Enkelt uttryckt är dessa ekvationer där det finns minst en med en variabel i nämnaren.

Till exempel:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Exempel inte fraktionerad rationella ekvationer:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Hur löses rationella bråkekvationer?

Det viktigaste att komma ihåg om rationella bråkekvationer är att du måste skriva i dem. Och efter att ha hittat rötterna, se till att kontrollera dem för tillåtlighet. Annars kan främmande rötter dyka upp, och hela lösningen kommer att anses vara felaktig.

Algoritm för att lösa en rationell bråkekvation:

Skriv ut och "lös" ODZ.

Multiplicera varje term i ekvationen med en gemensam nämnare och reducera de resulterande bråken. Nämnarna kommer att försvinna.

Skriv ekvationen utan öppna parenteser.

Lös den resulterande ekvationen.

Kontrollera de hittade rötterna med ODZ.

Skriv ner som svar rötterna som klarade testet i steg 7.

memorera inte algoritmen, 3-5 lösta ekvationer - så kommer den att komma ihåg av sig själv.

Exempel . Lös rationell bråkekvation \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Lösning:

Svar: \(3\).

Exempel . Hitta rötterna till den rationella bråkekvationen \(=0\)

Lösning:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Vi skriver ner och "löser" ODZ. Expandera \(x^2+7x+10\) till formeln: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Lyckligtvis har vi redan hittat \(x_1\) och \(x_2\).
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Uppenbarligen den gemensamma nämnaren för bråk: \((x+2)(x+5)\). Vi multiplicerar hela ekvationen med den.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Vi minskar fraktioner
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Öppna fästena
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Vi ger lika villkor
\(2x^2+9x-5=0\)		Att hitta rötterna till ekvationen
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		En av rötterna passar inte under ODZ, så som svar skriver vi bara ner den andra roten.

Svar: \(\frac(1)(2)\).

Lösning rationella bråkekvationer

Hjälpguide

Rationella ekvationer är ekvationer där både vänster och höger sida finns rationella uttryck.

(Kom ihåg att rationella uttryck är heltal och bråktalsuttryck utan radikaler, inklusive operationer med addition, subtraktion, multiplikation eller division - till exempel: 6x; (m - n)2; x/3y etc.)

Bråkrationella ekvationer reduceras som regel till formen:

Var P(x) Och F(x) är polynom.

För att lösa sådana ekvationer, multiplicera båda sidor av ekvationen med Q(x), vilket kan leda till uppkomsten av främmande rötter. Därför är det nödvändigt att kontrollera de hittade rötterna när man löser rationella bråkekvationer.

En rationell ekvation kallas ett heltal, eller algebraisk, om den inte har en division med ett uttryck som innehåller en variabel.

Exempel på en hel rationell ekvation:

5x - 10 = 3(10 - x)

3x
-=2x-10
4

Om det i en rationell ekvation finns en division med ett uttryck som innehåller variabeln (x), så kallas ekvationen bråkrationell.

Ett exempel på en rationell bråkekvation:

15
x + - = 5x - 17
x

Rationella bråkekvationer löses vanligtvis enligt följande:

1) hitta en gemensam nämnare för bråk och multiplicera båda delarna av ekvationen med den;

2) lös den resulterande hela ekvationen;

3) exkludera från dess rötter de som vänder den gemensamma nämnaren för bråken till noll.

Exempel på att lösa heltals- och bråkrationella ekvationer.

Exempel 1. Lös hela ekvationen

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Lösning:

Att hitta den minsta gemensamma nämnaren. Detta är 6. Dividera 6 med nämnaren och multiplicera resultatet med täljaren för varje bråkdel. Vi får en ekvation som motsvarar denna:

3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Sedan vänster och höger sida samma nämnare, det kan utelämnas. Då har vi en enklare ekvation:

3(x - 1) + 4x = 5x.

Vi löser det genom att öppna parenteser och minska liknande termer:

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Exempel löst.

