Värden av trigonometriska ekvationer. Lösa trigonometriska ekvationer

Kräver kunskap om trigonometrins grundläggande formler - summan av kvadraterna av sinus och cosinus, uttrycket för tangenten genom sinus och cosinus, med flera. För de som har glömt eller inte känner till dem rekommenderar vi att läsa artikeln "".
Så vi känner till de grundläggande trigonometriska formlerna, det är dags att omsätta dem i praktiken. Lösa trigonometriska ekvationer med rätt tillvägagångssätt är det en ganska spännande aktivitet, som att till exempel lösa en Rubiks kub.

Utifrån själva namnet är det tydligt att en trigonometrisk ekvation är en ekvation där det okända står under tecknet för en trigonometrisk funktion.
Det finns så kallade enkla trigonometriska ekvationer. Så här ser de ut: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Överväga, hur man löser sådana trigonometriska ekvationer, för tydlighetens skull kommer vi att använda den redan välbekanta trigonometriska cirkeln.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

spjälsäng x = a

Varje trigonometrisk ekvation löses i två steg: vi bringar ekvationen till den enklaste formen och löser den sedan som den enklaste trigonometriska ekvationen.
Det finns 7 huvudmetoder för att lösa trigonometriska ekvationer.

Variabel substitution och substitutionsmetod

Lös ekvationen 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Med hjälp av reduktionsformlerna får vi:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Låt oss ersätta cos(x + /6) med y för enkelhetens skull och få den vanliga andragradsekvationen:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Rötterna vars y 1 = 1, y 2 = 1/2

Låt oss nu gå baklänges

Vi ersätter de hittade värdena av y och får två svar:

Lösa trigonometriska ekvationer genom faktorisering

Hur löser man ekvationen sin x + cos x = 1?

Låt oss flytta allt till vänster så att 0 blir kvar till höger:

sin x + cos x - 1 = 0

Vi använder ovanstående identiteter för att förenkla ekvationen:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Låt oss göra faktoriseringen:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Vi får två ekvationer

Reduktion till en homogen ekvation

En ekvation är homogen med avseende på sinus och cosinus om alla dess termer med avseende på sinus och cosinus har samma grad av samma vinkel. Gör så här för att lösa en homogen ekvation:

a) överföra alla dess medlemmar till vänster sida;

b) placera alla gemensamma faktorer utanför parentes;

c) likställa alla faktorer och parenteser med 0;

d) inom parentes erhålls en homogen ekvation av mindre grad, som i sin tur delas med sinus eller cosinus i högre grad;

e) lös den resulterande ekvationen för tg.

Lös ekvationen 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Låt oss använda formeln sin 2 x + cos 2 x = 1 och bli av med de öppna två till höger:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Dividera med cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Vi ersätter tg x med y och får en andragradsekvation:

y 2 + 4y +3 = 0 vars rötter är y 1 =1, y 2 = 3

Härifrån hittar vi två lösningar till den ursprungliga ekvationen:

x 2 \u003d arctg 3 + k

Lösa ekvationer, genom övergången till en halv vinkel

Lös ekvationen 3sin x - 5cos x = 7

Låt oss gå vidare till x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Flyttar allt åt vänster:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Dividera med cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

Införande av en extra vinkel

För övervägande, låt oss ta en ekvation av formen: a sin x + b cos x \u003d c,

där a, b, c är några godtyckliga koefficienter och x är en okänd.

Dividera båda sidor av ekvationen med:

Nu har ekvationens koefficienter, enligt trigonometriska formler, egenskaperna sin och cos, nämligen: deras modul är inte mer än 1 och summan av kvadraterna = 1. Låt oss beteckna dem som cos respektive sin, där är så kallad hjälpvinkel. Då kommer ekvationen att ta formen:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

eller sin(x + ) = C

Lösningen på denna enkla trigonometriska ekvation är

x \u003d (-1) k * båge C - + k, där

Det bör noteras att beteckningarna cos och sin är utbytbara.

Lös ekvationen sin 3x - cos 3x = 1

I denna ekvation är koefficienterna:

a \u003d, b \u003d -1, så vi dividerar båda delarna med \u003d 2

Videokursen "Få ett A" innehåller alla ämnen som krävs för att lyckas klara provet i matematik för 60-65 poäng. Helt alla uppgifter 1-13 profilprov matematik. Även lämplig för att klara Basic USE i matematik. Om du vill klara provet med 90-100 poäng behöver du lösa del 1 på 30 minuter och utan misstag!

Förberedelsekurs inför tentamen för årskurs 10-11, samt för lärare. Allt du behöver för att lösa del 1 av provet i matematik (de första 12 uppgifterna) och uppgift 13 (trigonometri). Och det här är mer än 70 poäng på Unified State Examination, och varken en hundrapoängsstudent eller en humanist kan klara sig utan dem.

