Andragradsekvationer är inte lika med noll. Kvadratisk ekvation

Bara. Enligt formler och tydliga enkla regler. I det första skedet

det är nödvändigt att föra den givna ekvationen till standardformen, dvs. till utsikten:

Om ekvationen redan ges till dig i detta formulär, behöver du inte göra det första steget. Det viktigaste är rätt

bestämma alla koefficienter a, b och c.

Formel för att hitta rötterna till en andragradsekvation.

Uttrycket under rottecknet kallas diskriminerande . Som du kan se, för att hitta x, vi

använda sig av endast a, b och c. De där. odds från andragradsekvation. Sätt bara försiktigt in

värden a, b och c in i denna formel och räkna. Ersätter med deras tecken!

till exempel, i ekvationen:

a =1; b = 3; c = -4.

Byt ut värdena och skriv:

Exempel nästan löst:

Detta är svaret.

De vanligaste misstagen är förväxling med värdens tecken a, b och med. Snarare med substitution

negativa värden i formeln för att beräkna rötterna. Här sparar den detaljerade formeln

med specifika nummer. Om det är problem med beräkningar, gör det!

Anta att vi behöver lösa följande exempel:

Här a = -6; b = -5; c = -1

Vi målar allt i detalj, noggrant, utan att missa något med alla skyltar och fästen:

Ofta ser andragradsekvationer något annorlunda ut. Till exempel, så här:

Notera nu de praktiska teknikerna som dramatiskt minskar antalet fel.

Första mottagningen. Var inte lat innan lösa en andragradsekvation föra den till standardform.

Vad betyder det här?

Antag att du efter några transformationer får följande ekvation:

Ha inte bråttom att skriva formeln för rötterna! Du kommer nästan säkert att blanda ihop oddsen a, b och c.

Bygg exemplet rätt. Först x kvadrat, sedan utan kvadrat, sedan en fri medlem. Så här:

Bli av med minuset. På vilket sätt? Vi måste multiplicera hela ekvationen med -1. Vi får:

Och nu kan du säkert skriva ner formeln för rötterna, beräkna diskriminanten och slutföra exemplet.

Bestäm själv. Du bör sluta med rötterna 2 och -1.

Andra mottagningen. Kontrollera dina rötter! Förbi Vietas sats.

För att lösa de givna andragradsekvationerna, dvs. om koefficienten

x2+bx+c=0,

sedanx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

För en komplett andragradsekvation där a≠1:

x 2 +bx+c=0,

dividera hela ekvationen med a:

→ →

var x 1 och x 2 - rötter till ekvationen.

Mottagning tredje. Om din ekvation har bråkkoefficienter, bli av med bråken! Multiplicera

ekvation för en gemensam nämnare.

Slutsats. Praktiska tips:

1. Innan vi löser tar vi andragradsekvationen till standardformen, bygger den rätt.

2. Om det finns en negativ koefficient framför x i kvadraten, eliminerar vi den genom att multiplicera allt

ekvationer för -1.

3. Om koefficienterna är bråkdelar, eliminerar vi bråken genom att multiplicera hela ekvationen med motsvarande

faktor.

4. Om x i kvadrat är ren är koefficienten för den lika med ett, lösningen kan enkelt kontrolleras av

Formler för rötterna till en andragradsekvation. Fallen med verkliga, multipla och komplexa rötter beaktas. Faktorisering av ett kvadratiskt trinomium. Geometrisk tolkning. Exempel på bestämning av rötter och faktorisering.

Grundläggande formler

Tänk på andragradsekvationen:
(1) .
Rötterna till en andragradsekvation(1) bestäms av formlerna:
; .
Dessa formler kan kombineras så här:
.
När rötterna till andragradsekvationen är kända, kan polynomet av andra graden representeras som en produkt av faktorer (faktoriserat):
.

Vidare antar vi att det är reella tal.
Överväga diskriminant av en andragradsekvation:
.
Om diskriminanten är positiv har andragradsekvationen (1) två olika reella rötter:
; .
Då har faktoriseringen av kvadrattrinomialet formen:
.
Om diskriminanten är noll, så har andragradsekvationen (1) två multipla (lika) reella rötter:
.
Faktorisering:
.
Om diskriminanten är negativ har andragradsekvationen (1) två komplexa konjugerade rötter:
;
.
Här är den imaginära enheten, ;
och är de verkliga och imaginära delarna av rötterna:
; .
Sedan

.

Grafisk tolkning

Om vi ​​plottar funktionen
,
som är en parabel, då kommer skärningspunkterna för grafen med axeln att vara rötterna till ekvationen
.
När , skär grafen abskissaxeln (axeln) vid två punkter.
När , vidrör grafen x-axeln vid en punkt.
När , korsar grafen inte x-axeln.