Exempel 2. Lös en rationell bråkekvation

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x(x - 5)

Vi hittar en gemensam nämnare. Detta är x(x - 5). Så:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

Nu blir vi av med nämnaren igen, eftersom den är lika för alla uttryck. Vi reducerar lika termer, likställer ekvationen till noll och får andragradsekvation:

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0.

Efter att ha löst andragradsekvationen hittar vi dess rötter: -2 och 5.

Låt oss kontrollera om dessa siffror är rötterna till den ursprungliga ekvationen.

För x = –2 försvinner inte den gemensamma nämnaren x(x – 5). Så -2 är roten till den ursprungliga ekvationen.

Vid x = 5 försvinner den gemensamma nämnaren och två av de tre uttrycken förlorar sin betydelse. Så talet 5 är inte roten till den ursprungliga ekvationen.

Svar: x = -2

Fler exempel

Exempel 1

x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2.2.

Svar: -2,2; 6.

Exempel 2

T. Kosjakova,
skola N№ 80, Krasnodar

Lösning av kvadratiska och bråkrationella ekvationer innehållande parametrar

Lektion 4

Lektionens ämne:

Syftet med lektionen: att bilda förmågan att lösa bråk-rationella ekvationer innehållande parametrar.

Lektionstyp: införande av nytt material.

1. (Munt.) Lös ekvationerna:

Exempel 1. Lös ekvationen

Lösning.

Hitta ogiltiga värden a:

Svar. Om om a = – 19 , då finns det inga rötter.

Exempel 2. Lös ekvationen

Lösning.

Hitta ogiltiga parametervärden a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Svar. Om a = 5 a № 5 , då x=10– a .

Exempel 3. Vid vilka värden av parametern b ekvationen Det har:

a) två rötter b) den enda roten?

Lösning.

1) Hitta ogiltiga parametervärden b :

x= b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 eller b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 eller b = – 2.

2) Lös ekvationen x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

men)

Exkluderar ogiltiga parametervärden b , får vi att ekvationen har två rötter, if b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, men detta är ett ogiltigt parametervärde b ; om b 2 –1=0 , dvs. b=1 eller.

Svar: a) om b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , sedan två rötter; b) om b=1 eller b=-1 , då den enda roten.

Självständigt arbete

Alternativ 1

Lös ekvationerna:

Alternativ 2

Lös ekvationerna:

Svar

I 1. och om a=3 , då finns det inga rötter; om b) om om a № 2 , då finns det inga rötter.

I 2. Om a=2 , då finns det inga rötter; om a=0 , då finns det inga rötter; om
b) om a=– 1 , då förlorar ekvationen sin betydelse; om då det inte finns några rötter;
om

Hemläxa.

Lös ekvationerna:

Svar: a) Om a № –2 , då x= a ; om a=–2 , då finns det inga lösningar; b) om a № –2 , då x=2; om a=–2 , då finns det inga lösningar; c) om a=–2 , då x- vilket nummer som helst annat än 3 ; om a № –2 , då x=2; d) om a=–8 , då finns det inga rötter; om a=2 , då finns det inga rötter; om

Lektion 5

Lektionens ämne:"Lösning av bråkrationella ekvationer som innehåller parametrar".

Lektionens mål:

lära sig att lösa ekvationer med ett icke-standardvillkor;
studenters medvetna assimilering av algebraiska begrepp och relationer mellan dem.

Lektionstyp: systematisering och generalisering.

Kollar läxor.

Exempel 1. Lös ekvationen

a) i förhållande till x; b) i förhållande till y.

Lösning.

a) Hitta ogiltiga värden y: y=0, x=y, y2=y2 –2y,

y=0– ogiltigt parametervärde y.

Om y№ 0 , då x=y-2; om y=0, då förlorar ekvationen sin betydelse.

b) Hitta ogiltiga parametervärden x: y=x, 2x–x2 +x2 =0, x=0– ogiltigt parametervärde x; y(2+x-y)=0, y=0 eller y=2+x;

y=0 inte uppfyller villkoret y(y–x)№ 0 .

