Ledsystemet ax in kallas obestämd om. Lösa system av linjära algebraiska ekvationer, lösningsmetoder, exempel

Systemet kallas gemensam, eller lösbar om den har minst en lösning. Systemet kallas oförenlig, eller olöslig om det inte finns några lösningar.

Definitiv, obestämd SLAE.

Om en SLAE har en lösning och är unik, så kallas den vissa och om lösningen inte är unik, då osäker.

MATRIXEKVATIONER

Matriser gör det möjligt att kortfattat skriva ner ett system av linjära ekvationer. Låt ett system med 3 ekvationer med tre okända ges:

Tänk på systemets matris och matriskolumner med okända och fria medlemmar

Låt oss hitta produkten

de där. som ett resultat av produkten får vi den vänstra sidan av ekvationerna i detta system. Sedan, med hjälp av definitionen av matrisjämlikhet, kan detta system skrivas som

eller kortare A∙X=B.

Här matriser A och Bär kända, och matrisen X okänd. Hon måste hittas, eftersom. dess delar är lösningen på detta system. Denna ekvation kallas matrisekvation.

Låt matrisdeterminanten vara skild från noll | A| ≠ 0. Då löses matrisekvationen enligt följande. Multiplicera båda sidor av ekvationen till vänster med matrisen A-1, inversen av matrisen A: . I den mån som A -1 A = E och E∙X=X, då får vi lösningen av matrisekvationen i formen X = A -1 B .

Observera att eftersom den inversa matrisen endast kan hittas för kvadratiska matriser, kan matrismetoden endast lösa de system där antalet ekvationer är detsamma som antalet okända.

Cramers formler

Cramers metod är att vi successivt hittar huvudsystemidentifierare, dvs. determinant för matris A: D = det (a i j) och n hjälpdeterminanter Di (i= ), som erhålls från determinanten D genom att ersätta den i:te kolumnen med en kolumn med fria medlemmar.

Cramers formler ser ut som: D × x i = D i (i = ).

Detta innebär Cramers regel, som ger ett uttömmande svar på frågan om systemkompatibilitet: om huvuddeterminanten för systemet skiljer sig från noll, har systemet en unik lösning, bestäms av formlerna: x i = D i / D.

Om huvuddeterminanten för systemet D och alla hjälpdeterminanter D i = 0 (i= ), så har systemet ett oändligt antal lösningar. Om huvuddeterminanten för systemet D = 0, och åtminstone en hjälpdeterminant skiljer sig från noll, är systemet inkonsekvent.

Sats (Cramers regel): Om determinanten för systemet är Δ ≠ 0, så har det aktuella systemet en och endast en lösning, och

Bevis: Så betrakta ett system med 3 ekvationer med tre okända. Multiplicera den första ekvationen i systemet med det algebraiska komplementet En 11 element en 11, 2:a ekvationen - på A21 och 3:a - på A 31:

Låt oss lägga till dessa ekvationer:

Betrakta var och en av parenteserna och den högra sidan av denna ekvation. Enligt satsen om expansionen av determinanten i termer av elementen i den första kolumnen.

På samma sätt kan det visas att och .

Slutligen är det lätt att se det

Därmed får vi jämställdheten: . Därav, .

Jämlikheterna och härleds på liknande sätt, varifrån påståendet om satsen följer.

Kronecker-Capellis sats.

Ett system av linjära ekvationer är konsekvent om och endast om rangordningen för systemets matris är lika med rangordningen för den utökade matrisen.

Bevis: Det delas upp i två steg.

1. Låt systemet ha en lösning. Låt oss visa det.

Låt uppsättningen siffror är lösningen på systemet. Beteckna med den -e kolumnen i matrisen, . Då, det vill säga, kolumnen med fria termer är en linjär kombination av matrisens kolumner. Låt vara . Låt oss låtsas som det . Sedan av . Vi väljer i grundmoll . Han har ordning. Kolumnen med fria medlemmar måste passera genom denna mindreåriga, annars kommer den att vara grundminor i matrisen. Kolumnen med fria termer i moll är en linjär kombination av matrisens kolumner. På grund av egenskaperna hos determinanten, var är determinanten som erhålls från minor genom att ersätta kolumnen med fria termer med kolumnen. Om kolumnen passerade genom minor M, då i , kommer det att finnas två identiska kolumner och därför . Om kolumnen inte passerade genom minor, så kommer den att skilja sig från minor av ordning r + 1 i matrisen endast genom ordningen på kolumnerna. Sedan dess . Alltså, vilket strider mot definitionen av en grund mindre. Därför är antagandet att , falskt.

2. Låt . Låt oss visa att systemet har en lösning. Sedan är grund-moll i matrisen grund-moll av matris. Låt kolumnerna passera genom minor . Sedan, med basisminorsatsen i en matris, är kolumnen med fria termer en linjär kombination av de angivna kolumnerna:

(1)

Vi ställer in , , , , och tar de återstående okända värdena lika med noll. Då får vi för dessa värden

I kraft av jämlikhet (1) . Den sista likheten betyder att mängden siffror är lösningen på systemet. Förekomsten av en lösning är bevisad.

I systemet som diskuterats ovan , och systemet är konsekvent. I systemet är , och systemet inkonsekvent.

Notera: Även om Kronecker-Capelli-satsen gör det möjligt att avgöra om systemet är konsekvent, används det ganska sällan, främst i teoretiska studier. Anledningen är att de beräkningar som görs när man ska hitta rangordningen för en matris i princip är desamma som beräkningarna när man hittar en lösning på systemet. Därför letar man vanligtvis istället för att hitta och , efter en lösning på systemet. Om det kan hittas så lär vi oss att systemet är konsekvent och får samtidigt sin lösning. Om en lösning inte kan hittas drar vi slutsatsen att systemet är inkonsekvent.

Algoritm för att hitta lösningar på ett godtyckligt system av linjära ekvationer (Gauss-metoden)

Låt ett system av linjära ekvationer med okända ges. Det krävs att man finner sin allmänna lösning om den är konsekvent eller om den är inkonsekvens. Metoden som kommer att presenteras i detta avsnitt ligger nära metoden för att beräkna determinanten och metoden för att hitta rangordningen för en matris. Den föreslagna algoritmen kallas Gauss metod eller metod för successiv eliminering av okända.

Låt oss skriva den utökade matrisen för systemet

Vi kallar följande operationer med matriser för elementära operationer:

1. permutation av linjer;

2. multiplicera en sträng med ett tal som inte är noll;

3. addition av en sträng med en annan sträng multiplicerat med ett tal.

Observera att när man löser ett ekvationssystem, i motsats till att beräkna determinanten och hitta rangen, kan man inte arbeta med kolumner. Om ekvationssystemet återställs från matrisen som erhålls från den elementära operationen, då nytt system kommer att vara lika med originalet.

Målet med algoritmen är, genom att tillämpa en sekvens av elementära operationer på matrisen, att säkerställa att varje rad, utom kanske den första, börjar med nollor och antalet nollor upp till det första elementet som inte är noll i varje nästa. raden är större än i den föregående.

Steget för algoritmen är som följer. Hitta den första kolumnen som inte är noll i matrisen. Låt det vara en kolumn med nummer . Vi hittar ett element som inte är noll i det och byter linjen med detta element med den första raden. För att inte lägga upp ytterligare notation kommer vi att anta att en sådan förändring av rader i matrisen redan har gjorts, det vill säga . Sedan lägger vi till den första raden multiplicerat med siffran, till den tredje raden lägger vi till den första multiplicerad med talet osv. Som ett resultat får vi matrisen

(De första nollkolumnerna saknas vanligtvis.)

Om det finns en rad med nummer k i matrisen, där alla element är lika med noll, och , då stoppar vi algoritmexekveringen och drar slutsatsen att systemet är inkonsekvent. Om vi ​​återställer ekvationssystemet från den utökade matrisen får vi faktiskt att den -e ekvationen kommer att ha formen

Denna ekvation uppfyller inte någon uppsättning siffror .

Matrisen kan skrivas som

Med avseende på matrisen utför vi det beskrivna steget i algoritmen. Skaffa matrisen

var , . Denna matris kan återigen skrivas som

och steget ovan för algoritmen appliceras återigen på matrisen.

Processen avbryts om den nya reducerade matrisen efter utförandet av nästa steg endast består av nollor eller om alla rader är slut. Observera att slutsatsen om systemets inkompatibilitet kan stoppa processen ännu tidigare.

Om vi ​​inte reducerade matrisen, så skulle vi i slutändan komma till en matris av formen

Därefter utförs den så kallade omvända passagen av Gauss-metoden. Utifrån matrisen sammanställer vi ett ekvationssystem. På vänster sida lämnar vi de okända med siffror som motsvarar de första icke-nollelementen i varje rad, det vill säga . Lägg märke till att . De återstående okända överförs till höger sida. Med tanke på att de okända på höger sida är några fasta storheter, är det lätt att uttrycka de okända på vänster sida i termer av dem.

Nu, genom att tilldela godtyckliga värden till de okända på höger sida och beräkna värdena för variablerna på vänster sida, kommer vi att hitta olika lösningar ursprungliga systemet Ax=b. För att skriva ner den allmänna lösningen är det nödvändigt att beteckna de okända på höger sida i valfri ordning med bokstäver , inklusive de okända som inte explicit skrivs på höger sida på grund av nollkoefficienter, och sedan kan kolumnen med okända skrivas som en kolumn, där varje element är en linjär kombination av godtyckliga värden (i synnerhet bara ett godtyckligt värde). Denna post kommer att vara den allmänna lösningen för systemet.

Om systemet var homogent får vi den allmänna lösningen av det homogena systemet. Koefficienterna som tas i varje element i kolumnen i den allmänna lösningen kommer att utgöra den första lösningen från det grundläggande lösningssystemet, koefficienterna vid - den andra lösningen, och så vidare.

Metod 2: Det grundläggande systemet av lösningar för ett homogent system kan erhållas på annat sätt. För att göra detta måste en variabel, överförd till höger sida, tilldelas värdet 1, och resten - nollor. Genom att beräkna värdena för variablerna på vänster sida får vi en lösning från grundsystemet. Genom att tilldela värdet 1 till den andra variabeln på höger sida, och nollor till de andra, får vi den andra lösningen från grundsystemet, och så vidare.

Definition: systemet kallas gemensamt th, om det har minst en lösning, och inkonsekvent - annars, det vill säga i fallet när systemet inte har några lösningar. Frågan om ett system har en lösning eller inte hänger inte bara ihop med förhållandet mellan antalet ekvationer och antalet okända. Till exempel ett system med tre ekvationer med två okända

har en lösning , och har till och med oändligt många lösningar, men ett system av två ekvationer med tre okända.

