Problem på andragradsekvationen studeras också i Läroplanen och på universiteten. De förstås som ekvationer av formen a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, där x- variabel, a,b,c – konstanter; a<>0 . Problemet är att hitta rötterna till ekvationen.

Den geometriska betydelsen av andragradsekvationen

Grafen för en funktion som representeras av en andragradsekvation är en parabel. Lösningarna (rötterna) till en andragradsekvation är skärningspunkterna mellan parabeln och x-axeln. Det följer att det finns tre möjliga fall:
1) parabeln har inga skärningspunkter med x-axeln. Det betyder att den är i det övre planet med grenar uppåt eller det nedre med grenar neråt. I sådana fall har andragradsekvationen inga riktiga rötter (den har två komplexa rötter).

2) parabeln har en skärningspunkt med axeln Ox. En sådan punkt kallas parabelns vertex, och andragradsekvationen i den får sitt lägsta eller maximala värde. I det här fallet har andragradsekvationen en reell rot (eller två identiska rötter).

3) Det sista fallet är mer intressant i praktiken - det finns två skärningspunkter mellan parabeln och abskissaxeln. Det betyder att det finns två reella rötter till ekvationen.

Baserat på analysen av koefficienterna vid variablernas potenser kan intressanta slutsatser dras om parabelns placering.

1) Om koefficienten a är större än noll så är parabeln riktad uppåt, om den är negativ är parabelns grenar riktade nedåt.

2) Om koefficienten b är större än noll, så ligger parabelns vertex i det vänstra halvplanet, om det tar ett negativt värde, då i det högra.

Härledning av en formel för att lösa en andragradsekvation

Låt oss överföra konstanten från andragradsekvationen

för likhetstecknet får vi uttrycket

Multiplicera båda sidor med 4a

För att få en hel ruta till vänster, lägg till b ^ 2 i båda delarna och utför omvandlingen

Härifrån finner vi

Formel för diskriminant och andragradsekvationens rötter

Diskriminanten är värdet på det radikala uttrycket. Om det är positivt har ekvationen två reella rötter, beräknade med formeln När diskriminanten är noll har andragradsekvationen en lösning (två sammanfallande rötter), som är lätta att få från ovanstående formel för D=0. När diskriminanten är negativ finns det inga reella rötter. Men för att studera lösningarna av den kvadratiska ekvationen i det komplexa planet, och deras värde beräknas med formeln

Vietas sats

Betrakta två rötter av en andragradsekvation och konstruera en andragradsekvation på grundval av dessa.Vieta-satsen själv följer lätt av notationen: om vi har en andragradsekvation av formen då är summan av dess rötter lika med koefficienten p, taget med motsatt tecken, och produkten av ekvationens rötter är lika med den fria termen q. Formeln för ovanstående kommer att se ut som Om konstanten a i den klassiska ekvationen inte är noll, måste du dividera hela ekvationen med den och sedan tillämpa Vieta-satsen.

Schema för andragradsekvationen på faktorer

Låt uppgiften bestämmas: att dekomponera andragradsekvationen i faktorer. För att utföra det löser vi först ekvationen (hitta rötterna). Därefter ersätter vi de hittade rötterna i formeln för att expandera andragradsekvationen. Detta problem kommer att lösas.

Uppgifter för en andragradsekvation

Uppgift 1. Hitta rötterna till en andragradsekvation

x^2-26x+120=0 .

Lösning: Skriv ner koefficienterna och ersätt i diskriminantformeln

roten av givet värde lika med 14, det är lätt att hitta det med en miniräknare, eller komma ihåg det med frekvent användning, men för enkelhetens skull kommer jag i slutet av artikeln att ge dig en lista över kvadrater med tal som ofta kan hittas i sådana uppgifter .
Det hittade värdet ersätts med rotformeln

och vi får

Uppgift 2. lösa ekvationen

2x2+x-3=0.

Lösning: Vi har en komplett andragradsekvation, skriver ut koefficienterna och hittar diskriminanten


Förbi kända formler hitta rötterna till andragradsekvationen

Uppgift 3. lösa ekvationen

9x2 -12x+4=0.

Lösning: Vi har en komplett andragradsekvation. Bestäm diskriminanten

Vi fick fallet när rötterna sammanfaller. Vi hittar rötternas värden genom formeln

Uppgift 4. lösa ekvationen

x^2+x-6=0 .

Lösning: I fall där det finns små koefficienter för x, är det lämpligt att tillämpa Vieta-satsen. Genom dess tillstånd får vi två ekvationer

Från det andra villkoret får vi att produkten måste vara lika med -6. Det betyder att en av rötterna är negativ. Vi har följande möjliga lösningspar(-3;2), (3;-2) . Med hänsyn till det första villkoret förkastar vi det andra paret av lösningar.
Rötterna till ekvationen är

Uppgift 5. Hitta längderna på sidorna i en rektangel om dess omkrets är 18 cm och arean är 77 cm 2.

Lösning: Halva omkretsen av en rektangel är lika med summan av de intilliggande sidorna. Låt oss beteckna x - stora sidan, då är 18-x dess mindre sida. Arean av en rektangel är lika med produkten av dessa längder:
x(18x)=77;
eller
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Hitta ekvationens diskriminant

Vi beräknar rötterna till ekvationen

Om en x=11, sedan 18x=7 , vice versa är också sant (om x=7, då 21-x=9).

