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Schema geometrico per la determinazione della probabilità. Definizione geometrica della probabilità di un evento

Come mostrato nella sezione Definizione classica di probabilità, in esperimenti casuali con un numero finito di esiti elementari ugualmente possibili applicato definizione classica di probabilità.

Introdurre la probabilità di eventi in esperimenti casuali, i cui possibili esiti (risultati elementari) sono anche ugualmente possibile e colmare completamente il vuoto retta, figura in aereo o regione nello spazio, applicato definizione geometrica di probabilità. In tali esperimenti, il numero di risultati elementari non è definitivo, e quindi la classica definizione di probabilità non può essere applicata ad essi.

Illustriamo con esempi l'introduzione della definizione geometrica di probabilità.

Esempio 1 . Un punto viene lanciato casualmente su un segmento di una retta numerica. Trova la probabilità che il punto sia caduto sul segmento (Fig. 1).

Risposta:

Esempio 2. Le diagonali KM e LN del quadrato KLMN intersecano il cerchio inscritto nel quadrato nei punti E ed F, il punto O è il centro del cerchio (Fig. 2).

Un punto viene lanciato casualmente in un quadrato KLMN. Trova la probabilità che il punto cada nel settore EOF contrassegnato in rosa nella Figura 2.

Risposta:

Esempio 3. Un punto viene lanciato casualmente in un cono con vertice S e centro di base O. Trova la probabilità che il punto cada nel tronco di cono ottenuta tagliando il cono con un piano passante per il punto medio O "dell'altezza del cono e parallelo alla base del cono (Fig. 3).

Soluzione. L'insieme dei risultati elementari Ω di un esperimento casuale sul lancio di un punto è l'insieme di tutti i punti del cono con vertice S e centro di base O .

Il colpo di un punto in un tronco di cono è uno degli eventi casuali, che indicheremo con la lettera A.

In definizione geometrica probabilità di evento A è calcolato dalla formula

Sia R il raggio della base del cono di vertice S e centro della base O, e sia H l'altezza di questo cono. Allora il raggio della base e l'altezza del cono con il vertice S e il centro della base O" saranno uguali a

rispettivamente.

Il volume di un cono con vertice S e centro di base O è

La definizione classica di probabilità ha un limite nella sua applicazione. Si assume che l'insieme degli eventi elementari Ω sia finito o numerabile, cioè Ω = ( ω 1 , ω 2 , … , ω n , …), e tutto ω i – eventi elementari ugualmente possibili. Tuttavia, in pratica esistono test per i quali l'insieme dei risultati elementari è infinito. Ad esempio, quando si realizza un determinato pezzo su una macchina, è necessario mantenere una certa dimensione. Qui, l'accuratezza della fabbricazione di un pezzo dipende dall'abilità dell'operaio, dalla qualità dell'utensile da taglio, dalla perfezione della macchina, ecc. Se la prova è intesa come la fabbricazione di un pezzo, allora come risultato di tale prova sono possibili un numero infinito di risultati, ottenendo in questo caso pezzi della dimensione richiesta.

Per superare la lacuna della definizione classica di probabilità, vengono talvolta utilizzati alcuni concetti di geometria (se, ovviamente, le circostanze del test lo consentono). In tutti questi casi si presume la possibilità di condurre (almeno teoricamente) un numero qualsiasi di prove, e il concetto pari opportunità svolgono anche un ruolo importante.

Si consideri un test con uno spazio di eventi, i cui esiti elementari sono rappresentati come punti che riempiono un'area Ω (nello spazio tridimensionale R 3). Lascia che l'evento MA consiste nel colpire un punto lanciato casualmente nel sottodominio D dominio Ω. evento MA privilegiare eventi elementari in cui il punto ricade in qualche sottodominio D. Quindi sotto probabilità sviluppi MA capiremo il rapporto tra il volume del sottodominio D(area evidenziata in Fig. 1.11) al volume dell'area Ω, R(MA) = V(D) / V(Ω).

Riso.1. 11

Qui, per analogia con il concetto di esito favorevole, l'area D sarà chiamato favorevole alla manifestazione dell'evento MA. La probabilità di un evento è definita in modo simile MA, quando l'insieme Ω è una certa area su un piano o un segmento su una retta. In questi casi i volumi delle regioni sono sostituiti rispettivamente dalle aree delle figure o dalle lunghezze dei segmenti.

