Lösa trigonometriska ekvationsexempel. Trigonometriska ekvationer

Lösningsmetoder trigonometriska ekvationer

Inledning 2

Metoder för att lösa trigonometriska ekvationer 5

Algebraisk 5

Lösa ekvationer med villkoret för likhet för trigonometriska funktioner med samma namn 7

Factoring 8

Reduktion till en homogen ekvation 10

Introduktion av hjälpvinkel 11

Konvertera produkt till summa 14

Universell substitution 14

Slutsats 17

Introduktion

Fram till tionde klass är handlingsordningen för många övningar som leder till målet som regel entydigt definierad. Till exempel linjära och kvadratiska ekvationer och olikheter, bråkekvationer och ekvationer som kan reduceras till kvadrater osv. Utan att i detalj analysera principen för att lösa vart och ett av de nämnda exemplen, noterar vi det allmänna som är nödvändigt för deras framgångsrika lösning.

I de flesta fall måste du bestämma vilken typ av uppgift det är, komma ihåg sekvensen av åtgärder som leder till målet och utföra dessa åtgärder. Det är uppenbart att studentens framgång eller misslyckande med att bemästra metoderna för att lösa ekvationer beror främst på hur mycket han kommer att kunna korrekt bestämma typen av ekvation och komma ihåg sekvensen av alla stadier av dess lösning. Detta förutsätter givetvis att eleven har kompetens att prestera identiska transformationer och datoranvändning.

En helt annan situation uppstår när en elev möter trigonometriska ekvationer. Samtidigt är det inte svårt att fastställa det faktum att ekvationen är trigonometrisk. Svårigheter uppstår när man ska hitta en handling som skulle leda till positivt resultat. Och här står eleven inför två problem. Förbi utseende ekvationer är svåra att bestämma typen. Och utan att veta typen är det nästan omöjligt att välja den önskade formeln bland de flera dussin som finns tillgängliga.

För att hjälpa eleverna att hitta igenom den komplexa labyrinten av trigonometriska ekvationer, introduceras de först till ekvationerna, som efter att ha introducerat en ny variabel reduceras till kvadratiska. Lös sedan homogena ekvationer och reducera till dem. Allt slutar som regel med ekvationer, för vars lösning det är nödvändigt att faktorisera vänster sida och sedan likställa var och en av faktorerna till noll.

Med förståelse för att de ett och ett halvt dussin ekvationerna som analyserats i lektionerna uppenbarligen inte räcker för att låta eleven segla självständigt på det trigonometriska "havet", lägger läraren till några fler rekommendationer från sig själv.

För att lösa den trigonometriska ekvationen måste vi försöka:

Ta alla funktioner som ingår i ekvationen till "samma vinklar";

Ta ekvationen till "samma funktioner";

Faktorisera vänster sida av ekvationen osv.

Men trots kunskapen om huvudtyperna av trigonometriska ekvationer och flera principer för att hitta deras lösning, befinner sig många elever fortfarande i ett återvändsgränd framför varje ekvation som skiljer sig något från de som löstes tidigare. Det är fortfarande oklart vad man ska sträva efter, med den eller den ekvationen, varför det i ett fall är nödvändigt att tillämpa formlerna dubbel vinkel, i en annan - halva och i den tredje - additionsformler osv.

Definition 1. En trigonometrisk ekvation är en ekvation där det okända finns under trigonometriska funktioners tecken.

Definition 2. En trigonometrisk ekvation sägs ha samma vinklar om alla trigonometriska funktioner som ingår i den har lika argument. En trigonometrisk ekvation sägs ha samma funktioner om den bara innehåller en av de trigonometriska funktionerna.

Definition 3. Graden av en monomial som innehåller trigonometriska funktioner är summan av exponenterna för potenserna för de trigonometriska funktionerna som ingår i den.

Definition 4. En ekvation kallas homogen om alla monomialerna i den har samma grad. Denna grad kallas ekvationens ordning.

Definition 5. Trigonometrisk ekvation som endast innehåller funktioner synd och cos, kallas homogen om alla monomialer med avseende på trigonometriska funktioner har samma grad, och de trigonometriska funktionerna själva har lika stora vinklar och antalet monomialer är 1 större än ekvationens ordning.

Metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.

Lösningen av trigonometriska ekvationer består av två steg: omvandlingen av ekvationen för att få dess enklaste form och lösningen av den resulterande enklaste trigonometriska ekvationen. Det finns sju grundläggande metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.

jag. algebraisk metod. Denna metod är välkänd från algebra. (Metod för ersättning av variabler och substitution).

