Przykłady równań wykładniczych i nierówności. wykładnicze nierówności

Biełgorodski Uniwersytet Państwowy

KRZESŁO algebra, teoria liczb i geometria

Temat pracy: Równania potęgowe i nierówności wykładnicze.

Praca dyplomowa studentka Wydziału Fizyki i Matematyki

Kierownik:

______________________________

Recenzent: ________________________________

________________________

Biełgorod. 2006

Wstęp			3
Podmiot I.	Analiza literatury przedmiotu badań.
Podmiot II.	Funkcje i ich własności stosowane w rozwiązywaniu równań i nierówności wykładniczych potęgowych.
	I.1.	Funkcja zasilania i jego właściwości.
	I.2.	Funkcja wykładnicza i jego właściwości.
Podmiot III.	Rozwiązywanie równań potęgowych, algorytm i przykłady.
Podmiot IV.	Rozwiązywanie nierówności potęgowych, plan rozwiązania i przykłady.
Podmiot v.	Doświadczenie w prowadzeniu zajęć z dziećmi w wieku szkolnym na temat: „Rozwiązanie równań wykładniczych i nierówności”.
v. 1.	Materiały naukowe.
v. 2.	Zadania do samodzielnego rozwiązania.
Wniosek.	Wnioski i oferty.
Bibliografia.
Aplikacje

Wstęp.

"... radość widzenia i zrozumienia..."

A. Einsteina.

W tej pracy starałem się przekazać moje doświadczenie jako nauczyciela matematyki, przynajmniej w pewnym stopniu przekazać swój stosunek do jej nauczania – materii ludzkiej, w której zaskakująco są nauki matematyczne, pedagogika, dydaktyka, psychologia, a nawet filozofia splecione.

Miałam okazję pracować z dziećmi i absolwentami, z dziećmi stojącymi na biegunach rozwoju intelektualnego: tymi, które były zarejestrowane u psychiatry i naprawdę interesowały się matematyką

Musiałem rozwiązać wiele problemów metodologicznych. Postaram się opowiedzieć o tych, które udało mi się rozwiązać. Ale nawet więcej – nie było to możliwe, aw tych, które wydają się być rozwiązane, pojawiają się nowe pytania.

Ale jeszcze ważniejsze niż samo doświadczenie są refleksje i wątpliwości nauczyciela: dlaczego jest dokładnie tak, to doświadczenie?

A lato jest teraz inne, a przełom edukacji stał się ciekawszy. „Pod Jowiszami” dzisiaj nie jest poszukiwaniem mitycznego optymalnego systemu nauczania „wszystkich i wszystkiego”, ale samego dziecka. Ale potem - z konieczności - i nauczyciel.

W szkolnym toku algebry i rozpoczął analizę, klasy 10 - 11, z zdanie egzaminu za kurs Liceum a na egzaminach wstępnych na uniwersytety są równania i nierówności zawierające niewiadomą u podstawy i wykładników - są to równania potęgowe i nierówności.

Niewiele uwagi poświęca się im w szkole, praktycznie nie ma zadań na ten temat w podręcznikach. Jednak opanowanie techniki ich rozwiązywania, wydaje mi się, jest bardzo przydatne: zwiększa psychiczne i Umiejętności twórcze studenci, otwierają się przed nami zupełnie nowe horyzonty. Podczas rozwiązywania problemów uczniowie zdobywają pierwsze umiejętności Praca badawcza wzbogaca się ich kultura matematyczna, ich zdolność do logiczne myślenie. Uczniowie rozwijają takie cechy osobowości, jak celowość, wyznaczanie celów, niezależność, które przydadzą im się w późniejszym życiu. A także powtarzanie, rozszerzanie i głębokie przyswajanie materiału edukacyjnego.

Pracę nad tym tematem badań dyplomowych rozpocząłem od napisania pracy zaliczeniowej. W trakcie, którego dogłębnie przestudiowałem i przeanalizowałem literaturę matematyczną na ten temat, zidentyfikowałem najwłaściwszą metodę rozwiązywania równań potęgowych i nierówności wykładniczych.

Polega ona na tym, że oprócz ogólnie przyjętego podejścia przy rozwiązywaniu równań potęgowych (podstawę przyjmuje się większą od 0) i przy rozwiązywaniu tych samych nierówności (podstawę przyjmuje się większą od 1 lub większą od 0, ale mniejszą od 1), uwzględniane są również przypadki, gdy podstawy są ujemne, wynoszą 0 i 1.

Analiza pisemna dokumenty egzaminacyjne Uczniowie wykazują, że brak ujęcia w podręcznikach szkolnych kwestii ujemnej wartości argumentu funkcji wykładniczo-władzowej nastręcza im szereg trudności i prowadzi do błędów. A także mają problemy na etapie usystematyzowania uzyskanych wyników, gdzie w wyniku przejścia do równania - konsekwencja lub nierówność - konsekwencja, mogą pojawić się obce pierwiastki. Aby wyeliminować błędy, używamy sprawdzania pierwotnego równania lub nierówności oraz algorytmu rozwiązywania równań potęgowych lub planu rozwiązywania nierówności potęgowych.

Aby uczniowie pomyślnie zdali maturę i egzamin wstępny, myślę, że należy zwrócić większą uwagę na rozwiązywanie równań potęgowych i nierówności wykładniczych w klasie lub dodatkowo w fakultetach i kółkach.

Zatem Przedmiot , mój Praca dyplomowa definiuje się w następujący sposób: „Równania potęgowe i nierówności wykładnicze”.

Cele z tej pracy to:

1. Przeanalizuj literaturę na ten temat.

2. Daj pełna analiza rozwiązania równań i nierówności wykładniczych potęgowych.

3. Podaj wystarczającą liczbę różnych przykładów na ten temat.

4. Sprawdź na zajęciach klasowych, fakultatywnych i kołowych, jak będą postrzegane proponowane metody rozwiązywania równań i nierówności wykładniczych. Podaj odpowiednie zalecenia dotyczące badania tego tematu.

Podmiot nasze badania mają na celu opracowanie techniki rozwiązywania równań potęgowych i nierówności wykładniczych.

Cel i przedmiot badania wymagał rozwiązania następujących zadań:

1. Przestudiuj literaturę na temat: „Równania potęgowe i nierówności wykładnicze”.

2. Opanuj metody rozwiązywania równań i nierówności wykładniczych potęgowych.

3. Wybierz materiał szkoleniowy i opracuj system ćwiczeń na różnych poziomach na temat: „Rozwiązywanie równań potęgowych i nierówności”.