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Detta system är alltid konsekvent eftersom det har en trivial lösning x 1 =…=x n =0

För att icke-triviala lösningar ska existera är det nödvändigt och tillräckligt att

villkor r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.

Th Uppsättningen SLAE-lösningar bildar ett linjärt dimensionsutrymme (n-r). Detta betyder att produkten av dess lösning med ett tal, såväl som summan och linjär kombination av ett ändligt antal av dess lösningar, är lösningar av detta system. Det linjära lösningsutrymmet för vilken SLAE som helst är ett delrum av rummet Rn.

Varje uppsättning av (n-r) linjärt oberoende lösningar av en SLAE (som är en bas i lösningsutrymmet) kallas grundläggande uppsättning lösningar (FSR).

Låt х 1 ,…,х r vara grundläggande okända, х r +1 ,...,х n vara fria okända. Vi ger de fria variablerna i tur och ordning följande värden:

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Bildar ett linjärt utrymme S (lösningsutrymme), som är ett delrum i R n (n är antalet okända), och dims=k=n-r, där r är systemets rangordning. Basen i lösningsutrymmet (x (1) ,..., x (k) ) kallas det grundläggande lösningssystemet, och den allmänna lösningen har formen:

X=c 1 x (1) + … + c k x (k), c (1) , …, c (k) ? R

Högre matematik » Linjära system algebraiska ekvationer» Grundläggande villkor. Matrisnotation.

System av linjära algebraiska ekvationer. Grundläggande villkor. Matrisnotation.

1. Definition av ett system av linjära algebraiska ekvationer. Systemlösning. Klassificering av system.
2. Matrisform av skrivsystem av linjära algebraiska ekvationer.

Definition av ett system av linjära algebraiska ekvationer. Systemlösning. Klassificering av system.

Under system av linjära algebraiska ekvationer(SLAE) innebär ett system

\begin(ekvation) \left \( \begin(aligned) & a_(11)x_1+a_(12)x_2+a_(13)x_3+\ldots+a_(1n)x_n=b_1;\\ & a_(21) x_1+a_(22)x_2+a_(23)x_3+\ldots+a_(2n)x_n=b_2;\\ & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ ldots \\ & a_(m1)x_1+a_(m2)x_2+a_(m3)x_3+\ldots+a_(mn)x_n=b_m.\end(aligned) \right.\end(ekvation)

Parametrarna $a_(ij)$ ($i=\overline(1,m)$, $j=\overline(1,n)$) kallas koefficienter, och $b_i$ ($i=\overline(1,m)$) - gratis medlemmar SLAU. Ibland, för att understryka antalet ekvationer och okända, säger de "$m\ gånger n$ system av linjära ekvationer" - vilket indikerar att SLAE innehåller $m$ ekvationer och $n$ okända.

Om alla fria villkor $b_i=0$ ($i=\overline(1,m)$), anropas SLAE homogen. Om det bland de fria medlemmarna finns minst en annan än noll, anropas SLAE heterogen.

SLAU beslut(1) alla ordnade samlingar av siffror ($\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$) anropas om elementen i denna samling ersätts i en given ordning med okända $x_1,x_2,\ldots,x_n$ invertera varje SLAE-ekvation till identitet.

Varje homogen SLAE har minst en lösning: noll-(i en annan terminologi - trivialt), d.v.s. $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$.

Om SLAE (1) har minst en lösning anropas den gemensam om det inte finns några lösningar, oförenlig. Om en gemensam SLAE har exakt en lösning kallas den vissa, om ett oändligt antal lösningar - osäker.

Exempel #1

Överväg SLAE

\begin(ekvation) \left \( \begin(aligned) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5 0.\\ \end(aligned)\right.\end(ekvation)

Vi har ett system med linjära algebraiska ekvationer som innehåller $3$-ekvationer och $5$ okända: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$. Man kan säga att ett system med $3\x 5$ linjära ekvationer ges.

Koefficienterna för system (2) är talen framför de okända. Till exempel, i den första ekvationen är dessa siffror: $3,-4,1,7,-1$. De fria medlemmarna i systemet representeras av siffrorna $11,-65.0$. Eftersom det finns minst en bland de fria medlemmarna är det inte det noll- SLAE (2) är inhomogen.

Den beställda samlingen $(4;-11;5;-7;1)$ är lösningen på denna SLAE. Detta är lätt att verifiera om du ersätter $x_1=4; x_2=-11; x_3=5; x_4=-7; x_5=1$ in i det givna systemets ekvationer:

\begin(aligned) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=3\cdot4-4\cdot(-11)+5+7\cdot(-7)-1=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5 =2\cdot 4+10\cdot (-7)-3\cdot 1=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5=3\cdot (-11)+19\cdot 5+8\cdot ( -7)-6\cdot 1=0. \\ \end(justerad)

Naturligtvis uppstår frågan om den verifierade lösningen är den enda. Frågan om antalet SLAE-lösningar kommer att diskuteras i det relevanta ämnet.

Exempel #2

Överväg SLAE

\begin(ekvation) \left \( \begin(aligned) & 4x_1+2x_2-x_3=0;\\ & 10x_1-x_2=0;\\ & 5x_2+4x_3=0; \\ & 3x_1-x_3=0; \\ & 14x_1+25x_2+5x_3=0.\end(justerad) \right.\end(ekvation)

System (3) är en SLAE som innehåller $5$-ekvationer och $3$ okända: $x_1,x_2,x_3$. Eftersom alla fria termer i detta system är lika med noll, är SLAE (3) homogen. Det är lätt att kontrollera att samlingen $(0;0;0)$ är en lösning på den givna SLAE. Genom att ersätta $x_1=0, x_2=0,x_3=0$, till exempel, i den första ekvationen av system (3), får vi den korrekta likheten: $4x_1+2x_2-x_3=4\cdot 0+2\cdot 0 -0=0$ . Substitution i andra ekvationer görs på liknande sätt.

Matrisform av skrivsystem av linjära algebraiska ekvationer.

Flera matriser kan associeras med varje SLAE; dessutom kan själva SLAE skrivas som en matrisekvation. För SLAE (1), överväg följande matriser:

Matrisen $A$ kallas systemmatris. Elementen i denna matris är koefficienterna för den givna SLAE.

Matrisen $\widetilde(A)$ anropas utökat matrissystem. Den erhålls genom att lägga till en kolumn i systemmatrisen som innehåller fria medlemmar $b_1,b_2,...,b_m$. Vanligtvis är denna kolumn separerad av en vertikal linje - för tydlighetens skull.

Kolumnmatrisen $B$ anropas matris av fria villkor, och kolumnmatrisen $X$ - matris av okända.

Med hjälp av notationen introducerad ovan kan SLAE (1) skrivas i form av en matrisekvation: $A\cdot X=B$.

Notera

Matriserna associerade med systemet kan skrivas olika sätt: allt beror på ordningen på variablerna och ekvationerna för den övervägda SLAE. Men i alla fall måste ordningen för de okända i varje ekvation för en given SLAE vara densamma (se exempel nr 4).

Exempel #3

Skriv SLAE $ \left \( \begin(aligned) & 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\\ & 4x_1-x_3=0;\\ & 14x_2+8x_3+x_4=-11. \end(aligned) \right.$ i matrisform och ange den utökade matrisen för systemet.

Vi har fyra okända, som i varje ekvation följer i denna ordning: $x_1,x_2,x_3,x_4$. Matrisen av okända kommer att vara: $\left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right)$.

De fria medlemmarna i detta system uttrycks med siffrorna $-5,0,-11$, därför har matrisen av fria medlemmar formen: $B=\left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(array )\right)$.

Låt oss gå vidare till att kompilera systemets matris. Den första raden i denna matris kommer att innehålla koefficienterna för den första ekvationen: $2.3,-5.1$.

På den andra raden skriver vi koefficienterna för den andra ekvationen: $4.0,-1.0$. I detta fall bör det beaktas att koefficienterna för systemet med variablerna $x_2$ och $x_4$ i den andra ekvationen är lika med noll (eftersom dessa variabler saknas i den andra ekvationen).

I den tredje raden i systemets matris skriver vi koefficienterna för den tredje ekvationen: $0.14.8.1$. Vi tar hänsyn till likheten med noll för koefficienten vid variabeln $x_1$ (denna variabel saknas i den tredje ekvationen). Systemmatrisen kommer att se ut så här:

$$ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) $$

För att göra förhållandet mellan systemmatrisen och själva systemet tydligare kommer jag att skriva ner den givna SLAE och dess systemmatris sida vid sida:

I matrisform kommer den givna SLAE att se ut som $A\cdot X=B$. I den utökade posten:

$$ \left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) \cdot \left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(array) \right) $$

Låt oss skriva den utökade matrisen för systemet. För att göra detta, till systemmatrisen $ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \ end(array ) \right) $ lägg till en kolumn med fria termer (d.v.s. $-5,0,-11$). Vi får: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (cccc|c) 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \\ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 14 & 8 & 1 & -11 \end(array) \right) $.

Exempel #4

Skriv SLAE $ \left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 2a+4y+7c=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & 5a-c=-4 .\end(aligned)\right.$ i matrisform och specificera den utökade matrisen för systemet.

Som du kan se är ordningen på de okända i ekvationerna för denna SLAE annorlunda. Till exempel, i den andra ekvationen är ordningen: $a,y,c$, men i den tredje ekvationen: $c,y,a$. Innan du skriver SLAE i matrisform måste ordningen på variablerna i alla ekvationer göras densamma.

Du kan beställa variablerna i ekvationerna för en given SLAE olika sätt(antalet sätt att ordna tre variabler är $3!=6$). Jag kommer att överväga två sätt att beställa okända.

Metod nummer 1

Låt oss introducera följande ordning: $c,y,a$. Låt oss skriva om systemet och placera det okända i nödvändig ordning: $\left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 7c+4y+2a=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & -c+5a=-4 .\end(justerad)\höger.$

För tydlighetens skull kommer jag att skriva SLAE enligt följande: $\left \(\begin(aligned) & 0\cdot c+3\cdot y+4\cdot a=17;\\ & 7\cdot c+4\cdot y+ 2\cdot a=10;\\ & 8\cdot c+5\cdot y-9\cdot a=25; \\ & -1\cdot c+0\cdot y+5\cdot a=-4. \ end(aligned)\right.$

Systemmatrisen är: $ A=\left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end( array) \right) $. Gratis medlemsmatris: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. När du skriver matrisen av okända, kom ihåg ordningen på de okända: $X=\left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right)$. Så, matrisformen för den givna SLAE är som följer: $A\cdot X=B$. Expanderat:

$$ \left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right) $$

Den utökade systemmatrisen är: $\left(\begin(array) (ccc|c) 0 & 3 & 4 & 17 \\ 7 & 4 & 2 & 10\\ 8 & 5 & -9 & 25 \\ -1 & 0 & 5 & -4 \end(array) \right) $.

