Hur man definierar ett identiskt lika uttryck. Identitetstransformationer av uttryck

Grundläggande egenskaper för addition och multiplikation av tal.

Kommutativ egenskap för addition: när termerna ordnas om ändras inte värdet på summan. För alla tal a och b är likheten sann

Den associativa egenskapen för addition: för att lägga till ett tredje tal till summan av två tal, kan du lägga till summan av det andra och tredje till det första talet. För alla tal a, b och c är likheten sann

Kommutativ egenskap för multiplikation: permutation av faktorer ändrar inte produktens värde. För alla tal a, b och c är likheten sann

Den associativa egenskapen för multiplikation: för att multiplicera produkten av två tal med ett tredje tal, kan du multiplicera det första talet med produkten av det andra och tredje.

För alla tal a, b och c är likheten sann

Fördelningsegenskap: För att multiplicera ett tal med en summa kan du multiplicera det talet med varje term och lägga till resultaten. För alla tal a, b och c är likheten sann

Det följer av additionens kommutativa och associativa egenskaper att du i vilken summa som helst kan ordna om termerna som du vill och kombinera dem i grupper på ett godtyckligt sätt.

Exempel 1 Låt oss räkna ut summan 1,23+13,5+4,27.

För att göra detta är det bekvämt att kombinera den första termen med den tredje. Vi får:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Det följer av multiplikationens kommutativa och associativa egenskaper: i vilken produkt som helst kan du ordna om faktorerna på vilket sätt som helst och godtyckligt kombinera dem i grupper.

Exempel 2 Låt oss hitta värdet på produkten 1,8 0,25 64 0,5.

Genom att kombinera den första faktorn med den fjärde och den andra med den tredje kommer vi att ha:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

Fördelningsegenskapen är också giltig när talet multipliceras med summan av tre eller fler termer.

Till exempel, för alla tal a, b, c och d, är likheten sann

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Vi vet att subtraktion kan ersättas med addition genom att addera till minuend det motsatta talet till subtrahenden:

Detta tillåter ett numeriskt uttryck typ a-b betrakta summan av siffrorna a och -b, betrakta ett numeriskt uttryck av formen a + b-c-d som summan av talen a, b, -c, -d, etc. De övervägda egenskaperna för åtgärder är också giltiga för sådana summor.

Exempel 3 Låt oss hitta värdet på uttrycket 3,27-6,5-2,5+1,73.

Detta uttryck är summan av talen 3,27, -6,5, -2,5 och 1,73. Om vi tillämpar additionsegenskaperna får vi: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

Exempel 4 Låt oss beräkna produkten 36·().

Multiplikatorn kan ses som summan av talen och -. Med hjälp av den fördelande egenskapen för multiplikation får vi:

36()=36-36=9-10=-1.

Identiteter

Definition. Två uttryck vars motsvarande värden är lika för alla värden av variablerna sägs vara identiskt lika.

Definition. En likhet som är sann för alla värden av variablerna kallas en identitet.

Låt oss hitta värdena för uttrycken 3(x+y) och 3x+3y för x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Vi fick samma resultat. Det följer av den fördelande egenskapen att i allmänhet, för alla värden på variablerna, är motsvarande värden för uttrycken 3(x+y) och 3x+3y lika.

Betrakta nu uttrycken 2x+y och 2xy. För x=1, y=2 tar de lika värden:

Du kan dock ange x- och y-värden så att värdena för dessa uttryck inte är lika. Till exempel, om x=3, y=4, då

Uttrycken 3(x+y) och 3x+3y är identiskt lika, men uttrycken 2x+y och 2xy är inte identiskt lika.

Likheten 3(x+y)=x+3y, sant för alla värden på x och y, är en identitet.

Sanna numeriska likheter betraktas också som identiteter.

Så, identiteter är likheter som uttrycker de viktigaste egenskaperna hos åtgärder på siffror:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Andra exempel på identiteter kan ges:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Identitetstransformationer av uttryck

Ersättningen av ett uttryck med ett annat, identiskt lika med det, kallas en identisk transformation eller helt enkelt en transformation av ett uttryck.

Identitetstransformationer av uttryck med variabler utförs baserat på egenskaperna för operationer på tal.

För att hitta värdet på uttrycket xy-xz givet värdena x, y, z måste du utföra tre steg. Till exempel, med x=2,3, y=0,8, z=0,2 får vi:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Detta resultat kan erhållas i endast två steg, med hjälp av uttrycket x(y-z), som är identiskt lika med uttrycket xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Vi har förenklat beräkningarna genom att ersätta uttrycket xy-xz med det identiska lika uttryck x(y-z).