Nedan finns exempel på sådana grafer.

Användbara formler relaterade till kvadratiska ekvation

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Härledning av formeln för rötterna till en andragradsekvation

Vi utför transformationer och tillämpar formler (f.1) och (f.3):




,
var
; .

Så vi fick formeln för polynomet av andra graden i formen:
.
Av detta kan man se att ekvationen

uppträdde kl
och .
Det vill säga, och är rötterna till andragradsekvationen
.

Exempel på att bestämma rötterna till en andragradsekvation

Exempel 1

(1.1) .

Beslut

.
Jämför vi med vår ekvation (1.1) finner vi värdena på koefficienterna:
.
Hitta diskriminanten:
.
Eftersom diskriminanten är positiv har ekvationen två reella rötter:
;
;
.

Härifrån får vi sönderdelningen av kvadrattrinomialet i faktorer:

.

Graf över funktionen y = 2 x 2 + 7 x + 3 korsar x-axeln i två punkter.

Låt oss plotta funktionen
.
Grafen för denna funktion är en parabel. Den korsar x-axeln (axeln) vid två punkter:
och .
Dessa punkter är rötterna till den ursprungliga ekvationen (1.1).

Svar

;
;
.

Exempel 2

Hitta rötterna till en andragradsekvation:
(2.1) .

Beslut

Vi skriver andragradsekvationen i allmän form:
.
Jämför vi med den ursprungliga ekvationen (2.1) finner vi värdena på koefficienterna:
.
Hitta diskriminanten:
.
Eftersom diskriminanten är noll har ekvationen två multipla (lika) rötter:
;
.

Då har faktoriseringen av trinomialet formen:
.

Graf för funktionen y = x 2 - 4 x + 4 vidrör x-axeln vid en punkt.

Låt oss plotta funktionen
.
Grafen för denna funktion är en parabel. Den berör x-axeln (axeln) vid en punkt:
.
Denna punkt är roten till den ursprungliga ekvationen (2.1). Eftersom denna rot är faktoriserad två gånger:
,
då kallas en sådan rot en multipel. Det vill säga, de anser att det finns två lika rötter:
.

Svar

;
.

Exempel 3

Hitta rötterna till en andragradsekvation:
(3.1) .

Beslut

Vi skriver andragradsekvationen i allmän form:
(1) .
Låt oss skriva om den ursprungliga ekvationen (3.1):
.
Jämför vi med (1) finner vi värdena på koefficienterna:
.
Hitta diskriminanten:
.
Diskriminanten är negativ, . Därför finns det inga riktiga rötter.

Du kan hitta komplexa rötter:
;
;
.

Sedan


.

Grafen för funktionen korsar inte x-axeln. Det finns inga riktiga rötter.

Låt oss plotta funktionen
.
Grafen för denna funktion är en parabel. Den korsar inte abskissan (axeln). Därför finns det inga riktiga rötter.

Svar

Det finns inga riktiga rötter. Komplexa rötter:
;
;
.

Andragradsekvation - lätt att lösa! *Vidare i texten "KU". Vänner, det verkar som om det i matematik kan vara lättare än att lösa en sådan ekvation. Men något sa mig att många har problem med honom. Jag bestämde mig för att se hur många visningar Yandex ger per begäran per månad. Här är vad som hände, ta en titt:

Vad betyder det? Det betyder att cirka 70 000 personer i månaden söker den här informationen, och det här är sommar, och vad som kommer att hända under läsåret – det kommer att finnas dubbelt så många förfrågningar. Detta är inte förvånande, eftersom de killar och tjejer som länge har tagit examen från skolan och förbereder sig för provet letar efter denna information, och skolbarn försöker också fräscha upp minnet.

Trots att det finns en hel del sajter som berättar hur man löser denna ekvation så bestämde jag mig för att också bidra och publicera materialet. För det första vill jag att besökare ska komma till min sida på denna begäran; för det andra, i andra artiklar, när talet "KU" kommer upp, kommer jag att ge en länk till denna artikel; för det tredje kommer jag att berätta lite mer om hans lösning än vad som brukar anges på andra sajter. Låt oss börja! Innehållet i artikeln:

En andragradsekvation är en ekvation av formen:

där koefficienterna a,boch med godtyckliga tal, med a≠0.

I skolkursen ges materialet i följande form - uppdelningen av ekvationer i tre klasser görs villkorligt:

1. Har två rötter.

2. * Har bara en rot.

3. Har inga rötter. Det är värt att notera här att de inte har riktiga rötter

Hur beräknas rötter? Bara!

Vi beräknar diskriminanten. Under detta "hemska" ord ligger en mycket enkel formel:

Rotformlerna är följande:

*Dessa formler måste vara kända utantill.

