Come trovare intersezione e unione. Trovare l'intersezione e l'unione di insiemi numerici

traversata Due imposta è chiamato l'insieme di tutti elementi comuni questi set.

Esempio :
Prendiamo i numeri 12 e 18. Trova i loro divisori, denotando l'intero insieme di questi divisori, rispettivamente, con le lettere A e B:
A \u003d (1, 2, 3, 4, 6, 12),
B = (1, 2, 3, 6, 9, 18).

Vediamo che i numeri 12 e 18 hanno divisori comuni: 1, 2, 3, 6. Indichiamoli con la lettera C:
C = (1, 2, 3, 6).

L'insieme C è l'intersezione degli insiemi A e B. Lo scrivono in questo modo:
A ∩B=C.

Se due insiemi non hanno elementi comuni, allora lo è l'intersezione di questi insiemi vuoto un mucchio di.
L'insieme vuoto è indicato dal segno Ø e viene utilizzata la seguente notazione:

X∩Y = Ø.

Unione due set è l'insieme costituito da tutti gli elementi di questi insiemi.

Ad esempio, torniamo ai numeri 12 e 18 e all'insieme dei loro elementi A e B. Per prima cosa scriviamo gli elementi dell'insieme A, quindi aggiungiamo loro gli elementi dell'insieme B che non sono nell'insieme A. Otteniamo l'insieme degli elementi che A e B hanno in comune. Indichiamolo con la lettera D:

D = (1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18).

L'insieme D è l'unione degli insiemi A e B. Si scrive così:

D=UN u b.

Le principali operazioni eseguite sui set sono aggiunta (Unione), moltiplicazione (intersezione) e sottrazione . Queste operazioni, come vedremo in seguito, non sono identiche alle operazioni omonime eseguite sui numeri.

Definizione : Associazione(o la somma) di due insiemi A e B è un insieme contenente tutti questi e solo tali elementi che sono elementi di almeno uno di questi insiemi. L'unione degli insiemi A e B è indicata come A  B.

Questa definizione significa che l'addizione degli insiemi A e B è l'unione di tutti i loro elementi in un insieme A  B. Se gli stessi elementi sono contenuti in entrambi gli insiemi, allora questi elementi entrano nell'unione solo una volta.

L'unione di tre o più insiemi è definita in modo simile.

Definizione : traversata(o moltiplicazione) di due insiemi A e B è un insieme costituito da quegli e solo quegli elementi che appartengono contemporaneamente all'insieme A e all'insieme B. L'intersezione degli insiemi A e B è indicata come A  B.

L'intersezione di tre o più insiemi è definita in modo simile.

Definizione : La differenza degli insiemi A e B è l'insieme costituito da quegli e solo quegli elementi dell'insieme A che non appartengono all'insieme B. La differenza degli insiemi A e B è indicata come A \ B. L'operazione con cui la differenza degli insiemi si trova si chiama sottrazione.

Se B  A, allora la differenza A \ B è chiamata complemento dell'insieme B all'insieme A. Se l'insieme B è un sottoinsieme dell'insieme universale U, allora si indica il complemento di B ad U, cioè = U\B.

Esercizi :

Considera tre set N={0,2,4,5,6,7}, M=(1,3,5,7,9) e P=(1,3,9,11). Trovare

UN= N  M
B=N M
C=N P

Rispondere a quale delle operazioni sugli insiemi dati dovrebbe essere utilizzata per ottenere gli insiemi descritti di seguito.

Dato: MA- molti di tutti studenti di facoltà, A– molti studenti con debiti accademici. Definire Insieme a- molti studenti di successo della facoltà.
Dato: MA- un insieme di tutti gli studenti eccellenti della facoltà, A- molti studenti che non hanno debiti accademici, Insieme aè l'insieme degli studenti di successo con almeno una tripla. Definire D- molti studenti della facoltà che hanno tempo senza triple.
Dato: uè l'insieme di tutti gli studenti del gruppo di studio, MA- molti studenti di questo gruppo che hanno ricevuto un credito in educazione fisica, A- tanti studenti dello stesso gruppo che hanno superato con successo la prova nella storia della Patria. Definire Insieme aè l'insieme degli studenti dello stesso gruppo di studio che eccellono in entrambe le discipline, D– un insieme di studenti dello stesso gruppo che hanno “fallito” almeno una delle prove.

Proprietà di unione e intersezione degli insiemi

Dalle definizioni di unione e intersezione di insiemi, seguono le proprietà di queste operazioni, che sono presentate sotto forma di uguaglianze valide per qualsiasi insiemi UN , B e Insieme a .

UN  B = B  UN - commutatività dell'unione;

UN  B = B  UN - commutatività dell'intersezione;

UN  (B  Insieme a ) = (UN  B )  Insieme a - associazione associativa;

UN  (B  Insieme a ) = (UN  B )  Insieme a - associatività dell'intersezione;

UN  (B  Insieme a ) = (UN  B )  (UN  INSIEME A) - distributività dell'intersezione rispetto all'unione;

UN  (B  Insieme a ) = (UN  B )  (UN  INSIEME A) - distributività dell'unione rispetto all'intersezione;

Leggi di assorbimento:

UN  UN = UN

UN  UN = UN

UN  Ø = UN

UN  Ø = Ø

UN  u = u

UN  u = UN

Va notato che la differenza non ha le proprietà di commutatività e associatività, cioè UN \ B ≠ B \ UN e UN \ (B \ Insieme a ) ≠ (UN \ B ) \ Insieme a . Questo può essere facilmente verificato costruendo i diagrammi di Eulero-Venn.

