Tabell över omvandling av trigonometriska funktioner. Grundläggande trigonometriformler

Trigonometri är en av matematikens grenar, vars fokus ligger på vinklar och relationerna mellan dem. Vetenskapens grunder läggs i skolåren, då definitioner av vinkelfunktioner introduceras. I framtiden kommer den resulterande basen att användas i utvecklingen av astronomi, instrumentering, arkitektur och andra kunskapsområden. Som all exakt vetenskap är trigonometri inte komplett utan formler. Praktisk användning hittat uttryck för att definiera ett dubbelargument. Till exempel, genom att tillgripa motsvarande ekvation, kan man enkelt ta reda på det dubbel vinkel sinus.

Trigonometriskt uttryck för beräkning

Uttrycket är enkelt skrivet och ihågkommet: sinus för en dubbel vinkel beräknas som dubbelprodukten av sinus och cosinus för ett enda argument.

Denna formel härleds från uttrycket för sinus för summan av vinklarna ( F 1 + F 2 ) :

synd( F 1 + F 2) = synd F 1* cos F 1+ synd F 2*cos F 2 .

Antar det givna vinklar lika med varandra, formeln skrivs i vanlig form.

Du kan använda ett uttryck för valfritt värde i funktionsargumentet. Att beräkna sinusets dubbla vinkel från det är ganska enkelt, exemplen nedan hjälper till att verifiera detta.

Användningsexempel

Här är några illustrationer av tillämpningen av den resulterande formeln. Låt det krävas att beräkna värdet av den trigonometriska funktionen för sinus av en vinkel lika med 60 grader. Motsvarande enstaka vinkel skulle vara 30 grader. Eftersom sinus och cosinus för en 30 graders vinkel är kända, blir sinusets dubbla vinkel sin 60 = 2 * sin 30 * cos 30.

Formeln används inte bara för att beräkna "manuellt", du kan också hitta värden med hjälp av matematiska paket eller MS Excel-tabeller.

Trots enkelheten i den trigonometriska identiteten orsakar den svårigheter för akademiker. Detta är precis vad utvecklarna av USE-uppgifterna räknar med, och erbjuder tester för att kontrollera de grundläggande formlerna. Slutsats - formeln för att beräkna sinusets dubbla vinkel måste du kunna utantill!

De vanligaste frågorna

Är det möjligt att försegla ett dokument enligt det medföljande provet? Svar Ja det är möjligt. Skicka en skannad kopia eller bild till vår e-postadress bra kvalitet och vi kommer att göra den nödvändiga dubbletten.

Vilka typer av betalningar accepterar du? Svar Du kan betala för dokumentet vid tidpunkten för mottagandet av kuriren, efter att du kontrollerat att fyllningen är korrekt och kvaliteten på diplomet. Detta kan också göras på postföretagens kontor som erbjuder postförskottstjänster.
Alla leveransvillkor och betalning av dokument beskrivs i avsnittet "Betalning och leverans". Vi är också redo att lyssna på dina förslag på leveransvillkor och betalning för dokumentet.

Kan jag vara säker på att du inte kommer att försvinna med mina pengar efter att ha lagt en beställning? Svar Vi har ganska lång erfarenhet inom diplomproduktion. Vi har flera sajter som ständigt uppdateras. Våra specialister arbetar i olika delar av landet och producerar över 10 dokument om dagen. Genom åren har våra dokument hjälpt många människor att lösa anställningsproblem eller flytta till fler högbetalt jobb. Vi har förtjänat förtroende och erkännande bland kunder, så det finns absolut ingen anledning för oss att göra detta. Dessutom är det helt enkelt omöjligt att göra det fysiskt: du betalar för din beställning när du tar emot den i dina händer, det finns ingen förskottsbetalning.

Kan jag beställa ett diplom från vilket universitet som helst? Svar I allmänhet, ja. Vi har arbetat inom detta område i nästan 12 år. Under denna tid har en nästan komplett databas med dokument utgivna av nästan alla universitet i landet och utomlands bildats. olika år emission. Allt du behöver är att välja universitet, specialitet, dokument och fylla i ett beställningsformulär.

Vad ska jag göra om jag hittar stavfel och fel i ett dokument? Svar När du tar emot ett dokument från vårt bud eller postföretag rekommenderar vi att du noggrant kontrollerar alla detaljer. Om ett stavfel, fel eller felaktighet upptäcks har du rätt att inte ta diplomet, och du måste personligen ange de upptäckta bristerna för kuriren eller i skrift genom att skicka ett brev till e-post.
Så snart som möjligt kommer vi att korrigera dokumentet och skicka det igen till angiven adress. Självklart kommer frakten att betalas av vårt företag.
För att undvika sådana missförstånd, innan vi fyller i originalformuläret, skickar vi en layout av det framtida dokumentet till kundens post för verifiering och godkännande. slutversion. Innan vi skickar ett dokument med bud eller post gör vi också det ytterligare foto och video (inklusive i ultraviolett ljus) så att du har en visuell uppfattning om vad du får till slut.

