Kalkulator nierówności z rozwiązaniem online. Nierówności liniowe

Nierówność to stosunek liczbowy, który ilustruje wielkość liczb względem siebie. Nierówności są szeroko stosowane w poszukiwaniu ilości w naukach stosowanych. Nasz kalkulator pomoże Ci uporać się z tak trudnym tematem, jak rozwiązywanie nierówności liniowych.

Czym jest nierówność

Nierówne proporcje w rzeczywistości odpowiadają ciągłemu porównywaniu różnych obiektów: wyżej lub niżej, dalej lub bliżej, cięższy lub lżejszy. Intuicyjnie lub wizualnie możemy zrozumieć, że jeden obiekt jest większy, wyższy lub cięższy od drugiego, ale w rzeczywistości zawsze chodzi o porównanie liczb, które charakteryzują odpowiednie wielkości. Możesz porównywać obiekty na dowolnych zasadach, a w każdym razie możemy zrobić nierówność liczbową.

Jeśli nieznane wielkości w określonych warunkach są równe, to do ich numerycznego określenia tworzymy równanie. Jeśli nie, to zamiast znaku „równości” możemy wskazać dowolny inny stosunek tych wielkości. Dwie liczby lub obiekty matematyczne mogą być większe niż „>”, mniejsze niż „<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.

Znaki nierówności w ich nowoczesnej formie zostały wynalezione przez brytyjskiego matematyka Thomasa Harriota, który w 1631 roku opublikował książkę o nierównych proporcjach. Większe niż „>” i mniejsze niż „<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.

Rozwiązywanie nierówności

Nierówności, podobnie jak równania, występują w różnych typach. Liniowe, kwadratowe, logarytmiczne lub wykładnicze nierówne stosunki są uwalniane różnymi metodami. Jednak niezależnie od metody, każdą nierówność należy najpierw sprowadzić do standardowej postaci. W tym celu stosuje się identyczne przekształcenia, które są identyczne z modyfikacjami równości.

Transformacje tożsamościowe nierówności

Takie przekształcenia wyrażeń są bardzo podobne do widma równań, ale zawierają niuanse, które należy wziąć pod uwagę podczas rozwiązywania nierówności.

Pierwsza transformacja tożsamości jest identyczna z analogiczną operacją na równościach. Do obu stron nierównego stosunku można dodać lub odjąć tę samą liczbę lub wyrażenie z nieznanym x, podczas gdy znak nierówności pozostaje taki sam. Najczęściej tę metodę stosuje się w uproszczonej formie jako przeniesienie wyrazów wyrażenia przez znak nierówności ze zmianą znaku liczby na przeciwny. Odnosi się to do zmiany znaku samego terminu, to znaczy + R po przeniesieniu przez dowolny znak nierówności zmieni się na - R i odwrotnie.

Druga transformacja ma dwa punkty:

Obie strony nierównego stosunku mogą być mnożone lub dzielone przez tę samą liczbę dodatnią. Sam znak nierówności się nie zmieni.
Obie strony nierówności mogą być dzielone lub mnożone przez tę samą liczbę ujemną. Sam znak nierówności zmieni się na odwrotny.

Druga identyczna transformacja nierówności ma poważne różnice z modyfikacją równań. Po pierwsze, przy mnożeniu/dzieleniu przez liczbę ujemną znak nierównego wyrażenia zawsze się odwraca. Po drugie, dzielenie lub mnożenie części relacji jest dozwolone tylko przez liczbę, a nie przez jakiekolwiek wyrażenie zawierające niewiadomą. Faktem jest, że nie możemy wiedzieć na pewno, czy liczba większa czy mniejsza od zera kryje się za niewiadomą, więc drugie identyczne przekształcenie stosuje się do nierówności wyłącznie z liczbami. Spójrzmy na te zasady z przykładami.

Przykłady rozwiązywania nierówności

W zadaniach z algebry istnieje wiele zadań na temat nierówności. Podajmy wyrażenie:

6x − 3(4x + 1) > 6.

Najpierw otwórz nawiasy i przesuń wszystkie niewiadome w lewo, a wszystkie liczby w prawo.

6x − 12x > 6 + 3

Musimy podzielić obie części wyrażenia przez -6, więc przy znalezieniu nieznanego x znak nierówności zmieni się na przeciwny.

Rozwiązując tę nierówność, wykorzystaliśmy obie identyczne transformacje: przesunęliśmy wszystkie liczby na prawo od znaku i podzieliliśmy obie strony stosunku przez liczbę ujemną.

Nasz program to kalkulator do rozwiązywania nierówności liczbowych, które nie zawierają niewiadomych. Program zawiera następujące twierdzenia dotyczące stosunków trzech liczb:

Jeśli< B то A–C< B–C;
jeśli A > B, to A–C > B–C.

Zamiast odejmowania wyrazów A-C, możesz określić dowolną operację arytmetyczną: dodawanie, mnożenie lub dzielenie. W ten sposób kalkulator automatycznie przedstawi nierówności sum, różnic, iloczynów lub ułamków.

Wniosek

W prawdziwym życiu nierówności są tak powszechne, jak równania. Oczywiście w życiu codziennym wiedza o rozwiązywaniu nierówności może nie być potrzebna. Jednak w naukach stosowanych powszechnie stosuje się nierówności i ich systemy. Na przykład różne badania problemów gospodarki światowej sprowadzają się do zestawienia i uwolnienia systemów nierówności liniowych lub kwadratowych, a niektóre nierówne relacje służą jako jednoznaczny sposób udowodnienia istnienia pewnych obiektów. Skorzystaj z naszych programów do rozwiązywania nierówności liniowych lub sprawdź własne obliczenia.

Postać ax 2 + bx + 0 0, gdzie (zamiast znaku > może oczywiście występować dowolny inny znak nierówności). Mamy wszystkie fakty teorii niezbędne do rozwiązania takich nierówności, które teraz zweryfikujemy.

Przykład 1. Rozwiąż nierówność:

a) x 2 - 2x - 3 > 0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
Rozwiązanie,

a) Rozważ parabolę y \u003d x 2 - 2x - 3 pokazaną na ryc. 117.

Rozwiązanie nierówności x 2 - 2x - 3 > 0 - oznacza odpowiedź na pytanie, dla których wartości x rzędne punktów paraboli są dodatnie.

Zauważamy, że y > 0, czyli wykres funkcji znajduje się nad osią x, w punkcie x< -1 или при х > 3.

W związku z tym rozwiązania nierówności są wszystkimi punktami jawności Belka(- 00 , - 1), a także wszystkie punkty otwartej belki (3, +00).

Używając znaku U (znaku unii zbiorów), odpowiedź można zapisać w następujący sposób: (-00 , - 1) U (3, +00). Jednak odpowiedź można również napisać tak:< - 1; х > 3.

b) Nierówność x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: harmonogram znajduje się poniżej osi x, jeśli -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) Nierówność x 2 - 2x - 3 > 0 różni się od nierówności x 2 - 2x - 3 > 0 tym, że odpowiedź musi również zawierać pierwiastki równania x 2 - 2x - 3 = 0, czyli punkty x = - 1

i x \u003d 3. Tak więc rozwiązaniami tej nieścisłej nierówności są wszystkie punkty belki (-00, - 1], a także wszystkie punkty belki.

Praktyczni matematycy zwykle mówią tak: dlaczego rozwiązując nierówność ax 2 + bx + c > 0, starannie budujemy wykres paraboli funkcji kwadratowej

y \u003d ax 2 + bx + c (jak zrobiono w przykładzie 1)? Wystarczy wykonać schematyczny szkic wykresu, do którego wystarczy tylko znaleźć korzenie trójmian kwadratowy (punkt przecięcia paraboli z osią x) i określ, gdzie skierowane są gałęzie paraboli - w górę lub w dół. Ten schematyczny szkic da wizualną interpretację rozwiązania nierówności.