Uppgift 6. Faktorisera den kvadratiska 10x 2 -11x+3=0 ekvationen.

Lösning: Beräkna rötterna till ekvationen, för detta hittar vi diskriminanten

Vi ersätter det hittade värdet i formeln för rötterna och beräknar

Vi tillämpar formeln för att expandera andragradsekvationen i termer av rötter

Genom att utöka parentesen får vi identiteten.

Andragradsekvation med parameter

Exempel 1. För vilka värden på parametern en , har ekvationen (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 en rot?

Lösning: Genom direkt substitution av värdet a=3 ser vi att det inte har någon lösning. Vidare kommer vi att använda det faktum att med en nolldiskriminant har ekvationen en rot av multiplicitet 2. Låt oss skriva ut diskriminanten

förenkla det och sätt lika med noll

Vi har erhållit en andragradsekvation med avseende på parametern a, vars lösning är lätt att få med hjälp av Vieta-satsen. Summan av rötterna är 7, och deras produkt är 12. Genom enkel uppräkning slår vi fast att talen 3.4 kommer att vara rötterna till ekvationen. Eftersom vi redan har förkastat lösningen a=3 i början av beräkningarna, kommer den enda korrekta att vara - a=4. Således, för a = 4, har ekvationen en rot.

Exempel 2. För vilka värden av parametern en , ekvationen a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 har mer än en rot?

Lösning: Tänk först på singularpunkterna, de kommer att vara värdena a=0 och a=-3. När a=0 kommer ekvationen att förenklas till formen 6x-9=0; x=3/2 och det kommer att finnas en rot. För a= -3 får vi identiteten 0=0 .
Beräkna diskriminanten

och hitta värdena för en som den är positiv för

Från det första villkoret får vi a>3. För det andra hittar vi diskriminanten och ekvationens rötter


Låt oss definiera intervallen där funktionen tar positiva värden. Genom att ersätta punkten a=0 får vi 3>0 . Så utanför intervallet (-3; 1/3) är funktionen negativ. Glöm inte pricken a=0 som bör uteslutas, eftersom den ursprungliga ekvationen i den har en rot.
Som ett resultat får vi två intervall som uppfyller problemets tillstånd

Det kommer att finnas många liknande uppgifter i praktiken, försök att ta itu med uppgifterna själv och glöm inte att ta hänsyn till förhållanden som utesluter varandra. Studera väl formlerna för att lösa andragradsekvationer, de behövs ganska ofta i beräkningar inom olika problem och vetenskaper.

PÅ moderna samhället förmågan att utföra operationer med ekvationer som innehåller en kvadratisk variabel kan vara användbar inom många verksamhetsområden och används ofta i praktiken inom vetenskapliga och teknisk utveckling. Detta kan bevisas av utformningen av sjö- och flodfartyg, flygplan och missiler. Med hjälp av sådana beräkningar bestäms banorna för rörelsen av olika kroppar, inklusive rymdobjekt. Exempel med lösning av kvadratiska ekvationer används inte bara i ekonomiska prognoser, vid design och konstruktion av byggnader, utan också under de vanligaste vardagliga omständigheterna. De kan behövas i vandringsresor, på sport, i butiker när du handlar och i andra mycket vanliga situationer.

Låt oss dela upp uttrycket i komponentfaktorer

Graden av en ekvation bestäms av maxvärdet för graden av variabeln som det givna uttrycket innehåller. Om det är lika med 2, så kallas en sådan ekvation en andragradsekvation.

Om vi ​​talar på formlerspråk, så kan dessa uttryck, oavsett hur de ser ut, alltid föras till formen när den vänstra sidan av uttrycket består av tre termer. Bland dem: axe 2 (det vill säga en variabel kvadratisk med sin koefficient), bx (en okänd utan en kvadrat med sin koefficient) och c (fri komponent, det vill säga ett vanligt tal). Allt detta är lika med 0 på höger sida. I fallet när ett sådant polynom inte har en av sina beståndsdelar, med undantag för axel 2, kallas det en ofullständig andragradsekvation. Exempel på lösning av sådana problem, där värdet på variablerna inte är svårt att hitta, bör övervägas först.

Om uttrycket ser ut så att det finns två termer på höger sida av uttrycket, närmare bestämt ax 2 och bx, är det lättast att hitta x genom att placera variabeln inom parentes. Nu kommer vår ekvation att se ut så här: x(ax+b). Vidare blir det uppenbart att antingen x=0, eller så reduceras problemet till att hitta en variabel från följande uttryck: ax+b=0. Detta dikteras av en av egenskaperna för multiplikation. Regeln säger att produkten av två faktorer resulterar i 0 endast om en av dem noll-.

Exempel

x=0 eller 8x - 3 = 0

Som ett resultat får vi två rötter av ekvationen: 0 och 0,375.

