La radice di quale equazione è una frazione. Le equazioni razionali più semplici

Risolvere equazioni con frazioni diamo un'occhiata agli esempi. Gli esempi sono semplici e illustrativi. Con il loro aiuto, puoi capire nel modo più comprensibile.
Ad esempio, devi risolvere una semplice equazione x/b + c = d.

Un'equazione di questo tipo è chiamata lineare, perché il denominatore contiene solo numeri.

La soluzione si ottiene moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per b, quindi l'equazione assume la forma x = b*(d – c), cioè il denominatore della frazione sul lato sinistro è ridotto.

Ad esempio, come risolvere equazione frazionaria:
x/5+4=9
Moltiplichiamo entrambe le parti per 5. Otteniamo:
x+20=45
x=45-20=25

Un altro esempio in cui l'incognita è al denominatore:

Equazioni di questo tipo sono dette razionali frazionarie o semplicemente frazionarie.

Risolveremmo un'equazione frazionaria eliminando le frazioni, dopodiché questa equazione, molto spesso, si trasforma in un'equazione lineare o quadratica, che viene risolta nel solito modo. Dovresti prendere in considerazione solo i seguenti punti:

• il valore di una variabile che porta il denominatore a 0 non può essere una radice;
• non puoi dividere o moltiplicare l'equazione per l'espressione =0.

È qui che entra in vigore un concetto come la regione dei valori consentiti (ODZ): questi sono i valori delle radici dell'equazione per cui l'equazione ha senso.

Pertanto, risolvendo l'equazione, è necessario trovare le radici e quindi verificarne la conformità con l'ODZ. Sono escluse dalla risposta quelle radici che non corrispondono al nostro DHS.

Ad esempio, devi risolvere un'equazione frazionaria:

In base alla regola precedente, x non può essere = 0, cioè ODZ in questo caso: x - qualsiasi valore diverso da zero.

Eliminiamo il denominatore moltiplicando tutti i termini dell'equazione per x

E risolvi la solita equazione

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Risposta: x = 1/3

Risolviamo l'equazione più complicata:

ODZ è presente anche qui: x -2.

Risolvendo questa equazione, non trasferiremo tutto in una direzione e porteremo le frazioni a un denominatore comune. Moltiplichiamo immediatamente entrambi i membri dell'equazione per un'espressione che ridurrà tutti i denominatori contemporaneamente.

Per ridurre i denominatori, devi moltiplicare il lato sinistro per x + 2 e il lato destro per 2. Quindi, entrambi i lati dell'equazione devono essere moltiplicati per 2 (x + 2):

Questa è la moltiplicazione di frazioni più comune, di cui abbiamo già discusso sopra.

Scriviamo la stessa equazione, ma in un modo leggermente diverso.

Il lato sinistro è ridotto di (x + 2) e il lato destro di 2. Dopo la riduzione, otteniamo la consueta equazione lineare:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, che corrisponde al nostro ODZ

Risposta: x = 2.

Risolvere equazioni con frazioni non così difficile come potrebbe sembrare. In questo articolo, lo abbiamo mostrato con esempi. Se hai qualche difficoltà con come risolvere le equazioni con le frazioni, quindi annullare l'iscrizione nei commenti.

Presentazione e lezione sul tema: "Equazioni razionali. Algoritmo ed esempi per la risoluzione di equazioni razionali"

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Introduzione alle equazioni irrazionali

Ragazzi, abbiamo imparato a risolvere le equazioni di secondo grado. Ma la matematica non si limita a loro. Oggi impareremo come risolvere le equazioni razionali. concetto equazioni razionali molto simile al concetto numeri razionali. Solo in aggiunta ai numeri, ora abbiamo introdotto qualche variabile $x$. E così otteniamo un'espressione in cui ci sono operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione e elevazione a potenza intera.

Sia $r(x)$ espressione razionale . Tale espressione può essere un semplice polinomio nella variabile $x$ o un rapporto di polinomi (si introduce l'operazione di divisione, come per i numeri razionali).
Viene chiamata l'equazione $r(x)=0$ equazione razionale.
Qualsiasi equazione della forma $p(x)=q(x)$, dove $p(x)$ e $q(x)$ sono espressioni razionali, sarà anche equazione razionale.

Considera esempi di risoluzione di equazioni razionali.

Esempio 1
Risolvi l'equazione: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Soluzione.
Spostiamo tutte le espressioni sul lato sinistro: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Se i numeri ordinari fossero rappresentati sul lato sinistro dell'equazione, porteremmo due frazioni a un denominatore comune.
Facciamo questo: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Abbiamo l'equazione: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Una frazione è uguale a zero se e solo se il numeratore della frazione zero, e il denominatore è diverso da zero. Quindi uguaglia separatamente il numeratore a zero e trova le radici del numeratore.
$3(x^2+2x-3)=0$ o $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Ora controlliamo il denominatore della frazione: $(x-3)*x≠0$.
Il prodotto di due numeri è uguale a zero quando almeno uno di questi numeri è uguale a zero. Quindi: $x≠0$ o $x-3≠0$.
$x≠0$ o $x≠3$.
Le radici ottenute al numeratore e al denominatore non corrispondono. Quindi in risposta scriviamo entrambe le radici del numeratore.
Risposta: $x=1$ o $x=-3$.

