Nelle attività pratiche, una persona deve misurare varie quantità, prendere in considerazione materiali e prodotti del lavoro, produrre calcoli vari. I risultati di varie misurazioni, conteggi e calcoli sono numeri. I numeri ottenuti come risultato della misurazione, solo approssimativamente, con un certo grado di accuratezza, caratterizzano i valori desiderati. Non sono possibili misurazioni accurate a causa di imprecisioni strumenti di misura, le imperfezioni dei nostri organi visivi e gli stessi oggetti misurati a volte non ci consentono di determinarne la grandezza con precisione.

Quindi, ad esempio, è noto che la lunghezza del Canale di Suez è di 160 km, la distanza lungo ferrovia da Mosca a Leningrado 651 km. Qui abbiamo i risultati delle misurazioni effettuate con una precisione fino a un chilometro. Se, ad esempio, la lunghezza area rettangolare 29 m, larghezza 12 m, quindi, probabilmente, le misurazioni sono state effettuate con una precisione di un metro e si sono trascurate le frazioni di metro,

Prima di effettuare qualsiasi misurazione, è necessario decidere con quale accuratezza deve essere eseguita, ad es. quali frazioni dell'unità di misura dovrebbero essere prese in considerazione e quali dovrebbero essere trascurate.

Se c'è un valore ma, il cui valore vero è sconosciuto e il valore approssimativo (approssimativo) di questo valore è uguale a X, loro scrivono ascia.

Con misurazioni diverse della stessa quantità, otterremo approssimazioni diverse. Ognuna di queste approssimazioni differirà dal valore reale del valore misurato, uguale, ad esempio, a ma, di un certo importo, che chiameremo errore. Definizione. Se il numero x è un valore approssimativo (approssimativo) di una quantità, il cui valore vero è uguale al numero ma, quindi il modulo della differenza di numeri, ma e X chiamata errore assoluto data approssimazione e denotata un X: o semplicemente un. Quindi, per definizione,

un x = a-x (1)

Da questa definizione ne consegue che

a = x un X (2)

Se è noto di quale quantità stiamo parlando, allora nella notazione un X indice maè omesso e l'uguaglianza (2) è scritta come segue:

a = x x (3)

Poiché il vero valore del valore desiderato è il più delle volte sconosciuto, è impossibile trovare l'errore assoluto nell'approssimazione di questo valore. Puoi indicare solo in ogni caso specifico un numero positivo, maggiore di questo errore assoluto non può essere. Questo numero è chiamato il limite dell'errore assoluto dell'approssimazione della quantità un e indicato h un. Quindi, se Xè un'approssimazione arbitraria del valore a per una data procedura per ottenere approssimazioni, allora

un x = a-x h un (4)

Ne consegue da quanto sopra che se h unè il limite dell'errore assoluto dell'approssimazione della quantità ma, quindi qualsiasi numero maggiore di h un, sarà anche il limite dell'errore assoluto di approssimazione della quantità ma.

In pratica, è consuetudine scegliere come limite dell'errore assoluto il numero più piccolo che soddisfa la disuguaglianza (4).

Risolvere la disuguaglianza a-x h un lo capiamo ma contenuto entro i confini

x-h un una x + h un (5)

Un concetto più rigoroso del limite di errore assoluto può essere dato come segue.

Lascia stare X- molte possibili approssimazioni X le quantità ma per una data procedura per ottenere un'approssimazione. Poi qualsiasi numero h, soddisfacendo la condizione a-x h un per ogni xX, è chiamato il limite dell'errore assoluto delle approssimazioni dall'insieme X. Indica con h un numero più piccolo conosciuto h. Questo numero h un ed è scelto in pratica come limite dell'errore assoluto.

L'errore di approssimazione assoluto non caratterizza la qualità delle misurazioni. In effetti, se misuriamo qualsiasi lunghezza con una precisione di 1 cm, nel caso in cui noi stiamo parlando sul determinare la lunghezza di una matita, sarà una scarsa precisione. Se, con una precisione di 1 cm, determini la lunghezza o la larghezza del campo da pallavolo, questa sarà una precisione elevata.

