Dom > Matematyka

Jak napisać sumę terminów bitowych. Suma wyrazów bitowych liczby naturalnej

Poziom biegłości w zakresie metod obliczeń ustnych i pisemnych zależy bezpośrednio od przyswojenia przez dzieci pytań z numeracji. W każdej klasie szkoły podstawowej na naukę tego tematu przeznacza się określoną liczbę godzin. Jak pokazuje praktyka, czas zapewniany przez program nie zawsze wystarcza na rozwój umiejętności.

Rozumiejąc wagę pytania, doświadczony nauczyciel z pewnością włączy ćwiczenia związane z numeracją liczb na każdej lekcji. Ponadto weźmie pod uwagę rodzaje tych zadań oraz kolejność ich prezentacji uczniom.

Wymagania programowe

Aby zrozumieć, do czego powinien dążyć sam nauczyciel i jego uczniowie, najpierw trzeba jasno znać wymagania, jakie stawia program w matematyce w ogóle, aw kwestiach numeracji w szczególności.

  • Uczeń musi umieć ułożyć dowolne liczby (zrozumieć, jak to się robi) i nazwać je – wymaganie to dotyczy numeracji ustnej.
  • Ucząc się numeracji pisemnej, dzieci powinny nauczyć się nie tylko zapisywać liczby, ale także je porównywać. Jednocześnie polegają na znajomości lokalnego znaczenia cyfry w zapisie liczby.
  • Dzieci zapoznają się z pojęciami „cyfra”, „jednostka cyfry”, „termin cyfry” w drugiej klasie. Od tego samego czasu terminy są wpisywane do aktywnego słownika uczniów. Ale nauczyciel używał ich na lekcjach matematyki w pierwszej klasie, zanim nauczył się pojęć.
  • Znać nazwy cyfr, zapisywać liczbę jako sumę wyrażeń cyfrowych, stosować w praktyce takie jednostki jak dziesięć, sto, tysiąc, odtwarzać ciąg dowolnego segmentu naturalnego ciągu liczb — te to także wymagania programu dotyczące wiedzy uczniów szkół podstawowych.

Jak korzystać z zadań

Poniższe grupy zadań pomogą nauczycielowi w pełni rozwinąć umiejętności, które ostatecznie doprowadzą do pożądanych rezultatów w rozwoju umiejętności obliczeniowych uczniów.

Ćwiczenia można wykorzystać na zajęciach podczas powtarzania omówionego materiału, w czasie uczenia się nowych rzeczy. Mogą być oferowane do pracy domowej, w zajęciach pozalekcyjnych. Na podstawie materiału ćwiczeń nauczyciel może organizować grupowe, frontalne i indywidualne formy aktywności.

Wiele będzie zależeć od arsenału technik i metod, które posiada nauczyciel. Jednak regularność wykonywania zadań i kolejność rozwijania umiejętności to główne warunki, które doprowadzą do sukcesu.

Formowanie liczb

Poniżej znajdują się przykładowe ćwiczenia mające na celu przećwiczenie zrozumienia tworzenia się liczb. Ich wymagana liczba będzie zależeć od poziomu rozwoju uczniów w klasie.


Nazwij i napisz cyfry

  1. Ćwiczenia tego typu obejmują zadania, w których należy nazwać liczby reprezentowane przez model geometryczny.
  2. Nazwij liczby wpisując je na płótnie: 967, 473, 285, 64, 3985. Ile jednostek z każdej kategorii zawierają?

3. Przeczytaj tekst i zapisz każdą cyfrę w liczbach: siedem ... samochody przewoziły tysiąc pięćset dwanaście ... pudła pomidorów. Ile z tych maszyn będzie potrzebnych do przetransportowania dwóch tysięcy ośmiuset ośmiu… tych samych pudełek?

4. Zapisz liczby w liczbach. Wyraź wartości w małych jednostkach: 8set. 4 jednostki = …; 8 m 4 cm = ...; 4sta. 9 grudnia =…; 4 m 9 dm = ...

Czytanie i porównywanie liczb

1. Odczytaj na głos liczby składające się z: 41 dec. 8 jednostek; 12 grudnia; 8 grudnia 8 jednostek; 17 grudnia

2. Odczytaj liczby i wybierz dla nich odpowiedni obrazek (różne liczby są zapisane na tablicy w jednej kolumnie, a modele tych liczb są pokazane w losowej kolejności w drugiej, uczniowie muszą je dopasować.)

3. Porównaj liczby: 416 ... 98; 199...802; 375 ... 474.

4. 35 cm ... 3 m 6 cm; 7 m 9 cm ... 9 m 3 cm

Praca z jednostkami bitowymi

1. Wyraź w różnych jednostkach bitowych: 3sta. 5 grudnia 3 jednostki = … komórki. … jednostek = … zm. … jednostek

2. Wypełnij tabelę:

3. Zapisz liczby, gdzie cyfra 2 oznacza jednostki pierwszej cyfry: 92; 502; 299; 263; 623; 872.

4. Zapisz trzycyfrową liczbę, gdzie setki to trzy, a jednostki - dziewięć.

Suma terminów bitowych

Przykłady zadań:

  1. Przeczytaj notatki na tablicy: 480; 700 + 70 + 7; 408; 108; 400+8; 777; 100+8; 400 + 80. Umieść trzycyfrowe liczby w pierwszej kolumnie, suma terminów bitowych powinna być w drugiej kolumnie. Połącz sumę z jej wartością za pomocą strzałki.
  2. Przeczytaj liczby: 515; 84; 307; 781. Zastąp sumą terminów bitowych.
  3. Napisz 5-cyfrową liczbę z 3 cyframi.
  4. Napisz sześciocyfrową liczbę zawierającą jednocyfrowy termin.

Nauka liczb wielocyfrowych

  1. Znajdź i podkreśl liczby trzycyfrowe: 362, 7; 17; 107; 1001; 64; 204; 008.
  2. Zapisz liczbę, która ma 375 jednostek pierwszej klasy i 79 jednostek drugiej klasy. Nazwij największy i najmniejszy termin bitowy.
  3. W jaki sposób liczby każdej pary są podobne i różne od siebie: 8 i 708; 7 i 707; 12 i 112?

Stosowanie nowej jednostki zliczania

  1. Przeczytaj liczby i powiedz, ile dziesiątek jest w każdym z nich: 571; 358; 508; 115.
  2. Ile setek jest w każdej zapisanej liczbie?
  3. Podziel liczby na kilka grup, uzasadniając swój wybór: 10; 510; 940; 137; 860; 86; 832.