Identitetstransformationer av uttryck används i stor utsträckning för att beräkna värden på uttryck och lösa andra problem. Vissa identiska transformationer har redan utförts, till exempel minskning av liknande termer, öppnande av parentes. Kom ihåg reglerna för att utföra dessa transformationer:

för att få liknande termer måste du lägga till deras koefficienter och multiplicera resultatet med den gemensamma bokstavsdelen;

om det finns ett plustecken framför parenteserna, kan parenteserna utelämnas, och behåller tecknet för varje term inom parentes;

om det finns ett minustecken före parenteserna kan parentesen utelämnas genom att ändra tecknet för varje term inom parentes.

Exempel 1 Låt oss lägga till lika termer i summan 5x+2x-3x.

Vi använder regeln för att reducera liknande termer:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Denna transformation är baserad på multiplikationens fördelningsegenskap.

Exempel 2 Låt oss utöka parenteserna i uttrycket 2a+(b-3c).

Tillämpa regeln för att öppna parenteser som föregås av ett plustecken:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Den utförda transformationen baseras på den associativa egenskapen addition.

Exempel 3 Låt oss utöka parenteserna i uttrycket a-(4b-c).

Låt oss använda regeln för att expandera parenteser som föregås av ett minustecken:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Den utförda transformationen är baserad på den fördelande egenskapen multiplikation och den associativa egenskapen addition. Låt oss visa det. Låt oss representera den andra termen -(4b-c) i detta uttryck som en produkt (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Genom att tillämpa dessa egenskaper hos åtgärder får vi:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

§ 2. Identitetsyttringar, identitet. Identitetsomvandling av ett uttryck. Identitetsbevis

Låt oss hitta värdena för uttrycken 2(x - 1) 2x - 2 för de givna värdena för variabeln x. Vi skriver resultatet i en tabell:

Man kan dra slutsatsen att värdena för uttrycken 2(x - 1) 2x - 2 för varje givet värde variabel x är lika med varandra. Enligt den fördelande egenskapen för multiplikation med avseende på subtraktion 2(x - 1) = 2x - 2. Därför, för alla andra värden på variabeln x, kommer värdet av uttrycket 2(x - 1) 2x - 2 också att vara lika med varandra. Sådana uttryck kallas identiskt lika.

Till exempel är uttrycken 2x + 3x och 5x synonymer, eftersom dessa uttryck för varje värde på variabeln x förvärvar samma värden(detta följer av den fördelande egenskapen multiplikation med avseende på addition, eftersom 2x + 3x = 5x).

Betrakta nu uttrycken 3x + 2y och 5xy. Om x \u003d 1 och b \u003d 1, är motsvarande värden för dessa uttryck lika med varandra:

3x + 2y \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Du kan dock ange x- och y-värden för vilka värdena för dessa uttryck inte kommer att vara lika med varandra. Till exempel, om x = 2; y = 0, alltså

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Följaktligen finns det sådana värden för variablerna för vilka motsvarande värden för uttrycken 3x + 2y och 5xy inte är lika med varandra. Därför är uttrycken 3x + 2y och 5xy inte identiskt lika.

Baserat på det föregående är identiteter i synnerhet likheter: 2(x - 1) = 2x - 2 och 2x + 3x = 5x.

En identitet är varje jämlikhet, som skrivs kända egenskaperåtgärder på siffror. Till exempel,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Det finns också sådana likheter som identiteter:

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Om vi reducerar liknande termer i uttrycket -5x + 2x - 9, får vi att 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. I det här fallet säger de att uttrycket 5x + 2x - 9 ersattes av uttrycket 7x - 9, som är identisk med den.

Identiska transformationer av uttryck med variabler utförs genom att tillämpa egenskaperna för operationer på tal. I synnerhet identiska transformationer med öppning av parentes, konstruktion av liknande termer och liknande.

Identiska transformationer måste utföras när man förenklar uttrycket, det vill säga ersätter något uttryck med ett uttryck som är identiskt lika med det, som bör vara kortare.

Exempel 1. Förenkla uttrycket:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5 mn = -1,5 mn;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - a + 2 b + 3 b - a= 3a + 5b + 2.

För att bevisa att jämlikhet är en identitet (med andra ord, för att bevisa identitet använder man identitetstransformationer av uttryck.