Se improvvisamente una delle radici del numeratore coincide con la radice del denominatore, allora dovrebbe essere esclusa. Tali radici sono chiamate estranee!

Algoritmo per la risoluzione di equazioni razionali:

1. Tutte le espressioni contenute nell'equazione devono essere trasferite a lato sinistro dal segno di uguale.
2. Converti questa parte dell'equazione in frazione algebrica: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Uguagliare il numeratore risultante a zero, ovvero risolvere l'equazione $p(x)=0$.
4. Uguaglia il denominatore a zero e risolvi l'equazione risultante. Se le radici del denominatore coincidono con le radici del numeratore, dovrebbero essere escluse dalla risposta.

Esempio 2
Risolvi l'equazione: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Soluzione.
Risolveremo in base ai punti dell'algoritmo.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Uguaglia il numeratore a zero: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Uguaglia il denominatore a zero:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ e $x=-1$.
Una delle radici $x=1$ coincideva con la radice del numeratore, quindi non la trascriviamo in risposta.
Risposta: $x=-1$.

È conveniente risolvere equazioni razionali usando il metodo del cambio di variabili. Dimostriamolo.

Esempio 3
Risolvi l'equazione: $x^4+12x^2-64=0$.

Soluzione.
Introduciamo una sostituzione: $t=x^2$.
Quindi la nostra equazione assumerà la forma:
$t^2+12t-64=0$ è un'equazione quadratica ordinaria.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$.
Introduciamo una sostituzione inversa: $x^2=4$ o $x^2=-16$.
Le radici della prima equazione sono una coppia di numeri $x=±2$. Il secondo non ha radici.
Risposta: $x=±2$.

Esempio 4
Risolvi l'equazione: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Soluzione.
Introduciamo una nuova variabile: $t=x^2+x+1$.
Quindi l'equazione assumerà la forma: $t=\frac(15)(t+2)$.
Successivamente, agiremo secondo l'algoritmo.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - le radici non corrispondono.
Introduciamo una sostituzione inversa.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Risolviamo ogni equazione separatamente:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - no radici.
E la seconda equazione: $x^2+x-2=0$.
Radicato data equazione ci saranno i numeri $x=-2$ e $x=1$.
Risposta: $x=-2$ e $x=1$.

Esempio 5
Risolvi l'equazione: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Soluzione.
Introduciamo una sostituzione: $t=x+\frac(1)(x)$.
Quindi:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ o $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Abbiamo l'equazione: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Le radici di questa equazione sono la coppia:
$t=-3$ e $t=2$.
Introduciamo la sostituzione inversa:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Decideremo separatamente.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Risolviamo la seconda equazione:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
La radice di questa equazione è il numero $x=1$.
Risposta: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Compiti per soluzione indipendente

Risolvi equazioni:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Abbiamo introdotto l'equazione sopra nel § 7. Innanzitutto, ricordiamo cos'è un'espressione razionale. Esso - espressione algebrica, composto dai numeri e dalla variabile x utilizzando le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed esponenziazione con un esponente naturale.

Se r(x) è un'espressione razionale, allora l'equazione r(x) = 0 è chiamata equazione razionale.

Tuttavia, in pratica è più conveniente usarne un po' di più interpretazione ampia termine "equazione razionale": è un'equazione della forma h(x) = q(x), dove h(x) e q(x) sono espressioni razionali.

Finora non abbiamo potuto risolvere nessuna equazione razionale, ma solo una che, a seguito di varie trasformazioni e ragionamenti, si è ridotta a equazione lineare. Ora le nostre possibilità sono molto maggiori: saremo in grado di risolvere un'equazione razionale, che si riduce non solo a lineare
mu, ma anche all'equazione quadratica.

Ricorda come abbiamo risolto le equazioni razionali in precedenza e prova a formulare un algoritmo di soluzione.

Esempio 1 risolvere l'equazione

Soluzione. Riscriviamo l'equazione nella forma

In questo caso, come al solito, utilizziamo il fatto che le uguaglianze A \u003d B e A - B \u003d 0 esprimono la stessa relazione tra A e B. Ciò ci ha permesso di trasferire il termine sul lato sinistro dell'equazione con il segno opposto.

Eseguiamo le trasformazioni del lato sinistro dell'equazione. abbiamo

Richiama le condizioni di uguaglianza frazioni zero: se, e solo se, sono soddisfatte contemporaneamente due relazioni:

1) il numeratore della frazione è zero (a = 0); 2) il denominatore della frazione è diverso da zero).
Uguagliando a zero il numeratore della frazione sul lato sinistro dell'equazione (1), otteniamo

Resta da verificare il soddisfacimento della seconda condizione sopra richiamata. Il rapporto significa per l'equazione (1) che . I valori x 1 = 2 e x 2 = 0,6 soddisfano le relazioni indicate e quindi servono come radici dell'equazione (1), e allo stesso tempo radici dell'equazione data.

1) Trasformiamo l'equazione nella forma

2) Eseguiamo le trasformazioni del lato sinistro di questa equazione:

(cambiato contemporaneamente i segni nel numeratore e
frazioni).
In questo modo, data equazione prende la forma

3) Risolvi l'equazione x 2 - 6x + 8 = 0. Trova

4) Per i valori trovati, verificare la condizione . Il numero 4 soddisfa questa condizione, ma il numero 2 no. Quindi 4 è la radice dell'equazione data e 2 è una radice estranea.
Risposta: 4.