Lokalne znaczenie cyfry

  1. Z cyfr 3; 5; 6 tworzą wszystkie możliwe warianty liczb trzycyfrowych.
  2. Przeczytaj liczby: 6; szesnaście; 260; 600. Jaka liczba powtarza się w każdym z nich? Co ona ma na myśli?
  3. Znajdź podobieństwa i różnice, porównując ze sobą liczby: 520; 526; 506.

Liczymy szybko i poprawnie

Zadania tego typu powinny obejmować ćwiczenia wymagające ułożenia określonej liczby liczb w kolejności rosnącej lub malejącej. Możesz zaprosić dzieci do przywrócenia uszkodzonej kolejności numerów, wstawienia brakujących, usunięcia dodatkowych numerów.

Znajdowanie wartości wyrażeń liczbowych

Korzystając ze znajomości numeracji, studenci powinni łatwo odnaleźć wartości wyrażeń takich jak: 800 - 400; 500 - 1; 204 + 40. Równocześnie warto stale pytać dzieci, co zauważyły ​​podczas wykonywania czynności, prosić o nazwanie jednego lub drugiego określenia bitowego, zwrócić uwagę na pozycję tej samej cyfry w numerze, itp.

Wszystkie ćwiczenia są podzielone na grupy, aby ułatwić ich użycie. Każdy z nich może być uzupełniony przez nauczyciela według własnego uznania. Nauka matematyki jest bardzo bogata w tego typu zadania. Terminy bitowe, które pomagają w opanowaniu kompozycji dowolnej liczby wielocyfrowej, powinny zajmować szczególne miejsce w doborze zadań.

Jeśli takie podejście do badania numeracji liczb i ich składu cyfr będzie stosowane przez nauczyciela przez wszystkie cztery lata nauki w szkole podstawowej, to na pewno pojawi się pozytywny wynik. Dzieci z łatwością i bezbłędnie wykonają obliczenia arytmetyczne o dowolnym poziomie złożoności.

Liczba jest pojęciem matematycznym służącym do ilościowego opisu czegoś lub jego części, służy również do porównania całości i części, uporządkowania. Pojęcie liczby jest reprezentowane przez znaki lub liczby w różnych kombinacjach. Obecnie prawie wszędzie używane są liczby od 1 do 9 i 0. Liczby w postaci siedmiu liter łacińskich prawie nie mają zastosowania i nie będą tutaj brane pod uwagę.

Liczby całkowite

Licząc: „jeden, dwa, trzy… czterdzieści cztery” lub układając kolejno: „pierwszy, drugi, trzeci… czterdziesty czwarty” stosuje się liczby naturalne, które nazywamy liczbami naturalnymi. Cały ten zestaw nazywa się „serią liczb naturalnych” i jest oznaczony łacińską literą N i nie ma końca, ponieważ zawsze jest jeszcze większa liczba, a największa po prostu nie istnieje.

Cyfry i klasy liczb

Zrzuty

dziesiątki

  • 10…90;
  • 100…900.

Pokazuje to, że cyfra liczby jest jej pozycją w notacji cyfrowej, a każdą wartość można przedstawić za pomocą terminów bitowych w postaci nnn = n00 + n0 + n, gdzie n jest dowolną cyfrą od 0 do 9.

Jedna dziesięć jest jednostką drugiej cyfry, a sto jest jednostką trzeciej. Jednostki pierwszej kategorii nazywane są prostymi, wszystkie pozostałe są złożone.

Dla wygody zapisu i transmisji zastosowano grupowanie cyfr w klasy po trzy w każdej. Dozwolona jest spacja między klasami w celu zapewnienia czytelności.

Klasy

Pierwszy - jednostki, zawiera do 3 znaków:

  • 200 + 10 +3 = 213.

Dwieście trzynaście zawiera następujące terminy cyfrowe: dwieście, jedna dziesiątka i trzy proste jednostki.

  • 40 + 5 = 45;

Czterdzieści pięć składa się z czterech dziesiątek i pięciu liczb pierwszych.

druga - tysiąc, 4 do 6 znaków:

  • 679 812 = 600 000 + 70 000 + 9 000 + 800 +10 + 2.

Suma ta składa się z następujących terminów bitowych:

  1. sześćset tysięcy;
  2. siedemdziesiąt tysięcy;
  3. dziewięć tysięcy;
  4. osiemset;
  5. dziesięć;
  • 3 456 = 3000 + 400 +50 +6.

Nie ma terminów powyżej czwartej kategorii.

Trzeci - milion, 7 do 9 cyfr:

  • 887 213 644;

Ta liczba zawiera dziewięć terminów bitowych:

  1. 800 milionów;
  2. 80 milionów;
  3. 7 milionów;
  4. 200 tys.;
  5. 10 tysięcy;
  6. 3 tys.;
  7. 6 setek;
  8. 4 dziesiątki;
  9. 4 jednostki;
  • 7 891 234.

W tej liczbie nie ma terminów wyższych niż 7 cyfr.

Czwarty to miliardy, od 10 do 12 cyfr:

  • 567 892 234 976;

Pięćset sześćdziesiąt siedem miliardów osiemset dziewięćdziesiąt dwa miliony dwieście trzydzieści cztery tysiące dziewięćset siedemdziesiąt sześć.

Terminy bitowe klasy 4 czyta się od lewej do prawej:

  1. jednostki setek miliardów;
  2. jednostki dziesiątek miliardów;
  3. jednostki miliardów;
  4. setki milionów;
  5. dziesiątki milionów;
  6. milion;
  7. setki tysięcy;
  8. dziesiątki tysięcy;
  9. tysiąc;
  10. proste setki;
  11. proste dziesiątki;
  12. proste jednostki.

Numerację cyfry numeru wykonuje się zaczynając od najmniejszej, a czytając - od największej.

Jeśli nie ma wartości pośrednich w liczbie terminów, podczas nagrywania wstawiane są zera, podczas wymawiania nazwy brakujących bitów, a także klasy jednostek, nie jest to wymawiane:

  • 400 000 000 004;

Czterysta miliardów cztery. Tutaj z braku wymawia się następujące nazwy stopni: dziesiąta i jedenasta klasa czwarta; dziewiąta, ósma i siódma trzecia i trzecia klasa sama; nazwy drugiej klasy i jej kategorii oraz setki i dziesiątki jednostek również nie są dźwięczne.