Lös ekvationer.

Låt oss presentera notationen x=2 synd3 t, vi får

När vi löser denna ekvation får vi:
eller

de där. kan skrivas

När du skriver lösningen som erhålls på grund av närvaron av tecken grad
det är ingen idé att skriva.

Svar:

Beteckna

Vi får andragradsekvation
. Dess rötter är siffror
och
. Därför reduceras denna ekvation till de enklaste trigonometriska ekvationerna
och
. Att lösa dem, vi finner det
eller
.

Svar:
;
.

Beteckna

inte uppfyller villkoret

Betyder att

Svar:

Låt oss transformera vänster sida av ekvationen:

Således kan denna initiala ekvation skrivas som:

, dvs.

Betecknar
, vi får
När vi löser denna andragradsekvation har vi:

inte uppfyller villkoret

Vi skriver ner lösningen av den ursprungliga ekvationen:

Svar:

Utbyte
reducerar denna ekvation till en andragradsekvation
. Dess rötter är siffror
och
. Som
, då given ekvation har inga rötter.

Svar: inga rötter.

II. Lösning av ekvationer med villkoret för likhet för de trigonometriska funktionerna med samma namn.

a)
, om

b)
, om

i)
, om

Använd dessa villkor och överväg lösningen av följande ekvationer:

Med hjälp av vad som sägs i punkt a), finner vi att ekvationen har en lösning om och bara om
.

Att lösa denna ekvation finner vi
.

Vi har två grupper av lösningar:

.

7) Lös ekvationen:
.

Med hjälp av villkoret i del b) härleder vi det
.

När vi löser dessa andragradsekvationer får vi:

8) Lös ekvationen
.

Från denna ekvation härleder vi att . När vi löser denna andragradsekvation finner vi det

.

III. Faktorisering.

Vi överväger denna metod med exempel.

9) Lös ekvationen
.

Beslut. Låt oss flytta alla termer i ekvationen till vänster: .

Vi transformerar och faktoriserar uttrycket på vänster sida av ekvationen:
.

1)
2)

Därför att
och
ta inte värdet null

samtidigt separerar vi båda delarna

ekvationer för
,

Svar:

10) Lös ekvationen:

Beslut.

eller

Svar:

11) Lös ekvationen

Beslut:

1)
2)
3)

Svar:

IV. Reduktion till en homogen ekvation.

För att lösa en homogen ekvation behöver du:

Flytta alla dess medlemmar till vänster sida;

Lägg alla vanliga faktorer utanför parentes;

Jämställ alla faktorer och parenteser till noll;

Parenteser likställt med noll ger en homogen ekvation av mindre grad, som ska divideras med
(eller
) i högre grad;

Lös mottaget algebraisk ekvation relativt
.

Tänk på exempel:

12) Lös ekvationen:

Beslut.

Dividera båda sidor av ekvationen med
,

Introduktion av notationen
, namn

rötterna till denna ekvation är:

härifrån 1)
2)

Svar:

13) Lös ekvationen:

Beslut. Med hjälp av dubbelvinkelformlerna och den grundläggande trigonometriska identiteten reducerar vi denna ekvation till ett halvt argument:

Efter att ha reducerat liknande termer har vi:

Att dividera den homogena sista ekvationen med
, vi får

Jag kommer att utse
, får vi andragradsekvationen
, vars rötter är siffror

Således

Uttryck
försvinner kl
, dvs. på
,
.

Vår lösning på ekvationen inkluderar inte dessa siffror.

Svar:
, .

V. Införande av en extra vinkel.

Betrakta en formekvation

Var a, b, c- koefficienter, x- okänd.

Dividera båda sidor av denna ekvation med

Nu har ekvationens koefficienter egenskaperna för sinus och cosinus, nämligen: modulen för var och en av dem överstiger inte enhet, och summan av deras kvadrater är lika med 1.

Sedan kan vi märka dem därefter
(här - hjälpvinkel) och vår ekvation har formen: .

Sedan

Och hans beslut

Observera att den introducerade notationen är utbytbar.

14) Lös ekvationen:

Beslut. Här
, så vi dividerar båda sidor av ekvationen med

Svar:

15) Lös ekvationen

Beslut. Som
, då motsvarar denna ekvation ekvationen

Som
, då finns det en sådan vinkel
,
(de där.
).