Per caratterizzare l'accuratezza della misura, viene introdotto il concetto di errore relativo.

Definizione. Se un X: c'è un errore di approssimazione assoluto X una certa quantità, il cui valore vero è uguale al numero ma, quindi il rapporto un X al modulo di un numero Xè chiamato errore relativo di approssimazione ed è indicato un X o X.

Quindi, per definizione,

L'errore relativo è solitamente espresso in percentuale.

A differenza dell'errore assoluto, che il più delle volte è una quantità dimensionale, l'errore relativo è una quantità adimensionale.

In pratica, non viene considerato l'errore relativo, ma il cosiddetto limite di errore relativo: un tale numero e un, che non può essere maggiore dell'errore relativo dell'approssimazione del valore desiderato.

In questo modo, un x E un .

Se h un-- limite dell'errore assoluto di approssimazione della grandezza ma, poi un x h un e quindi

Ovviamente, qualsiasi numero e, soddisfacendo la condizione, sarà il limite dell'errore relativo. In pratica, di solito è nota una certa approssimazione X le quantità ma e il limite di errore assoluto. Poi il numero

1. I numeri sono esatti e approssimativi. I numeri che incontriamo in pratica sono di due tipi. Alcuni danno il vero valore della quantità, altri solo approssimativo. Il primo si chiama esatto, il secondo approssimativo. Molto spesso è conveniente utilizzare un numero approssimativo invece di uno esatto, soprattutto perché in molti casi numero esatto generalmente impossibile da trovare.

I risultati delle operazioni con i numeri danno: con numeri approssimativi numeri approssimativi. Per esempio. Durante l'epidemia, il 60% dei residenti di San Pietroburgo contrae l'influenza. Si tratta di circa 3 milioni di persone. con numeri esatti numeri esatti Es. Ci sono 65 persone tra il pubblico a una lezione di matematica. numeri approssimativi Es. Temperatura corporea media del paziente durante la giornata 37,3: mattina: 37,2; giorno: 36.8 ; sera38.

La teoria dei calcoli approssimativi permette di: 1) conoscere il grado di accuratezza dei dati, per valutare il grado di accuratezza dei risultati; 2) prelevare i dati con un grado di accuratezza adeguato, sufficiente a garantire l'accuratezza richiesta del risultato; 3) razionalizzare il processo di calcolo, liberandolo da quei calcoli che non influiranno sull'accuratezza del risultato.

1) se la prima (a sinistra) delle cifre scartate è inferiore a 5, l'ultima cifra rimanente non viene modificata (arrotondamento per difetto); 2) se la prima cifra scartata è maggiore di 5 o uguale a 5, l'ultima cifra rimanente viene aumentata di uno (arrotondando per eccesso). Arrotondamenti: a) ai decimi 12.34 12.3; b) fino a centesimi 3,2465 3,25; 1038.79. c) fino a millesimi 3.4335 3.434. d) fino a migliaia; Ciò tiene conto di quanto segue:

Le grandezze più comunemente misurate in medicina: massa m, lunghezza l, velocità di processo v, tempo t, temperatura t, volume V, ecc. Misurare una grandezza fisica significa confrontarla con una grandezza omogenea assunta come unità. 9 Unità di misura delle grandezze fisiche: Lunghezza Base - 1 m - (metro) Tempo - 1 s - (secondo) Massa - 1 kg - (chilogrammo) Produ tto Volume - 1 m³ - (metro cubo) Velocità - 1 m/s - (metro al secondo)

Prefissi ai nomi delle unità: Prefissi multipli: aumenta di 10, 100, 1000, ecc. volte g - hecto (×100) k - kilo (× 1000) M - mega (×) 1 km (chilometro) 1 kg (chilogrammo) 1 km = 1000 m = 10³ m 1 kg = 1000 g = 10³ g diminuire di 10 , 100, 1000, ecc. volte d - deci (×0,1) s - centi (× 0,01) m - milli (× 0,001) 1 dm (decimetro) 1 dm = 0,1 m 1 cm (centimetro) 1 cm = 0,01 m 1 mm (millimetro) 1 mm = 0,001 m

Per la diagnosi, il trattamento, la prevenzione delle malattie in medicina vengono utilizzate varie apparecchiature mediche di misurazione.