Po piąte - bilion, od 13 do 15 znaków.

  • 487 789 654 427 241.

Czytanie po lewej:

Czterysta osiemdziesiąt siedem bilionów siedemset osiemdziesiąt dziewięć miliardów sześćset pięćdziesiąt cztery miliony czterysta dwadzieścia siedem dwieście czterdzieści jeden.

Szósty - biliard, 16-18 cyfr.

  • 321 546 818 492 395 953;

Trzysta dwadzieścia jeden kwadrylion pięćset czterdzieści sześć bilionów osiemset osiemnaście miliardów czterysta dziewięćdziesiąt dwa miliony trzysta dziewięćdziesiąt pięć tysięcy dziewięćset pięćdziesiąt trzy.

Siódmy - kwintyliony, 19-21 znaków.

  • 771 642 962 921 398 634 389.

Siedemset siedemdziesiąt jeden kwintylion sześćset czterdzieści dwa biliardy dziewięćset sześćdziesiąt dwa biliony dziewięćset dwadzieścia jeden miliard trzysta dziewięćdziesiąt osiem milionów sześćset trzydzieści cztery tysiące trzysta osiemdziesiąt dziewięć.

Ósme - sekstyliony, 22-24 cyfry.

  • 842 527 342 458 752 468 359 173

Osiemset czterdzieści dwa sześćdziesiąt tysięcy pięćset dwadzieścia siedem kwintylionów trzysta czterdzieści dwa biliardy czterysta pięćdziesiąt osiem bilionów siedemset pięćdziesiąt dwa miliardy czterysta sześćdziesiąt osiem milionów trzysta pięćdziesiąt dziewięć tysięcy sto i siedemdziesiąt trzy.

Klasy można po prostu odróżnić za pomocą numeracji, na przykład numer 11 klasy zawiera od 31 do 33 znaków podczas zapisywania.

Ale w praktyce pisanie takiej liczby znaków jest niewygodne i najczęściej prowadzi do błędów. Dlatego podczas operacji z takimi wartościami liczba zer jest zmniejszana przez podniesienie do potęgi. W końcu o wiele łatwiej jest napisać 10 31 niż przypisać jedynce trzydzieści jeden zer.


Aby wykonać pewne operacje na liczbach naturalnych, należy te liczby naturalne przedstawić w postaci sumy terminów bitowych lub, jak mówią, sortuj liczby naturalne na cyfry. Nie mniej ważny jest proces odwrotny - zapisanie liczby naturalnej przez sumę wyrazów bitowych.

W tym artykule bardzo szczegółowo zrozumiemy, używając przykładów, reprezentację liczb naturalnych jako sumę terminów bitowych, a także nauczymy się zapisywać liczbę naturalną zgodnie z jej znanym rozwinięciem na bity.

Nawigacja po stronach.

Reprezentacja liczby naturalnej jako suma wyrazów bitowych.

Jak widać, słowa „suma” i „warunki” pojawiają się w tytule artykułu, dlatego na początek zalecamy dobre zrozumienie informacji zawartych w artykule, ogólną ideę dodawania liczb naturalnych . Nie zaszkodzi również powtórzyć materiał z sekcji wyładowania, wartość wyładowania liczby naturalnej.

Zaufajmy następującym stwierdzeniom, które pomogą nam zdefiniować terminy bitowe.

Terminy bitowe mogą być tylko liczbami naturalnymi, których wpisy zawierają pojedynczą cyfrę, która różni się od cyfry 0 . Na przykład liczby naturalne 5 , 10 , 400 , 20 000 itp. mogą być terminami bitowymi, a liczby 14 , 201 , 5 500 , 15 321 itp. - Nie mogę.

Liczba wyrazów bitowych danej liczby naturalnej musi być równa liczbie cyfr w rekordzie tej liczby, które są różne od cyfry 0 . Na przykład liczba naturalna 59 może być reprezentowana jako suma dwóch terminów bitowych, ponieważ dwie cyfry są zaangażowane w zapisanie tej liczby ( 5 oraz 9 ) różny od 0 . A suma wyrazów bitowych liczby naturalnej 44 003 będzie składał się z trzech wyrazów, ponieważ zapis liczby zawiera trzy cyfry 4 , 4 oraz 3 , które różnią się od liczby 0 .

Wszystkie wyrazy bitowe danej liczby naturalnej w swoim rekordzie zawierają różną liczbę znaków.

Suma wyrazów bitowych danej liczby naturalnej musi być równa podanej liczbie.

Teraz możemy zdefiniować terminy bitowe.

Definicja.

Warunki absolutorium podana liczba naturalna to takie liczby naturalne,

  • w zapisie którego jest tylko jedna cyfra, różna od cyfry 0 ;
  • których liczba jest równa liczbie cyfr w danej liczbie naturalnej, które są różne od cyfry 0 ;
  • których rekordy składają się z różnej liczby znaków;
  • których suma jest równa podanej liczbie naturalnej.

Z powyższej definicji wynika, że ​​liczby naturalne jednocyfrowe, a także liczby naturalne wielocyfrowe, których wpisy składają się wyłącznie z cyfr 0 , z wyjątkiem pierwszej cyfry po lewej stronie, nie rozkładaj na sumę wyrazów bitowych, ponieważ one same są wyrazami bitowymi niektórych liczb naturalnych. Pozostałe liczby naturalne można przedstawić jako sumę terminów bitowych.

Pozostaje zająć się reprezentacją liczb naturalnych jako sumy terminów bitowych.

Aby to zrobić, musisz pamiętać, że liczby naturalne są nieodłącznie związane z liczbą określonych obiektów, podczas gdy w zapisie liczby wartości cyfr wyznaczają odpowiednie liczby jednostek, dziesiątek, setek, tysiące, dziesiątki tysięcy i tak dalej. Na przykład liczba naturalna 48 odpowiedzi 4 dziesiątki i 8 jednostki i liczba 105 070 odpowiada 1 sto tysięcy 5 tysiące i 7 dziesiątki. Wtedy, z racji sensu dodawania liczb naturalnych, prawdziwe są następujące równości: 48=40+8 oraz 105 070=100 000+5 000+70 . Tak przedstawiamy liczby naturalne 48 oraz 105 070 jako suma terminów bitowych.