Metod nummer 2

Låt oss introducera följande ordning: $a,c,y$. Låt oss skriva om systemet och placera de okända i önskad ordning: $\left \( \begin(aligned) & 4a+3y=17;\\ & 2a+7c+4y=10;\\ & -9a+8c+5y =25; \ \ & 5a-c=-4.\end(justed)\right.$

För tydlighetens skull kommer jag att skriva SLAE enligt följande: $\left \( \begin(aligned) & 4\cdot a+0\cdot c+3\cdot y=17;\\ & 2\cdot a+7\cdot c+ 4\cdot y=10;\\ & -9\cdot a+8\cdot c+5\cdot y=25; \\ & 5\cdot c-1\cdot c+0\cdot y=-4. \ end(aligned)\right.$

Systemmatrisen är: $ A=\left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end( array)\right)$. Gratis medlemsmatris: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. När du skriver matrisen av okända, kom ihåg ordningen på de okända: $X=\left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right)$. Så, matrisformen för den givna SLAE är som följer: $A\cdot X=B$. Expanderat:

$$ \left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right) $$

Den utökade systemmatrisen är: $\left(\begin(array) (ccc|c) 4 & 0 & 3 & 17 \\ 2 & 7 & 4 & 10\\ -9 & 8 & 5 & 25 \\ 5 & - 1 & 0 & -4 \end(array) \right) $.

Som du kan se är att ändra ordningen på de okända ekvivalenta med att ordna om kolumnerna i systemmatrisen. Men vad än detta arrangemang av okända kan vara, måste det matcha i alla ekvationer för en given SLAE.

Linjära ekvationer

Linjära ekvationer- ett relativt enkelt matematiskt ämne, som ganska ofta finns i uppgifter i algebra.

System av linjära algebraiska ekvationer: grundläggande begrepp, typer

Låt oss ta reda på vad det är och hur linjära ekvationer löses.

Vanligtvis, linjär ekvationär en ekvation av formen ax + c = 0, där a och c är godtyckliga tal, eller koefficienter, och x är ett okänt tal.

Till exempel skulle en linjär ekvation vara:

Lösning av linjära ekvationer.

Hur löser man linjära ekvationer?

Att lösa linjära ekvationer är ganska enkelt. För detta används en matematisk teknik som t.ex identitetsförvandling. Låt oss ta reda på vad det är.

Ett exempel på en linjär ekvation och dess lösning.

Låt ax + c = 10, där a = 4, c = 2.

Således får vi ekvationen 4x + 2 = 10.

För att lösa det var enklare och snabbare kommer vi att använda den första metoden identitetsförvandling- det vill säga, vi överför alla siffror till höger sida av ekvationen, och lämnar det okända 4x på vänster sida.

Skaffa sig:

Således reduceras ekvationen till ett mycket enkelt problem för nybörjare. Det återstår bara att använda den andra metoden för identisk transformation - lämna x på vänster sida av ekvationen, överför siffrorna till höger sida. Vi får:

Undersökning:

4x + 2 = 10, där x = 2.

Svaret är korrekt.

Linjär ekvationsgraf.

Vid lösning av linjära ekvationer med två variabler används också ofta plottningsmetoden. Faktum är att en ekvation av formen ax + wy + c \u003d 0, som regel, har många lösningar, eftersom många siffror passar i variablernas plats, och i alla fall förblir ekvationen sann.

Därför, för att underlätta uppgiften, byggs en graf över en linjär ekvation.

För att bygga det räcker det med att ta ett par variabla värden - och, markera dem med punkter på koordinatplanet, rita en rak linje genom dem. Alla punkter på denna linje kommer att vara varianter av variablerna i vår ekvation.

Uttryck, uttrycksomvandling

Handlingsordning, regler, exempel.

Numeriska, bokstavliga och uttryck med variabler i sin post kan innehålla tecken på olika aritmetiska operationer. När du konverterar uttryck och beräknar värdena för uttryck utförs åtgärder i en viss ordning, med andra ord måste du observera ordningsföljd.

I den här artikeln kommer vi att ta reda på vilka åtgärder som ska utföras först och vilka efter dem. Låt oss börja med det mesta enkla fall när uttrycket endast innehåller tal eller variabler kopplade med plus, minustecken, multiplicera och dividera. Därefter kommer vi att förklara vilken ordning för utförande av åtgärder som ska följas inom uttryck med parenteser. Slutligen, överväg sekvensen i vilken åtgärder utförs i uttryck som innehåller potenser, rötter och andra funktioner.

Först multiplikation och division, sedan addition och subtraktion

Skolan tillhandahåller följande en regel som bestämmer i vilken ordning åtgärder utförs i uttryck utan parentes:

• åtgärder utförs i ordning från vänster till höger,
• där multiplikation och division utförs först, och sedan addition och subtraktion.

Den angivna regeln uppfattas helt naturligt. Att utföra åtgärder i ordning från vänster till höger förklaras av det faktum att det är vanligt för oss att föra register från vänster till höger. Och det faktum att multiplikation och division utförs före addition och subtraktion förklaras av den innebörd som dessa handlingar bär i sig själva.

Låt oss titta på några exempel på hur denna regel gäller. Som exempel kommer vi att ta de enklaste numeriska uttrycken för att inte bli distraherade av beräkningar, utan för att fokusera på ordningen i vilka åtgärder utförs.

Följ steg 7−3+6.

Det ursprungliga uttrycket innehåller inte parenteser och det innehåller inte heller multiplikation och division. Därför bör vi utföra alla åtgärder i ordning från vänster till höger, det vill säga först subtraherar vi 3 från 7, vi får 4, varefter vi lägger till 6 till den resulterande skillnaden 4, vi får 10.

Kortfattat kan lösningen skrivas så här: 7−3+6=4+6=10.

Ange i vilken ordning handlingar utförs i uttrycket 6:2·8:3.

För att svara på frågan om problemet, låt oss vända oss till regeln som anger i vilken ordning åtgärder utförs i uttryck utan parentes. Det ursprungliga uttrycket innehåller endast operationerna multiplikation och division, och enligt regeln måste de utföras i ordning från vänster till höger.

Dela först 6 med 2, multiplicera denna kvot med 8 och till sist, dividera resultatet med 3.

Grundläggande koncept. System av linjära ekvationer

Beräkna värdet på uttrycket 17−5 6:3−2+4:2.

Låt oss först bestämma i vilken ordning åtgärderna i det ursprungliga uttrycket ska utföras. Det inkluderar både multiplikation och division och addition och subtraktion.

Först, från vänster till höger, måste du utföra multiplikation och division. Så vi multiplicerar 5 med 6, vi får 30, vi dividerar detta tal med 3, vi får 10. Nu dividerar vi 4 med 2, vi får 2. Vi ersätter det hittade värdet 10 istället för 5 6: 3 i det ursprungliga uttrycket, och värdet 2 istället för 4:2 har vi 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.

I det resulterande uttrycket finns det inte längre multiplikation och division, så det återstår att utföra de återstående åtgärderna i ordning från vänster till höger: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7.

17−5 6:3−2+4:2=7.

Till en början, för att inte förväxla ordningen för att utföra åtgärder vid beräkning av värdet på ett uttryck, är det bekvämt att placera siffror ovanför tecknen på åtgärder som motsvarar den ordning i vilken de utförs. För det tidigare exemplet skulle det se ut så här: .

Samma operationsordning - först multiplikation och division, sedan addition och subtraktion - bör följas när man arbetar med bokstavliga uttryck.

Förstasidan

Steg 1 och 2

I vissa läroböcker om matematik finns en uppdelning av aritmetiska operationer i operationer av det första och andra steget. Låt oss ta itu med det här.

I dessa termer kommer regeln från föregående stycke, som bestämmer i vilken ordning åtgärder utförs, att skrivas enligt följande: om uttrycket inte innehåller parentes, sedan i ordning från vänster till höger, åtgärderna i det andra steget ( multiplikation och division) utförs först, sedan åtgärderna i det första steget (addition och subtraktion).

Förstasidan

Ordning för utförande av aritmetiska operationer inom uttryck med parentes

Uttryck innehåller ofta parenteser för att indikera i vilken ordning åtgärderna ska utföras. I detta fall en regel som anger i vilken ordning åtgärder utförs inom uttryck med parenteser, formuleras enligt följande: först utförs åtgärderna inom parentes, medan multiplikation och division också utförs i ordning från vänster till höger, sedan addition och subtraktion.

Så uttryck inom parentes betraktas som komponenter i det ursprungliga uttrycket, och ordningen för åtgärder som redan är kända för oss bevaras i dem. Betrakta lösningarna med exempel för större tydlighet.

Gör de angivna stegen 5+(7−2 3) (6−4):2.

Uttrycket innehåller parenteser, så låt oss först utföra operationerna i uttrycken inom dessa parenteser. Låt oss börja med uttrycket 7−2 3. I den måste du först utföra multiplikationen, och först sedan subtraktionen har vi 7−2 3=7−6=1. Vi går över till det andra uttrycket inom parentes 6−4. Det finns bara en åtgärd här - subtraktion, vi utför den 6−4=2.

Vi ersätter de erhållna värdena i det ursprungliga uttrycket: 5+(7−2 3) (6−4):2=5+1 2:2. I det resulterande uttrycket utför vi först multiplikation och division från vänster till höger, sedan subtraktion, vi får 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6. På detta är alla åtgärder slutförda, vi höll oss till följande ordning för deras utförande: 5+(7−2 3) (6−4):2.

Låt oss skriva ner kort lösning: 5+(7-2 3)(6-4):2=5+1 2:2=5+1=6.

5+(7−2 3)(6−4):2=6.

Det händer att ett uttryck innehåller parenteser inom parentes. Du bör inte vara rädd för detta, du behöver bara konsekvent tillämpa den röstade regeln för att utföra åtgärder i uttryck med parenteser. Låt oss visa ett exempel på en lösning.

Utför åtgärder i uttrycket 4+(3+1+4 (2+3)).

Detta är ett uttryck med parenteser, vilket betyder att exekveringen av åtgärder måste börja med ett uttryck inom parentes, det vill säga med 3 + 1 + 4 (2 + 3).

Detta uttryck innehåller också parenteser, så du måste först utföra åtgärder i dem. Låt oss göra så här: 2+3=5. Om vi ​​ersätter det hittade värdet får vi 3+1+4 5. I detta uttryck utför vi först multiplikation, sedan addition, vi har 3+1+4 5=3+1+20=24. Det initiala värdet, efter att ha ersatt detta värde, har formen 4+24, och det återstår bara för att slutföra åtgärderna: 4+24=28.

