Calcolatore online semplificato di frazioni algebriche. Come semplificare le espressioni algebriche
Un'espressione algebrica in cui, oltre alle operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione, usano anche la divisione per espressioni letterali, è chiamata espressione algebrica frazionaria. Tali sono, ad esempio, le espressioni
Chiamiamo frazione algebrica un'espressione algebrica che ha la forma di un quoziente di divisione di due espressioni algebriche intere (ad esempio, monomi o polinomi). Tali sono, ad esempio, le espressioni
la terza delle espressioni).
Le trasformazioni di identità delle espressioni algebriche frazionarie sono per la maggior parte intese a rappresentarle come una frazione algebrica. Per trovare un denominatore comune, viene utilizzata la fattorizzazione dei denominatori delle frazioni - termini per trovare il minimo comune multiplo. Quando si riduce frazioni algebriche può essere violata l'identità rigorosa delle espressioni: occorre escludere i valori delle quantità a cui svanisce il fattore per cui si opera la riduzione.
Ecco alcuni esempi identiche trasformazioni espressioni algebriche frazionarie.
Esempio 1: semplificare un'espressione
Tutti i termini possono essere ridotti a un denominatore comune (conviene cambiare il segno al denominatore dell'ultimo termine e il segno davanti ad esso):
La nostra espressione è uguale a uno per tutti i valori tranne questi valori, non è definita e la riduzione della frazione è illegale).
Esempio 2. Rappresenta l'espressione come una frazione algebrica
Soluzione. L'espressione può essere assunta come denominatore comune. Troviamo successivamente:
Esercizi
1. Trova i valori delle espressioni algebriche per i valori specificati dei parametri:
2. Fattorizzare.
Math-Calculator-Online v.1.0
La calcolatrice esegue le seguenti operazioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, lavoro con i decimali, estrazione della radice, elevazione a potenza, calcolo di percentuali e altre operazioni.
Soluzione:
Come usare la calcolatrice matematica
Chiave | Designazione | Spiegazione |
---|---|---|
5 | numeri 0-9 | Numeri arabi. Immettere numeri interi naturali, zero. Per ottenere un numero intero negativo, premere il tasto +/- |
. | punto e virgola) | Un separatore decimale. Se non ci sono cifre prima del punto (virgola), la calcolatrice sostituirà automaticamente uno zero prima del punto. Ad esempio: verrà scritto .5 - 0.5 |
+ | segno più | Somma di numeri (interi, decimali) |
- | segno meno | Sottrazione di numeri (interi, decimali) |
÷ | segno di divisione | Divisione di numeri (interi, decimali) |
X | segno di moltiplicazione | Moltiplicazione di numeri (interi, decimali) |
√ | radice | Estrazione della radice da un numero. Quando si preme nuovamente il pulsante "radice", la radice viene calcolata dal risultato. Ad esempio: radice quadrata di 16 = 4; radice quadrata di 4 = 2 |
x2 | squadratura | La quadratura di un numero. Premendo nuovamente il pulsante "quadratura", il risultato è quadrato, ad esempio: quadrato 2 = 4; quadrato 4 = 16 |
1/x | frazione | Uscita in decimali. Al numeratore 1, al denominatore il numero di input |
% | per cento | Ottieni una percentuale di un numero. Per lavorare, devi inserire: il numero da cui verrà calcolata la percentuale, il segno (più, meno, dividi, moltiplica), quante percentuali in forma numerica, il pulsante "%" |
( | parentesi aperta | Una parentesi aperta per impostare la priorità di valutazione. È necessaria una parentesi chiusa. Esempio: (2+3)*2=10 |
) | parentesi chiusa | Una parentesi chiusa per impostare la priorità di valutazione. Disponibilità richiesta parentesi aperta |
± | più meno | Cambia segno in opposto |
= | è uguale a | Visualizza il risultato della soluzione. Inoltre, i calcoli intermedi e il risultato vengono visualizzati sopra la calcolatrice nel campo "Soluzione". |
← | cancellare un carattere | Elimina l'ultimo carattere |
DA | Ripristina | Pulsante di reset. Reimposta completamente la calcolatrice su "0" |
L'algoritmo del calcolatore online con esempi
Aggiunta.
Addizione intera numeri naturali { 5 + 7 = 12 }
Somma di numeri interi naturali e negativi ( 5 + (-2) = 3 )
Addizione decimale numeri frazionari { 0,3 + 5,2 = 5,5 }
Sottrazione.