Argumentując w podobny sposób, możemy rozwinąć dowolną liczbę naturalną na cyfry.

Weźmy inny przykład. Wyobraź sobie liczbę naturalną 17 jako suma terminów bitowych. Numer 17 odpowiada 1 pierwsza dziesiątka i 7 jednostki, więc 17=10+7 . To jest rozszerzenie liczby 17 według rang.

A oto kwota 9+8 nie jest sumą wyrazów bitowych liczby naturalnej 17 , ponieważ suma terminów bitowych nie może zawierać dwóch liczb, których rekordy składają się z tej samej liczby znaków.

Teraz stało się jasne, dlaczego terminy bitowe są nazywane terminami bitowymi. Wynika to z faktu, że każdy wyraz bitowy jest „reprezentantem” swojego bitu danej liczby naturalnej.

Znajdowanie liczby naturalnej ze znanej sumy wyrazów bitowych.

Rozważmy problem odwrotny. Założymy, że dana jest suma wyrazów bitowych pewnej liczby naturalnej i musimy ją znaleźć. W tym celu można sobie wyobrazić, że każdy z terminów bitowych jest napisany na przezroczystej folii, ale obszary z liczbami innymi niż 0 nie są przezroczyste. Aby uzyskać pożądaną liczbę naturalną, konieczne jest niejako „nałożenie” wszystkich terminów bitowych na siebie, łącząc ich prawe krawędzie.

Na przykład kwota 300+20+9 jest cyfrową ekspansją liczby 329 , a suma wyrazów bitowych postaci 2 000 000+30 000+3 000+400 odpowiada liczbie naturalnej 2 033 400 . Tj, 300+20+9=329 , a 2 000 000+30 000+3 000+400=2 033 400 .

Aby znaleźć liczbę naturalną na podstawie znanej sumy terminów bitowych, możesz dodać te terminy bitowe w kolumnie (jeśli to konieczne, zapoznaj się z materiałem kolumny artykułu dodawanie liczb naturalnych). Przyjrzyjmy się przykładowemu rozwiązaniu.

Znajdź liczbę naturalną, jeśli suma wyrazów bitowych postaci 200 000+40 000+50+5 . Zapisz liczby 200 000 , 40 000 , 50 oraz 5 zgodnie z wymaganiami metody dodawania kolumn:

Pozostaje dodać liczby w kolumnach. Aby to zrobić, pamiętaj, że suma zer jest równa zeru, a suma zer i liczby naturalnej jest równa tej liczbie naturalnej. dostajemy

Pod linią poziomą otrzymaliśmy pożądaną liczbę naturalną 240 055 , których suma wyrazów bitowych ma postać 200 000+40 000+50+5 .

Na zakończenie chciałbym zwrócić Państwa uwagę na jeszcze jeden punkt. Umiejętności rozkładania liczb naturalnych na bity oraz możliwość wykonywania akcji odwrotnej pozwalają przedstawiać liczby naturalne jako sumę wyrazów, które nie są bitami. Na przykład rozwinięcie w cyfrach liczby naturalnej 725 ma następującą formę 725=700+20+5 i suma terminów bitowych 700+20+5 ze względu na właściwości dodawania liczb naturalnych można go przedstawić jako (700+20)+5=720+5 lub 700+(20+5)=700+25 lub (700+5)+20=705+ 20 .

Powstaje logiczne pytanie: „Po co to jest?” Odpowiedź jest prosta: w niektórych przypadkach może uprościć obliczenia. Weźmy przykład. Odejmijmy liczby naturalne 5 677 oraz 670 . Najpierw reprezentujemy zredukowaną jako sumę terminów bitowych: 5 677=5 000+600+70+7 . Łatwo zauważyć, że wynikowa suma wyrazów bitowych jest równa sumie (5000+7)+(600+70)=5007+670 . Następnie
5 677−670=(5 007+670)−670= 5 007+(670−670)=5 007+0=5 007 .

Bibliografia.

  • Matematyka. Wszelkie podręczniki dla klas 1, 2, 3, 4 instytucji edukacyjnych.
  • Matematyka. Wszelkie podręczniki dla 5 klas instytucji edukacyjnych.

Prezentowany artykuł poświęcony jest ciekawemu tematowi o liczbach naturalnych. W celu wykonania niektórych czynności konieczne jest przedstawienie oryginalnych wyrażeń jako dodanie kilku liczb - w innym języku, aby rozłożyć liczby na cyfry. Proces odwrotny jest również bardzo ważny przy rozwiązywaniu ćwiczeń i problemów.

W tej sekcji szczegółowo omówimy typowe przykłady w celu lepszego przyswojenia informacji. Dowiemy się również, jak konwertować liczby naturalne i zapisywać je w innej formie.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Jak podzielić liczbę na cyfry?

Na podstawie tytułu artykułu możemy stwierdzić, że akapit ten poświęcony jest takim pojęciom matematycznym jak „suma” i „warunki”. Przed przystąpieniem do badania tych informacji należy szczegółowo zapoznać się z tematem, aby zrozumieć liczby naturalne.

Zabierzmy się do pracy i rozważmy podstawowe pojęcia terminów bitowych.

Definicja 1

Warunki absolutorium to pewne liczby, które składają się z zer i jednej niezerowej cyfry. Liczby naturalne 5 , 10 , 400 , 200 należą do tej kategorii, a numery 144, 321, 5540, 16441 nie.

Liczba wyrazów bitowych dla prezentowanej liczby jest równa liczbie niezerowych cyfr zawartych w rekordzie. Jeśli reprezentujemy liczbę 61 jako sumę wyrazów bitowych, ponieważ 6 i 1 różnią się od 0 . Jeśli rozszerzymy liczbę 55050 jako suma wyrazów bitowych, to jest reprezentowana jako suma 3 wyrazów. Trzy piątki przedstawione we wpisie są niezerowe.

Definicja 2

Należy pamiętać, że wszystkie wyrazy bitowe liczby zawierają w swoim rekordzie różną liczbę znaków.

Definicja 3

Suma wyrazy bitowe liczby naturalnej są równe tej liczbie.

Przejdźmy do pojęcia terminów bitowych.

Definicja 4

Warunki absolutorium to liczby naturalne zawierające cyfrę inną niż zero. Liczba liczb musi być równa liczbie cyfr niezerowych. Wszystkie wyrazy liczby można zapisać z różną liczbą znaków. Jeśli rozłożymy liczbę na cyfry, to suma wyrazów liczby będzie zawsze równa tej liczbie.