All nödvändig teori. Snabba sätt provets lösningar, fällor och hemligheter. Alla relevanta uppgifter i del 1 från Bank of FIPI-uppgifter har analyserats. Kursen uppfyller helt kraven i USE-2018.

Kursen innehåller 5 stora ämnen, 2,5 timmar vardera. Varje ämne ges från grunden, enkelt och tydligt.

Hundratals tentamensuppgifter. Textproblem och sannolikhetsteori. Enkla och lätta att komma ihåg problemlösningsalgoritmer. Geometri. Teori, referensmaterial, analys av alla typer av USE-uppgifter. Stereometri. Knepiga knep lösningar, användbara fuskblad, utveckling av rumslig fantasi. Trigonometri från grunden - till uppgift 13. Förstå istället för att proppa. Visuell förklaring av komplexa begrepp. Algebra. Rötter, potenser och logaritmer, funktion och derivata. Bas för lösning utmanande uppgifter 2 delar av tentamen.

Det är ingen hemlighet att framgång eller misslyckande i processen att lösa nästan alla problem beror främst på riktigheten av typdefinitionen. given ekvation, såväl som på korrekt återgivning av sekvensen av alla stadier av dess lösning. Men när det gäller trigonometriska ekvationer är det inte alls svårt att avgöra att ekvationen är trigonometrisk. Men i processen att bestämma sekvensen av åtgärder som ska leda oss till det korrekta svaret, kan vi stöta på vissa svårigheter. Låt oss ta reda på hur man löser trigonometriska ekvationer korrekt från början.

Lösa trigonometriska ekvationer

För att lösa den trigonometriska ekvationen måste du försöka utföra följande punkter:

Vi för alla funktioner som ingår i vår ekvation till "samma vinklar";
Behöver ta med för given ekvation till "samma funktioner";
Vi bryter ner den vänstra sidan av den givna ekvationen i faktorer eller andra nödvändiga komponenter.

Metoder

Metod 1. Det är nödvändigt att lösa sådana ekvationer i två steg. Först transformerar vi ekvationen för att få dess enklaste (förenklade) form. Ekvation: Cosx = a, Sinx = a och liknande kallas de enklaste trigonometriska ekvationerna. Det andra steget är att lösa den resulterande enkla ekvationen. Det bör noteras att den enklaste ekvationen kan lösas med den algebraiska metoden, som är välkänd för oss från skolalgebrakursen. Det kallas också för substitutions- och variabelsubstitutionsmetoden. Med hjälp av reduktionsformler behöver du först konvertera, sedan göra en ersättning och sedan hitta rötterna.

Därefter måste du dekomponera vår ekvation i möjliga faktorer, för detta måste du flytta alla termer till vänster och sedan kan du dekomponera i faktorer. Nu måste du föra denna ekvation till en homogen, där alla termer är lika i samma grad och cosinus och sinus har samma vinkel.

Innan du löser trigonometriska ekvationer måste du överföra dess termer till vänster sida, ta dem från höger sida, och sedan tar vi ut alla gemensamma nämnare inom parentes. Vi likställer våra parenteser och faktorer till noll. Våra jämställda parenteser är en homogen ekvation med reducerad grad som ska divideras med sin(cos) till högsta potens. Nu bestämmer vi oss algebraisk ekvation, som erhölls, i förhållande till solbränna.

Metod 2. En annan metod med vilken du kan lösa den trigonometriska ekvationen är övergången till en halv vinkel. Till exempel löser vi ekvationen: 3sinx-5cosx=7.

Vi måste gå till halv vinkel, i vårt fall är det: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos² (x / 2). Och efter det reducerar vi alla termer till en del (för enkelhetens skull är det bättre att välja rätt) och fortsätter med att lösa ekvationen.

Om det behövs kan du ange en extra vinkel. Detta görs när du behöver ersätta heltalsvärdet sin (a) eller cos (a) och tecknet "a" bara fungerar som en hjälpvinkel.

produkt för att summera

Hur löser man trigonometriska ekvationer med summaprodukt? Metoden som kallas produkt-till-summa-omvandling kan också användas för att lösa sådana ekvationer. I det här fallet är det nödvändigt att använda formlerna som motsvarar ekvationen.

Till exempel har vi en ekvation: 2sinx * sin3x= cos4x

Vi måste lösa detta problem genom att omvandla den vänstra sidan till en summa, nämligen:

cos 4x –cos8x=cos4x ,

x = p/16 + pk/8.

Om ovanstående metoder inte är lämpliga, och du fortfarande inte vet hur man löser de enklaste trigonometriska ekvationerna, kan du använda en annan metod - universell substitution. Med den kan du förvandla uttrycket och göra en ersättning. Till exempel: Cos(x/2)=u. Nu kan vi lösa ekvationen med den givna parametern u. Och efter att ha fått det önskade resultatet, glöm inte att översätta detta värde till det motsatta.