Ekvationer av detta slag kan beskriva kroppars rörelse under gravitationens inverkan, som började röra sig från en viss punkt, taget som ursprung. Här matematisk notation har följande form: y = v 0 t + gt 2 /2. Genom att ersätta de nödvändiga värdena, likställa den högra sidan med 0 och hitta möjliga okända, kan du ta reda på tiden som förflutit från det ögonblick kroppen stiger till det ögonblick den faller, såväl som många andra storheter. Men vi kommer att prata om detta senare.

Faktorering av ett uttryck

Regeln som beskrivs ovan gör det möjligt att lösa dessa problem och mer svåra fall. Betrakta exempel med lösningen av andragradsekvationer av denna typ.

X2 - 33x + 200 = 0

Detta kvadratisk trinomiumär komplett. Först omvandlar vi uttrycket och bryter ner det i faktorer. Det finns två av dem: (x-8) och (x-25) = 0. Som ett resultat har vi två rötter 8 och 25.

Exempel med lösningen av andragradsekvationer i årskurs 9 gör att denna metod kan hitta en variabel i uttryck inte bara av andra, utan även av tredje och fjärde ordningen.

Till exempel: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. När man faktoriserar höger sida i faktorer med en variabel, finns det tre av dem, det vill säga (x + 1), (x-3) och (x + 3).

Som ett resultat blir det uppenbart att given ekvation har tre rötter: -3; -ett; 3.

Extrahera kvadratroten

Ett annat fall av en ofullständig andra ordningens ekvation är ett uttryck skrivet på bokstävernas språk på ett sådant sätt att den högra sidan är uppbyggd av komponenterna ax 2 och c. Här, för att få värdet på variabeln, överförs den fria termen till höger sida, och efter det, från båda delarna av jämlikheten, Roten ur. Det bör noteras att i detta fall finns det vanligtvis två rötter till ekvationen. De enda undantagen är likheter som inte alls innehåller termen c, där variabeln är lika med noll, samt varianter av uttryck när den högra sidan visar sig vara negativ. I det senare fallet finns det inga lösningar alls, eftersom ovanstående åtgärder inte kan utföras med rötter. Exempel på lösningar till andragradsekvationer av denna typ bör övervägas.

I det här fallet kommer rötterna till ekvationen att vara talen -4 och 4.

Beräkning av arean av land

Behovet av denna typ av beräkningar dök upp i antiken, eftersom utvecklingen av matematiken till stor del ligger i de avlägsna tider berodde på behovet av att med största noggrannhet bestämma områdena och omkretsen av tomtmark.

Vi bör också överväga exempel med lösning av andragradsekvationer sammanställda på basis av problem av detta slag.

Så låt oss säga att det finns rektangulärt område land, vars längd är 16 meter mer än bredden. Du bör hitta webbplatsens längd, bredd och omkrets, om det är känt att dess yta är 612 m 2.

För att börja med kommer vi att göra den nödvändiga ekvationen. Låt oss beteckna sektionens bredd som x, då blir dess längd (x + 16). Det följer av det som har skrivits att arean bestäms av uttrycket x (x + 16), som, enligt tillståndet för vårt problem, är 612. Det betyder att x (x + 16) \u003d 612.

Lösningen av kompletta andragradsekvationer, och detta uttryck är just det, kan inte göras på samma sätt. Varför? Även om den vänstra sidan av den fortfarande innehåller två faktorer, är produkten av dem inte alls 0, så andra metoder används här.

Diskriminerande

Först och främst gör vi de nödvändiga omvandlingarna utseende detta uttryck kommer att se ut så här: x 2 + 16x - 612 = 0. Det betyder att vi har fått ett uttryck i den form som motsvarar den tidigare angivna standarden, där a=1, b=16, c=-612.

Detta kan vara ett exempel på att lösa andragradsekvationer genom diskriminanten. Här nödvändiga beräkningar produceras enligt schemat: D = b 2 - 4ac. Detta hjälpvärde gör det inte bara möjligt att hitta de önskade värdena i andra ordningens ekvation, det bestämmer antalet alternativ. I fallet D>0 finns det två av dem; för D=0 finns en rot. I fall D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Om rötter och deras formel

I vårt fall är diskriminanten: 256 - 4(-612) = 2704. Detta indikerar att vårt problem har ett svar. Om du vet, måste lösningen av andragradsekvationer fortsätta med formeln nedan. Det låter dig beräkna rötterna.

Detta betyder att i det presenterade fallet: x 1 =18, x 2 =-34. Det andra alternativet i detta dilemma kan inte vara en lösning, eftersom storleken på tomten inte kan mätas i negativa värden, vilket innebär att x (det vill säga bredden på tomten) är 18 m. Härifrån beräknar vi längden: 18+16=34, och omkretsen 2(34+18) = 104 (m2).

Exempel och uppgifter

Vi fortsätter studiet av andragradsekvationer. Exempel och en detaljerad lösning av flera av dem kommer att ges nedan.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Låt oss överföra allt till vänster sida av likheten, göra en transformation, det vill säga att vi får formen av ekvationen, som brukar kallas standarden, och likställa den till noll.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Efter att ha lagt till liknande, bestämmer vi diskriminanten: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Så vår ekvation kommer att ha två rötter. Vi beräknar dem enligt ovanstående formel, vilket innebär att den första av dem kommer att vara lika med 4/3 och den andra 1.

2) Nu ska vi avslöja gåtor av ett annat slag.