Po przeanalizowaniu pojęcia możemy stwierdzić, że liczby jednocyfrowe i wielocyfrowe (składające się wyłącznie z zer z wyjątkiem pierwszej cyfry) nie mogą być reprezentowane jako suma. Dzieje się tak, ponieważ same te liczby będą terminami bitowymi dla niektórych liczb. Z wyjątkiem tych liczb wszystkie inne przykłady można rozłożyć na terminy.

Jak dzielić liczby?

Aby rozłożyć liczbę jako sumę terminów cyfrowych, należy pamiętać, że liczby naturalne są powiązane z liczbą określonych elementów. W zapisie liczby cyfry zależą od liczby jednostek, dziesiątek, setek, tysięcy i tak dalej. Jeśli weźmiesz na przykład liczbę 58, możesz zauważyć, że odpowiada 5 dziesiątki i 8 jednostki. Numer 134 400 odpowiada 1 sto tysięcy, 3 dziesiątki tysięcy, 4 tysiące i 4 setki. Możesz reprezentować te liczby w postaci równości - 50 + 8 \u003d 58 i 134 400 \u003d 100 000 + 30 000 + 4000 + 400. W tych przykładach wyraźnie widzieliśmy, jak można rozłożyć liczbę w postaci terminów bitowych.

Patrząc na ten przykład, możemy przedstawić dowolną liczbę naturalną jako sumę terminów bitowych.

Weźmy inny przykład. Zaprezentujmy liczbę naturalną 25 jako sumę wyrażeń cyfr. Numer 25 odpowiada 2 dziesiątki i 5 jednostki, więc 25 = 20 + 5 . A oto kwota 17 + 8 nie jest sumą wyrazów bitowych liczby 25 , ponieważ nie może zawierać dwóch liczb składających się z tej samej liczby znaków.

Omówiliśmy podstawowe pojęcia. Terminy bitowe otrzymały swoją nazwę ze względu na fakt, że każdy należy do określonej kategorii.

Aby przeanalizować ten przykład, przeanalizujmy problem odwrotny. Wyobraź sobie, że znamy sumę terminów bitowych. Musimy znaleźć tę liczbę naturalną.

Na przykład kwota 200 + 30 + 8 rozłożone na cyfry liczby 238 i sumy 3 000 000 + 20 000 + 2 000 + 500 odpowiada liczbie naturalnej 3 022 500 . W ten sposób możemy łatwo wyznaczyć liczbę naturalną, jeśli znamy jej sumę warunków rezerwowych.

Innym sposobem na znalezienie liczby naturalnej jest dodanie terminów bitowych w kolumnach. Ten przykład nie powinien powodować żadnych trudności w czasie wykonywania. Porozmawiajmy o tym bardziej szczegółowo.

Przykład 1

Należy określić pierwotną liczbę, jeśli znana jest suma terminów bitowych 200 000 + 40 000 + 50 + 5 . Przejdźmy do rozwiązania. Należy wpisać liczby 200 000, 40 000, 50 i 5 do układania w stos:

Pozostaje dodać liczby w kolumnach. Aby to zrobić, pamiętaj, że suma zer jest równa zeru, a suma zer i liczby naturalnej jest równa tej liczbie naturalnej.

Otrzymujemy:

Po dodaniu otrzymujemy liczbę naturalną 240 055 , których suma wyrazów bitowych ma postać 200 000 + 40 000 + 50 + 5 .

Porozmawiajmy o jeszcze jednej rzeczy. Jeśli nauczymy się rozkładać liczby i przedstawiać je jako sumę terminów bitowych, możemy również reprezentować liczby naturalne jako sumę terminów, które nie są terminami bitowymi.

Przykład 2

Rozkład według cyfr liczby 725 zostanie przedstawiony jako 725 = 700 + 20 + 5 i suma terminów bitowych 700 + 20 + 5 można sobie wyobrazić jako (700 + 20) + 5 = 720 + 5 lub 700 + (20 + 5) = 700 + 25 , lub (700 + 5) + 20 = 705 + 20 .

Czasami skomplikowane obliczenia można nieco uprościć. Rozważ inny mały przykład, aby skonsolidować informacje.

Przykład 3

Odejmijmy liczby 5 677 oraz 670 . Najpierw zaprezentujmy liczbę 5677 jako sumę terminów bitowych: 5 677 = 5 000 + 600 + 70 + 7 . Po wykonaniu akcji możemy to stwierdzić. suma ( 5000 + 7) + (600 + 70) = 5007 + 670 . Następnie 5 677 − 670 = (5 007 + 670) − 670 = 5 007 + (670 − 670) = 5 007 + 0 = 5 007 .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Aby pisać liczby, ludzie wymyślili dziesięć znaków, które nazywane są liczbami. Są to: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Za pomocą dziesięciu cyfr możesz wpisać dowolną liczbę naturalną.

Jego nazwa zależy od ilości znaków (cyfr) w numerze.

Liczba składająca się z jednego znaku (cyfry) nazywana jest pojedynczą cyfrą. Najmniejsza pojedyncza liczba naturalna to 1, największa to 9.

Liczba składająca się z dwóch znaków (cyfr) nazywana jest liczbą dwucyfrową. Najmniejsza dwucyfrowa liczba to 10, największa to 99.

Liczby zapisane dwiema, trzema, czterema lub więcej cyframi nazywane są dwucyfrowymi, trzycyfrowymi, czterocyfrowymi lub wielocyfrowymi. Najmniejsza trzycyfrowa liczba to 100, największa to 999.

Każda cyfra w rekordzie liczby wielocyfrowej zajmuje określone miejsce - pozycję.

Wypisać- jest to miejsce (pozycja), w którym znajduje się cyfra w zapisie liczby.

Ta sama cyfra we wpisie liczbowym może mieć różne znaczenia w zależności od tego, w jakiej cyfrze się znajduje.

Cyfry liczone są od końca numeru.

Cyfra jednostek to najmniej znacząca cyfra, która kończy dowolną liczbę.

Liczba 5 - oznacza 5 jednostek, jeśli ta piątka znajduje się na ostatnim miejscu we wpisie liczby (w miejscu jednostek).

Dziesiątki miejsce to cyfra poprzedzająca cyfrę jednostek.