Många "erfarna" studenter rekommenderas att vända sig till människor online för att lösa ekvationer. Hur man löser en trigonometrisk ekvation online, frågar du. För onlinelösningar problem kan du vända dig till forumen för de relevanta ämnena, där de kan hjälpa dig med råd eller att lösa problemet. Men det bästa är att försöka klara sig själv.

Färdigheter och förmåga att lösa trigonometriska ekvationer är mycket viktiga och användbara. Deras utveckling kommer att kräva mycket ansträngning från dig. Många problem inom fysik, stereometri, etc. är förknippade med lösningen av sådana ekvationer. Och själva processen att lösa sådana problem innebär närvaron av färdigheter och kunskaper som kan förvärvas när man studerar elementen i trigonometri.

Lär dig trigonometriska formler

I processen att lösa en ekvation kan du stöta på behovet av att använda valfri formel från trigonometri. Du kan förstås börja leta efter det i dina läroböcker och fuskblad. Och om dessa formler sätts i ditt huvud, kommer du inte bara att spara dina nerver, utan också göra din uppgift mycket enklare, utan att slösa tid på att söka efter den nödvändiga informationen. Således kommer du att ha möjlighet att tänka igenom det mest rationella sättet att lösa problemet.

Lektion komplex applikation kunskap.

Lektionsmål.

Överväga olika metoder lösningar av trigonometriska ekvationer.
Utveckling kreativitet elever genom att lösa ekvationer.
Uppmuntra eleverna till självkontroll, ömsesidig kontroll, självanalys av sina pedagogiska aktiviteter.

Utrustning: duk, projektor, referensmaterial.

Under lektionerna

Inledande samtal.

Den huvudsakliga metoden för att lösa trigonometriska ekvationer är deras enklaste reduktion. I det här fallet används de vanliga metoderna, till exempel faktorisering, samt tekniker som endast används för att lösa trigonometriska ekvationer. Det finns ganska många av dessa trick, till exempel olika trigonometriska substitutioner, vinkeltransformationer, transformationer av trigonometriska funktioner. Den urskillningslösa tillämpningen av alla trigonometriska transformationer förenklar vanligtvis inte ekvationen, utan komplicerar den katastrofalt. Att träna i i generella termer planera för att lösa ekvationen, skissera ett sätt att reducera ekvationen till det enklaste, du måste först analysera vinklarna - argumenten för de trigonometriska funktionerna som ingår i ekvationen.

Idag kommer vi att prata om metoder för att lösa trigonometriska ekvationer. En korrekt vald metod tillåter ofta en betydande förenkling av lösningen, så alla metoder vi har studerat bör alltid hållas i vår uppmärksamhetszon för att lösa trigonometriska ekvationer på det mest lämpliga sättet.

II. (Med hjälp av en projektor upprepar vi metoderna för att lösa ekvationer.)

1. En metod för att reducera en trigonometrisk ekvation till en algebraisk.

Allt måste uttryckas trigonometriska funktioner genom en, med samma argument. Detta kan göras med hjälp av den grundläggande trigonometriska identiteten och dess följder. Vi får en ekvation med en trigonometrisk funktion. Om vi tar det som ett nytt okänt får vi en algebraisk ekvation. Vi hittar dess rötter och återvänder till det gamla okända och löser de enklaste trigonometriska ekvationerna.

2. Metod för faktorisering.

För att ändra vinklar är reduktionsformler, summor och skillnader av argument, samt formler för att omvandla summan (differensen) av trigonometriska funktioner till en produkt och vice versa ofta användbara.

sinx + sin3x = sin2x + sin4x

3. Metod för att införa ytterligare en vinkel.

4. Metod för att använda universell substitution.

Ekvationer av formen F(sinx, cosx, tgx) = 0 reduceras till algebraiska ekvationer med den universella trigonometriska substitutionen

Uttrycker sinus, cosinus och tangens i termer av tangenten för en halv vinkel. Detta trick kan leda till en ekvation av högre ordning. Beslutet är svårt.

Din integritet är viktig för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs vår integritetspolicy och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera en specifik person eller kontakta denne.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Följande är några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information vi samlar in:

När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, adress E-post etc.

Hur vi använder din personliga information:

Samlas av oss personlig information tillåter oss att kontakta dig och informera dig om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
Då och då kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer till dig.
Vi kan också komma att använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att utföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande incitament kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Avslöjande till tredje part

Vi lämnar inte ut information från dig till tredje part.

Undantag:

Om nödvändigt - i enlighet med lag, rättsordning, i rättsliga förfaranden och/eller baserat på offentliga förfrågningar eller framställningar från statliga myndigheter på Ryska federationens territorium - lämna ut din personliga information. Vi kan också avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt av säkerhetsskäl, brottsbekämpande eller andra allmänintressen.
I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra de personuppgifter vi samlar in till den relevanta tredje partens efterträdare.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som från obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Upprätthålla din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker, kommunicerar vi sekretess- och säkerhetspraxis till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.