W trakcie pracy magisterskiej ponad 20 artykułów poświęconych zastosowaniu różne metody rozwiązania równań i nierówności wykładniczych potęgowych. Stąd otrzymujemy.

Plan pracy dyplomowej:

Wstęp.

Rozdział I. Analiza literatury przedmiotu badań.

Rozdział II. Funkcje i ich własności stosowane w rozwiązywaniu równań i nierówności wykładniczych potęgowych.

II.1. Funkcja potęgowa i jej właściwości.

II.2. Funkcja wykładnicza i jej własności.

Rozdział III. Rozwiązywanie równań potęgowych, algorytm i przykłady.

Rozdział IV. Rozwiązywanie nierówności potęgowych, plan rozwiązania i przykłady.

Rozdział V. Doświadczenie w prowadzeniu zajęć z uczniami na ten temat.

1. Materiały edukacyjne.

2. Zadania do samodzielnego rozwiązania.

Wniosek. Wnioski i oferty.

Lista wykorzystanej literatury.

Literatura analizowana w rozdziale I

W tej lekcji rozważymy różne nierówności wykładnicze i nauczymy się je rozwiązywać w oparciu o metodę rozwiązywania najprostszych nierówności wykładniczych

1. Definicja i własności funkcji wykładniczej

Przypomnij sobie definicję i główne właściwości funkcji wykładniczej. To na właściwościach opiera się rozwiązanie wszystkich równań wykładniczych i nierówności.

Funkcja wykładnicza jest funkcją postaci , gdzie podstawą jest stopień, a tutaj x jest zmienną niezależną, argumentem; y - zmienna zależna, funkcja.

Ryż. 1. Wykres funkcji wykładniczej

Wykres przedstawia rosnący i malejący wykładnik, ilustrujący funkcję wykładniczą przy podstawie odpowiednio większej niż jeden i mniejszej niż jeden, ale większej niż zero.

Obie krzywe przechodzą przez punkt (0;1)

Własności funkcji wykładniczej:

Domena: ;

Zakres wartości: ;

Funkcja jest monotoniczna, wzrasta jako , maleje jako .

Funkcja monotoniczna przyjmuje każdą ze swoich wartości z pojedynczą wartością argumentu.

Gdy , gdy argument wzrasta od minus do plus nieskończoności, funkcja rośnie od zera, nie włącznie, do plus nieskończoności, czyli dla danych wartości argumentu mamy monotonicznie rosnącą funkcję (). Gdy przeciwnie, gdy argument rośnie od minus do plus nieskończoności, funkcja maleje od nieskończoności do zera włącznie, czyli dla danych wartości argumentu mamy monotonicznie malejącą funkcję ().

2. Najprostsze nierówności wykładnicze, technika rozwiązania, przykład

W oparciu o powyższe przedstawiamy metodę rozwiązywania najprostszych nierówności wykładniczych:

Metoda rozwiązywania nierówności:

Wyrównaj podstawy stopni;

Porównaj wskaźniki, utrzymując lub zmieniając na przeciwny znak nierówności.

Rozwiązanie złożonych nierówności wykładniczych polega z reguły na ich redukcji do najprostszych nierówności wykładniczych.

Podstawa stopnia jest większa niż jeden, co oznacza, że ​​znak nierówności jest zachowany:

Przekształćmy prawą stronę zgodnie z właściwościami stopnia:

Podstawa stopnia jest mniejsza niż jeden, znak nierówności musi być odwrócony:

Aby rozwiązać nierówność kwadratową, rozwiązujemy odpowiednie równanie kwadratowe:

Według twierdzenia Viety znajdujemy korzenie:

Gałęzie paraboli skierowane są do góry.

Mamy więc rozwiązanie nierówności:

Łatwo zgadnąć, że prawą stronę można przedstawić jako potęgę z wykładnikiem zerowym:

Podstawa stopnia jest większa niż jeden, znak nierówności się nie zmienia, otrzymujemy:

Przypomnij sobie procedurę rozwiązywania takich nierówności.

Rozważ ułamkową funkcję wymierną:

Znalezienie dziedziny definicji:

Znajdujemy korzenie funkcji:

Funkcja ma jeden pierwiastek,

Wyróżniamy przedziały stałości znaku i wyznaczamy znaki funkcji na każdym przedziale:

Ryż. 2. Przedziały stałości znaku

Więc otrzymaliśmy odpowiedź.

Odpowiedź:

3. Rozwiązanie typowych nierówności wykładniczych

Rozważ nierówności z tymi samymi wykładnikami, ale różnymi podstawami.

Jedną z właściwości funkcji wykładniczej jest to, że przyjmuje wartości ściśle dodatnie dla dowolnych wartości argumentu, co oznacza, że ​​można ją podzielić na funkcję wykładniczą. Podzielmy daną nierówność przez jej prawą stronę:

Podstawa stopnia jest większa niż jeden, znak nierówności jest zachowany.

Zilustrujmy rozwiązanie:

Rysunek 6.3 przedstawia wykresy funkcji i . Oczywiście, gdy argument jest większy od zera, wykres funkcji znajduje się wyżej, ta funkcja jest większa. Gdy wartości argumentu są ujemne, funkcja przechodzi poniżej, jest mniej. Jeśli wartość argumentu jest równa, to dany punkt jest również rozwiązaniem danej nierówności.

Ryż. 3. Ilustracja na przykład 4

Podaną nierówność przekształcamy według własności stopnia:

Oto podobni członkowie:

Podzielmy obie części na:

Teraz kontynuujemy rozwiązywanie podobnie jak w przykładzie 4, dzieląc obie części przez:

Podstawa stopnia jest większa niż jeden, znak nierówności jest zachowany:

4. Graficzne rozwiązanie nierówności wykładniczych

Przykład 6 - rozwiąż nierówności graficznie:

Rozważ funkcje po lewej i prawej stronie i wykreśl każdą z nich.

Funkcja jest wykładnikiem, rośnie w całej swojej domenie definicji, czyli dla wszystkich rzeczywistych wartości argumentu.

Funkcja jest liniowa, malejąca w całej swojej dziedzinie definicji, czyli dla wszystkich rzeczywistych wartości argumentu.