Vad behöver du göra för att beställa ett diplom från ditt företag? Svar För att beställa ett dokument (certifikat, examensbevis, akademiskt intyg etc.) måste du fylla i en onlinebeställningsblankett på vår hemsida eller lämna din e-post så att vi skickar ett frågeformulär, som du behöver fylla i och skicka tillbaka till oss.
Om du inte vet vad du ska ange i något fält i beställningsformuläret/enkäten, lämna dem tomma. Därför kommer vi att klargöra all information som saknas via telefon.

Senaste recensioner

Alla hjärtans dag:

Du räddade vår son från att få sparken! Faktum är att efter att ha hoppat av skolan gick sonen in i armén. Och när han kom tillbaka ville han inte återhämta sig. Jobbade utan examen. Men nyligen började de sparka alla som inte har en ”skorpa. Därför bestämde vi oss för att kontakta dig och ångrade oss inte! Nu jobbar han lugnt och är inte rädd för någonting! Tack!

Dubbelvinkelformler används för att uttrycka sinus, cosinus, tangenter, cotangens för en vinkel med värdet 2 α med hjälp av de trigonometriska funktionerna för vinkeln α . Den här artikeln kommer att introducera alla dubbelvinkelformler med bevis. Exempel på tillämpning av formler kommer att övervägas. I den sista delen kommer formlerna för de tredubbla, fyrdubbla vinklarna att visas.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Lista över dubbelvinkelformler

För att konvertera dubbelvinkelformler, kom ihåg att vinklar i trigonometri har formen n α notation, där n är naturligt nummer, värdet på uttrycket skrivs utan parentes. Således anses sin n α ha samma betydelse som sin (n α) . Med notationen sin n α har vi en liknande notation (sin α) n . Användningen av journalen är tillämplig för alla trigonometriska funktioner med potenser av n.

Följande är de dubbla vinkelformlerna:

sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 t g α 1 - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 c t g α

Observera att dessa sin- och cos-formler är tillämpliga med vilket värde som helst på vinkeln α. Formeln för tangenten till en dubbel vinkel är giltig för alla värden på α, där t g 2 α är vettigt, det vill säga α ≠ π 4 + π 2 · z, z är vilket heltal som helst. Cotangensen för en dubbel vinkel finns för vilken α som helst, där c t g 2 α är definierad på α ≠ π 2 · z .

Cosinus för en dubbel vinkel har en trippel notation av en dubbel vinkel. Alla är tillämpliga.

Bevis på dubbla vinkelformler

Beviset för formlerna kommer från additionsformlerna. Vi tillämpar formlerna för summans sinus:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β och cosinus för summan cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β. Antag att β = α , då får vi det

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α och cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α = cos 2 α - sin2α

Således bevisas formlerna för sinus och cosinus för dubbelvinkeln sin 2 α \u003d 2 sin α cos α och cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α.

Resten cos formler 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α och cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 leder till formen cos 2 α \u003d cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, när man ersätter 1 med summan av kvadrater enligt huvudidentiteten sin 2 α + cos 2 α = 1 . Vi får att sin 2 α + cos 2 α = 1. Så 1 - 2 sin 2 α \u003d sin 2 α + cos 2 α - 2 sin 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α och 2 cos 2 α - 1 \u003d 2 cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) \u003d cos 2 α - sin 2 α.

För att bevisa formlerna för den dubbla vinkeln för tangent och cotangens tillämpar vi likheterna t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α och c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α. Efter transformationen får vi att t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α - sin 2 α och c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α 2 · sin α · cos α . Dividera uttrycket med cos 2 α där cos 2 α ≠ 0 med valfritt värde på α när t g α är definierad. Dela ett annat uttryck med sin 2 α , där sin 2 α ≠ 0 med valfritt värde på α , när c t g 2 α är vettigt. För att bevisa dubbelvinkelformeln för tangent och cotangens, ersätter vi och får:

– säkert kommer det att finnas uppgifter inom trigonometri. Trigonometri ogillas ofta för att behöva fylla på en enorm mängd svåra formler som kryllar av sinus, cosinus, tangenter och cotangenter. Webbplatsen gav redan en gång råd om hur man kommer ihåg en glömd formel, med hjälp av exemplet med Euler- och Peel-formlerna.