Du kan bevisa identiteten på något av följande sätt:

utföra identiska transformationer av dess vänstra sida, och därigenom reducera den till formen av höger sida;
utföra identiska transformationer av sin högra sida, och därigenom reducera den till formen av den vänstra sidan;
utföra identiska transformationer av båda dess delar, och därigenom höja båda delarna till samma uttryck.

Exempel 2. Bevisa identiteten:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206-4a = 5(2a-3b)-7(2a-5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

Utveckling

1) Låt oss förvandla den vänstra sidan av denna jämlikhet:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Genom identiska transformationer reducerades uttrycket på vänster sida av jämlikheten till formen av höger sida och bevisade därmed att denna jämlikhet är en identitet.

2) Låt oss förvandla den högra sidan av denna jämlikhet:

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.

Genom identiska transformationer reducerades den högra sidan av jämlikheten till formen av den vänstra sidan och bevisade därmed att denna jämlikhet är en identitet.

3) I det här fallet är det bekvämt att förenkla både vänster och höger del av jämlikheten och jämföra resultaten:

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Genom identiska transformationer reducerades de vänstra och högra delarna av jämlikheten till samma form: 26x - 44. Därför är denna jämlikhet en identitet.

Vilka uttryck kallas identiska? Ge ett exempel på identiska uttryck. Vilken jämlikhet kallas identitet? Ge ett exempel på identitet. Vad kallas ett uttrycks identitetstransformation? Hur bevisar man identitet?

(Oralt) Eller så finns det identiska uttryck:

1) 2a + a och 3a;

2) 7x + 6 och 6 + 7x;

3) x + x + x och x3;

4) 2(x-2) och 2x-4;

5) m - n och n - m;

6) 2a ∙ r och 2p ∙ a?

Är uttrycken identiska lika:

1) 7x - 2x och 5x;

2) 5a-4 och 4-5a;

3) 4m + n och n + 4m;

4) a + a och a 2;

5) 3(a-4) och 3a-12;

6) 5m ∙ n och 5m + n?

(Verbalt) Är jämlikhetens identitet:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r - 1 = -1 + 7r;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

Öppna parentes:

Öppna parentes:

Minska liknande termer:

Nämn flera uttryck som är identiska med uttryck 2a + 3a.
Förenkla uttrycket med hjälp av de permuterande och konjunktiva egenskaperna för multiplikation:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4p ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4)- x ∙<-7у).

Förenkla uttrycket:

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3y);

4) - 1 m ∙ (-3n).

(Verbal) Förenkla uttrycket:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

Minska liknande termer:

1) 56-8a + 4b-a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7-9a)-(4-18a);

3) 3(2p-7)-2(g-3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

Öppna parenteserna och reducera liknande termer:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p-2(3p-1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3(5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6x + 0,4(x - 20) om x = 2,4;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4 om a = 10;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), om m = -3,7;

4) 2x - 3(x + y) + 4y om x = -1, y = 1.

Förenkla uttrycket och hitta dess värde:

1) 0,7 x + 0,3 (x - 4) om x = -0,7;

2) 1,7 (y - 11) - 16,3, om v \u003d 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), om a = -1;

4) 5(m - n) - 4m + 7n om m = 1,8; n = -0,9.

Bevisa identiteten:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) s - 2 = 5(s + 2) - 4(s + 3).

Bevisa identiteten:

1) -(m-3n) = 3n-m;

2) 7(2-p) + 7p = 14;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

Längden på en av triangelns sidor är en cm, och längden på var och en av de andra två sidorna är 2 cm mer än den. Skriv triangelns omkrets som ett uttryck och förenkla uttrycket.
Bredden på rektangeln är x cm och längden är 3 cm mer än bredden. Skriv rektangelns omkrets som ett uttryck och förenkla uttrycket.

1) x-(x-(2x-3));

2) 5m-((n-m) + 3n);

3) 4p- (3p- (2p- (r + 1)));

4) 5x-(2x-((y-x)-2y));

5) (6a - b) - (4a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

Utöka parenteserna och förenkla uttrycket:

1) a-(a-(3a-1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2,1 a - 2,8 b) - (la - Ib).

Bevisa identiteten:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3(a-b-c) + 5(a-b) + 3c = 8(a-b).

Bevisa identiteten:

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

Bevisa att värdet av uttrycket

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) beror inte på variabelns värde.

Bevisa att för vilket värde av variabeln som helst, värdet på uttrycket

a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)

är samma nummer.

Bevisa att summan av tre på varandra följande jämna tal är delbar med 6.
Bevisa att om n är ett naturligt tal, så är värdet av uttrycket -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) ett jämnt tal.