4+(3+1+4 (2+3))=28.

I allmänhet, när parenteser inom parentes finns i ett uttryck, är det ofta bekvämt att börja med de inre parenteserna och arbeta sig fram till de yttre.

Låt oss till exempel säga att vi behöver utföra operationer i uttrycket (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Först utför vi åtgärder inom parentes, eftersom 4−6:2=4−3=1, sedan kommer det ursprungliga uttrycket att ha formen (4+(4+1)−1)−1. Återigen utför vi åtgärden inom de inre parenteserna, eftersom 4+1=5 kommer vi fram till följande uttryck (4+5−1)−1. Återigen utför vi åtgärderna inom parentes: 4+5−1=8, medan vi kommer fram till skillnaden 8−1, som är lika med 7.

Förstasidan

Ordningen i vilken operationer utförs i uttryck med rötter, potenser, logaritmer och andra funktioner

Om uttrycket inkluderar potenser, rötter, logaritmer, sinus, cosinus, tangens och cotangens, såväl som andra funktioner, beräknas deras värden innan de andra åtgärderna utförs, medan reglerna från föregående stycken som specificerar ordningen i vilka åtgärderna utförs beaktas också. Med andra ord kan de uppräknade sakerna, grovt sett, anses vara inneslutna inom parentes, och vi vet att åtgärderna inom parentes utförs först.

Låt oss överväga exempel.

Utför operationerna i uttrycket (3+1) 2+6 2:3−7.

Detta uttryck innehåller en potens av 6 2, dess värde måste beräknas innan du utför resten av stegen. Så vi utför exponentiering: 6 2 \u003d 36. Vi ersätter detta värde med det ursprungliga uttrycket, det kommer att ha formen (3+1) 2+36:3−7.

Då är allt klart: vi utför åtgärder inom parentes, varefter ett uttryck utan parentes kvarstår, där vi, i ordning från vänster till höger, först utför multiplikation och division, och sedan addition och subtraktion. Vi har (3+1) 2+36:3−7=4 2+36:3−7=8+12−7=13.

(3+1) 2+6 2:3−7=13.

Andra, inklusive fler komplexa exempel utföra åtgärder i uttryck med rötter, grader etc., kan du se beräkningen av uttrycksvärden i artikeln.

Förstasidan

Åtgärder i första steget kallas addition och subtraktion, och multiplikation och division kallas åtgärder i andra steget.

• Matematik: studier. för 5 celler. Allmän utbildning institutioner / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21:a uppl., raderad. — M.: Mnemozina, 2007. — 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.

Skriv ner systemet med linjära algebraiska ekvationer i allmän form

Vad är en SLAE-lösning?

Lösningen av ett ekvationssystem är en uppsättning av n tal,

När som ersätts i systemet, blir varje ekvation en identitet.

Vilket system kallas led (icke-fog)?

Ett ekvationssystem kallas konsekvent om det har minst en lösning.

Ett system kallas inkonsekvent om det inte har några lösningar.

Vilket system kallas definit (obestämt)?

Ett gemensamt system kallas definitivt om det har en unik lösning.

Ett gemensamt system kallas obestämt om det har mer än en lösning.

Matrisform för att skriva ett ekvationssystem

Rang för vektorsystemet

Rangen för ett vektorsystem är det maximala antalet linjärt oberoende vektorer.

Matrix ranking och sätt att hitta den

Matrix rang- den högsta av ordningsföljden för de minderåriga i denna matris, vars determinant skiljer sig från noll.

Den första metoden, kantmetoden, är följande:

Om alla minderåriga är av 1:a ordningen, dvs. matriselement är lika med noll, då r=0 .

Om minst en av minorerna i 1:a ordningen inte är lika med noll, och alla minorerna i 2:a ordningen är lika med noll, då är r=1.

Om 2:a ordningens minderåriga är icke-noll, undersöker vi 3:e ordningens minderåriga. På detta sätt hittas k-te ordningens moll och det kontrolleras om k+1:e ordningens moll inte är lika med noll.

Om alla k+1-ordern är lika med noll, är matrisens rangordning lika med talet k. Sådana k+1 ordningens moll hittas vanligtvis genom att "kanta" den k:te ordningens moll.

Den andra metoden för att bestämma rangen av en matris är att tillämpa elementära transformationer av matrisen när den höjs till en diagonal form. Rangen för en sådan matris är lika med antalet diagonala element som inte är noll.

Allmän lösning av ett inhomogent system av linjära ekvationer, dess egenskaper.

Fastighet 1. Summan av vilken lösning som helst av ett linjärt ekvationssystem och vilken lösning som helst av det motsvarande homogena systemet är en lösning av det linjära ekvationssystemet.

Fastighet 2.

Linjära ekvationssystem: grundläggande begrepp

Skillnaden mellan två valfria lösningar av ett inhomogent system av linjära ekvationer är en lösning av det motsvarande homogena systemet.

Gauss-metod för att lösa SLAE

Efterföljande:

1) en utökad matris av ekvationssystemet kompileras

2) med hjälp av elementära transformationer reduceras matrisen till en stegform

3) rangordningen för systemets utökade matris och rangordningen för systemets matris bestäms och pakt om systemets kompatibilitet eller inkompatibilitet upprättas

4) vid kompatibilitet skrivs motsvarande ekvationssystem

5) lösningen av systemet hittas. Huvudvariablerna uttrycks i termer av fria

Kronecker-Capellis sats

Kronecker - Capelli-satsen- kriterium för kompatibilitet för systemet med linjära algebraiska ekvationer:

Ett system med linjära algebraiska ekvationer är konsekvent om och endast om rangordningen för dess huvudmatris är lika med rangordningen för dess utökade matris, och systemet har en unik lösning om rangordningen är lika med antalet okända, och en oändlig uppsättning lösningar om rang mindre än antalet okänd.

För att ett linjärt system ska vara konsekvent är det nödvändigt och tillräckligt att rangordningen för den utökade matrisen i detta system är lika med rangordningen för dess huvudmatris.

När har systemet ingen lösning, när har det en enda lösning, har det många lösningar?

Om antalet systemekvationer är lika med antalet okända variabler och determinanten för dess huvudmatris inte är lika med noll, så har sådana ekvationssystem en unik lösning, och i fallet med ett homogent system, alla okända variabler är lika med noll.

Ett system av linjära ekvationer som har minst en lösning kallas kompatibelt. Annars, dvs. om systemet inte har några lösningar, så kallas det inkonsekvent.

linjära ekvationer kallas konsekventa om de har minst en lösning, och inkonsekventa om det inte finns några lösningar. I exempel 14 är systemet kompatibelt, kolumnen är dess lösning:

Denna lösning kan också skrivas utan matriser: x = 2, y = 1.

Ett ekvationssystem kallas obestämt om det har mer än en lösning, och definitivt om lösningen är unik.

Exempel 15. Systemet är obestämt. Till exempel ... är dess lösningar. Läsaren kan hitta många andra lösningar på detta system.

Formler som relaterar koordinaterna för vektorer i den gamla och nya basen

Låt oss lära oss hur man löser system med linjära ekvationer först i ett särskilt fall. Ett ekvationssystem AX = B kommer att kallas Cramers om dess huvudmatris А är kvadratisk och icke degenererad. Med andra ord, antalet okända i Cramerian-systemet sammanfaller med antalet ekvationer och |A| = 0.

Sats 6 (Cramers regel). Cramer-systemet med linjära ekvationer har en unik lösning som ges av formlerna:

där Δ = |A| är determinanten för huvudmatrisen, Δi är determinanten som erhålls från A genom att ersätta den i:te kolumnen med en kolumn med fria termer.

Vi kommer att utföra beviset för n = 3, eftersom argumenten i det allmänna fallet är likartade.

Så det finns ett Cramer-system:

Låt oss först anta att det finns en lösning på systemet, dvs det finns

Låt oss multiplicera den första. likhet på det algebraiska komplementet till elementet aii, den andra likheten - på A2i, den tredje - på A3i och lägg till de resulterande likheterna:

System av linjära ekvationer ~ Lösning av systemet ~ Konsistenta och inkonsekventa system ~ Homogent system ~ Kompatibilitet för ett homogent system ~ Rang av systemmatrisen ~ Tillstånd för icke-trivial kompatibilitet ~ Grundläggande system av lösningar. Allmän lösning ~ Studie av ett homogent system

Tänk på systemet m linjära algebraiska ekvationer med avseende på n okänd
x 1, x 2, …, x n :

Beslut systemet kallas helheten n okända värden

x 1 \u003d x’ 1, x 2 \u003d x’ 2, ..., x n \u003d x’ n,

vid utbyte av vilken alla ekvationer i systemet förvandlas till identiteter.

Systemet med linjära ekvationer kan skrivas i matrisform:

var A- systemmatris, b- höger del, x- önskad lösning Ap - utökad matris system:

.

Ett system som har minst en lösning kallas gemensam; system som inte har någon lösning oförenlig.

Ett homogent system av linjära ekvationer är ett system vars högra sida är lika med noll:

Matrisvy av ett homogent system: ax=0.

Ett homogent system är alltid konsekvent, eftersom varje homogent linjärt system har minst en lösning:

x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0, ..., x n \u003d 0.

Om ett homogent system har en unik lösning, är denna unika lösning noll, och systemet kallas trivialt led. Om ett homogent system har mer än en lösning, så finns det lösningar som inte är noll bland dem, och i det här fallet kallas systemet icke-trivialt led.

Det har bevisats att när m=n för icke-trivial systemkompatibilitet nödvändigt och tillräckligt så att determinanten för systemets matris är lika med noll.

EXEMPEL 1. Icke-trivial kompatibilitet av ett homogent system av linjära ekvationer med en kvadratisk matris.

Genom att tillämpa den gaussiska elimineringsalgoritmen på systemmatrisen reducerar vi systemmatrisen till stegformen

.

siffra r rader som inte är noll i stegformen av en matris kallas matris rang, beteckna
r=rg(A) eller r=Rg(A).

Följande påstående är sant.

System av linjära algebraiska ekvationer

För att ett homogent system ska vara otrivialt konsekvent är det nödvändigt och tillräckligt att rangordningen r systemmatrisen var mindre än antalet okända n.

EXEMPEL 2. Icke-trivial kompatibilitet av ett homogent system av tre linjära ekvationer med fyra okända.