Svar: a) om y=0, då förlorar ekvationen sin betydelse; om y№ 0 , då x=y-2; b) om x=0 x№ 0 , då y=2+x .

Exempel 2. För vilka heltalsvärden av parametern a är rötterna till ekvationen hör till intervallet

D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D = ( a + 2) 2 .

Om a № 0 eller a № – 1 , då

Svar: 5 .

Exempel 3. Hitta relativt x hela ekvationens lösningar

Svar. Om y=0, då är ekvationen inte vettig; om y=–1, då x- vilket heltal som helst annat än noll; om y# 0, y# – 1, då finns det inga lösningar.

Exempel 4 Lös ekvationen med parametrar a Och b .

Om a№ – b , då

Svar. Om a= 0 eller b= 0 , då förlorar ekvationen sin betydelse; om a№ 0,b№ 0, a=-b , då x- något annat tal än noll; om a№ 0,b№ 0,a№ -b sedan x=-a, x=-b .

Exempel 5. Bevisa att för alla värden som inte är noll på parametern n, ekvationen har en enda rot lika med – n .

Lösning.

dvs. x=-n, vilket skulle bevisas.

Hemläxa.

1. Hitta hela lösningar av ekvationen

2. Vid vilka värden av parametern c ekvationen Det har:
a) två rötter b) den enda roten?

3. Hitta alla heltalsrötter i ekvationen om a HANDLA OM N .

4. Lös ekvationen 3xy - 5x + 5y = 7: a) relativt y; b) relativt x .

1. Ekvationen är uppfylld av alla heltals lika värden på x och y förutom noll.
2. a) När
b) vid eller
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Om det inte finns några rötter; om
b) om det då inte finns några rötter; om

Testa

Alternativ 1

1. Bestäm typen av ekvation 7c(c + 3)x2 +(c–2)x–8=0 på: a) c=-3; b) c=2; i) c=4 .

2. Lös ekvationerna: a) x 2 –bx=0; b) cx 2 –6x+1=0; i)

3. Lös ekvationen 3x-xy-2y=1:

a) relativt x ;
b) relativt y .

nx 2 - 26x + n \u003d 0, att veta att parametern n endast tar heltalsvärden.

5. För vilka värden av b gör ekvationen Det har:

a) två rötter
b) den enda roten?

Alternativ 2

1. Bestäm typen av ekvation 5c(c + 4)x2 +(c–7)x+7=0 på: a) c=-4; b) c=7; i) c=1 .

2. Lös ekvationerna: a) y2+cy=0; b) ny2 –8y+2=0; i)

3. Lös ekvationen 6x-xy+2y=5:

a) relativt x ;
b) relativt y .

4. Hitta ekvationens heltalsrötter nx 2 -22x+2n=0 , att veta att parametern n endast tar heltalsvärden.

5. För vilka värden av parametern a ekvationen Det har:

a) två rötter
b) den enda roten?

Svar

I 1. 1. a) Linjär ekvation;
b) ofullständig andragradsekvation; c) en andragradsekvation.
2. a) Om b=0, då x=0; om b#0, då x=0, x=b;
b) om cО (9;+Ґ ), då finns det inga rötter;
c) om a=–4 , då förlorar ekvationen sin betydelse; om a№ –4 , då x=- a .
3. a) Om y=3, då finns det inga rötter; om);
b) a=–3, a=1.

Ytterligare uppgifter

Lös ekvationerna:

Litteratur

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. Om parametrarna från första början. - Tutor, nr 2/1991, sid. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. De nödvändiga förutsättningarna i uppgifter med parametrar. – Kvant, nr 11/1991, sid. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. Problemlösning, som innehåller parametrar. Del 2. - M., Perspektiv, 1990, sid. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Femhundrafyrton uppgifter med parametrar. - Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Uppgifter med parametrar. - M., utbildning, 1986.