Låt oss ta reda på om det överhuvudtaget finns rötter x 2 - 4x + 5 = 1 här? För att få ett uttömmande svar tar vi polynomet till motsvarande välbekanta form och beräknar diskriminanten. I det här exemplet är det inte nödvändigt att lösa andragradsekvationen, eftersom kärnan i problemet inte alls ligger i detta. I det här fallet D \u003d 16 - 20 \u003d -4, vilket betyder att det verkligen inte finns några rötter.

Vietas sats

Det är bekvämt att lösa andragradsekvationer genom formlerna ovan och diskriminanten, när kvadratroten extraheras från värdet av den senare. Men detta händer inte alltid. Det finns dock många sätt att få värdena för variabler i det här fallet. Exempel: lösa andragradsekvationer med hjälp av Vietas sats. Den är uppkallad efter en man som levde i 1500-talets Frankrike och hade en lysande karriär tack vare sin matematiska talang och förbindelser vid hovet. Hans porträtt kan ses i artikeln.

Mönstret som den berömda fransmannen lade märke till var följande. Han bevisade att summan av ekvationens rötter är lika med -p=b/a, och deras produkt motsvarar q=c/a.

Låt oss nu titta på specifika uppgifter.

3x2 + 21x - 54 = 0

För enkelhetens skull, låt oss omvandla uttrycket:

x 2 + 7x - 18 = 0

Med hjälp av Vieta-satsen kommer detta att ge oss följande: summan av rötterna är -7, och deras produkt är -18. Härifrån får vi att rötterna till ekvationen är talen -9 och 2. Efter att ha gjort en kontroll kommer vi att se till att dessa värden på variablerna verkligen passar in i uttrycket.

Graf och ekvation av en parabel

Begreppen kvadratisk funktion och Kvadratisk ekvation tätt sammankopplade. Exempel på detta har redan givits tidigare. Låt oss nu titta på några matematiska pussel lite mer detaljerat. Vilken ekvation som helst av den beskrivna typen kan representeras visuellt. Ett sådant beroende, ritat i form av en graf, kallas en parabel. Dess olika typer visas i figuren nedan.

Varje parabel har en vertex, det vill säga en punkt från vilken dess grenar kommer ut. Om a>0 går de högt till oändlighet, och när a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Visuella representationer av funktioner hjälper till att lösa alla ekvationer, inklusive kvadratiska. Denna metod kallas grafisk. Och värdet på x-variabeln är abskisskoordinaten vid de punkter där graflinjen skär 0x. Koordinaterna för vertex kan hittas med formeln som just ges x 0 = -b / 2a. Och genom att ersätta det resulterande värdet i funktionens ursprungliga ekvation kan du ta reda på y 0, det vill säga den andra koordinaten för parabelns vertex som hör till y-axeln.

Skärningen av parabelns grenar med abskissaxeln

Det finns många exempel på lösning av andragradsekvationer, men det finns också generella mönster. Låt oss överväga dem. Det är tydligt att skärningen av grafen med 0x-axeln för a>0 endast är möjlig om y 0 tar negativa värden. Och för en<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Annars D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Från grafen för en parabel kan du också bestämma rötterna. Det omvända är också sant. Det vill säga, om det inte är lätt att få en visuell representation av en kvadratisk funktion, kan du likställa den högra sidan av uttrycket med 0 och lösa den resulterande ekvationen. Och genom att känna till skärningspunkterna med 0x-axeln är det lättare att plotta.

Från historien

Med hjälp av ekvationer som innehåller en kvadratisk variabel, i gamla dagar, gjorde inte bara matematiska beräkningar och bestämde arean av geometriska former. De gamla behövde sådana beräkningar för storslagna upptäckter inom fysik och astronomi, såväl som för att göra astrologiska prognoser.

Som moderna vetenskapsmän föreslår var invånarna i Babylon bland de första att lösa andragradsekvationer. Det hände fyra århundraden före vår tideräknings tillkomst. Naturligtvis var deras beräkningar fundamentalt annorlunda än de som för närvarande accepteras och visade sig vara mycket mer primitiva. Till exempel hade mesopotamiska matematiker ingen aning om förekomsten av negativa tal. De var också obekanta med andra subtiliteter av dem som någon student i vår tid kände till.

Kanske till och med tidigare än Babylons vetenskapsmän tog vismannen från Indien, Baudhayama, upp lösningen av andragradsekvationer. Detta hände ungefär åtta århundraden före Kristi era. Det är sant att andra ordningens ekvationer, de metoder för att lösa som han gav, var de enklaste. Förutom honom var kinesiska matematiker också intresserade av liknande frågor förr i tiden. I Europa började andragradsekvationer lösas först i början av 1200-talet, men senare användes de i deras arbete av så stora vetenskapsmän som Newton, Descartes och många andra.

Andragradsekvationer studeras i årskurs 8, så det är inget komplicerat här. Förmågan att lösa dem är avgörande.

En andragradsekvation är en ekvation av formen ax 2 + bx + c = 0, där koefficienterna a , b och c är godtyckliga tal, och a ≠ 0.