Jeśli te funkcje się przecinają, to znaczy system ma rozwiązanie, to takie rozwiązanie jest unikalne i można je łatwo odgadnąć. Aby to zrobić, przeprowadź iterację po liczbach całkowitych ()

Łatwo zauważyć, że korzeniem tego systemu jest:

Zatem wykresy funkcji przecinają się w punkcie o argumencie równym jeden.

Teraz musimy uzyskać odpowiedź. Znaczenie danej nierówności jest takie, że wykładnik musi być większy lub równy funkcji liniowej, to znaczy musi być jej większy lub równy. Odpowiedź jest oczywista: (rysunek 6.4)

Ryż. 4. Ilustracja na przykład 6

Rozważaliśmy więc rozwiązanie różnych typowych nierówności wykładniczych. Następnie przejdziemy do rozważenia bardziej złożonych nierówności wykładniczych.

Bibliografia

Mordkovich A. G. Algebra i początki Analiza matematyczna. - M.: Mnemosyne. Muravin G.K., Muravina O.V. Algebra i początki analizy matematycznej. - M.: Drop. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. i inni Algebra i początki analizy matematycznej. - M.: Oświecenie.

Matematyka. md . Matematyka-powtórzenie. com. Dyfuzja. kemsu. ru.

Zadanie domowe

1. Algebra i początki analizy, klasy 10-11 (A. N. Kołmogorowa, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, nr 472, 473;

2. Rozwiąż nierówność:

3. Rozwiąż problem nierówności.

Wiele osób uważa, że ​​nierówności wykładnicze są czymś tak skomplikowanym i niezrozumiałym. I że nauka ich rozwiązywania to niemal wielka sztuka, którą tylko Wybrańcy są w stanie pojąć...

Kompletna bzdura! Nierówności wykładnicze są łatwe. I zawsze są łatwe do rozwiązania. No, prawie zawsze :)

Dzisiaj przeanalizujemy ten temat daleko i szeroko. Ta lekcja będzie bardzo przydatna dla tych, którzy dopiero zaczynają rozumieć tę część szkolnej matematyki. Zacznijmy proste zadania i przejdźmy do więcej trudne pytania. Dzisiaj nie będzie drobiazgów, ale to, co teraz przeczytasz, wystarczy, aby rozwiązać większość nierówności dotyczących wszelkiego rodzaju kontroli i niezależna praca. I na tym też twój egzamin.

Jak zawsze zacznijmy od definicji. Nierówność wykładnicza to każda nierówność, która zawiera funkcję wykładniczą. Innymi słowy, zawsze można ją sprowadzić do nierówności formy

\[((a)^(x)) \gt b\]

Gdzie rolą $b$ może być zwykła liczba, a może coś trudniejszego. Przykłady? Tak proszę:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(x))). \\\koniec(wyrównaj)\]

Myślę, że znaczenie jest jasne: istnieje funkcja wykładnicza $((a)^(x))$, jest porównywana z czymś, a następnie proszona o znalezienie $x$. W szczególnie klinicznych przypadkach, zamiast zmiennej $x$, mogą umieścić jakąś funkcję $f\left(x \right)$ iw ten sposób nieco skomplikować nierówność :)

Oczywiście w niektórych przypadkach nierówność może wyglądać bardziej dotkliwie. Na przykład:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Albo nawet to:

Ogólnie złożoność takich nierówności może być bardzo różna, ale ostatecznie sprowadzają się one do prostej konstrukcji $((a)^(x)) \gt b$. I jakoś sobie poradzimy z takim projektem (w szczególnie klinicznych przypadkach, gdy nic nie przychodzi do głowy, logarytmy nam pomogą). Dlatego teraz nauczymy się rozwiązywać takie proste konstrukcje.

Rozwiązanie najprostszych nierówności wykładniczych

Spójrzmy na coś bardzo prostego. Na przykład tutaj jest:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Oczywiście liczbę po prawej można przepisać jako potęgę dwójki: $4=((2)^(2))$. W ten sposób pierwotna nierówność zostaje przepisana w bardzo wygodnej formie:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

A teraz ręce świerzbią, aby „przekreślić” dwójki stojące w podstawach stopni, aby uzyskać odpowiedź $x \gt 2$. Ale zanim cokolwiek przekreślimy, przypomnijmy sobie potęgi dwóch:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Jak widzimy co jeszcze stoi w wykładniku, im większa liczba wyjściowa. "Dzięki, Cap!" wykrzyknie jeden z uczniów. Czy to się dzieje inaczej? Niestety tak się dzieje. Na przykład:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ right))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Tutaj również wszystko jest logiczne: im wyższy stopień, tym więcej razy liczba 0,5 jest mnożona przez samą siebie (czyli dzieli się na pół). Tak więc wynikowy ciąg liczb maleje, a różnica między pierwszym a drugim ciągiem jest tylko w bazie:

• Jeżeli podstawa stopnia $a \gt 1$, to wraz ze wzrostem wykładnika $n$, liczba $((a)^(n))$ również będzie rosła;
• I odwrotnie, jeśli $0 \lt a \lt 1$, to wraz ze wzrostem wykładnika $n$ liczba $((a)^(n))$ będzie maleć.

Podsumowując te fakty, otrzymujemy najważniejsze stwierdzenie, na którym opiera się całe rozwiązanie nierówności wykładniczych:

Jeśli $a \gt 1$, to nierówność $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ jest równoważna nierówności $x \gt n$. Jeśli $0 \lt a \lt 1$, to nierówność $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ jest równoważna nierówności $x \lt n$.

Innymi słowy, jeśli podstawa jest większa niż jeden, możesz ją po prostu usunąć - znak nierówności się nie zmieni. A jeśli podstawa jest mniejsza niż jeden, to można ją również usunąć, ale znak nierówności również będzie musiał zostać zmieniony.

Zauważ, że nie braliśmy pod uwagę opcji $a=1$ i $a\le 0$. Ponieważ w tych przypadkach jest niepewność. Załóżmy, jak rozwiązać nierówność postaci $((1)^(x)) \gt 3$? Jeden do dowolnej potęgi znów da jeden – nigdy nie dostaniemy trójki lub więcej. Tych. nie ma rozwiązań.