Quindi, arriviamo a una nuova definizione - probabilità geometrica per prove con un insieme infinito non numerabile di eventi elementari, che è formulato come segue.

La probabilità geometrica di un evento A è il rapporto tra la misura del sottodominio che favorisce il verificarsi di tale evento e la misura dell'intera area, cioè

p(A) =mesD / mesΩ,

dove mes– misura delle aree D e Ω , D Ì Ω.

La probabilità geometrica di un evento ha tutte le proprietà inerenti alla definizione classica di probabilità. Ad esempio, la 4a proprietà sarebbe: R(MA+ A) = R(MA) + R(A).

Definizione classica di probabilità

Il concetto di base della teoria della probabilità è il concetto di evento casuale. Un evento casuale è solitamente chiamato evento, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ, in determinate condizioni può verificarsi o meno. Ad esempio, colpire o perdere un oggetto quando si spara a questo oggetto con una determinata arma è un evento casuale.

Un evento è generalmente definito affidabile se, a seguito del test, si verifica necessariamente. È consuetudine chiamare un evento impossibile, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ non può accadere come risultato di un test.

Si dice che eventi casuali siano incoerenti in un dato processo se nessuno di essi può apparire insieme.

Gli eventi casuali formano un gruppo completo se qualcuno di essi può apparire in ogni prova e nessun altro evento incoerente con essi può apparire.

Considera il gruppo completo di eventi casuali ugualmente possibili incompatibili. Tali eventi saranno chiamati risultati. Un esito si dice favorevole al verificarsi dell'evento A se il verificarsi di tale evento comporta il verificarsi dell'evento A.

Definizione geometrica di probabilità

Si consideri un test casuale come un lancio casuale di un punto in una regione geometrica G (su una linea, un piano o uno spazio). I risultati elementari sono ϶ᴛᴏ punti separati di G, ogni evento è un sottoinsieme ϶ᴛᴏ di quest'area, lo spazio dei risultati elementari G. Possiamo supporre che tutti i punti di G siano ʼʼugualiʼʼ e quindi la probabilità che un punto cada in uno dei Il sottoinsieme ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ è proporzionale alla sua misura (lunghezza, area, volume) e non dipende dalla sua posizione e forma.

probabilità geometrica l'evento A è determinato dalla relazione: , dove m(G), m(A) sono misure geometriche (lunghezze, aree o volumi) dell'intero spazio degli esiti elementari e dell'evento A.

Esempio. Un cerchio di raggio r() viene lanciato casualmente su un piano diviso da strisce parallele di larghezza 2d, la cui distanza tra le linee assiali è 2D. Trova la probabilità che il cerchio intersechi una striscia.

Soluzione. Come risultato elementare di questo test, considereremo la distanza X dal centro del cerchio alla linea centrale della striscia più vicina al cerchio. Quindi l'intero spazio dei risultati elementari - segmento ϶ᴛᴏ. L'intersezione del cerchio con la striscia avverrà se il suo centro cade nella striscia, ᴛ.ᴇ. , o si troverà dal bordo della striscia a una distanza inferiore al raggio, ᴛ.ᴇ. .

Per la probabilità desiderata si ottiene: .

5. La frequenza relativa di un evento è il rapporto tra il numero di prove in cui l'evento si è verificato e il numero totale di prove praticamente eseguite. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, la frequenza relativa A è data da:

(2)dove m è il numero di occorrenze dell'evento, n è il numero totale di prove. Confrontando la definizione di probabilità e frequenza relativa, concludiamo: la definizione di probabilità non richiede l'effettuazione di test nella realtà; la determinazione della frequenza relativa presuppone che le prove siano state effettivamente eseguite. In altre parole, la probabilità viene calcolata prima dell'esperienza e la frequenza relativa viene calcolata dopo l'esperienza.

Esempio 2. Su 80 dipendenti selezionati casualmente, 3 persone hanno gravi disturbi cardiaci. Frequenza relativa delle persone con malattie cardiache

La frequenza relativa o un numero vicino ad essa viene presa come probabilità statica.