Innan vi studerar specifika lösningsmetoder, noterar vi att alla andragradsekvationer kan delas in i tre klasser:

1. Har inga rötter;
2. De har exakt en rot;
3. De har två olika rötter.

Detta är en viktig skillnad mellan kvadratiska och linjära ekvationer, där roten alltid finns och är unik. Hur avgör man hur många rötter en ekvation har? Det finns en underbar sak för detta - diskriminerande.

Diskriminerande

Låt andragradsekvationen ax 2 + bx + c = 0. Då är diskriminanten helt enkelt talet D = b 2 − 4ac .

Denna formel måste vara känd utantill. Var det kommer ifrån är inte viktigt nu. En annan sak är viktig: genom diskriminantens tecken kan du bestämma hur många rötter en andragradsekvation har. Nämligen:

1. Om D< 0, корней нет;
2. Om D = 0 finns det exakt en rot;
3. Om D > 0 kommer det att finnas två rötter.

Observera: diskriminanten indikerar antalet rötter, och inte alls deras tecken, som många av någon anledning tror. Ta en titt på exemplen så förstår du allt själv:

En uppgift. Hur många rötter har andragradsekvationer:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Vi skriver koefficienterna för den första ekvationen och hittar diskriminanten:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Så diskriminanten är positiv, så ekvationen har två olika rötter. Vi analyserar den andra ekvationen på samma sätt:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminanten är negativ, det finns inga rötter. Den sista ekvationen kvarstår:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminanten är lika med noll - roten kommer att vara en.

Observera att koefficienter har skrivits ut för varje ekvation. Ja, det är långt, ja, det är tråkigt - men du kommer inte att blanda ihop oddsen och inte göra dumma misstag. Välj själv: hastighet eller kvalitet.

Förresten, om du "fyller din hand", efter ett tag behöver du inte längre skriva ut alla koefficienter. Du kommer att utföra sådana operationer i ditt huvud. De flesta börjar göra detta någonstans efter 50-70 lösta ekvationer - i allmänhet inte så mycket.

Rötterna till en andragradsekvation

Låt oss nu gå vidare till lösningen. Om diskriminanten D > 0, kan rötterna hittas med formlerna:

Grundformeln för rötterna till en andragradsekvation

När D = 0 kan du använda vilken som helst av dessa formler - du får samma tal, vilket blir svaret. Slutligen, om D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2 x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Första ekvationen:
x 2 - 2 x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ekvationen har två rötter. Låt oss hitta dem:

Andra ekvationen:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ ekvationen har återigen två rötter. Låt oss hitta dem

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Slutligen den tredje ekvationen:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ekvationen har en rot. Vilken formel som helst kan användas. Till exempel den första:

Som du kan se från exemplen är allt väldigt enkelt. Om du kan formlerna och kan räkna blir det inga problem. Oftast uppstår fel när negativa koefficienter ersätts i formeln. Här, återigen, kommer tekniken som beskrivs ovan att hjälpa: titta på formeln bokstavligen, måla varje steg - och bli av med misstag mycket snart.

Ofullständiga andragradsekvationer

Det händer att andragradsekvationen skiljer sig något från vad som anges i definitionen. Till exempel:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Det är lätt att se att en av termerna saknas i dessa ekvationer. Sådana andragradsekvationer är ännu lättare att lösa än standardekvationer: de behöver inte ens beräkna diskriminanten. Så låt oss introducera ett nytt koncept:

Ekvationen ax 2 + bx + c = 0 kallas en ofullständig andragradsekvation om b = 0 eller c = 0, d.v.s. koefficienten för variabeln x eller det fria elementet är lika med noll.

Naturligtvis är ett mycket svårt fall möjligt när båda dessa koefficienter är lika med noll: b \u003d c \u003d 0. I det här fallet tar ekvationen formen ax 2 \u003d 0. Uppenbarligen har en sådan ekvation en enda rot: x \u003d 0.

Låt oss överväga andra fall. Låt b \u003d 0, då får vi en ofullständig andragradsekvation av formen ax 2 + c \u003d 0. Låt oss omvandla det något:

Eftersom den aritmetiska kvadratroten endast existerar från ett icke-negativt tal, är den sista likheten vettig endast när (−c / a ) ≥ 0. Slutsats:

1. Om en ofullständig andragradsekvation av formen ax 2 + c = 0 uppfyller olikheten (−c / a ) ≥ 0, kommer det att finnas två rötter. Formeln ges ovan;
2. Om (−c/a)< 0, корней нет.

Som du kan se krävdes inte diskriminanten - det finns inga komplicerade beräkningar alls i ofullständiga andragradsekvationer. Det är faktiskt inte ens nödvändigt att komma ihåg olikheten (−c / a ) ≥ 0. Det räcker med att uttrycka värdet på x 2 och se vad som finns på andra sidan likhetstecknet. Om det finns ett positivt tal kommer det att finnas två rötter. Om det är negativt kommer det inte att finnas några rötter alls.