2. Soluzione di equazioni razionali introducendo una nuova variabile

Il metodo per introdurre una nuova variabile ti è familiare, l'abbiamo usato più di una volta. Mostreremo con esempi come viene utilizzato nella risoluzione di equazioni razionali.

Esempio 3 Risolvi l'equazione x 4 + x 2 - 20 = 0.

Soluzione. Introduciamo una nuova variabile y \u003d x 2. Poiché x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, l'equazione data può essere riscritta nella forma

y 2 + y - 20 = 0.

Questa è un'equazione quadratica, le cui radici troveremo usando il noto formule; otteniamo y 1 = 4, y 2 = - 5.
Ma y \u003d x 2, il che significa che il problema è stato ridotto alla risoluzione di due equazioni:
x2=4; x 2 \u003d -5.

Dalla prima equazione troviamo che la seconda equazione non ha radici.
Risposta: .
Un'equazione della forma ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 è chiamata equazione biquadratica ("bi" - due, cioè, per così dire, un'equazione "due volte al quadrato"). L'equazione appena risolta era esattamente biquadratica. Qualsiasi equazione biquadratica viene risolta allo stesso modo dell'equazione dell'esempio 3: viene introdotta una nuova variabile y \u003d x 2, l'equazione quadratica risultante viene risolta rispetto alla variabile y e quindi restituita alla variabile x.

Esempio 4 risolvere l'equazione

Soluzione. Si noti che la stessa espressione x 2 + 3x ricorre due volte qui. Quindi, ha senso introdurre una nuova variabile y = x 2 + Zx. Questo ci permetterà di riscrivere l'equazione in una forma più semplice e gradevole (che, appunto, è lo scopo di introdurre un nuovo variabile- e la registrazione è più facile
, e la struttura dell'equazione diventa più chiara):

E ora useremo l'algoritmo per risolvere un'equazione razionale.

1) Spostiamo tutti i termini dell'equazione in una parte:

= 0
2) Trasformiamo il lato sinistro dell'equazione

Quindi, abbiamo trasformato l'equazione data nella forma

3) Dall'equazione - 7y 2 + 29y -4 = 0 troviamo (abbiamo già risolto un bel po' di equazioni quadratiche, quindi probabilmente non vale la pena dare sempre calcoli dettagliati nel libro di testo).

4) Controlliamo le radici trovate usando la condizione 5 (y - 3) (y + 1). Entrambe le radici soddisfano questa condizione.
Quindi, l'equazione quadratica per la nuova variabile y è risolta:
Poiché y \u003d x 2 + Zx e y, come abbiamo stabilito, assume due valori: 4 e, - dobbiamo ancora risolvere due equazioni: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Le radici della prima equazione sono i numeri 1 e - 4, le radici della seconda equazione sono i numeri

Negli esempi considerati, il metodo di introduzione di una nuova variabile era, come amano dire i matematici, adeguato alla situazione, cioè le corrispondeva bene. Come mai? Sì, perché la stessa espressione è stata chiaramente incontrata più volte nell'equazione ed era ragionevole designare questa espressione con una nuova lettera. Ma non è sempre così, a volte una nuova variabile "appare" solo nel processo di trasformazioni. Questo è esattamente ciò che accadrà nel prossimo esempio.

Esempio 5 risolvere l'equazione
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Soluzione. abbiamo
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Quindi l'equazione data può essere riscritta come

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Ora è "apparsa" una nuova variabile: y = x 2 - Zx.

Con il suo aiuto, l'equazione può essere riscritta nella forma y (y + 2) \u003d 24 e poi y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Le radici di questa equazione sono i numeri 4 e -6.

Tornando alla variabile originale x, otteniamo due equazioni x 2 - Zx \u003d 4 e x 2 - Zx \u003d - 6. Dalla prima equazione troviamo x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; la seconda equazione non ha radici.

Risposta: 4, - 1.

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Conosciamo le equazioni razionali razionali e frazionarie, diamo la loro definizione, forniamo esempi e analizziamo anche i tipi più comuni di problemi.

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Equazione razionale: definizione ed esempi

La conoscenza delle espressioni razionali inizia nell'ottavo anno della scuola. In questo momento, nelle lezioni di algebra, gli studenti iniziano sempre più a svolgere compiti con equazioni che contengono espressioni razionali nelle loro note. Rinfreschiamo la nostra memoria di quello che è.

Definizione 1

equazione razionaleè un'equazione in cui entrambe le parti contengono espressioni razionali.

In vari manuali è possibile trovare un'altra dicitura.

Definizione 2

equazione razionale- questa è un'equazione, il record del lato sinistro della quale contiene un'espressione razionale e quello destro contiene zero.

Le definizioni che abbiamo dato per le equazioni razionali sono equivalenti, poiché significano la stessa cosa. La correttezza delle nostre parole è confermata dal fatto che per qualsiasi espressione razionale P e Q equazioni P=Q e P-Q = 0 saranno espressioni equivalenti.

Passiamo ora agli esempi.