Du kan omedelbart skriva ner och lösa:

Exempel:

1. Om D > 0 har ekvationen två rötter.

2. Om D = 0, så har ekvationen en rot.

3. Om D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Låt oss titta på ekvationen:

Vid detta tillfälle, när diskriminanten är noll, säger skolkursen att en rot erhålls, här är den lika med nio. Det stämmer, det är det, men...

Denna framställning är något felaktig. I själva verket finns det två rötter. Ja, ja, bli inte förvånad, det visar sig två lika stora rötter, och för att vara matematiskt korrekt bör två rötter skrivas i svaret:

x 1 = 3 x 2 = 3

Men det är så - en liten utvikning. I skolan kan man skriva ner och säga att det bara finns en rot.

Nu följande exempel:

Som vi vet extraheras inte roten av ett negativt tal, så det finns ingen lösning i det här fallet.

Det är hela beslutsprocessen.

Kvadratisk funktion.

Så här ser lösningen ut geometriskt. Detta är extremt viktigt att förstå (i framtiden, i en av artiklarna, kommer vi att analysera i detalj lösningen av en kvadratisk ojämlikhet).

Detta är en funktion av formuläret:

där x och y är variabler

a, b, c ges tal, där a ≠ 0

Grafen är en parabel:

Det vill säga, det visar sig att genom att lösa en andragradsekvation med "y" lika med noll, hittar vi parabelns skärningspunkter med x-axeln. Det kan finnas två av dessa punkter (diskriminanten är positiv), en (diskriminanten är noll) eller ingen (diskriminanten är negativ). Mer om den kvadratiska funktionen Du kan se artikel av Inna Feldman.

Tänk på exempel:

Exempel 1: Bestäm dig 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Svar: x 1 = 8 x 2 = -12

* Du kan direkt dividera vänster och höger sida av ekvationen med 2, det vill säga förenkla den. Beräkningarna blir lättare.

Exempel 2: Besluta x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Vi fick det x 1 \u003d 11 och x 2 \u003d 11

I svaret är det tillåtet att skriva x = 11.

Svar: x = 11

Exempel 3: Besluta x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminanten är negativ, det finns ingen lösning i reella tal.

Svar: ingen lösning

Diskriminanten är negativ. Det finns en lösning!

Här kommer vi att prata om att lösa ekvationen i fallet när en negativ diskriminant erhålls. Kan du något om komplexa tal? Jag kommer inte att gå in i detalj här om varför och var de uppstod och vad deras specifika roll och nödvändighet i matematik är, detta är ett ämne för en stor separat artikel.

Begreppet ett komplext tal.

Lite teori.

Ett komplext tal z är ett tal av formen

z = a + bi

där a och b är reella tal, i är den så kallade imaginära enheten.

a+bi är ett ENKELTAL, inte ett tillägg.

Den imaginära enheten är lika med roten av minus ett:

Tänk nu på ekvationen:

Få två konjugerade rötter.

Ofullständig andragradsekvation.

Tänk på speciella fall, det är när koefficienten "b" eller "c" är lika med noll (eller båda är lika med noll). De löses enkelt utan diskriminering.

Fall 1. Koefficient b = 0.

Ekvationen tar formen:

Låt oss förvandla:

Exempel:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Fall 2. Koefficient c = 0.

Ekvationen tar formen:

Förvandla, faktorisera:

*Produkten är lika med noll när minst en av faktorerna är lika med noll.

Exempel:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 eller x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Fall 3. Koefficienter b = 0 och c = 0.

Här är det tydligt att lösningen till ekvationen alltid kommer att vara x = 0.

Användbara egenskaper och mönster av koefficienter.

Det finns egenskaper som tillåter att lösa ekvationer med stora koefficienter.

ax 2 + bx+ c=0 jämlikhet

a + b+ c = 0, sedan

— om för ekvationens koefficienter ax 2 + bx+ c=0 jämlikhet

a+ med =b, sedan

Dessa egenskaper hjälper till att lösa en viss typ av ekvation.

Exempel 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Summan av koefficienterna är 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, alltså

Exempel 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Jämlikhet a+ med =b, betyder att

Regelbundenheter av koefficienter.

1. Om koefficienten "b" i ekvationen ax 2 + bx + c \u003d 0 är (a 2 +1), och koefficienten "c" är numeriskt lika med koefficienten "a", så är dess rötter

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Exempel. Betrakta ekvationen 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Om koefficienten "b" i ekvationen ax 2 - bx + c \u003d 0 är (a 2 +1), och koefficienten "c" är numeriskt lika med koefficienten "a", så är dess rötter

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Exempel. Betrakta ekvationen 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Om i ekvationen ax 2 + bx - c = 0 koefficient "b" är lika med (en 2 – 1), och koefficienten "c" numeriskt lika med koefficienten "a", då är dess rötter lika

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Exempel. Betrakta ekvationen 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Om koefficienten "b" i ekvationen ax 2 - bx - c \u003d 0 är lika med (a 2 - 1), och koefficienten c är numeriskt lika med koefficienten "a", så är dess rötter

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Exempel. Betrakta ekvationen 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietas sats.