Låt oss nu ta itu med ekvationer av formen ax 2 + bx = 0, där det fria elementet är lika med noll. Allt är enkelt här: det kommer alltid att finnas två rötter. Det räcker att faktorisera polynomet:

Att ta den gemensamma faktorn ur fästet

Produkten är lika med noll när minst en av faktorerna är lika med noll. Det är härifrån rötterna kommer. Avslutningsvis kommer vi att analysera flera av dessa ekvationer:

En uppgift. Lös andragradsekvationer:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Det finns inga rötter, eftersom kvadraten kan inte vara lika med ett negativt tal.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Kvadratisk ekvation. Diskriminerande. Lösning, exempel.

Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som starkt "inte särskilt..."
Och för dem som "väldigt mycket...")

Typer av andragradsekvationer

Vad är en andragradsekvation? Vad ser det ut som? I sikt andragradsekvation nyckelord är "fyrkant". Det betyder att i ekvationen nödvändigtvis det måste finnas ett x-kvadrat. Utöver det kan det i ekvationen finnas (eller kanske inte finns!) Bara x (till första graden) och bara ett tal (gratis medlem). Och det bör inte finnas x i en grad större än två.

I matematiska termer är en andragradsekvation en ekvation av formen:

Här a, b och c- några siffror. b och c- absolut vilken som helst, men a- allt annat än noll. Till exempel:

Här a =1; b = 3; c = -4

Här a =2; b = -0,5; c = 2,2

Här a =-3; b = 6; c = -18

Tja, ni fattar...

I dessa andragradsekvationer, till vänster, finns det hela uppsättningen medlemmar. x i kvadrat med koefficient en, x till den första potensen med koefficient b och gratis medlem av

Sådana andragradsekvationer kallas komplett.

Tänk om b= 0, vad får vi? Vi har X kommer att försvinna i första graden. Detta sker genom att multiplicera med noll.) Det visar sig till exempel:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x2 +4x=0

Etc. Och om båda koefficienterna b och cär lika med noll, då är det ännu enklare:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Sådana ekvationer, där något saknas, kallas ofullständiga andragradsekvationer. Vilket är ganska logiskt.) Observera att x i kvadrat finns i alla ekvationer.

Förresten varför a kan inte vara noll? Och du ersätter istället a noll.) Xet i rutan försvinner! Ekvationen blir linjär. Och det är gjort annorlunda...

Det är alla huvudtyperna av andragradsekvationer. Komplett och ofullständig.

Lösning av andragradsekvationer.

Lösning av kompletta andragradsekvationer.

Andragradsekvationer är lätta att lösa. Genom formler och tydlig enkla regler. I det första skedet behöver du given ekvation leda till standardformulär, dvs. till utsikten:

Om ekvationen redan ges till dig i det här formuläret, behöver du inte göra det första steget.) Det viktigaste är att korrekt bestämma alla koefficienter, a, b och c.

Formeln för att hitta rötterna till en andragradsekvation ser ut så här:

Uttrycket under rottecknet kallas diskriminerande. Men mer om honom nedan. Som du kan se använder vi för att hitta x endast a, b och c. De där. koefficienter från andragradsekvationen. Byt bara ut värdena försiktigt a, b och c in i denna formel och räkna. Ersättning med dina tecken! Till exempel i ekvationen:

a =1; b = 3; c= -4. Här skriver vi:

Exempel nästan löst:

Detta är svaret.

Allt är väldigt enkelt. Och vad tror du, du kan inte gå fel? Ja, hur...

De vanligaste misstagen är förväxling med värdens tecken a, b och c. Eller snarare, inte med sina tecken (var finns det att bli förvirrad?), utan med substitutionen negativa värden i formeln för att beräkna rötterna. Här sparas en detaljerad förteckning över formeln med specifika siffror. Om det finns problem med beräkningar, så gör det!

Anta att vi behöver lösa följande exempel:

Här a = -6; b = -5; c = -1

Låt oss säga att du vet att du sällan får svar första gången.

Var inte lat. Det tar 30 sekunder att skriva en extra rad och antalet fel kommer att sjunka kraftigt. Så vi skriver i detalj, med alla parenteser och tecken:

Det verkar otroligt svårt att måla så noggrant. Men det verkar bara. Försök. Tja, eller välj. Vilket är bättre, snabbt eller rätt? Dessutom kommer jag att göra dig lycklig. Efter ett tag kommer det inte att finnas något behov av att måla allt så noggrant. Det kommer att lösa sig helt rätt. Speciellt om du tillämpar praktiska tekniker, som beskrivs nedan. Detta onda exempel med en massa minus kommer att lösas enkelt och utan fel!

Men ofta ser andragradsekvationer något annorlunda ut. Till exempel, så här:

Visste du?) Ja! Det ofullständiga andragradsekvationer.

Lösning av ofullständiga andragradsekvationer.

De kan också lösas med den allmänna formeln. Du behöver bara ta reda på vad som är lika här a, b och c.

Insett? I det första exemplet a = 1; b = -4; a c? Det finns inte alls! Jo, det stämmer. I matematik betyder det det c = 0 ! Det är allt. Ersätt noll i formeln istället för c, och allt kommer att lösa sig för oss. Likadant med det andra exemplet. Endast noll har vi inte här Med, a b !

Men ofullständiga andragradsekvationer kan lösas mycket lättare. Utan några formler. Tänk på det första ofullständig ekvation. Vad kan göras på vänster sida? Du kan ta X:et ur parentes! Låt oss ta ut den.