Termometro. Innanzitutto, è necessario prendere in considerazione i limiti superiore e inferiore di misurazione. Il limite inferiore è il minimo e il limite superiore è il valore massimo misurabile. Se il valore atteso del valore misurato è sconosciuto, è meglio prendere il dispositivo con un "margine". Ad esempio, la misurazione della temperatura acqua calda non eseguire con un termometro stradale o ambientale. È meglio trovare un dispositivo con un limite superiore di 100 ° C. In secondo luogo, è necessario capire con quanta precisione dovrebbe essere misurata la quantità. Poiché l'errore di misurazione dipende dal valore della divisione, per di più misurazioni accurate viene selezionato lo strumento con l'intervallo di scala più piccolo.

Errori di misura. Per misurare vari parametri diagnostici, è necessario il proprio dispositivo. Ad esempio, la lunghezza viene misurata con un righello e la temperatura con un termometro. Ma righelli, termometri, tonometri e altri dispositivi sono diversi, quindi per misurare qualsiasi quantità fisica, è necessario scegliere un dispositivo adatto a questa misurazione.

Il prezzo di divisione del dispositivo. La temperatura del corpo umano deve essere determinata con precisione, i farmaci devono essere somministrati in una quantità rigorosamente definita, quindi il prezzo delle divisioni della scala del dispositivo di misurazione è una caratteristica importante di ciascun dispositivo. La regola per calcolare la divisione dei prezzi del dispositivo Per calcolare il prezzo delle divisioni della bilancia è necessario: a) selezionare sulla bilancia i due tratti digitalizzati più vicini; b) contare il numero di divisioni tra di loro; c) Dividere la differenza di valori attorno ai tratti selezionati per il numero di divisioni.

Il prezzo di divisione del dispositivo. Valore divisione (50-30)/4=5 (ml) Valore divisione: (40-20)/10=2 km/h, (20-10)/10= 1gm, (39-19)/10=2 LITR , (8-4)/10=0,4 psi, (90-50)/10= 4 temp, (4-2)/10=0,2 s

Determinare il prezzo di divisione dei dispositivi: 16

Errore di misura assoluto. Gli errori sono destinati a verificarsi in qualsiasi misurazione. Questi errori sono dovuti a vari fattori. Tutti i fattori possono essere suddivisi in tre parti: errori causati dall'imperfezione degli strumenti; errori causati dall'imperfezione dei metodi di misurazione; errori dovuti all'influenza di fattori casuali che non possono essere eliminati. Quando si misura un valore, si vuole sapere non solo il suo valore, ma anche quanto ci si può fidare di questo valore, quanto è accurato. Per fare ciò è necessario sapere quanto il valore reale di una grandezza può differire da quello misurato. A tal fine viene introdotto il concetto di errore assoluto e relativo.

Errori assoluti e relativi. L'errore assoluto mostra quanto è il valore reale quantità fisica diverso da quello misurato. Dipende dal dispositivo stesso (errore strumentale) e dal processo di misurazione (errore di lettura sulla scala). L'errore strumentale deve essere indicato nel passaporto dello strumento (di norma è uguale alla divisione della scala dello strumento). L'errore di lettura è generalmente considerato pari alla metà del valore di divisione. L'errore assoluto di un valore approssimativo è la differenza Δ x \u003d | x - x 0 |, dove x 0 è un valore approssimativo e x è il valore esatto del valore misurato, o talvolta invece di x usano A ΔA \ u003d | LA - LA 0 |.

Errori assoluti e relativi. Esempio. È noto che -0,333 è un valore approssimativo per -1/3. Quindi per definizione di errore assoluto Δ x= |x – x 0 |= | -1/3+0.333 | = | -1/3+33/1000 | = | -1/300 | = 1/300. In molti casi praticamente importanti, è impossibile trovare l'errore assoluto dell'approssimazione a causa del fatto che l'esatto valore della quantità è sconosciuto. Tuttavia, è possibile specificare un numero positivo, superiore al quale questo errore assoluto non può essere. Questo è un qualsiasi numero h che soddisfa la disuguaglianza | ∆x | h Si chiama limite di errore assoluto.