Om ett homogent system är icke-trivialt konsistent, så har det ett oändligt antal lösningar, och en linjär kombination av alla lösningar i systemet är också dess lösning.
Det är bevisat att bland den oändliga uppsättningen av lösningar av ett homogent system, exakt n-r linjärt oberoende lösningar.
Aggregat n-r linjärt oberoende lösningar av ett homogent system kallas grundläggande beslutssystem. Varje lösning av systemet uttrycks linjärt i termer av det grundläggande systemet. Alltså, om rangen r matriser A homogen linjärt system ax=0 färre okända n och vektorer
e 1 , e 2 , …, e n-r bilda sitt grundläggande system av lösningar ( Aei=0, i=1,2, …, n-r), sedan vilken lösning som helst x system ax=0 kan skrivas i formen

x=c 1 e 1 + c 2 e 2 + … + c n-r e n-r ,

var c 1, c 2, …, c n-rär godtyckliga konstanter. Det skrivna uttrycket kallas gemensam lösning homogent system .

Forskning

homogent system innebär att fastställa om det är icke-trivialt konsekvent, och om det är det, hitta ett grundläggande system av lösningar och skriva ner ett uttryck för systemets allmänna lösning.

Vi studerar ett homogent system med Gauss-metoden.

matris för det homogena systemet som studeras, vars rang är r< n .

En sådan matris reduceras av den Gaussiska elimineringen till den stegvisa formen

.

Motsvarande ekvivalenta system har formen

Härifrån är det enkelt att få uttryck för variabler x 1, x 2, …, x r genom xr+1, xr+2, …, xn. Variabler
x 1, x 2, …, x r kallad grundläggande variabler och variabler xr+1, xr+2, …, xn - fria variabler.

När vi överför de fria variablerna till höger får vi formlerna

som bestämmer systemets övergripande lösning.

Låt oss successivt ställa in värdena för de fria variablerna lika med

och beräkna motsvarande värden för de grundläggande variablerna. Mottagen n-r lösningar är linjärt oberoende och bildar därför ett grundläggande system av lösningar för det homogena systemet som studeras:

Undersökning av ett homogent system för kompatibilitet med Gauss-metoden.

Men ytterligare två fall är utbredda i praktiken:

– Systemet är inkonsekvent (har inga lösningar);
Systemet är konsekvent och har oändligt många lösningar.

Notera : termen "konsistens" antyder att systemet har åtminstone någon lösning. I ett antal uppgifter krävs det att man preliminärt undersöker systemet för kompatibilitet, hur man gör - se artikeln om matris rang.

För dessa system används den mest universella av alla lösningsmetoder - Gauss metod. Faktum är att "skolans" sätt också kommer att leda till svaret, men i högre matematik Det är vanligt att använda den Gaussiska metoden för successiv eliminering av okända. De som inte är bekanta med Gauss-metodens algoritm, vänligen studera lektionen först gauss-metod för dummies.

De elementära matristransformationerna i sig är exakt desamma, kommer skillnaden att vara i slutet av lösningen. Tänk först på ett par exempel där systemet inte har några lösningar (inkonsekvent).

Exempel 1

Vad får du omedelbart i ögonen i det här systemet? Antalet ekvationer är mindre än antalet variabler. Om antalet ekvationer är mindre än antalet variabler, då kan vi direkt säga att systemet antingen är inkonsekvent eller har oändligt många lösningar. Och det återstår bara att ta reda på.

Början av lösningen är ganska vanlig - vi skriver den utökade matrisen av systemet och, med hjälp av elementära transformationer, tar vi den till en stegform:

(1) På det övre vänstra steget måste vi få +1 eller -1. Det finns inga sådana siffror i den första kolumnen, så att ordna om raderna fungerar inte. Enheten kommer att behöva organiseras självständigt, och detta kan göras på flera sätt. Jag gjorde så här: Till den första raden, lägg till den tredje raden, multiplicerad med -1.

(2) Nu får vi två nollor i den första kolumnen. Till den andra raden adderar vi den första raden multiplicerad med 3. Till den tredje raden lägger vi den första raden multiplicerad med 5.

(3) Efter att transformationen är gjord är det alltid värt att se om det är möjligt att förenkla de resulterande strängarna? Burk. Vi delar den andra raden med 2, samtidigt som vi får önskad -1 på det andra steget. Dividera den tredje raden med -3.

(4) Lägg till den andra raden till den tredje raden.

Förmodligen uppmärksammade alla den dåliga linjen, som visade sig som ett resultat av elementära transformationer: . Det är klart att det inte kan vara så. Faktum är att vi skriver om den resulterande matrisen tillbaka till systemet med linjära ekvationer:

Om, som ett resultat av elementära transformationer, en sträng av formen erhålls, där är ett icke-nolltal, är systemet inkonsekvent (har inga lösningar) .

Hur registrerar man slutet på en uppgift? Låt oss rita med vit krita: "som ett resultat av elementära transformationer erhålls en linje av formen, var" och ge svaret: systemet har inga lösningar (inkonsekvent).

Om det, enligt villkoret, krävs att UTFORSKA systemet för kompatibilitet, är det nödvändigt att utfärda en lösning i en mer solid stil som involverar konceptet matrisrang och Kronecker-Capelli-satsen.

Observera att det inte finns någon omvänd rörelse av den Gaussiska algoritmen här - det finns inga lösningar och det finns helt enkelt inget att hitta.

Exempel 2

Lös ett system av linjära ekvationer

Det här är ett gör-det-själv-exempel. Komplett lösning och svaret i slutet av lektionen. Återigen, jag påminner dig om att din lösningsväg kan skilja sig från min lösningsväg, den Gaussiska algoritmen har inte en stark "styvhet".

En till teknisk funktion lösningar: elementära transformationer kan stoppas Genast, så snart en rad som , där . Överväga villkorligt exempel: anta att vi efter den första transformationen får en matris . Matrisen har ännu inte reducerats till en stegvis form, men det finns inget behov av ytterligare elementära transformationer, eftersom en linje av formen har dykt upp, där . Det bör omedelbart besvaras att systemet är inkompatibelt.

När ett system med linjära ekvationer inte har några lösningar är detta nästan en gåva, eftersom en kort lösning erhålls, ibland bokstavligen i 2-3 steg.

Men allt i den här världen är balanserat, och problemet där systemet har oändligt många lösningar är bara längre.

Exempel 3

Lös ett system av linjära ekvationer

Det finns 4 ekvationer och 4 okända, så systemet kan antingen ha en enda lösning, eller ha inga lösningar, eller ha ett oändligt antal lösningar. Vad det än var, men Gauss-metoden kommer i alla fall att leda oss till svaret. Däri ligger dess mångsidighet.

Början är återigen standard. Vi skriver den utökade matrisen för systemet och, med hjälp av elementära transformationer, för den till en stegform:

Det var allt, och du var rädd.

(1) Observera att alla siffror i den första kolumnen är delbara med 2, så en 2:a är bra på det övre vänstra steget. Till den andra raden lägger vi till den första raden, multiplicerad med -4. Till den tredje raden lägger vi till den första raden, multiplicerad med -2. Till den fjärde raden adderar vi den första raden, multiplicerad med -1.

Uppmärksamhet! Många kan bli frestade från fjärde raden subtrahera Första linjen. Detta kan göras, men det är inte nödvändigt, erfarenheten visar att sannolikheten för ett fel i beräkningar ökar flera gånger. Lägg bara ihop: Till den fjärde raden, lägg till den första raden, multiplicerad med -1 - exakt!

(2) De tre sista raderna är proportionella, två av dem kan strykas.

Även här är det nödvändigt att visa ökad uppmärksamhet, men är linjerna verkligen proportionella? För återförsäkring (särskilt för en tekanna) kommer det inte att vara överflödigt att multiplicera den andra raden med -1 och dividera den fjärde raden med 2, vilket resulterar i tre identiska rader. Och först efter det ta bort två av dem.

Som ett resultat av elementära transformationer reduceras systemets utökade matris till en stegvis form:

När du slutför en uppgift i en anteckningsbok är det lämpligt att göra samma anteckningar med blyerts för tydlighetens skull.

Vi skriver om motsvarande ekvationssystem:

Systemets "vanliga" enda lösning luktar inte här. Det finns ingen dålig linje heller. Det betyder att detta är det tredje kvarvarande fallet - systemet har oändligt många lösningar. Ibland, på grund av villkor, är det nödvändigt att undersöka systemets kompatibilitet (d.v.s. för att bevisa att en lösning överhuvudtaget finns), du kan läsa om detta i artikelns sista stycke Hur hittar man rangordningen för en matris? Men för nu, låt oss bryta ner grunderna:

Systemets oändliga uppsättning lösningar skrivs kortfattat i form av den sk generell systemlösning .

Vi kommer att hitta den allmänna lösningen av systemet med den omvända rörelsen av Gauss-metoden.

Först måste vi bestämma vilka variabler vi har grundläggande, och vilka variabler fri. Det är inte nödvändigt att bry sig om termerna för linjär algebra, det räcker att komma ihåg att det finns sådana basvariabler och fria variabler.

Grundvariabler "sitter" alltid strikt på matrisens steg.
PÅ detta exempel grundvariablerna är och

Fria variabler är allt återstående variabler som inte fick ett steg. I vårt fall finns det två av dem: – fria variabler.

Nu behöver du Allt basvariabler uttrycka bara genom fria variabler.

Det omvända draget av den Gaussiska algoritmen fungerar traditionellt nerifrån och upp.
Från systemets andra ekvation uttrycker vi grundvariabeln:

Titta nu på den första ekvationen: . Först ersätter vi det hittade uttrycket i det:

Det återstår att uttrycka den grundläggande variabeln i termer av fria variabler:

Resultatet är vad du behöver - Allt basvariablerna ( och ) uttrycks bara genom fria variabler:

Egentligen är den allmänna lösningen klar:

Hur skriver man ner den allmänna lösningen?
Fria variabler skrivs in i den allmänna lösningen "på egen hand" och strikt på sina ställen. I det här fallet ska fria variabler skrivas i den andra och fjärde positionen:
.

De resulterande uttrycken för de grundläggande variablerna och måste naturligtvis skrivas i första och tredje position:

Ge fria variabler godtyckliga värden, det finns oändligt många privata beslut. De mest populära värdena är nollor, eftersom den specifika lösningen är den lättaste att få. Ersätt i den allmänna lösningen:

är ett privat beslut.

De är ett annat sött par, låt oss ersätta den allmänna lösningen:

är en annan speciell lösning.

Det är lätt att se att ekvationssystemet har oändligt många lösningar(eftersom vi kan ge fria variabler några värden)

Varje en särskild lösning måste uppfylla till varje systemekvationen. Detta är grunden för en "snabb" kontroll av lösningens riktighet. Ta till exempel en viss lösning och ersätt den i den vänstra sidan av varje ekvation i det ursprungliga systemet:

Allt måste gå ihop. Och med någon speciell lösning du får, bör allt också konvergera.