Esempio 1

Equazioni razionali:

x = 1 , 2 x - 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - un (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Le equazioni razionali, proprio come le equazioni di altri tipi, possono contenere un numero qualsiasi di variabili da 1 a diverse. Per cominciare, considereremo semplici esempi, in cui le equazioni conterranno una sola variabile. E poi iniziamo a complicare gradualmente il compito.

Le equazioni razionali sono divise in due grandi gruppi: intero e frazionario. Vediamo quali equazioni si applicheranno a ciascuno dei gruppi.

Definizione 3

Un'equazione razionale sarà un numero intero se il record delle sue parti sinistra e destra contiene intere espressioni razionali.

Definizione 4

Un'equazione razionale sarà frazionaria se una o entrambe le sue parti contengono una frazione.

Le equazioni frazionarie contengono necessariamente la divisione per una variabile, oppure la variabile è presente nel denominatore. Non esiste una tale divisione nella scrittura di equazioni intere.

Esempio 2

3 x + 2 = 0 e (x + y) (3 x 2 - 1) + x = - y + 0 , 5 sono intere equazioni razionali. Qui entrambe le parti dell'equazione sono rappresentate da espressioni intere.

1 x - 1 = x 3 e x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x - 1) : 5 sono equazioni frazionate razionali.

Intere equazioni razionali includono equazioni lineari e quadratiche.

Risoluzione di equazioni intere

La soluzione di tali equazioni si riduce solitamente alla loro trasformazione in equazioni algebriche equivalenti. Ciò può essere ottenuto eseguendo trasformazioni equivalenti delle equazioni secondo il seguente algoritmo:

• prima otteniamo zero sul lato destro dell'equazione, per questo è necessario trasferire l'espressione che si trova sul lato destro dell'equazione al suo lato sinistro e cambiarne il segno;
• quindi trasformiamo l'espressione sul lato sinistro dell'equazione in un polinomio vista standard.

Dobbiamo ottenere un'equazione algebrica. Questa equazione sarà equivalente rispetto all'equazione originale. I casi facili ci permettono di risolvere il problema riducendo l'intera equazione ad una lineare o quadratica. Nel caso generale, risolviamo un'equazione algebrica di grado n.

Esempio 3

È necessario trovare le radici dell'intera equazione 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

Soluzione

Trasformiamo l'espressione originale per ottenere un'equazione algebrica equivalente. Per fare ciò, trasferiremo l'espressione contenuta nel lato destro dell'equazione sul lato sinistro e cambieremo il segno nell'opposto. Di conseguenza, otteniamo: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

Ora trasformeremo l'espressione, che si trova sul lato sinistro, in un polinomio della forma standard ed eseguiremo azioni necessarie con questo polinomio:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Siamo riusciti a ridurre la soluzione dell'equazione originale alla soluzione equazione quadrata tipo x 2 - 5 x - 6 = 0. Il discriminante di questa equazione è positivo: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Ciò significa che ci saranno due vere radici. Troviamoli usando la formula delle radici dell'equazione quadratica:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 o x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 oppure x 2 = - 1

Verifichiamo la correttezza delle radici dell'equazione che abbiamo trovato nel corso della soluzione. Per questo numero, che abbiamo ricevuto, sostituiamo nell'equazione originale: 3 (6 + 1) (6 - 3) = 6 (2 6 - 1) - 3 e 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. Nel primo caso 63 = 63 , nel secondo 0 = 0 . Radici x=6 e x = - 1 sono infatti le radici dell'equazione data nella condizione di esempio.

Risposta: 6 , − 1 .

Diamo un'occhiata a cosa significa "potenza dell'intera equazione". Ci imbatteremo spesso in questo termine nei casi in cui dobbiamo rappresentare un'intera equazione sotto forma di un'equazione algebrica. Definiamo il concetto.

Definizione 5

Grado di un'equazione interaè il grado equazione algebrica, che è equivalente all'intera equazione originale.

Se osservi le equazioni dell'esempio sopra, puoi stabilire: il grado dell'intera equazione è il secondo.

Se il nostro corso fosse limitato alla risoluzione di equazioni di secondo grado, allora la considerazione dell'argomento potrebbe essere completata qui. Ma non tutto è così semplice. Risolvere equazioni di terzo grado è irto di difficoltà. E per le equazioni superiori al quarto grado, non esiste affatto formule generali radici. A questo proposito, la soluzione di intere equazioni di terzo, quarto e altri gradi richiede l'uso di una serie di altre tecniche e metodi.

L'approccio più comunemente usato per risolvere intere equazioni razionali è basato sul metodo della fattorizzazione. L'algoritmo delle azioni in questo caso è il seguente:

• trasferiamo l'espressione dal lato destro al lato sinistro in modo che zero rimanga sul lato destro del record;
• rappresentiamo l'espressione sul lato sinistro come un prodotto di fattori, quindi passiamo a un insieme di diverse equazioni più semplici.

Esempio 4

Trova la soluzione dell'equazione (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Soluzione

Trasferiamo l'espressione dal lato destro del record al lato sinistro con il segno opposto: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Convertire il lato sinistro in un polinomio della forma standard non è pratico perché questo ci darà un'equazione algebrica di quarto grado: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. La facilità di trasformazione non giustifica tutte le difficoltà nel risolvere un'equazione del genere.