In questo caso, dicono che il valore di x è approssimativamente fino a h uguale a x 0. x \u003d x 0 ± ho x 0 - h x x 0 + h

Errori strumentali assoluti degli strumenti di misura

Stima degli errori strumentali delle grandezze misurate. Per la maggior parte degli strumenti di misura, l'errore dello strumento è uguale alla sua divisione in scala. L'eccezione sono gli strumenti digitali e i comparatori. Per i dispositivi digitali, l'errore è indicato nel passaporto e di solito è diverse volte superiore alla divisione in scala del dispositivo. Per gli strumenti di misura a lancetta, l'errore è determinato dalla loro classe di precisione, indicata sulla scala dello strumento, e dal limite di misura. La classe di precisione è indicata sulla scala del dispositivo come un numero che non è racchiuso da alcun frame. Ad esempio, nella figura mostrata, la classe di precisione del manometro è 1,5. La classe di precisione mostra la percentuale di errore del dispositivo rispetto al limite delle sue misurazioni. Per un manometro a lancetta, il limite di misurazione è rispettivamente di 3 atm, l'errore di misurazione della pressione è dell'1,5% di 3 atm, ovvero 0,045 atm. Va notato che per la maggior parte dei dispositivi puntatore, il loro errore risulta essere uguale al valore di divisione del dispositivo. Come nel nostro esempio, dove il prezzo di divisione del barometro è 0,05 atm.

Errori assoluti e relativi. L'errore assoluto è necessario per determinare l'intervallo in cui il valore reale può rientrare, ma per valutare l'accuratezza del risultato nel suo insieme, non è molto indicativo. Dopotutto, misurare una lunghezza di 10 m con un errore di 1 mm è sicuramente molto preciso, allo stesso tempo misurare una lunghezza di 2 mm con un errore di 1 mm è ovviamente estremamente impreciso. L'errore di misura assoluto viene solitamente arrotondato a una cifra significativa ΔA 0,17 0,2. Il valore numerico del risultato della misurazione viene arrotondato in modo che l'ultima cifra sia nella stessa cifra della cifra di errore A=10.332 10.3

Errori assoluti e relativi. Insieme all'errore assoluto, è consuetudine considerare l'errore relativo, che è uguale al rapporto tra l'errore assoluto e il valore della quantità stessa. L'errore relativo di un numero approssimativo è il rapporto tra l'errore assoluto di un numero approssimativo e questo numero stesso: E = Δx. 100% x 0 L'errore relativo mostra quanta percentuale del valore stesso potrebbe verificarsi un errore ed è indicativo per valutare la qualità dei risultati sperimentali.

Esempio. Quando si misurano la lunghezza e il diametro del capillare, sono stati ottenuti l = (10,0 ± 0,1) cm, d = (2,5 ± 0,1) mm. Quale di queste misurazioni è più precisa? Quando si misura la lunghezza del capillare, è consentito un errore assoluto di 10 mm per 100 mm, quindi l'errore assoluto è 10/100=0,1=10%. Quando si misura il diametro del capillare, l'errore assoluto consentito è 0,1/2,5=0,04=4% Pertanto, la misurazione del diametro del capillare è più accurata.

In molti casi, non è possibile trovare alcun errore assoluto. Da qui l'errore relativo. Ma puoi trovare il limite dell'errore relativo. Qualsiasi numero δ che soddisfi la disuguaglianza | ∆x | / | x o | δ, è il limite dell'errore relativo. In particolare, se h è il limite di errore assoluto, allora il numero δ= h/| x o |, è il limite dell'errore relativo dell'approssimazione x o. Da qui. Conoscere il confine rel.p-i. δ, si può trovare il limite dell'errore assoluto h. h=δ | x o |

Esempio. È noto che 2=1.41… Trova l'accuratezza relativa dell'uguaglianza approssimativa o il limite dell'errore relativo dell'uguaglianza approssimativa 2 1.41. Qui x \u003d 2, x o \u003d 1,41, Δ x \u003d 2-1,41. Ovviamente 0 Δ x 1,42-1,41=0,01 Δ x/ x o 0,01/1,41=1/141, il limite di errore assoluto è 0,01, il limite di errore relativo è 1/141