Men strängt taget lurar verifieringen av en viss lösning ibland; någon speciell lösning kan uppfylla varje ekvation i systemet, och själva den allmänna lösningen hittas faktiskt felaktigt.

Därför är verifieringen av den allmänna lösningen mer grundlig och tillförlitlig. Hur man kontrollerar den resulterande allmänna lösningen ?

Det är enkelt, men ganska tråkigt. Vi måste ta uttryck grundläggande variabler, i det här fallet och , och ersätta dem i den vänstra sidan av varje ekvation i systemet.

Till vänster om systemets första ekvation:

Till vänster om systemets andra ekvation:


Den högra sidan av den ursprungliga ekvationen erhålls.

Exempel 4

Lös systemet med Gauss-metoden. Hitta en generell lösning och två privata. Kontrollera den övergripande lösningen.

Det här är ett gör-det-själv-exempel. Här är förresten återigen antalet ekvationer mindre än antalet okända, vilket gör att det direkt är klart att systemet antingen kommer att vara inkonsekvent eller ha ett oändligt antal lösningar. Vad är viktigt i själva beslutsprocessen? Uppmärksamhet, och återigen uppmärksamhet. Fullständig lösning och svar i slutet av lektionen.

Och ytterligare ett par exempel för att förstärka materialet

Exempel 5

Lös ett system av linjära ekvationer. Om systemet har oändligt många lösningar, hitta två specifika lösningar och kontrollera den allmänna lösningen

Beslut: Låt oss skriva ner systemets förstärkta matris och med hjälp av elementära transformationer tar vi den till stegformen:

(1) Lägg till den första raden till den andra raden. Till den tredje raden adderar vi den första raden multiplicerad med 2. Till den fjärde raden lägger vi den första raden multiplicerad med 3.
(2) Till den tredje raden, lägg till den andra raden, multiplicerad med -5. Till den fjärde raden lägger vi till den andra raden, multiplicerad med -7.
(3) Den tredje och fjärde raden är desamma, vi tar bort en av dem.

Här är en sådan skönhet:

Basvariabler sitter på steg, så de är basvariabler.
Det finns bara en gratis variabel som inte fick ett steg:

Flytta bakåt:
Vi uttrycker de grundläggande variablerna i termer av den fria variabeln:
Från den tredje ekvationen:

Betrakta den andra ekvationen och ersätt det hittade uttrycket i den:

Betrakta den första ekvationen och ersätt de hittade uttrycken och in i den:

Ja, en miniräknare som räknar vanliga bråk är fortfarande bekväm.

Så den allmänna lösningen är:

Än en gång, hur gick det till? Den fria variabeln sitter ensam på sin rättmätiga fjärdeplats. De resulterande uttrycken för de grundläggande variablerna tog också sina ordinarie platser.

Låt oss omedelbart kontrollera den allmänna lösningen. Jobba för svarta, men jag har redan gjort det, så fånga =)

Vi byter ut tre hjältar , , på vänster sida av varje ekvation i systemet:

Motsvarande högra sidor av ekvationerna erhålls, så den allmänna lösningen hittas korrekt.

Nu från den hittade allmänna lösningen vi får två speciella lösningar. Kocken här är den enda fria variabeln. Du behöver inte bryta huvudet.

Låt då är ett privat beslut.
Låt , då vara en annan speciell lösning.

Svar: Gemensamt beslut: , särskilda lösningar: , .

Jag borde inte ha nämnt svarta här... ...för alla möjliga sadistiska motiv dök upp i mitt huvud och jag kom ihåg den välkända fotozhaba, där Ku Klux Klansmän i vita overaller springer över planen efter en svart fotbollsspelare . Jag sitter och ler tyst. Du vet hur distraherande...

Mycket matematik är dåligt, så ett liknande slutexempel för en gör-det-själv-lösning.

Exempel 6

Hitta den allmänna lösningen av det linjära ekvationssystemet.

Jag har redan kontrollerat den allmänna lösningen, svaret kan litas på. Din lösning kan skilja sig från min lösning, huvudsaken är att de allmänna lösningarna matchar.

Förmodligen har många märkt ett obehagligt ögonblick i lösningarna: mycket ofta, under Gaussmetodens omvända förlopp, var vi tvungna att pilla med vanliga bråk. I praktiken är detta sant, fall där det inte finns några bråk är mycket mindre vanliga. Var förberedd mentalt, och viktigast av allt, tekniskt.

Jag kommer att uppehålla mig vid några funktioner i lösningen som inte uppfylldes i de lösta exemplen.

Systemets allmänna lösning kan ibland innehålla en konstant (eller konstanter), till exempel: . Här är en av grundvariablerna lika med ett konstant tal: . Det finns inget exotiskt i detta, det händer. Uppenbarligen, i det här fallet, kommer varje speciell lösning att innehålla en femma i första positionen.

Sällan, men det finns system där antal ekvationer mer kvantitet variabler. Gauss-metoden fungerar under de mest svåra förhållanden, man bör lugnt föra systemets utökade matris till en stegvis form enligt standardalgoritmen. Ett sådant system kan vara inkonsekvent, kan ha oändligt många lösningar och kan konstigt nog ha en unik lösning.

Serviceuppdrag. Online-kalkylatorn är utformad för att studera ett system av linjära ekvationer. Vanligtvis i tillståndet av problemet krävs för att hitta generell och speciell lösning av systemet. När man studerar linjära ekvationssystem löses följande problem:

1. huruvida systemet är samverkande;
2. om systemet är konsekvent så är det definitivt eller obestämt (kriteriet för systemkompatibilitet bestäms av satsen);
3. om systemet är definierat, hur man då hittar dess unika lösning (Cramer-metoden, den omvända matrismetoden eller Jordan-Gauss-metoden används);
4. om systemet är obestämt, hur ska man då beskriva uppsättningen av dess lösningar.

Klassificering av linjära ekvationssystem

Ett godtyckligt system av linjära ekvationer har formen:
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m

1. System av linjära inhomogena ekvationer (antalet variabler är lika med antalet ekvationer, m = n).
2. Godtyckliga system av linjära inhomogena ekvationer (m > n eller m< n).

Definition. En lösning av ett system är vilken som helst uppsättning tal c 1 ,c 2 ,...,c n , vars substitution i systemet istället för motsvarande okända förvandlar varje ekvation i systemet till en identitet.

Definition. Två system sägs vara likvärdiga om lösningen till det första är lösningen till det andra och vice versa.

Definition. Ett system som har minst en lösning kallas gemensam. Ett system som inte har någon lösning kallas inkonsekvent.

Definition. Ett system med en unik lösning kallas vissa, och att ha mer än en lösning är obestämd.

Algoritm för att lösa linjära ekvationssystem

1. Hitta rangordningen för huvudmatrisen och den utökade matrisen. Om de inte är lika, så är enligt Kronecker-Capelli-satsen systemet inkonsekvent, och det är här studien slutar.
2. Låt rang(A) = rang(B) . Vi väljer den grundläggande birollen. I det här fallet delas alla okända system av linjära ekvationer in i två klasser. De okända, vars koefficienter ingår i grundmoll, kallas beroende, och okända, vars koefficienter inte ingår i grundmoll, kallas fria. Observera att valet av beroende och fria okända inte alltid är unikt.
3. Vi stryker över de ekvationer av systemet vars koefficienter inte ingick i den grundläggande moll, eftersom de är konsekvenser av resten (enligt den grundläggande mollsatsen).
4. Termerna för ekvationerna som innehåller fria okända kommer att överföras till höger sida. Som ett resultat får vi ett ekvationssystem med r okända, ekvivalent med den givna, vars determinant skiljer sig från noll.
5. Det resulterande systemet löses på något av följande sätt: Cramer-metoden, inversmatrismetoden eller Jordan-Gauss-metoden. Relationer finns som uttrycker de beroende variablerna i termer av de fria.

Att lösa system av linjära algebraiska ekvationer (SLAE) är utan tvekan det viktigaste ämnet för kursen i linjär algebra. Ett stort antal problem från alla grenar av matematik reduceras till att lösa linjära ekvationssystem. Dessa faktorer förklarar anledningen till att den här artikeln skapades. Materialet i artikeln är valt och strukturerat så att du med dess hjälp kan

• välj den optimala metoden för att lösa ditt system av linjära algebraiska ekvationer,
• studera teorin om den valda metoden,
• lös ditt linjära ekvationssystem, efter att ha övervägt i detalj lösningarna på typiska exempel och problem.

Kort beskrivning av materialet i artikeln.

Låt oss ge allt först nödvändiga definitioner, begrepp och introducera notation.

Därefter överväger vi metoder för att lösa system av linjära algebraiska ekvationer där antalet ekvationer är lika med antalet okända variabler och som har en unik lösning. Först, låt oss fokusera på Cramer-metoden, för det andra kommer vi att visa matrismetoden för att lösa sådana ekvationssystem, och för det tredje kommer vi att analysera Gauss-metoden (metoden för successiv eliminering av okända variabler). För att konsolidera teorin kommer vi definitivt att lösa flera SLAEs på olika sätt.

Därefter övergår vi till att lösa system av linjära algebraiska ekvationer allmän syn, där antalet ekvationer inte sammanfaller med antalet okända variabler eller systemets huvudmatris är degenererad. Vi formulerar Kronecker-Capelli-satsen, som gör att vi kan fastställa kompatibiliteten för SLAE. Låt oss analysera lösningen av system (i fallet med deras kompatibilitet) med hjälp av konceptet med basen i en matris. Vi kommer också att överväga Gauss-metoden och i detalj beskriva lösningarna i exemplen.

Var noga med att uppehålla dig vid strukturen för den allmänna lösningen av homogena och inhomogena system av linjära algebraiska ekvationer. Låt oss ge konceptet med ett grundläggande system av lösningar och visa hur den allmänna lösningen av SLAE skrivs med hjälp av vektorerna för det grundläggande lösningssystemet. För en bättre förståelse, låt oss titta på några exempel.

Sammanfattningsvis betraktar vi ekvationssystem som reduceras till linjära, såväl som olika problem, i vars lösning SLAE uppstår.

Sidnavigering.

Definitioner, begrepp, beteckningar.

Vi kommer att betrakta system av p linjära algebraiska ekvationer med n okända variabler (p kan vara lika med n ) av formen

Okända variabler, - koefficienter (vissa reella eller komplexa tal), - fria medlemmar (även reella eller komplexa tal).

Denna form av SLAE kallas samordna.

PÅ matrisform detta ekvationssystem har formen
var - systemets huvudmatris, - matriskolumnen med okända variabler, - matriskolumnen för fria medlemmar.