Vietas teorem är uppkallad efter den berömde franske matematikern Francois Vieta. Med hjälp av Vietas teorem kan man uttrycka summan och produkten av rötterna till en godtycklig KU i termer av dess koefficienter.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Sammanfattningsvis ger talet 14 bara 5 och 9. Dessa är rötterna. Med en viss skicklighet, med hjälp av den presenterade satsen, kan du lösa många andragradsekvationer omedelbart muntligt.

Vietas sats dessutom. bekvämt eftersom efter att ha löst andragradsekvationen på vanligt sätt (genom diskriminanten) kan de resulterande rötterna kontrolleras. Jag rekommenderar att du gör detta hela tiden.

ÖVERFÖRINGSMETOD

Med denna metod multipliceras koefficienten "a" med den fria termen, som om den "överförs" till den, varför den kallas överföringsmetod. Denna metod används när det är lätt att hitta rötterna till en ekvation med hjälp av Vietas sats och, viktigast av allt, när diskriminanten är en exakt kvadrat.

Om en a± b+c≠ 0, då används överföringstekniken, till exempel:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Enligt Vieta-satsen i ekvation (2) är det lätt att bestämma att x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

De erhållna rötterna av ekvationen måste delas med 2 (eftersom de två "kastades" från x 2), får vi

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Vad är motiveringen? Se vad som händer.

Diskriminanterna i ekvationerna (1) och (2) är:

Om du tittar på rötterna till ekvationerna erhålls bara olika nämnare, och resultatet beror exakt på koefficienten vid x 2:

De andra (modifierade) rötterna är 2 gånger större.

Därför delar vi resultatet med 2.

*Om vi ​​slår tre lika delar vi resultatet med 3 osv.

Svar: x 1 = 5 x 2 = 0,5

kvm ur-ie och tentamen.

Jag kommer att säga kort om dess betydelse - DU BÖR KUNNA BESLUTA snabbt och utan att tänka, du måste kunna formlerna för rötterna och diskriminanten utantill. Många av uppgifterna som ingår i USE-uppgifterna handlar om att lösa en andragradsekvation (inklusive geometriska).

Vad är värt att notera!

1. Formen på ekvationen kan vara "implicit". Till exempel är följande post möjlig:

15+ 9x 2 - 45x = 0 eller 15x+42+9x 2 - 45x=0 eller 15 -5x+10x 2 = 0.

Du måste ta det till en standardform (för att inte bli förvirrad när du löser).

2. Kom ihåg att x är ett okänt värde och det kan betecknas med vilken bokstav som helst - t, q, p, h och andra.

Det här ämnet kan tyckas komplicerat till en början på grund av de många inte så enkla formlerna. Inte bara andragradsekvationerna i sig har långa poster, utan rötterna hittas också genom diskriminanten. Det finns tre nya formler totalt. Inte så lätt att komma ihåg. Detta är möjligt endast efter den frekventa lösningen av sådana ekvationer. Då kommer alla formler att komma ihåg av sig själva.

Allmän bild av andragradsekvationen

Här föreslås deras explicita notation, när den största graden skrivs först, och sedan - i fallande ordning. Ofta finns det situationer när villkoren skiljer sig åt. Då är det bättre att skriva om ekvationen i fallande ordning efter variabelns grad.

Låt oss introducera notation. De presenteras i tabellen nedan.

Om vi ​​accepterar dessa notationer reduceras alla andragradsekvationer till följande notation.

Dessutom är koefficienten a ≠ 0. Låt denna formel betecknas med nummer ett.

När ekvationen ges är det inte klart hur många rötter som kommer att finnas i svaret. Eftersom ett av tre alternativ alltid är möjligt:

• lösningen kommer att ha två rötter;
• svaret blir ett nummer;
• Ekvationen har inga rötter alls.

Och även om beslutet inte avslutas, är det svårt att förstå vilket av alternativen som kommer att falla ut i ett visst fall.

Typer av poster av andragradsekvationer

Uppgifter kan ha olika poster. De kommer inte alltid att se ut som den allmänna formeln för en andragradsekvation. Ibland kommer det att sakna några termer. Det som skrevs ovan är den fullständiga ekvationen. Om du tar bort den andra eller tredje termen i den får du något annat. Dessa poster kallas också andragradsekvationer, endast ofullständiga.