Esempio. Quando si legge la lettura dalla scala, è importante che lo sguardo cada perpendicolare alla scala dello strumento, mentre l'errore sarà minore. Per determinare la lettura del termometro: 1. determinare il numero di divisioni, 2. moltiplicarle per il prezzo di divisione 3. tenere conto dell'errore 4. annotare il risultato finale. t = 20 °C ± 1,5 °C Ciò significa che la temperatura è compresa tra 18,5° e 21,5°. Cioè, può essere, ad esempio, 19 e 20 e 21 gradi Celsius. Per aumentare la precisione delle misurazioni, è consuetudine ripeterle almeno tre volte e calcolare il valore medio del valore misurato

N A C O R D E N I A A N E D E N G O N I N I O N I Risultati della misurazione C 1 \u003d 34.5 C 2 \u003d 33.8 C 3 \u003d 33.9 C 4 \u003d 33 .5 C 5 \u003d 54.2 a) Troviamo il valore medio di quattro quantità con cp \u003d (c 1 + c 2 + c 3 + c 4): 4 c cf \u003d (34,5 + 33,8 + 33,9 + 33 ,5):4 = 33,925 33,9 b) Trova la deviazione del valore dal valore medio Δс = | c-cp | ∆c 1 = | c 1 – c cp | = | 34.5 – 33.9 | = 0,6 ∆c 2 = | c 2 – c cp | = | 33.8 – 33.9 | = 0,1 ∆c 3 = | c 3 – c cp | = | 33.9 – 33.9 | = 0 ∆c 4 = | c 4 – c cp | = | 33.5 – 33.9 | = 0,4

C) Trova l'errore assoluto Δc \u003d (c 1 + c 2 + c 3 + c 4): 4 Δc \u003d (0,6 + 0,4): 4 \u003d 0,275 0,3 g) Trova l'errore relativo δ \u003d Δc: s RS δ = (0,3: 33,9) 100% = 0,9% e) Annotare la risposta finale c = 33,9 ± 0,3 δ = 0,9%

COMPITI A CASA Prepararsi per lezione pratica sulla base della lezione. Esegui il compito. Trova il valore medio e l'errore: a 1 = 3.685 a 2 = 3.247 a 3 = 3.410 a 4 = 3.309 a 5 = 3.392. Creare presentazioni sugli argomenti: "Arrotondamento dei valori in medicina", "Errori di misurazione", "Strumentazione di misurazione medica"

introduzione

Errore assoluto- è una stima dell'errore di misura assoluto. Calcolato diversi modi. Il metodo di calcolo è determinato dalla distribuzione della variabile casuale. Di conseguenza, l'entità dell'errore assoluto, a seconda della distribuzione della variabile casuale, può essere diversa. Se è il valore misurato ed è il valore vero, allora la disuguaglianza deve valere con una probabilità prossima a 1. Se valore casuale distribuito secondo la legge normale, quindi di solito la sua deviazione standard viene presa come errore assoluto. L'errore assoluto viene misurato nelle stesse unità del valore stesso.

Esistono diversi modi per scrivere una quantità insieme al suo errore assoluto.

· Di solito si usa la notazione con il segno ±. Ad esempio, il record dei 100 metri stabilito nel 1983 è 9,930±0,005 sec.

· Per registrare i valori misurati con una precisione molto elevata, viene utilizzata un'altra notazione: i numeri corrispondenti all'errore delle ultime cifre della mantissa vengono aggiunti tra parentesi. Ad esempio, il valore misurato della costante di Boltzmann è 1.380 6488 (13)?10?23 J/K, che può anche essere scritto molto più a lungo come 1.380 6488?10?23 ±0.000 0013?10?23 J/K.

Errore relativo- errore di misura, espresso come rapporto tra l'errore di misura assoluto e il valore reale o medio della grandezza misurata (RMG 29-99):.

L'errore relativo è una quantità adimensionale o viene misurato in percentuale.