Z ujemnymi podstawami jest jeszcze ciekawiej. Rozważmy na przykład następującą nierówność:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

Na pierwszy rzut oka wszystko jest proste:

Prawidłowo? Ale nie! Wystarczy zastąpić $x$ kilka liczb parzystych i parę liczby nieparzyste aby upewnić się, że rozwiązanie jest złe. Spójrz:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Jak widać, znaki są naprzemienne. Ale wciąż są stopnie ułamkowe i inne cyny. Jak, na przykład, poleciłbyś liczyć $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus dwa podniesione do pierwiastka z siedmiu)? Nie ma mowy!

Dlatego, dla jednoznaczności, zakładamy, że we wszystkich nierównościach wykładniczych (i równaniach również) $1\ne a \gt 0$. A potem wszystko rozwiązuje się bardzo prosto:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(wyrównaj) \w prawo.\]

Ogólnie rzecz biorąc, jeszcze raz pamiętaj o głównej zasadzie: jeśli podstawa w równaniu wykładniczym jest większa niż jeden, możesz ją po prostu usunąć; a jeśli podstawa jest mniejsza niż jeden, można ją również usunąć, ale zmieni to znak nierówności.

Przykłady rozwiązań

Rozważ więc kilka prostych nierówności wykładniczych:

\[\begin(wyrównaj) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\koniec(wyrównaj)\]

Podstawowe zadanie jest takie samo we wszystkich przypadkach: sprowadzić nierówności do najprostszej postaci $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. To właśnie zrobimy teraz z każdą nierównością, a jednocześnie powtórzymy właściwości potęg i funkcji wykładniczej. Więc chodźmy!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Co można tutaj zrobić? Cóż, po lewej mamy już demonstracyjne wyrażenie - nic nie trzeba zmieniać. Ale po prawej jest jakieś bzdury: ułamek, a nawet pierwiastek w mianowniku!

Pamiętaj jednak o zasadach pracy z ułamkami i potęgami:

\[\begin(wyrównaj) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\koniec(wyrównaj)\]

Co to znaczy? Po pierwsze, możemy łatwo pozbyć się ułamka, zamieniając go w ujemny wykładnik. Po drugie, skoro mianownikiem jest pierwiastek, fajnie byłoby zamienić go na stopień - tym razem z wykładnikiem ułamkowym.

Zastosujmy te działania po kolei po prawej stronie nierówności i zobaczmy, co się stanie:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac() 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right))))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Nie zapominaj, że przy podnoszeniu stopnia do potęgi dodaje się wykładniki tych stopni. Ogólnie rzecz biorąc, podczas pracy z równaniami wykładniczymi i nierównościami absolutnie konieczne jest poznanie przynajmniej najprostszych zasad pracy z potęgami:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\koniec(wyrównaj)\]

Właściwie, ostatnia zasada właśnie złożyliśmy wniosek. Dlatego nasza pierwotna nierówność zostanie przepisana w następujący sposób:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Teraz pozbywamy się dwójki u podstawy. Ponieważ 2 > 1, znak nierówności pozostaje taki sam:

\[\begin(wyrównaj) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

To całe rozwiązanie! Główną trudnością nie jest wcale funkcja wykładnicza, ale kompetentna transformacja oryginalnego wyrażenia: musisz ostrożnie i tak szybko, jak to możliwe, doprowadzić do najprostszej postaci.

Rozważ drugą nierówność:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Tak sobie. Tutaj czekamy na ułamki dziesiętne. Jak już wielokrotnie mówiłem, we wszystkich wyrażeniach z potęgami powinieneś pozbyć się ułamków dziesiętnych - często jest to jedyny sposób, aby zobaczyć szybkie i łatwe rozwiązanie. Oto, czego się pozbędziemy:

\[\begin(wyrównaj) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ prawo))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\koniec(wyrównaj)\]

Przed nami znowu najprostsza nierówność, i to nawet o podstawie 1/10, czyli mniej niż jeden. Otóż ​​usuwamy podstawy, jednocześnie zmieniając znak z „mniej” na „większy” i otrzymujemy:

\[\begin(wyrównaj) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\koniec(wyrównaj)\]

Otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Zwróć uwagę, że odpowiedzią jest dokładnie zbiór, aw żadnym wypadku konstrukcja postaci $x \lt -1$. Bo formalnie taka konstrukcja wcale nie jest zbiorem, ale nierównością względem zmiennej $x$. Tak, to bardzo proste, ale to nie jest odpowiedź!

Ważna uwaga. Nierówność tę można by rozwiązać w inny sposób – redukując obie części do potęgi o podstawie większej niż jeden. Spójrz:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right)))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Po tej transformacji znów otrzymujemy nierówność wykładnicza, ale o podstawie 10 > 1. A to oznacza, że ​​możesz po prostu przekreślić dziesiątkę - znak nierówności się nie zmieni. Otrzymujemy:

\[\begin(wyrównaj) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\koniec(wyrównaj)\]

Jak widać, odpowiedź jest dokładnie taka sama. Jednocześnie uratowaliśmy się przed koniecznością zmiany znaku i ogólnie pamiętamy tam pewne zasady :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Nie daj się jednak przestraszyć. Niezależnie od wskaźników, sama technologia rozwiązywania nierówności pozostaje taka sama. Dlatego najpierw zauważamy, że 16 = 2 4 . Przepiszmy pierwotną nierówność, biorąc pod uwagę ten fakt:

\[\begin(wyrównaj) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(wyrównaj)\]

Hurra! Mamy zwykłe kwadratowa nierówność! Znak nigdzie się nie zmienił, ponieważ podstawą jest dwójka - liczba większa niż jeden.

Zera funkcji na osi liczbowej

Układamy znaki funkcji $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - oczywiście jej wykres będzie parabolą z rozgałęzieniami do góry, więc będą „plusy " na bokach. Interesuje nas region, w którym funkcja jest mniejsza od zera, czyli $x\in \left(2;5 \right)$ jest odpowiedzią na pierwotny problem.