Vi har

Som
, då får vi äntligen:

Observera att en formekvation har en lösning om och bara om

16) Lös ekvationen:

För att lösa denna ekvation grupperar vi trigonometriska funktioner med samma argument

Dividera båda sidor av ekvationen med två

Vi omvandlar summan av trigonometriska funktioner till en produkt:

Svar:

VI. Konvertera produkt till summa.

Motsvarande formler används här.

17) Lös ekvationen:

Beslut. Låt oss omvandla den vänstra sidan till en summa:

VII.Universell substitution.

dessa formler är sanna för alla

Utbyte
kallas universell.

18) Lös ekvationen:

Lösning: Byt ut och
till deras uttryck genom
och beteckna
.

Vi får en rationell ekvation
, som omvandlas till kvadrat
.

Rötterna till denna ekvation är talen
.

Därför reducerades problemet till att lösa två ekvationer
.

Det finner vi
.

Visa värde
uppfyller inte den ursprungliga ekvationen, vilket verifieras genom att markera - substitution givet värde t till den ursprungliga ekvationen.

Svar:
.

Kommentar. Ekvation 18 skulle kunna lösas på ett annat sätt.

Dividera båda sidor av denna ekvation med 5 (dvs
):
.

Som
, så finns det ett nummer
, Vad
och
. Så ekvationen blir:
eller
. Härifrån finner vi det
var
.

19) Lös ekvationen
.

Beslut. Eftersom funktionerna
och
ha högsta värde lika med 1, då är deras summa lika med 2 if
och
, på samma gång, alltså
.

Svar:
.

Vid lösning av denna ekvation användes funktionernas avgränsning och.

Slutsats.

När du arbetar med ämnet "Lösningar av trigonometriska ekvationer", är det användbart för varje lärare att följa följande rekommendationer:

Systematisera metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.

Välj själv stegen för att utföra analysen av ekvationen och tecknen på lämpligheten att använda en eller annan lösningsmetod.

Att fundera över sätt att självkontrollera verksamheten vid implementering av metoden.

Lär dig att göra "dina" ekvationer för var och en av de studerade metoderna.

Ansökan nr 1

Lös homogena eller reducerbara ekvationer.

1.	Rep.
	Rep.

	Rep.
5.	Rep.
	Rep.
7.	Rep.
	Rep.

Videokursen "Få ett A" innehåller alla ämnen du behöver framgångsrik leverans ANVÄND i matematik för 60-65 poäng. Helt alla uppgifter 1-13 profilprov matematik. Även lämplig för att klara Basic USE i matematik. Om du vill klara provet med 90-100 poäng behöver du lösa del 1 på 30 minuter och utan misstag!

Förberedelsekurs inför tentamen för årskurs 10-11, samt för lärare. Allt du behöver för att lösa del 1 av provet i matematik (de första 12 uppgifterna) och uppgift 13 (trigonometri). Och det här är mer än 70 poäng på Unified State Examination, och varken en hundrapoängsstudent eller en humanist kan klara sig utan dem.

All nödvändig teori. Snabba sätt provets lösningar, fällor och hemligheter. Alla relevanta uppgifter i del 1 från Bank of FIPI-uppgifter har analyserats. Kursen uppfyller helt kraven i USE-2018.

Kursen innehåller 5 stora ämnen, 2,5 timmar vardera. Varje ämne ges från grunden, enkelt och tydligt.

Hundratals tentamensuppgifter. Textproblem och sannolikhetsteori. Enkla och lätta att komma ihåg problemlösningsalgoritmer. Geometri. Teori, referensmaterial, analys av alla typer av USE-uppgifter. Stereometri. Knepiga knep lösningar, användbara fuskblad, utveckling av rumslig fantasi. Trigonometri från grunden - till uppgift 13. Förstå istället för att proppa. Visuell förklaring av komplexa begrepp. Algebra. Rötter, potenser och logaritmer, funktion och derivata. Bas för lösning utmanande uppgifter 2 delar av tentamen.

Konceptet att lösa trigonometriska ekvationer.

För att lösa en trigonometrisk ekvation, konvertera den till en eller flera grundläggande trigonometriska ekvationer. Att lösa den trigonometriska ekvationen handlar i slutändan om att lösa de fyra grundläggande trigonometriska ekvationerna.

Lösning av grundläggande trigonometriska ekvationer.