Imposta. Operazioni sui set.
Imposta visualizzazione. Imposta la potenza

Ti do il benvenuto alla prima lezione di algebra superiore, che è apparsa ... alla vigilia del quinto anniversario del sito, dopo che avevo già creato più di 150 articoli di matematica e i miei materiali hanno iniziato a prendere forma in un corso completato . Tuttavia, spero di non essere in ritardo - dopotutto, molti studenti iniziano ad approfondire le lezioni solo per gli esami di stato =)

Il corso universitario di vyshmat si basa tradizionalmente su tre pilastri:

– analisi matematica (limiti, derivati eccetera.)

– e infine la stagione 2015/16 anno scolastico si apre con le lezioni Algebra per manichini, Elementi di logica matematica, su cui analizzeremo le basi della sezione, oltre a conoscere i concetti matematici di base e la notazione comune. Devo dire che in altri articoli non abuso degli "scarabocchi" , tuttavia, questo è solo uno stile e, ovviamente, devono essere riconosciuti in qualsiasi stato =). Informo i nuovi lettori che le mie lezioni sono orientate alla pratica e il seguente materiale sarà presentato in questo senso. Per informazioni più complete e accademiche, fare riferimento ai libri di testo. Andare:

Un mucchio di. Dare esempi

Un insieme è un concetto fondamentale non solo della matematica, ma del mondo intero che lo circonda. Prendi qualsiasi oggetto che hai in mano in questo momento. Qui hai un set composto da un elemento.

A senso ampio, un set è una raccolta di oggetti (elementi) che sono intesi come un tutto(secondo determinati segni, criteri o circostanze). Inoltre, questi non sono solo oggetti materiali, ma anche lettere, numeri, teoremi, pensieri, emozioni, ecc.

Gli insiemi sono generalmente indicati con grande con lettere latine (in opzione, con pedici: ecc.) e i suoi elementi sono scritti tra parentesi graffe, ad esempio:

- un insieme di lettere dell'alfabeto russo;
- un mucchio di numeri naturali;

Bene, è ora di conoscersi un po':
– molti studenti in prima fila

… sono felice di vedere i tuoi volti seri e concentrati =)

Insiemi e sono finale(costituito da un numero finito di elementi) e un insieme è un esempio senza fine imposta. Inoltre, in teoria e in pratica, i cosiddetti set vuoto:

è un insieme che non contiene alcun elemento.

L'esempio ti è ben noto: il set dell'esame è spesso vuoto =)

L'appartenenza di un elemento ad un insieme è indicata dal simbolo , ad esempio:

- la lettera "be" appartiene all'insieme delle lettere dell'alfabeto russo;
- la lettera "beta" non appartiene all'insieme delle lettere dell'alfabeto russo;
– il numero 5 appartiene all'insieme dei numeri naturali;
- ma il numero 5.5 non c'è più;
- Voldemar non siede in prima fila (e ancor di più, non appartiene al set o =)).

In astratto e non così algebra, gli elementi di un insieme sono indicati da minuscole lettere latine e, di conseguenza, il fatto di appartenenza è redatto nel seguente stile:

– l'elemento appartiene all'insieme.

I set di cui sopra sono scritti trasferimento diretto elementi, ma questo non è l'unico modo. Molti set sono opportunamente definiti usando alcuni cartello (S), che è inerente a tutti i suoi elementi. Per esempio:

è l'insieme di tutti i numeri naturali minori di 100.

Ricordare: un lungo bastone verticale esprime il ribaltamento verbale "che", "tale che". Abbastanza spesso si usano invece i due punti: - leggiamo la voce in modo più formale: "l'insieme degli elementi appartenenti all'insieme dei numeri naturali, tale che » . Ben fatto!

Questo insieme può anche essere scritto per enumerazione diretta:

Altri esempi:
- e se ci sono molti studenti nella prima riga, allora un tale record è molto più conveniente del loro elenco diretto.

è l'insieme dei numeri appartenenti all'intervallo. Si noti che questo si riferisce al set valido numeri (su di loro più tardi), che non possono più essere elencati separati da virgole.

Va notato che gli elementi di un insieme non devono essere "omogenei" o logicamente correlati. Prendi una borsa grande e inizia a inserirla a caso. vari oggetti. Non c'è regolarità in questo, ma, tuttavia, stiamo parlando di una varietà di argomenti. In senso figurato, un set è un "pacchetto" separato in cui un determinato insieme di oggetti si è rivelato essere "per volontà del destino".

Sottoinsiemi

Quasi tutto è chiaro dal nome stesso: il set lo è sottoinsieme set se ogni elemento dell'insieme appartiene all'insieme. In altre parole, un insieme è contenuto in un insieme:

Un'icona è chiamata icona inclusione.

