Grundläggande formler för trigonometri. Grundläggande trigonometrisk identitet

Reduktionsformler är förhållanden som låter dig gå från sinus, cosinus, tangens och cotangens med vinklarna `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` till samma funktioner för vinkeln `\alpha`, som är i den första fjärdedelen av enhetscirkeln. Således "leder" reduktionsformlerna oss att arbeta med vinklar i intervallet från 0 till 90 grader, vilket är mycket bekvämt.

Sammanlagt finns det 32 reduktionsformler. De kommer utan tvekan att komma väl till pass vid tentamen, tentor, prov. Men vi kommer omedelbart att varna dig för att du inte behöver memorera dem! Du måste spendera lite tid och förstå algoritmen för deras tillämpning, då kommer det inte att vara svårt för dig att härleda den nödvändiga jämlikheten vid rätt tidpunkt.

Låt oss först skriva ner alla reduktionsformler:

För vinkel (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) eller (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

För vinkel (`\pi \pm \alpha`) eller (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

För vinkel (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) eller (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

För vinkel (`2\pi \pm \alpha`) eller (`360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Du kan ofta hitta reduktionsformler i form av en tabell, där vinklarna är skrivna i radianer:

För att använda det måste du välja raden med den funktion vi behöver och kolumnen med önskat argument. Till exempel, för att använda en tabell för att ta reda på vad ` sin(\pi + \alpha)` kommer att vara, räcker det att hitta svaret i skärningspunkten mellan raden ` sin \beta` och kolumnen ` \pi + \ alfa`. Vi får ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

Och den andra, liknande tabellen, där vinklarna är skrivna i grader:

Mnemonisk regel för att gjuta formler eller hur man kommer ihåg dem

Som vi redan nämnt är det inte nödvändigt att memorera alla ovanstående förhållanden. Om du tittade noga på dem, märkte du förmodligen några mönster. De tillåter oss att formulera en mnemonisk regel (mnemonisk - memorera), med vilken du enkelt kan få någon av reduktionsformlerna.

Vi noterar genast att för att tillämpa denna regel måste man väl kunna bestämma (eller komma ihåg) tecknen på trigonometriska funktioner i olika fjärdedelar av enhetscirkeln.
Själva transplantatet innehåller 3 stadier:

1. Funktionsargumentet måste ha formen `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, där `\alpha` alltid är en spetsig vinkel (från 0 till 90 grader).
2. För argument `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` trigonometrisk funktion av det konverterade uttrycket ändras till en kofunktion, det vill säga motsatsen (sinus till cosinus, tangent till kotangens och vice versa). För argumenten `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` ändras inte funktionen.
3. Tecknet för den ursprungliga funktionen bestäms. Den resulterande funktionen på höger sida kommer att ha samma tecken.

För att se hur denna regel kan tillämpas i praktiken, låt oss omvandla några uttryck:

1. `cos(\pi + \alpha)`.

Funktionen är inte omvänd. Vinkeln ` \pi + \alpha` är i den tredje kvadranten, cosinus i denna kvadrant har ett "-"-tecken, så den konverterade funktionen kommer också att ha ett "-"-tecken.

Svar: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.

Enligt mnemonisk regel funktionen kommer att vara omvänd. Vinkeln `\frac (3\pi)2 - \alpha` är i tredje kvadranten, sinus här har ett "-"-tecken, så resultatet blir också med ett "-"-tecken.

Svar: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`

3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alfa))`. Låt oss representera `3\pi` som `2\pi+\pi`. `2\pi` är perioden för funktionen.

Viktigt: Funktionerna `cos \alpha` och `sin \alpha` har en period på `2\pi` eller `360^\circ`, deras värden kommer inte att ändras om argumentet ökas eller minskas med dessa värden.

Utifrån detta kan vårt uttryck skrivas på följande sätt: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Genom att tillämpa mnemonregeln två gånger får vi: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

Svar: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.

häst regel

Den andra punkten i ovanstående mnemonregel kallas också hästregeln för reduktionsformler. Jag undrar varför hästar?