Sottrazione di numeri naturali interi ( 7 - 5 = 2 )
Sottrazione di numeri interi naturali e negativi ( 5 - (-2) = 7 )
Sottrazione di numeri decimali frazionari ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )
Moltiplicazione.
Prodotto di numeri naturali interi ( 3 * 7 = 21 )
Prodotto di numeri interi naturali e negativi ( 5 * (-3) = -15 )
Prodotto di numeri decimali frazionari ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )
Divisione.
Divisione di numeri naturali interi ( 27 / 3 = 9 )
Divisione di numeri interi naturali e negativi ( 15 / (-3) = -5 )
Divisione di numeri decimali frazionari ( 6.2 / 2 = 3.1 )
Estrazione della radice da un numero.
Estrazione della radice di un numero intero ( root(9) = 3 )
Estrazione della radice dei decimali ( root(2.5) = 1.58 )
Estrazione della radice dalla somma dei numeri ( root(56 + 25) = 9 )
Estrazione della radice della differenza in numeri ( radice (32 - 7) = 5 )
La quadratura di un numero.
Al quadrato di un intero ( (3) 2 = 9 )
Decimali al quadrato ( (2.2) 2 = 4.84 )
Converti in frazioni decimali.
Calcolo delle percentuali di un numero
Aumenta 230 del 15% ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )
Riduci il numero 510 del 35% ( 510 - 510 * 0,35 = 331,5 )
Il 18% del numero 140 è ( 140 * 0,18 = 25,2 )
Alcuni esempi algebrici un tipo è in grado di terrorizzare gli scolari. Le espressioni lunghe non sono solo intimidatorie, ma anche molto difficili da calcolare. Cercando di capire subito cosa segue e cosa segue, per non confondersi a lungo. È per questo motivo che i matematici cercano sempre di semplificare il più possibile il compito "terribile" e solo allora procedono a risolverlo. Stranamente, un tale trucco accelera notevolmente il processo.
La semplificazione è uno dei punti fondamentali dell'algebra. Se dentro compiti semplici puoi ancora farne a meno, quindi esempi più difficili da calcolare potrebbero rivelarsi "troppo difficili". È qui che queste abilità tornano utili! Inoltre non sono richieste complesse conoscenze matematiche: basterà solo ricordare e imparare a mettere in pratica alcune tecniche e formule di base.
Indipendentemente dalla complessità dei calcoli, quando si risolve qualsiasi espressione, è importante seguire l'ordine delle operazioni con i numeri:
- parentesi;
- esponenziazione;
- moltiplicazione;
- divisione;
- aggiunta;
- sottrazione.
Gli ultimi due punti possono essere scambiati in sicurezza e questo non influirà in alcun modo sul risultato. Ma sommare due numeri vicini, quando accanto a uno di essi c'è un segno di moltiplicazione, è assolutamente impossibile! La risposta, se esiste, è sbagliata. Pertanto, è necessario ricordare la sequenza.
L'uso di tale
Tali elementi includono numeri con una variabile dello stesso ordine o dello stesso grado. Ci sono anche cosiddetti membri liberi che non hanno accanto la lettera di designazione dell'ignoto.
La linea di fondo è che in assenza di parentesi Puoi semplificare l'espressione aggiungendo o sottraendo like.
Alcuni esempi illustrativi:
- 8x 2 e 3x 2 - entrambi i numeri hanno la stessa variabile del secondo ordine, quindi sono simili e quando sommati si semplificano in (8+3)x 2 =11x 2, mentre sottraendo risulta (8-3)x 2 =5x 2;
- 4x 3 e 6x - e qui "x" ha un grado diverso;
- 2y 7 e 33x 7 - contengono variabili diverse, quindi, come nel caso precedente, non appartengono a variabili simili.
Fattorizzazione di un numero
Questo piccolo trucco matematico, se impari a usarlo correttamente, ti aiuterà ad affrontare un problema complicato più di una volta in futuro. Ed è facile capire come funziona il “sistema”: una scomposizione è un prodotto di più elementi, il cui calcolo dà il valore originario. Pertanto, 20 può essere rappresentato come 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 o in qualche altro modo.
Su una nota: i moltiplicatori sono sempre gli stessi dei divisori. Quindi è necessario cercare una "coppia" funzionante per l'espansione tra i numeri per cui l'originale è divisibile senza resto.
È possibile eseguire tale operazione sia con membri liberi che con cifre associate a una variabile. La cosa principale è non perdere quest'ultimo durante i calcoli, anche dopo la decomposizione, l'ignoto non può prendere e "andare da nessuna parte". Rimane in uno dei fattori:
- 15x=3(5x);
- 60y 2 \u003d (15y 2) 4.
Numeri primi che possono essere divisi solo per se stessi o 1 non fattorizza mai - non ha senso..
Metodi di semplificazione di base
La prima cosa che salta all'occhio:
- la presenza di parentesi;
- frazioni;
- radici.
Esempi algebrici in curriculum scolastico sono spesso compilati con il presupposto che possono essere magnificamente semplificati.
Calcoli con parentesi
Prestare molta attenzione al cartello davanti alle parentesi! La moltiplicazione o la divisione viene applicata a ciascun elemento all'interno e meno - inverte i segni "+" o "-" esistenti.
Le parentesi sono calcolate secondo le regole o secondo le formule di moltiplicazione abbreviata, dopodiché se ne danno di simili.
Riduzione della frazione
Riduci le frazioniè anche facile. Loro stessi "scappano volentieri" di tanto in tanto, vale la pena fare operazioni portando tali membri. Ma puoi semplificare l'esempio anche prima di questo: prestare attenzione al numeratore e al denominatore. Spesso contengono elementi espliciti o nascosti che possono essere ridotti a vicenda. Vero, se nel primo caso devi solo eliminare il superfluo, nel secondo dovrai pensare, portando parte dell'espressione nel modulo per semplificazione. Metodi utilizzati:
- ricerca e tra parentesi del massimo comun divisore di numeratore e denominatore;
- dividendo ogni elemento superiore per il denominatore.
Quando un'espressione o parte di essa si trova sotto la radice, il problema principale della semplificazione è quasi lo stesso del caso delle frazioni. È necessario cercare modi per eliminarlo completamente o, se ciò non è possibile, ridurre al minimo il segno che interferisce con i calcoli. Ad esempio, al discreto √(3) o √(7).
Il modo giusto semplificare l'espressione radicale - cercare di scomporla, alcuni dei quali sono al di fuori del segno. Un esempio illustrativo: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).
Altri piccoli trucchi e sfumature:
- tale operazione di semplificazione può essere effettuata con le frazioni, sottraendolo al segno sia nel suo insieme che separatamente come numeratore o denominatore;
- è impossibile scomporre ed estrarre una parte della somma o differenza oltre la radice;
- quando si lavora con variabili, assicurarsi di tener conto del suo grado, deve essere uguale o multiplo della radice per la possibilità di rendering: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= √(x 2 ×x)=x√(x);
- a volte è consentito eliminare la variabile radicale elevandola a potenza frazionaria: √ (y 3)=y 3/2.
Semplificazione dell'espressione di potenza
Se nel caso di calcoli semplici con meno o più, gli esempi vengono semplificati portando quelli simili, che dire quando si moltiplicano o si dividono variabili con gradi diversi? Possono essere facilmente semplificati ricordando due punti principali:
- Se c'è un segno di moltiplicazione tra le variabili, vengono aggiunti gli esponenti.
- Quando sono divisi tra loro, lo stesso denominatore viene sottratto dal grado del numeratore.
L'unica condizione per una tale semplificazione è stessa base per entrambi i membri. Esempi per chiarezza:
- 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4)x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
- 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.
Notiamo che le operazioni con valori numerici davanti alle variabili avvengono secondo le consuete regole matematiche. E se guardi da vicino, diventa chiaro che gli elementi di potenza dell'espressione "funzionano" in modo simile:
- elevare un membro a una potenza significa moltiplicarlo per se stesso un certo numero di volte, cioè x 2 \u003d x × x;
- la divisione è simile: se espandi il grado del numeratore e del denominatore, alcune delle variabili verranno ridotte, mentre le altre vengono "raccolte", il che equivale alla sottrazione.
Come in ogni azienda, quando si semplificano le espressioni algebriche, è necessaria non solo la conoscenza delle basi, ma anche la pratica. Dopo solo poche lezioni, esempi che una volta sembravano complicati verranno ridotti senza lavoro speciale, trasformandosi in breve e facilmente risolvibile.
video
Questo video ti aiuterà a capire e ricordare come si semplificano le espressioni.
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