Przykład 2 Rozwiąż nierówność - 2x 2 + 3x + 9< 0.
Rozwiązanie.

1) Znajdź pierwiastki trójmianu kwadratowego - 2x 2 + Zx + 9: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1,5.

2) Parabola, która służy jako wykres funkcji y \u003d -2x 2 + Zx + 9, przecina oś x w punktach 3 i - 1,5, a gałęzie paraboli są skierowane w dół, ponieważ starsze współczynnik- liczba ujemna - 2. Na ryc. 118 to szkic wykresu.

3) Za pomocą ryc. 118, dochodzimy do wniosku:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Odpowiedź: x< -1,5; х > 3.

Przykład 3 Rozwiąż nierówność 4x 2 - 4x + 1< 0.
Rozwiązanie.

1) Z równania 4x 2 - 4x + 1 = 0 znajdujemy.

2) Trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek; oznacza to, że parabola służąca jako wykres trójmianu kwadratowego nie przecina osi x, ale dotyka jej w punkcie. Gałęzie paraboli skierowane są do góry (ryc. 119.)

3) Korzystając z modelu geometrycznego pokazanego na ryc. 119 ustalamy, że określona nierówność jest spełniona tylko w punkcie, ponieważ dla wszystkich innych wartości x rzędne wykresu są dodatnie.
Odpowiedź: .
Zapewne zauważyłeś, że w rzeczywistości w przykładach 1, 2, 3 dobrze zdefiniowany algorytm rozwiązując nierówności kwadratowe, sformalizujemy to.

Algorytm rozwiązywania nierówności kwadratowej ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

Pierwszym krokiem tego algorytmu jest znalezienie pierwiastków trójmianu kwadratowego. Ale korzenie mogą nie istnieć, więc co robić? Wtedy algorytm nie ma zastosowania, co oznacza, że konieczne jest rozumowanie w inny sposób. Kluczem do tych argumentów są następujące twierdzenia.

Innymi słowy, jeśli D< 0, а >0, to nierówność ax 2 + bx + c > 0 jest spełniona dla wszystkich x; przeciwnie, nierówność ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
Dowód. harmonogram Funkcje y \u003d ax 2 + bx + c to parabola, której gałęzie są skierowane w górę (ponieważ a > 0) i która nie przecina osi x, ponieważ trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków według warunku. Wykres pokazano na ryc. 120. Widzimy, że dla wszystkich x wykres znajduje się powyżej osi x, co oznacza, że dla wszystkich x nierówność ax 2 + bx + c > 0 jest spełniona, co było wymagane do udowodnienia.

Innymi słowy, jeśli D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 nie ma rozwiązań.

Dowód. Wykres funkcji y \u003d ax 2 + bx + c jest parabolą, której gałęzie są skierowane w dół (ponieważ< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

Przykład 4. Rozwiąż nierówność:

a) 2x 2 - x + 4 > 0; b) -x 2 + Zx - 8 > 0.

a) Znajdź dyskryminator trójmianu kwadratowego 2x 2 - x + 4. Mamy D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Starszy współczynnik trójmianu (liczba 2) jest dodatni.

Stąd, według Twierdzenia 1, dla wszystkich x, nierówność 2x 2 - x + 4 > 0 jest spełniona, tj. rozwiązaniem danej nierówności jest całość (-00, + 00).

b) Znajdź dyskryminator trójmianu kwadratowego - x 2 + Zx - 8. Mamy D \u003d Z2 - 4 (- 1) (- 8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Odpowiedź: a) (-00, + 00); b) nie ma rozwiązań.

W poniższym przykładzie zapoznamy się z innym sposobem rozumowania, który służy do rozwiązywania nierówności kwadratowych.