Na koniec rozważmy inną nierówność:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Ponownie widzimy funkcję wykładniczą z ułamkiem dziesiętnym w podstawie. Zamieńmy ten ułamek na zwykły ułamek:

\[\begin(wyrównaj) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2)^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2)) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right))))\end(align)\]

W tym przypadku skorzystaliśmy z wcześniejszej uwagi - zmniejszyliśmy podstawę do liczby 5\u003e 1, aby uprościć naszą dalszą decyzję. Zróbmy to samo z prawą stroną:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ prawo))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Przepiszmy pierwotną nierówność, biorąc pod uwagę obie transformacje:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]

Podstawy po obu stronach są takie same i większe niż jeden. Po prawej i lewej stronie nie ma innych terminów, więc po prostu „przekreślamy” piątki i otrzymujemy bardzo proste wyrażenie:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \prawo) \prawo. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\koniec(wyrównaj)\]

Tutaj musisz być ostrożny. Wielu studentów lubi po prostu wydobywać Pierwiastek kwadratowy obie części nierówności i napisz coś w stylu $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Nigdy nie powinieneś tego robić, ponieważ pierwiastkiem dokładnego kwadratu jest moduł, a w żadnym wypadku oryginalna zmienna:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\prawo|\]

Jednak praca z modułami nie jest najprzyjemniejszym doświadczeniem, prawda? Więc nie będziemy pracować. Zamiast tego po prostu przesuwamy wszystkie wyrazy w lewo i rozwiązujemy zwykłą nierówność metodą przedziałową:

$\begin(wyrównaj) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(wyrównaj)$

Ponownie zaznaczamy uzyskane punkty na osi liczbowej i patrzymy na znaki:

Uwaga: kropki są zacienione.

Ponieważ rozwiązywaliśmy nieścisłą nierówność, wszystkie punkty na wykresie są zacienione. Dlatego odpowiedź będzie taka: $x\in \left[ -1;1 \right]$ nie jest przedziałem, ale segmentem.

Ogólnie chciałbym zauważyć, że nierówności wykładnicze nie są skomplikowane. Znaczenie wszystkich przekształceń, które dzisiaj wykonaliśmy, sprowadza się do prostego algorytmu:

• Znajdź bazę, do której sprowadzimy wszystkie stopnie;
• Ostrożnie wykonaj przekształcenia, aby uzyskać nierówność postaci $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Oczywiście zamiast zmiennych $x$ i $n$ mogą być dużo bardziej złożone funkcje, ale to nie zmienia znaczenia;
• Przekreśl podstawy stopni. W takim przypadku znak nierówności może się zmienić, jeśli podstawa $a \lt 1$.

W rzeczywistości jest to uniwersalny algorytm rozwiązywania wszystkich takich nierówności. A wszystko inne, co zostanie ci opowiedziane na ten temat, to tylko konkretne sztuczki i triki, aby uprościć i przyspieszyć transformację. Oto jeden z tych trików, o których teraz porozmawiamy :)

metoda racjonalizacji

Rozważ kolejną partię nierówności:

\[\begin(wyrównaj) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Co jest w nich takiego specjalnego? Są również lekkie. Chociaż przestań! Czy liczba pi podniesiona do potęgi? Jakie bzdury?

A jak podnieść liczbę $2\sqrt(3)-3$ do potęgi? Lub $3-2\sqrt(2)$? Oczywiście kompilatorzy zadań wypili za dużo "Głogu" zanim zabrali się do pracy :)

W rzeczywistości nie ma nic złego w tych zadaniach. Przypomnę: funkcja wykładnicza to wyrażenie postaci $((a)^(x))$, gdzie podstawą $a$ jest dowolna liczba dodatnia, z wyjątkiem jednej. Liczba π jest dodatnia - już to wiemy. Liczby $2\sqrt(3)-3$ i $3-2\sqrt(2)$ również są dodatnie - łatwo to zauważyć, porównując je z zerem.

Okazuje się, że te wszystkie „przerażające” nierówności niczym nie różnią się od tych prostych, o których mowa powyżej? I robią to w ten sam sposób? Tak, absolutnie słusznie. Jednak na ich przykładzie chciałbym rozważyć jeden trik, który pozwala zaoszczędzić sporo czasu na samodzielnej pracy i egzaminach. Porozmawiamy o metodzie racjonalizacji. Więc uwaga:

Każda nierówność wykładnicza postaci $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ jest równoważna nierówności $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ po prawej) \gt 0 $.

To cała metoda :) Myślałeś, że będzie jakaś następna gra? Nic takiego! Ale ten prosty fakt, napisany dosłownie w jednej linijce, znacznie uprości naszą pracę. Spójrz:

\[\begin(macierz) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Nie ma już funkcji wykładniczych! I nie musisz pamiętać, czy znak się zmienia, czy nie. Ale pojawia się nowy problem: co zrobić z pieprzonym mnożnikiem \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Nie wiemy jak to jest Dokładna wartość liczby π. Kapitan wydaje się jednak sugerować oczywiste:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\ok 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

Ogólnie rzecz biorąc, dokładna wartość π nie przeszkadza nam zbytnio - ważne jest tylko, abyśmy zrozumieli, że w każdym przypadku $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.j. jest stałą dodatnią i możemy przez nią podzielić obie strony nierówności:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \prawo) \prawo. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Jak widać, w pewnym momencie musieliśmy podzielić przez minus jeden i zmienił się znak nierówności. Na koniec rozwinąłem trójmian kwadratowy zgodnie z twierdzeniem Vieta - oczywiste jest, że pierwiastki są równe $((x)_(1))=5$ i $((x)_(2))=- 1$. Następnie wszystko rozwiązuje klasyczna metoda interwałów:

Nierówność rozwiązujemy metodą przedziałów

Wszystkie punkty są przebite, ponieważ pierwotna nierówność jest ścisła. Interesuje nas obszar z wartościami ujemnymi, więc odpowiedzią jest $x\in \left(-1;5 \right)$. To jest rozwiązanie :)

Przejdźmy do następnego zadania:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Tutaj wszystko jest proste, bo po prawej stronie jest jednostka. I pamiętamy, że jednostką jest dowolna liczba podniesiona do potęgi zera. Nawet jeśli ta liczba jest irracjonalnym wyrażeniem, stojąc u podstawy po lewej stronie:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3\right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \prawo))^(0)); \\\koniec(wyrównaj)\]

Więc zracjonalizujmy:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Pozostaje tylko zająć się znakami. Mnożnik $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ nie zawiera zmiennej $x$ - to tylko stała i musimy znaleźć jej znak. Aby to zrobić, zwróć uwagę na następujące kwestie:

\[\begin(macierz) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\koniec(matryca)\]