Dessutom kan bara de termer för vilka koefficienterna "b" och "c" försvinna. Siffran "a" kan under inga omständigheter vara lika med noll. För i det här fallet förvandlas formeln till en linjär ekvation. Formlerna för den ofullständiga formen av ekvationerna kommer att vara följande:

Så det finns bara två typer, förutom kompletta finns det också ofullständiga andragradsekvationer. Låt den första formeln vara nummer två och den andra nummer tre.

Diskriminanten och antalet rötters beroende av dess värde

Detta nummer måste vara känt för att kunna beräkna ekvationens rötter. Det går alltid att beräkna, oavsett vilken formel för andragradsekvationen är. För att beräkna diskriminanten måste du använda jämställdheten nedan, som kommer att ha nummer fyra.

Efter att ha ersatt värdena för koefficienterna i denna formel kan du få tal med olika tecken. Om svaret är ja, kommer svaret på ekvationen att vara två olika rötter. Med ett negativt tal kommer rötterna till andragradsekvationen att saknas. Om det är lika med noll blir svaret ett.

Hur löses en komplett andragradsekvation?

Faktum är att övervägandet av denna fråga redan har börjat. För först måste du hitta diskriminanten. Efter att det har klargjorts att det finns rötter till andragradsekvationen, och deras antal är känt, måste du använda formlerna för variablerna. Om det finns två rötter, måste du tillämpa en sådan formel.

Eftersom den innehåller tecknet "±" kommer det att finnas två värden. Uttrycket under kvadratrottecknet är diskriminanten. Därför kan formeln skrivas om på ett annat sätt.

Formel fem. Från samma post kan man se att om diskriminanten är noll, kommer båda rötterna att ha samma värden.

Om lösningen av andragradsekvationer ännu inte har utarbetats, är det bättre att skriva ner värdena för alla koefficienter innan du använder diskriminant- och variabelformlerna. Senare kommer detta ögonblick inte att orsaka svårigheter. Men i början råder förvirring.

Hur löser man en ofullständig andragradsekvation?

Allt är mycket enklare här. Inte ens det behövs ytterligare formler. Och du behöver inte de som redan har skrivits för diskriminerande och okända.

Tänk först på den ofullständiga ekvationen nummer två. I denna likhet är det meningen att det ska ta det okända värdet ur parentesen och lösa den linjära ekvationen, som kommer att finnas kvar inom parentesen. Svaret kommer att ha två rötter. Den första är nödvändigtvis lika med noll, eftersom det finns en faktor som består av själva variabeln. Den andra erhålls genom att lösa en linjär ekvation.

Den ofullständiga ekvationen vid nummer tre löses genom att överföra talet från vänster sida av ekvationen till höger. Sedan måste du dividera med koefficienten framför det okända. Det återstår bara att extrahera kvadratroten och glöm inte att skriva ner den två gånger med motsatta tecken.

Följande är några åtgärder som hjälper dig att lära dig hur du löser alla typer av likheter som förvandlas till andragradsekvationer. De kommer att hjälpa eleven att undvika misstag på grund av ouppmärksamhet. Dessa brister är orsaken till dåliga betyg när man studerar det omfattande ämnet "Quadric Equations (Betyg 8)". Därefter kommer dessa åtgärder inte att behöva utföras konstant. För det blir en stabil vana.

• Först måste du skriva ekvationen i standardform. Det vill säga först termen med den största graden av variabeln, och sedan - utan graden och den sista - bara en siffra.

• Om ett minus visas före koefficienten "a", kan det komplicera arbetet för en nybörjare att studera andragradsekvationer. Det är bättre att bli av med det. För detta ändamål måste all likhet multipliceras med "-1". Det betyder att alla termer kommer att ändra tecken till motsatt.

• På samma sätt rekommenderas att bli av med fraktioner. Multiplicera helt enkelt ekvationen med lämplig faktor så att nämnarna tar bort.

Exempel

Det krävs för att lösa följande andragradsekvationer:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Den första ekvationen: x 2 - 7x \u003d 0. Den är ofullständig, därför löses den enligt beskrivningen för formel nummer två.

Efter bracketing visar det sig: x (x - 7) \u003d 0.

Den första roten får värdet: x 1 \u003d 0. Den andra kommer att hittas från den linjära ekvationen: x - 7 \u003d 0. Det är lätt att se att x 2 \u003d 7.

Andra ekvationen: 5x2 + 30 = 0. Återigen ofullständig. Bara det löses enligt beskrivningen för den tredje formeln.