Przykład 5 Rozwiąż nierówność 3x 2 - 10x + 3< 0.
Rozwiązanie. Rozliczmy trójmian kwadratowy 3x 2 - 10x + 3. Pierwiastki trójmianu to liczby 3, a zatem używając ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), otrzymujemy Zx 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x - 3) (x-)
Odnotowujemy na osi liczbowej pierwiastki trójmianu: 3 i (ryc. 122).

Niech x > 3; wtedy x-3>0 i x->0, a więc iloczyn 3(x - 3)(x - ) jest dodatni. Następnie niech< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Zatem iloczyn 3(x-3)(x-) jest ujemny. Wreszcie niech x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) jest dodatnie.

Podsumowując rozumowanie, dochodzimy do wniosku: znaki trójmianu kwadratowego Zx 2 - 10x + 3 zmieniają się, jak pokazano na rys. 122. Interesuje nas dla jakiego x trójmian kwadratowy przyjmuje wartości ujemne. Z ryc. 122 wnioskujemy: trójmian kwadratowy 3x 2 - 10x + 3 przyjmuje wartości ujemne dla dowolnej wartości x z przedziału (, 3)
Odpowiedz (, 3), lub< х < 3.

Komentarz. Metoda rozumowania, którą zastosowaliśmy w przykładzie 5, jest zwykle nazywana metodą przedziałów (lub metodą przedziałów). Jest aktywnie używany w matematyce do rozwiązywania racjonalny nierówności. W 9 klasie bardziej szczegółowo omówimy metodę interwałową.

Przykład 6. Przy jakich wartościach parametru p jest równanie kwadratowe x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
a) ma dwa różne korzenie;

b) ma jeden korzeń;

c) nie ma -korzeni?

Rozwiązanie. Liczba pierwiastków równania kwadratowego zależy od znaku jego dyskryminatora D. W tym przypadku znajdujemy D \u003d 25 - 4p 2.

a) Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, jeśli D> 0, to problem sprowadza się do rozwiązania nierówności 25 - 4p 2 > 0. Obie części tej nierówności mnożymy przez -1 (pamiętając o zmianie znaku nierówności). Otrzymujemy równoważną nierówność 4p 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Znaki wyrażenia 4(p - 2,5) (p + 2,5) pokazano na ryc. 123.

Dochodzimy do wniosku, że nierówność 4(p - 2,5)(p + 2,5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek, jeśli D wynosi 0.
Jak powiedzieliśmy powyżej, D = 0 przy p = 2,5 lub p = -2,5.

Dla tych wartości parametru p to równanie kwadratowe ma tylko jeden pierwiastek.

c) Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków, jeśli D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Otrzymujemy 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2,5) (p + 2,5)> 0, skąd (patrz Rys. 123) p< -2,5; р >2.5. Dla tych wartości parametru p to równanie kwadratowe nie ma pierwiastków.

Odpowiedź: a) w p (-2,5, 2,5);

b) przy p = 2,5 lub p = -2,5;
c) w r< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovich A.G., Algebra. Klasa 8: Proc. dla kształcenia ogólnego instytucje - wyd. 3, sfinalizowany. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 s.: ch.

Pomóż uczniowi online, Matematyka do pobrania dla klasy 8, planowanie tematyczne w kalendarzu

zobacz także Graficzne rozwiązywanie zadania programowania liniowego, Kanoniczna postać zadań programowania liniowego

System ograniczeń dla takiego problemu składa się z nierówności w dwóch zmiennych:
a funkcja celu ma postać F = C 1 x + C 2 tak, który ma zostać zmaksymalizowany.