Okazuje się, że drugi czynnik to nie tylko stała, ale stała ujemna! A dzieląc przez to, znak pierwotnej nierówności zmieni się na przeciwny:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(wyrównaj)\]

Teraz wszystko staje się oczywiste. Korzenie trójmian kwadratowy po prawej: $((x)_(1))=0$ i $((x)_(2))=2$. Zaznaczamy je na osi liczbowej i patrzymy na znaki funkcji $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Przypadek, gdy interesują nas interwały boczne

Interesują nas interwały oznaczone plusem. Pozostaje tylko zapisać odpowiedź:

Przejdźmy do następnego przykładu:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ prawo))^(16-x))\]

Cóż, tutaj wszystko jest dość oczywiste: podstawami są potęgi o tej samej liczbie. Dlatego napiszę wszystko krótko:

\[\begin(macierz) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(macierz)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right)))) \gt ((3)^(-2\cdot \ lewo(16-x\prawo))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \prawo) \prawo. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Jak widać, w procesie transformacji musieliśmy pomnożyć przez liczbę ujemną, więc zmienił się znak nierówności. Na samym końcu ponownie zastosowałem twierdzenie Viety do faktoryzacji trójmianu kwadratowego. W rezultacie odpowiedź będzie następująca: $x\in \left(-8;4 \right)$ - ci, którzy chcą, mogą to zweryfikować, rysując oś liczbową, zaznaczając punkty i licząc znaki. W międzyczasie przejdziemy do ostatniej nierówności z naszego „zestawu”:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Jak widać, u podstawy znów jest Liczba niewymierna, a jednostka jest ponownie po prawej stronie. Dlatego przepisujemy naszą nierówność wykładniczą w następujący sposób:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ prawo))^(0))\]

Zracjonalizujmy:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Jednak jest całkiem oczywiste, że $1-\sqrt(2) \lt 0$, ponieważ $\sqrt(2)\ok 1,4... \gt 1$. Dlatego drugi czynnik jest ponownie stałą ujemną, przez którą można podzielić obie części nierówności:

\[\begin(macierz) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\koniec(matryca)\]

\[\begin(wyrównaj) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \prawo) \prawo. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(wyrównaj)\]

Zmień na inną bazę

Odrębnym problemem w rozwiązywaniu nierówności wykładniczych jest poszukiwanie „właściwej” podstawy. Niestety na pierwszy rzut oka nie zawsze jest oczywiste, co należy przyjąć za podstawę, a co zrobić jako stopień tej podstawy.

Ale nie martw się: nie ma tu magicznych i „tajemniczych” technologii. W matematyce każdą umiejętność, której nie można zalgorytmizować, można łatwo rozwinąć poprzez praktykę. Ale do tego musisz rozwiązać problemy różne poziomy trudności. Na przykład są to:

\[\begin(wyrównaj) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ koniec(wyrównaj)\]

Skomplikowane? Przerażający? Tak, to łatwiejsze niż kurczak na asfalcie! Spróbujmy. Pierwsza nierówność:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Cóż, myślę, że tutaj wszystko jest jasne:

Przepisujemy pierwotną nierówność, sprowadzając wszystko do podstawy „dwa”:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Tak, tak, dobrze zrozumiałeś: właśnie zastosowałem opisaną powyżej metodę racjonalizacji. Teraz musimy pracować ostrożnie: mamy nierówność ułamkowo-racjonalną (to jest taka, która ma zmienną w mianowniku), więc przed zrównaniem czegoś do zera musisz zredukować wszystko do wspólnego mianownika i pozbyć się stałego czynnika .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(wyrównaj)\]

Teraz używamy standardowej metody interwałowej. Zera licznika: $x=\pm 4$. Mianownik dochodzi do zera tylko wtedy, gdy $x=0$. W sumie na osi liczbowej należy zaznaczyć trzy punkty (wszystkie punkty są wybite, ponieważ znak nierówności jest ścisły). Otrzymujemy:

Więcej trudna sprawa: trzy korzenie

Jak można się domyślić, kreskowanie oznacza odstępy, w jakich pojawia się wyrażenie po lewej stronie wartości ujemne. Dlatego do ostatecznej odpowiedzi wejdą dwa przedziały od razu:

Końce przedziałów nie są uwzględnione w odpowiedzi, ponieważ pierwotna nierówność była ścisła. Nie jest wymagana dalsza weryfikacja tej odpowiedzi. Pod tym względem nierówności wykładnicze są znacznie prostsze niż nierówności logarytmiczne: brak DPV, brak ograniczeń itp.

Przejdźmy do następnego zadania:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Tutaj też nie ma problemów, ponieważ wiemy już, że $\frac(1)(3)=((3)^(-1)$), więc całą nierówność można przepisać w ten sposób:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Strzałka w prawo ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\lewo(-2\prawo)\prawo. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(wyrównaj)\]

Uwaga: w trzecim wierszu postanowiłem nie marnować czasu na drobiazgi i od razu podzielić wszystko przez (−2). Minul wszedł do pierwszego przedziału (teraz wszędzie są plusy), a dwójka została zmniejszona stałym mnożnikiem. To jest dokładnie to, co należy zrobić podczas wykonywania rzeczywistych obliczeń na niezależnych i praca kontrolna- nie ma potrzeby malowania bezpośrednio każdej akcji i transformacji.

Następnie w grę wchodzi znana metoda interwałów. Zera licznika: ale ich nie ma. Ponieważ wyróżnik będzie negatywny. Z kolei mianownik jest ustawiany na zero tylko wtedy, gdy $x=0$ — tak jak ostatnim razem. Cóż, jasne jest, że ułamek przyjmie wartości dodatnie na prawo od $x=0$, a ujemne na lewo. Ponieważ interesują nas tylko wartości ujemne, ostateczną odpowiedzią jest $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

A co zrobić z ułamkami dziesiętnymi w nierównościach wykładniczych? Zgadza się: pozbądź się ich, przekształcając je w zwykłe. Tutaj tłumaczymy:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)(4) \right))^(x)). \\\koniec(wyrównaj)\]

A co otrzymaliśmy w podstawach funkcji wykładniczych? I otrzymaliśmy dwie wzajemnie odwrotne liczby:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ right))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ left(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]

Tak więc pierwotną nierówność można przepisać w następujący sposób:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \prawo))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\koniec(wyrównaj)\]