DEFINIZIONE (definizione statistica di probabilità). Il numero a cui tende la frequenza relativa stabile è comunemente chiamato probabilità statistica di questo evento.

6. somma A+B due eventi A e B denominano un evento consistente nel verificarsi dell'evento A, o dell'evento B, o di entrambi questi eventi. Ad esempio, se sono stati sparati due colpi dalla pistola e A - ha colpito il primo colpo, B - ha colpito il secondo colpo, quindi A + B - ha colpito il primo colpo, o il secondo, o in entrambi i colpi.

In particolare, se due eventi A e B sono incompatibili, allora A + B è un evento consistente nella comparsa di uno di questi eventi, non importa quale. La somma di più eventi chiamato evento, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ consiste nel verificarsi di almeno uno di questi eventi. Ad esempio, l'evento A + B + C consiste nel verificarsi di uno dei seguenti eventi: A, B, C, A e B, A e C, B e C, A e B e C. Siano gli eventi A e B essere incompatibile e le probabilità di questi eventi sono note. Come trovare la probabilità che si verifichi l'evento A o l'evento B? La risposta a questa domanda è data dal teorema dell'addizione. Teorema. La probabilità di accadimento di uno dei due eventi incompatibili, indipendentemente da quale, è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi:

P (LA + B) = P (LA) + P (B). Dimostrazione

Corollario. La probabilità di accadimento di uno dei numerosi eventi incompatibili a coppie, indipendentemente da quale, è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi:

P (LA 1 + LA 2 + ... + LA n) \u003d P (LA 1) + P (LA 2) + ... + P (LA n).

Definizione geometrica di probabilità - concetto e tipi. Classificazione e caratteristiche della categoria "Definizione geometrica di probabilità" 2017, 2018.

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    In pratica si incontrano molto spesso prove il cui numero di possibili esiti è infinito. A volte in tali casi è possibile utilizzare il metodo di calcolo della probabilità, in cui il concetto di equiprobabilità di determinati eventi gioca ancora il ruolo principale....


  • - Definizione geometrica della probabilità.

    In un determinato quadrato viene selezionato casualmente un punto, qual è la probabilità che questo punto sia all'interno della regione D., dove SD è l'area della regione D, S è l'area dell'intero quadrato. Sotto il classico, una certa probabilità zero aveva ... .


  • - Definizione geometrica della probabilità.

    Per superare lo svantaggio della definizione classica di probabilità, che è che non è applicabile a prove con un numero infinito di risultati, vengono introdotte le probabilità geometriche, le probabilità che un punto cada in un'area. Sia una figura piatta g (segmento o corpo)... .


  • - LEZIONE 2. TEOREMI DI AGGIUNTA E MOLTIPLICAZIONE DI PROBABILITA'. DETERMINAZIONE STATISTICA, GEOMETRICA DELLA PROBABILITÀ

    Definizione classica di probabilità LEZIONE 1. TEORIE DELLA PROBABILITÀ. STORIA DELL'ORIGINE. DEFINIZIONE CLASSICA DI PROBABILITÀ A.A. Khalafyan RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI 1. Kolemaev V.A., Staroverov O.V., Turundaevsky V.B. Teoria ... .[leggi di più] .


  • - Definizione geometrica della probabilità

    Questa definizione viene utilizzata quando un'esperienza ha un insieme non numerabile di risultati ugualmente possibili. In questo caso, lo spazio degli eventi elementari può essere rappresentato come una certa regione G. Ogni punto di questa regione corrisponde ad un evento elementare. Colpo... .


  • - Definizione classica e geometrica della probabilità.

    La definizione geometrica di probabilità è un'estensione del concetto di probabilità classica al caso di un insieme non numerabile di eventi elementari. Nel caso in cui sia un insieme non numerabile, la probabilità è determinata non sugli eventi elementari, ma sui loro insiemi.... .


  • - Definizione geometrica della probabilità

    Definizione classica di probabilità PROBABILITÀ DI UN EVENTO CASUALE Interpretazione insiemistica delle operazioni sugli eventi Si faccia qualche esperimento con esito casuale. Molti &... .