Odpowiedzmy na pytanie: jakie pary liczb ( x; tak) są rozwiązaniami systemu nierówności, tj. czy spełniają jednocześnie każdą z nierówności? Innymi słowy, co to znaczy rozwiązać system graficznie?
Najpierw musisz zrozumieć, jakie jest rozwiązanie jednej nierówności liniowej z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązanie nierówności liniowej za pomocą dwóch niewiadomych oznacza wyznaczenie wszystkich par wartości niewiadomych, dla których nierówność jest spełniona.
Na przykład nierówność 3 x – 5tak≥ 42 spełniają pary ( x , tak) : (100, 2); (3, –10) itd. Problemem jest znalezienie wszystkich takich par.
Rozważ dwie nierówności: topór + przez≤ C, topór + przez≥ C. Prosty topór + przez = C dzieli płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny tak, aby współrzędne punktów jednej z nich spełniały nierówność topór + przez >C i inne nierówności topór + +przez <C.
Rzeczywiście, weź punkt ze współrzędną x = x 0; następnie punkt leżący na linii prostej i posiadający odciętą x 0 , ma rzędną

Niech na definicję a<0, b>0, C>0. Wszystkie punkty z odciętymi x 0 powyżej P(np. kropka m), mieć y M>tak 0 i wszystkie punkty poniżej punktu P, z odciętymi x 0 , mieć yN<tak 0 . O ile x 0 jest dowolnym punktem, to po jednej stronie prostej zawsze będą punkty, dla których topór+ przez > C, tworzące półpłaszczyznę, a z drugiej strony punkty, dla których topór + przez< C.

Obrazek 1

Znak nierówności w półpłaszczyźnie zależy od liczb a, b , C.
Implikuje to następującą metodę graficznego rozwiązywania układów nierówności liniowych w dwóch zmiennych. Aby rozwiązać system, potrzebujesz:

Dla każdej nierówności zapisz równanie odpowiadające danej nierówności.
Skonstruuj linie, które są wykresami funkcji podanych przez równania.
Dla każdej prostej wyznacz półpłaszczyznę, którą daje nierówność. Aby to zrobić, weź dowolny punkt, który nie leży na linii prostej, zamień jego współrzędne na nierówność. jeśli nierówność jest prawdziwa, to półpłaszczyzna zawierająca wybrany punkt jest rozwiązaniem pierwotnej nierówności. Jeśli nierówność jest fałszywa, to półpłaszczyzna po drugiej stronie prostej jest zbiorem rozwiązań tej nierówności.
Aby rozwiązać układ nierówności, konieczne jest znalezienie obszaru przecięcia wszystkich półpłaszczyzn, które są rozwiązaniem każdej nierówności w układzie.

Ten obszar może okazać się pusty, wtedy system nierówności nie ma rozwiązań, jest niespójny. W przeciwnym razie mówi się, że system jest spójny.
Rozwiązania mogą być liczbą skończoną i nieskończonym zbiorem. Obszar może być zamkniętym wielokątem lub może być nieograniczony.

Spójrzmy na trzy odpowiednie przykłady.

Przykład 1. Rozwiąż graficznie system:
x + y- 1 ≤ 0;
–2x- 2tak + 5 ≤ 0.

rozważmy równania x+y–1=0 i –2x–2y+5=0 odpowiadające nierównościom;
skonstruujmy linie proste podane przez te równania.

Rysunek 2

Zdefiniujmy półpłaszczyzny podane przez nierówności. Weź dowolny punkt, niech (0; 0). Rozważać x+ y– 1 0 podstawiamy punkt (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. stąd w półpłaszczyźnie, na której leży punkt (0; 0), x + tak – 1 ≤ 0, tj. półpłaszczyzna leżąca poniżej linii prostej jest rozwiązaniem pierwszej nierówności. Zastępując ten punkt (0; 0) drugim otrzymujemy: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, czyli w półpłaszczyźnie, gdzie leży punkt (0; 0), -2 x – 2tak+ 5≥ 0 i zapytano nas gdzie -2 x – 2tak+ 5 ≤ 0 zatem w innej półpłaszczyźnie - w tej nad prostą.
Znajdź przecięcie tych dwóch półpłaszczyzn. Linie są równoległe, więc płaszczyzny nigdzie się nie przecinają, co oznacza, że układ tych nierówności nie ma rozwiązań, jest niespójny.