Oczywiście przy mnożeniu potęg przy tej samej podstawie ich wskaźniki sumują się, co miało miejsce w drugiej linii. Dodatkowo reprezentowaliśmy jednostkę po prawej stronie, również jako potęgę w bazie 4/25. Pozostaje tylko zracjonalizować:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Zauważ, że $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, czyli drugi czynnik jest stałą ujemną i po podzieleniu przez nią znak nierówności zmieni się:

\[\begin(wyrównaj) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(wyrównaj)\]

Wreszcie ostatnia nierówność z obecnego „zbioru”:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

W zasadzie idea rozwiązania jest tutaj również jasna: wszystkie funkcje wykładnicze składające się na nierówność muszą zostać zredukowane do podstawy „3”. Ale do tego trzeba trochę majstrować przy korzeniach i stopniach:

\[\begin(wyrównaj) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\koniec(wyrównaj)\]

Biorąc pod uwagę te fakty, pierwotną nierówność można przepisać w następujący sposób:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2)) \right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\koniec(wyrównaj)\]

Zwróć uwagę na 2 i 3 wiersze obliczeń: zanim zrobisz coś z nierównością, sprowadź to do postaci, o której mówiliśmy od samego początku lekcji: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Dopóki masz lewe lub prawe mnożniki lewe, dodatkowe stałe itp., nie można dokonywać racjonalizacji i „skreślania” podstaw! Niezliczone zadania zostały wykonane źle z powodu niezrozumienia tego prostego faktu. Sam stale obserwuję ten problem z moimi studentami, kiedy dopiero zaczynamy analizować nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Wróćmy jednak do naszego zadania. Spróbujmy tym razem obejść się bez racjonalizacji. Przypominamy: podstawa stopnia jest większa niż jeden, więc trójki można po prostu przekreślić - znak nierówności się nie zmieni. Otrzymujemy:

\[\begin(wyrównaj) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\koniec(wyrównaj)\]

To wszystko. Ostateczna odpowiedź: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Podświetlanie stabilnego wyrażenia i zastępowanie zmiennej

Podsumowując, proponuję rozwiązać jeszcze cztery nierówności wykładnicze, które są już dość trudne dla nieprzygotowanych studentów. Aby sobie z nimi poradzić, musisz pamiętać o zasadach pracy ze stopniami. W szczególności usunięcie wspólnych czynników z nawiasów.

Ale najważniejsze jest, aby nauczyć się rozumieć: co dokładnie można ująć w nawias. Takie wyrażenie nazywamy stabilnym - można je oznaczyć nową zmienną i w ten sposób pozbyć się funkcji wykładniczej. Spójrzmy więc na zadania:

\[\begin(wyrównaj) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Zacznijmy od pierwszej linii. Napiszmy tę nierówność osobno:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Zauważ, że $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, więc prawa strona może przepisać:

Zauważ, że nie ma innych funkcji wykładniczych poza $((5)^(x+1))$ w nierówności. A generalnie zmienna $x$ nie występuje nigdzie indziej, więc wprowadźmy nową zmienną: $((5)^(x+1))=t$. Otrzymujemy następującą konstrukcję:

\[\begin(wyrównaj) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(wyrównaj)\]

Wracamy do pierwotnej zmiennej ($t=((5)^(x+1))$) i jednocześnie pamiętamy, że 1=5 0 . Mamy:

\[\begin(wyrównaj) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\koniec(wyrównaj)\]

To całe rozwiązanie! Odpowiedź: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Przejdźmy do drugiej nierówności:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Tutaj wszystko jest takie samo. Zauważ, że $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Następnie lewą stronę można przepisać:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \right. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\koniec(wyrównaj)\]

W ten sposób w przybliżeniu musisz podjąć decyzję o rzeczywistej kontroli i niezależnej pracy.

Cóż, spróbujmy czegoś trudniejszego. Na przykład tutaj jest nierówność:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Jaki jest tutaj problem? Przede wszystkim podstawy funkcji wykładniczych po lewej stronie są różne: 5 i 25. Jednak 25 \u003d 5 2, więc pierwszy składnik można przekształcić:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(wyrównaj )\]

Jak widać, najpierw sprowadziliśmy wszystko do tej samej podstawy, a potem zauważyliśmy, że pierwszy wyraz łatwo sprowadza się do drugiego - wystarczy tylko rozwinąć wykładnik. Teraz możemy spokojnie wprowadzić nową zmienną: $((5)^(2x+2))=t$, a cała nierówność zostanie przepisana w ten sposób:

\[\begin(wyrównaj) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(wyrównaj)\]

Znowu nie ma problemu! Ostateczna odpowiedź: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Przechodząc do końcowej nierówności w dzisiejszej lekcji:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Pierwszą rzeczą, na którą powinieneś zwrócić uwagę, jest oczywiście ułamek dziesiętny w podstawie pierwszego stopnia. Trzeba się go pozbyć, a jednocześnie sprowadzić wszystkie funkcje wykładnicze do tej samej podstawy - liczby „2”:

\[\begin(wyrównaj) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(wyrównaj)\]

Świetnie, zrobiliśmy pierwszy krok - wszystko prowadzi do tego samego fundamentu. Teraz musimy podkreślić ustaw wyrażenie. Zauważ, że $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Jeśli wprowadzimy nową zmienną $((2)^(4x+6))=t$, to pierwotną nierówność można przepisać w następujący sposób:

\[\begin(wyrównaj) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\koniec(wyrównaj)\]

Naturalnie może pojawić się pytanie: jak dowiedzieliśmy się, że 256 = 2 8 ? Niestety tutaj wystarczy znać potęgi dwójki (a jednocześnie trójki i piątki). Cóż, lub podziel 256 przez 2 (możesz podzielić, ponieważ 256 to liczba parzysta), aż otrzymamy wynik. Będzie to wyglądać mniej więcej tak:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

To samo dotyczy trzech (liczby 9, 27, 81 i 243 to jego moce) oraz siódemki (liczby 49 i 343 też byłoby miło zapamiętać). Cóż, ta piątka ma również „piękne” stopnie, o których musisz wiedzieć:

\[\begin(wyrównaj) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\koniec(wyrównaj)\]

Oczywiście wszystkie te liczby, w razie potrzeby, można przywrócić w umyśle, po prostu kolejno je mnożąc przez siebie. Jeśli jednak musisz rozwiązać kilka nierówności wykładniczych, a każda następna jest trudniejsza od poprzedniej, to ostatnią rzeczą, o której chcesz pomyśleć, są potęgi niektórych liczb. I w tym sensie te problemy są bardziej złożone niż „klasyczne” nierówności, które rozwiązuje się metodą interwałową.

