozwiązania! *Dalej w tekście „KU”. Przyjaciele, wydawałoby się, że w matematyce może to być łatwiejsze niż rozwiązanie takiego równania. Ale coś mi mówiło, że wiele osób ma z nim problemy. Postanowiłem sprawdzić, ile wyświetleń Yandex daje na żądanie miesięcznie. Oto co się stało, spójrz:

Co to znaczy? Oznacza to, że poszukuje około 70 000 osób miesięcznie ta informacja, co ma z tym wspólnego to lato i co będzie się między nimi działo rok szkolny- żądania będą dwukrotnie większe. Nie jest to zaskakujące, ponieważ ci chłopcy i dziewczęta, którzy dawno ukończyli szkołę i przygotowują się do egzaminu, szukają tych informacji, a dzieci w wieku szkolnym również starają się odświeżyć swoją pamięć.

Pomimo tego, że istnieje wiele stron, które podpowiadają, jak rozwiązać to równanie, postanowiłem również przyczynić się i opublikować materiał. Po pierwsze, chcę, aby odwiedzający przyszli do mojej witryny na tę prośbę; po drugie, w innych artykułach, gdy pojawi się przemówienie „KU”, podam link do tego artykułu; po trzecie, opowiem ci trochę więcej o jego rozwiązaniu, niż zwykle podaje się na innych stronach. Zacznijmy! Treść artykułu:

Równanie kwadratowe to równanie postaci:

gdzie współczynniki a,biz dowolnymi liczbami, z a≠0.

W kursie szkolnym materiał podawany jest w następującej formie - warunkowo dokonuje się podziału równań na trzy klasy:

1. Miej dwa korzenie.

2. * Mieć tylko jeden korzeń.

3. Nie mają korzeni. Warto tutaj zaznaczyć, że nie mają one prawdziwych korzeni

Jak obliczane są pierwiastki? Tylko!

Obliczamy wyróżnik. Pod tym „strasznym” słowem kryje się bardzo prosta formuła:

Wzory pierwiastków są następujące:

*Te wzory muszą być znane na pamięć.

Możesz od razu zapisać i rozwiązać:

Przykład:

1. Jeśli D > 0, to równanie ma dwa pierwiastki.

2. Jeśli D = 0, to równanie ma jeden pierwiastek.

3. Jeśli D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Spójrzmy na równanie:

Za pomocą z tej okazji kiedy wyróżnik zero, kurs szkolny mówi, że otrzymuje się jeden korzeń, tutaj jest równy dziewięciu. Zgadza się, jest, ale...

Ta reprezentacja jest nieco niepoprawna. W rzeczywistości istnieją dwa korzenie. Tak, tak, nie zdziw się, okazuje się, że dwa równy pierwiastek, a żeby być matematycznie precyzyjnym, w odpowiedzi należy wpisać dwa pierwiastki:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ale tak jest - mała dygresja. W szkole możesz zapisać i powiedzieć, że jest tylko jeden korzeń.

Teraz następujący przykład:

Jak wiemy, pierwiastek liczby ujemnej nie jest wyodrębniany, więc w tym przypadku nie ma rozwiązania.

To cały proces decyzyjny.

Funkcja kwadratowa.

Oto jak rozwiązanie wygląda geometrycznie. Jest to niezwykle ważne, aby zrozumieć (w przyszłości w jednym z artykułów szczegółowo przeanalizujemy rozwiązanie nierówności kwadratowej).

Jest to funkcja formularza:

gdzie x i y są zmiennymi

a, b, c - podane liczby, gdzie ≠ 0

Wykres jest parabolą:

Oznacza to, że okazuje się, że rozwiązując równanie kwadratowe z „y” równym zero, znajdujemy punkty przecięcia paraboli z osią x. Mogą istnieć dwa z tych punktów (dyskryminator jest dodatni), jeden (dyskryminator jest równy zero) lub żaden (dyskryminator jest ujemny). Szczegóły na temat funkcja kwadratowa Możesz zobaczyć artykuł Inny Feldman.