Przykład 2. Znajdź graficznie rozwiązania systemu nierówności:

Rysunek 3
1. Napisz równania odpowiadające nierównościom i skonstruuj linie proste.
x + 2tak– 2 = 0

x	2	0
tak	0	1

tak – x – 1 = 0

x	0	2
tak	1	3

tak + 2 = 0;
tak = –2.
2. Po wybraniu punktu (0; 0) wyznaczamy znaki nierówności w półpłaszczyznach:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, tj. x + 2tak– 2 ≤ 0 w półpłaszczyźnie poniżej linii prostej;
0 – 0 – 1 ≤ 0, tj. tak –x– 1 ≤ 0 w półpłaszczyźnie poniżej linii prostej;
0 + 2 =2 ≥ 0, tj. tak+ 2 ≥ 0 w półpłaszczyźnie nad linią.
3. Przecięcie tych trzech półpłaszczyzn będzie obszarem będącym trójkątem. Nie jest trudno znaleźć wierzchołki regionu jako punkty przecięcia odpowiednich linii

W ten sposób, ALE(–3; –2), W(0; 1), OD(6; –2).

Rozważmy jeszcze jeden przykład, w którym wynikowa dziedzina rozwiązania systemu nie jest ograniczona.

Rozwiązywanie nierówności online

Przed rozwiązaniem nierówności należy dobrze zrozumieć, jak rozwiązywane są równania.

Nie ma znaczenia, czy nierówność jest ścisła () czy nieścisła (≤, ≥), pierwszym krokiem jest rozwiązanie równania przez zastąpienie znaku nierówności równością (=).

Wyjaśnij, co to znaczy rozwiązać problem nierówności?

Po przestudiowaniu równań uczeń ma w głowie następujący obraz: trzeba znaleźć takie wartości zmiennej, dla której obie części równania przyjmują te same wartości. Innymi słowy, znajdź wszystkie punkty, w których obowiązuje równość. Wszystko się zgadza!

Mówiąc o nierównościach, mają na myśli znalezienie przedziałów (odcinków), na których nierówność się utrzymuje. Jeśli w nierówności występują dwie zmienne, to rozwiązaniem nie będą już odstępy, ale pewne obszary na płaszczyźnie. Zgadnij, jakie będzie rozwiązanie nierówności w trzech zmiennych?

Jak rozwiązywać nierówności?

Metoda przedziałów (inaczej metoda przedziałów) jest uważana za uniwersalny sposób rozwiązywania nierówności, który polega na określeniu wszystkich przedziałów, w których dana nierówność będzie spełniona.

Nie wchodząc w rodzaj nierówności, w tym przypadku nie jest to istotą, wymagane jest rozwiązanie odpowiedniego równania i określenie jego pierwiastków, a następnie oznaczenie tych rozwiązań na osi liczbowej.

Jaki jest właściwy sposób napisania rozwiązania nierówności?

Po ustaleniu odstępów czasu rozwiązywania nierówności musisz poprawnie napisać samo rozwiązanie. Jest ważny niuans - czy granice interwałów są uwzględnione w rozwiązaniu?

Tutaj wszystko jest proste. Jeżeli rozwiązanie równania spełnia ODZ, a nierówność nie jest ścisła, to granica przedziału jest zawarta w rozwiązaniu nierówności. W przeciwnym razie nie.

Rozpatrując każdy przedział, rozwiązaniem nierówności może być sam przedział, półprzedział (gdy jedna z jego granic spełnia nierówność) lub odcinek - przedział wraz z jego granicami.

Ważny punkt

Nie myśl, że tylko odstępy, półodstępy i odcinki mogą być rozwiązaniem nierówności. Nie, w rozwiązaniu można również uwzględnić poszczególne punkty.

Na przykład nierówność |x|≤0 ma tylko jedno rozwiązanie - punkt 0.

A nierówność |x|

Do czego służy kalkulator nierówności?