Så vi har funktioner med argumenten `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, punkterna `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` är nyckelpunkter, de är placerade på koordinataxlarna. `\pi` och `2\pi` är på den horisontella x-axeln, och `\frac (\pi)2` och `\frac (3\pi)2` är på den vertikala y-axeln.

Vi ställer oss frågan: "Ändrar funktionen till en samfunktion?". För att svara på denna fråga måste du flytta huvudet längs axeln där nyckelpunkten ligger.

Det vill säga, för argument med nyckelpunkter placerade på den horisontella axeln, svarar vi "nej" genom att skaka huvudet åt sidorna. Och för hörn med nyckelpunkter placerade på den vertikala axeln svarar vi "ja" genom att nicka med huvudet uppifrån och ned, som en häst 🙂

Vi rekommenderar att du tittar på en videohandledning där författaren förklarar i detalj hur man memorerar reduktionsformler utan att memorera dem.

Praktiska exempel på användning av gjutformler

Användningen av reduktionsformler börjar i 9:e och 10:e klasserna. Många uppgifter med deras användning lämnas in till tentamen. Här är några av uppgifterna där du behöver tillämpa dessa formler:

uppgifter för att lösa en rätvinklig triangel;
omvandling av numeriska och alfabetiska trigonometriska uttryck, beräkning av deras värden;
stereometriska problem.

Exempel 1. Använd reduktionsformlerna för att beräkna a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.

Lösning: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;

c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;

d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.

Exempel 2. Efter att ha uttryckt cosinus genom sinus med hjälp av reduktionsformlerna, jämför talen: 1) `sin \frac (9\pi)8` och `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` och `cos \frac (3\pi)10`.

Lösning: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`

`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`

`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.

2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`

`sin \frac (\pi)8

Vi bevisar först två formler för sinus och cosinus för argumentet `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` och ` cos( \frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. Resten härrör från dem.

Ta en enhetscirkel och peka A på den med koordinater (1,0). Låt efter att ha slagits på hörnet `\alpha` kommer det att gå till punkten `A_1(x, y)` och efter att ha svängt genom vinkeln `\frac (\pi)2 + \alpha` till punkten `A_2(-y,x)` . Om vi släpper perpendikulerna från dessa punkter till linjen OX ser vi att trianglarna `OA_1H_1` och `OA_2H_2` är lika, eftersom deras hypotenusor och intilliggande vinklar är lika. Sedan, baserat på definitionerna av sinus och cosinus, kan vi skriva `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Hur kan man skriva att ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` och ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, vilket bevisar reduktionen formler för sinus och cosinus för vinkeln `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Från definitionen av tangent och cotangens får vi ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\pi) )2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` och ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, vilket bevisar reduktionen formler för tangenten och cotangensen för vinkeln `\frac (\pi)2 + \alpha`.

För att bevisa formler med argumentet `\frac (\pi)2 - \alpha` räcker det att representera det som `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` och följa samma väg som ovan. Till exempel, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`.

Vinklarna `\pi + \alpha` och `\pi - \alpha` kan representeras som `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` och `\frac (\pi) ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` respektive.

Och `\frac (3\pi)2 + \alpha` och `\frac (3\pi)2 - \alpha` som `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` och `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`.

I den här artikeln kommer vi att ta en omfattande titt på . Grundläggande trigonometriska identiteter är likheter som etablerar ett samband mellan sinus, cosinus, tangent och cotangens för en vinkel, och låter dig hitta någon av dessa trigonometriska funktioner genom en känd annan.

Vi listar omedelbart de viktigaste trigonometriska identiteterna, som vi kommer att analysera i den här artikeln. Vi skriver ner dem i en tabell, och nedan ger vi härledningen av dessa formler och ger de nödvändiga förklaringarna.

Sidnavigering.