Lekcja i prezentacja na temat: „Równania wykładnicze i nierówności wykładnicze”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, opinii, sugestii! Wszystkie materiały są sprawdzane przez program antywirusowy.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym „Integral” dla klasy 11
Interaktywny podręcznik dla klas 9-11 "Trygonometria"
Interaktywny podręcznik dla klas 10-11 „Logarytmy”

Definicja równań wykładniczych

Chłopaki, badaliśmy funkcje wykładnicze, poznawaliśmy ich właściwości i budowaliśmy wykresy, analizowaliśmy przykłady równań, w których napotkano funkcje wykładnicze. Dzisiaj zajmiemy się równaniami wykładniczymi i nierównościami.

Definicja. Równania postaci: $a^(f(x))=a^(g(x))$, gdzie $a>0$, $a≠1$ nazywamy równaniami wykładniczymi.

Pamiętając twierdzenia, które studiowaliśmy w temacie „Funkcja wykładnicza”, możemy wprowadzić nowe twierdzenie:
Twierdzenie. Równanie wykładnicze $a^(f(x))=a^(g(x))$, gdzie $a>0$, $a≠1$ jest równoważne równaniu $f(x)=g(x) $.

Przykłady równań wykładniczych

Przykład.
Rozwiąż równania:
a) 3$^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) 5$^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Decyzja.
a) Dobrze wiemy, że 27$=3^3$.
Przepiszmy nasze równanie: $3^(3x-3)=3^3$.
Korzystając z powyższego twierdzenia, otrzymujemy, że nasze równanie redukuje się do równania $3x-3=3$, rozwiązując to równanie, otrzymujemy $x=2$.
Odpowiedź: $x=2$.

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Następnie możemy zapisać nasze równanie od nowa: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5 ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
2 USD x + 0,2 = 0,2 USD.
$x=0$.
Odpowiedź: $x=0$.

C) Pierwotne równanie jest równoważne równaniu: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ i $x_2=-3$.
Odpowiedź: $x_1=6$ i $x_2=-3$.

Przykład.
Rozwiąż równanie: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
Decyzja:
Będziemy kolejno wykonywać serię czynności i sprowadzić obie części naszego równania do tych samych podstaw.
Wykonajmy serię operacji po lewej stronie:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Przejdźmy na prawą stronę:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Oryginalne równanie jest równoważne równaniu:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Odpowiedź: $x=0$.

Przykład.
Rozwiąż równanie: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Decyzja:
Przepiszmy nasze równanie: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Zmieńmy zmienne, niech $a=3^x$.
W nowych zmiennych równanie przyjmie postać: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ i $a_2=3$.
Wykonajmy odwrotną zmianę zmiennych: $3^x=-12$ i $3^x=3$.
W ostatniej lekcji dowiedzieliśmy się, że wyrażenia wykładnicze mogą przyjmować tylko wartości dodatnie, pamiętaj o wykresie. Oznacza to, że pierwsze równanie nie ma rozwiązań, drugie równanie ma jedno rozwiązanie: $x=1$.
Odpowiedź: $x=1$.

Zróbmy notatkę na temat sposobów rozwiązywania równań wykładniczych:
1. Metoda graficzna. Reprezentujemy obie części równania jako funkcje i budujemy ich wykresy, znajdujemy punkty przecięcia wykresów. (Użyliśmy tej metody w ostatniej lekcji).
2. Zasada równości wskaźników. Zasada opiera się na fakcie, że dwa wyrażenia z te same podstawy są równe wtedy i tylko wtedy, gdy stopnie (wykładniki) tych podstaw są równe. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Zmiana metody zmiennych. Metodę tę należy stosować, jeśli równanie przy zmianie zmiennych upraszcza swoją postać i jest znacznie łatwiejsze do rozwiązania.

Przykład.
Rozwiąż układ równań: $\begin (przypadki) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end(przypadki)$.
Decyzja.
Rozważ oba równania układu osobno:
27 $ ^ y * 3 ^ x = 1 $.
3$^(3lata)*3^x=3^0$.
3 $ ^ (3 lata + x) = 3 ^ 0 $.
$x+3y=0$.
Rozważ drugie równanie:
4$^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Wykorzystajmy metodę zmiany zmiennych, niech $y=2^(x+y)$.
Wtedy równanie przyjmie postać:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ i $y_2=-3$.
Przejdźmy do zmiennych początkowych, z pierwszego równania otrzymujemy $x+y=2$. Drugie równanie nie ma rozwiązań. Wtedy nasz początkowy układ równań jest równoważny układowi: $\begin (przypadki) x+3y=0, \\ x+y=2. \end(przypadki)$.
Odejmij drugie równanie od pierwszego równania, otrzymamy: $\begin (przypadki) 2y=-2, \\ x+y=2. \end(przypadki)$.
$\begin (przypadki) y=-1, \\ x=3. \end(przypadki)$.
Odpowiedź: $(3;-1)$.

wykładnicze nierówności

Przejdźmy do nierówności. Przy rozwiązywaniu nierówności należy zwrócić uwagę na podstawę stopnia. Istnieją dwa możliwe scenariusze rozwoju wydarzeń przy rozwiązywaniu nierówności.

Twierdzenie. Jeśli $a>1$, to nierówność wykładnicza $a^(f(x))>a^(g(x))$ jest równoważna nierówności $f(x)>g(x)$.
Jeśli 0 zł a^(g(x))$ jest równoważne $f(x)

Przykład.
Rozwiąż nierówności:
a) 3$^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Decyzja.
a) 3$^(2x+3)>81$.
3 ^ (2x + 3) > 3 ^ 4 $.
Nasza nierówność jest równoznaczna z nierównością:
2x+3>4$.
2x>1$.
$x>0,5 $.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) W naszym równaniu podstawa o stopniu mniejsza niż 1, to przy wymianie nierówności na równorzędną konieczna jest zmiana znaku.
2x-4>2$.
$x>3 $.

C) Nasza nierówność jest równoznaczna z nierównością:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Użyjmy metoda interwałowa rozwiązania:
Odpowiedź: $(-∞;-5]U)