Övningar att upprepa

En legering som väger 1,6 kg innehåller 15 % koppar. Hur många kg koppar finns i denna legering?
Hur många procent är nummer 20 av dess:

1) kvadratisk;

Turisten gick i 2 timmar och cyklade i 3 timmar. Totalt tillryggalade turisten 56 km. Hitta hastigheten med vilken turisten cyklade om den är 12 km/h högre än hastigheten med vilken han gick.

Intressanta uppgifter för lata elever

11 lag deltar i stadsmästerskapet i fotboll. Varje lag spelar en match med de andra. Bevisa att det när som helst under tävlingen finns ett lag som har spelat ett jämnt antal matcher eller inte har spelat några ännu.

Tänk på två likheter:

1. a 12 * a 3 = a 7 * a 8

Denna likhet kommer att gälla för alla värden på variabeln a. Utbudet av giltiga värden för den likheten kommer att vara hela uppsättningen av reella tal.

2. a 12: a 3 = a 2 * a 7 .

Denna olikhet kommer att gälla för alla värden av variabeln a, förutom för a lika med noll. Intervallet av acceptabla värden för denna olikhet kommer att vara hela uppsättningen av reella tal, förutom noll.

Om var och en av dessa likheter kan det hävdas att det kommer att vara sant för alla tillåtna värden av variablerna a. Sådana ekvationer i matematik kallas identiteter.

Begreppet identitet

En identitet är en likhet som gäller för alla tillåtna värden av variablerna. Om några giltiga värden ersätts med denna likhet istället för variabler, bör den korrekta numeriska likheten erhållas.

Det är värt att notera att sanna numeriska likheter också är identiteter. Identiteter, till exempel, kommer att vara egenskaper för åtgärder på siffror.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

11. a*(-1) = -a.

Om två uttryck för alla tillåtna variabler är lika, anropas sådana uttryck identiskt lika. Nedan följer några exempel på identiskt lika uttryck:

1. (a 2) 4 och a 8;

2. a*b*(-a^2*b) och -a3*b2;

3. ((x 3 * x 8)/x) och x 10 .

Vi kan alltid ersätta ett uttryck med vilket annat uttryck som helst som är identiskt lika med det första. En sådan ersättning kommer att vara en identisk omvandling.

Identitetsexempel

Exempel 1: Är följande likhetsidentiteter:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

Alla ovanstående uttryck kommer inte att vara identiteter. Av dessa jämlikheter är endast 1,2 och 3 likheter identiteter. Vilka siffror vi än ersätter i dem, istället för variablerna a och b, får vi fortfarande de korrekta numeriska likheterna.

Men 4 jämställdhet är inte längre en identitet. För inte för alla tillåtna värden kommer denna jämlikhet att uppfyllas. Till exempel, med värdena a = 5 och b = 2, får du följande resultat:

Denna likhet är inte sant, eftersom siffran 3 inte är lika med siffran -3.

Identitetskonverteringar är det arbete vi gör med numeriska och alfabetiska uttryck, samt med uttryck som innehåller variabler. Vi utför alla dessa transformationer för att få det ursprungliga uttrycket till en form som är bekväm för att lösa problemet. Vi kommer att överväga huvudtyperna av identiska transformationer i detta ämne.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Identitetsomvandling av ett uttryck. Vad det är?

För första gången möter vi begreppet identiska transformerade vi på algebra-lektionerna i årskurs 7. Då får vi först bekanta oss med begreppet identiskt lika uttryck. Låt oss ta itu med begreppen och definitionerna för att underlätta assimileringen av ämnet.

Definition 1

Identitetsomvandling av ett uttryckär åtgärder som utförs för att ersätta det ursprungliga uttrycket med ett uttryck som kommer att vara identiskt lika med det ursprungliga.

Ofta används denna definition i en förkortad form, där ordet "identisk" utelämnas. Det antas att vi i alla fall genomför omvandlingen av uttrycket på ett sådant sätt att vi får ett uttryck som är identiskt med det ursprungliga, och detta behöver inte betonas separat.

Låt oss illustrera denna definition med exempel.

Exempel 1

Om vi byter ut uttrycket x + 3 - 2 till det identiskt lika uttrycket x+1, sedan utför vi den identiska omvandlingen av uttrycket x + 3 - 2.

Exempel 2

Ersätt uttryck 2 a 6 med uttryck en 3är identitetsomvandlingen, medan ersättandet av uttrycket x till uttrycket x2är inte en identisk omvandling, eftersom uttrycken x och x2är inte identiskt lika.