Det finns 4 typer av grundläggande trigonometriska ekvationer:
sin x = a; cos x = a
tan x = a; ctg x = a
Att lösa grundläggande trigonometriska ekvationer innebär att titta på de olika x-positionerna på enhetscirkeln, samt att använda en omvandlingstabell (eller miniräknare).
Exempel 1. sin x = 0,866. Med hjälp av en omvandlingstabell (eller kalkylator) får du svaret: x = π/3. Enhetscirkeln ger ett annat svar: 2π/3. Kom ihåg: alla trigonometriska funktioner är periodiska, det vill säga deras värden upprepas. Till exempel är periodiciteten för sin x och cos x 2πn, och periodiciteten för tg x och ctg x är πn. Så svaret är skrivet så här:
xl = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Exempel 2 cos x = -1/2. Med hjälp av en omvandlingstabell (eller kalkylator) får du svaret: x = 2π/3. Enhetscirkeln ger ett annat svar: -2π/3.
xl = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
Exempel 3. tg (x - π/4) = 0.
Svar: x \u003d π / 4 + πn.
Exempel 4. ctg 2x = 1,732.
Svar: x \u003d π / 12 + πn.

Transformationer som används för att lösa trigonometriska ekvationer.

För att transformera trigonometriska ekvationer används algebraiska transformationer (faktorisering, reduktion homogena medlemmar etc.) och trigonometriska identiteter.
Exempel 5. Med hjälp av trigonometriska identiteter omvandlas ekvationen sin x + sin 2x + sin 3x = 0 till ekvationen 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Följande grundläggande trigonometriska ekvationer måste lösas: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Hitta vinklar av kända värden funktioner.
- Innan du lär dig hur du löser trigonometriska ekvationer måste du lära dig hur du hittar vinklar från kända funktionsvärden. Detta kan göras med hjälp av en omvandlingstabell eller kalkylator.
- Exempel: cos x = 0,732. Kalkylatorn ger svaret x = 42,95 grader. Enhetscirkeln kommer att ge ytterligare vinklar, vars cosinus också är lika med 0,732.
Lägg undan lösningen på enhetscirkeln.
- Du kan sätta lösningar till den trigonometriska ekvationen på enhetscirkeln. Lösningarna av den trigonometriska ekvationen på enhetscirkeln är hörnen på en vanlig polygon.
- Exempel: Lösningarna x = π/3 + πn/2 på enhetscirkeln är kvadratens hörn.
- Exempel: Lösningarna x = π/4 + πn/3 på enhetscirkeln är hörnen på en regelbunden hexagon.
Metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.
- Om en given trigonometrisk ekvation bara innehåller en trigonometrisk funktion, lös denna ekvation som en grundläggande trigonometrisk ekvation. Om en given ekvation innehåller två eller flera trigonometriska funktioner, så finns det två metoder för att lösa en sådan ekvation (beroende på möjligheten till dess transformation).
  - Metod 1
- Omvandla denna ekvation till en ekvation av formen: f(x)*g(x)*h(x) = 0, där f(x), g(x), h(x) är de grundläggande trigonometriska ekvationerna.
- Exempel 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Beslut. Använd dubbelvinkelformeln sin 2x = 2*sin x*cos x, ersätt sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Lös nu två grundläggande trigonometriska ekvationer: cos x = 0 och (sin x + 1) = 0.
- Exempel 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Lösning: Använd trigonometriska identiteter och omvandla denna ekvation till en ekvation av formen: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Lös nu två grundläggande trigonometriska ekvationer: cos 2x = 0 och (2cos x + 1) = 0.
- Exempel 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
- Lösning: Använd trigonometriska identiteter och transformera denna ekvation till en ekvation av formen: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Lös nu två grundläggande trigonometriska ekvationer: cos 2x = 0 och (2sin x + 1) = 0.
  - Metod 2
- Konvertera den givna trigonometriska ekvationen till en ekvation som bara innehåller en trigonometrisk funktion. Ersätt sedan denna trigonometriska funktion med någon okänd, till exempel t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t, etc.).
- Exempel 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Beslut. PÅ given ekvation ersätt (cos^2 x) med (1 - sin^2 x) (enligt identiteten). Den transformerade ekvationen ser ut så här:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Ersätt sin x med t. Nu ser ekvationen ut så här: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Detta är en andragradsekvation med två rötter: t1 = -1 och t2 = 9/5. Den andra roten t2 uppfyller inte intervallet för funktionen (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Exempel 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Beslut. Byt ut tg x med t. Skriv om den ursprungliga ekvationen enligt följande: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Hitta nu t och hitta sedan x för t = tg x.