Lägger vi till matrisen A som (n + 1)-te kolumnen matriskolumnen av fria termer, så får vi s.k. utökad matris linjära ekvationssystem. Vanligtvis betecknas den förstärkta matrisen med bokstaven T, och kolumnen med fria medlemmar separeras med en vertikal linje från resten av kolumnerna, det vill säga,

Genom att lösa ett system av linjära algebraiska ekvationer kallas en uppsättning värden av okända variabler, som förvandlar alla systemets ekvationer till identiteter. Matrisekvationen för de givna värdena för de okända variablerna förvandlas också till en identitet.

Om ett ekvationssystem har minst en lösning, så kallas det gemensam.

Om ekvationssystemet inte har några lösningar, så kallas det oförenlig.

Om en SLAE har en unik lösning kallas den vissa; om det finns mer än en lösning, då - osäker.

Om de fria termerna för alla ekvationer i systemet är lika med noll , då kallas systemet homogen, annars - heterogen.

Lösning av elementära system av linjära algebraiska ekvationer.

Om antalet systemekvationer är lika med antalet okända variabler och determinanten för dess huvudmatris inte är lika med noll, kommer vi att kalla sådana SLAE:er elementärt. Sådana ekvationssystem har en unik lösning, och i fallet med ett homogent system är alla okända variabler lika med noll.

Vi började studera sådana SLAEs i gymnasium. När vi löste dem tog vi en ekvation, uttryckte en okänd variabel i termer av andra och substituerade den i de återstående ekvationerna, tog sedan nästa ekvation, uttryckte nästa okända variabel och substituerade den med andra ekvationer, och så vidare. Eller så använde de additionsmetoden, det vill säga de lade till två eller flera ekvationer för att eliminera några okända variabler. Vi kommer inte att uppehålla oss vid dessa metoder i detalj, eftersom de i huvudsak är modifieringar av Gauss-metoden.

De huvudsakliga metoderna för att lösa elementära system av linjära ekvationer är Cramermetoden, matrismetoden och Gaussmetoden. Låt oss reda ut dem.

Lösa linjära ekvationssystem med Cramers metod.

Låt oss behöva lösa ett system av linjära algebraiska ekvationer

där antalet ekvationer är lika med antalet okända variabler och determinanten för systemets huvudmatris skiljer sig från noll, det vill säga .

Låta vara bestämningsfaktorn för systemets huvudmatris, och är determinanter för matriser som erhålls från A genom att ersätta 1:a, 2:a, …, n:a kolumnen respektive kolumnen med fria medlemmar:

Med sådan notation beräknas de okända variablerna med formlerna för Cramers metod som . Så här hittas lösningen av ett system av linjära algebraiska ekvationer med Cramermetoden.

Exempel.

Cramer metod .

Beslut.

Systemets huvudmatris har formen . Beräkna dess determinant (om nödvändigt, se artikeln):

Eftersom determinanten för systemets huvudmatris inte är noll, har systemet en unik lösning som kan hittas med Cramers metod.

Komponera och beräkna nödvändiga bestämningsfaktorer (determinanten erhålls genom att ersätta den första kolumnen i matris A med en kolumn av fria medlemmar, determinanten - genom att ersätta den andra kolumnen med en kolumn av fria medlemmar, - genom att ersätta den tredje kolumnen i matris A med en kolumn av fria medlemmar ):

Hitta okända variabler med formler :

Svar:

Den största nackdelen med Cramers metod (om den kan kallas en nackdel) är komplexiteten i att beräkna determinanterna när antalet systemekvationer är fler än tre.

Lösa system av linjära algebraiska ekvationer med matrismetoden (med invers matris).

Låt systemet av linjära algebraiska ekvationer ges i matrisform , där matrisen A har dimensionen n med n och dess determinant är icke-noll.

Sedan , då matrisen A är inverterbar, det vill säga det finns en invers matris . Om vi ​​multiplicerar båda delarna av likheten med till vänster får vi en formel för att hitta kolumnmatrisen för okända variabler. Så vi fick lösningen av systemet med linjära algebraiska ekvationer genom matrismetoden.

Exempel.

Lös system av linjära ekvationer matrismetod.

Beslut.

Låt oss skriva om ekvationssystemet i matrisform:

Som

då kan SLAE lösas med matrismetoden. Med hjälp av den inversa matrisen kan lösningen på detta system hittas som .

Låt oss bygga en invers matris med hjälp av en matris av algebraiska komplement till elementen i matris A (om nödvändigt, se artikeln):

Det återstår att beräkna - matrisen av okända variabler genom att multiplicera den inversa matrisen i matriskolumnen för gratismedlemmar (se artikeln vid behov):

Svar:

eller i en annan notation x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Huvudproblemet med att hitta lösningar på system av linjära algebraiska ekvationer med matrismetoden är komplexiteten i att hitta den inversa matrisen, särskilt för kvadratiska matriser av ordning högre än den tredje.

Lösa linjära ekvationssystem med Gauss-metoden.

Antag att vi behöver hitta en lösning på ett system med n linjära ekvationer med n okända variabler
vars determinant för huvudmatrisen skiljer sig från noll.

Kärnan i Gauss-metoden består i successiv exkludering av okända variabler: först exkluderas x 1 från alla ekvationer i systemet, med början från den andra, sedan exkluderas x 2 från alla ekvationer, med början från den tredje, och så vidare, tills endast den okända variabeln x n finns kvar i den sista ekvationen. En sådan process att transformera systemets ekvationer för successiv eliminering av okända variabler kallas direkt Gauss-metoden. Efter slutförandet av den framåtgående körningen av Gaussmetoden, hittas x n från den sista ekvationen, x n-1 beräknas från den näst sista ekvationen med detta värde, och så vidare, x 1 hittas från den första ekvationen. Processen att beräkna okända variabler när man går från den sista ekvationen i systemet till den första kallas omvänd Gauss-metod.

Låt oss kort beskriva algoritmen för att eliminera okända variabler.

Vi kommer att anta att eftersom vi alltid kan uppnå detta genom att arrangera om systemets ekvationer. Vi exkluderar den okända variabeln x 1 från alla ekvationer i systemet, med början från den andra. För att göra detta, lägg till den första ekvationen multiplicerat med till den andra ekvationen i systemet, lägg till den första multiplicerad med till den tredje ekvationen, och så vidare, lägg till den första multiplicerad med till den n:te ekvationen. Ekvationssystemet efter sådana transformationer kommer att ta formen

där en .

Vi skulle komma till samma resultat om vi uttryckte x 1 i termer av andra okända variabler i systemets första ekvation och substituerade det resulterande uttrycket med alla andra ekvationer. Variabeln x 1 exkluderas alltså från alla ekvationer, med början från den andra.

Därefter agerar vi på liknande sätt, men bara med en del av det resulterande systemet, som är markerat i figuren

För att göra detta, lägg till den andra ekvationen multiplicerat med till systemets tredje ekvation, lägg till den andra multiplicerad med den fjärde ekvationen och så vidare, lägg till den andra multiplicerad med till den n:e ekvationen. Ekvationssystemet efter sådana transformationer kommer att ta formen

där en . Variabeln x 2 exkluderas alltså från alla ekvationer, med början från den tredje.

Därefter fortsätter vi till eliminering av det okända x 3, medan vi agerar på liknande sätt med den del av systemet som är markerad i figuren

Så vi fortsätter den direkta kursen av Gauss-metoden tills systemet tar formen

Från detta ögonblick börjar vi den omvända kursen av Gauss-metoden: vi beräknar x n från den sista ekvationen som , med hjälp av det erhållna värdet på x n hittar vi x n-1 från den näst sista ekvationen, och så vidare, vi hittar x 1 från första ekvationen.

Exempel.

Lös system av linjära ekvationer Gaussisk metod.

Beslut.

Låt oss exkludera den okända variabeln x 1 från de andra och tredje ekvationerna i systemet. För att göra detta, till båda delarna av den andra och tredje ekvationen, lägger vi till motsvarande delar av den första ekvationen, multiplicerat med respektive med:

Nu exkluderar vi x 2 från den tredje ekvationen genom att lägga till vänster och höger del av den andra ekvationens vänstra och högra del, multiplicerat med:

På detta är Gaussmetodens framåtgående kurs avslutad, vi börjar den omvända kursen.

Från den sista ekvationen i det resulterande ekvationssystemet finner vi x 3:

Från den andra ekvationen får vi .

Från den första ekvationen hittar vi den återstående okända variabeln och detta fullbordar Gaussmetodens omvända förlopp.

Svar:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Lösa system av linjära algebraiska ekvationer av allmän form.

I det allmänna fallet sammanfaller inte antalet ekvationer i systemet p med antalet okända variabler n:

Sådana SLAE:er kanske inte har några lösningar, har en enda lösning eller har oändligt många lösningar. Detta påstående gäller även ekvationssystem vars huvudmatris är kvadratisk och degenererad.

Kronecker-Capellis sats.

Innan man hittar en lösning på ett system av linjära ekvationer är det nödvändigt att fastställa dess kompatibilitet. Svaret på frågan när SLAE är kompatibelt, och när det är inkompatibelt, ger Kronecker-Capelli-satsen:
för att ett system av ekvationer med n okända (p kan vara lika med n ) ska vara konsekvent är det nödvändigt och tillräckligt att rangordningen för systemets huvudmatris är lika med rangordningen för den utökade matrisen, det vill säga Rank( A)=Rank(T) .

Låt oss överväga tillämpningen av Kronecker-Cappellis sats för att bestämma kompatibiliteten hos ett system av linjära ekvationer som ett exempel.

Exempel.

Ta reda på om systemet med linjära ekvationer har lösningar.

Beslut.

. Låt oss använda metoden att gränsa till minderåriga. Mindre av andra ordningen skiljer sig från noll. Låt oss gå över de minderåriga av tredje ordningen som omger det:

Eftersom alla gränsande minderåriga av tredje ordningen är lika med noll, är huvudmatrisens rangordning två.

I sin tur rangen för den utökade matrisen är lika med tre, eftersom moll av tredje ordningen

skiljer sig från noll.

Således, Rang(A) , därför, enligt Kronecker-Capelli-satsen, kan vi dra slutsatsen att det ursprungliga systemet med linjära ekvationer är inkonsekvent.

Svar:

Det finns inget lösningssystem.

Så vi har lärt oss att fastställa inkonsekvensen i systemet med hjälp av Kronecker-Capelli-satsen.

Men hur hittar man lösningen för SLAE om dess kompatibilitet är etablerad?

För att göra detta behöver vi begreppet basmoll för en matris och satsen om rangordningen för en matris.

Den högsta ordningens moll av matrisen A, förutom noll, kallas grundläggande.