È molto più facile andare dall'altra parte: eliminiamo il fattore comune x 2 - 10 x + 13 . Si arriva così ad un'equazione della forma (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Ora sostituiamo l'equazione risultante con un insieme di due equazioni quadratiche x 2 - 10 x + 13 = 0 e x 2 - 2 x - 1 = 0 e trova le loro radici attraverso il discriminante: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Risposta: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Allo stesso modo, possiamo usare il metodo di introduzione di una nuova variabile. Questo metodo permette di passare a equazioni equivalenti con potenze inferiori a quelle dell'intera equazione originale.

Esempio 5

L'equazione ha radici? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = - 2 (x 2 + 3 x - 4)?

Soluzione

Se ora proviamo a ridurre un'intera equazione razionale ad una algebrica, otterremo un'equazione di grado 4, che non ha radici razionali. Pertanto, sarà più facile per noi andare dall'altra parte: introdurre una nuova variabile y, che sostituirà l'espressione nell'equazione x 2 + 3 x.

Ora lavoreremo con l'intera equazione (y + 1) 2 + 10 = - 2 (y - 4). Trasferiamo il lato destro dell'equazione sul lato sinistro con il segno opposto ed eseguiamo le trasformazioni necessarie. Noi abbiamo: y 2 + 4 y + 3 = 0. Troviamo le radici dell'equazione quadratica: y = - 1 e y = - 3.

Ora facciamo la sostituzione inversa. Otteniamo due equazioni x 2 + 3 x = - 1 e x 2 + 3 x = - 3 . Riscriviamoli come x 2 + 3 x + 1 = 0 e x 2 + 3 x + 3 = 0. Usiamo la formula delle radici dell'equazione quadratica per trovare le radici della prima equazione ottenuta: - 3 ± 5 2 . Il discriminante della seconda equazione è negativo. Ciò significa che la seconda equazione non ha radici reali.

Risposta:- 3 ± 5 2

Le equazioni intere di grado elevato si imbattono in problemi abbastanza spesso. Non c'è bisogno di aver paura di loro. Devi essere pronto ad applicare un metodo non standard per risolverli, comprese una serie di trasformazioni artificiali.

Soluzione di equazioni frazionate razionali

Iniziamo la nostra considerazione di questo sottoargomento con un algoritmo per la risoluzione di equazioni frazionarie razionali della forma p (x) q (x) = 0 , dove p(x) e q(x) sono espressioni razionali intere. La soluzione di altre equazioni frazionarie razionali può sempre essere ridotta alla soluzione di equazioni della forma indicata.

Il metodo più comunemente usato per risolvere le equazioni p (x) q (x) = 0 si basa sulla seguente affermazione: frazione numerica tu v, dove vè un numero diverso da zero, uguale a zero solo nei casi in cui il numeratore della frazione è uguale a zero. Seguendo la logica dell'affermazione precedente, possiamo asserire che la soluzione dell'equazione p (x) q (x) = 0 può essere ridotta al soddisfacimento di due condizioni: p(x)=0 e q(x) ≠ 0. Su questo, viene costruito un algoritmo per la risoluzione di equazioni razionali frazionarie della forma p (x) q (x) = 0:

• troviamo la soluzione dell'intera equazione razionale p(x)=0;
• controlliamo se la condizione è soddisfatta per le radici trovate durante la soluzione q(x) ≠ 0.

Se questa condizione è soddisfatta, allora la radice trovata, altrimenti la radice non è una soluzione al problema.

Esempio 6

Trova le radici dell'equazione 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Soluzione

Si tratta di un'equazione razionale frazionaria della forma p (x) q (x) = 0 , in cui p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Iniziamo a risolvere l'equazione lineare 3 x - 2 = 0. La radice di questa equazione sarà x = 2 3.

Controlliamo la radice trovata, se soddisfa la condizione 5 x 2 - 2 ≠ 0. Per fare ciò, sostituisci un valore numerico nell'espressione. Otteniamo: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

La condizione è soddisfatta. Significa che x = 2 3è la radice dell'equazione originale.

Risposta: 2 3 .

Esiste un'altra opzione per risolvere le equazioni razionali frazionarie p (x) q (x) = 0 . Ricordiamo che questa equazione è equivalente all'intera equazione p(x)=0 sull'intervallo di valori ammissibili della variabile x dell'equazione originale. Questo ci permette di utilizzare il seguente algoritmo per risolvere le equazioni p(x) q(x) = 0:

• risolvere l'equazione p(x)=0;
• trova l'intervallo di valori accettabili per la variabile x;
• prendiamo le radici che si trovano nella regione dei valori ammissibili della variabile x come radici desiderate dell'equazione razionale frazionaria originale.

Esempio 7

Risolvi l'equazione x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Soluzione

Per prima cosa, risolviamo l'equazione quadratica x 2 - 2 x - 11 = 0. Per calcolare le sue radici, utilizziamo la formula della radice per un secondo coefficiente pari. Noi abbiamo D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12, e x = 1 ± 2 3 .