Vi uppmärksammar dig på formen för skrivuttryck när du utför identiska transformationer. Vi brukar skriva det ursprungliga uttrycket och det resulterande uttrycket som en likhet. Så att skriva x + 1 + 2 = x + 3 betyder att uttrycket x + 1 + 2 har reducerats till formen x + 3 .

Sekventiellt utförande av handlingar leder oss till en kedja av jämlikheter, som är flera på varandra följande identiska transformationer. Så vi förstår notationen x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x som en sekventiell implementering av två transformationer: först reducerades uttrycket x + 1 + 2 till formen x + 3, och det reducerades till formen 3 + x.

Identitetstransformationer och ODZ

Ett antal uttryck som vi börjar studera i årskurs 8 är inte vettiga för några variablers värden. Att utföra identiska transformationer i dessa fall kräver att vi uppmärksammar området för tillåtna värden för variabler (ODV). Att utföra identiska transformationer kan lämna ODZ oförändrad eller begränsa den.

Exempel 3

När du utför en övergång från uttrycket a + (−b) till uttrycket a-b intervall av tillåtna värden för variabler a och b stannar densamma.

Exempel 4

Övergång från uttryck x till uttryck x 2 x leder till en avsmalning av intervallet av acceptabla värden för variabeln x från mängden av alla reella tal till mängden av alla reella tal, från vilka noll har uteslutits.

Exempel 5

Identitetsomvandling av ett uttryck x 2 x uttryck x leder till att intervallet av giltiga värden för variabeln x utökas från mängden av alla reella tal utom noll till mängden av alla reella tal.

Att begränsa eller utöka intervallet av tillåtna värden för variabler när man utför identiska transformationer är viktigt för att lösa problem, eftersom det kan påverka beräkningarnas noggrannhet och leda till fel.

Grundläggande identitetsförvandlingar

Låt oss nu se vad identiska transformationer är och hur de utförs. Låt oss peka ut de typer av identiska transformationer som vi oftast måste hantera till huvudgruppen.

Utöver de grundläggande identitetstransformationerna finns det ett antal transformationer som relaterar till uttryck av en viss typ. För bråk är dessa metoder för reduktion och reduktion till en ny nämnare. För uttryck med rötter och krafter, alla handlingar som utförs utifrån egenskaperna hos rötter och krafter. För logaritmiska uttryck, åtgärder som utförs baserat på egenskaperna hos logaritmer. För trigonometriska uttryck, alla åtgärder som använder trigonometriska formler. Alla dessa specifika transformationer diskuteras i detalj i separata ämnen som finns på vår resurs. Av denna anledning kommer vi inte att uppehålla oss vid dem i den här artikeln.

Låt oss gå vidare till övervägandet av de huvudsakliga identiska transformationerna.

Omarrangemang av termer, faktorer

Låt oss börja med att ordna om termerna. Vi hanterar denna identiska transformation oftast. Och följande uttalande kan betraktas som huvudregeln här: i vilken summa som helst påverkar inte omordningen av termerna på platser resultatet.

Denna regel är baserad på de kommutativa och associativa egenskaperna för addition. Dessa egenskaper gör att vi kan ordna om termerna på platser och samtidigt få uttryck som är identiskt lika med de ursprungliga. Det är därför omordningen av termer på platser i summan är en identisk transformation.

Exempel 6

Vi har summan av tre termer 3 + 5 + 7 . Om vi byter ut termerna 3 och 5, kommer uttrycket att ha formen 5 + 3 + 7. Det finns flera alternativ för att ordna om termerna i det här fallet. Alla leder till att man får uttryck som är identiskt lika med det ursprungliga.

Inte bara siffror utan även uttryck kan fungera som termer i summan. De kan, precis som siffror, ordnas om utan att påverka det slutliga resultatet av beräkningar.

Exempel 7

I summan av tre termer 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 och - 12 a av formen 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) a termer kan ordnas om, till exempel så här (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 . I sin tur kan du ordna om termerna i nämnaren för bråket 1 a + b, medan bråket kommer att ha formen 1 b + a. Och uttrycket under rottecknet a 2 + 2 a + 5är också en summa där termerna kan bytas ut.

På samma sätt som termerna kan man i de ursprungliga uttrycken byta ut faktorerna och få identiskt korrekta ekvationer. Denna åtgärd styrs av följande regel:

Definition 2

I produkten påverkar inte omställningen av faktorerna på sina ställen resultatet av beräkningen.

Denna regel är baserad på de kommutativa och associativa egenskaperna för multiplikation, som bekräftar riktigheten av den identiska transformationen.