Liczba 5 oznacza 5 dziesiątek, jeśli jest na przedostatnim miejscu (na miejscu dziesiątek).

Setki miejsce to cyfra poprzedzająca cyfrę dziesiątek. Liczba 5 oznacza 5 setek, jeśli znajduje się na trzecim miejscu od końca liczby (na miejscu setek).

Jeżeli w numerze nie ma cyfry, to cyfra 0 (zero) będzie na swoim miejscu we wpisie numeru.

Przykład. Liczba 807 zawiera 8 setek, 0 dziesiątek i 7 jednostek - taki wpis nazywa się skład bitowy liczby.

807 = 8 setek 0 dziesiątek 7 jedynek

Każde 10 jednostek dowolnej rangi tworzy nową jednostkę wyższej rangi. Na przykład 10 jedynek daje 1 dziesiątkę, a 10 dziesiątek daje 100.

Tak więc wartość cyfry z cyfry na cyfrę (od jednostek do dziesiątek, od dziesiątek do setek) wzrasta 10 razy. Dlatego używany przez nas system liczenia (rachunek różniczkowy) nazywany jest systemem dziesiętnym.

Klasy i stopnie

W zapisie liczby cyfry, zaczynając od prawej, są pogrupowane w klasy po trzy cyfry każda.

Klasa jednostki lub pierwsza klasa to klasa, którą tworzą pierwsze trzy cyfry (na prawo od końca liczby): miejsce jednostek, miejsce dziesiątki i miejsce setki.

www.mamapapa-arh.ru

Terminy bitowe liczby

Suma terminów bitowych

Dowolną liczbę naturalną można zapisać jako sumę terminów bitowych.

Jak to się robi, widać na następującym przykładzie: liczba 999 składa się z 9 setek, 9 dziesiątek i 9 jedynek, a więc:

999 = 9 setek + 9 dziesiątek + 9 jednostek = 900 + 90 + 9

Liczby 900, 90 i 9 są terminami bitowymi. Termin rozładowania to po prostu liczba jedynek w danej cyfrze.

Sumę terminów bitowych można również zapisać w następujący sposób:

999 = 9 100 + 9 10 + 9 1

Liczby pomnożone przez (1, 10, 100, 1000 itd.) nazywają się jednostki bitowe. Tak więc 1 jest jednostką cyfry jednostek, 10 jest jednostką cyfry dziesiątek, 100 jest jednostką cyfry setek itd. Liczby mnożone przez jednostki bitowe wyrażają liczba jednostek bitowych.

Wpisz dowolną liczbę w formularzu:

12 = 1 10 + 2 1 lub 12 = 10 + 2

nazywa rozkładanie liczby na wyrazy bitowe(lub suma terminów bitowych).

3278 = 3 1000 + 2 100 + 7 10 + 8 1 = 3000 + 200 + 70 + 8
5031 = 5 1000 + 0 100 + 3 10 + 1 1 = 5000 + 30 + 1
3700 = 3 1000 + 7 100 + 0 10 + 0 1 = 3000 + 700

Kalkulator do rozkładania liczby na wyrażenia bitowe

Ten kalkulator pomoże ci przedstawić liczbę jako sumę terminów cyfrowych. Wystarczy wpisać żądany numer i kliknąć przycisk Rozłóż.

Terminy bitowe w matematyce

Liczba jest pojęciem matematycznym służącym do ilościowego opisu czegoś lub jego części, służy również do porównania całości i części, uporządkowania. Pojęcie liczby jest reprezentowane przez znaki lub liczby w różnych kombinacjach. Obecnie prawie wszędzie używane są liczby od 1 do 9 i 0. Liczby w postaci siedmiu liter łacińskich prawie nie mają zastosowania i nie będą tutaj brane pod uwagę.

Liczby całkowite

Licząc: „jeden, dwa, trzy… czterdzieści cztery” lub układając kolejno: „pierwszy, drugi, trzeci… czterdziesty czwarty” stosuje się liczby naturalne, które nazywamy liczbami naturalnymi. Cały ten zestaw nazywa się „serią liczb naturalnych” i jest oznaczony łacińską literą N i nie ma końca, ponieważ liczba jest zawsze większa, a największa po prostu nie istnieje.

Cyfry i klasy liczb

Pokazuje to, że cyfra liczby jest jej pozycją w notacji cyfrowej, a każdą wartość można przedstawić za pomocą terminów bitowych w postaci nnn = n00 + n0 + n, gdzie n jest dowolną cyfrą od 0 do 9.

Jedna dziesięć jest jednostką drugiej cyfry, a sto jest jednostką trzeciej. Jednostki pierwszej kategorii nazywane są prostymi, wszystkie pozostałe są złożone.

Dla wygody zapisu i transmisji zastosowano grupowanie cyfr w klasy po trzy w każdej. Dozwolona jest spacja między klasami w celu zapewnienia czytelności.

Pierwszy - jednostki, zawiera do 3 znaków:

Dwieście trzynaście zawiera następujące terminy cyfrowe: dwieście, jedna dziesiątka i trzy proste jednostki.

Czterdzieści pięć składa się z czterech dziesiątek i pięciu liczb pierwszych.

druga - tysiąc, 4 do 6 znaków:

  • 679 812 = 600 000 + 70 000 + 9 000 + 800 +10 + 2.

Suma ta składa się z następujących terminów bitowych:

  1. sześćset tysięcy;
  2. siedemdziesiąt tysięcy;
  3. dziewięć tysięcy;
  4. osiemset;
  5. dziesięć;
  • 3 456 = 3000 + 400 +50 +6.

Nie ma terminów powyżej czwartej kategorii.

Trzeci - milion, 7 do 9 cyfr:

Ta liczba zawiera dziewięć terminów bitowych:

  1. 800 milionów;
  2. 80 milionów;
  3. 7 milionów;
  4. 200 tys.;
  5. 10 tysięcy;
  6. 3 tys.;
  7. 6 setek;
  8. 4 dziesiątki;
  9. 4 jednostki;
  • 7 891 234.

W tej liczbie nie ma terminów wyższych niż 7 cyfr.

Czwarty to miliardy, od 10 do 12 cyfr:

Pięćset sześćdziesiąt siedem miliardów osiemset dziewięćdziesiąt dwa miliony dwieście trzydzieści cztery tysiące dziewięćset siedemdziesiąt sześć.