    • La formula P(A)=m/n perde significato se il numero di tutti i casi ugualmente possibili incompatibili è illimitato (forma un insieme infinito). Tuttavia, a volte è possibile dare una caratteristica quantitativa S in alcune misure di lunghezza, area, volume, tempo, e così via, all'intero insieme di infiniti casi ugualmente possibili incompatibili, e dare una parte di questo insieme che favorisce il insorgenza dell'evento A in esame, per dare una caratteristica S b nelle stesse misure. Allora la probabilità di accadimento dell'evento A è determinata dalla relazione:

    Esempio 1. Due numeri xey vengono scelti a caso dall'intervallo. Trova la probabilità che questi numeri soddisfino le disuguaglianze x 2 ≤ 4y ≤ 4x.
    Soluzione. Il test consiste nella selezione casuale di una coppia di numeri xey dall'intervallo. Interpreteremo questo come una scelta casuale di un punto M(x;y) dall'insieme di tutti i punti di un quadrato il cui lato è uguale a due. Consideriamo la figura Ф, che è l'insieme di tutti i punti del quadrato le cui coordinate soddisfano il sistema delle disuguaglianze x 2 ≤ 4y ≤ 4x. L'evento di interesse si verifica se e solo se il punto selezionato M(x;y) appartiene alla figura Ф.

    Secondo la formula (8), la probabilità desiderata è uguale al rapporto tra l'area della figura Ф e l'area del quadrato:

    Esempio #2. I due hanno deciso di incontrarsi in un certo luogo. Ciascuno di loro arriva al luogo designato indipendentemente l'uno dall'altro in un momento casuale di tempo e attende non più del tempo. Qual è la probabilità di incontrarsi in tali condizioni?

    Soluzione. Indichiamo con x l'ora di arrivo della prima persona nel luogo concordato e con y l'ora di arrivo della seconda persona. Segue dalla condizione che xey percorrono indipendentemente l'intervallo di tempo. La prova consiste nel fissare l'orario di arrivo delle persone indicate nel luogo di ritrovo. Quindi lo spazio dei risultati elementari di questa prova viene interpretato come l'insieme di tutti i punti M(x;y) del quadrato Ω=((x;y) : 0 ≤ x ≤ T, 0 ≤ y ≤ T). L'evento A di nostro interesse - "l'incontro è avvenuto" si verifica se e solo se il punto selezionato M(x;y) è all'interno della figura Ф, che è l'insieme di tutti i punti del quadrato le cui coordinate soddisfano il disuguaglianza |x – y| ≤ t. Secondo la formula (8), la probabilità desiderata
    è il rapporto tra l'area della figura Ф e l'area del quadrato Ω:


    Analizzando il risultato ottenuto in questo problema, vediamo che la probabilità di incontro aumenta con l'aumentare. Sia, ad esempio, T = 1 ora, t = 20 minuti, quindi , ovvero, più spesso che nella metà dei casi, le riunioni si terranno se negoziate ripetutamente alle condizioni di cui sopra.

    Esempio #3. Si scelgono a caso due punti sul segmento l.
    P(0 - ? , la probabilità che la distanza tra loro sia inferiore a k-l

    Esempio #4. Un punto viene lanciato casualmente in un cerchio di raggio r in modo tale che qualsiasi posizione nel cerchio sia ugualmente possibile. Trova la probabilità che si trovi all'interno di un quadrato di lato a situato in un cerchio.
    Soluzione. La probabilità che un punto sia all'interno di un quadrato che giace in un cerchio di lato unè uguale al rapporto tra l'area del quadrato e l'area del cerchio.
    Area quadrata: Skv \u003d a 2.
    Area del cerchio: S = πr 2
    Quindi la probabilità sarà: p \u003d Skv / S \u003d a 2 / πr 2