Exempel 8

Arbete 3 5 7 permutation av faktorer kan representeras i någon av följande former: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 eller 3 7 5.

Exempel 9

Permutering av faktorerna i produkten x + 1 x 2 - x + 1 x ger x 2 - x + 1 x x + 1

Konsolexpansion

Parenteser kan innehålla poster av numeriska uttryck och uttryck med variabler. Dessa uttryck kan omvandlas till identiskt lika uttryck, där det inte kommer att finnas några parenteser alls eller det blir färre av dem än i de ursprungliga uttrycken. Detta sätt att konvertera uttryck kallas parentesexpansion.

Exempel 10

Låt oss utföra åtgärder med parenteser i ett uttryck av formen 3 + x − 1 x för att få det identiskt sanna uttrycket 3 + x − 1 x.

Uttrycket 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x kan konverteras till det identiskt lika uttrycket utan parentes 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x .

Vi diskuterade i detalj reglerna för att konvertera uttryck med parenteser i ämnet "Bracket expansion", som publiceras på vår resurs.

Gruppering av termer, faktorer

I de fall vi har att göra med tre eller flera termer kan vi tillgripa en sådan typ av identiska transformationer som en gruppering av termer. Med denna omvandlingsmetod menas föreningen av flera termer till en grupp genom att omordna dem och placera dem inom parentes.

Vid gruppering växlas termerna på ett sådant sätt att de grupperade termerna finns i uttrycksposten bredvid varandra. Därefter kan de omslutas inom parentes.

Exempel 11

Ta uttrycket 5 + 7 + 1 . Om vi grupperar den första termen med den tredje får vi (5 + 1) + 7 .

Grupperingen av faktorer utförs på samma sätt som grupperingen av termer.

Exempel 12

I arbetet 2 3 4 5 det är möjligt att gruppera den första faktorn med den tredje, och den andra faktorn med den fjärde, i detta fall kommer vi fram till uttrycket (2 4) (3 5). Och om vi grupperade den första, andra och fjärde faktorn skulle vi få uttrycket (2 3 5) 4.

Termerna och faktorerna som är grupperade kan representeras både av primtal och av uttryck. Grupperingsreglerna diskuterades i detalj i ämnet "Gruppera termer och faktorer".

Ersätter skillnader med summor, delprodukter och vice versa

Ersättningen av skillnader med summor blev möjlig tack vare vår bekantskap med motsatta siffror. Subtraktion nu från ett tal a tal b kan ses som ett tillägg till siffran a tal −b. Jämlikhet a − b = a + (− b) kan anses rättvist och, på grundval av den, genomföra ersättningen av skillnader med belopp.

Exempel 13

Ta uttrycket 4 + 3 − 2 , där skillnaden av siffror 3 − 2 vi kan skriva som summan 3 + (− 2) . Skaffa sig 4 + 3 + (− 2) .

Exempel 14

Alla skillnader i uttryck 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 kan ersättas med summor som 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0 , 2).

Vi kan gå vidare till summor från eventuella skillnader. På samma sätt kan vi göra en omvänd substitution.

Ersättningen av division genom multiplikation med divisorns reciproka är möjlig genom begreppet reciproka tal. Denna transformation kan skrivas som a: b = a (b − 1).

Denna regel låg till grund för regeln för att dividera vanliga bråk.

Exempel 15

Privat 1 2: 3 5 kan ersättas med en produkt av formuläret 1 2 5 3.

På liknande sätt, analogt, kan division ersättas med multiplikation.

Exempel 16

När det gäller uttrycket 1+5:x:(x+3) ersätta division med x kan multipliceras med 1 x. Division efter x + 3 vi kan ersätta genom att multiplicera med 1 x + 3. Transformationen gör att vi kan få ett uttryck som är identiskt med det ursprungliga: 1 + 5 1 x 1 x + 3 .

Att ersätta multiplikation med division utförs enligt schemat a b = a: (b − 1).

Exempel 17

I uttrycket 5 x x 2 + 1 - 3 kan multiplikation ersättas med division som 5: x 2 + 1 x - 3.

Utföra åtgärder med siffror

Att utföra operationer med siffror är föremål för regeln om operationsordning. Först utförs operationer med talpotenser och talrötter. Efter det ersätter vi logaritmer, trigonometriska och andra funktioner med deras värden. Sedan utförs åtgärderna inom parentes. Och då kan du redan utföra alla andra åtgärder från vänster till höger. Det är viktigt att komma ihåg att multiplikation och division utförs före addition och subtraktion.