Terminy bitowe klasy 4 czyta się od lewej do prawej:

  1. jednostki setek miliardów;
  2. jednostki dziesiątek miliardów;
  3. jednostki miliardów;
  4. setki milionów;
  5. dziesiątki milionów;
  6. milion;
  7. setki tysięcy;
  8. dziesiątki tysięcy;
  9. tysiąc;
  10. proste setki;
  11. proste dziesiątki;
  12. proste jednostki.

Numerację cyfry numeru wykonuje się zaczynając od najmniejszej, a czytając - od największej.

Jeśli nie ma wartości pośrednich w liczbie terminów, podczas nagrywania wstawiane są zera, podczas wymawiania nazwy brakujących bitów, a także klasy jednostek, nie jest to wymawiane:

Czterysta miliardów cztery. Tutaj z braku wymawia się następujące nazwy stopni: dziesiąta i jedenasta klasa czwarta; dziewiąty, ósmy i siódmy trzeci i najbardziej? trzecia klasa; nazwy drugiej klasy i jej kategorii oraz setki i dziesiątki jednostek również nie są dźwięczne.

Po piąte - bilion, od 13 do 15 znaków.

Czterysta osiemdziesiąt siedem bilionów siedemset osiemdziesiąt dziewięć miliardów sześćset pięćdziesiąt cztery miliony czterysta dwadzieścia siedem dwieście czterdzieści jeden.

Szósty - biliard, 16-18 cyfr.

  • 321 546 818 492 395 953;

Trzysta dwadzieścia jeden kwadrylion pięćset czterdzieści sześć bilionów osiemset osiemnaście miliardów czterysta dziewięćdziesiąt dwa miliony trzysta dziewięćdziesiąt pięć tysięcy dziewięćset pięćdziesiąt trzy.

Siódmy - kwintyliony, 19-21 znaków.

  • 771 642 962 921 398 634 389.

Siedemset siedemdziesiąt jeden kwintylion sześćset czterdzieści dwa biliardy dziewięćset sześćdziesiąt dwa biliony dziewięćset dwadzieścia jeden miliard trzysta dziewięćdziesiąt osiem milionów sześćset trzydzieści cztery tysiące trzysta osiemdziesiąt dziewięć.

Ósme - sekstyliony, 22-24 cyfry.

  • 842 527 342 458 752 468 359 173

Osiemset czterdzieści dwa sześćdziesiąt tysięcy pięćset dwadzieścia siedem kwintylionów trzysta czterdzieści dwa biliardy czterysta pięćdziesiąt osiem bilionów siedemset pięćdziesiąt dwa miliardy czterysta sześćdziesiąt osiem milionów trzysta pięćdziesiąt dziewięć tysięcy sto i siedemdziesiąt trzy.

Klasy można po prostu odróżnić za pomocą numeracji, na przykład numer 11 klasy zawiera od 31 do 33 znaków podczas zapisywania.

Ale w praktyce pisanie takiej liczby znaków jest niewygodne i najczęściej prowadzi do błędów. Dlatego podczas operacji z takimi wartościami liczba zer jest zmniejszana przez podniesienie do potęgi. W końcu o wiele łatwiej jest napisać 10 31 niż przypisać jedynce trzydzieści jeden zer.

obrazovanie.guru

Czym są terminy bitowe?

Odpowiedzi i wyjaśnienia

Na przykład: 5679=5000+600+70+9
To znaczy liczba jednostek w wyładowaniu

  • Komentarze (1)
  • Naruszenie flagi

suma wyrazów bitowych liczby 526 wynosi 500+20+6

„Suma terminów bitowych” to reprezentacja dwucyfrowej (lub więcej) liczby jako sumy jej bitów.

Terminy bitowe to suma liczb o różnych głębokościach bitowych, np. liczba 17.890 jest podzielona na terminy bitowe: 17,890=10.000+7000+800+90+0

Zasada mnożenia dowolnej liczby przez zero

Nawet w szkole nauczyciele próbowali wbić nam do głowy najprostszą zasadę: "Każda liczba pomnożona przez zero równa się zero!", - ale wciąż wokół niego narasta wiele kontrowersji. Ktoś właśnie zapamiętał regułę i nie zawraca sobie głowy pytaniem „dlaczego?”. „Tu nie możesz robić wszystkiego, bo w szkole tak mówili, reguła jest regułą!” Ktoś może wypełnić pół zeszytu formułami, udowadniając tę ​​zasadę lub odwrotnie, jej nielogiczność.

Kto w końcu ma rację?

Podczas tych sporów obydwoje, mając przeciwne punkty widzenia, patrzą na siebie jak baran i z całych sił udowadniają, że mają rację. Chociaż, jeśli spojrzysz na nie z boku, zobaczysz nie jednego, ale dwa barany opierające się o siebie z rogami. Jedyna różnica między nimi polega na tym, że jeden jest nieco mniej wykształcony od drugiego. Najczęściej ci, którzy uważają tę regułę za błędną, próbują przywołać logikę w ten sposób:

Mam na stole dwa jabłka, jeśli włożę do nich zero jabłek, to znaczy nie włożę ani jednego, to moje dwa jabłka z tego nie znikną! Zasada jest nielogiczna!

Rzeczywiście, jabłka nigdzie nie znikną, ale nie dlatego, że reguła jest nielogiczna, ale dlatego, że zastosowano tutaj nieco inne równanie: 2 + 0 \u003d 2. Odrzućmy więc ten wniosek od razu - jest nielogiczny, chociaż ma coś przeciwnego cel - wezwanie do logiki.

To ciekawe: jak znaleźć różnicę liczb w matematyce?

Co to jest mnożenie

Pierwotna zasada mnożenia został zdefiniowany tylko dla liczb naturalnych: mnożenie to liczba dodawana do siebie określoną liczbę razy, co implikuje naturalność liczby. Zatem dowolną liczbę z mnożeniem można sprowadzić do tego równania:

  1. 25?3 = 75
  2. 25 + 25 + 25 = 75
  3. 25?3 = 25 + 25 + 25

Z tego równania wynika wniosek: że mnożenie jest uproszczonym dodawaniem.