Rozważ przykłady:

Przykład 1: Zdecyduj 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(-192) = 64+1536 = 1600

Odpowiedź: x 1 = 8 x 2 = -12

* Możesz od razu podzielić lewą i prawą stronę równania przez 2, czyli uprościć je. Obliczenia będą łatwiejsze.

Przykład 2: Zdecydować x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Mamy to x 1 \u003d 11 i x 2 \u003d 11

W odpowiedzi można napisać x = 11.

Odpowiedź: x = 11

Przykład 3: Zdecydować x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Dyskryminator jest ujemny, nie ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych.

Odpowiedź: brak rozwiązania

Wyróżnik jest negatywny. Jest rozwiązanie!

Tutaj porozmawiamy o rozwiązaniu równania w przypadku uzyskania negatywnego dyskryminatora. Czy wiesz coś o liczbach zespolonych? Nie będę tu wchodzić w szczegóły, dlaczego i gdzie powstały oraz jaka jest ich konkretna rola i konieczność w matematyce, to temat na osobny, obszerny artykuł.

Pojęcie liczby zespolonej.

Trochę teorii.

Liczba zespolona z jest liczbą postaci

z = a + bi

gdzie są a i b liczby rzeczywiste, i jest tak zwaną jednostką urojoną.

a+bi to JEDEN NUMER, a nie dodatek.

Jednostka urojona jest równa pierwiastkowi minus jeden:

Rozważmy teraz równanie:

Zdobądź dwa sprzężone korzenie.

Niepełne równanie kwadratowe.

Rozważ specjalne przypadki, to znaczy, gdy współczynnik „b” lub „c” jest równy zero (lub oba są równe zeru). Są łatwo rozwiązywane bez żadnych rozróżnień.

Przypadek 1. Współczynnik b = 0.

Równanie przyjmuje postać:

Przekształćmy:

Przykład:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Przypadek 2. Współczynnik c = 0.

Równanie przyjmuje postać:

Przekształć, faktoryzuj:

*Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero.

Przykład:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 lub x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Przypadek 3. Współczynniki b = 0 i c = 0.

Tutaj jest jasne, że rozwiązaniem równania będzie zawsze x = 0.

Przydatne właściwości i wzory współczynników.

Istnieją właściwości umożliwiające rozwiązywanie równań o dużych współczynnikach.

ax 2 + bx+ c=0 równość

a + b+ c = 0, następnie

— jeśli dla współczynników równania ax 2 + bx+ c=0 równość

a+ z =b, następnie

Te właściwości pomagają rozwiązać pewien rodzaj równania.

Przykład 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Suma współczynników wynosi 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, więc

Przykład 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Równość a+ z =b, znaczy

Regularności współczynników.

1. Jeśli w równaniu ax 2 + bx + c \u003d 0 współczynnik „b” wynosi (a 2 + 1), a współczynnik „c” jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, to jego pierwiastki są

topór 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Przykład. Rozważ równanie 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Jeśli w równaniu ax 2 - bx + c \u003d 0, współczynnik „b” wynosi (a 2 + 1), a współczynnik „c” jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, to jego pierwiastki są

topór 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Przykład. Rozważ równanie 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jeśli w równaniu ax 2 + bx - c = 0 współczynnik "b" równa się (a 2 – 1) oraz współczynnik „c” liczbowo równy współczynnikowi „a”, wtedy jego korzenie są równe

topór 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Przykład. Rozważ równanie 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Jeśli w równaniu ax 2 - bx - c \u003d 0, współczynnik „b” jest równy (a 2 - 1), a współczynnik c jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, to jego pierwiastki są

topór 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Przykład. Rozważ równanie 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Twierdzenie Viety.