Operationer med siffror låter dig omvandla det ursprungliga uttrycket till ett identiskt uttryck som är lika med det.

Exempel 18

Låt oss omvandla uttrycket 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x genom att utföra alla möjliga operationer med siffror.

Beslut

Låt oss först titta på graden 2 3 och rot 4 och beräkna deras värden: 2 3 = 8 och 4 = 2 2 = 2 .

Ersätt de erhållna värdena med det ursprungliga uttrycket och få: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .

Låt oss nu göra parenteserna: 8 − 1 = 7 . Och låt oss gå vidare till uttrycket 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Vi måste bara göra multiplikationen 3 och 7 . Vi får: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Svar: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Operationer med siffror kan föregås av andra typer av identiska transformationer, som att gruppera tal eller expandera parenteser.

Exempel 19

Ta uttrycket 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11.

Beslut

Först och främst kommer vi att ändra kvoten inom parentes 6: 3 på dess betydelse 2 . Vi får: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 .

Låt oss utöka parenteserna: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

Låt oss gruppera de numeriska faktorerna i produkten, såväl som termerna som är siffror: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Låt oss göra parenteserna: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Svar:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Om vi arbetar med numeriska uttryck, så blir syftet med vårt arbete att hitta värdet av uttrycket. Om vi transformerar uttryck med variabler, så kommer målet med våra handlingar att vara att förenkla uttrycket.

Inom ramen för den gemensamma faktorn

I de fall termerna i uttrycket har samma faktor kan vi ta denna gemensamma faktor utanför parentes. För att göra detta måste vi först representera det ursprungliga uttrycket som produkten av en gemensam faktor och ett uttryck inom parentes, som består av de ursprungliga termerna utan en gemensam faktor.

Exempel 20

Numeriskt 2 7 + 2 3 vi kan ta ut den gemensamma faktorn 2 utanför parentesen och få ett identiskt korrekt uttryck av formen 2 (7 + 3).

Du kan uppdatera minnet av reglerna för att placera den gemensamma faktorn inom parentes i motsvarande avsnitt av vår resurs. Materialet diskuterar i detalj reglerna för att ta den gemensamma faktorn ur parentes och ger många exempel.

Minskning av liknande villkor

Låt oss nu gå vidare till summor som innehåller liknande termer. Två alternativ är möjliga här: summor som innehåller samma termer och summor vars termer skiljer sig åt med en numerisk koefficient. Operationer med summor som innehåller liknande termer kallas reduktion av liknande termer. Det utförs enligt följande: vi sätter den gemensamma bokstavsdelen inom parentes och beräknar summan av de numeriska koefficienterna inom parentes.

Exempel 21

Tänk på uttrycket 1 + 4 x − 2 x. Vi kan ta den bokstavliga delen av x inom parentes och få uttrycket 1 + x (4 − 2). Låt oss beräkna värdet på uttrycket inom parentes och få summan av formen 1 + x · 2 .

Ersätt siffror och uttryck med identiskt lika uttryck

Siffrorna och uttrycken som utgör det ursprungliga uttrycket kan ersättas med uttryck som är identiskt lika med dem. En sådan omvandling av det ursprungliga uttrycket leder till ett uttryck som är identiskt lika med det.

Exempel 22 Exempel 23

Tänk på uttrycket 1 + a5, där vi kan ersätta graden a 5 med en produkt som är identisk med den, till exempel av formen en 4. Detta kommer att ge oss uttrycket 1 + en 4.

Transformationen som utförs är konstgjord. Det är bara vettigt som förberedelse för andra omvandlingar.

Exempel 24

Tänk på omvandlingen av summan 4 x 3 + 2 x 2. Här termen 4x3 vi kan representera som en produkt 2 x 2 x 2 x. Som ett resultat tar det ursprungliga uttrycket formen 2 x 2 2 x + 2 x 2. Nu kan vi isolera den gemensamma faktorn 2x2 och ta ut den ur parentesen: 2 x 2 (2 x + 1).

Addera och subtrahera samma tal

Att addera och subtrahera samma tal eller uttryck samtidigt är en artificiell.

Exempel 25

Tänk på uttrycket x 2 + 2 x. Vi kan lägga till eller subtrahera en från den, vilket gör det möjligt för oss att sedan utföra en annan identisk transformation - för att välja kvadraten på binomialet: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Efter att ha fått en idé om identiteter är det logiskt att gå vidare till bekantskap med . I den här artikeln kommer vi att svara på frågan om vad identiskt lika uttryck är, och med hjälp av exempel kommer vi också att ta reda på vilka uttryck som är identiska lika och vilka som inte är det.