Ora possiamo trovare l'ODV di x per l'equazione originale. Questi sono tutti numeri per cui x 2 + 3 x ≠ 0. È lo stesso di x (x + 3) ≠ 0, da cui x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Verifichiamo ora se le radici x = 1 ± 2 3 ottenute al primo stadio della soluzione rientrano nell'intervallo di valori accettabili della variabile x . Vediamo cosa entra. Ciò significa che l'equazione razionale frazionaria originale ha due radici x = 1 ± 2 3 .

Risposta: x = 1 ± 2 3

Il secondo metodo di soluzione descritto più facile del primo nei casi in cui è facile trovare l'area dei valori ammissibili della variabile x, e le radici dell'equazione p(x)=0 irrazionale. Ad esempio, 7 ± 4 26 9 . Le radici possono essere razionali, ma con un grande numeratore o denominatore. Per esempio, 127 1101 e − 31 59 . Ciò consente di risparmiare tempo per controllare la condizione. q(x) ≠ 0: è molto più facile escludere le radici che non si adattano, secondo l'ODZ.

Quando le radici dell'equazione p(x)=0 sono numeri interi, è più opportuno utilizzare il primo degli algoritmi descritti per risolvere equazioni della forma p (x) q (x) = 0 . Trovare più velocemente le radici di un'intera equazione p(x)=0 e quindi verificare se la condizione è soddisfatta per loro q(x) ≠ 0, e non trovare l'ODZ, quindi risolvere l'equazione p(x)=0 su questo ODZ. Ciò è dovuto al fatto che in questi casi è solitamente più facile effettuare un controllo che trovare l'ODZ.

Esempio 8

Trova le radici dell'equazione (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

Soluzione

Iniziamo considerando l'intera equazione (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 e trovarne le radici. Per fare ciò, applichiamo il metodo di risoluzione delle equazioni attraverso la fattorizzazione. Si scopre che l'equazione originale è equivalente a un insieme di quattro equazioni 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, di cui tre sono lineari e uno è quadrato. Troviamo le radici: dalla prima equazione x = 1 2, dal secondo x=6, dal terzo - x \u003d 7, x \u003d - 2, dal quarto - x = - 1.

Controlliamo le radici ottenute. È difficile per noi determinare l'ODZ in questo caso, poiché per questo dovremo risolvere un'equazione algebrica di quinto grado. Sarà più facile verificare la condizione in base alla quale il denominatore della frazione, che si trova sul lato sinistro dell'equazione, non deve svanire.

A sua volta, sostituisci le radici al posto della variabile x nell'espressione x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 e calcolarne il valore:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠0;

6 5 - 15 6 4 + 57 6 3 - 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 - 15 7 4 + 57 7 3 - 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

La verifica effettuata permette di stabilire che le radici dell'equazione razionale frazionaria originaria sono 1 2 , 6 e − 2 .

Risposta: 1 2 , 6 , - 2

Esempio 9

Trova le radici dell'equazione razionale frazionaria 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Soluzione

Cominciamo con l'equazione (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Troviamo le sue radici. È più facile per noi rappresentare questa equazione come una combinazione di equazioni quadratiche e lineari 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 e x - 2 = 0.

Usiamo la formula delle radici di un'equazione quadratica per trovare le radici. Otteniamo due radici x = 7 ± 69 10 dalla prima equazione e dalla seconda x=2.

Sostituire il valore delle radici nell'equazione originale per verificare le condizioni sarà abbastanza difficile per noi. Sarà più facile determinare il LPV della variabile x . In questo caso, il DPV della variabile x è tutti i numeri, ad eccezione di quelli per i quali la condizione è soddisfatta x 2 + 5 x - 14 = 0. Otteniamo: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Ora controlliamo se le radici che abbiamo trovato appartengono all'intervallo di valori accettabili per la variabile x.

Le radici x = 7 ± 69 10 - appartengono, quindi, sono le radici dell'equazione originale e x=2- non appartiene, quindi, è una radice estranea.

Risposta: x = 7 ± 69 10 .

Esaminiamo separatamente i casi in cui il numeratore di un'equazione razionale frazionaria della forma p (x) q (x) = 0 contiene un numero. In questi casi, se il numeratore contiene un numero diverso da zero, l'equazione non avrà radici. Se questo numero è uguale a zero, la radice dell'equazione sarà un qualsiasi numero dall'ODZ.

Esempio 10

Risolvi l'equazione razionale frazionaria - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Soluzione

Questa equazione non avrà radici, poiché il numeratore della frazione dal lato sinistro dell'equazione contiene un numero diverso da zero. Ciò significa che per qualsiasi valore di x il valore della frazione data nella condizione del problema non sarà uguale a zero.

Risposta: senza radici.

Esempio 11

Risolvi l'equazione 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Soluzione

Poiché il numeratore della frazione è zero, la soluzione dell'equazione sarà qualsiasi valore di x dalla variabile ODZ x.

Ora definiamo l'ODZ. Includerà tutti i valori x per i quali x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Soluzioni di equazioni x 4 + 5 x 3 = 0 sono 0 e − 5 , poiché questa equazione è equivalente all'equazione x 3 (x + 5) = 0, e, a sua volta, è equivalente all'insieme di due equazioni x 3 = 0 e x + 5 = 0 dove queste radici sono visibili. Arriviamo alla conclusione che l'intervallo desiderato di valori accettabili è qualsiasi x , eccetto x=0 e x = -5.