Co to jest zero

Każda osoba od dzieciństwa wie: zero to pustka, mimo że ta pustka ma oznaczenie, to w ogóle niczego nie niesie. Uczeni starożytnego Wschodu myśleli inaczej - podeszli do zagadnienia filozoficznie i dostrzegli pewne paralele między pustką a nieskończonością i dostrzegli w tej liczbie głęboki sens. W końcu zero, które ma wartość pustki, stojąc obok dowolnej liczby naturalnej, mnoży ją dziesięciokrotnie. Stąd wszystkie kontrowersje związane z mnożeniem – ta liczba niesie ze sobą tyle niespójności, że trudno się nie pomylić. Ponadto zero jest stale używane do określania pustych cyfr w ułamkach dziesiętnych, odbywa się to zarówno przed, jak i po przecinku.

Czy można pomnożyć przez pustkę?

Możliwe jest pomnożenie przez zero, ale jest to bezużyteczne, ponieważ cokolwiek by powiedzieć, ale nawet przy mnożeniu liczb ujemnych i tak otrzymamy zero. Wystarczy zapamiętać tę najprostszą zasadę i nigdy więcej nie zadawać tego pytania. W rzeczywistości wszystko jest prostsze, niż się wydaje na pierwszy rzut oka. Nie ma ukrytych znaczeń i tajemnic, jak wierzyli starożytni naukowcy. Najbardziej logiczne wyjaśnienie zostanie podane poniżej, że to mnożenie jest bezużyteczne, ponieważ mnożąc przez nią liczbę, nadal uzyskamy to samo - zero.

Wracając do samego początku, kłótnia o dwa jabłka, 2 razy 0 wygląda tak:

  • Jeśli zjesz dwa jabłka pięć razy, to zjesz 2 × 5 = 2+2+2+2+2 = 10 jabłek
  • Jeśli zjesz dwa z nich trzy razy, to zjesz 2?3 = 2 + 2 + 2 = 6 jabłek
  • Jeśli zjesz dwa jabłka zero razy, to nic nie zostanie zjedzone - 2?0 = 0?2 = 0+0 = 0

W końcu zjedzenie jabłka 0 razy oznacza niejedzenie ani jednego. Będzie to jasne nawet dla najmniejszego dziecka. Czy ci się to podoba, czy nie, wyjdzie 0, dwa lub trzy można zastąpić absolutnie dowolną liczbą i wyjdzie absolutnie to samo. Mówiąc prościej, zero to nic a kiedy masz tam nic nie ma, to bez względu na to, ile pomnożysz - wszystko jest takie samo będzie zero. Nie ma magii i nic nie zrobi jabłka, nawet jeśli pomnożysz 0 przez milion. To najprostsze, najbardziej zrozumiałe i logiczne wyjaśnienie zasady mnożenia przez zero. Dla osoby, która jest daleko od wszelkich formuł i matematyki, takie wyjaśnienie wystarczy, aby dysonans w głowie rozwiązał się i wszystko ułożyło się na swoim miejscu.

Z powyższego wynika kolejna ważna zasada:

Nie możesz dzielić przez zero!

Ta zasada też uparcie wbija się nam do głów od dzieciństwa. Po prostu wiemy, że to niemożliwe i tyle, bez napychania głowy zbędnymi informacjami. Jeśli nagle pojawi się pytanie, z jakiego powodu zabrania się dzielenia przez zero, większość będzie zdezorientowana i nie będzie w stanie jednoznacznie odpowiedzieć na najprostsze pytanie ze szkolnego programu nauczania, ponieważ nie ma tak wielu sporów i sprzeczności wokół tej zasady.

Wszyscy po prostu zapamiętali regułę i nie dzielili przez zero, nie podejrzewając, że odpowiedź leży na powierzchni. Dodawanie, mnożenie, dzielenie i odejmowanie są nierówne, tylko mnożenie i dodawanie są pełne powyższych, a wszystkie inne manipulacje liczbami są z nich budowane. Oznacza to, że wpis 10:2 jest skrótem równania 2 * x = 10. Dlatego wpis 10: 0 jest tym samym skrótem dla 0 * x = 10. Okazuje się, że dzielenie przez zero to zadanie do znalezienia liczba, pomnożenie przez 0, otrzymujemy 10. I już zorientowaliśmy się, że taka liczba nie istnieje, co oznacza, że ​​to równanie nie ma rozwiązania i będzie a priori niepoprawne.

Pozwól mi powiedzieć

Nie dzielić przez 0!

Wytnij 1, jak chcesz, wzdłuż,

Tylko nie dziel przez 0!

obrazovanie.guru

  • Żaglowce, przetargi; półtora masztu - kecz, iol; […]
  • Kurs prawa karnego. Część wspólna. Tom 1. Doktryna przestępczości Zobacz przebieg prawa karnego. Część ogólna: Tom 1, Tom 2, Część szczególna: Tom 3, Tom 4, Tom 5 Rozdział I. Pojęcie, przedmiot, metoda, system, zadania prawa karnego _ 1. Przedmiot i pojęcie prawa karnego _ 2. Metody karne prawo _ 3. Zadania […]
  • Prawo Muny Prawa Manu to starożytny indyjski zbiór recept dotyczących obowiązku religijnego, moralnego i społecznego (dharmy), zwany także „prawem Aryjczyków” lub „kodeksem honoru Aryjczyków”. Manavadharmashastra jest jedną z dwudziestu dharmashastr. Oto wybrane fragmenty (przetłumaczone przez Georgy Fedorovich […]
  • Główne idee i koncepcje niezbędne do organizacji działań wolontariackich (wolontaryjnych). 1. Ogólne podejście do organizacji działań wolontariuszy (wolontariuszy). 1.1 Podstawowe idee i koncepcje niezbędne do organizacji działań wolontariuszy (wolontariuszy). 1.2. Ramy prawne dla wolontariuszy […]
  • Kaszyn jest prawnikiem prawników wpisanych na listę prawników obwodu Twerskiego Oddział nr 1 TOKA (Twer, ul. Sowieckaja, 51; tel. 33-20-55; 32-07-47; 33-20-63 ) Striełkow Anatolij Władimirowicz) (d.t.42-61-44) 1. Duksowa Maria Iwanowna - 15.01.2025 2. Dunajewski Władimir Jewgienijewicz - 25.11.1953 […] Adwokat Antipin vV Wszystkie podane informacje mają charakter informacyjny i nie stanowią oferty publicznej, o której mowa w art. 437 Kodeksu Cywilnego Federacji Rosyjskiej. Podane informacje mogą być nieaktualne z powodu zmian. Lista prawników świadczących bezpłatne usługi prawne […]

Polecamy również

Ładowanie...Ładowanie...