Förhållandet mellan sinus och cosinus för en vinkel

Ibland talar de inte om de grundläggande trigonometriska identiteterna som anges i tabellen ovan, utan om en enda grundläggande trigonometrisk identitet snäll . Förklaringen till detta faktum är ganska enkel: likheterna erhålls från den grundläggande trigonometriska identiteten efter att ha dividerat båda dess delar med respektive, och likheterna och följer av definitionerna av sinus, cosinus, tangens och cotangens. Vi kommer att diskutera detta mer i detalj i följande stycken.

Det vill säga att det är jämställdheten som är av särskilt intresse, som fick namnet på den trigonometriska huvudidentiteten.

Innan vi bevisar den grundläggande trigonometriska identiteten ger vi dess formulering: summan av kvadraterna av sinus och cosinus i en vinkel är identiskt lika med en. Låt oss nu bevisa det.

Den grundläggande trigonometriska identiteten används mycket ofta i transformation av trigonometriska uttryck. Det gör att summan av kvadraterna av sinus och cosinus för en vinkel kan ersättas med en. Inte mindre ofta används den grundläggande trigonometriska identiteten i omvänd ordning: enheten ersätts av summan av kvadraterna av sinus och cosinus i vilken vinkel som helst.

Tangent och cotangens genom sinus och cosinus

Identiteter som förbinder tangenten och cotangensen med sinus och cosinus för en vinkel av formen och följer omedelbart av definitionerna av sinus, cosinus, tangent och cotangens. Faktum är att per definition är sinus ordinatan till y, cosinus är abskissan till x, tangenten är förhållandet mellan ordinatan och abskissan, det vill säga, , och cotangenten är förhållandet mellan abskissan och ordinatan, det vill säga .

På grund av denna självklarhet av identiteter och ofta ges definitionerna av tangent och cotangens inte genom förhållandet mellan abskissan och ordinatan, utan genom förhållandet mellan sinus och cosinus. Så tangenten för en vinkel är förhållandet mellan sinus och cosinus för denna vinkel, och cotangens är förhållandet mellan cosinus och sinus.

För att avsluta detta avsnitt bör det noteras att identiteterna och hålla för alla sådana vinklar för vilka de trigonometriska funktionerna i dem är meningsfulla. Så formeln är giltig för något annat än (annars kommer nämnaren att vara noll, och vi definierade inte division med noll), och formeln - för alla , olika från , där z är vilken som helst .

Samband mellan tangent och cotangens

En ännu mer uppenbar trigonometrisk identitet än de två föregående är identiteten som förbinder tangenten och cotangensen för en vinkel i formen . Det är tydligt att det sker för andra vinklar än , annars är antingen tangenten eller cotangensen inte definierad.

Bevis på formeln väldigt enkelt. Per definition och varifrån . Beviset kunde ha genomförts på ett lite annat sätt. Sedan och , då .

Så, tangenten och cotangensen för en vinkel, vid vilken de är meningsfulla, är.

Förhållandena mellan de trigonometriska huvudfunktionerna - sinus, cosinus, tangent och cotangens - anges trigonometriska formler. Och eftersom det finns ganska många kopplingar mellan trigonometriska funktioner, förklarar detta också överflödet av trigonometriska formler. Vissa formler förbinder de trigonometriska funktionerna i samma vinkel, andra - funktionerna i en multipel vinkel, andra - låter dig sänka graden, den fjärde - för att uttrycka alla funktioner genom tangenten till en halv vinkel, etc.

I den här artikeln listar vi i ordning alla grundläggande trigonometriska formler, som räcker för att lösa de allra flesta trigonometriproblem. För att underlätta memorering och användning kommer vi att gruppera dem efter deras syfte och lägga in dem i tabeller.

Sidnavigering.

Grundläggande trigonometriska identiteter

Grundläggande trigonometriska identiteter ställ in förhållandet mellan sinus, cosinus, tangent och cotangens för en vinkel. De följer av definitionen av sinus, cosinus, tangent och cotangens, samt begreppet enhetscirkel. De låter dig uttrycka en trigonometrisk funktion genom vilken som helst annan.

För en detaljerad beskrivning av dessa trigonometriformler, deras härledning och tillämpningsexempel, se artikeln.

Cast formler

Cast formler följer av egenskaperna för sinus, cosinus, tangens och cotangens, det vill säga de reflekterar egenskapen periodicitet för trigonometriska funktioner, egenskapen symmetri och även egenskapen för skiftning med en given vinkel. Dessa trigonometriska formler låter dig gå från att arbeta med godtyckliga vinklar till att arbeta med vinklar som sträcker sig från noll till 90 grader.

Skälet för dessa formler, en mnemonisk regel för att memorera dem och exempel på deras tillämpning kan studeras i artikeln.

Tilläggsformler

Trigonometriska additionsformler visa hur de trigonometriska funktionerna av summan eller skillnaden mellan två vinklar uttrycks i termer av dessa vinklars trigonometriska funktioner. Dessa formler tjänar som grund för härledning av följande trigonometriska formler.

Formler för dubbel, trippel, etc. hörn

Formler för dubbel, trippel, etc. vinkel (de kallas även formler för multipelvinkel) visar hur de trigonometriska funktionerna för dubbel, trippel osv. vinklar () uttrycks i termer av trigonometriska funktioner för en enda vinkel. Deras härledning är baserad på additionsformler.

Mer detaljerad information samlas i artikelformlerna för dubbel, trippel osv. vinkel .

Halvvinkelformler

Halvvinkelformler visa hur de trigonometriska funktionerna för en halv vinkel uttrycks i termer av cosinus för en heltalsvinkel. Dessa trigonometriska formler följer av dubbelvinkelformlerna.

Deras slutsats och exempel på tillämpning finns i artikeln.

Reduktionsformler

Trigonometriska formler för minskande graderär utformade för att underlätta övergången från naturliga krafter av trigonometriska funktioner till sinus och cosinus i första graden, men flera vinklar. Med andra ord tillåter de en att reducera styrkorna hos trigonometriska funktioner till den första.

Formler för summan och skillnaden av trigonometriska funktioner

Det huvudsakliga syftet summa- och differensformler för trigonometriska funktioner består i övergången till produkten av funktioner, vilket är mycket användbart när man förenklar trigonometriska uttryck. Dessa formler används också i stor utsträckning för att lösa trigonometriska ekvationer, eftersom de tillåter faktorisering av summan och skillnaden mellan sinus och cosinus.

Formler för produkten av sinus, cosinus och sinus för cosinus

Övergången från produkten av trigonometriska funktioner till summan eller skillnaden sker genom formlerna för produkten av sinus, cosinus och sinus för cosinus.

Bashmakov M.I. Algebra och början av analys: Proc. för 10-11 celler. snitt skola - 3:e uppl. - M.: Upplysningen, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra och början av analysen: Proc. för 10-11 celler. Allmän utbildning institutioner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn och andra; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14:e uppl.- M.: Upplysning, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (en manual för sökande till tekniska skolor): Proc. ersättning.- M.; Högre skola, 1984.-351 s., ill.

Upphovsrätt av smarta elever

Alla rättigheter förbehållna.
Skyddad av upphovsrättslagen. Ingen del av www.webbplatsen, inklusive internt material och extern design, får reproduceras i någon form eller användas utan föregående skriftligt tillstånd från upphovsrättsinnehavaren.

Trigonometriska identiteterär likheter som upprättar ett samband mellan sinus, cosinus, tangent och cotangens för en vinkel, vilket gör att du kan hitta någon av dessa funktioner, förutsatt att någon annan är känd.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Denna identitet säger att summan av kvadraten av sinus för en vinkel och kvadraten av cosinus för en vinkel är lika med ett, vilket i praktiken gör det möjligt att beräkna sinus för en vinkel när dess cosinus är känd och vice versa .

När du konverterar trigonometriska uttryck används denna identitet väldigt ofta, vilket gör att du kan ersätta summan av kvadraterna av cosinus och sinus för en vinkel med en och även utföra ersättningsoperationen i omvänd ordning.

Hitta tangent och cotangens genom sinus och cosinus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Dessa identiteter bildas från definitionerna av sinus, cosinus, tangent och cotangens. När allt kommer omkring, om du tittar, så är ordinatan för y sinus, och abskissan för x är cosinus. Då blir tangenten lika med förhållandet \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) och förhållandet \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- kommer att vara en cotangens.

Vi tillägger att endast för sådana vinklar \alfa för vilka de trigonometriska funktionerna som ingår i dem är meningsfulla, kommer identiteterna att äga rum, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Till exempel: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) gäller för \alfa-vinklar som skiljer sig från \frac(\pi)(2)+\pi z, a ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- för en vinkel \alfa annan än \pi z, är z ett heltal.

Samband mellan tangent och cotangens

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Denna identitet är endast giltig för vinklar \alfa som skiljer sig från \frac(\pi)(2) z. Annars kommer varken cotangens eller tangent att bestämmas.

Baserat på punkterna ovan får vi det tg \alpha = \frac(y)(x), a ctg\alpha=\frac(x)(y). Därav följer det tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Således är tangenten och cotangensen för en vinkel vid vilken de är meningsfulla ömsesidigt ömsesidiga tal.

Samband mellan tangent och cosinus, cotangens och sinus

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- summan av kvadraten på tangenten för vinkeln \alfa och 1 är lika med den inversa kvadraten på cosinus för denna vinkel. Denna identitet är giltig för alla \alfa förutom \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- summan av 1 och kvadraten av cotangensen för vinkeln \alfa , är lika med den inversa kvadraten av sinus för den givna vinkeln. Denna identitet är giltig för alla \alfa andra än \pi z .

Exempel med lösningar på problem med hjälp av trigonometriska identiteter

Exempel 1

Hitta \sin \alpha och tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 och \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Visa lösning

Beslut

Funktionerna \sin \alpha och \cos \alpha är sammanlänkade med formeln \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Ersätter i denna formel \cos \alpha = -\frac12, vi får:

\sin^(2)\alfa + \vänster (-\frac12 \right)^2 = 1

Denna ekvation har 2 lösningar:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Efter tillstånd \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Under andra kvartalet är sinus positiv, så \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

För att hitta tg \alpha använder vi formeln tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Exempel 2

Hitta \cos \alpha och ctg \alpha om och \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Visa lösning

Beslut

Ersätter i formeln \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 villkorligt antal \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), vi får \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Denna ekvation har två lösningar \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Efter tillstånd \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Under andra kvartalet är cosinus negativ, alltså \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

För att hitta ctg \alpha använder vi formeln ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Vi känner till motsvarande värden.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Detta är den sista och viktigaste lektionen som behövs för att lösa problem B11. Vi vet redan hur man omvandlar vinklar från ett radianmått till ett gradmått (se lektion " Radianer och gradmått för en vinkel"), och vi vet också hur man bestämmer tecknet för en trigonometrisk funktion, med fokus på koordinatfjärdedelar (se lektionen) "Tecken på trigonometriska funktioner").

Saken förblir liten: att beräkna värdet på själva funktionen - själva talet som skrivs i svaret. Här kommer den grundläggande trigonometriska identiteten till undsättning.

Grundläggande trigonometrisk identitet. För vilken vinkel som helst α är påståendet sant:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Denna formel relaterar sinus och cosinus för en vinkel. Nu när vi känner till sinus kan vi enkelt hitta cosinus - och vice versa. Det räcker med att ta kvadratroten:

Lägg märke till "±"-tecknet framför rötterna. Faktum är att från den grundläggande trigonometriska identiteten är det inte klart vad den ursprungliga sinus och cosinus var: positiv eller negativ. Kvadrering är trots allt en jämn funktion som "bränner" alla minus (om några).