I den här artikeln kommer jag att visa dig algoritmer för att lösa sju typer av rationella ekvationer, som reduceras till kvadratiska ettor med hjälp av en förändring av variabler. I de flesta fall är omvandlingarna som leder till ersättningen mycket icke-triviala, och det är ganska svårt att gissa om dem på egen hand.

För varje typ av ekvation kommer jag att förklara hur man gör en variabel förändring i den, och sedan kommer jag att visa en detaljerad lösning i motsvarande videohandledning.

Du har möjlighet att fortsätta lösa ekvationerna själv och kontrollera sedan din lösning med videohandledningen.

Så, låt oss börja.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Observera att produkten av fyra parenteser är på vänster sida av ekvationen och talet på höger sida.

1. Låt oss gruppera parenteserna med två så att summan av de fria termerna är densamma.

2. Multiplicera dem.

3. Låt oss introducera en förändring av variabel.

I vår ekvation grupperar vi den första parentesen med den tredje och den andra med den fjärde, eftersom (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

Vid denna tidpunkt blir variabeländringen uppenbar:

Vi får ekvationen

Svar:

2 .

En ekvation av denna typ liknar den föregående med en skillnad: på höger sida av ekvationen är produkten av ett tal med. Och det är löst på ett helt annat sätt:

1. Vi grupperar parenteserna med två så att produkten av de fria termerna blir densamma.

2. Vi multiplicerar varje par av parenteser.

3. Från varje faktor tar vi x ur parentesen.

4. Dividera båda sidor av ekvationen med .

5. Vi inför en förändring av variabel.

I denna ekvation grupperar vi den första parentesen med den fjärde och den andra med den tredje, eftersom:

Observera att i varje parentes är koefficienten vid och den fria termen desamma. Låt oss ta ut multiplikatorn från varje parentes:

Eftersom x=0 inte är roten till den ursprungliga ekvationen delar vi båda sidor av ekvationen med . Vi får:

Vi får ekvationen:

Svar:

3 .

Observera att nämnarna för båda bråken innehåller kvadratiska trinomialer, vars ledande koefficient och fria term är desamma. Vi tar ut, som i ekvationen för den andra typen, x ur konsolen. Vi får:

Dividera täljaren och nämnaren för varje bråkdel med x:

Nu kan vi införa en förändring av variabel:

Vi får ekvationen för variabeln t:

4 .

Observera att ekvationens koefficienter är symmetriska med avseende på den centrala. En sådan ekvation kallas retur- .

För att lösa det

1. Dividera båda sidor av ekvationen med (Vi kan göra detta eftersom x=0 inte är roten till ekvationen.) Vi får:

2. Gruppera termerna på detta sätt:

3. I varje grupp tar vi ut den gemensamma faktorn:

4. Låt oss introducera en ersättare:

5. Låt oss uttrycka uttrycket i termer av t:

Härifrån

Vi får ekvationen för t:

Svar:

5. Homogena ekvationer.

Ekvationer som har strukturen av en homogen sådan kan man stöta på när man löser exponentiell, logaritmisk och trigonometriska ekvationer, så det måste erkännas.

Homogena ekvationer har följande struktur:

I denna likhet är A, B och C tal, och samma uttryck indikeras med en kvadrat och en cirkel. Det vill säga, på vänster sida av den homogena ekvationen finns summan av monomialer som har samma grad (i detta fall är monomialgraden 2), och det finns ingen fri term.

För att lösa den homogena ekvationen dividerar vi båda sidor med

Uppmärksamhet! När du dividerar höger och vänster sida av ekvationen med ett uttryck som innehåller en okänd, kan du förlora rötterna. Därför är det nödvändigt att kontrollera om rötterna till uttrycket som vi delar båda delarna av ekvationen med är rötterna till den ursprungliga ekvationen.

Låt oss gå den första vägen. Vi får ekvationen:

Nu introducerar vi en variabelsubstitution:

Förenkla uttrycket och få en biquadratisk ekvation för t:

Svar: eller

7 .