Torniamo all'esempio in cui è l'insieme di lettere dell'alfabeto russo. Denota con - l'insieme delle sue vocali. Quindi:

È anche possibile individuare un sottoinsieme di lettere consonantiche e, in generale, un sottoinsieme arbitrario costituito da un numero qualsiasi di lettere cirilliche prese casualmente (o non casualmente). In particolare, qualsiasi lettera cirillica è un sottoinsieme dell'insieme.

Le relazioni tra sottoinsiemi sono convenientemente rappresentate usando il condizionale schema geometrico, che è chiamato Cerchi di Eulero.

Sia un insieme di studenti nella prima riga, sia un insieme di studenti di gruppo e sia un insieme di studenti universitari. Allora la relazione di inclusioni può essere rappresentata come segue:

L'insieme degli studenti di un'altra università dovrebbe essere rappresentato come un cerchio che non interseca il cerchio esterno; la moltitudine di studenti del paese in un cerchio che contiene entrambi questi circoli, e così via.

Esempio tipico osserviamo le inclusioni quando si considerano gli insiemi numerici. Ripetiamo il materiale scolastico, che è importante tenere a mente quando si studia matematica superiore:

Insiemi numerici

Com'è noto, storicamente sono stati i primi ad apparire i numeri naturali, atti a contare oggetti materiali (persone, galline, pecore, monete, ecc.). Questo set è già stato soddisfatto nell'articolo, l'unica cosa è che ora stiamo leggermente modificando la sua designazione. Il fatto è che gli insiemi numerici sono generalmente indicati da lettere in grassetto, stilizzate o addensate. Preferisco usare il grassetto:

A volte lo zero è incluso nell'insieme dei numeri naturali.

Se aggiungiamo gli stessi numeri con segno opposto e zero all'insieme, otteniamo insieme di numeri interi:

I razionalizzatori e i pigri scrivono i suoi elementi con le icone "più meno":))

È abbastanza chiaro che l'insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme dell'insieme degli interi:
- poiché ogni elemento dell'insieme appartiene all'insieme. Pertanto, qualsiasi numero naturale può essere tranquillamente chiamato intero.

Anche il nome dell'insieme è "parlante": numeri interi - questo significa nessuna frazione.

E, non appena sono interi, ricordiamo subito gli importanti segni della loro divisibilità per 2, 3, 4, 5 e 10, che saranno richiesti nei calcoli pratici quasi ogni giorno:

Un intero è divisibile per 2 senza resto se termina con 0, 2, 4, 6 o 8 (cioè qualsiasi cifra pari). Ad esempio, i numeri:
400, -1502, -24, 66996, 818 - diviso per 2 senza resto.

E analizziamo subito il segno "correlato": intero è divisibile per 4 se il numero è composto dalle ultime due cifre (nel loro ordine)è divisibile per 4.

400 è divisibile per 4 (perché 00 (zero) è divisibile per 4);
-1502 - non divisibile per 4 (perché 02 (due) non è divisibile per 4);
-24, ovviamente, è divisibile per 4;
66996 - divisibile per 4 (perché 96 è divisibile per 4);
818 - non divisibile per 4 (perché 18 non è divisibile per 4).

Fai la tua semplice giustificazione per questo fatto.

La divisibilità per 3 è un po' più difficile: un intero è divisibile per 3 senza resto se la somma delle sue cifreè divisibile per 3.

Verifichiamo se il numero 27901 è divisibile per 3. Per fare ciò, riassumiamo i suoi numeri:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 - non divisibile per 3
Conclusione: 27901 non è divisibile per 3.

Sommiamo le cifre del numero -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 - divisibile per 3
Conclusione: il numero -825432 è divisibile per 3

Il numero intero è divisibile per 5, se termina con un cinque o uno zero:
775, -2390 - divisibile per 5

Il numero intero è divisibile per 10 se finisce per zero:
798400 - divisibile per 10 (e ovviamente a 100). Bene, probabilmente tutti ricordano: per dividere per 10, devi solo rimuovere uno zero: 79840

Ci sono anche segni di divisibilità per 6, 8, 9, 11, ecc., ma non hanno praticamente alcun senso pratico =)

Va notato che i criteri elencati (apparentemente così semplici) sono rigorosamente dimostrati teoria dei numeri. Questa sezione di algebra è generalmente piuttosto interessante, tuttavia, i suoi teoremi ... solo un'esecuzione cinese moderna =) E Voldemar all'ultimo banco è stato sufficiente ... ma va bene, presto ci occuperemo del dare la vita esercizio =)

Il prossimo numero impostato è un mucchio di numeri razionali :
- cioè qualsiasi numero razionale può essere rappresentato come una frazione con un intero numeratore e naturale denominatore.

Ovviamente, l'insieme degli interi lo è sottoinsieme insiemi di numeri razionali:

In effetti, qualsiasi numero intero può essere rappresentato come frazione razionale, Per esempio: eccetera. Pertanto, un numero intero può essere legittimamente chiamato un numero razionale.

Un caratteristico segno "identificativo" di un numero razionale è il fatto che quando si divide il numeratore per il denominatore, si ottiene o
è un numero intero,

o
– ultimo decimale,

o
- senza fine periodico decimale (la riproduzione potrebbe non iniziare immediatamente).

Ammira la divisione e cerca di eseguire questa azione il meno possibile! Nell'art Matematica superiore per manichini e in altre lezioni ho ripetuto, ripetuto e ripeterò più volte questo mantra:

A matematica superiore ci sforziamo di eseguire tutte le azioni in frazioni ordinarie (corrette e improprie).

D'accordo sul fatto che trattare con una frazione è molto più conveniente che con numero decimale 0,375 (per non parlare delle infinite frazioni).

Andiamo oltre. Oltre a quelli razionali, ce ne sono molti numeri irrazionali, ognuno dei quali può essere rappresentato come un infinito non periodico frazione decimale. In altre parole, non c'è regolarità nelle "code infinite" dei numeri irrazionali:
("anno di nascita di Leone Tolstoj" due volte)
eccetera.

Ci sono molte informazioni sulle famose costanti "pi" ed "e", quindi non mi soffermo su di esse.

Si forma l'unione di numeri razionali e irrazionali insieme di numeri reali (reali).:

- icona associazioni imposta.

L'interpretazione geometrica dell'insieme ti è familiare: è una linea numerica:

Ogni numero reale corrisponde a un certo punto della linea dei numeri e viceversa: ogni punto della linea dei numeri corrisponde necessariamente a un numero reale. In sostanza, ora ho formulato proprietà di continuità numeri reali, che, sebbene sembri ovvio, è rigorosamente dimostrato nel corso dell'analisi matematica.

La linea dei numeri è anche indicata da un intervallo infinito e la notazione o notazione equivalente simboleggia il fatto che appartiene all'insieme dei numeri reali (o semplicemente "x" - un numero reale).

Con gli embedding tutto è trasparente: l'insieme dei numeri razionali lo è sottoinsieme insiemi di numeri reali:
, quindi, qualsiasi numero razionale può essere tranquillamente chiamato un numero reale.

Anche l'insieme dei numeri irrazionali è sottoinsieme numeri reali:

Allo stesso tempo, sottoinsiemi e non si intersecano- cioè nessun numero irrazionale può essere rappresentato come frazione razionale.

Ci sono altri sistemi numerici? Esistere! Questo, per esempio, numeri complessi, con il quale vi consiglio di leggere letteralmente nei prossimi giorni o addirittura ore.

Nel frattempo, passiamo allo studio delle operazioni di set, il cui spirito si è già concretizzato alla fine di questo paragrafo:

Azioni sui set. Diagrammi di Venn

I diagrammi di Venn (simili ai cerchi di Eulero) sono una rappresentazione schematica di azioni con insiemi. Ancora una volta, ti avverto che non coprirò tutte le operazioni:

1) intersezione E ed è contrassegnato con

L'intersezione degli insiemi è chiamata insieme, a cui appartiene ogni elemento e impostare , e impostare . In parole povere, un'intersezione è una parte comune degli insiemi:

Quindi, ad esempio, per gli insiemi:

Se gli insiemi non hanno elementi identici, la loro intersezione è vuota. Ci siamo appena imbattuti in un esempio del genere quando si considerano gli insiemi numerici:

Gli insiemi di numeri razionali e irrazionali possono essere rappresentati schematicamente da due cerchi non sovrapposti.

L'operazione di intersezione è applicabile anche a di più set, in particolare, Wikipedia ne ha una buona un esempio dell'intersezione di insiemi di lettere di tre alfabeti.

2) Unione set è caratterizzato da una connessione logica O ed è contrassegnato con

Un'unione di insiemi è un insieme, ogni elemento del quale appartiene all'insieme o impostare :

Scriviamo l'unione degli insiemi:
- grosso modo, qui devi elencare tutti gli elementi degli insiemi e , e gli stessi elementi (in questo caso, l'unità all'intersezione degli insiemi) deve essere specificato una volta.

Ma gli insiemi, ovviamente, potrebbero non intersecarsi, come nel caso dei numeri razionali e irrazionali:

In questo caso, puoi disegnare due cerchi ombreggiati non intersecanti.

L'operazione di unione è applicabile per più insiemi, ad esempio se , allora:

I numeri non devono essere in ordine crescente. (l'ho fatto solo per motivi estetici). Senza ulteriori indugi, il risultato può essere scritto in questo modo:

3) differenza e non appartiene all'insieme:

La differenza si legge come segue: “a senza essere”. E puoi argomentare esattamente allo stesso modo: considera gli insiemi. Per annotare la differenza, devi "buttare via" tutti gli elementi che sono nel set dal set:

Esempio con insiemi numerici:
- qui tutti i numeri naturali sono esclusi dall'insieme degli interi e la notazione stessa recita così: "l'insieme degli interi senza l'insieme dei naturali".

Specchio: differenza set e chiamare l'insieme, ogni elemento del quale appartiene all'insieme e non appartiene all'insieme:

Per gli stessi set
- dal set "butta fuori" ciò che c'è nel set.

Ma questa differenza risulta essere vuota: . E infatti - se gli interi sono esclusi dall'insieme dei numeri naturali, allora, in effetti, non rimarrà nulla :)

Inoltre, a volte considera simmetrico la differenza che unisce le due "mezzalune":
- in altre parole, è "tutto tranne l'intersezione degli insiemi".

4) Prodotto cartesiano (diretto). insiemi ed è chiamato insieme Tutto ordinato coppie in cui l'elemento e l'elemento

Scriviamo il prodotto cartesiano degli insiemi:
- è conveniente enumerare le coppie secondo il seguente algoritmo: “prima, associamo in sequenza ogni elemento dell'insieme al 1° elemento dell'insieme, quindi associamo ogni elemento dell'insieme al 2° elemento dell'insieme, quindi attacca ogni elemento del set al 3° elemento del set»:

Specchio: prodotto cartesiano insiemi ed è chiamato l'insieme di tutti ordinato coppie in cui . Nel nostro esempio:
- qui lo schema di registrazione è simile: prima associamo in sequenza tutti gli elementi del set a "meno uno", quindi a "de" - gli stessi elementi:

Ma questo è puramente per comodità - in entrambi i casi, le coppie possono essere elencate in qualsiasi ordine - è importante scrivere qui Tutto possibili coppie.

E ora il clou del programma: il prodotto cartesiano non è altro che un insieme di punti nel nostro nativo Sistema di coordinate cartesiano .

Esercizio per materiale autofissante:

Eseguire operazioni se:

Un mucchio di conviene descriverlo elencando i suoi elementi.

E una moda passeggera con intervalli di numeri reali:

Ricordiamo che la parentesi quadra significa inclusione numeri nell'intervallo e arrotondarlo esclusione, ovvero "meno uno" appartiene all'insieme e "tre" non appartiene all'insieme. Cerca di capire qual è il prodotto cartesiano di questi insiemi. In caso di difficoltà, segui il disegno;)

Soluzione rapida compiti a fine lezione.

Imposta visualizzazione

Schermo impostato per impostare è regola, secondo cui ogni elemento dell'insieme è associato ad uno o più elementi dell'insieme . Nel caso in cui corrisponda l'unico elemento, questa regola viene chiamata chiaramente definito funzione o semplicemente funzione.

La funzione, come molte persone sanno, è spesso indicata da una lettera: associa a ogni element è l'unico valore che appartiene all'insieme.

Bene, ora disturberò di nuovo molti studenti della prima fila e offrirò loro 6 argomenti per abstract (set):

Installato (volontariamente o involontariamente =)) la regola associa ogni studente del set ad un unico argomento dell'abstract del set.

... e probabilmente non potresti nemmeno immaginare di interpretare il ruolo di un argomento di funzione =) =)

Gli elementi della forma impostata dominio funzioni (indicate da ), e gli elementi dell'insieme - allineare funzioni (indicate da ).

La mappatura costruita degli insiemi ha una caratteristica molto importante: lo è uno a uno o biettivo(biiezione). A questo esempio significa che a ogni lo studente è allineato uno unico argomento del saggio e viceversa - per ciascuno uno e un solo studente è fissato dall'argomento dell'abstract.

Tuttavia, non si deve pensare che ogni mappatura sia biunivoca. Se il 7° studente viene aggiunto alla prima riga (al set), la corrispondenza uno a uno scomparirà o uno degli studenti rimarrà senza argomento (nessuna visualizzazione) o un argomento andrà a due studenti contemporaneamente. La situazione inversa: se un settimo argomento viene aggiunto al set, anche la mappatura uno-a-uno andrà persa - uno degli argomenti rimarrà non rivendicato.

Cari studenti, in prima fila, non siate arrabbiati: le altre 20 persone dopo la lezione andranno a ripulire il territorio dell'università dal fogliame autunnale. Il responsabile delle forniture consegnerà venti golik, dopodiché verrà stabilita una corrispondenza uno a uno tra la parte principale del gruppo e le scope ..., e anche Voldemar avrà il tempo di correre al negozio =)). unico"y", e viceversa - per qualsiasi valore di "y" possiamo ripristinare inequivocabilmente "x". Quindi, è una funzione biunivoca.

! Per ogni evenienza, elimino un possibile malinteso: la mia costante riserva sulla portata non è casuale! La funzione potrebbe non essere definita per tutte le "x" e, inoltre, anche in questo caso potrebbe essere biunivoca. Esempio tipico:

Ma a funzione quadratica non si osserva nulla del genere, in primo luogo:
- cioè, vari significati"x" è apparso in stesso che significa "y"; e in secondo luogo: se qualcuno ha calcolato il valore della funzione e ci ha detto che , allora non è chiaro - questa "y" è stata ottenuta a o a ? Inutile dire che qui non c'è nemmeno un odore di reciproca non ambiguità.

Compito 2: Visualizza grafici di funzioni elementari di base e scrivi funzioni biiettive su un pezzo di carta. Lista di controllo alla fine di questa lezione.

Imposta la potenza

L'intuizione suggerisce che il termine caratterizzi la dimensione dell'insieme, ovvero il numero dei suoi elementi. E l'intuizione non ci inganna!

La cardinalità dell'insieme vuoto è zero.

La cardinalità dell'insieme è sei.

Il potere dell'insieme di lettere dell'alfabeto russo è trentatré.

In generale, il potere di qualsiasi finale set è uguale al numero di elementi di questo set.

...forse non tutti capiscono appieno di cosa si tratta finale set - se inizi a contare gli elementi di questo set, prima o poi il conteggio terminerà. Come si chiama, e un giorno i cinesi si esauriranno.

Naturalmente, gli insiemi possono essere confrontati in cardinalità e viene chiamata la loro uguaglianza in questo senso uguale potenza. L'equivalenza è definita come segue:

Due insiemi sono equivalenti se è possibile stabilire una corrispondenza uno a uno tra di loro..

L'insieme degli studenti è equivalente all'insieme degli argomenti astratti, l'insieme delle lettere dell'alfabeto russo è equivalente a qualsiasi insieme di 33 elementi, ecc. Nota esattamente cosa chiunque un insieme di 33 elementi - in questo caso, conta solo il loro numero. Le lettere dell'alfabeto russo possono essere confrontate non solo con molti numeri
1, 2, 3, ..., 32, 33, ma anche in generale con una mandria di 33 vacche.

Le cose sono molto più interessanti con gli insiemi infiniti. Anche gli infiniti sono diversi! ...verde e rosso Gli insiemi infiniti "più piccoli" sono conteggio imposta. Se è abbastanza semplice, gli elementi di un tale insieme possono essere numerati. L'esempio di riferimento è l'insieme dei numeri naturali . Sì - è infinito, ma ciascuno dei suoi elementi in PRINCIPIO ha un numero.

Ci sono molti esempi. In particolare, l'insieme di tutti i numeri naturali pari è numerabile. Come dimostrarlo? È necessario stabilirne la corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali o semplicemente numerare gli elementi:

Viene stabilita una corrispondenza uno a uno, quindi gli insiemi sono equivalenti e l'insieme è numerabile. È paradossale, ma dal punto di vista del potere - ci sono tanti numeri naturali pari quanti naturali!

Anche l'insieme degli interi è numerabile. I suoi elementi possono essere numerati, ad esempio, in questo modo:

Inoltre, anche l'insieme dei numeri razionali è numerabile. . Poiché il numeratore è un numero intero (e, come appena mostrato, sono numerabili), e il denominatore è un numero naturale, quindi prima o poi "arriveremo" a qualsiasi frazione razionale e le assegneremo un numero.

Ma l'insieme dei numeri reali è già innumerevoli, cioè. i suoi elementi non possono essere numerati. Questo fatto sebbene ovvio, è rigorosamente dimostrato nella teoria degli insiemi. Viene anche chiamata la cardinalità dell'insieme dei numeri reali continuum, e rispetto agli insiemi numerabili, questo è un insieme "più infinito".

Poiché esiste una corrispondenza uno a uno tra l'insieme e la linea dei numeri (vedi sopra), allora è anche l'insieme dei punti della retta reale innumerevoli. E per di più, ci sono lo stesso numero di punti su un chilometro e un segmento di millimetro! Esempio classico:

Ruotando la trave in senso antiorario fino a farla coincidere con la trave, stabiliremo una corrispondenza biunivoca tra i punti dei segmenti blu. Quindi, ci sono tanti punti sul segmento quanti sono sul segmento e !

Questo paradosso, a quanto pare, è connesso al mistero dell'infinito... ma ora non ci preoccuperemo dei problemi dell'universo, perché il prossimo passo è

Compito 2 Funzioni uno-a-uno nelle illustrazioni delle lezioni

Obiettivi della lezione:

educativo: la formazione di abilità per identificare insiemi, sottoinsiemi; la formazione di abilità per trovare l'area di intersezione e unione di insiemi nelle immagini e nominare gli elementi di quest'area, risolvere problemi;
sviluppo: sviluppo interesse cognitivo studenti; lo sviluppo della sfera intellettuale dell'individuo, lo sviluppo delle capacità di confronto e generalizzazione.
educativo: coltivare accuratezza e attenzione nel prendere decisioni.

Durante le lezioni.

1. Momento organizzativo.

2. L'insegnante riporta l'argomento della lezione, insieme agli studenti formula obiettivi e obiettivi.

3. L'insegnante, insieme agli studenti, richiama il materiale studiato sull'argomento "Insiemi" nel grado 7, introduce nuovi concetti e definizioni, formule per risolvere i problemi.

“Molti sono molti, pensati da noi come uno” (fondatore della teoria degli insiemi - Georg Cantor). KANTOR (Cantor) Georg (1845-1918) - Matematico, logico, teologo tedesco, ideatore della teoria degli insiemi transfiniti (infiniti), che ebbe un'influenza decisiva sullo sviluppo delle scienze matematiche a cavallo tra XIX e XX secolo.

Un insieme è uno dei concetti base della matematica moderna, utilizzato in quasi tutte le sue sezioni.

Sfortunatamente, il concetto base della teoria - il concetto di insieme - non può essere definito in modo rigoroso. Certo, si può dire che un insieme è una "collezione", "collezione", "insieme", "collezione", "famiglia", "sistema", "classe", ecc., ma tutto ciò non sarebbe un definizione matematica, ma piuttosto l'abuso del vocabolario della lingua russa.

Per definire un qualsiasi concetto è necessario, anzitutto, indicare, come caso particolare di quale altro concetto generale, è impossibile farlo per il concetto di insieme, perché non esiste un concetto più generale di un insieme in matematica.

Spesso devi parlare di più cose, accomunate da qualche segno. Quindi, possiamo parlare dell'insieme di tutte le sedie nella stanza, dell'insieme di tutte le celle corpo umano, l'insieme di tutte le patate in un dato sacchetto, l'insieme di tutti i pesci nell'oceano, l'insieme di tutti i quadrati su un piano, l'insieme di tutti i punti su un dato cerchio, ecc.

Gli oggetti che compongono un dato insieme sono detti suoi elementi.

Ad esempio, l'insieme dei giorni della settimana è composto dagli elementi: lunedì, martedì, mercoledì, giovedì, venerdì, sabato, domenica.

Molti mesi - dagli elementi: gennaio, febbraio, marzo, aprile, maggio, giugno, luglio, agosto, settembre, ottobre, novembre, dicembre.

Un mucchio di operazioni aritmetiche- dagli elementi: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione.

Ad esempio, se A indica l'insieme di tutti i numeri naturali, allora 6 appartiene ad A, ma 3 non appartiene ad A.

Se A è l'insieme di tutti i mesi di un anno, allora maggio appartiene ad A, ma mercoledì non appartiene ad A.

Se un insieme contiene un numero finito di elementi, allora si dice finito, e se ha un numero infinito di elementi, allora si dice infinito. Quindi l'insieme degli alberi nella foresta è finito, ma l'insieme dei punti sul cerchio è infinito.

Paradosso nella logica- questa è una contraddizione che ha lo status di conclusione logicamente corretta e, allo stesso tempo, è un ragionamento che porta a conclusioni mutuamente esclusive.

Come già accennato, il concetto di insieme è al centro della matematica. Usando gli insiemi più semplici e varie costruzioni matematiche, è possibile costruire quasi tutti gli oggetti matematici. L'idea di costruire tutta la matematica sulla base della teoria degli insiemi è stata attivamente promossa da G. Kantor. Tuttavia, nonostante tutta la sua semplicità, il concetto di set è irto del pericolo di contraddizioni o, come si suol dire, paradossi. La comparsa dei paradossi è dovuta al fatto che non tutte le costruzioni e non tutti gli insiemi possono essere considerati.

Il più semplice dei paradossi è " il paradosso del barbiere".

A un soldato fu ordinato di radere quelli e solo quei soldati del suo plotone che non si radevano da soli. Disubbidire a un ordine nell'esercito, come sai, è il crimine più grave. Tuttavia, è sorta la domanda se questo soldato dovesse radersi. Se si rade, allora dovrebbe essere attribuito ai molti soldati che si radono da soli, e non ha il diritto di radersi. Se non si rade, cadrà nella moltitudine di soldati che non si radono e, secondo l'ordine, è obbligato a radere tali soldati. Paradosso.

Sugli insiemi, così come su molti altri oggetti matematici, è possibile eseguire varie operazioni, che a volte vengono chiamate operazioni teoriche degli insiemi o operazioni sugli insiemi. Come risultato delle operazioni, dai set originali si ottengono nuovi set. Gli insiemi sono indicati con lettere latine maiuscole e i loro elementi con lettere minuscole. Registrazione un R significa che l'elemento un appartiene all'insieme R, cioè un R. Altrimenti, quando un non appartiene all'insieme R, scrivere un R .

Due set MA e A chiamata pari (MA =A) se sono costituiti dagli stessi elementi, ovvero da ciascun elemento dell'insieme MAè un elemento dell'insieme A e viceversa, ogni elemento dell'insieme Aè un elemento dell'insieme MA .

Imposta il confronto.

L'insieme A è contenuto nell'insieme B (l'insieme B include l'insieme A) se ogni elemento di A è un elemento di B:

Dicono che molti MA contenuto in molti A o impostare MAè un sottoinsieme imposta A(in questo caso scrivi MA A) se ogni elemento dell'insieme MAè anche un elemento dell'insieme A. Questa relazione tra insiemi è chiamata inclusione . Per qualsiasi set MA ci sono inclusioni: Ø MA e MA MA

In questo caso UN chiamata sottoinsieme B, B - superinsieme R. Se , allora UN chiamata proprio sottoinsieme A. notare che ,

A-priorita ,

I due set sono chiamati pari se sono sottoinsiemi l'uno dell'altro

Operazioni sui set

intersezione.

Unione.

Proprietà.

1. L'operazione di unione di insiemi è commutativa

2. L'operazione di unione degli insiemi è transitiva

3. L'insieme vuoto X è un elemento neutro dell'operazione di unione degli insiemi

1. Sia A = (1,2,3,4),B = (3,4,5,6,7). Quindi

2. A \u003d (2,4,6,8,10), B \u003d (3,6,9,12). Troviamo l'unione e l'intersezione di questi insiemi:

{2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, = {6}.

3. L'insieme dei bambini è un sottoinsieme della popolazione totale

4. L'intersezione dell'insieme degli interi con l'insieme dei numeri positivi è l'insieme dei numeri naturali.

5. L'unione dell'insieme dei numeri razionali con l'insieme dei numeri irrazionali è l'insieme dei numeri positivi.

6. Zero è il complemento dell'insieme dei numeri naturali rispetto all'insieme degli interi non negativi.

Diagrammi di Venn(Diagrammi di Venn) - nome comune una serie di metodi di visualizzazione e di illustrazione grafica, ampiamente utilizzati in vari campi della scienza e della matematica: la teoria degli insiemi, appunto "diagramma di Venn" mostra tutto possibile relazione tra set o eventi di qualche famiglia; varietà diagrammi di Venn sono: diagrammi di Eulero,

Diagramma di Venn di quattro set.

In realtà "diagramma di Venn" mostra tutte le possibili relazioni tra set o eventi di qualche famiglia. Il solito diagramma di Venn ha tre insiemi. Venn stesso ha cercato di trovare modo aggraziato con forme simmetriche che rappresenta sul diagramma di più set, ma è stato in grado di farlo solo per quattro set (vedi figura a destra) usando i puntini di sospensione.

Diagrammi di Eulero

I diagrammi di Eulero sono simili ai diagrammi di Venn I diagrammi di Eulero possono essere utilizzati per valutare la probabilità di identità teoriche degli insiemi.

Compito 1. Ci sono 30 persone nella classe, ognuna delle quali canta o balla. È noto che 17 persone cantano e 19 persone sanno ballare. Quante persone cantano e ballano contemporaneamente?

Decisione: Innanzitutto, notiamo che su 30 persone, 30 - 17 = 13 persone non possono cantare.

Sanno tutti ballare, perché a seconda della condizione, ogni studente della classe canta o balla. In totale, 19 persone possono ballare, 13 di loro non possono cantare, il che significa che 19-13 = 6 persone possono ballare e cantare contemporaneamente.

Problemi sull'intersezione e l'unione degli insiemi.

Vengono forniti gli insiemi A = (3.5, 0, 11, 12, 19), B = (2.4, 8, 12, 18.0).
Trova gli insiemi AU B,
Componi almeno sette parole le cui lettere formano sottoinsiemi dell'insieme
A - (k, a, p, y, s, e, l, b).
Sia A l'insieme dei numeri naturali divisibili per 2 e B l'insieme dei numeri naturali divisibili per 4. Quale conclusione si può trarre su questi insiemi?
L'azienda impiega 67 persone. Di questi, 47 lo sanno lingua inglese, 35 sono tedesco e 23 sono entrambe le lingue. Quante persone in azienda non parlano inglese o Tedesco?
Dei 40 studenti della nostra classe, 32 amano il latte, 21 la limonata e 15 sia il latte che la limonata. Quanti bambini della nostra classe non amano il latte o la limonata?
A 12 dei miei compagni di classe piace leggere romanzi gialli, 18 amano leggere la fantascienza, tre di loro leggono entrambi con piacere e uno non legge proprio niente. Quanti studenti ci sono nella nostra classe?
Di quei 18 miei compagni di classe a cui piace guardare i thriller, solo 12 non sono contrari a guardare i cartoni animati. Quanti dei miei compagni di classe guardano solo "cartoni animati" se ci sono 25 studenti nella nostra classe, a ciascuno dei quali piace guardare thriller, cartoni animati o entrambi?
Dei 29 ragazzi del nostro cortile, solo due non praticano sport, e gli altri frequentano sezioni di calcio o tennis, o anche entrambi. Ci sono 17 ragazzi che giocano a calcio e 19 a tennis Quanti giocatori di football giocano a tennis? Quanti tennisti giocano a calcio?
Il 65% dei conigli della nonna ama le carote, il 10% ama sia le carote che i cavoli. Quanta percentuale di conigli non è contraria a mangiare il cavolo?
Ci sono 25 studenti in una classe. Di questi, 7 amano le pere, 11 amano le ciliegie. Due come pere e ciliegie; 6 - pere e mele; 5 - mele e ciliegie. Ma ci sono due studenti nella classe che amano tutto e quattro a cui non piace affatto la frutta. A quanti studenti in questa classe piacciono le mele?
22 ragazze hanno partecipato al concorso di bellezza. Di questi, 10 erano belli, 12 intelligenti e 9 gentili. Solo 2 ragazze erano belle e intelligenti; 6 ragazze erano intelligenti e gentili allo stesso tempo. Determina quante ragazze belle e allo stesso tempo gentili erano, se ti dico che tra i partecipanti non c'era una sola intelligente, gentile e allo stesso tempo bella ragazza?
Ci sono 35 studenti nella nostra classe. Per il primo quarto dei cinque in lingua russa, 14 studenti avevano; in matematica - 12; in storia - 23, in russo e matematica - 4; in matematica e storia - 9; in lingua e storia russa - 5. Quanti studenti hanno cinque in tutte e tre le materie, se non c'è un solo studente nella classe che non ha cinque in almeno una di queste materie?
Su 100 persone, 85 parlano inglese, 80 parlano spagnolo e 75 parlano tedesco. Tutti parlano almeno una lingua straniera. Tra loro non c'è chi conosce due lingue straniere, ma c'è chi parla tre lingue. Quante di queste 100 persone conoscono tre lingue?
Dei dipendenti dell'azienda, 16 hanno visitato la Francia, 10 - Italia, 6 - Inghilterra; in Inghilterra e Italia - 5; in Inghilterra e Francia - 6; in tutti e tre i paesi - 5 dipendenti. Quante persone hanno visitato sia l'Italia che la Francia, se ci sono 19 persone in azienda, e ognuna di loro ha visitato almeno uno di questi paesi?