Sidnavigering.

Vad är identiskt lika uttryck?

Definitionen av identiskt lika uttryck ges parallellt med definitionen av identitet. Detta händer i algebraklassen i 7:an. I läroboken om algebra för 7 klasser ger författaren Yu. N. Makarychev följande formulering:

Definition.

är uttryck vars värden är lika för alla värden av variablerna som ingår i dem. Numeriska uttryck som motsvarar samma värden kallas också identiskt lika.

Denna definition används upp till klass 8, den är giltig för heltalsuttryck, eftersom de är meningsfulla för alla värden av variablerna som ingår i dem. Och i årskurs 8 specificeras definitionen av identiskt lika uttryck. Låt oss förklara vad det är kopplat till.

I årskurs 8 börjar studiet av andra typer av uttryck, som, till skillnad från heltalsuttryck, kanske inte är vettigt för vissa värden av variabler. Detta gör det nödvändigt att införa definitioner av tillåtna och ogiltiga värden för variabler, såväl som intervallet av tillåtna värden för ODV för en variabel, och som ett resultat att förtydliga definitionen av identiskt lika uttryck.

Definition.

Två uttryck vars värden är lika för alla tillåtna värden av deras variabler kallas identiskt lika uttryck. Två numeriska uttryck som har samma värde sägs också vara identiskt lika.

I denna definition av identiskt lika uttryck är det värt att förtydliga innebörden av frasen "för alla tillåtna värden av variablerna som ingår i dem." Det innebär alla sådana värden av variabler för vilka båda identiskt lika uttryck samtidigt är meningsfulla. Denna idé kommer att förtydligas i nästa avsnitt genom att överväga exempel.

Definitionen av identiskt lika uttryck i A. G. Mordkovichs lärobok ges lite annorlunda:

Definition.

Identiska lika uttryckär uttryck på vänster och höger sida av identiteten.

I betydelsen sammanfaller denna och de tidigare definitionerna.

Exempel på likadana uttryck

De definitioner som införts i föregående underavsnitt tillåter oss att ta med exempel på likadana uttryck.

Låt oss börja med identiskt lika numeriska uttryck. De numeriska uttrycken 1+2 och 2+1 är identiskt lika eftersom de motsvarar lika värden 3 och 3 . Uttrycken 5 och 30:6 är också identiskt lika, liksom uttrycken (2 2) 3 och 2 6 (värdena för de sista uttrycken är lika på grund av ). Men de numeriska uttrycken 3+2 och 3−2 är inte identiskt lika, eftersom de motsvarar värdena 5 respektive 1, men de är inte lika.

Nu ger vi exempel på identiskt lika uttryck med variabler. Dessa är uttrycken a+b och b+a . Faktum är att för alla värden av variablerna a och b, tar de skrivna uttrycken samma värden (vilket följer av siffrorna). Till exempel, med a=1 och b=2 har vi a+b=1+2=3 och b+a=2+1=3 . För alla andra värden av variablerna a och b kommer vi också att få lika värden på dessa uttryck. Uttrycken 0·x·y·z och 0 är också identiskt lika för alla värden på variablerna x , y och z . Men uttrycken 2 x och 3 x är inte identiskt lika, eftersom till exempel vid x=1 deras värden inte är lika. Faktum är att för x=1 är uttrycket 2 x 2 1=2 och uttrycket 3 x är 3 1=3 .

När områdena för tillåtna värden för variabler i uttryck sammanfaller, som till exempel i uttrycken a+1 och 1+a , eller a b 0 och 0 , eller och , och värdena för dessa uttryck är lika för alla värden för variabler från dessa områden, då är allt klart - dessa uttryck är identiskt lika för alla tillåtna värden för variablerna som ingår i dem. Så a+1≡1+a för alla a, uttrycken a b 0 och 0 är identiskt lika för alla värden av variablerna a och b, och uttrycken och är identiskt lika för alla x från ; ed. S. A. Teljakovskij. - 17:e upplagan. - M. : Utbildning, 2008. - 240 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Algebra: lärobok för 8 celler. Allmän utbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakovskij. - 16:e upplagan. - M. : Utbildning, 2008. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Mordkovich A.G. Algebra. 7 grader. Kl 14.00 Del 1. En lärobok för studenter vid utbildningsinstitutioner / A. G. Mordkovich. - 17:e upplagan, tillägg. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 s.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.