Efter att ha överfört 30 till höger sida av ekvationen: 5x 2 = 30. Nu måste du dividera med 5. Det visar sig: x 2 = 6. Svaren blir siffror: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Tredje ekvationen: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Här och nedan börjar lösningen av andragradsekvationer med att skriva om dem till en standardform: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Nu är det dags att använda den andra användbart tips och multiplicera allt med minus ett. Det visar sig x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Enligt den fjärde formeln måste du beräkna diskriminanten: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Det är en Positivt nummer. Av det som sagts ovan visar det sig att ekvationen har två rötter. De måste beräknas enligt den femte formeln. Enligt det visar det sig att x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Sedan x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Den fjärde ekvationen x 2 + 8 + 3x \u003d 0 omvandlas till detta: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Dess diskriminant är lika med detta värde: -23. Eftersom detta nummer är negativt kommer svaret på denna uppgift att vara följande post: "Det finns inga rötter."

Den femte ekvationen 12x + x 2 + 36 = 0 ska skrivas om enligt följande: x 2 + 12x + 36 = 0. Efter att ha tillämpat formeln för diskriminanten erhålls talet noll. Detta betyder att den kommer att ha en rot, nämligen: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Den sjätte ekvationen (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) kräver transformationer, som består i att du måste ta med liknande termer, innan du öppnar parenteserna. I stället för den första kommer det att finnas ett sådant uttryck: x 2 + 2x + 1. Efter likhet kommer denna post att visas: x 2 + 3x + 2. Efter att liknande termer har räknats kommer ekvationen att ha formen: x 2 - x \u003d 0. Den har blivit ofullständig . Liknande det har redan ansetts vara lite högre. Rötterna till detta kommer att vara siffrorna 0 och 1.

I det moderna samhället kan förmågan att arbeta med ekvationer som innehåller en kvadratisk variabel vara användbar inom många verksamhetsområden och används flitigt i praktiken inom vetenskaplig och teknisk utveckling. Detta kan bevisas av utformningen av sjö- och flodfartyg, flygplan och missiler. Med hjälp av sådana beräkningar bestäms banorna för rörelsen av olika kroppar, inklusive rymdobjekt. Exempel med lösning av kvadratiska ekvationer används inte bara i ekonomiska prognoser, vid design och konstruktion av byggnader, utan också under de vanligaste vardagliga omständigheterna. De kan behövas på campingturer, på sportevenemang, i butiker när du handlar och i andra mycket vanliga situationer.

Låt oss dela upp uttrycket i komponentfaktorer

Graden av en ekvation bestäms av maxvärdet för graden av variabeln som det givna uttrycket innehåller. Om det är lika med 2, så kallas en sådan ekvation en andragradsekvation.

Om vi ​​talar på formlerspråk, så kan dessa uttryck, oavsett hur de ser ut, alltid föras till formen när den vänstra sidan av uttrycket består av tre termer. Bland dem: axe 2 (det vill säga en variabel kvadratisk med sin koefficient), bx (en okänd utan en kvadrat med sin koefficient) och c (fri komponent, det vill säga ett vanligt tal). Allt detta på höger sida är lika med 0. I fallet när ett sådant polynom inte har en av sina beståndsdelar, med undantag för axel 2, kallas det en ofullständig andragradsekvation. Exempel på lösning av sådana problem, där värdet på variablerna inte är svårt att hitta, bör övervägas först.

Om uttrycket ser ut att ha två termer på höger sida av uttrycket, närmare bestämt ax 2 och bx, är det lättast att hitta x genom att placera variabeln inom parentes. Nu kommer vår ekvation att se ut så här: x(ax+b). Vidare blir det uppenbart att antingen x=0, eller så reduceras problemet till att hitta en variabel från följande uttryck: ax+b=0. Detta dikteras av en av egenskaperna för multiplikation. Regeln säger att produkten av två faktorer resulterar i 0 endast om en av dem är noll.

Exempel

x=0 eller 8x - 3 = 0

Som ett resultat får vi två rötter av ekvationen: 0 och 0,375.

Ekvationer av detta slag kan beskriva kroppars rörelse under gravitationens inverkan, som började röra sig från en viss punkt, taget som ursprung. Här har den matematiska notationen följande form: y = v 0 t + gt 2 /2. Genom att ersätta de nödvändiga värdena, likställa den högra sidan med 0 och hitta möjliga okända, kan du ta reda på tiden som förflutit från det ögonblick kroppen stiger till det ögonblick den faller, såväl som många andra storheter. Men vi kommer att prata om detta senare.

Faktorering av ett uttryck

Regeln som beskrivs ovan gör det möjligt att lösa dessa problem i mer komplexa fall. Betrakta exempel med lösningen av andragradsekvationer av denna typ.

X2 - 33x + 200 = 0

Detta kvadratiska trinomium är komplett. Först omvandlar vi uttrycket och bryter ner det i faktorer. Det finns två av dem: (x-8) och (x-25) = 0. Som ett resultat har vi två rötter 8 och 25.