Denna ekvation har följande struktur:

För att lösa det måste du välja hela kvadraten på vänster sida av ekvationen.

För att välja en hel kvadrat måste du lägga till eller subtrahera dubbelprodukten. Då får vi kvadraten på summan eller skillnaden. Detta är avgörande för en framgångsrik variabelsubstitution.

Låt oss börja med att hitta dubbelprodukten. Det kommer att vara nyckeln till att ersätta variabeln. I vår ekvation är dubbelprodukten

Låt oss nu ta reda på vad som är bekvämare för oss att ha - kvadraten på summan eller skillnaden. Tänk till att börja med summan av uttryck:

Bra! detta uttryck är exakt lika med två gånger produkten. Sedan, för att få kvadraten på summan inom parentes, måste du addera och subtrahera dubbelprodukten:

Ekvationer med bråk i sig är inte svåra och mycket intressanta. Tänk på typerna bråkekvationer och sätt att lösa dem.

Hur man löser ekvationer med bråk - x i täljaren

Om en bråkekvation ges, där det okända finns i täljaren, kräver lösningen inga ytterligare villkor och löses utan extra krångel. Allmän form en sådan ekvation är x/a + b = c, där x är ett okänt, a, b och c är vanliga tal.

Hitta x: x/5 + 10 = 70.

För att lösa ekvationen måste du bli av med bråken. Multiplicera varje term i ekvationen med 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x och 5 reduceras, 10 och 70 multipliceras med 5 och vi får: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Hitta x: x/5 + x/10 = 90.

Det här exemplet är en lite mer komplicerad version av det första. Det finns två lösningar här.

• Alternativ 1: Bli av med bråk genom att multiplicera alla termer i ekvationen med den större nämnaren, d.v.s. med 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x=300.
• Alternativ 2: Lägg till vänster sida av ekvationen. x/5 + x/10 = 90. Den gemensamma nämnaren är 10. Dividera 10 med 5, multiplicera med x, vi får 2x. 10 dividerat med 10, multiplicerat med x, får vi x: 2x+x/10 = 90. Därav 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Ofta finns det bråkekvationer där x är på motsatta sidor av likhetstecknet. I en sådan situation är det nödvändigt att överföra alla bråk med x i en riktning och talen i en annan.

• Hitta x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Flytta 2x/5 åt höger med motsatt tecken: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Vi minskar 5x/5 och får: x = 130.

Hur man löser en ekvation med bråk - x i nämnaren

Denna typ av bråkekvationer kräver att man skriver ytterligare villkor. Angivandet av dessa villkor är en obligatorisk och integrerad del rätt beslut. Genom att inte tillskriva dem löper du risken, eftersom svaret (även om det är korrekt) kanske helt enkelt inte räknas.

Den allmänna formen av bråkekvationer, där x är i nämnaren, är: a/x + b = c, där x är ett okänt, a, b, c är vanliga tal. Observera att x kanske inte är något tal. Till exempel kan x inte vara noll, eftersom du inte kan dividera med 0. Det här är vad som är ytterligare villkor, som vi måste specificera. Detta kallas området för acceptabla värden, förkortat - ODZ.

Hitta x: 15/x + 18 = 21.

Vi skriver omedelbart ODZ för x: x ≠ 0. Nu när ODZ indikeras löser vi ekvationen med hjälp av standardschema bli av med bråk. Vi multiplicerar alla termer i ekvationen med x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Ofta finns det ekvationer där nämnaren inte bara innehåller x, utan även någon annan operation med den, till exempel addition eller subtraktion.

Hitta x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Vi vet redan att nämnaren inte kan vara lika med noll, vilket betyder x-3 ≠ 0. Vi överför -3 till höger sida, samtidigt som vi ändrar "-"-tecknet till "+" och vi får att x ≠ 3. ODZ är anges.

Lös ekvationen, multiplicera allt med x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Flytta x-en åt höger, siffrorna till vänster: 24 = 3x => x = 8.