Kalkulator nierówności daje poprawną ostateczną odpowiedź. W tym przypadku w większości przypadków podana jest ilustracja osi numerycznej lub płaszczyzny. Możesz zobaczyć, czy granice przedziałów są uwzględnione w rozwiązaniu, czy nie - punkty są wyświetlane jako wypełnione lub przebite.

Dzięki kalkulatorowi nierówności online możesz sprawdzić, czy poprawnie znalazłeś pierwiastki równania, zaznaczyłeś je na osi liczbowej i sprawdziłeś warunki nierówności na przedziałach (i granicach)?

Jeśli Twoja odpowiedź różni się od odpowiedzi kalkulatora, zdecydowanie musisz dokładnie sprawdzić swoje rozwiązanie i zidentyfikować popełniony błąd.

Nierówność jest wyrażeniem, ≤ lub ≥. Na przykład 3x - 5 Rozwiązanie nierówności oznacza znalezienie wszystkich wartości zmiennych, dla których ta nierówność jest prawdziwa. Każda z tych liczb jest rozwiązaniem nierówności, a zbiór wszystkich takich rozwiązań to jej wiele rozwiązań. Nierówności, które mają ten sam zestaw rozwiązań, nazywamy równoważne nierówności.

Nierówności liniowe

Zasady rozwiązywania nierówności są podobne do zasad rozwiązywania równań.

Zasady rozwiązywania nierówności
Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b i c :
Zasada dodawania nierówności: Jeśli Zasada mnożenia dla nierówności: Jeśli 0 jest prawdziwe, to ac Jeśli a bc też jest prawdziwe.
Podobne stwierdzenia dotyczą również a ≤ b.

Kiedy obie strony nierówności są pomnożone przez liczbę ujemną, znak nierówności musi zostać odwrócony.
Nierówności pierwszego poziomu, jak w przykładzie 1 (poniżej), są nazywane nierówności liniowe.

Przykład 1 Rozwiąż każdą z poniższych nierówności. Następnie narysuj zestaw rozwiązań.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Rozwiązanie
Każda liczba mniejsza niż 11/5 jest rozwiązaniem.
Zbiór rozwiązań to (x|x
Aby dokonać sprawdzenia, możemy wykreślić y 1 = 3x - 5 i y 2 = 6 - 2x. Wtedy widać stąd, że dla x
Zbiór rozwiązań to (x|x ≤ 1), lub (-∞, 1]). Wykres zestawu rozwiązań jest pokazany poniżej.

Podwójne nierówności

Kiedy dwie nierówności są połączone słowem I, lub, wtedy powstaje podwójna nierówność. Podwójna nierówność jak
-3 I 2x + 5 ≤ 7
nazywa się połączony ponieważ używa I. Rekord -3 Nierówności podwójne można rozwiązać stosując zasady dodawania i mnożenia nierówności.

Przykład 2 Rozwiąż -3 Rozwiązanie Mamy

Zbiór rozwiązań (x|x ≤ -1 lub x > 3). Możemy również napisać rozwiązanie używając notacji z odstępami i symbolu wspomnienia lub inkluzje obu zbiorów: (-∞ -1] (3, ∞). Wykres zbioru rozwiązań pokazano poniżej.

Aby przetestować, narysuj y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 i y 3 = 1. Zauważ, że dla (x|x ≤ -1 lub x > 3), y 1 ≤ y 2 lub r1 > r3 .

Nierówności o wartości bezwzględnej (moduł)

Nierówności czasami zawierają moduły. Do ich rozwiązania służą następujące właściwości.
Dla a > 0 i wyrażenia algebraicznego x:
|x| |x| > a jest równoważne x lub x > a.
Podobne stwierdzenia dla |x| ≤ a i |x| ≥

Na przykład,
|x| |y| ≥ 1 jest równoważne y ≤ -1 lub y ≥ 1;
oraz |2x + 3| ≤ 4 jest równoważne -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Przykład 4 Rozwiąż każdą z poniższych nierówności. Wykreśl zestaw rozwiązań.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Rozwiązanie
a) |3x + 2|

Zbiór rozwiązań to (x|-7/3