Exempel med lösningen av andragradsekvationer i årskurs 9 gör att denna metod kan hitta en variabel i uttryck inte bara av andra, utan även av tredje och fjärde ordningen.

Till exempel: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. När man faktoriserar höger sida i faktorer med en variabel, finns det tre av dem, det vill säga (x + 1), (x-3) och (x + 3).

Som ett resultat blir det uppenbart att denna ekvation har tre rötter: -3; -ett; 3.

Extrahera kvadratroten

Ett annat fall av en ofullständig andra ordningens ekvation är ett uttryck skrivet på bokstäverna på ett sådant sätt att den högra sidan är uppbyggd av komponenterna axe 2 och c. Här, för att få värdet på variabeln, överförs den fria termen till höger sida, och därefter extraheras kvadratroten från båda sidor av likheten. Det bör noteras att i detta fall finns det vanligtvis två rötter till ekvationen. De enda undantagen är likheter som inte alls innehåller termen c, där variabeln är lika med noll, samt varianter av uttryck när den högra sidan visar sig vara negativ. I det senare fallet finns det inga lösningar alls, eftersom ovanstående åtgärder inte kan utföras med rötter. Exempel på lösningar till andragradsekvationer av denna typ bör övervägas.

I det här fallet kommer rötterna till ekvationen att vara talen -4 och 4.

Beräkning av arean av land

Behovet av denna typ av beräkningar dök upp i antiken, eftersom utvecklingen av matematik i dessa avlägsna tider till stor del berodde på behovet av att bestämma områdena och omkretsen av tomter med största noggrannhet.

Vi bör också överväga exempel med lösning av andragradsekvationer sammanställda på basis av problem av detta slag.

Så låt oss säga att det finns ett rektangulärt stycke land, vars längd är 16 meter mer än bredden. Du bör hitta webbplatsens längd, bredd och omkrets, om det är känt att dess yta är 612 m 2.

För att börja med kommer vi att göra den nödvändiga ekvationen. Låt oss beteckna sektionens bredd som x, då blir dess längd (x + 16). Det följer av det som har skrivits att arean bestäms av uttrycket x (x + 16), som, enligt tillståndet för vårt problem, är 612. Det betyder att x (x + 16) \u003d 612.

Lösningen av kompletta andragradsekvationer, och detta uttryck är just det, kan inte göras på samma sätt. Varför? Även om den vänstra sidan av den fortfarande innehåller två faktorer, är produkten av dem inte alls lika med 0, så andra metoder används här.

Diskriminerande

Först och främst kommer vi att göra de nödvändiga transformationerna, sedan kommer utseendet på detta uttryck att se ut så här: x 2 + 16x - 612 = 0. Det betyder att vi har fått ett uttryck i den form som motsvarar den tidigare angivna standarden, där a=1, b=16, c= -612.

Detta kan vara ett exempel på att lösa andragradsekvationer genom diskriminanten. Här görs de nödvändiga beräkningarna enligt schemat: D = b 2 - 4ac. Detta hjälpvärde gör det inte bara möjligt att hitta de önskade värdena i andra ordningens ekvation, det bestämmer antalet möjliga alternativ. I fallet D>0 finns det två av dem; för D=0 finns en rot. I fall D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Om rötter och deras formel

I vårt fall är diskriminanten: 256 - 4(-612) = 2704. Detta indikerar att vårt problem har ett svar. Om du vet, måste lösningen av andragradsekvationer fortsätta med formeln nedan. Det låter dig beräkna rötterna.

Detta betyder att i det presenterade fallet: x 1 =18, x 2 =-34. Det andra alternativet i detta dilemma kan inte vara en lösning, eftersom storleken på tomten inte kan mätas i negativa värden, vilket innebär att x (det vill säga bredden på tomten) är 18 m. Härifrån beräknar vi längden: 18+16=34, och omkretsen 2(34+18) = 104 (m2).

Exempel och uppgifter

Vi fortsätter studiet av andragradsekvationer. Exempel och en detaljerad lösning av flera av dem kommer att ges nedan.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Låt oss överföra allt till vänster sida av likheten, göra en transformation, det vill säga att vi får formen av ekvationen, som brukar kallas standarden, och likställa den till noll.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Efter att ha lagt till liknande, bestämmer vi diskriminanten: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Så vår ekvation kommer att ha två rötter. Vi beräknar dem enligt ovanstående formel, vilket innebär att den första av dem kommer att vara lika med 4/3 och den andra 1.

2) Nu ska vi avslöja gåtor av ett annat slag.