Och vad sägs om det? Och det faktum att produkten är lika med noll om, och bara om någon av faktorerna är lika med noll! Tror du inte? Tja, kom då på två icke-nolltal som, när de multipliceras, ger noll!
Fungerar inte? Något...
Därför kan vi med tillförsikt skriva: x 1 = 0, x 2 = 4.

Allt. Dessa kommer att vara rötterna till vår ekvation. Båda passar. När vi substituerar någon av dem i den ursprungliga ekvationen får vi den korrekta identiteten 0 = 0. Som du kan se är lösningen mycket enklare än den allmänna formeln. Jag noterar förresten vilket X som kommer att vara det första och vilket det andra - det är absolut likgiltigt. Lätt att skriva i ordning x 1- beroende på vilket som är mindre x 2- det som är mer.

Den andra ekvationen kan också enkelt lösas. Vi flyttar 9 till höger sida. Vi får:

Det återstår att extrahera roten från 9, och det är det. Skaffa sig:

också två rötter . x 1 = -3, x 2 = 3.

Så här löses alla ofullständiga andragradsekvationer. Antingen genom att ta x ur parentes, eller enkel överföring nummer till höger, följt av rotextraktion.
Det är extremt svårt att blanda ihop dessa metoder. Helt enkelt för att du i det första fallet måste extrahera roten från X, vilket på något sätt är obegripligt, och i det andra fallet finns det inget att ta ur parentes ...

Diskriminerande. Diskriminerande formel.

magiskt ord diskriminerande ! En sällsynt gymnasieelev har inte hört detta ord! Frasen "bestämma genom diskriminanten" är lugnande och lugnande. För det finns ingen anledning att vänta på tricks från diskriminanten! Det är enkelt och problemfritt i hanteringen.) Jag påminner dig mest om allmän formel för lösningar några Kvadratisk ekvation:

Uttrycket under rottecknet kallas diskriminant. Diskriminanten betecknas vanligtvis med bokstaven D. Diskriminerande formel:

D = b 2 - 4ac

Och vad är det som är så speciellt med detta uttryck? Varför förtjänar den ett speciellt namn? Vad betydelsen av diskriminanten? Trots allt -b, eller 2a i den här formeln namnger de inte specifikt ... Bokstäver och bokstäver.

Poängen är detta. När man löser en andragradsekvation med denna formel är det möjligt endast tre fall.

1. Diskriminanten är positiv. Det betyder att du kan extrahera roten från den. Om roten utvinns bra eller dåligt är en annan fråga. Det är viktigt vad som tas ut i princip. Då har din andragradsekvation två rötter. Två olika lösningar.

2. Diskriminanten är noll. Då har du en lösning. Eftersom att addera eller subtrahera noll i täljaren ändrar ingenting. Strängt taget är detta inte en enda rot, men två identiska. Men i en förenklad version är det vanligt att tala om en lösning.

3. Diskriminanten är negativ. Ett negativt tal tar inte kvadratroten. Okej. Det betyder att det inte finns några lösningar.

För att vara ärlig, kl enkel lösning andragradsekvationer är begreppet diskriminant inte särskilt nödvändigt. Vi ersätter värdena på koefficienterna i formeln och vi överväger. Där blir allt av sig självt, och två rötter, och en, och inte en enda. Dock när man löser mer svåra uppgifter, utan kunskap mening och diskriminerande formel inte tillräckligt. Speciellt - i ekvationer med parametrar. Sådana ekvationer är aerobatik för GIA och Unified State Examination!)

Så, hur man löser andragradsekvationer genom diskriminanten du kom ihåg. Eller lärt sig, vilket inte heller är dåligt.) Du vet hur man korrekt identifierar a, b och c. Vet du hur försiktigt ersätt dem i rotformeln och försiktigt räkna resultatet. Förstod du att nyckelordet här är - försiktigt?

Notera nu de praktiska teknikerna som dramatiskt minskar antalet fel. Just de som beror på ouppmärksamhet ... För vilka det sedan är smärtsamt och förolämpande ...

Första mottagningen . Var inte lat innan du löser en andragradsekvation för att få den till en standardform. Vad betyder det här?
Antag att du efter några transformationer får följande ekvation:

Ha inte bråttom att skriva formeln för rötterna! Du kommer nästan säkert att blanda ihop oddsen a, b och c. Bygg exemplet rätt. Först x kvadrat, sedan utan kvadrat, sedan en fri medlem. Så här:

Och återigen, skynda inte! Minuset före x-rutan kan störa dig mycket. Att glömma det är lätt... Bli av med minuset. Hur? Ja, som lärde ut i föregående ämne! Vi måste multiplicera hela ekvationen med -1. Vi får:

Och nu kan du säkert skriva ner formeln för rötterna, beräkna diskriminanten och slutföra exemplet. Bestäm själv. Du bör sluta med rötterna 2 och -1.

Andra mottagningen. Kontrollera dina rötter! Enligt Vietas sats. Oroa dig inte, jag ska förklara allt! Kontroll sista sak ekvationen. De där. den med vilken vi skrev ner formeln för rötterna. Om (som i detta exempel) koefficienten a = 1, kolla rötterna enkelt. Det räcker att multiplicera dem. Du bör få en fri termin, d.v.s. i vårt fall -2. Var uppmärksam, inte 2, utan -2! gratis medlem med din skylt . Om det inte fungerade betyder det att de redan trasslat till någonstans. Leta efter ett fel.