    Esempio numero 5. Due numeri reali vengono scelti a caso dall'intervallo. Trova la probabilità che la loro somma sia maggiore di 4 e il loro prodotto sia minore di 4.
    Soluzione.
    Ci sono 5 numeri in totale: 0,1,2,3,4. La probabilità che si verifichino p=1/5 = 0,2
    a) la probabilità che la loro somma sia maggiore di 4
    Il numero totale di tali risultati è 8:
    1+4, 2+3, 2+4, 3+4 e 4+1, 3+2, 4+2, 4+3
    P = 0,2*0,2*8 = 0,32
    b) il prodotto è inferiore a 4.
    Il numero totale di tali risultati è 13:
    0*1, 0*2, 0*3, 0*4, 1*1, 1*2.1*3 e 1*0, 2*0, 3*0, 4*0, 2*1, 3* uno
    P = 0,2*0,2*13 = 0,52

    Compiti per soluzione indipendente
    4.3. Dopo il temporale si è verificata una rottura del filo nel tratto compreso tra il 40° e il 70° km della linea telefonica. Qual è la probabilità che la rottura avvenga tra il 45° e il 50° chilometro della linea? (Si presume che la probabilità di rottura di un filo in qualsiasi luogo sia la stessa).
    Risposta: 1/6.

    4.4. Un punto viene lanciato casualmente in una circonferenza di raggio r. Trova la probabilità che questo punto sia all'interno di un triangolo regolare inscritto nel cerchio dato.
    Risposta:

    4.5. Trova la probabilità che la somma di due numeri selezionati casualmente dall'intervallo [-1; 1] è maggiore di zero e il loro prodotto è negativo.
    Risposta: 0;25.

    4.6. Durante l'addestramento al combattimento, l'n-esimo squadrone di bombardieri ha ricevuto il compito di attaccare il deposito di petrolio "nemico". Sul territorio del deposito petrolifero, che ha la forma di un rettangolo con lati di 30 e 50 m, sono presenti quattro cisterne rotonde dell'olio del diametro di 10 m ciascuna. Trova la probabilità di un colpo diretto dei serbatoi di petrolio da parte di una bomba che ha colpito il territorio del deposito di petrolio, se la bomba colpisce un punto qualsiasi di questa base con uguale probabilità.
    Risposta: π/15.

    4.7. Due numeri reali xey vengono scelti a caso in modo che la somma dei loro quadrati sia minore di 100. Qual è la probabilità che la somma dei quadrati di questi numeri sia maggiore di 64?
    Risposta: 0;36.

    4.8. I due amici hanno deciso di incontrarsi tra le 13:00 e le 14:00. La prima persona che arriva aspetta la seconda persona per 20 minuti e poi se ne va. Determina la probabilità di incontrare amici se i momenti del loro arrivo nell'intervallo di tempo specificato sono ugualmente probabili.
    Risposta: 5/9.

    4.9. Due battelli a vapore devono arrivare allo stesso molo. L'ora di arrivo di entrambe le navi è ugualmente possibile durante il giorno indicato. Determinare la probabilità che uno dei piroscafi debba attendere il rilascio dell'ormeggio se il primo piroscafo rimane per un'ora e il secondo per due ore.
    Risposta: ≈ 0;121.

    4.10. Vengono presi a caso due numeri positivi xey, ciascuno dei quali non supera due. Trova la probabilità che il prodotto x y sia al massimo uno e il quoziente y/x sia al massimo due.
    Risposta: ≈ 0;38.

    4.11. Nella regione G delimitata dall'ellissoide , un punto viene fissato a caso. Qual è la probabilità che le coordinate (x; y; z) di questo punto soddisfino la disuguaglianza x 2 + y 2 + z 2 ≤4?
    Risposta: 1/3.

    4.12. Un punto viene lanciato in un rettangolo con i vertici R(-2;0), L(-2;9), M (4;9), N (4;0). Trova la probabilità che le sue coordinate soddisfino le disuguaglianze 0 ≤ y ≤ 2x – x 2 +8.
    Risposta: 2/3.

    4.13. La regione G è delimitata dal cerchio x 2 + y 2 = 25, e la regione g è delimitata da questo cerchio e dalla parabola 16x - 3y 2 > 0. Trova la probabilità di cadere nella regione g.
    Risposta: ≈ 0;346.

    4.14. Vengono presi a caso due numeri positivi xey, ciascuno dei quali non supera uno. Trova la probabilità che la somma x + y non ecceda 1 e il prodotto x · y non sia inferiore a 0,09.
    Risposta: ≈ 0;198.

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