Si scopre che l'equazione razionale frazionaria 0 x 4 + 5 x 3 = 0 ha un numero infinito di soluzioni, che sono numeri qualsiasi tranne zero e - 5.

Risposta: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Ora parliamo di equazioni razionali frazionarie di forma arbitraria e metodi per risolverle. Si possono scrivere come r(x) = s(x), dove r(x) e s(x) sono espressioni razionali e almeno una di esse è frazionaria. La soluzione di tali equazioni si riduce alla soluzione di equazioni della forma p (x) q (x) = 0 .

Sappiamo già che possiamo ottenere un'equazione equivalente trasferendo l'espressione dal lato destro dell'equazione al lato sinistro con il segno opposto. Ciò significa che l'equazione r(x) = s(x)è equivalente all'equazione r (x) - s (x) = 0. Abbiamo anche già discusso di come convertire un'espressione razionale in una frazione razionale. Grazie a questo, possiamo facilmente trasformare l'equazione r (x) - s (x) = 0 nella sua identica frazione razionale della forma p (x) q (x) .

Quindi passiamo dall'equazione razionale frazionaria originale r(x) = s(x) a un'equazione della forma p (x) q (x) = 0 , che abbiamo già imparato a risolvere.

Va notato che quando si effettuano transizioni da r (x) - s (x) = 0 a p (x) q (x) = 0 e poi a p(x)=0 potremmo non tenere conto dell'ampliamento dell'intervallo di valori validi della variabile x .

È abbastanza realistico che l'equazione originale r(x) = s(x) ed equazione p(x)=0 a seguito delle trasformazioni, cesseranno di essere equivalenti. Quindi la soluzione dell'equazione p(x)=0 può darci radici che ci saranno estranee r(x) = s(x). Al riguardo, in ogni caso è necessario effettuare un controllo con una qualsiasi delle modalità sopra descritte.

Per facilitare lo studio dell'argomento, abbiamo generalizzato tutte le informazioni in un algoritmo per risolvere un'equazione razionale frazionaria della forma r(x) = s(x):

• trasferiamo l'espressione dal lato destro con il segno opposto e otteniamo zero a destra;
• trasformiamo l'espressione originale in una frazione razionale p (x) q (x) eseguendo in sequenza azioni con frazioni e polinomi;
• risolvere l'equazione p(x)=0;
• riveliamo radici estranee verificando la loro appartenenza all'ODZ o sostituendo nell'equazione originale.

Visivamente, la catena di azioni sarà simile a questa:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → dropout r o n d e r o o n s

Esempio 12

Risolvi l'equazione razionale frazionaria x x + 1 = 1 x + 1 .

Soluzione

Passiamo all'equazione x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Trasformiamo l'espressione razionale frazionaria sul lato sinistro dell'equazione nella forma p (x) q (x) .

Per fare ciò, dobbiamo ridurre le frazioni razionali a un denominatore comune e semplificare l'espressione:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Per trovare le radici dell'equazione - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, dobbiamo risolvere l'equazione − 2 x − 1 = 0. Otteniamo una radice x = - 1 2.

Resta a noi eseguire il controllo con uno qualsiasi dei metodi. Consideriamoli entrambi.

Sostituisci il valore risultante nell'equazione originale. Otteniamo - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Siamo giunti alla corretta uguaglianza numerica − 1 = − 1 . Significa che x = - 1 2è la radice dell'equazione originale.

Ora controlleremo attraverso l'ODZ. Determiniamo l'area dei valori accettabili per la variabile x . Questo sarà l'intero insieme di numeri, ad eccezione di − 1 e 0 (quando x = − 1 e x = 0, i denominatori delle frazioni svaniscono). La radice che abbiamo x = - 1 2 appartiene all'ODZ. Ciò significa che è la radice dell'equazione originale.

Risposta: − 1 2 .

Esempio 13

Trova le radici dell'equazione x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Soluzione

Abbiamo a che fare con un'equazione razionale frazionaria. Pertanto, agiremo secondo l'algoritmo.

Spostiamo l'espressione da destra a sinistra con il segno opposto: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Eseguiamo le trasformazioni necessarie: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Veniamo all'equazione x=0. La radice di questa equazione è zero.

Controlliamo se questa radice è straniera per l'equazione originale. Sostituisci il valore nell'equazione originale: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Come puoi vedere, l'equazione risultante non ha senso. Ciò significa che 0 è una radice estranea e l'equazione razionale frazionaria originale non ha radici.

Risposta: senza radici.

Se non abbiamo incluso nell'algoritmo altre trasformazioni equivalenti, ciò non significa affatto che non possano essere utilizzate. L'algoritmo è universale, ma è progettato per aiutare, non per limitare.

Esempio 14

Risolvi l'equazione 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Soluzione

Il modo più semplice è risolvere l'equazione razionale frazionaria data secondo l'algoritmo. ma c'è un altro modo. Consideriamolo.

Sottrai dalle parti destra e sinistra 7, otteniamo: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Da ciò possiamo concludere che l'espressione al denominatore del lato sinistro dovrebbe essere uguale al numero reciproco del numero dal lato destro, cioè 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Sottrai da entrambe le parti 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Per analogia 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, da dove 1 5 - x 2 \u003d 1 3 e inoltre 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Verifichiamo per stabilire se le radici trovate sono le radici dell'equazione originale.