Och i den här artikeln kommer vi att försöka visa att det räcker att bara känna till fem av de enklaste trigonometriska formler, och om resten för att ha en allmän idé och visa dem allt eftersom. Det är som med DNA: de fullständiga ritningarna av en färdig levande varelse lagras inte i molekylen. Den innehåller snarare instruktioner för att sätta ihop den från de tillgängliga aminosyrorna. Så det är i trigonometri, att känna till en del generella principer, kommer vi att få alla nödvändiga formler från en liten uppsättning av dem som måste hållas i åtanke.

Vi kommer att förlita oss på följande formler:

Från formlerna för summornas sinus och cosinus, med vetskapen om att cosinusfunktionen är jämn och att sinusfunktionen är udda, och ersätter -b för b, får vi formler för skillnaderna:

1. Skillnadens sinus: synd(a-b) = syndacos(-b)+cosasynd(-b) = syndacosb-cosasyndb
2. cosinus skillnad: cos(a-b) = cosacos(-b)-syndasynd(-b) = cosacosb+syndasyndb

Om vi ​​sätter a \u003d b i samma formler får vi formlerna för sinus och cosinus för dubbla vinklar:

1. Sinus med dubbel vinkel: synd2a = synd(a+a) = syndacosa+cosasynda = 2syndacosa
2. Cosinus av en dubbel vinkel: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-syndasynda = cos2a-synd2a

Formlerna för andra multipla vinklar erhålls på liknande sätt:

1. Sinus av en trippel vinkel: synd3a = synd(2a+a) = synd2acosa+cos2asynda = (2syndacosa)cosa+(cos2a-synd2a)synda = 2syndacos2a+syndacos2a-synd 3a = 3 syndacos2a-synd 3a = 3 synda(1-synd2a)-synd 3a = 3 synda-4synd 3a
2. Cosinus av en trippel vinkel: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-synd2asynda = (cos2a-synd2a)cosa-(2syndacosa)synda = cos 3a- synd2acosa-2synd2acosa = cos 3a-3 synd2acosa = cos 3 a-3(1- cos2a)cosa = 4cos 3a-3 cosa

Innan vi går vidare, låt oss överväga ett problem.
Givet: vinkeln är spetsig.
Hitta dess cosinus om
Lösning från en elev:
Därför att , då synda= 3,a cosa = 4.
(Från matematisk humor)

Så, definitionen av tangent förbinder denna funktion med både sinus och cosinus. Men du kan få en formel som ger kopplingen av tangenten endast med cosinus. För att härleda det tar vi det huvudsakliga trigonometrisk identitet: synd 2 a+cos 2 a= 1 och dividera det med cos 2 a. Vi får:

Så lösningen på detta problem skulle vara:

(Eftersom vinkeln är spetsig, tas +-tecknet när man drar ut roten)

Formeln för summans tangent är en annan som är svår att komma ihåg. Låt oss skriva ut det så här:

omedelbart utmatning och

Från cosinusformeln för en dubbel vinkel kan du få sinus- och cosinusformlerna för en halv vinkel. För att göra detta, till vänster om cosinusformeln med dubbel vinkel:
cos2 a = cos 2 a-synd 2 a
vi lägger till en enhet, och till höger - en trigonometrisk enhet, dvs. summan av kvadraterna av sinus och cosinus.
cos2a+1 = cos2a-synd2a+cos2a+synd2a
2cos 2 a = cos2 a+1
uttrycka cosa genom cos2 a och utför en förändring av variabler får vi:

Tecknet tas beroende på kvadranten.

På liknande sätt, subtrahera en från den vänstra sidan av likheten, och summan av kvadraterna av sinus och cosinus från den högra sidan, får vi:
cos2a-1 = cos2a-synd2a-cos2a-synd2a
2synd 2 a = 1-cos2 a

Och slutligen, för att omvandla summan av trigonometriska funktioner till en produkt, använder vi följande knep. Antag att vi behöver representera summan av sinus som en produkt synda+syndb. Låt oss introducera variablerna x och y så att a = x+y, b+x-y. Sedan
synda+syndb = synd(x+y)+ synd(x-y) = synd x cos y+ cos x synd y+ synd x cos y- cos x synd y=2 synd x cos y. Låt oss nu uttrycka x och y i termer av a och b.

Eftersom a = x+y, b = x-y, då . Så

Du kan dra omedelbart

1. Partitionsformel produkter av sinus och cosinus i belopp: syndacosb = 0.5(synd(a+b)+synd(a-b))

Vi rekommenderar att du tränar och härleder formler för att omvandla produkten av sinusskillnaden och summan och skillnaden av cosinus till en produkt, samt för att dela upp produkterna av sinus och cosinus till en summa. Efter att ha gjort dessa övningar kommer du grundligt att behärska skickligheten att härleda trigonometriska formler och kommer inte att gå vilse ens i den svåraste kontroll, olympiad eller testning.