Rozwiązanie najprostszych nierówności logarytmicznych. Przygotowanie do egzaminu

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do zidentyfikowania konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i wiadomości.
Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

W przypadku, gdy jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnić swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów interesu publicznego.
W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz ściśle egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Spośród całej gamy nierówności logarytmicznych oddzielnie badane są nierówności o zmiennej podstawie. Są one rozwiązywane według specjalnej formuły, której z jakiegoś powodu rzadko uczy się w szkole:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

Zamiast kawki „∨” możesz umieścić dowolny znak nierówności: mniej więcej. Najważniejsze, że w obu nierównościach znaki są takie same.

Pozbywamy się więc logarytmów i redukujemy problem do racjonalnej nierówności. Ten ostatni jest znacznie łatwiejszy do rozwiązania, ale przy odrzucaniu logarytmów mogą pojawić się dodatkowe pierwiastki. Aby je odciąć, wystarczy znaleźć zakres dopuszczalnych wartości. Jeśli zapomniałeś ODZ logarytmu, zdecydowanie polecam to powtórzyć - patrz "Co to jest logarytm".

Wszystko, co dotyczy zakresu dopuszczalnych wartości, należy rozpisać i rozwiązać osobno:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) 1.

Te cztery nierówności tworzą system i muszą być spełnione jednocześnie. Gdy zostanie znaleziony zakres dopuszczalnych wartości, pozostaje przekroczyć go rozwiązaniem racjonalnej nierówności - i odpowiedź jest gotowa.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

Najpierw napiszmy ODZ logarytmu:

Dwie pierwsze nierówności są wykonywane automatycznie, a ostatnią trzeba będzie wpisać. Ponieważ kwadrat liczby wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy sama liczba wynosi zero, mamy:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x 0.

Okazuje się, że ODZ logarytmu to wszystkie liczby oprócz zera: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Teraz rozwiązujemy główną nierówność:

Dokonujemy przejścia od nierówności logarytmicznej do racjonalnej. W oryginalnej nierówności występuje znak „mniej niż”, więc nierówność wynikowa również powinna być ze znakiem „mniej niż”. Mamy:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

Zera tego wyrażenia: x = 3; x = -3; x = 0. Co więcej, x = 0 jest pierwiastkiem drugiej krotności, co oznacza, że przy przejściu przez nią znak funkcji się nie zmienia. Mamy:

Otrzymujemy x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Zbiór ten jest całkowicie zawarty w ODZ logarytmu, co oznacza, że jest to odpowiedź.

Transformacja nierówności logarytmicznych

Często pierwotna nierówność różni się od powyższej. Można to łatwo naprawić zgodnie ze standardowymi zasadami pracy z logarytmami - patrz "Podstawowe właściwości logarytmów". Mianowicie:

Dowolna liczba może być reprezentowana jako logarytm o danej podstawie;
Sumę i różnicę logarytmów o tej samej podstawie można zastąpić pojedynczym logarytmem.

Osobno pragnę przypomnieć o zakresie dopuszczalnych wartości. Ponieważ pierwotna nierówność może mieć kilka logarytmów, wymagane jest znalezienie DPV każdego z nich. Zatem ogólny schemat rozwiązywania nierówności logarytmicznych jest następujący:

Znajdź ODZ każdego logarytmu zawartego w nierówności;
Zmniejsz nierówność do standardowej za pomocą wzorów na dodawanie i odejmowanie logarytmów;
Rozwiąż powstałą nierówność zgodnie z powyższym schematem.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

Znajdź dziedzinę definicji (ODZ) pierwszego logarytmu:

Rozwiązujemy metodą interwałową. Znajdowanie zer licznika:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Wtedy - zera mianownika:

x − 1 = 0;
x = 1.

Na strzałce współrzędnych zaznaczamy zera i znaki:

Otrzymujemy x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Drugi logarytm ODZ będzie taki sam. Jeśli mi nie wierzysz, możesz sprawdzić. Teraz przekształcamy drugi logarytm tak, aby podstawą były dwa:

Jak widać, trójki u podstawy i przed logarytmem skurczyły się. Uzyskaj dwa logarytmy o tej samej podstawie. Połączmy je razem:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Otrzymaliśmy standardową nierówność logarytmiczną. Pozbywamy się logarytmów za pomocą wzoru. Ponieważ w oryginalnej nierówności występuje znak „mniej niż”, wynikowe wyrażenie wymierne również musi być mniejsze od zera. Mamy:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x (-1; 3).

Otrzymaliśmy dwa zestawy:

ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
Kandydat na odpowiedź: x ∈ (−1; 3).

Pozostaje przekroczyć te zestawy – otrzymujemy prawdziwą odpowiedź:

Interesuje nas przecinanie się zbiorów, więc interwały wybieramy zacieniowane na obie strzałki. Otrzymujemy x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) – wszystkie punkty są przebite.

Myślisz, że do egzaminu jest jeszcze czas i będziesz miał czas na przygotowania? Być może tak jest. W każdym razie im wcześniej uczeń rozpocznie szkolenie, tym skuteczniej zda egzaminy. Dzisiaj postanowiliśmy poświęcić artykuł nierównościom logarytmicznym. To jedno z zadań, które oznacza możliwość zdobycia dodatkowego punktu.

Czy wiesz już, co to jest logarytm (log)? Naprawdę mamy taką nadzieję. Ale nawet jeśli nie masz odpowiedzi na to pytanie, to nie jest problem. Bardzo łatwo jest zrozumieć, czym jest logarytm.

Dlaczego dokładnie 4? Musisz podnieść liczbę 3 do takiej potęgi, aby uzyskać 81. Kiedy zrozumiesz zasadę, możesz przejść do bardziej złożonych obliczeń.

Kilka lat temu przeszedłeś przez nierówności. I od tego czasu ciągle spotykasz ich w matematyce. Jeśli masz problemy z rozwiązywaniem nierówności, zapoznaj się z odpowiednią sekcją.
Teraz, gdy osobno zapoznamy się z pojęciami, przejdziemy do ich rozpatrzenia w ogólności.

Najprostsza nierówność logarytmiczna.

Najprostsze nierówności logarytmiczne nie ograniczają się do tego przykładu, są jeszcze trzy, tylko z różnymi znakami. Dlaczego jest to potrzebne? Aby lepiej zrozumieć, jak rozwiązywać nierówności za pomocą logarytmów. Teraz podajemy bardziej odpowiedni przykład, wciąż dość prosty, złożone nierówności logarytmiczne zostawiamy na później.

Jak to rozwiązać? Wszystko zaczyna się od ODZ. Powinieneś wiedzieć o tym więcej, jeśli chcesz zawsze łatwo rozwiązywać wszelkie nierówności.

Co to jest ODZ? DPV dla nierówności logarytmicznych

Skrót oznacza zakres obowiązujących wartości. W zadaniach do egzaminu takie sformułowanie często się pojawia. DPV przydaje się nie tylko w przypadku nierówności logarytmicznych.

Spójrz ponownie na powyższy przykład. Rozważymy ODZ na jej podstawie, abyście Państwo zrozumieli zasadę, a rozwiązanie nierówności logarytmicznych nie budzi wątpliwości. Z definicji logarytmu wynika, że 2x+4 musi być większe od zera. W naszym przypadku oznacza to, co następuje.

Liczba ta z definicji musi być dodatnia. Rozwiąż przedstawioną powyżej nierówność. Można to zrobić nawet ustnie, tutaj widać wyraźnie, że X nie może być mniejsze niż 2. Rozwiązaniem nierówności będzie określenie zakresu dopuszczalnych wartości.
Przejdźmy teraz do rozwiązania najprostszej nierówności logarytmicznej.

Odrzucamy same logarytmy z obu części nierówności. Co nam w rezultacie pozostaje? prosta nierówność.

To łatwe do rozwiązania. X musi być większe niż -0,5. Teraz łączymy dwie uzyskane wartości w system. Zatem,

Będzie to obszar dopuszczalnych wartości dla rozpatrywanej nierówności logarytmicznej.

Po co w ogóle ODZ? To okazja do wyeliminowania błędnych i niemożliwych odpowiedzi. Jeśli odpowiedź nie mieści się w dopuszczalnych wartościach, to odpowiedź po prostu nie ma sensu. Warto o tym długo pamiętać, gdyż na egzaminie często pojawia się potrzeba szukania ODZ i nie dotyczy to tylko nierówności logarytmicznych.

Algorytm rozwiązywania nierówności logarytmicznych

Rozwiązanie składa się z kilku kroków. Najpierw należy znaleźć zakres dopuszczalnych wartości. W ODZ będą dwie wartości, rozważaliśmy to powyżej. Następnym krokiem jest rozwiązanie samej nierówności. Metody rozwiązania są następujące:

metoda zastępowania mnożnika;
rozkład;
metoda racjonalizacji.

W zależności od sytuacji należy zastosować jedną z powyższych metod. Przejdźmy od razu do rozwiązania. Przedstawimy najpopularniejszą metodę, która jest odpowiednia do rozwiązywania zadań USE w prawie wszystkich przypadkach. Następnie rozważymy metodę dekompozycji. Może pomóc, jeśli natkniesz się na szczególnie „trudną” nierówność. A więc algorytm rozwiązywania nierówności logarytmicznych.

Przykłady rozwiązań :

Nie na próżno przyjęliśmy właśnie taką nierówność! Zwróć uwagę na bazę. Pamiętaj: jeśli jest większy niż jeden, znak pozostaje taki sam przy wyszukiwaniu zakresu prawidłowych wartości; w przeciwnym razie znak nierówności musi zostać zmieniony.

W rezultacie otrzymujemy nierówność:

Teraz sprowadzamy lewą stronę do postaci równania równego zero. Zamiast znaku „mniej niż” wpisujemy „równe”, rozwiązujemy równanie. W ten sposób znajdziemy ODZ. Mamy nadzieję, że nie będziesz miał problemów z rozwiązaniem tak prostego równania. Odpowiedzi to -4 i -2. To nie wszystko. Musisz wyświetlić te punkty na wykresie, umieścić "+" i "-". Co należy w tym celu zrobić? Zastąp liczby z przedziałów w wyrażeniu. Tam, gdzie wartości są dodatnie, wstawiamy tam „+”.

Odpowiedź: x nie może być większe niż -4 i mniejsze niż -2.

Znaleźliśmy zakres poprawnych wartości tylko dla lewej strony, teraz musimy znaleźć zakres poprawnych wartości dla prawej strony. To wcale nie jest łatwiejsze. Odpowiedź: -2. Przecinamy oba otrzymane obszary.

I dopiero teraz zaczynamy rozwiązywać samą nierówność.

Upraszczajmy to tak bardzo, jak to możliwe, aby ułatwić podjęcie decyzji.

W rozwiązaniu ponownie stosujemy metodę interwałową. Pomińmy obliczenia, u niego wszystko jest już jasne z poprzedniego przykładu. Odpowiedź.

Ale ta metoda jest odpowiednia, jeśli nierówność logarytmiczna ma te same podstawy.

Rozwiązywanie równań logarytmicznych i nierówności o różnych podstawach wymaga wstępnej redukcji do jednej podstawy. Następnie użyj powyższej metody. Ale jest też bardziej skomplikowana sprawa. Rozważ jeden z najbardziej złożonych rodzajów nierówności logarytmicznych.

Nierówności logarytmiczne o podstawie zmiennej

Jak rozwiązywać nierówności o takich cechach? Tak, i takie można znaleźć na egzaminie. Rozwiązanie nierówności w następujący sposób będzie miało również korzystny wpływ na Twój proces edukacyjny. Przyjrzyjmy się temu zagadnieniu szczegółowo. Odłóżmy teorię na bok i przejdźmy od razu do praktyki. Aby rozwiązać nierówności logarytmiczne wystarczy raz zapoznać się z przykładem.

Aby rozwiązać nierówność logarytmiczną przedstawionej postaci, należy sprowadzić prawą stronę do logarytmu o tej samej podstawie. Zasada przypomina przejścia równoważne. W rezultacie nierówność będzie wyglądać tak.

Właściwie pozostaje stworzenie systemu nierówności bez logarytmów. Metodą racjonalizacji przechodzimy do równorzędnego systemu nierówności. Samą regułę zrozumiesz, gdy podstawisz odpowiednie wartości i będziesz śledzić ich zmiany. System będzie charakteryzował się następującymi nierównościami.

Stosując metodę racjonalizacji przy rozwiązywaniu nierówności należy pamiętać, że od podstawy należy odjąć jeden, x z definicji logarytmu odejmuje się od obu części nierówności (prawej od lewej), dwa wyrażenia są mnożone i ustawiane pod oryginalnym znakiem w stosunku do zera.

Dalsze rozwiązanie odbywa się metodą interwałową, tutaj wszystko jest proste. Ważne jest, abyś zrozumiał różnice w metodach rozwiązania, wtedy wszystko zacznie się układać.

Istnieje wiele niuansów nierówności logarytmicznych. Najprostsze z nich są dość łatwe do rozwiązania. Jak sprawić, by każdy z nich rozwiązał się bez problemów? Otrzymałeś już wszystkie odpowiedzi w tym artykule. Teraz masz przed sobą długą praktykę. Nieustannie ćwicz rozwiązywanie różnych problemów w ramach egzaminu, a uzyskasz najwyższy wynik. Powodzenia w Twojej trudnej pracy!

Nierówność nazywa się logarytmiczną, jeśli zawiera funkcję logarytmiczną.

Metody rozwiązywania nierówności logarytmicznych nie różnią się od innych, z wyjątkiem dwóch rzeczy.

Po pierwsze, przechodząc od nierówności logarytmicznej do nierówności funkcji sublogarytmicznych, wynika podążaj za znakiem powstałej nierówności. Jest zgodny z następującą zasadą.

Jeżeli podstawa funkcji logarytmicznej jest większa niż 1 $, to przy przejściu z nierówności logarytmicznej do nierówności funkcji podlogarytmicznych znak nierówności jest zachowany, a jeśli jest mniejszy niż 1 $, to jest odwracany.

Po drugie, rozwiązanie dowolnej nierówności jest przedziałem, a zatem na końcu rozwiązania nierówności funkcji sublogarytmicznych konieczne jest ułożenie układu dwóch nierówności: pierwszą nierównością tego układu będzie nierówność funkcji sublogarytmicznych, a drugi będzie przedziałem dziedziny definicji funkcji logarytmicznych zawartych w nierówności logarytmicznej.