Twierdzenie Viety nosi imię słynnego francuskiego matematyka Francois Vieta. Korzystając z twierdzenia Viety, można wyrazić sumę i iloczyn pierwiastków dowolnego KU w kategoriach jego współczynników.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

W sumie liczba 14 daje tylko 5 i 9. To są pierwiastki. Z pewną umiejętnością, korzystając z przedstawionego twierdzenia, można od razu ustnie rozwiązać wiele równań kwadratowych.

Co więcej, twierdzenie Viety. wygodne, ponieważ po rozwiązaniu równania kwadratowego w zwykły sposób (poprzez dyskryminację) powstałe pierwiastki można sprawdzić. Polecam robić to cały czas.

METODA TRANSFERU

Dzięki tej metodzie współczynnik „a” jest mnożony przez człon swobodny, jakby „przeniesiony” do niego, dlatego nazywa się go metoda transferu. Ta metoda jest używana, gdy łatwo jest znaleźć pierwiastki równania za pomocą twierdzenia Viety i, co najważniejsze, gdy dyskryminator jest dokładnym kwadratem.

Jeśli a± b+c≠ 0, wtedy stosuje się technikę transferową, na przykład:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Zgodnie z twierdzeniem Vieta w równaniu (2) łatwo jest ustalić, że x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Otrzymane pierwiastki równania należy podzielić przez 2 (ponieważ oba zostały „wyrzucone” z x 2), otrzymujemy

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Jakie jest uzasadnienie? Zobacz, co się dzieje.

Wyróżnikami równań (1) i (2) są:

Jeśli spojrzysz na pierwiastki równań, uzyskasz tylko różne mianowniki, a wynik zależy dokładnie od współczynnika przy x 2:

Drugie (zmodyfikowane) korzenie są 2 razy większe.

Dlatego dzielimy wynik przez 2.

*Jeśli wyrzucimy trójkę, wynik dzielimy przez 3 i tak dalej.

Odpowiedź: x 1 = 5 x 2 = 0,5

mkw. ur-ie i egzamin.

Pokrótce powiem o jego znaczeniu - MUSISZ UMIEĆ DECYZOWAĆ szybko i bez zastanowienia, musisz znać formuły korzeni i rozróżniacza na pamięć. Wiele zadań wchodzących w skład zadań USE sprowadza się do rozwiązania równania kwadratowego (w tym geometrycznego).

Na co warto zwrócić uwagę!

1. Forma równania może być „ukryta”. Na przykład możliwy jest następujący wpis:

15+ 9x 2 - 45x = 0 lub 15x+42+9x 2 - 45x=0 lub 15 -5x+10x 2 = 0.

Musisz doprowadzić to do standardowej formy (aby nie pomylić się podczas rozwiązywania).

2. Pamiętaj, że x jest wartością nieznaną i można ją oznaczać dowolną inną literą - t, q, p, h i innymi.

Niepełne równanie kwadratowe różni się od klasycznych (pełnych) równań tym, że jego współczynniki lub wyraz wolny są równe zeru. Wykresem takich funkcji są parabole. W zależności od ogólnego wyglądu dzielą się na 3 grupy. Zasady rozwiązywania wszystkich typów równań są takie same.

Nie ma nic trudnego w określeniu typu wielomianu niepełnego. Najlepiej rozważyć główne różnice w przykładowych przykładach:

Jeśli b = 0, to równanie to ax 2 + c = 0.
Jeśli c = 0, to wyrażenie ax 2 + bx = 0 powinno zostać rozwiązane.
Jeśli b = 0 i c = 0, to wielomian staje się równością typu ax 2 = 0.

Ten ostatni przypadek jest bardziej teoretyczną możliwością i nigdy nie występuje w testach wiedzy, ponieważ jedyną prawdziwą wartością x w wyrażeniu jest zero. W przyszłości zostaną rozważone metody i przykłady rozwiązywania problemów niepełnych. równania kwadratowe 1) i 2) gatunek.

Ogólny algorytm znajdowania zmiennych i przykładów z rozwiązaniem

Niezależnie od rodzaju równania, algorytm rozwiązania sprowadza się do następujących kroków:

Sprowadź wyrażenie do formy dogodnej do wyszukiwania korzeni.
Dokonuj obliczeń.
Zapisz odpowiedź.

Niekompletne równania najłatwiej rozwiązać, rozkładając lewą stronę na czynniki i pozostawiając zero po prawej stronie. Zatem wzór na niepełne równanie kwadratowe do znajdowania pierwiastków sprowadza się do obliczenia wartości x dla każdego z czynników.

Możesz nauczyć się rozwiązywać tylko w praktyce, więc zastanów się konkretny przykład znajdowanie pierwiastków niepełnego równania:

Jak widać, w tym przypadku b = 0. Rozkładamy lewą stronę na czynniki i otrzymujemy wyrażenie:

4(x - 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Oczywiście iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zeru. Podobne wymagania spełniają wartości zmiennej x1 = 0,5 i (lub) x2 = -0,5.

Aby łatwo i szybko poradzić sobie z zadaniem rozkładu trójmian kwadratowy mnożniki, należy pamiętać o następującym wzorze:

Jeśli w wyrażeniu nie ma wolnego terminu, zadanie jest znacznie uproszczone. Wystarczy tylko znaleźć i usunąć wspólny mianownik. Dla jasności rozważmy przykład rozwiązywania niekompletnych równań kwadratowych postaci ax2 + bx = 0.

Wyjmijmy zmienną x z nawiasów i uzyskajmy następujące wyrażenie:

x (x + 3) = 0.

Na podstawie logiki wnioskujemy, że x1 = 0 i x2 = -3.

Tradycyjny sposób rozwiązywania i niepełne równania kwadratowe

Co się stanie, jeśli zastosujemy wzór na dyskryminację i spróbujemy znaleźć pierwiastki wielomianu o współczynnikach równych zero? Weźmy przykład ze zbioru typowych zadań do ujednoliconego egzaminu państwowego z matematyki w 2017 roku, rozwiążemy go za pomocą standardowych formuł i metody faktoryzacji.

7x 2 - 3x = 0.

Oblicz wartość wyróżnika: D = (-3)2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Okazuje się, że wielomian ma dwa pierwiastki:

Teraz rozwiąż równanie, rozkładając na czynniki i porównaj wyniki.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x=-3,
x = -.

Jak widać, obie metody dają ten sam wynik, ale drugi sposób rozwiązania równania okazał się znacznie łatwiejszy i szybszy.

Twierdzenie Viety

Ale co zrobić z ukochanym twierdzeniem Vieta? Czy tę metodę można zastosować z niepełnym trójmianem? Spróbujmy zrozumieć aspekty sprowadzania niekompletnych równań do postaci klasycznej ax2 + bx + c = 0.

W rzeczywistości możliwe jest zastosowanie w tym przypadku twierdzenia Viety. Konieczne jest jedynie sprowadzenie wyrażenia do ogólnej postaci, zastępując brakujące terminy zerem.

Na przykład przy b = 0 i a = 1, aby wyeliminować możliwość pomyłki, zadanie należy zapisać w postaci: ax2 + 0 + c = 0. Następnie stosunek sumy i iloczynu pierwiastków i czynniki wielomianu można wyrazić w następujący sposób:

Obliczenia teoretyczne pomagają zapoznać się z istotą problemu, a przy rozwiązywaniu zawsze wymagają rozwoju umiejętności specyficzne zadania. Wróćmy ponownie do podręcznika typowych zadań do egzaminu i znajdź odpowiedni przykład:

Wyrażenie zapisujemy w formie wygodnej do zastosowania twierdzenia Vieta:

x2 + 0 - 16 = 0.

Następnym krokiem jest stworzenie systemu warunków:

Oczywiście pierwiastki wielomianu kwadratowego będą wynosić x 1 \u003d 4 i x 2 \u003d -4.

Teraz przećwiczmy sprowadzanie równania do ogólnej postaci. Weźmy następujący przykład: 1/4× x 2 – 1 = 0

Aby zastosować twierdzenie Vieta do wyrażenia, musisz pozbyć się ułamka. Pomnóż lewą i prawą stronę przez 4 i spójrz na wynik: x2– 4 = 0. Otrzymana równość jest gotowa do rozwiązania przez twierdzenie Vieta, ale o wiele łatwiej i szybciej jest uzyskać odpowiedź po prostu przesuwając c = 4 po prawej stronie równania: x2 = 4.

Podsumowując, należy powiedzieć, że Najlepszym sposobem rozwiązaniem niekompletnych równań jest faktoryzacja, jest najprostsze i szybka metoda. Jeśli napotkasz trudności w procesie wyszukiwania korzeni, możesz odwołać się do tradycyjnej metody wyszukiwania korzeni poprzez dyskryminator.

Równanie kwadratowe to równanie postaci a*x^2 +b*x+c=0, gdzie a,b,c są pewnymi arbitralnymi liczbami rzeczywistymi (rzeczywistymi), a x jest zmienną. A liczba a nie jest równa 0.

Liczby a,b,c nazywane są współczynnikami. Liczba a - jest nazywana wiodącym współczynnikiem, liczba b jest współczynnikiem w x, a liczba c jest nazywana wolnym członkiem. W niektórych publikacjach można znaleźć również inne nazwy. Liczba a jest nazywana pierwszym współczynnikiem, a liczba b jest nazywana drugim współczynnikiem.

Klasyfikacja równań kwadratowych

Równania kwadratowe mają własną klasyfikację.

Dzięki obecności współczynników:

1. Pełna

2. Niekompletny

O wartość współczynnika najwyższego stopnia niewiadomej(do wartości współczynnika wiodącego):

1. Biorąc pod uwagę

2. Nie zmniejszona

Równanie kwadratowe nazwany kompletnym jeśli zawiera wszystkie trzy współczynniki i są one niezerowe. Forma ogólna pełne równanie kwadratowe: a*x^2 +b*x+c=0;

Równanie kwadratowe nazywany niekompletnym jeśli w równaniu a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 jeden ze współczynników b lub c jest równy zero (b \u003d 0 lub c \u003d 0), jednak niepełne równanie kwadratowe również będzie równanie, w którym zarówno współczynnik b, jak i współczynnik c są jednocześnie równe zeru (zarówno b=0, jak i c=0).

Warto zauważyć, że nie mówi się tutaj o współczynniku wiodącym, ponieważ z definicji równania kwadratowego musi być on różny od zera.

dany jeśli jego wiodący współczynnik równy jeden(a=1). Widok ogólny danego równania kwadratowego: x^2 +d*x+e=0.

Nazywa się równanie kwadratowe niezredukowany, jeśli wiodący współczynnik w równaniu jest niezerowy. Widok ogólny nieredukowanego równania kwadratowego: a*x^2 +b*x+c=0.

Należy zauważyć, że każde niezredukowane równanie kwadratowe można sprowadzić do zredukowanego. Aby to zrobić, konieczne jest podzielenie współczynników równania kwadratowego przez wiodący współczynnik.

Przykłady kwadratowe

Rozważ przykład: mamy równanie 2*x^2 - 6*x+7 =0;

Przekształćmy to w powyższe równanie. Wiodący współczynnik to 2. Podzielmy przez niego współczynniki naszego równania i zapiszmy odpowiedź.

x^2 - 3*x+3,5 =0;

Jak zauważyłeś, po prawej stronie równania kwadratowego znajduje się wielomian drugiego stopnia a * x ^ 2 + b * x + c. Nazywany jest również trójmianem kwadratowym.

Ten temat może początkowo wydawać się skomplikowany ze względu na wiele nie tak prostych formuł. Nie tylko same równania kwadratowe mają długie wpisy, ale również pierwiastki można znaleźć poprzez wyróżnik. W sumie dostępne są trzy nowe formuły. Niezbyt łatwe do zapamiętania. Jest to możliwe dopiero po częstym rozwiązywaniu takich równań. Wtedy wszystkie formuły zostaną zapamiętane same.

Ogólny widok równania kwadratowego

Tutaj proponuje się ich wyraźną notację, kiedy najpierw zapisywany jest najwyższy stopień, a następnie - w porządku malejącym. Często zdarzają się sytuacje, w których terminy różnią się od siebie. Wtedy lepiej jest przepisać równanie w porządku malejącym według stopnia zmiennej.

Wprowadźmy notację. Przedstawiono je w poniższej tabeli.

Jeśli przyjmiemy te zapisy, wszystkie równania kwadratowe zostaną zredukowane do następującej notacji.

Ponadto współczynnik a ≠ 0. Niech ten wzór oznaczymy liczbą jeden.

Gdy podane jest równanie, nie jest jasne, ile pierwiastków będzie w odpowiedzi. Ponieważ zawsze możliwa jest jedna z trzech opcji:

rozwiązanie będzie miało dwa korzenie;
odpowiedzią będzie jedna liczba;
Równanie w ogóle nie ma korzeni.

I choć decyzja nie jest zakończona, trudno jest zrozumieć, która z opcji wypadnie w konkretnym przypadku.

Rodzaje zapisów równań kwadratowych

Zadania mogą mieć różne wpisy. Nie zawsze tak wyglądają ogólna formuła równanie kwadratowe. Czasami zabraknie niektórych określeń. To, co zostało napisane powyżej, to pełne równanie. Jeśli usuniesz z niego drugi lub trzeci termin, otrzymasz coś innego. Te zapisy są również nazywane równaniami kwadratowymi, tylko niekompletnymi.

Co więcej, mogą zniknąć tylko te terminy, dla których współczynniki „b” i „c” mogą zniknąć. Liczba „a” w żadnym wypadku nie może być równa zero. Ponieważ w tym przypadku formuła zamienia się w równanie liniowe. Wzory na niepełną postać równań będą następujące:

Tak więc istnieją tylko dwa typy, oprócz kompletnych, istnieją również niepełne równania kwadratowe. Niech pierwsza formuła będzie liczbą dwa, a drugą liczbą trzy.

Dyskryminator i zależność liczby pierwiastków od jego wartości

Ta liczba musi być znana, aby obliczyć pierwiastki równania. Zawsze można go obliczyć, bez względu na wzór równania kwadratowego. Aby obliczyć dyskryminator, musisz użyć poniższej równości, która będzie miała liczbę cztery.

Po podstawieniu wartości współczynników do tego wzoru można uzyskać liczby za pomocą różne znaki. Jeśli odpowiedź brzmi tak, to odpowiedzią na równanie będą dwa różne pierwiastki. Przy liczbie ujemnej pierwiastki równania kwadratowego będą nieobecne. Jeśli jest równy zero, odpowiedź będzie jedna.

Jak rozwiązywane jest pełne równanie kwadratowe?

W rzeczywistości rozważanie tej kwestii już się rozpoczęło. Ponieważ najpierw musisz znaleźć wyróżnik. Po wyjaśnieniu, że istnieją pierwiastki równania kwadratowego, a ich liczba jest znana, należy użyć wzorów na zmienne. Jeśli są dwa korzenie, musisz zastosować taką formułę.

Ponieważ zawiera znak „±”, będą dwie wartości. Podpisane wyrażenie pierwiastek kwadratowy jest wyróżnikiem. Dlatego formułę można przepisać w inny sposób.

Formuła piąta. Z tego samego zapisu wynika, że jeśli dyskryminator ma wartość zero, to oba pierwiastki przyjmą te same wartości.

Jeśli rozwiązanie równań kwadratowych nie zostało jeszcze opracowane, lepiej zapisać wartości wszystkich współczynników przed zastosowaniem formuł dyskryminacyjnych i zmiennych. Później ta chwila nie sprawi trudności. Ale na samym początku panuje zamieszanie.

Jak rozwiązywane jest niepełne równanie kwadratowe?

Tutaj wszystko jest o wiele prostsze. Nawet nie ma potrzeby stosowania dodatkowych formuł. I nie będziesz potrzebować tych, które zostały już napisane dla dyskryminującego i nieznanego.

Najpierw rozważ niekompletne równanie pod numerem dwa. W tej równości ma ona wyjąć nieznaną wielkość z nawiasów i rozwiązać równanie liniowe, które pozostanie w nawiasach. Odpowiedź będzie miała dwa korzenie. Pierwsza z nich jest z konieczności równa zero, ponieważ istnieje czynnik składający się z samej zmiennej. Drugi uzyskuje się, rozwiązując równanie liniowe.

Niekompletne równanie pod numerem trzy rozwiązuje się, przenosząc liczbę z lewej strony równania na prawą. Następnie musisz podzielić przez współczynnik przed niewiadomą. Pozostaje tylko wydobyć pierwiastek kwadratowy i nie zapomnij zapisać go dwukrotnie z przeciwstawnymi znakami.

Poniżej przedstawiono niektóre czynności, które pomogą Ci nauczyć się rozwiązywania wszelkiego rodzaju równości, które zamieniają się w równania kwadratowe. Pomogą uczniowi uniknąć błędów wynikających z nieuwagi. Te niedociągnięcia są przyczyną słabych ocen podczas studiowania obszernego tematu „Równania kwadratowe (klasa 8)”. Następnie te czynności nie będą musiały być stale wykonywane. Ponieważ będzie stabilny nawyk.

Najpierw musisz napisać równanie w standardowej formie. Czyli najpierw wyraz o największym stopniu zmiennej, a następnie - bez stopnia, a na końcu - tylko liczba.

Jeśli przed współczynnikiem „a” pojawi się minus, może to skomplikować pracę początkującemu w badaniu równań kwadratowych. Lepiej się go pozbyć. W tym celu wszelką równość należy pomnożyć przez „-1”. Oznacza to, że wszystkie warunki zmienią znak na przeciwny.

W ten sam sposób zaleca się pozbycie się frakcji. Po prostu pomnóż równanie przez odpowiedni współczynnik, tak aby mianowniki zniknęły.

Przykłady

Wymagane jest rozwiązanie następujących równań kwadratowych:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Pierwsze równanie: x 2 - 7x \u003d 0. Jest niekompletne, dlatego rozwiązuje się je zgodnie z opisem dla wzoru numer dwa.

Po nawiasach okazuje się: x (x - 7) \u003d 0.

Pierwszy pierwiastek przyjmuje wartość: x 1 = 0. Drugi zostanie znaleziony z równanie liniowe: x - 7 = 0. Łatwo zauważyć, że x 2 = 7.

Drugie równanie: 5x2 + 30 = 0. Ponownie niekompletne. Tylko to jest rozwiązane tak, jak opisano dla trzeciego wzoru.

Po przeniesieniu 30 na prawą stronę równania: 5x 2 = 30. Teraz trzeba podzielić przez 5. Okazuje się: x 2 = 6. Odpowiedzi będą liczbami: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Trzecie równanie: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Tutaj i poniżej rozwiązanie równań kwadratowych rozpocznie się od ich przepisania standardowy widok: - x 2 - 2x + 15 = 0. Teraz czas na użycie drugiego przydatna rada i pomnóż wszystko przez minus jeden. Okazuje się, że x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Zgodnie z czwartą formułą należy obliczyć dyskryminator: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Jest to Liczba dodatnia. Z tego, co zostało powiedziane powyżej, wynika, że równanie ma dwa pierwiastki. Należy je obliczyć zgodnie z piątą formułą. Zgodnie z nim okazuje się, że x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Następnie x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Czwarte równanie x 2 + 8 + 3x \u003d 0 jest konwertowane na to: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Jego wyróżnik jest równy tej wartości: -23. Ponieważ liczba ta jest ujemna, odpowiedzią na to zadanie będzie następujący wpis: „Nie ma pierwiastków”.

Piąte równanie 12x + x 2 + 36 = 0 należy przepisać następująco: x 2 + 12x + 36 = 0. Po zastosowaniu wzoru na wyróżnik otrzymujemy liczbę zero. Oznacza to, że będzie miał jeden korzeń, a mianowicie: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Szóste równanie (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) wymaga przekształceń, które polegają na tym, że przed otwarciem nawiasów trzeba wprowadzić podobne wyrażenia. W miejsce pierwszego będzie takie wyrażenie: x 2 + 2x + 1. Po zrównaniu pojawi się ten wpis: x 2 + 3x + 2. Po policzeniu podobnych wyrazów równanie przyjmie postać: x 2 - x \u003d 0. Stał się niekompletny . Podobny do tego został już uznany za nieco wyższy. Korzeniem tego będą liczby 0 i 1.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 lub x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Nauczywszy się rozwiązywać równania pierwszego stopnia, oczywiście chcę pracować z innymi, w szczególności z równaniami drugiego stopnia, które są inaczej nazywane kwadratowymi.

Równania kwadratowe to równania typu ax² + bx + c = 0, gdzie zmienną jest x, liczby będą - a, b, c, gdzie a nie jest równe zeru.

Jeśli w równaniu kwadratowym jeden lub drugi współczynnik (c lub b) jest równy zero, to równanie to będzie odnosić się do niepełnego równania kwadratowego.

Jak rozwiązać niepełne równanie kwadratowe, jeśli do tej pory uczniowie byli w stanie rozwiązać tylko równania pierwszego stopnia? Rozważ niekompletne równania kwadratowe różne rodzaje oraz proste sposoby ich decyzje.

a) Jeżeli współczynnik c jest równy 0, a współczynnik b nie jest równy zero, to ax ² + bx + 0 = 0 sprowadza się do równania postaci ax ² + bx = 0.

Aby rozwiązać takie równanie, musisz znać wzór na rozwiązanie niepełnego równania kwadratowego, który polega na rozłożeniu jego lewej strony na czynniki, a następnie zastosowaniu warunku, że iloczyn jest równy zero.

Na przykład 5x ² - 20x \u003d 0. Rozkładamy lewą stronę równania na czynniki, wykonując zwykłe działanie matematyczne: usunięcie wspólnego czynnika z nawiasów

5x (x - 4) = 0

Stosujemy warunek, że produkty są równe zeru.

5 x = 0 lub x - 4 = 0

Odpowiedzią będzie: pierwszy korzeń to 0; drugi korzeń to 4.

b) Jeśli b \u003d 0, a wyraz wolny nie jest równy zeru, wówczas równanie ax ² + 0x + c \u003d 0 zostaje zredukowane do równania o postaci ax ² + c \u003d 0. Rozwiąż równania na dwa sposoby: a) rozłożenie wielomianu równania po lewej stronie na czynniki ; b) wykorzystanie własności arytmetycznego pierwiastka kwadratowego. Takie równanie rozwiązuje się jedną z metod, na przykład:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Odpowiedź brzmi: pierwszy korzeń to 5/2; drugi korzeń to - 5/2.

c) Jeśli b jest równe 0 i c jest równe 0, to ax² + 0 + 0 = 0 sprowadza się do równania postaci ax² = 0. W takim równaniu x będzie równe 0.

Jak widać, niepełne równania kwadratowe mogą mieć co najwyżej dwa pierwiastki.