Om det löste sig måste du vika rötterna. Sista och sista kontrollen. Bör vara ett förhållande b Med motsatt tecken. I vårt fall -1+2 = +1. En koefficient b, som är före x, är lika med -1. Så allt stämmer!
Det är synd att det är så enkelt bara för exempel där x i kvadrat är rent, med en koefficient a = 1. Men kolla åtminstone in sådana ekvationer! Allt mindre misstag kommer vara.

Mottagning tredje . Om din ekvation har bråkkoefficienter, bli av med bråken! Multiplicera ekvationen med den gemensamma nämnaren som beskrivs i lektionen "Hur man löser ekvationer? Identitetstransformationer". När du arbetar med bråk, fel, av någon anledning, klättra ...

Förresten, jag lovade ett ont exempel med en massa minus för att förenkla. Snälla du! Här är han.

För att inte bli förvirrade i minusen multiplicerar vi ekvationen med -1. Vi får:

Det är allt! Att bestämma sig är kul!

Så låt oss sammanfatta ämnet.

Praktiska tips:

1. Innan vi löser tar vi andragradsekvationen till standardformen, bygger den höger.

2. Om det finns en negativ koefficient framför x-et i kvadraten, eliminerar vi den genom att multiplicera hela ekvationen med -1.

3. Om koefficienterna är bråktal, eliminerar vi bråken genom att multiplicera hela ekvationen med motsvarande faktor.

4. Om x i kvadrat är rent, koefficienten vid det lika med ett, kan lösningen enkelt verifieras av Vietas sats. Gör det!

Nu kan du bestämma dig.)

Lös ekvationer:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Svar (i oordning):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - vilket nummer som helst

x 1 = -3
x 2 = 3

inga lösningar

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Stämmer allt? Excellent! Andragradsekvationer är inte dina huvudvärk. De tre första visade sig, men resten gjorde det inte? Då ligger problemet inte i andragradsekvationer. Problemet ligger i identiska transformationer av ekvationer. Ta en titt på länken, den är till hjälp.

Funkar det inte riktigt? Eller fungerar det inte alls? Då hjälper dig Sektion 555. Där är alla dessa exempel sorterade efter ben. Som visar huvud fel i lösningen. Naturligtvis talar det också om användningen identiska transformationer att lösa olika ekvationer. Hjälper mycket!

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Lär dig - med intresse!)

du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

”, det vill säga ekvationer av första graden. I den här lektionen kommer vi att utforska vad är en andragradsekvation och hur man löser det.

Vad är en andragradsekvation

Viktig!

Graden av en ekvation bestäms av den högsta grad i vilken det okända står.

Om den maximala graden som det okända står i är "2", så har du en andragradsekvation.

Exempel på andragradsekvationer

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Viktig! Den allmänna formen av andragradsekvationen ser ut så här:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" och "c" - givna nummer.

• "a" - den första eller högre koefficienten;
• "b" - den andra koefficienten;
• "c" är en gratis medlem.

För att hitta "a", "b" och "c" måste du jämföra din ekvation med den allmänna formen av andragradsekvationen "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Låt oss öva på att bestämma koefficienterna "a", "b" och "c" i andragradsekvationer.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Ekvationen	Odds
a=5 b = -14 c = 17
a = −7 b = -13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Hur man löser andragradsekvationer

Till skillnad från linjära ekvationer att lösa andragradsekvationer, en speciell formel för att hitta rötter.

Kom ihåg!

För att lösa en andragradsekvation behöver du:

• föra andragradsekvationen till allmän syn"ax 2 + bx + c = 0". Det vill säga, endast "0" ska vara kvar på höger sida;
• använd formeln för rötter:

Låt oss använda ett exempel för att ta reda på hur man tillämpar formeln för att hitta rötterna till en andragradsekvation. Låt oss lösa andragradsekvationen.

X 2 - 3x - 4 = 0

Ekvationen "x 2 - 3x - 4 = 0" har redan reducerats till den allmänna formen "ax 2 + bx + c = 0" och kräver inga ytterligare förenklingar. För att lösa det behöver vi bara ansöka formel för att hitta rötterna till en andragradsekvation.

Låt oss definiera koefficienterna "a", "b" och "c" för denna ekvation.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Med dess hjälp löses vilken andragradsekvation som helst.

I formeln "x 1; 2 \u003d" ersätts ofta rotuttrycket
"b 2 − 4ac" till bokstaven "D" och kallas diskriminant. Begreppet diskriminant diskuteras mer ingående i lektionen "Vad är en diskriminant".

Betrakta ett annat exempel på en andragradsekvation.

x 2 + 9 + x = 7x

I denna form är det ganska svårt att bestämma koefficienterna "a", "b" och "c". Låt oss först ta ekvationen till den allmänna formen "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Nu kan du använda formeln för rötterna.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
Svar: x = 3

Det finns tillfällen då det inte finns några rötter i andragradsekvationer. Denna situation uppstår när ett negativt tal visas i formeln under roten.