Lösning av de enklaste trigonometriska ekvationerna.

Lösningen av trigonometriska ekvationer av vilken komplexitetsnivå som helst handlar i slutändan om att lösa de enklaste trigonometriska ekvationerna. Och i detta visar sig den trigonometriska cirkeln återigen vara den bästa hjälparen.

Kom ihåg definitionerna av cosinus och sinus.

Cosinus för en vinkel är abskissan (det vill säga koordinaten längs axeln) för en punkt på enhetscirkeln som motsvarar rotation med en given vinkel.

En vinkels sinus är ordinatan (det vill säga koordinaten längs axeln) för en punkt på enhetscirkeln som motsvarar rotation med en given vinkel.

Den positiva rörelseriktningen längs den trigonometriska cirkeln anses vara rörelse moturs. En rotation på 0 grader (eller 0 radianer) motsvarar en punkt med koordinater (1; 0)

Vi använder dessa definitioner för att lösa de enklaste trigonometriska ekvationerna.

1. Lös ekvationen

Denna ekvation är uppfylld av alla sådana värden på rotationsvinkeln, som motsvarar cirkelns punkter, vars ordinata är lika med .

Låt oss markera en punkt med ordinata på y-axeln:

Låt oss spendera vågrät linje parallellt med x-axeln tills den skär cirkeln. Vi kommer att få två punkter som ligger på en cirkel och har en ordinata. Dessa punkter motsvarar rotationsvinklar och radianer:

Om vi, efter att ha lämnat den punkt som motsvarar rotationsvinkeln per radian, går runt en hel cirkel, så kommer vi till en punkt som motsvarar rotationsvinkeln per radian och har samma ordinata. Det vill säga, denna rotationsvinkel uppfyller också vår ekvation. Vi kan göra så många "tomgång" som vi vill och återgå till samma punkt, och alla dessa vinkelvärden kommer att uppfylla vår ekvation. Antalet "tomgångsvarv" betecknas med bokstaven (eller). Eftersom vi kan göra dessa varv i både positiva och negativa riktningar, kan (eller ) anta alla heltalsvärden.

Det vill säga, den första serien av lösningar till den ursprungliga ekvationen har formen:

, , - uppsättning heltal (1)

På liknande sätt har den andra serien av lösningar formen:

, var , . (2)

Som du gissat är denna serie av lösningar baserad på cirkelpunkten som motsvarar rotationsvinkeln med .

Dessa två serier av lösningar kan kombineras till en post:

Om vi tar in den här posten (det vill säga till och med), kommer vi att få den första serien av lösningar.

Om vi tar in den här posten (det vill säga udda), kommer vi att få den andra serien av lösningar.

2. Låt oss nu lösa ekvationen

Eftersom är abskissan för punkten i enhetscirkeln som erhålls genom att vrida genom vinkeln, markerar vi på axeln en punkt med abskissan:

Rita en vertikal linje parallellt med axeln tills den skär cirkeln. Vi kommer att få två punkter som ligger på en cirkel och har en abskissa. Dessa punkter motsvarar rotationsvinklar och radianer. Kom ihåg att när vi rör oss medurs får vi en negativ rotationsvinkel:

Vi skriver ner två serier av lösningar:

(Vi faller i önskad punkt, går från den huvudsakliga helcirkeln, det vill säga.

Låt oss kombinera dessa två serier till ett inlägg:

3. Lös ekvationen

Tangentlinjen går genom punkten med koordinater (1,0) för enhetscirkeln parallella med OY-axeln

Markera en punkt på den med en ordinata lika med 1 (vi letar efter tangenten vars vinklar är 1):

Anslut denna punkt till origo med en rät linje och markera linjens skärningspunkter med enhetscirkeln. Skärningspunkterna för linjen och cirkeln motsvarar rotationsvinklarna på och:

Eftersom punkterna som motsvarar rotationsvinklarna som uppfyller vår ekvation ligger radianer isär, kan vi skriva lösningen så här:

4. Lös ekvationen

Linjen av kotangenser går genom punkten med koordinaterna för enhetscirkeln parallella med axeln.

Vi markerar en punkt med abskissan -1 på raden av cotangenter:

Anslut denna punkt till utgångspunkten för den räta linjen och fortsätt den tills den skär cirkeln. Denna linje kommer att skära cirkeln vid punkter som motsvarar rotationsvinklar och radianer: