”, det vill säga ekvationer av första graden. I den här lektionen kommer vi att utforska vad är en andragradsekvation och hur man löser det.

Vad är en andragradsekvation

Viktig!

Graden av en ekvation bestäms av den högsta grad i vilken det okända står.

Om den maximala graden som det okända står i är "2", så har du en andragradsekvation.

Exempel på andragradsekvationer

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Viktig! Den allmänna formen av andragradsekvationen ser ut så här:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" och "c" - givna nummer.

• "a" - den första eller högre koefficienten;
• "b" - den andra koefficienten;
• "c" är en gratis medlem.

För att hitta "a", "b" och "c" måste du jämföra din ekvation med den allmänna formen av andragradsekvationen "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Låt oss öva på att bestämma koefficienterna "a", "b" och "c" i andragradsekvationer.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Ekvationen	Odds
a=5 b = -14 c = 17
a = −7 b = -13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Hur man löser andragradsekvationer

Till skillnad från linjära ekvationer för att lösa Kvadratisk ekvation särskild formel för att hitta rötter.

Kom ihåg!

För att lösa en andragradsekvation behöver du:

• ta andragradsekvationen till den allmänna formen "ax 2 + bx + c \u003d 0". Det vill säga, endast "0" ska vara kvar på höger sida;
• använd formeln för rötter:

Låt oss använda ett exempel för att ta reda på hur man tillämpar formeln för att hitta rötterna till en andragradsekvation. Låt oss lösa andragradsekvationen.

X 2 - 3x - 4 = 0

Ekvationen "x 2 - 3x - 4 = 0" har redan reducerats till den allmänna formen "ax 2 + bx + c = 0" och kräver inga ytterligare förenklingar. För att lösa det behöver vi bara ansöka formel för att hitta rötterna till en andragradsekvation.

Låt oss definiera koefficienterna "a", "b" och "c" för denna ekvation.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Med dess hjälp löses vilken andragradsekvation som helst.

I formeln "x 1; 2 \u003d" ersätts ofta rotuttrycket
"b 2 − 4ac" till bokstaven "D" och kallas diskriminant. Begreppet diskriminant diskuteras mer ingående i lektionen "Vad är en diskriminant".

Betrakta ett annat exempel på en andragradsekvation.

x 2 + 9 + x = 7x

I denna form är det ganska svårt att bestämma koefficienterna "a", "b" och "c". Låt oss först ta ekvationen till den allmänna formen "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Nu kan du använda formeln för rötterna.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
Svar: x = 3

Det finns tillfällen då det inte finns några rötter i andragradsekvationer. Denna situation uppstår när ett negativt tal visas i formeln under roten.

Vi fortsätter att studera ämnet lösning av ekvationer". Vi har redan bekantat oss med linjära ekvationer och nu ska vi bekanta oss med Kvadratisk ekvation.

Först ska vi analysera vad en andragradsekvation är, hur den skrivs in allmän syn, och ge relaterade definitioner. Därefter kommer vi, med hjälp av exempel, att analysera i detalj hur ofullständiga andragradsekvationer löses. Därefter går vi vidare till att lösa kompletta ekvationer, får formeln för rötterna, bekantar oss med diskriminanten för en andragradsekvation och överväger lösningar på typiska exempel. Slutligen spårar vi sambanden mellan rötter och koefficienter.

Sidnavigering.

Vad är en andragradsekvation? Deras typer

Först måste du tydligt förstå vad en andragradsekvation är. Därför är det logiskt att börja prata om andragradsekvationer med definitionen av en andragradsekvation, såväl som definitioner relaterade till den. Efter det kan du överväga huvudtyperna av andragradsekvationer: reducerade och icke-reducerade, såväl som kompletta och ofullständiga ekvationer.

Definition och exempel på andragradsekvationer

Definition.

Andragradsekvationär en formekvation a x2 +b x+c=0, där x är en variabel, a , b och c är några tal och a skiljer sig från noll.

Låt oss säga direkt att andragradsekvationer ofta kallas ekvationer av andra graden. Detta beror på att andragradsekvationen är algebraisk ekvation andra graden.

Den ljudade definitionen tillåter oss att ge exempel på andragradsekvationer. Så 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, etc. är andragradsekvationer.

Definition.

Tal a , b och c kallas andragradsekvationens koefficienter a x 2 + b x + c=0, och koefficienten a kallas den första, eller senior, eller koefficienten vid x 2, b är den andra koefficienten, eller koefficienten vid x, och c är en fri medlem.

Låt oss till exempel ta en andragradsekvation av formen 5 x 2 −2 x−3=0, här är den ledande koefficienten 5, den andra koefficienten är −2, och den fria termen är −3. Notera att när koefficienterna b och/eller c är negativa, som i exemplet just, då kortform skriva en andragradsekvation av formen 5 x 2 −2 x−3=0 , och inte 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 .

Det är värt att notera att när koefficienterna a och / eller b är lika med 1 eller −1, så är de vanligtvis inte explicit närvarande i notationen av andragradsekvationen, vilket beror på särdragen i notationen av sådana . Till exempel, i andragradsekvationen y 2 −y+3=0, är ​​den ledande koefficienten en och koefficienten vid y är −1.

Reducerade och icke-reducerade andragradsekvationer

Beroende på värdet av den ledande koefficienten särskiljs reducerade och icke-reducerade andragradsekvationer. Låt oss ge motsvarande definitioner.

Definition.

En andragradsekvation där den ledande koefficienten är 1 kallas reducerad andragradsekvation. Annars är andragradsekvationen oreducerad.

Enligt denna definition är andragradsekvationerna x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, etc. - reducerad, i var och en av dem den första koefficienten lika med ett. Och 5 x 2 −x−1=0 , etc. - oreducerade andragradsekvationer, deras ledande koefficienter skiljer sig från 1 .

Från valfri icke-reducerad kvadratisk ekvation, genom att dividera båda dess delar med den ledande koefficienten, kan du gå till den reducerade. Denna åtgärd är en ekvivalent transformation, det vill säga den reducerade andragradsekvationen som erhålls på detta sätt har samma rötter som den ursprungliga icke-reducerade andragradsekvationen, eller har, liksom den, inga rötter.

Låt oss ta ett exempel på hur övergången från en oreducerad andragradsekvation till en reducerad utförs.

Exempel.

Från ekvationen 3 x 2 +12 x−7=0, gå till motsvarande reducerade andragradsekvation.

Beslut.

Det räcker för oss att utföra divisionen av båda delarna av den ursprungliga ekvationen med den ledande koefficienten 3, den är icke-noll, så vi kan utföra denna åtgärd. Vi har (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , vilket är samma som (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , och så vidare (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , varifrån . Så vi fick den reducerade andragradsekvationen, som motsvarar den ursprungliga.

Svar:

Kompletta och ofullständiga andragradsekvationer

Det finns ett villkor a≠0 i definitionen av en andragradsekvation. Detta villkor är nödvändigt för att ekvationen a x 2 +b x+c=0 ska vara exakt kvadratisk, eftersom den med a=0 faktiskt blir en linjär ekvation av formen b x+c=0 .

När det gäller koefficienterna b och c kan de vara lika med noll, både separat och tillsammans. I dessa fall kallas andragradsekvationen ofullständig.

Definition.

Andragradsekvationen a x 2 +b x+c=0 kallas Ofullständig, om åtminstone en av koefficienterna b , c är lika med noll.

I sin tur

Definition.

Komplett andragradsekvationenär en ekvation där alla koefficienter skiljer sig från noll.

Dessa namn ges inte av en slump. Detta kommer att framgå av följande diskussion.

Om koefficienten b är lika med noll, tar andragradsekvationen formen a x 2 +0 x+c=0 , och den är ekvivalent med ekvationen a x 2 +c=0 . Om c=0, det vill säga andragradsekvationen har formen a x 2 +b x+0=0 , så kan den skrivas om som en x 2 +b x=0 . Och med b=0 och c=0 får vi andragradsekvationen a·x 2 =0. De resulterande ekvationerna skiljer sig från den fullständiga andragradsekvationen genom att deras vänstra sida inte innehåller vare sig en term med variabeln x, eller en fri term, eller båda. Därav deras namn - ofullständiga andragradsekvationer.

Så ekvationerna x 2 +x+1=0 och −2 x 2 −5 x+0,2=0 är exempel på kompletta andragradsekvationer, och x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 är ofullständiga andragradsekvationer.

Lösa ofullständiga andragradsekvationer

Av uppgifterna i föregående stycke följer att det finns tre typer av ofullständiga andragradsekvationer:

• a x 2 =0, koefficienterna b=0 och c=0 motsvarar det;
• a x2 +c=0 när b=0;
• och a x 2 + b x=0 när c=0.

Låt oss analysera i ordning hur ofullständiga andragradsekvationer av var och en av dessa typer löses.

a x 2 \u003d 0

Låt oss börja med att lösa ofullständiga andragradsekvationer där koefficienterna b och c är lika med noll, det vill säga med ekvationer av formen a x 2 =0. Ekvationen a·x 2 =0 är ekvivalent med ekvationen x 2 =0, som erhålls från originalet genom att dividera dess båda delar med ett icke-nolltal a. Uppenbarligen är roten av ekvationen x 2 \u003d 0 noll, eftersom 0 2 \u003d 0. Denna ekvation har inga andra rötter, vilket förklaras, ja, för alla icke-nolltal p, sker olikheten p 2 >0, vilket innebär att för p≠0 uppnås aldrig likheten p 2 =0.

Så den ofullständiga andragradsekvationen a x 2 \u003d 0 har en enda rot x \u003d 0.

Som ett exempel ger vi lösningen av en ofullständig andragradsekvation −4·x 2 =0. Det motsvarar ekvationen x 2 \u003d 0, dess enda rot är x \u003d 0, därför har den ursprungliga ekvationen en enda rotnoll.

En kort lösning i detta fall kan utfärdas enligt följande:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x2 +c=0

Betrakta nu hur ofullständiga andragradsekvationer löses, där koefficienten b är lika med noll, och c≠0, det vill säga ekvationer av formen a x 2 +c=0. Vi vet att överföringen av en term från en sida av ekvationen till den andra med motsatt tecken, liksom divisionen av båda sidor av ekvationen med ett tal som inte är noll, ger en ekvivalent ekvation. Därför kan följande ekvivalenta transformationer av den ofullständiga andragradsekvationen a x 2 + c=0 utföras:

• flytta c till höger, vilket ger ekvationen a x 2 =−c,
• och dividera båda dess delar med a får vi .

Den resulterande ekvationen låter oss dra slutsatser om dess rötter. Beroende på värdena för a och c kan uttryckets värde vara negativt (till exempel om a=1 och c=2 då ) eller positivt (till exempel om a=−2 och c=6 , alltså ), är det inte lika med noll , eftersom c≠0 . Vi kommer att analysera fallen separat och .

Om , då har ekvationen inga rötter. Detta påstående följer av det faktum att kvadraten på ett tal är ett icke-negativt tal. Det följer av detta att när , då för vilket tal p som helst kan inte likheten vara sann.

Om , då är situationen med rötterna till ekvationen annorlunda. I det här fallet, om vi minns om, så blir roten av ekvationen omedelbart uppenbar, det är numret, eftersom. Det är lätt att gissa att talet också är roten till ekvationen, faktiskt. Denna ekvation har inga andra rötter, vilket kan visas till exempel genom motsägelse. Vi gör det.

Låt oss beteckna ekvationens just röstade rötter som x 1 och −x 1 . Antag att ekvationen har en annan rot x 2 som skiljer sig från de angivna rötterna x 1 och −x 1 . Det är känt att substitution i ekvationen istället för x av dess rötter förvandlar ekvationen till en sann numerisk likhet. För x 1 och −x 1 har vi , och för x 2 har vi . Egenskaperna för numeriska likheter gör att vi kan utföra term-för-term subtraktion av sanna numeriska likheter, så subtraktionen av motsvarande delar av likheterna ger x 1 2 − x 2 2 =0. Egenskaperna för operationer med tal gör att vi kan skriva om den resulterande likheten som (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Vi vet att produkten av två tal är lika med noll om och endast om minst ett av dem är lika med noll. Därför följer det av den erhållna likheten att x 1 −x 2 =0 och/eller x 1 +x 2 =0 , vilket är detsamma, x 2 =x 1 och/eller x 2 = −x 1 . Så vi har kommit till en motsägelse, eftersom vi i början sa att roten till ekvationen x 2 skiljer sig från x 1 och −x 1 . Detta bevisar att ekvationen inte har andra rötter än och .

Låt oss sammanfatta informationen i detta stycke. Den ofullständiga andragradsekvationen a x 2 +c=0 är ekvivalent med ekvationen , som

• har inga rötter om ,
• har två rötter och om .

Betrakta exempel på att lösa ofullständiga andragradsekvationer av formen a·x 2 +c=0 .

Låt oss börja med andragradsekvationen 9 x 2 +7=0 . Efter att ha överfört den fria termen till höger sida av ekvationen kommer den att ha formen 9·x 2 =−7. Om vi ​​dividerar båda sidor av den resulterande ekvationen med 9 kommer vi fram till . Eftersom ett negativt tal erhålls på höger sida har denna ekvation inga rötter, därför har den ursprungliga ofullständiga andragradsekvationen 9 x 2 +7=0 inga rötter.

Låt oss lösa ytterligare en ofullständig andragradsekvation −x 2 +9=0. Vi överför de nio till höger sida: -x 2 \u003d -9. Nu dividerar vi båda delarna med −1, vi får x 2 =9. Den högra sidan innehåller ett positivt tal, från vilket vi drar slutsatsen att eller . Efter att vi skrivit ner det slutliga svaret: den ofullständiga andragradsekvationen −x 2 +9=0 har två rötter x=3 eller x=−3.

a x 2 + b x=0

Det återstår att ta itu med lösningen av den sista typen av ofullständiga andragradsekvationer för c=0 . Ofullständiga andragradsekvationer av formen a x 2 +b x=0 låter dig lösa faktoriseringsmetod. Uppenbarligen kan vi, som ligger på vänster sida av ekvationen, för vilket det räcker att ta den gemensamma faktorn x ur parentes. Detta tillåter oss att gå från den ursprungliga ofullständiga andragradsekvationen till en ekvivalent ekvation av formen x·(a·x+b)=0 . Och denna ekvation är ekvivalent med mängden av två ekvationer x=0 och a x+b=0 , varav den sista är linjär och har en rot x=−b/a .

Så den ofullständiga andragradsekvationen a x 2 +b x=0 har två rötter x=0 och x=−b/a.

För att konsolidera materialet kommer vi att analysera lösningen av ett specifikt exempel.

Exempel.

Lös ekvationen.

Beslut.

Vi tar x inom parentes, detta ger ekvationen. Det motsvarar två ekvationer x=0 och . Vi löser den resulterande linjära ekvationen: , och dividerar det blandade talet med vanlig bråkdel, vi hittar . Därför är rötterna till den ursprungliga ekvationen x=0 och .

Efter att ha fått den nödvändiga övningen kan lösningarna av sådana ekvationer skrivas kort:

Svar:

x=0, .

Diskriminant, formel för rötterna till en andragradsekvation

För att lösa andragradsekvationer finns det en rotformel. Låt oss skriva ner formeln för andragradsekvationens rötter: , var D=b 2 −4 a c- så kallade diskriminant av en andragradsekvation. Notationen betyder i huvudsak att .

Det är användbart att veta hur rotformeln erhölls och hur den används för att hitta rötterna till andragradsekvationer. Låt oss ta itu med det här.

Härledning av formeln för rötterna till en andragradsekvation

Låt oss behöva lösa andragradsekvationen a·x 2 +b·x+c=0 . Låt oss utföra några motsvarande transformationer:

• Vi kan dividera båda delarna av denna ekvation med ett icke-nolltal a, som ett resultat får vi den reducerade andragradsekvationen.
• Nu välj en hel ruta på dess vänstra sida: . Efter det kommer ekvationen att ha formen .
• I detta skede är det möjligt att utföra överföringen av de två sista termerna till höger sida med motsatt tecken, vi har .
• Och låt oss också omvandla uttrycket på höger sida: .

Som ett resultat kommer vi fram till ekvationen , som är ekvivalent med den ursprungliga andragradsekvationen a·x 2 +b·x+c=0 .

Vi har redan löst ekvationer liknande form i de föregående styckena när vi analyserade. Detta gör att vi kan dra följande slutsatser om ekvationens rötter:

• om , då har ekvationen inga riktiga lösningar;
• om , då ekvationen har formen , därför , från vilken dess enda rot är synlig;
• om , då eller , vilket är samma som eller , det vill säga ekvationen har två rötter.

Således beror närvaron eller frånvaron av ekvationens rötter, och därmed den ursprungliga andragradsekvationen, på uttryckets tecken på höger sida. I sin tur bestäms tecknet för detta uttryck av täljarens tecken, eftersom nämnaren 4 a 2 alltid är positiv, det vill säga tecknet för uttrycket b 2 −4 a c . Detta uttryck b 2 −4 a c kallas diskriminant av en andragradsekvation och märkt med bokstaven D. Härifrån är essensen av diskriminanten tydlig - genom dess värde och tecken dras slutsatsen om den andragradsekvationen har reella rötter, och i så fall vad är deras nummer - en eller två.

Vi återgår till ekvationen , skriver om den med notationen av diskriminanten: . Och vi avslutar:

• om D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• om D=0, så har denna ekvation en enda rot;
• slutligen, om D>0, så har ekvationen två rötter eller , som kan skrivas om i formen eller , och efter att ha utökat och reducerat bråken till en gemensam nämnare får vi .

Så vi härledde formlerna för rötterna till andragradsekvationen, de ser ut som , där diskriminanten D beräknas med formeln D=b 2 −4 a c .

Med deras hjälp, med en positiv diskriminant, kan du beräkna båda de verkliga rötterna till en andragradsekvation. När diskriminanten är lika med noll ger båda formlerna samma rotvärde som motsvarar den enda lösningen av andragradsekvationen. Och med en negativ diskriminant, när vi försöker använda formeln för rötterna till en andragradsekvation, ställs vi inför att extrahera kvadratroten från ett negativt tal, vilket tar oss utanför skolans läroplan. Med en negativ diskriminant har andragradsekvationen inga egentliga rötter, utan har ett par komplext konjugat rötter, som kan hittas med samma rotformler som vi fick.

Algoritm för att lösa andragradsekvationer med hjälp av rotformler

I praktiken, när du löser en andragradsekvation, kan du omedelbart använda rotformeln för att beräkna deras värden. Men det här handlar mer om att hitta komplexa rötter.

Men i en skolalgebrakurs är det vanligtvis det vi pratar inte om komplex, utan om verkliga rötter till en andragradsekvation. I det här fallet är det lämpligt att först hitta diskriminanten innan du använder formlerna för rötterna i den andragradsekvationen, se till att den är icke-negativ (annars kan vi dra slutsatsen att ekvationen inte har några riktiga rötter), och efter det beräkna rötternas värden.

Ovanstående resonemang tillåter oss att skriva algoritm för att lösa en andragradsekvation. För att lösa andragradsekvationen a x 2 + b x + c \u003d 0 behöver du:

• med hjälp av diskriminantformeln D=b 2 −4 a c beräkna dess värde;
• dra slutsatsen att andragradsekvationen inte har några reella rötter om diskriminanten är negativ;
• beräkna den enda roten av ekvationen med formeln om D=0 ;
• hitta två reella rötter av en andragradsekvation med hjälp av rotformeln om diskriminanten är positiv.

Här noterar vi bara att om diskriminanten är lika med noll kan formeln också användas, den kommer att ge samma värde som .

Du kan gå vidare till exempel på tillämpning av algoritmen för att lösa andragradsekvationer.

Exempel på att lösa andragradsekvationer

Betrakta lösningar av tre andragradsekvationer med positiva, negativa och noll- diskriminerande. Efter att ha behandlat deras lösning kommer det analogt att vara möjligt att lösa vilken annan kvadratisk ekvation som helst. Låt oss börja.

Exempel.

Hitta rötterna till ekvationen x 2 +2 x−6=0 .

Beslut.

I det här fallet har vi följande koefficienter för andragradsekvationen: a=1 , b=2 och c=−6 . Enligt algoritmen måste du först beräkna diskriminanten, för detta ersätter vi de angivna a, b och c i diskriminantformeln, vi har D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Eftersom 28>0, det vill säga diskriminanten är större än noll, har andragradsekvationen två reella rötter. Låt oss hitta dem med formeln för rötter , vi får , här kan vi förenkla uttrycken som erhålls genom att göra ta bort rotens tecken följt av bråkreduktion:

Svar:

Låt oss gå vidare till nästa typiska exempel.

Exempel.

Lös andragradsekvationen −4 x 2 +28 x−49=0 .

Beslut.

Vi börjar med att hitta diskriminanten: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Därför har denna andragradsekvation en enda rot, som vi finner som , det vill säga,

Svar:

x=3,5.

Det återstår att överväga lösningen av andragradsekvationer med negativ diskriminant.

Exempel.

Lös ekvationen 5 y 2 +6 y+2=0 .

Beslut.

Här är koefficienterna för andragradsekvationen: a=5 , b=6 och c=2 . Att ersätta dessa värden i den diskriminerande formeln har vi D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Diskriminanten är negativ, därför har denna andragradsekvation inga egentliga rötter.

Om du behöver specificera komplexa rötter, så använder vi den välkända formeln för rötter till andragradsekvationen, och utför operationer med komplexa tal:

Svar:

det finns inga riktiga rötter, de komplexa rötterna är: .

Återigen noterar vi att om diskriminanten i andragradsekvationen är negativ, så skriver skolan vanligtvis omedelbart ner svaret, där de indikerar att det inte finns några riktiga rötter, och de hittar inte komplexa rötter.

Rotformel för jämna andrakoefficienter

Formeln för rötterna till en andragradsekvation , där D=b 2 −4 a c gör att du kan få en mer kompakt formel som låter dig lösa andragradsekvationer med en jämn koefficient vid x (eller helt enkelt med en koefficient som ser ut som 2 n t.ex. eller 14 ln5=2 7 ln5 ). Låt oss ta ut henne.

Låt oss säga att vi behöver lösa en andragradsekvation av formen a x 2 +2 n x + c=0 . Låt oss hitta dess rötter med hjälp av formeln som vi känner till. För att göra detta beräknar vi diskriminanten D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), och sedan använder vi rotformeln:

Beteckna uttrycket n 2 −a c som D 1 (ibland betecknas det D ") Sedan tar formeln för rötterna till den betraktade andragradsekvationen med den andra koefficienten 2 n formen , där D 1 =n 2 −a c .

Det är lätt att se att D=4·D 1 eller D 1 =D/4 . D 1 är med andra ord den fjärde delen av diskriminanten. Det är tydligt att tecknet för D 1 är detsamma som tecknet för D . Det vill säga, tecknet D 1 är också en indikator på närvaron eller frånvaron av andragradsekvationens rötter.

Så för att lösa en andragradsekvation med den andra koefficienten 2 n behöver du

• Beräkna D 1 =n 2 −a·c ;
• Om D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Om D 1 =0, beräkna den enda roten av ekvationen med hjälp av formeln;
• Om D 1 >0, hitta två reella rötter med hjälp av formeln.

Överväg lösningen i exemplet med hjälp av rotformeln som erhålls i detta stycke.

Exempel.

Lös andragradsekvationen 5 x 2 −6 x−32=0 .

Beslut.

Den andra koefficienten i denna ekvation kan representeras som 2·(−3) . Det vill säga, du kan skriva om den ursprungliga andragradsekvationen i formen 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , här a=5 , n=−3 och c=−32 , och beräkna den fjärde delen av diskriminerande: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Eftersom dess värde är positivt har ekvationen två reella rötter. Vi hittar dem med hjälp av motsvarande rotformel:

Observera att det var möjligt att använda den vanliga formeln för rötterna till en andragradsekvation, men i det här fallet skulle mer beräkningsarbete behöva göras.

Svar:

Förenkling av andragradsekvationers form

Ibland, innan man påbörjar beräkningen av rötterna till en andragradsekvation med formler, skadar det inte att ställa frågan: "Är det möjligt att förenkla formen av denna ekvation"? Håll med om att det beräkningsmässigt blir lättare att lösa andragradsekvationen 11 x 2 −4 x −6=0 än 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Vanligtvis uppnås en förenkling av formen av en andragradsekvation genom att multiplicera eller dividera båda sidor av den med något tal. Till exempel, i föregående stycke, lyckades vi uppnå en förenkling av ekvationen 1100 x 2 −400 x −600=0 genom att dividera båda sidor med 100 .

En liknande transformation utförs med andragradsekvationer, vars koefficienter inte är . I det här fallet delas båda delarna av ekvationen vanligtvis med de absoluta värdena för dess koefficienter. Låt oss till exempel ta andragradsekvationen 12 x 2 −42 x+48=0. absoluta värden för dess koefficienter: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Om vi ​​dividerar båda sidor av den ursprungliga andragradsekvationen med 6 kommer vi fram till den ekvivalenta andragradsekvationen 2 x 2 −7 x+8=0 .

Och multiplikationen av båda delarna av andragradsekvationen görs vanligtvis för att bli av med bråkkoefficienter. I detta fall utförs multiplikationen på nämnare av dess koefficienter. Till exempel, om båda delarna av en andragradsekvation multipliceras med LCM(6, 3, 1)=6, kommer den att ha en enklare form x 2 +4 x−18=0 .

Som avslutning av detta stycke noterar vi att nästan alltid bli av med minus vid den högsta koefficienten i andragradsekvationen genom att ändra tecknen på alla termer, vilket motsvarar att multiplicera (eller dividera) båda delarna med −1. Till exempel, vanligtvis från andragradsekvationen −2·x 2 −3·x+7=0, gå till lösningen 2·x 2 +3·x−7=0 .

Förhållandet mellan rötter och koefficienter för en andragradsekvation

Formeln för rötterna till en andragradsekvation uttrycker rötterna till en ekvation i termer av dess koefficienter. Utifrån rötternas formel kan man få andra samband mellan rötterna och koefficienterna.

De mest kända och tillämpliga formlerna från Vieta-satsen för formen och . Speciellt för den givna andragradsekvationen är summan av rötterna lika med den andra koefficienten med motsatt tecken, och produkten av rötterna är den fria termen. Till exempel, med formen av andragradsekvationen 3 x 2 −7 x+22=0, kan du omedelbart säga att summan av dess rötter är 7/3 och produkten av rötterna är 22/3.

Med hjälp av de redan skrivna formlerna kan du få ett antal andra samband mellan andragradsekvationens rötter och koefficienter. Till exempel kan du uttrycka summan av kvadraterna av rötterna i en andragradsekvation i termer av dess koefficienter: .

Bibliografi.

• Algebra: lärobok för 8 celler. Allmän utbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakovskij. - 16:e upplagan. - M. : Utbildning, 2008. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8: e klass. Kl 14. Del 1. Elevens lärobok läroanstalter/ A. G. Mordkovich. - 11:e uppl., raderad. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Problem på andragradsekvationen studeras också i Läroplanen och på universiteten. De förstås som ekvationer av formen a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, där x- variabel, a,b,c – konstanter; a<>0 . Problemet är att hitta rötterna till ekvationen.

Den geometriska betydelsen av andragradsekvationen

Grafen för en funktion som representeras av en andragradsekvation är en parabel. Lösningarna (rötterna) till en andragradsekvation är skärningspunkterna mellan parabeln och x-axeln. Det följer att det finns tre möjliga fall:
1) parabeln har inga skärningspunkter med x-axeln. Det betyder att den är i det övre planet med grenar uppåt eller det nedre med grenar neråt. I sådana fall har andragradsekvationen inga riktiga rötter (den har två komplexa rötter).

2) parabeln har en skärningspunkt med axeln Ox. En sådan punkt kallas parabelns vertex, och andragradsekvationen i den får sitt lägsta eller maximala värde. I det här fallet har andragradsekvationen en reell rot (eller två identiska rötter).

3) Det sista fallet är mer intressant i praktiken - det finns två skärningspunkter mellan parabeln och abskissaxeln. Det betyder att det finns två reella rötter till ekvationen.

Baserat på analysen av koefficienterna vid variablernas potenser kan intressanta slutsatser dras om parabelns placering.

1) Om koefficienten a är större än noll så är parabeln riktad uppåt, om den är negativ är parabelns grenar riktade nedåt.

2) Om koefficienten b är större än noll, så ligger parabelns vertex i det vänstra halvplanet, om det tar ett negativt värde, då i det högra.

Härledning av en formel för att lösa en andragradsekvation

Låt oss överföra konstanten från andragradsekvationen

för likhetstecknet får vi uttrycket

Multiplicera båda sidor med 4a

För att få en hel ruta till vänster, lägg till b ^ 2 i båda delarna och utför omvandlingen

Härifrån finner vi

Formel för diskriminant och andragradsekvationens rötter

Diskriminanten är värdet på det radikala uttrycket. Om det är positivt har ekvationen två reella rötter, beräknade med formeln När diskriminanten är noll har andragradsekvationen en lösning (två sammanfallande rötter), som är lätta att få från ovanstående formel för D=0. När diskriminanten är negativ finns det inga reella rötter. Men för att studera lösningarna av den kvadratiska ekvationen i det komplexa planet, och deras värde beräknas med formeln

Vietas sats

Betrakta två rötter av en andragradsekvation och konstruera en andragradsekvation på grundval av dessa.Vieta-satsen själv följer lätt av notationen: om vi har en andragradsekvation av formen då är summan av dess rötter lika med koefficienten p, taget med motsatt tecken, och produkten av ekvationens rötter är lika med den fria termen q. Formeln för ovanstående kommer att se ut som Om konstanten a i den klassiska ekvationen inte är noll, måste du dividera hela ekvationen med den och sedan tillämpa Vieta-satsen.

Schema för andragradsekvationen på faktorer

Låt uppgiften bestämmas: att dekomponera andragradsekvationen i faktorer. För att utföra det löser vi först ekvationen (hitta rötterna). Därefter ersätter vi de hittade rötterna i formeln för att expandera andragradsekvationen. Detta problem kommer att lösas.

Uppgifter för en andragradsekvation

Uppgift 1. Hitta rötterna till en andragradsekvation

x^2-26x+120=0 .

Lösning: Skriv ner koefficienterna och ersätt i diskriminantformeln

roten av givet värde lika med 14, det är lätt att hitta det med en miniräknare, eller komma ihåg det med frekvent användning, men för enkelhetens skull kommer jag i slutet av artikeln att ge dig en lista över kvadrater med tal som ofta kan hittas i sådana uppgifter .
Det hittade värdet ersätts med rotformeln

och vi får

Uppgift 2. lösa ekvationen

2x2+x-3=0.

Lösning: Vi har en komplett andragradsekvation, skriver ut koefficienterna och hittar diskriminanten


Förbi kända formler hitta rötterna till andragradsekvationen

Uppgift 3. lösa ekvationen

9x2 -12x+4=0.

Lösning: Vi har en komplett andragradsekvation. Bestäm diskriminanten

Vi fick fallet när rötterna sammanfaller. Vi hittar rötternas värden genom formeln

Uppgift 4. lösa ekvationen

x^2+x-6=0 .

Lösning: I fall där det finns små koefficienter för x, är det lämpligt att tillämpa Vieta-satsen. Genom dess tillstånd får vi två ekvationer

Från det andra villkoret får vi att produkten måste vara lika med -6. Det betyder att en av rötterna är negativ. Vi har följande möjliga lösningspar(-3;2), (3;-2) . Med hänsyn till det första villkoret förkastar vi det andra paret av lösningar.
Rötterna till ekvationen är

Uppgift 5. Hitta längderna på sidorna i en rektangel om dess omkrets är 18 cm och arean är 77 cm 2.

Lösning: Halva omkretsen av en rektangel är lika med summan av de intilliggande sidorna. Låt oss beteckna x - stora sidan, då är 18-x dess mindre sida. Arean av en rektangel är lika med produkten av dessa längder:
x(18x)=77;
eller
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Hitta ekvationens diskriminant

Vi beräknar rötterna till ekvationen

Om en x=11, sedan 18x=7 , vice versa är också sant (om x=7, då 21-x=9).

Uppgift 6. Faktorisera den kvadratiska 10x 2 -11x+3=0 ekvationen.

Lösning: Beräkna rötterna till ekvationen, för detta hittar vi diskriminanten

Vi ersätter det hittade värdet i formeln för rötterna och beräknar

Vi tillämpar formeln för att expandera andragradsekvationen i termer av rötter

Genom att utöka parentesen får vi identiteten.

Andragradsekvation med parameter

Exempel 1. För vilka värden på parametern en , har ekvationen (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 en rot?

Lösning: Genom direkt substitution av värdet a=3 ser vi att det inte har någon lösning. Vidare kommer vi att använda det faktum att med en nolldiskriminant har ekvationen en rot av multiplicitet 2. Låt oss skriva ut diskriminanten

förenkla det och sätt lika med noll

Vi har erhållit en andragradsekvation med avseende på parametern a, vars lösning är lätt att få med hjälp av Vieta-satsen. Summan av rötterna är 7, och deras produkt är 12. Genom enkel uppräkning slår vi fast att talen 3.4 kommer att vara rötterna till ekvationen. Eftersom vi redan har förkastat lösningen a=3 i början av beräkningarna, kommer den enda korrekta att vara - a=4. Således, för a = 4, har ekvationen en rot.

Exempel 2. För vilka värden av parametern en , ekvationen a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 har mer än en rot?

Lösning: Tänk först på singularpunkterna, de kommer att vara värdena a=0 och a=-3. När a=0 kommer ekvationen att förenklas till formen 6x-9=0; x=3/2 och det kommer att finnas en rot. För a= -3 får vi identiteten 0=0 .
Beräkna diskriminanten

och hitta värdena för en som den är positiv för

Från det första villkoret får vi a>3. För det andra hittar vi diskriminanten och ekvationens rötter


Låt oss definiera intervallen där funktionen tar positiva värden. Genom att ersätta punkten a=0 får vi 3>0 . Så utanför intervallet (-3; 1/3) är funktionen negativ. Glöm inte pricken a=0 som bör uteslutas, eftersom den ursprungliga ekvationen har en rot i sig.
Som ett resultat får vi två intervall som uppfyller problemets tillstånd

Det kommer att finnas många liknande uppgifter i praktiken, försök att ta itu med uppgifterna själv och glöm inte att ta hänsyn till förhållanden som utesluter varandra. Studera väl formlerna för att lösa andragradsekvationer, de behövs ganska ofta i beräkningar inom olika problem och vetenskaper.

Det här ämnet kan tyckas komplicerat till en början på grund av de många inte så enkla formlerna. Inte bara andragradsekvationerna i sig har långa poster, utan rötterna hittas också genom diskriminanten. Det finns tre nya formler totalt. Inte så lätt att komma ihåg. Detta är möjligt endast efter den frekventa lösningen av sådana ekvationer. Då kommer alla formler att komma ihåg av sig själva.

Allmän bild av andragradsekvationen

Här föreslås deras explicita notation, när den största graden skrivs först, och sedan - i fallande ordning. Ofta finns det situationer när villkoren skiljer sig åt. Då är det bättre att skriva om ekvationen i fallande ordning efter variabelns grad.

Låt oss introducera notation. De presenteras i tabellen nedan.

Om vi ​​accepterar dessa notationer reduceras alla andragradsekvationer till följande notation.

Dessutom är koefficienten a ≠ 0. Låt denna formel betecknas med nummer ett.

När ekvationen ges är det inte klart hur många rötter som kommer att finnas i svaret. Eftersom ett av tre alternativ alltid är möjligt:

• lösningen kommer att ha två rötter;
• svaret blir ett nummer;
• Ekvationen har inga rötter alls.

Och även om beslutet inte avslutas, är det svårt att förstå vilket av alternativen som kommer att falla ut i ett visst fall.

Typer av poster av andragradsekvationer

Uppgifter kan ha olika poster. De kommer inte alltid att se ut som den allmänna formeln för en andragradsekvation. Ibland kommer det att sakna några termer. Det som skrevs ovan är fullständig ekvation. Om du tar bort den andra eller tredje termen i den får du något annat. Dessa poster kallas också andragradsekvationer, endast ofullständiga.

Dessutom kan bara de termer för vilka koefficienterna "b" och "c" försvinna. Siffran "a" kan under inga omständigheter vara lika med noll. För i det här fallet förvandlas formeln till en linjär ekvation. Formlerna för den ofullständiga formen av ekvationerna kommer att vara följande:

Så det finns bara två typer, förutom kompletta finns det också ofullständiga andragradsekvationer. Låt den första formeln vara nummer två och den andra nummer tre.

Diskriminanten och antalet rötters beroende av dess värde

Detta nummer måste vara känt för att kunna beräkna ekvationens rötter. Det går alltid att beräkna, oavsett vilken formel för andragradsekvationen är. För att beräkna diskriminanten måste du använda jämställdheten nedan, som kommer att ha nummer fyra.

Efter att ha ersatt värdena för koefficienterna i denna formel kan du få siffror med olika tecken. Om svaret är ja, kommer svaret på ekvationen att vara två olika rötter. Med ett negativt tal kommer rötterna till andragradsekvationen att saknas. Om det är lika med noll blir svaret ett.

Hur löses en komplett andragradsekvation?

Faktum är att övervägandet av denna fråga redan har börjat. För först måste du hitta diskriminanten. Efter att det har klargjorts att det finns rötter till andragradsekvationen, och deras antal är känt, måste du använda formlerna för variablerna. Om det finns två rötter, måste du tillämpa en sådan formel.

Eftersom den innehåller tecknet "±" kommer det att finnas två värden. Uttrycket under kvadratrottecknet är diskriminanten. Därför kan formeln skrivas om på ett annat sätt.

Formel fem. Från samma post kan man se att om diskriminanten är noll, kommer båda rötterna att ha samma värden.

Om lösningen av andragradsekvationer ännu inte har utarbetats, är det bättre att skriva ner värdena för alla koefficienter innan du använder diskriminant- och variabelformlerna. Senare kommer detta ögonblick inte att orsaka svårigheter. Men i början råder förvirring.

Hur löser man en ofullständig andragradsekvation?

Allt är mycket enklare här. Inte ens det behövs ytterligare formler. Och du behöver inte de som redan har skrivits för diskriminerande och okända.

Överväg först ofullständig ekvation på nummer två. I denna likhet är det meningen att den ska ta ut den okända kvantiteten ur parentesen och lösa den linjära ekvationen, som kommer att finnas kvar inom parentes. Svaret kommer att ha två rötter. Den första är nödvändigtvis lika med noll, eftersom det finns en faktor som består av själva variabeln. Den andra erhålls genom att lösa en linjär ekvation.

Den ofullständiga ekvationen vid nummer tre löses genom att överföra talet från vänster sida av ekvationen till höger. Sedan måste du dividera med koefficienten framför det okända. Det återstår bara att extrahera kvadratroten och glöm inte att skriva ner den två gånger med motsatta tecken.

Följande är några åtgärder som hjälper dig att lära dig hur du löser alla typer av likheter som förvandlas till andragradsekvationer. De kommer att hjälpa eleven att undvika misstag på grund av ouppmärksamhet. Dessa brister är orsaken till dåliga betyg när man studerar det omfattande ämnet "Quadric Equations (Betyg 8)". Därefter kommer dessa åtgärder inte att behöva utföras konstant. För det blir en stabil vana.

• Först måste du skriva ekvationen i standardform. Det vill säga först termen med den största graden av variabeln, och sedan - utan graden och den sista - bara en siffra.

• Om ett minus visas före koefficienten "a", kan det komplicera arbetet för en nybörjare att studera andragradsekvationer. Det är bättre att bli av med det. För detta ändamål måste all likhet multipliceras med "-1". Det betyder att alla termer kommer att ändra tecken till motsatt.

• På samma sätt rekommenderas att bli av med fraktioner. Multiplicera helt enkelt ekvationen med lämplig faktor så att nämnarna tar bort.

Exempel

Det krävs för att lösa följande andragradsekvationer:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Den första ekvationen: x 2 - 7x \u003d 0. Den är ofullständig, därför löses den enligt beskrivningen för formel nummer två.

Efter bracketing visar det sig: x (x - 7) \u003d 0.

Den första roten får värdet: x 1 \u003d 0. Den andra kommer att hittas från den linjära ekvationen: x - 7 \u003d 0. Det är lätt att se att x 2 \u003d 7.

Andra ekvationen: 5x2 + 30 = 0. Återigen ofullständig. Bara det löses enligt beskrivningen för den tredje formeln.

Efter att ha överfört 30 till höger sida av ekvationen: 5x 2 = 30. Nu måste du dividera med 5. Det visar sig: x 2 = 6. Svaren blir siffror: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Tredje ekvationen: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Här och nedan börjar lösningen av andragradsekvationer med att skriva om dem till en standardform: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Nu är det dags att använda den andra användbart råd och multiplicera allt med minus ett. Det visar sig x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Enligt den fjärde formeln måste du beräkna diskriminanten: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Det är en Positivt nummer. Av det som sagts ovan visar det sig att ekvationen har två rötter. De måste beräknas enligt den femte formeln. Enligt det visar det sig att x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Sedan x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Den fjärde ekvationen x 2 + 8 + 3x \u003d 0 omvandlas till detta: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Dess diskriminant är lika med detta värde: -23. Eftersom detta nummer är negativt kommer svaret på denna uppgift att vara följande post: "Det finns inga rötter."

Den femte ekvationen 12x + x 2 + 36 = 0 ska skrivas om enligt följande: x 2 + 12x + 36 = 0. Efter att ha tillämpat formeln för diskriminanten erhålls talet noll. Detta betyder att den kommer att ha en rot, nämligen: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Den sjätte ekvationen (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) kräver transformationer, som består i att du måste ta med liknande termer, innan du öppnar parenteserna. I stället för den första kommer det att finnas ett sådant uttryck: x 2 + 2x + 1. Efter likhet kommer denna post att visas: x 2 + 3x + 2. Efter att liknande termer har räknats kommer ekvationen att ha formen: x 2 - x \u003d 0. Den har blivit ofullständig . Liknande det har redan ansetts vara lite högre. Rötterna till detta kommer att vara siffrorna 0 och 1.

Kvadratisk ekvation. Diskriminerande. Lösning, exempel.

Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som starkt "inte särskilt..."
Och för dem som "mycket...")

Typer av andragradsekvationer

Vad är en andragradsekvation? Vad ser det ut som? I sikt andragradsekvation nyckelord är "fyrkant". Det betyder att i ekvationen nödvändigtvis det måste finnas ett x-kvadrat. Utöver det kan det i ekvationen finnas (eller kanske inte finns!) Bara x (till första graden) och bara ett tal (gratis medlem). Och det bör inte finnas x i en grad större än två.

I matematiska termer är en andragradsekvation en ekvation av formen:

Här a, b och c- några siffror. b och c- absolut vilken som helst, men a- allt annat än noll. Till exempel:

Här a =1; b = 3; c = -4

Här a =2; b = -0,5; c = 2,2

Här a =-3; b = 6; c = -18

Tja, ni fattar...

I dessa andragradsekvationer, till vänster, finns det hela uppsättningen medlemmar. x i kvadrat med koefficient en, x till den första potensen med koefficient b och gratis medlem av

Sådana andragradsekvationer kallas komplett.

Och om b= 0, vad får vi? Vi har X kommer att försvinna i första graden. Detta sker genom att multiplicera med noll.) Det visar sig till exempel:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x2 +4x=0

Etc. Och om båda koefficienterna b och cär lika med noll, då är det ännu enklare:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Sådana ekvationer, där något saknas, kallas ofullständiga andragradsekvationer. Vilket är ganska logiskt.) Observera att x i kvadrat finns i alla ekvationer.

Förresten varför a kan inte vara noll? Och du ersätter istället a noll.) Xet i rutan försvinner! Ekvationen blir linjär. Och det är gjort annorlunda...

Det är alla huvudtyperna av andragradsekvationer. Komplett och ofullständig.

Lösning av andragradsekvationer.

Lösning av kompletta andragradsekvationer.

Andragradsekvationer är lätta att lösa. Genom formler och tydlig enkla regler. I det första skedet behöver du given ekvation leda till standardformulär, dvs. till utsikten:

Om ekvationen redan ges till dig i det här formuläret, behöver du inte göra det första steget.) Det viktigaste är att korrekt bestämma alla koefficienter, a, b och c.

Formeln för att hitta rötterna till en andragradsekvation ser ut så här:

Uttrycket under rottecknet kallas diskriminerande. Men mer om honom nedan. Som du kan se använder vi för att hitta x endast a, b och c. De där. koefficienter från andragradsekvationen. Byt bara ut värdena försiktigt a, b och c in i denna formel och räkna. Ersättning med dina tecken! Till exempel i ekvationen:

a =1; b = 3; c= -4. Här skriver vi:

Exempel nästan löst:

Detta är svaret.

Allt är väldigt enkelt. Och vad tror du, du kan inte gå fel? Ja, hur...

De vanligaste misstagen är förväxling med värdens tecken a, b och c. Eller snarare, inte med sina tecken (var finns det att bli förvirrad?), utan med substitutionen negativa värden i formeln för att beräkna rötterna. Här sparas en detaljerad förteckning över formeln med specifika siffror. Om det finns problem med beräkningar, så gör det!

Anta att vi behöver lösa följande exempel:

Här a = -6; b = -5; c = -1

Låt oss säga att du vet att du sällan får svar första gången.

Tja, var inte lat. Det tar 30 sekunder att skriva en extra rad och antalet fel kommer att sjunka kraftigt. Så vi skriver i detalj, med alla parenteser och tecken:

Det verkar otroligt svårt att måla så noggrant. Men det verkar bara. Försök. Tja, eller välj. Vilket är bättre, snabbt eller rätt? Dessutom kommer jag att göra dig lycklig. Efter ett tag kommer det inte att finnas något behov av att måla allt så noggrant. Det kommer att lösa sig helt rätt. Speciellt om du tillämpar praktiska tekniker, som beskrivs nedan. Detta onda exempel med en massa minus kommer att lösas enkelt och utan fel!

Men ofta ser andragradsekvationer något annorlunda ut. Till exempel, så här:

Visste du?) Ja! Detta är ofullständiga andragradsekvationer.

Lösning av ofullständiga andragradsekvationer.

De kan också lösas med den allmänna formeln. Du behöver bara ta reda på vad som är lika här a, b och c.

Insett? I det första exemplet a = 1; b = -4; a c? Det finns inte alls! Jo, det stämmer. I matematik betyder det det c = 0 ! Det är allt. Ersätt noll i formeln istället för c, och allt kommer att lösa sig för oss. Likadant med det andra exemplet. Bara noll har vi inte här med, a b !

Men ofullständiga andragradsekvationer kan lösas mycket lättare. Utan några formler. Betrakta den första ofullständiga ekvationen. Vad kan göras på vänster sida? Du kan ta X:et ur parentes! Låt oss ta ut den.

Och vad av detta? Och det faktum att produkten är lika med noll om, och bara om någon av faktorerna är lika med noll! Tror du inte? Tja, kom då på två icke-nolltal som, när de multipliceras, ger noll!
Fungerar inte? Något...
Därför kan vi med tillförsikt skriva: x 1 = 0, x 2 = 4.

Allt. Dessa kommer att vara rötterna till vår ekvation. Båda passar. När vi substituerar någon av dem i den ursprungliga ekvationen får vi den korrekta identiteten 0 = 0. Som du kan se är lösningen mycket enklare än den allmänna formeln. Jag noterar förresten vilket X som kommer att vara det första och vilket det andra - det är absolut likgiltigt. Lätt att skriva i ordning x 1- beroende på vilket som är mindre x 2- det som är mer.

Den andra ekvationen kan också enkelt lösas. Vi flyttar 9 till höger sida. Vi får:

Det återstår att extrahera roten från 9, och det är det. Skaffa sig:

också två rötter . x 1 = -3, x 2 = 3.

Så här löses alla ofullständiga andragradsekvationer. Antingen genom att ta x ur parentes, eller enkel överföring nummer till höger, följt av rotextraktion.
Det är extremt svårt att blanda ihop dessa metoder. Helt enkelt för att du i det första fallet måste extrahera roten från X, vilket på något sätt är obegripligt, och i det andra fallet finns det inget att ta ur parentes ...

Diskriminerande. Diskriminerande formel.

magiskt ord diskriminerande ! En sällsynt gymnasieelev har inte hört detta ord! Frasen "bestämma genom diskriminanten" är lugnande och lugnande. För det finns ingen anledning att vänta på tricks från diskriminanten! Det är enkelt och problemfritt i hanteringen.) Jag påminner dig mest om allmän formel för lösningar några Kvadratisk ekvation:

Uttrycket under rottecknet kallas diskriminant. Diskriminanten betecknas vanligtvis med bokstaven D. Diskriminerande formel:

D = b 2 - 4ac

Och vad är det som är så speciellt med detta uttryck? Varför förtjänar den ett speciellt namn? Vad betydelsen av diskriminanten? Trots allt -b, eller 2a i den här formeln namnger de inte specifikt ... Bokstäver och bokstäver.

Poängen är detta. När man löser en andragradsekvation med denna formel är det möjligt endast tre fall.

1. Diskriminanten är positiv. Det betyder att du kan extrahera roten från den. Om roten utvinns bra eller dåligt är en annan fråga. Det är viktigt vad som tas ut i princip. Då har din andragradsekvation två rötter. Två olika lösningar.

2. Diskriminanten är noll. Då har du en lösning. Eftersom att addera eller subtrahera noll i täljaren ändrar ingenting. Strängt taget är detta inte en enda rot, men två identiska. Men i en förenklad version är det vanligt att tala om en lösning.

3. Diskriminanten är negativ. Ett negativt tal tar inte kvadratroten. Okej. Det betyder att det inte finns några lösningar.

För att vara ärlig, kl enkel lösning andragradsekvationer är begreppet diskriminant inte särskilt nödvändigt. Vi ersätter värdena på koefficienterna i formeln och vi överväger. Där blir allt av sig självt, och två rötter, och en, och inte en enda. Dock när man löser mer svåra uppgifter, utan kunskap mening och diskriminerande formel inte tillräckligt. Speciellt - i ekvationer med parametrar. Sådana ekvationer är aerobatik för GIA och Unified State Examination!)

Så, hur man löser andragradsekvationer genom diskriminanten du kom ihåg. Eller lärt sig, vilket inte heller är dåligt.) Du vet hur man korrekt identifierar a, b och c. Vet du hur uppmärksamt ersätt dem i rotformeln och uppmärksamt räkna resultatet. Förstod du att nyckelordet här är - uppmärksamt?

Notera nu de praktiska teknikerna som dramatiskt minskar antalet fel. Just de som beror på ouppmärksamhet ... För vilka det sedan är smärtsamt och förolämpande ...

Första mottagningen . Var inte lat innan du löser en andragradsekvation för att få den till en standardform. Vad betyder det här?
Antag att du efter några transformationer får följande ekvation:

Ha inte bråttom att skriva formeln för rötterna! Du kommer nästan säkert att blanda ihop oddsen a, b och c. Bygg exemplet rätt. Först x kvadrat, sedan utan kvadrat, sedan en fri medlem. Så här:

Och återigen, skynda inte! Minuset före x-rutan kan störa dig mycket. Att glömma det är lätt... Bli av med minuset. På vilket sätt? Ja, som lärde ut i föregående ämne! Vi måste multiplicera hela ekvationen med -1. Vi får:

Och nu kan du säkert skriva ner formeln för rötterna, beräkna diskriminanten och slutföra exemplet. Bestäm själv. Du bör sluta med rötterna 2 och -1.

Andra mottagningen. Kontrollera dina rötter! Enligt Vietas sats. Oroa dig inte, jag ska förklara allt! Kontroll sista sak ekvationen. De där. den med vilken vi skrev ner formeln för rötterna. Om (som i detta exempel) koefficienten a = 1, kolla rötterna enkelt. Det räcker att multiplicera dem. Du bör få en fri termin, d.v.s. i vårt fall -2. Var uppmärksam, inte 2, utan -2! gratis medlem med din skylt . Om det inte fungerade betyder det att de redan trasslat till någonstans. Leta efter ett fel.

Om det löste sig måste du vika rötterna. Sista och sista kontrollen. Bör vara ett förhållande b med motsatt tecken. I vårt fall -1+2 = +1. En koefficient b, som är före x, är lika med -1. Så allt stämmer!
Det är synd att det är så enkelt bara för exempel där x i kvadrat är rent, med en koefficient a = 1. Men kolla åtminstone in sådana ekvationer! Allt mindre misstag kommer.

Mottagning tredje . Om din ekvation har bråkkoefficienter, bli av med bråken! Multiplicera ekvationen med den gemensamma nämnaren enligt beskrivningen i lektionen "Hur man löser ekvationer? Identitetstransformationer". När du arbetar med bråk, fel, av någon anledning, klättra ...

Förresten, jag lovade ett ont exempel med en massa minus för att förenkla. Varsågod! Där är han.

För att inte bli förvirrade i minusen multiplicerar vi ekvationen med -1. Vi får:

Det är allt! Att bestämma sig är kul!

Så låt oss sammanfatta ämnet.

Praktiska tips:

1. Innan vi löser tar vi andragradsekvationen till standardformen, bygger den rätt.

2. Om det finns en negativ koefficient framför x-et i kvadraten, eliminerar vi den genom att multiplicera hela ekvationen med -1.

3. Om koefficienterna är bråktal, eliminerar vi bråken genom att multiplicera hela ekvationen med motsvarande faktor.

4. Om x i kvadrat är ren är koefficienten för den lika med ett, lösningen kan enkelt kontrolleras med Vietas sats. Gör det!

Nu kan du bestämma dig.)

Lös ekvationer:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Svar (i oordning):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - vilket nummer som helst

x 1 = -3
x 2 = 3

inga lösningar

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Stämmer allt? Bra! Andragradsekvationer är inte dina huvudvärk. De tre första visade sig, men resten gjorde det inte? Då ligger problemet inte i andragradsekvationer. Problemet ligger i identiska transformationer av ekvationer. Ta en titt på länken, den är till hjälp.

Funkar det inte riktigt? Eller fungerar det inte alls? Då hjälper dig Sektion 555. Där är alla dessa exempel sorterade efter ben. Som visar huvud fel i lösningen. Naturligtvis talar det också om användningen identiska transformationer att lösa olika ekvationer. Hjälper mycket!

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Lär dig - med intresse!)

du kan bekanta dig med funktioner och derivator.