Il grado è una frazione semplice. Elevare a potenza una frazione algebrica: regola, esempi

La lezione prenderà in considerazione una versione più generalizzata della moltiplicazione delle frazioni: questa è l'esponenziazione. Prima di tutto, parleremo del grado naturale della frazione e di esempi che dimostrano azioni simili con le frazioni. All'inizio della lezione, inoltre, ripeteremo l'elevazione a potenza naturale delle espressioni intere e vedremo come ciò sia utile per risolvere ulteriori esempi.

Argomento: Frazioni algebriche. Operazioni aritmetiche su frazioni algebriche

Lezione: Costruzione frazione algebrica ad un grado

1. Regole per elevare frazioni ed espressioni intere a potenze naturali con esempi elementari

La regola per elevare le frazioni ordinarie e algebriche a poteri naturali:

Puoi tracciare un'analogia con il grado di un'espressione intera e ricordare cosa si intende elevandola a potenza:

Esempio 1 .

Come puoi vedere dall'esempio, elevare una frazione a potenza lo è caso speciale moltiplicazione delle frazioni, che è stata studiata nella lezione precedente.

Esempio 2. a), b) - il meno va via, perché abbiamo elevato l'espressione a una potenza uniforme.

Per comodità di lavorare con le lauree, ricordiamo le regole base per elevare a potenza naturale:

- prodotto di gradi;

- divisione dei gradi;

Elevare un grado a un potere;

Il grado del lavoro.

Esempio 3. - questo ci è noto dall'argomento "Alzare al potere delle espressioni intere", ad eccezione di un caso: non esiste.

2. Gli esempi più semplici per elevare le frazioni algebriche a potenze naturali

Esempio 4. Elevare una frazione a potenza.

Decisione. Quando viene elevato a una potenza pari, il meno scompare:

Esempio 5. Elevare una frazione a potenza.

Decisione. Ora usiamo le regole per elevare un grado a una potenza immediatamente senza un programma separato:

Consideriamo ora i compiti combinati in cui dovremo elevare le frazioni a potenza, moltiplicarle e dividere.

Esempio 6: eseguire azioni.

Decisione. . Successivamente, è necessario effettuare una riduzione. Descriveremo una volta in dettaglio come lo faremo, quindi indicheremo immediatamente il risultato per analogia:. Allo stesso modo (o secondo la regola della divisione dei gradi). Abbiamo: .

Esempio 7: eseguire azioni.

Decisione. . La riduzione avviene per analogia con l'esempio discusso in precedenza.

Esempio 8: eseguire azioni.

Decisione. . A questo esempio abbiamo ancora una volta descritto più in dettaglio il processo di riduzione delle potenze in frazioni al fine di consolidare questo metodo.

3. Esempi più complessi per elevare le frazioni algebriche a potenze naturali (tenendo conto dei segni e con i termini tra parentesi)

Esempio 9: eseguire azioni .

Decisione. In questo esempio, salteremo già la moltiplicazione separata delle frazioni e useremo immediatamente la regola per la loro moltiplicazione e la scriveremo sotto un denominatore. Allo stesso tempo, seguiamo i segni: in questo caso, le frazioni vengono portate a potenze pari, quindi gli svantaggi scompaiono. Facciamo una riduzione alla fine.

Esempio 10: eseguire azioni .

Decisione. In questo esempio c'è una divisione di frazioni, ricorda che in questo caso la prima frazione viene moltiplicata per la seconda, ma invertita.

L'esponenziazione è un'operazione strettamente correlata alla moltiplicazione, questa operazione è il risultato della moltiplicazione multipla di un numero da solo. Rappresentiamo la formula: a1 * a2 * ... * an = an.

Ad esempio, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

In generale, l'esponenziazione è spesso usata in varie formule in matematica e fisica. Questa funzione ha uno scopo più scientifico rispetto alle quattro di base: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione.

Elevare un numero a potenza

Elevare un numero a potenza non è un'operazione difficile. È legato alla moltiplicazione come la relazione tra moltiplicazione e addizione. Registra an - un breve record dell'n-esimo numero di numeri "a" moltiplicati l'uno per l'altro.

Considera al massimo l'esponenziale semplici esempi passando a quelli complessi.

Ad esempio, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Quattro al quadrato (alla seconda potenza) fa sedici. Se non capisci la moltiplicazione 4 * 4, leggi il nostro articolo sulla moltiplicazione.

Diamo un'occhiata a un altro esempio: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Cinque al cubo (alla terza potenza) equivalgono a centoventicinque.

Un altro esempio: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Nove cubetti equivalgono a settecentoventinove.

Formule di esponenziale

Per elevare correttamente a potenza, è necessario ricordare e conoscere le formule seguenti. Non c'è niente oltre il naturale in questo, la cosa principale è capire l'essenza e quindi non solo saranno ricordati, ma sembreranno anche facili.

Elevare un monomio a potere

Cos'è un monomio? Questo è il prodotto di numeri e variabili in qualsiasi quantità. Ad esempio, due è un monomio. E questo articolo riguarda l'elevazione di tali monomi a un potere.

Utilizzando formule di esponenziazione, non sarà difficile calcolare l'esponenziazione di un monomio a una potenza.

Per esempio, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Se elevi un monomio a potenza, ogni componente del monomio viene elevato a potenza.

Quando si eleva una variabile che ha già un grado a una potenza, i gradi vengono moltiplicati. Ad esempio, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Elevare a un potere negativo

Un esponente negativo è il reciproco di un numero. Che cos'è un reciproco? Per ogni numero X, il reciproco è 1/X. Questo è X-1=1/X. Questa è l'essenza del grado negativo.

Considera l'esempio (3Y)^-3:

(3A)^-3 = 1/(27A^3).

Perché? Poiché c'è un meno nel grado, trasferiamo semplicemente questa espressione al denominatore, quindi la eleviamo alla terza potenza. Giusto?

Elevazione a potenza frazionaria

Iniziamo la discussione esempio specifico. 43/2. Cosa significa potenza 3/2? 3 - numeratore, significa elevare un numero (in questo caso 4) a un cubo. Il numero 2 è il denominatore, questa è l'estrazione della seconda radice del numero (in questo caso 4).

Quindi otteniamo la radice quadrata di 43 = 2^3 = 8 . Risposta: 8.

Quindi, il denominatore di un grado frazionario può essere 3 o 4, e all'infinito qualsiasi numero, e questo numero determina il grado radice quadrata estratto da dato numero. Ovviamente il denominatore non può essere zero.

Innalzare una radice a un potere

Se la radice viene elevata a una potenza pari alla potenza della radice stessa, allora la risposta è l'espressione radicale. Ad esempio, (√x)2 = x. E quindi in ogni caso di uguaglianza del grado della radice e del grado di elevazione della radice.

Se (√x)^4. Quindi (√x)^4=x^2. Per verificare la soluzione, traduciamo l'espressione in un'espressione con grado frazionario. Poiché la radice è quadrata, il denominatore è 2. E se la radice è elevata alla quarta potenza, il numeratore è 4. Otteniamo 4/2=2. Risposta: x = 2.

Comunque il modo migliore basta convertire l'espressione in un'espressione con un potere frazionario. Se la frazione non viene ridotta, tale risposta sarà, a condizione che la radice del numero dato non sia allocata.

Esponenziale di un numero complesso

Cos'è un numero complesso? Un numero complesso è un'espressione che ha la formula a + b * i; a, b sono numeri reali. i è il numero che, al quadrato, dà il numero -1.

Considera un esempio. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

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Esponenziazione in linea

Con l'aiuto del nostro calcolatore, puoi calcolare l'esponenziale di un numero a una potenza:

Grado di esponenziale 7

L'ascesa al potere inizia a superare gli scolari solo in seconda media.

Per esempio, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Esempi di soluzioni:

Presentazione dell'esponenziale

Presentazione sull'esponenziazione, pensata per gli alunni di seconda media. La presentazione potrebbe chiarire alcuni punti incomprensibili, ma probabilmente non ci saranno tali punti grazie al nostro articolo.

Risultato

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Istruzione

Se nella fonte è fornito nel formato di una frazione ordinaria, l'operazione deve essere eseguita in due passaggi. La loro sequenza non influirà in alcun modo sul risultato: inizia, ad esempio, estraendo dal numero della radice del grado indicato al denominatore della frazione. Ad esempio, per aumentare livello⅔ da esso deve essere estratto il numero 64 a questo punto: 64^⅔ = (³√64)² = 4².

Aumentare il valore ottenuto nel primo passaggio a livello uguale al numero al numeratore della frazione. Il risultato di questa operazione sarà il risultato dell'aumento del numero a una frazione livello. Per l'esempio del passaggio precedente, l'intero processo di calcolo può essere scritto come segue: 64^⅔ = (³√64)² = 4² = 16.

Procedi dalla semplicità dei calcoli quando determini la sequenza delle operazioni sopra descritte, estraendo la radice e alzando a livello. Ad esempio, se fosse richiesto nello stesso livello⅔ aumentare il numero 8, quindi iniziare prendendo la radice cubica degli otto sarebbe , poiché il risultato sarebbe una frazione. In questo caso, è meglio iniziare con 8 al quadrato, quindi prendere la terza radice di 64 ed evitare così valori intermedi frazionari: 8^⅔ = ³√(8²) = ³√64 = 4.

Se l'esponente nei dati di origine viene fornito in formato decimale, inizia convertendolo in una frazione ordinaria, quindi segui l'algoritmo sopra descritto. Ad esempio, per aumentare un numero a livello 0,75 trasforma questa cifra in una frazione ordinaria ¾, quindi estrai la quarta radice e eleva il risultato a un cubo.

Utilizzare any se il corso dei calcoli non ha importanza, ma solo il risultato è importante. Può anche essere uno script incorporato in Motore di ricerca Google- con il suo aiuto valore desiderato ancora più semplice rispetto all'utilizzo della calcolatrice standard di Windows. Ad esempio, per aumentare il numero 15 a livello⅗ vai a pagina iniziale sito e inserisci 15^(3/5) nel campo della query di ricerca. Google visualizzerà il risultato dei calcoli con una precisione fino a 8 caratteri anche senza premere il pulsante invia richiesta: 15^ (3 / 5) = 5.07755639.

Fonti:

come elevare a potenza frazionaria

Livello numeri risolto a scuola nelle lezioni di algebra. Nella vita, un'operazione del genere viene eseguita raramente. Ad esempio, quando si calcola l'area di un quadrato o il volume di un cubo, vengono utilizzati gli esponenti, perché la lunghezza, la larghezza e per un cubo e l'altezza sono valori uguali. In caso contrario, l'esponenziazione è molto spesso di natura industriale applicata.

Avrai bisogno

Carta, penna, calcolatrice ingegneristica, tabelle di laurea, prodotti software (ad esempio, un editor di fogli di calcolo Excel).

Istruzione

Quando si lavora con un numero negativo, è necessario prestare attenzione ai segni. Va ricordato che un grado pari (n) darà un segno più, uno dispari - un segno.
Per esempio
(-7)^2 = (-7)*(-7) = 49
(-7)^3 = (-7)*(-7)*(-7) = 343

Grado zero (n = 0) da qualsiasi numeri sarà sempre uguale a uno.
15^0 = 1
(-6)^0 = 1
(1/3)^0 = 1 Se n = 1, non è necessario moltiplicare il numero per se stesso.
Volere
7^1 = 7
329^1 = 329

Se n = 2, allora il grado è un quadrato, se n = 3, il grado è chiamato cubo. Calcolare il quadrato e il cubo dai numeri dei primi dieci è abbastanza facile da fare. Ma con un aumento numeri elevato a potere, e man mano che il potere stesso aumenta, i calcoli diventano laboriosi. Per tali calcoli sono state sviluppate tabelle speciali. Ci sono anche ingegneria speciale e calcolatrici online, prodotti software. Come il software più semplice per le operazioni, puoi utilizzare l'editor di fogli di calcolo Excel.

Fonti:

http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg17.html

Quando si risolvono alcuni problemi tecnici, potrebbe essere necessario calcolare radice Terzo livello. A volte questo numero è anche chiamato radice cubica. radice Terzo livello da un dato numero si chiama tale numero, il cui cubo (terzo grado) è uguale a quello dato. Cioè, se y radice Terzo livello numeri x, allora deve essere soddisfatta la seguente condizione: y?=x (x è uguale a y cubo).

Avrai bisogno

calcolatrice o computer

Istruzione

Contare radice livello usa la calcolatrice. È auspicabile che questo non sia un normale, ma un calcolatore utilizzato per i calcoli ingegneristici. Tuttavia, anche su questo non troverai un apposito pulsante per l'estrazione della radice. Terzo livello. Quindi usa una funzione per elevare un numero a potenza. Estrazione della radice Terzo livello corrisponde ad elevare alla potenza di 1/3 (un terzo).

Per elevare un numero alla potenza di 1/3, digitare il numero stesso sulla tastiera della calcolatrice. Quindi premere il tasto "esponenziazione". Tale pulsante, a seconda del tipo di calcolatrice, può assomigliare a xy (y - sotto forma di apice). Poiché la maggior parte delle calcolatrici non ha la capacità di lavorare con i numeri ordinari (non decimali), invece del numero 1/3, digita il suo valore approssimativo: 0,33. Per ottenere una maggiore precisione dei calcoli, è necessario aumentare il numero di "triple", ad esempio comporre 0,33333333333333. Quindi, premere il pulsante "=".

Contare radice Terzo livello su , utilizzare la calcolatrice standard di Windows. La procedura è del tutto simile a quella descritta nel paragrafo precedente dell'istruzione. L'unica cosa sono i pulsanti di esponenziazione. Su una calcolatrice "computer", sembra x ^ y.

Se un radice Terzo livello Se devi farlo sistematicamente, usa MS Excel. Contare radice Terzo livello in Excel, inserisci il segno "=" in qualsiasi cella, quindi seleziona "fx" - inserisci una funzione. Nella finestra che compare, nell'elenco "Seleziona una funzione", selezionare la riga "GRADO". Fare clic sul pulsante OK. Nella finestra appena apparsa, inserisci nella riga "Numero" il valore del numero da cui vuoi estrarre radice. Nella riga "Grado" inserire il numero "1/3" e fare clic su "OK". Nella tabella apparirà il valore desiderato della radice cubica rispetto al numero originale.

Nei calcoli tecnici e nella risoluzione di molti problemi, a volte è richiesto radice, cioè trova un numero il cui cubo è uguale a quello originale. Una calcolatrice ingegneristica è sufficiente per calcolare il valore della radice cubica. Tuttavia, anche su una tale calcolatrice non esiste una chiave speciale per calcolare la radice cubica. Ma usando alcuni semplici trucchi, puoi fare a meno di un tale pulsante.

Avrai bisogno

calcolatrice ingegneristica o computer

Istruzione

Per trovare la radice cubica usando una calcolatrice, prendi il numero di ingegneria e digita il numero originale su di esso. Quindi, fare clic sul pulsante dell'esponenziazione. Ora inserisci il valore dell'indicatore. In questo caso, (teoricamente) dovrebbe essere uguale a 1/3. Ma poiché l'uso delle frazioni ordinarie anche su una calcolatrice ingegneristica è difficile, componi il valore arrotondato del numero 1/3, ovvero: 0,33. Quindi fare clic sul pulsante "=". Il valore desiderato apparirà sull'indicatore della calcolatrice. Per ottenere di più valore esatto, comporre non due triple, ma, ad esempio, 0.333333333333.

Per calcolare la radice cubica su un computer, eseguire il programma calcolatrice. Se l'icona corrispondente non è sul desktop, procedere come segue:
- premere il pulsante "Avvia";
- selezionare la voce di menu "Esegui";
- inserire la riga "calc" nella finestra che appare Se la calcolatrice che appare sul desktop ha un aspetto normale (simile a una "calcolatrice contabile"), passa alla modalità di calcolo. Per fare ciò, seleziona la riga "Visualizza" e seleziona la voce "Ingegneria", quindi inserisci il numero da cui vuoi estrarre la radice cubica. Quindi premere il pulsante "x^y" sulla calcolatrice. Quindi, componi , ad esempio, 0,33. Per ottenere un risultato più accurato, puoi digitare un valore maggiore dell'esponente, ad esempio 0,333333333333. Per ottenere un risultato accurato, inserisci l'esponente "1/3" tra parentesi. Cioè, premere in sequenza i tasti "(1/3)".

Calcolo in Excel. Eseguire il programma stesso, premere il pulsante "=" e selezionare la funzione "GRADO". Quindi inserisci il numero da cui vuoi estrarre la radice del grado. Quindi, nella finestra successiva che appare, digita la frazione "1/3" e fai clic sul pulsante "OK".

Video collegati

Fonti:

come calcolare radici cubiche

Quando si risolvono problemi aritmetici e algebrici, a volte è necessario costruire frazione in quadrato. Il modo più semplice per farlo è quando frazione decimale: è sufficiente una normale calcolatrice. Tuttavia, se frazione ordinario o misto, quindi quando si aumenta un tale numero a quadrato possono sorgere alcune difficoltà.

Abbiamo capito qual è il grado di un numero in generale. Ora dobbiamo capire come calcolarlo correttamente, ad es. aumentare i numeri ai poteri. In questo materiale analizzeremo le regole di base per il calcolo del grado nel caso di esponente intero, naturale, frazionario, razionale e irrazionale. Tutte le definizioni saranno illustrate con esempi.

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Il concetto di esponenziazione

Cominciamo con la formulazione delle definizioni di base.

Definizione 1

Esponenzialeè il calcolo del valore della potenza di un numero.

Cioè, le parole "calcolo del valore della laurea" e "esponenziale" significano la stessa cosa. Quindi, se il compito è "Alza il numero 0 , 5 alla quinta potenza", questo dovrebbe essere inteso come "calcola il valore della potenza (0 , 5) 5 .

Ora diamo le regole di base che devono essere seguite in tali calcoli.

Ricordiamo cos'è la potenza di un numero con esponente naturale. Per una potenza di base a ed esponente n, questo sarà il prodotto dell'ennesimo numero di fattori, ciascuno dei quali è uguale ad a. Questo può essere scritto così:

Per calcolare il valore del grado, è necessario eseguire l'operazione di moltiplicazione, ovvero moltiplicare le basi del grado per il numero di volte specificato. Il concetto stesso di laurea con indicatore naturale si basa sulla capacità di moltiplicarsi rapidamente. Diamo esempi.

Esempio 1

Condizione: Alza - 2 alla potenza di 4 .

Decisione

Usando la definizione sopra, scriviamo: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Successivamente, dobbiamo solo seguire questi passaggi e ottenere 16 .

Facciamo un esempio più complicato.

Esempio 2

Calcola il valore 3 2 7 2

Decisione

Questa voce può essere riscritta come 3 2 7 · 3 2 7 . In precedenza abbiamo visto come moltiplicare correttamente i numeri misti menzionati nella condizione.

Esegui questi passaggi e ottieni la risposta: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Se il compito indica la necessità di elevare i numeri irrazionali a una potenza naturale, dovremo prima arrotondare le loro basi a una cifra che ci consentirà di ottenere una risposta dell'accuratezza desiderata. Facciamo un esempio.

Esempio 3

Eseguire la quadratura del numero π .

Decisione

Arrotondiamo prima ai centesimi. Allora π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Se π ≈ 3 . 14159, allora otterremo un risultato più accurato: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Si noti che la necessità di calcolare le potenze dei numeri irrazionali in pratica si presenta relativamente raramente. Possiamo quindi scrivere la risposta come potenza stessa (ln 6) 3 o convertire se possibile: 5 7 = 125 5 .

Separatamente, dovrebbe essere indicato qual è la prima potenza di un numero. Qui puoi solo ricordare che qualsiasi numero elevato alla prima potenza rimarrà se stesso:

Questo è chiaro dal verbale. .

Non dipende dalla base del titolo.

Esempio 4

Quindi, (− 9) 1 = − 9 , e 7 3 elevato alla prima potenza rimane uguale a 7 3 .

Per comodità analizzeremo tre casi separatamente: se l'esponente è un intero positivo, se è zero, e se è un intero negativo.

Nel primo caso equivale a elevare a potenza naturale: dopo tutto, gli interi positivi appartengono all'insieme dei numeri naturali. Abbiamo già descritto come lavorare con tali gradi sopra.

Ora vediamo come alzare correttamente a potenza zero. Con una base diversa da zero, questo calcolo produce sempre un output di 1 . Abbiamo spiegato in precedenza che la potenza 0 di a può essere definita per qualsiasi numero reale, diverso da 0 , e a 0 = 1 .

Esempio 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - non definito.

Rimane solo il caso di un grado con esponente intero negativo. Abbiamo già discusso che tali gradi possono essere scritti come una frazione 1 az, dove a è un numero qualsiasi e z è un numero intero negativo. Vediamo che il denominatore di questa frazione non è altro che un ordinario grado con un intero positivo, e abbiamo già imparato a calcolarlo. Diamo esempi di compiti.

Esempio 6

Alza 3 alla potenza -2.

Decisione

Usando la definizione sopra, scriviamo: 2 - 3 = 1 2 3

Calcoliamo il denominatore di questa frazione e otteniamo 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Allora la risposta è: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Esempio 7

Alza 1, 43 alla potenza -2.

Decisione

Riformulare: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Calcoliamo il quadrato al denominatore: 1,43 1,43. I decimali possono essere moltiplicati in questo modo:

Di conseguenza, abbiamo (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Resta a noi scrivere questo risultato sotto forma di una frazione ordinaria, per la quale è necessario moltiplicarlo per 10 mila (vedi il materiale sulla conversione delle frazioni).

Risposta: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Un caso separato è aumentare un numero alla prima potenza meno. Il valore di tale grado è uguale al numero opposto al valore originale della base: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Esempio 8

Esempio: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Come elevare un numero a potenza frazionaria

Per eseguire tale operazione, dobbiamo ricordare la definizione di base di un grado con esponente frazionario: a m n \u003d a m n per qualsiasi a positivo, intero m e n naturale.

Definizione 2

Pertanto, il calcolo di un grado frazionario deve essere eseguito in due passaggi: elevare a potenza intera e trovare la radice dell'ennesimo grado.

Abbiamo l'uguaglianza a m n = a m n , che, date le proprietà delle radici, viene solitamente utilizzata per risolvere problemi nella forma a m n = a n m . Ciò significa che se innalziamo il numero a ad una potenza frazionaria m / n, allora prima estraiamo la radice dell'ennesimo grado da a, quindi eleviamo il risultato ad una potenza con esponente intero m.

Illustriamo con un esempio.

Esempio 9

Calcola 8 - 2 3 .

Decisione

Metodo 1. Secondo la definizione di base, possiamo rappresentarlo come: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Ora calcoliamo il grado sotto la radice ed estraiamo la terza radice dal risultato: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metodo 2. Trasformiamo l'uguaglianza di base: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Dopodiché, estraiamo la radice 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 e al quadrato il risultato: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vediamo che le soluzioni sono identiche. Puoi usare come preferisci.

Ci sono casi in cui il grado ha un indicatore espresso come numero misto o frazione decimale. Per facilità di calcolo, è meglio sostituirlo con una frazione ordinaria e contare come sopra indicato.

Esempio 10

Alza 44,89 alla potenza di 2,5.

Decisione

Convertiamo il valore dell'indicatore in una frazione ordinaria - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

E ora eseguiamo tutte le azioni sopra indicate nell'ordine: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Risposta: 13501, 25107.

Se il numeratore e il denominatore di un esponente frazionario sono grandi numeri, quindi il calcolo di tali poteri con indicatori razionali- lavoro abbastanza difficile. Di solito richiede la tecnologia informatica.

Separatamente, ci soffermiamo sul grado con base zero ed esponente frazionario. Un'espressione della forma 0 m n può avere il seguente significato: se m n > 0, allora 0 m n = 0 m n = 0 ; se m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Come elevare un numero a un potere irrazionale

La necessità di calcolare il valore del grado, nell'indicatore di cui esiste un numero irrazionale, non si presenta così spesso. In pratica, il compito è solitamente limitato al calcolo di un valore approssimativo (fino a un certo numero di cifre decimali). Questo di solito viene calcolato su un computer a causa della complessità di tali calcoli, quindi non ci soffermeremo su questo in dettaglio, indicheremo solo le disposizioni principali.

Se dobbiamo calcolare il valore del grado a con un esponente irrazionale a , prendiamo l'approssimazione decimale dell'esponente e contiamo da essa. Il risultato sarà una risposta approssimativa. Più accurata è l'approssimazione decimale presa, più accurata sarà la risposta. Mostriamo con un esempio:

Esempio 11

Calcola un valore approssimativo di 21 , 174367 ....

Decisione

Ci limitiamo all'approssimazione decimale a n = 1, 17. Facciamo i calcoli usando questo numero: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Se prendiamo, ad esempio, l'approssimazione a n = 1 , 1743 , la risposta sarà un po' più precisa: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

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Avrai bisogno

calcolatrice, computer, applicazione excel.

Istruzione

Per aumentare un decimale frazione in quadrato, prendine uno di ingegneria, fai in modo che venga costruito quadrato frazione e premere il tasto di esponenziazione. Sulla maggior parte delle calcolatrici, questo pulsante è etichettato "x²". Su una calcolatrice standard di Windows, l'aumento a quadrato sembra "x^2". Per esempio, quadrato la frazione decimale 3,14 sarà uguale a: 3,14² = 9,8596.

Per aumentare quadrato decimale frazione su una normale calcolatrice (contabile), moltiplica questo numero per se stesso. A proposito, in alcuni modelli di calcolatrici è possibile aumentare un numero a quadrato anche se non c'è un pulsante dedicato. Pertanto, prima leggi le istruzioni per una calcolatrice specifica. A volte sul retro della copertina o sulla calcolatrice vengono fornite esponenze "difficili". Ad esempio, su molte calcolatrici per aumentare un numero a quadrato basta premere i pulsanti "x" e "=".

Per erezione quadrato frazione ordinaria (composta da numeratore e denominatore), aumentare a quadrato separatamente il numeratore e il denominatore di questa frazione. Vale a dire, utilizzare la seguente regola: (h / s)² = h² / s², dove h è il numeratore della frazione, s è il denominatore della frazione Esempio: (3/4)² = 3² / 4² = 9 /16.

Se eretto quadrato frazione- misto (composto da una parte intera e una frazione ordinaria), quindi prima portarlo a aspetto ordinario. Cioè, applica la seguente formula: (c h / s)² \u003d ((c * w + h) / s) ² \u003d (c * w + h) ² / s², dove c è la parte intera del misto frazione Esempio: (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25.

Se dentro quadrato(non) le frazioni sono costanti, quindi usa MS Excel. Per fare ciò, inserisci la seguente formula in una delle tabelle: \u003d GRADI (A2; 2) dove A2 è l'indirizzo della cella in cui verrà inserito il valore da aumentare quadrato frazione.Per dire al programma che il numero di input deve essere gestito come frazione yu (cioè non convertirlo in decimale), digita prima frazione la cifra "0" e il segno "spazio". Cioè, per inserire, ad esempio, la frazione 2/3, devi inserire: "0 2/3" (e premere Invio). In questo caso, la riga di input visualizzerà la rappresentazione decimale della frazione inserita. Il valore e la rappresentazione della frazione direttamente in saranno mantenuti nella sua forma originale. Inoltre, durante l'utilizzo funzioni matematiche, i cui argomenti sono frazioni ordinarie, anche il risultato sarà rappresentato come una frazione ordinaria. Quindi quadrato la frazione 2/3 sarà rappresentata come 4/9.