Det följer av definitionen av grundminoren att dess ordning är lika med matrisens rangordning. För en matris A som inte är noll kan det finnas flera grundläggande biroller, det finns alltid en grundläggande biroll.

Tänk till exempel på matrisen .

Alla tredje ordningens mindre i denna matris är lika med noll, eftersom elementen i den tredje raden i denna matris är summan av motsvarande element i den första och andra raden.

Följande minderåriga av andra ordningen är grundläggande, eftersom de inte är noll

Minderåriga är inte grundläggande, eftersom de är lika med noll.

Matrix rangsats.

Om rangordningen för en matris av ordningen p till n är r, så uttrycks alla element i matrisens rader (och kolumner) som inte utgör den valda grundmoll linjärt i termer av motsvarande element i raderna (och kolumnerna) ) som utgör grunden mindre.

Vad ger matrisrangsatsen oss?

Om vi ​​genom Kronecker-Capelli-satsen har fastställt systemets kompatibilitet, så väljer vi vilken grundmoll som helst av systemets huvudmatris (dess ordning är lika med r), och utesluter från systemet alla ekvationer som inte gör det. utgöra den valda grundbivalen. Den SLAE som erhålls på detta sätt kommer att vara ekvivalent med den ursprungliga, eftersom de kasserade ekvationerna fortfarande är redundanta (enligt matrisrangsatsen är de en linjär kombination av de återstående ekvationerna).

Som ett resultat, efter att ha förkastat systemets överdrivna ekvationer, är två fall möjliga.

Om antalet ekvationer r i det resulterande systemet är lika med antalet okända variabler, kommer det att vara definitivt och den enda lösningen kan hittas med Cramermetoden, matrismetoden eller Gaussmetoden.

Exempel.

.

Beslut.

Rang för systemets huvudmatris är lika med två, eftersom moll av andra ordningen skiljer sig från noll. Utökad matrisrankning är också lika med två, eftersom den enda moll av tredje ordningen är lika med noll

och minor av den andra ordningen som betraktas ovan skiljer sig från noll. Baserat på Kronecker-Capelli-satsen kan man hävda kompatibiliteten för det ursprungliga systemet av linjära ekvationer, eftersom Rank(A)=Rank(T)=2 .

Som grund mindre tar vi . Den bildas av koefficienterna för de första och andra ekvationerna:


Systemets tredje ekvation deltar inte i bildandet av den grundläggande minor, så vi utesluter den från systemet baserat på matrisrangsatsen:


Så vi fick elementärt system linjära algebraiska ekvationer. Låt oss lösa det med Cramers metod:


Svar:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Om antalet ekvationer r i den resulterande SLAE är mindre än antalet okända variabler n, så lämnar vi termerna som bildar den grundläggande minor i de vänstra delarna av ekvationerna, och överför de återstående termerna till de högra delarna av ekvationerna av systemet med motsatt tecken.

De okända variablerna (det finns r av dem) som finns kvar på vänster sida av ekvationerna kallas huvud.

Okända variabler (det finns n - r av dem) som hamnat på höger sida kallas fri.

Nu antar vi att de fria okända variablerna kan ta godtyckliga värden, medan de r huvudsakliga okända variablerna kommer att uttryckas i termer av de fria okända variablerna på ett unikt sätt. Deras uttryck kan hittas genom att lösa den resulterande SLAE med Cramer-metoden, matrismetoden eller Gauss-metoden.

Låt oss ta ett exempel.

Exempel.

Lös system av linjära algebraiska ekvationer .

Beslut.

Hitta rangordningen för systemets huvudmatris enligt metoden med angränsande minderåriga. Låt oss ta en 1 1 = 1 som en första ordningens moll som inte är noll. Låt oss börja söka efter en andra ordningens moll som inte är noll som omger denna moll:


Så vi hittade en moll som inte är noll av andra ordningen. Låt oss börja söka efter en moll som inte är noll av tredje ordningen:


Således är rangen på huvudmatrisen tre. Rangen på den utökade matrisen är också lika med tre, det vill säga systemet är konsekvent.

Den hittade icke-noll moll av tredje ordningen kommer att tas som den grundläggande.

För tydlighetens skull visar vi de element som utgör grundminor:


Vi lämnar termerna som deltar i den grundläggande minor på vänster sida av ekvationerna i systemet, och överför resten med motsatta tecken till höger sida:


Vi ger fria okända variabler x 2 och x 5 godtyckliga värden, det vill säga vi tar , där finns godtyckliga siffror. I det här fallet tar SLAE formen


Vi löser det erhållna elementära systemet av linjära algebraiska ekvationer med Cramer-metoden:


Därav, .

I svaret, glöm inte att ange fria okända variabler.

Svar:

Var finns godtyckliga siffror.

Sammanfatta.

För att lösa ett system av linjära algebraiska ekvationer av generell form, tar vi först reda på dess kompatibilitet med hjälp av Kronecker-Capelli-satsen. Om rankningen av huvudmatrisen inte är lika med rankningen av den utökade matrisen, drar vi slutsatsen att systemet är inkonsekvent.

Om huvudmatrisens rang är lika med rangordningen för den utökade matrisen, väljer vi den grundläggande minor och kasserar systemets ekvationer som inte deltar i bildandet av den valda grundläggande minor.

Om ordningen för basminor är lika med antalet okända variabler, så har SLAE en unik lösning, som kan hittas med vilken metod som helst som vi känner till.

Om ordningen för basminor är mindre än antalet okända variabler, lämnar vi på vänster sida av ekvationerna i systemet termerna med de huvudsakliga okända variablerna, överför de återstående termerna till höger och tilldelar godtyckliga värden ​till de fria okända variablerna. Från det resulterande systemet av linjära ekvationer hittar vi de viktigaste okända variablerna med Cramermetoden, matrismetoden eller Gaussmetoden.

Gauss metod för att lösa system av linjära algebraiska ekvationer av allmän form.

Med hjälp av Gauss-metoden kan man lösa system av linjära algebraiska ekvationer av vilket slag som helst utan deras förundersökning för kompatibilitet. Processen med successiv eliminering av okända variabler gör det möjligt att dra en slutsats om både kompatibiliteten och inkonsekvensen av SLAE, och om det finns en lösning gör det det möjligt att hitta den.

Ur beräkningsarbetets synvinkel är Gaussmetoden att föredra.

Se upp detaljerad beskrivning och analyserade exempel i artikeln Gauss metod för att lösa system av linjära algebraiska ekvationer av allmän form.

Registrering av den allmänna lösningen av homogena och inhomogena linjära algebraiska system med hjälp av vektorerna för det fundamentala lösningssystemet.

I detta avsnitt kommer vi att fokusera på gemensamma homogena och inhomogena system av linjära algebraiska ekvationer som har ett oändligt antal lösningar.

Låt oss först ta itu med homogena system.

Grundläggande beslutssystem av ett homogent system av p linjära algebraiska ekvationer med n okända variabler är en uppsättning (n – r) linjärt oberoende lösningar av detta system, där r är ordningen för basmoll i systemets huvudmatris.

Om vi ​​betecknar linjärt oberoende lösningar av en homogen SLAE som X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) är matriskolumner med dimension n med 1 ), då representeras den allmänna lösningen av detta homogena system som en linjär kombination av vektorer av det fundamentala systemet av lösningar med godtyckliga konstanta koefficienter С 1 , С 2 , …, С (n-r), det vill säga .

Vad betyder termen generell lösning av ett homogent system av linjära algebraiska ekvationer (oroslau)?

Innebörden är enkel: formeln anger allt möjliga lösningar den ursprungliga SLAE, med andra ord, med vilken som helst uppsättning värden av godtyckliga konstanter С 1 , С 2 , …, С (n-r), enligt formeln får vi en av lösningarna för den ursprungliga homogena SLAE.

Således, om vi hittar ett grundläggande system av lösningar, kan vi ställa in alla lösningar för denna homogena SLAE som .

Låt oss visa processen för att konstruera ett grundläggande system av lösningar för en homogen SLAE.

Vi väljer grundmoll i det ursprungliga linjära ekvationssystemet, utesluter alla andra ekvationer från systemet och överför till höger sida av systemets ekvationer med motsatta tecken alla termer som innehåller fria okända variabler. Låt oss ge de fria okända variablerna värdena 1,0,0,...,0 och beräkna de viktigaste okända genom att lösa det resulterande elementära systemet av linjära ekvationer på något sätt, till exempel med Cramer-metoden. Således kommer X (1) att erhållas - den första lösningen av det grundläggande systemet. Om vi ​​ger de fria okända värdena 0,1,0,0,...,0 och beräknar de viktigaste okända, så får vi X (2) . Etc. Om vi ​​ger de fria okända variablerna värdena 0,0,...,0,1 och beräknar de viktigaste okända, så får vi X (n-r) . Så här kommer det grundläggande lösningssystemet för den homogena SLAE att konstrueras och dess allmänna lösning kan skrivas i formen.

För inhomogena system av linjära algebraiska ekvationer representeras den allmänna lösningen som

Låt oss titta på exempel.

Exempel.

Hitta det grundläggande lösningssystemet och den allmänna lösningen av ett homogent system av linjära algebraiska ekvationer .

Beslut.

Rangen för huvudmatrisen för homogena system av linjära ekvationer är alltid lika med rangordningen för den utökade matrisen. Låt oss hitta rangordningen för huvudmatrisen genom metoden att sätta randen av minderåriga. Som en moll som inte är noll av första ordningen tar vi elementet a 1 1 = 9 av systemets huvudmatris. Hitta gränsen icke-noll moll av andra ordningen:

En moll av andra ordningen, annorlunda än noll, hittas. Låt oss gå igenom de minderåriga av tredje ordningen som gränsar till det på jakt efter en icke-noll:

Alla gränsande minderåriga av tredje ordningen är lika med noll, därför är rangordningen för huvudmatrisen och den utökade matrisen två. Låt oss ta den grundläggande birollen. För tydlighetens skull noterar vi elementen i systemet som bildar det:

Den tredje ekvationen av den ursprungliga SLAE deltar inte i bildandet av den grundläggande minor, därför kan den uteslutas:

Vi lämnar termerna som innehåller de viktigaste okända på de högra sidorna av ekvationerna och överför termerna med fria okända till de högra sidorna:

Låt oss konstruera ett grundläggande system av lösningar till det ursprungliga homogena systemet av linjära ekvationer. Det grundläggande lösningssystemet för denna SLAE består av två lösningar, eftersom den ursprungliga SLAE innehåller fyra okända variabler, och ordningen för dess grundläggande mindre är två. För att hitta X (1) ger vi de fria okända variablerna värdena x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, sedan hittar vi de viktigaste okända från ekvationssystemet
.