Låt oss ta reda på om det överhuvudtaget finns rötter x 2 - 4x + 5 = 1 här? För att få ett uttömmande svar tar vi polynomet till motsvarande välbekanta form och beräknar diskriminanten. I det här exemplet är det inte nödvändigt att lösa andragradsekvationen, eftersom kärnan i problemet inte alls ligger i detta. I det här fallet D \u003d 16 - 20 \u003d -4, vilket betyder att det verkligen inte finns några rötter.

Vietas sats

Det är bekvämt att lösa andragradsekvationer genom formlerna ovan och diskriminanten, när kvadratroten extraheras från värdet av den senare. Men detta händer inte alltid. Det finns dock många sätt att få värdena för variabler i det här fallet. Exempel: lösa andragradsekvationer med hjälp av Vietas sats. Den är uppkallad efter en man som levde i 1500-talets Frankrike och hade en lysande karriär tack vare sin matematiska talang och förbindelser vid hovet. Hans porträtt kan ses i artikeln.

Mönstret som den berömda fransmannen lade märke till var följande. Han bevisade att summan av ekvationens rötter är lika med -p=b/a, och deras produkt motsvarar q=c/a.

Låt oss nu titta på specifika uppgifter.

3x2 + 21x - 54 = 0

För enkelhetens skull, låt oss omvandla uttrycket:

x 2 + 7x - 18 = 0

Med hjälp av Vieta-satsen kommer detta att ge oss följande: summan av rötterna är -7, och deras produkt är -18. Härifrån får vi att rötterna till ekvationen är talen -9 och 2. Efter att ha gjort en kontroll kommer vi att se till att dessa värden på variablerna verkligen passar in i uttrycket.

Graf och ekvation av en parabel

Begreppen en andragradsfunktion och andragradsekvationer är nära besläktade. Exempel på detta har redan givits tidigare. Låt oss nu titta på några matematiska pussel lite mer detaljerat. Vilken ekvation som helst av den beskrivna typen kan representeras visuellt. Ett sådant beroende, ritat i form av en graf, kallas en parabel. Dess olika typer visas i figuren nedan.

Varje parabel har en vertex, det vill säga en punkt från vilken dess grenar kommer ut. Om a>0 går de högt till oändlighet, och när a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Visuella representationer av funktioner hjälper till att lösa alla ekvationer, inklusive kvadratiska. Denna metod kallas grafisk. Och värdet på x-variabeln är abskisskoordinaten vid de punkter där graflinjen skär 0x. Koordinaterna för vertex kan hittas med formeln som just ges x 0 = -b / 2a. Och genom att ersätta det resulterande värdet i funktionens ursprungliga ekvation kan du ta reda på y 0, det vill säga den andra koordinaten för parabelns vertex som hör till y-axeln.

Skärningen av parabelns grenar med abskissaxeln

Det finns många exempel på lösning av andragradsekvationer, men det finns också generella mönster. Låt oss överväga dem. Det är tydligt att skärningen av grafen med 0x-axeln för a>0 endast är möjlig om y 0 tar negativa värden. Och för en<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Annars D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Från grafen för en parabel kan du också bestämma rötterna. Det omvända är också sant. Det vill säga, om det inte är lätt att få en visuell representation av en kvadratisk funktion, kan du likställa den högra sidan av uttrycket med 0 och lösa den resulterande ekvationen. Och genom att känna till skärningspunkterna med 0x-axeln är det lättare att plotta.

Från historien

Med hjälp av ekvationer som innehåller en kvadratisk variabel, i gamla dagar, gjorde inte bara matematiska beräkningar och bestämde arean av geometriska former. De gamla behövde sådana beräkningar för storslagna upptäckter inom fysik och astronomi, såväl som för att göra astrologiska prognoser.

Som moderna vetenskapsmän föreslår var invånarna i Babylon bland de första att lösa andragradsekvationer. Det hände fyra århundraden före vår tideräknings tillkomst. Naturligtvis var deras beräkningar fundamentalt annorlunda än de som för närvarande accepteras och visade sig vara mycket mer primitiva. Till exempel hade mesopotamiska matematiker ingen aning om förekomsten av negativa tal. De var också obekanta med andra subtiliteter av dem som någon student i vår tid kände till.

Kanske till och med tidigare än Babylons vetenskapsmän tog vismannen från Indien, Baudhayama, upp lösningen av andragradsekvationer. Detta hände ungefär åtta århundraden före Kristi era. Det är sant att andra ordningens ekvationer, de metoder för att lösa som han gav, var de enklaste. Förutom honom var kinesiska matematiker också intresserade av liknande frågor förr i tiden. I Europa började andragradsekvationer lösas först i början av 1200-talet, men senare användes de i deras arbete av så stora vetenskapsmän som Newton, Descartes och många andra.