Approssimazione

Troppo e troppo poco? Nel processo di calcolo, si ha spesso a che fare con numeri approssimativi. Lascia stare MA- il valore esatto di una certa quantità, di seguito denominata il numero esatto a. Sotto il valore approssimativo della quantità MA, o numeri approssimativi chiamato un numero ma, che sostituisce il valore esatto della quantità MA. Se ma< MA, poi maè chiamato il valore approssimativo del numero E per mancanza. Se ma> MA,- poi in eccesso. Ad esempio, 3,14 è un'approssimazione del numero R per carenza e 3,15 per eccesso. Per caratterizzare il grado di accuratezza di questa approssimazione, viene utilizzato il concetto errori o errori.

Errore D ma numero approssimativo ma si chiama differenza della forma

D a = A-ma,

dove MAè il numero esatto corrispondente.

La figura mostra che la lunghezza del segmento AB è compresa tra 6 cm e 7 cm.

Ciò significa che 6 è il valore approssimativo della lunghezza del segmento AB (in centimetri)\u003e con una carenza e 7 è con un eccesso.

Indicando la lunghezza del segmento con la lettera y, otteniamo: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина segmento AB (vedi Fig. 149) è più vicino a 6 cm che a 7 cm È approssimativamente uguale a 6 cm Dicono che il numero 6 sia stato ottenuto arrotondando la lunghezza del segmento a numeri interi.

Valore assoluto differenze tra il valore approssimativo ed esatto (vero) di una quantità viene chiamato errore assoluto valore approssimativo. Per esempio se il numero esatto 1,214 arrotondato ai decimi, otteniamo un numero approssimativo 1,2 . In questo caso, sarà l'errore assoluto del numero approssimativo 1,214 – 1,2 = 0,014 .

Ma nella maggior parte dei casi, il valore esatto della quantità in esame è sconosciuto, ma solo approssimativo. Quindi anche l'errore assoluto è sconosciuto. In questi casi indicare frontiera che non supera. Questo numero è chiamato errore assoluto di confine. Dicono che il valore esatto di un numero è uguale al suo valore approssimativo con un errore inferiore all'errore al contorno. Per esempio, numero 23,71 è il valore approssimativo del numero 23,7125 fino a 0,01 , poiché l'errore di approssimazione assoluto è uguale a 0,0025 e meno 0,01 . Qui, l'errore assoluto di confine è uguale a 0,01 .*

(* Assoluto l'errore è sia positivo che negativo. Per esempio, 1,68 ≈ 1,7 . L'errore assoluto è 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 . Confine l'errore è sempre positivo).

L'errore assoluto di confine del numero approssimativo " ma » è indicato dal simbolo Δ ma . Registrazione

x ≈ ma ( Δ ma)

va inteso come segue: il valore esatto della quantità X è nel mezzo ma +Δ ma e ma –Δ ma, che prendono rispettivamente il nome parte inferiore e limite superiore X e denotare h G X e IN G X .

Per esempio, Se X≈ 2,3 ( 0,1), poi 2,2 < X < 2,4 .

Al contrario, se 7,3 < X < 7,4, poi X≈ 7,35 ( 0,05).

Errore assoluto o limite assoluto non caratterizzare la qualità della misura. Lo stesso errore assoluto può essere considerato significativo e insignificante, a seconda del numero che esprime il valore misurato.

Per esempio, se misuriamo la distanza tra due città con una precisione di un chilometro, tale precisione è abbastanza sufficiente per questa misurazione, mentre allo stesso tempo, quando si misura la distanza tra due case sulla stessa strada, tale precisione sarà inaccettabile .

Pertanto, l'accuratezza del valore approssimativo di una grandezza dipende non solo dall'entità dell'errore assoluto, ma anche dal valore della grandezza misurata. Ecco perché la misura della precisione è l'errore relativo.

Errore relativoè il rapporto tra l'errore assoluto e il valore del numero approssimativo. Viene chiamato il rapporto tra l'errore assoluto al confine e il numero approssimativo errore relativo di confine; denotarlo così: Δ aa. Gli errori relativi e relativi al contorno sono generalmente espressi in percentuale.

Per esempio se le misurazioni mostrano che la distanza tra due punti è maggiore di 12,3 km, ma meno 12,7 km, quindi per approssimativo il suo significato è accettato media questi due numeri, cioè loro mezza somma, poi confine l'errore assoluto è semi-differenza questi numeri. In questo caso X≈ 12,5 ( 0,2). Ecco il confine assoluto l'errore è 0,2 km, e il confine

Per compiti moderniè necessario utilizzare un apparato matematico complesso e metodi sviluppati per risolverli. In questo caso, si incontrano spesso problemi per i quali la soluzione analitica, ovvero una soluzione sotto forma di un'espressione analitica che colleghi i dati iniziali con i risultati richiesti o è impossibile o è espressa in formule così ingombranti che non è pratico usarle per scopi pratici.

In questo caso vengono utilizzati metodi di soluzione numerica, che consentono di ottenere in modo molto semplice una soluzione numerica del problema. I metodi numerici sono implementati utilizzando algoritmi computazionali.

L'intera varietà di metodi numerici è divisa in due gruppi:

Esatto: presuppongono che se i calcoli vengono eseguiti in modo accurato, con l'aiuto di un numero finito di operazioni aritmetiche e logiche, è possibile ottenere i valori esatti delle quantità desiderate.

Approssimativo - che, anche supponendo che i calcoli vengano eseguiti senza arrotondamenti, consentono di ottenere una soluzione al problema solo con una determinata precisione.

1. valore e numero. Una quantità è qualcosa che può essere espresso come un numero in determinate unità.

Quando parlano del valore di una grandezza, intendono un certo numero, chiamato valore numerico della grandezza, e la sua unità di misura.

Quindi, una quantità è una caratteristica di una proprietà di un oggetto o fenomeno, che è comune a molti oggetti, ma ha valori individuali per ciascuno di essi.

I valori possono essere costanti o variabili. Se, in determinate condizioni, il valore assume un solo valore e non può cambiarlo, viene chiamato costante, se può assumere vari significati, allora è una variabile. Sì, accelerazione caduta libera corpo dentro questo posto la superficie terrestre è un valore costante, assumendo un unico valore numerico g = 9,81 ... m / s2, mentre il percorso s, percorso punto materiale durante il suo movimento, è una variabile.

2. valori approssimativi dei numeri. Il valore della quantità, della cui verità non dubitiamo, si dice esatto. Spesso, però, quando si cerca il valore di una grandezza, si ottiene solo il suo valore approssimativo. Nella pratica dei calcoli, si ha spesso a che fare con valori approssimativi di numeri. Quindi, p è un numero esatto, ma a causa della sua irrazionalità può essere utilizzato solo il suo valore approssimativo.

In molti problemi, a causa della complessità e spesso dell'impossibilità di ottenere soluzioni esatte, vengono utilizzati metodi di soluzione approssimata, tra cui: soluzione approssimata di equazioni, interpolazione di funzioni, calcolo approssimato di integrali, ecc.

Il requisito principale per i calcoli approssimativi è il rispetto dell'accuratezza specificata dei calcoli intermedi e del risultato finale. Allo stesso tempo, sono ugualmente inaccettabili sia un aumento degli errori (errori) dovuto a un ingiustificato ingrossamento dei calcoli, sia il mantenimento di cifre ridondanti che non corrispondono all'accuratezza effettiva.

Esistono due classi di errori risultanti da calcoli e numeri di arrotondamento: assoluti e relativi.

1. Errore assoluto (errore).

Introduciamo la notazione:

Sia A il valore esatto di una certa quantità, Record aa Leggeremo "a è approssimativamente uguale ad A". A volte scriveremo A = a, tenendo presente che stiamo parlando di uguaglianza approssimativa.

Se è noto che a< А, то а называют valore approssimativo di A con uno svantaggio. Se a > A, viene chiamato a valore approssimativo di A in eccesso.

Viene chiamata la differenza tra i valori esatti e approssimativi di una quantità errore di approssimazione ed è indicato con D, cioè

D \u003d A - a (1)

L'errore D dell'approssimazione può essere sia positivo che negativo.

Per caratterizzare la differenza tra il valore approssimativo di una grandezza e il valore esatto è spesso sufficiente indicare il valore assoluto della differenza tra il valore esatto e quello approssimativo.

Il valore assoluto della differenza tra l'approssimativo ma e preciso MA viene chiamato valori numerici errore assoluto (errore) di approssimazione e indicato con D ma:

D ma = ½ ma – MA½ (2)

Esempio 1 Quando si misura una linea l usato un righello, il cui valore di divisione della scala è 0,5 cm Abbiamo ottenuto un valore approssimativo per la lunghezza del segmento ma= 204 cm.

È chiaro che durante la misurazione potrebbero sbagliarsi di non più di 0,5 cm, cioè l'errore di misurazione assoluto non supera 0,5 cm.

Di solito, l'errore assoluto è sconosciuto, poiché è sconosciuto il valore esatto del numero A. Pertanto, alcuni valutazione errore assoluto:

D ma <= Dma prima. (3)

dove d prima. – errore marginale (numero, di più zero), che viene impostato tenendo conto della certezza con cui si conosce il numero a.

Viene anche chiamato l'errore assoluto limite margine di errore. Quindi, nell'esempio fornito,
D prima. = 0,5 cm.

Da (3) otteniamo: D ma = ½ ma – MA½<= Dma prima. . poi

ma-D ma prima. ≤ MA≤ ma+ D ma prima. . (4)

Significa, anno Domini ma prima. sarà un'approssimazione MA con uno svantaggio e a + D ma prima – valore approssimativo MA in eccesso. Usano anche l'abbreviazione: MA= ma±D ma prima (5)

Dalla definizione dell'errore assoluto limite risulta che i numeri D ma prima, soddisfacendo la disuguaglianza (3), ci sarà un insieme infinito. In pratica, proviamo a scegliere forse meno dai numeri D prima, soddisfacendo la disuguaglianza D ma <= Dma prima.

Esempio 2 Determiniamo l'errore assoluto limite del numero a=3.14, preso come valore approssimativo del numero π.

È risaputo che 3,14<π<3,15. Quindi ne consegue che

|ma – π |< 0,01.

Il numero D può essere preso come errore assoluto limite ma = 0,01.

Tuttavia, se ne teniamo conto 3,14<π<3,142 , quindi otteniamo una stima migliore :D ma= 0,002, quindi π ≈3,14 ±0,002.

Errore relativo (errore). Conoscere solo l'errore assoluto non è sufficiente per caratterizzare la qualità della misura.

Ad esempio, quando si pesano due corpi, si ottengono i seguenti risultati:

P 1 \u003d 240,3 ± 0,1 g.

P 2 \u003d 3,8 ± 0,1 g.

Sebbene gli errori di misurazione assoluti di entrambi i risultati siano gli stessi, la qualità della misurazione nel primo caso sarà migliore rispetto al secondo. È caratterizzato da un errore relativo.

Errore relativo (errore) approssimazione dei numeri MAè chiamato il rapporto di errore assoluto D a approssimazione al valore assoluto del numero A:

Poiché il valore esatto di una quantità è solitamente sconosciuto, viene sostituito da un valore approssimativo e quindi:

Limitare l'errore relativo o limite dell'errore di approssimazione relativo, chiamato il numero d e prima.>0, tale che:

D ma<= D e prima.

Per l'errore relativo limite si può ovviamente prendere il rapporto tra l'errore assoluto limite e il valore assoluto del valore approssimativo:

Dalla (9) si ricava facilmente la seguente importante relazione:

∆e prima. = |un| D e prima.

L'errore relativo limite è solitamente espresso in percentuale:

Esempio. La base dei logaritmi naturali per il calcolo è considerata uguale a e=2.72. Abbiamo preso come valore esatto e m = 2,7183. Trova gli errori assoluti e relativi di un numero approssimativo.

D e = ½ e – e t ½=0,0017;

.

Il valore dell'errore relativo rimane invariato con una variazione proporzionale del numero più approssimativo e del suo errore assoluto. Quindi, per il numero 634.7, calcolato con errore assoluto D = 1.3, e per il numero 6347 con errore D = 13, gli errori relativi sono gli stessi: D= 0,2.