Det är därför i alla B11-uppgifter som finns i USE i matematik, finns det nödvändigtvis ytterligare villkor som hjälper till att bli av med osäkerhet med tecken. Vanligtvis är detta en indikation på koordinatkvartalet med vilket tecknet kan bestämmas.

En uppmärksam läsare kommer säkert att fråga: "Hur är det med tangenten och cotangensen?" Det är omöjligt att direkt beräkna dessa funktioner från formlerna ovan. Det finns dock viktiga följder från den grundläggande trigonometriska identiteten som redan innehåller tangenter och cotangenter. Nämligen:

En viktig följd: för vilken vinkel α som helst kan den grundläggande trigonometriska identiteten skrivas om enligt följande:

Dessa ekvationer kan lätt härledas från den grundläggande identiteten - det räcker att dividera båda sidorna med cos 2 α (för att få tangenten) eller med sin 2 α (för cotangensen).

Låt oss titta på allt detta med specifika exempel. Följande är faktiska B11-problem hämtade från 2012 års Mathematics USE-försök.

Vi känner till cosinus, men vi känner inte till sinus. Den trigonometriska huvudidentiteten (i sin "rena" form) förbinder just dessa funktioner, så vi kommer att arbeta med den. Vi har:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

För att lösa problemet återstår det att hitta tecknet på sinus. Eftersom vinkeln α ∈ (π /2; π ), så skrivs den i gradmått så här: α ∈ (90°; 180°).

Därför ligger vinkeln α i II-koordinatfjärdedelen - alla sinus där är positiva. Därför sin α = 0,1.

Så vi vet sinus, men vi måste hitta cosinus. Båda dessa funktioner finns i den grundläggande trigonometriska identiteten. Vi ersätter:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Det återstår att ta itu med tecknet framför fraktionen. Vad ska man välja: plus eller minus? Med villkor hör vinkeln α till intervallet (π 3π /2). Låt oss omvandla vinklarna från radianmått till gradmått - vi får: α ∈ (180°; 270°).

Uppenbarligen är detta III-koordinatkvartalet, där alla cosinus är negativa. Därför cosα = −0,5.

Uppgift. Hitta tg α om du känner till följande:

Tangent och cosinus är relaterade till en ekvation som följer av den grundläggande trigonometriska identiteten:

Vi får: tg α = ±3. Tangensens tecken bestäms av vinkeln α. Det är känt att α ∈ (3π /2; 2π ). Låt oss omvandla vinklarna från radianmåttet till gradmåttet - vi får α ∈ (270°; 360°).

Uppenbarligen är detta IV-koordinatkvartalet, där alla tangenter är negativa. Därför är tgα = −3.

Uppgift. Hitta cos α om du känner till följande:

Återigen är sinus känd och cosinus är okänd. Vi skriver ner den huvudsakliga trigonometriska identiteten:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Tecknet bestäms av vinkeln. Vi har: α ∈ (3π /2; 2π ). Låt oss omvandla vinklarna från grader till radianer: α ∈ (270°; 360°) är IV-koordinatkvarten, cosinuserna är positiva där. Därför är cos α = 0,6.

Uppgift. Hitta sin α om du känner till följande:

Låt oss skriva ner formeln som följer av den grundläggande trigonometriska identiteten och direkt kopplar ihop sinus och cotangens:

Härifrån får vi att sin 2 α = 1/25, d.v.s. sin a = ±1/5 = ±0,2. Det är känt att vinkeln α ∈ (0; π /2). I grader skrivs detta så här: α ∈ (0°; 90°) - Jag koordinerar fjärdedel.

Så, vinkeln är i I-koordinatkvartalet - alla trigonometriska funktioner är positiva där, därför sin α \u003d 0,2.