Risposta: x = ± 2

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In questo articolo te lo mostro algoritmi per la risoluzione di sette tipi di equazioni razionali, che si riducono a quadrati per mezzo di un cambio di variabili. Nella maggior parte dei casi, le trasformazioni che portano alla sostituzione non sono molto banali ed è abbastanza difficile indovinarle da soli.

Per ogni tipo di equazione, spiegherò come apportare una modifica di variabile in essa, quindi nel video tutorial corrispondente mostrerò una soluzione dettagliata.

Hai l'opportunità di continuare a risolvere le equazioni da solo, quindi controlla la tua soluzione con il video tutorial.

Quindi, iniziamo.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Si noti che il prodotto di quattro parentesi è sul lato sinistro dell'equazione e il numero è sul lato destro.

1. Raggruppiamo le parentesi per due in modo che la somma dei termini liberi sia la stessa.

2. Moltiplicali.

3. Introduciamo un cambio di variabile.

Nella nostra equazione, raggruppiamo la prima parentesi con la terza e la seconda con la quarta, poiché (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

A questo punto, la variazione della variabile diventa evidente:

Otteniamo l'equazione

Risposta:

2 .

Un'equazione di questo tipo è simile alla precedente con una differenza: sul lato destro dell'equazione c'è il prodotto di un numero per. E si risolve in un modo completamente diverso:

1. Raggruppiamo le parentesi per due in modo che il prodotto dei termini liberi sia lo stesso.

2. Moltiplichiamo ogni coppia di parentesi.

3. Da ogni fattore, prendiamo x dalla parentesi.

4. Dividi entrambi i membri dell'equazione per .

5. Introduciamo un cambio di variabile.

In questa equazione, raggruppiamo la prima parentesi con la quarta e la seconda con la terza, poiché:

Si noti che in ciascuna parentesi il coefficiente at e il termine libero sono gli stessi. Rimuoviamo il moltiplicatore da ciascuna parentesi:

Poiché x=0 non è la radice dell'equazione originale, dividiamo entrambi i membri dell'equazione per . Noi abbiamo:

Otteniamo l'equazione:

Risposta:

3 .

Si noti che contengono i denominatori di entrambe le frazioni trinomi quadrati, il cui coefficiente direttivo e termine libero sono gli stessi. Togliamo, come nell'equazione del secondo tipo, x dalla parentesi. Noi abbiamo:

Dividi il numeratore e il denominatore di ciascuna frazione per x:

Ora possiamo introdurre un cambio di variabile:

Otteniamo l'equazione per la variabile t:

4 .

Si noti che i coefficienti dell'equazione sono simmetrici rispetto a quello centrale. Tale equazione è chiamata restituibile .

Per risolverlo

1. Dividi entrambi i lati dell'equazione per (Possiamo farlo poiché x=0 non è la radice dell'equazione.) Otteniamo:

2. Raggruppa i termini in questo modo:

3. In ogni gruppo, eliminiamo il fattore comune:

4. Introduciamo un sostituto:

5. Esprimiamo l'espressione in termini di t:

Da qui

Otteniamo l'equazione per t:

Risposta:

5. Equazioni omogenee.

Equazioni che hanno la struttura di una omogenea si possono incontrare quando si risolvono esponenziali, logaritmiche e equazioni trigonometriche, quindi deve essere riconosciuto.

Le equazioni omogenee hanno la seguente struttura:

In questa uguaglianza, A, B e C sono numeri e le stesse espressioni sono indicate da un quadrato e un cerchio. Cioè, sul lato sinistro dell'equazione omogenea c'è la somma dei monomi che hanno lo stesso grado (in questo caso, il grado dei monomi è 2) e non esiste un termine libero.

Per risolvere l'equazione omogenea, dividiamo entrambi i membri per

Attenzione! Quando dividi i lati destro e sinistro dell'equazione per un'espressione contenente un'incognita, puoi perdere le radici. Pertanto, è necessario verificare se le radici dell'espressione per cui dividiamo entrambe le parti dell'equazione sono le radici dell'equazione originale.

Andiamo nel primo modo. Otteniamo l'equazione:

Ora introduciamo una sostituzione di variabile:

Semplifica l'espressione e ottieni un'equazione biquadratica per t:

Risposta: o

7 .

Questa equazione ha la seguente struttura:

Per risolverlo, devi selezionare il quadrato completo sul lato sinistro dell'equazione.

Per selezionare un quadrato intero, è necessario sommare o sottrarre il prodotto doppio. Quindi otteniamo il quadrato della somma o della differenza. Questo è fondamentale per una sostituzione di variabile di successo.

Iniziamo trovando il doppio prodotto. Sarà la chiave per sostituire la variabile. Nella nostra equazione, il doppio prodotto è

Ora scopriamo cosa è più conveniente per noi avere: il quadrato della somma o della differenza. Considera, per cominciare, la somma delle espressioni:

Eccellente! questa espressione è esattamente uguale al doppio del prodotto. Quindi, per ottenere il quadrato della somma tra parentesi, devi sommare e sottrarre il doppio prodotto: