Aggiunta di radici negative. Cosa sono le radici quadrate e come si sommano?

Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiale nella Parte Speciale 555.
Per chi è forte "non molto. »
E per coloro che “molto pari. "")

Nella lezione precedente, abbiamo capito cos'è una radice quadrata. È tempo di capire cosa sono formule per le radici, cosa sono proprietà della radice e cosa si può fare al riguardo.

Formule radice, proprietà radice e regole per azioni con radici sono essenzialmente la stessa cosa. Ci sono sorprendentemente poche formule per le radici quadrate. Il che, ovviamente, piace! Piuttosto, puoi scrivere un sacco di tutti i tipi di formule, ma solo tre sono sufficienti per un lavoro pratico e sicuro con le radici. Tutto il resto fluisce da questi tre. Anche se molti si allontanano nelle tre formule delle radici, sì.

Cominciamo con il più semplice. Eccola qui:

Ti ricordo (dalla lezione precedente): aeb sono numeri non negativi! Altrimenti, la formula non ha senso.

Questo è proprietà delle radici , come puoi vedere, semplice, breve e innocuo. Ma con questa formula radice, puoi fare molte cose utili! Diamo un'occhiata esempi tutte queste cose utili.

Cosa utile primo. Questa formula ce lo permette moltiplicare le radici.

Come moltiplicare le radici?

Sì, molto semplice. Direttamente alla formula. Per esempio:

Sembrerebbe che si siano moltiplicati, e allora? C'è molta gioia? Sono d'accordo, un po'. Ma come ti piace questo esempio?

Le radici non sono esattamente estratte dai fattori. E il risultato è fantastico! Già meglio, giusto? Per ogni evenienza, ti informerò che possono esserci tutti i moltiplicatori che vuoi. La formula di moltiplicazione delle radici funziona ancora. Per esempio:

Quindi, con la moltiplicazione, tutto è chiaro perché questo è necessario proprietà delle radici- è anche comprensibile.

Cosa utile la seconda. Inserimento di un numero sotto il segno della radice.

Come inserire un numero sotto la radice?

Diciamo che abbiamo questa espressione:

È possibile nascondere il diavolo all'interno della radice? Facilmente! Se fai una radice su due, la formula per moltiplicare le radici funzionerà. E come fare una radice da un due? Sì, neanche questa è una domanda! Il doppio è radice quadrata di quattro!

La radice, tra l'altro, può essere composta da qualsiasi numero non negativo! Questa sarà la radice quadrata del quadrato di questo numero. 3 è la radice di 9. 8 è la radice di 64. 11 è la radice di 121. Ebbene, e così via.

Naturalmente, non è necessario dipingere in modo così dettagliato. Tranne, per cominciare. Basta rendersi conto che qualsiasi numero non negativo moltiplicato per la radice può essere portato sotto la radice. Ma non dimenticare! - sotto la radice questo numero diventerà quadrato lui stesso. Questa azione - l'inserimento di un numero sotto la radice - può essere chiamata anche moltiplicando un numero per la radice. In termini generali si può scrivere:

Il processo è semplice, come puoi vedere. Perché è necessaria?

Come ogni trasformazione, questa procedura amplia le nostre possibilità. Opportunità per trasformare un'espressione crudele e scomoda in una morbida e soffice). Eccone uno semplice per te esempio:

Come potete vedere proprietà radice, che permette di introdurre un fattore sotto il segno della radice, è abbastanza adatto per semplificare.

Inoltre, l'aggiunta di un moltiplicatore sotto la radice rende facile e semplice confrontare i valori di diverse radici. Senza alcun calcolo e calcolatrice! La terza cosa utile.

Come confrontare le radici?

Questa abilità è molto importante nelle missioni solide, quando si sbloccano moduli e altre cose interessanti.

Confronta queste espressioni. Quale è di più? Senza calcolatrice! Ognuno con una calcolatrice. uh-uh. Insomma, tutti possono farlo!)

Non lo dici subito. E se inserisci dei numeri sotto il segno della radice?

Ricorda (all'improvviso, non lo sapevi?): se il numero sotto il segno della radice è maggiore, allora la radice stessa è maggiore! Da qui la risposta immediatamente corretta, senza calcoli e calcoli complicati:

È fantastico, vero? Ma non è tutto! Ricordiamo che tutte le formule funzionano sia da sinistra a destra che da destra a sinistra. Finora abbiamo usato la formula per moltiplicare le radici da sinistra a destra. Eseguiamo questa proprietà root all'indietro, da destra a sinistra. Come questo:

E qual è la differenza? Ti dà qualcosa!? Certamente! Ora vedrai di persona.

Supponiamo di dover estrarre (senza calcolatrice!) La radice quadrata del numero 6561. Alcune persone in questa fase cadranno in una lotta impari con il compito. Ma noi siamo testardi, non molliamo! Cosa utile quarta.

Come estrarre le radici da grandi numeri?

Ricordiamo la formula per estrarre le radici da un prodotto. Quello che ho postato sopra. Ma dov'è il nostro lavoro? Abbiamo un numero enorme 6561 e basta. Sì, non c'è l'art. Ma se ne abbiamo bisogno, noi facciamo! Analizziamo questo numero. Abbiamo il diritto.

Per prima cosa, scopriamo per cosa è esattamente divisibile questo numero? Cosa, non lo sai!? Hai dimenticato i segni della divisibilità!? Invano. Vai a Sezione Speciale 555, il tema è “Frazioni”, eccole. Questo numero è divisibile per 3 e 9. Perché la somma delle cifre (6+5+6+1=18) è divisibile per questi numeri. Questo è uno dei segni di divisibilità. Non abbiamo bisogno di dividere per tre (ora capirai perché), ma divideremo per 9. Almeno in un angolo. Otteniamo 729. Quindi abbiamo trovato due fattori! Il primo è un nove (l'abbiamo scelto noi stessi) e il secondo è 729 (è risultato così). Puoi già scrivere:

Hai l'idea? Facciamo lo stesso con il numero 729. È anche divisibile per 3 e 9. Anche in questo caso, non dividiamo per 3, dividiamo per 9. Otteniamo 81. E conosciamo questo numero! Scriviamo:

Tutto si è rivelato facile ed elegante! La radice doveva essere rimossa pezzo per pezzo, beh, ok. Questo può essere fatto con qualsiasi grandi numeri. Moltiplicali e vai!

A proposito, perché non dovevi dividere per 3, hai indovinato? Sì, perché la radice di tre non è esattamente estratta! Ha senso scomporre in tali fattori che almeno una radice possa essere estratta bene. Sono 4, 9, 16 bene, e così via. Dividi il tuo numero enorme per questi numeri a turno, vedi, e sei fortunato!

Ma non necessariamente. Forse non fortunato. Diciamo che il numero 432, quando calcolato e utilizzando la formula radice per il prodotto, darà il seguente risultato:

Allora ok. Abbiamo comunque semplificato l'espressione. In matematica, è consuetudine lasciare di più piccolo numero del possibile. Nel processo di risoluzione, tutto dipende dall'esempio (forse tutto si riduce senza semplificazione), ma nella risposta è necessario dare un risultato che non può essere ulteriormente semplificato.

A proposito, sai cosa abbiamo fatto ora con la radice di 432?

Noi tolto fattori da sotto il segno della radice ! Così si chiama questa operazione. E poi il compito cadrà - " togli il fattore da sotto il segno della radice"Ma gli uomini non lo sanno nemmeno.) Ecco un altro uso per te proprietà della radice. Cosa utile quinta.

Come togliere il moltiplicatore da sotto la radice?

Facilmente. Fattorizzare l'espressione radice ed estrarre le radici estratte. Noi guardiamo:

Niente di soprannaturale. È importante scegliere i moltiplicatori giusti. Qui abbiamo scomposto 72 come 36 2. E tutto è andato bene. Oppure avrebbero potuto scomporlo diversamente: 72 = 6 12. E allora!? Né da 6 né da 12 viene estratta la radice. Cosa fare?!

Va bene. Oppure cerca altre opzioni di scomposizione o continua a disporre tutto fino in fondo! Come questo:

Come puoi vedere, tutto ha funzionato. A proposito, questo non è il più veloce, ma il più modo affidabile. Scomponi il numero nei fattori più piccoli, quindi raccogli gli stessi in pile. Il metodo viene applicato con successo anche quando si moltiplicano le radici scomode. Ad esempio, devi calcolare:

Moltiplica tutto: ottieni un numero pazzesco! E poi come estrarne la radice?! Moltiplicare ancora? No, non abbiamo bisogno di lavoro extra. Decomponiamo immediatamente in fattori e raccogliamo lo stesso in pile:

È tutto. Naturalmente, non è necessario stendersi fino alla fermata. Tutto è determinato dalle tue capacità personali. Ha portato l'esempio in uno stato in cui tutto ti è chiaro quindi puoi già contare. L'importante è non sbagliare. Non un uomo per la matematica, ma la matematica per un uomo!)

Applichiamo la conoscenza alla pratica? Cominciamo con uno semplice:

Regola per l'aggiunta di radici quadrate

Proprietà delle radici quadrate

Finora abbiamo eseguito cinque operazioni aritmetiche sui numeri: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed esponenziazione e varie proprietà di queste operazioni sono state utilizzate attivamente nei calcoli, ad esempio a + b = b + a e n -b n = (ab) n, ecc.

Questo capitolo introduce una nuova operazione: prendere la radice quadrata di un numero non negativo. Per usarlo con successo, è necessario conoscere le proprietà di questa operazione, che faremo in questa sezione.

Prova. Introduciamo la seguente notazione:
Dobbiamo dimostrare che per i numeri non negativi x, y, z l'uguaglianza x = yz è vera.

Quindi x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Quindi x 2 \u003d y 2 z 2, ovvero x 2 \u003d (yz) 2.

Se un piazze due numeri non negativi sono uguali, quindi i numeri stessi sono uguali, il che significa che dall'uguaglianza x 2 \u003d (yz) 2 segue che x \u003d yz, e questo doveva essere dimostrato.

Diamo un breve resoconto della dimostrazione del teorema:

Nota 1. Il teorema resta valido nel caso in cui l'espressione radicale sia il prodotto di più di due fattori non negativi.

Nota 2. Teorema 1 può essere scritto utilizzando il “se. , allora” (come è consuetudine per i teoremi in matematica). Diamo la formulazione corrispondente: se aeb sono numeri non negativi, allora l'uguaglianza .

In questo modo formuliamo il seguente teorema.

(Una formulazione breve e più comoda da usare in pratica: la radice della frazione uguale a una frazione dalle radici o dalla radice del quoziente è uguale al quoziente delle radici.)

Questa volta daremo solo una breve registrazione della dimostrazione, e puoi provare a fare commenti appropriati simili a quelli che costituivano l'essenza della dimostrazione del Teorema 1.

Esempio 1. Calcola .
Decisione. Utilizzando la prima proprietà radici quadrate(Teorema 1), otteniamo

Osservazione 3. Naturalmente, questo esempio può essere risolto in un altro modo, soprattutto se hai una calcolatrice a portata di mano: moltiplica i numeri 36, 64, 9 e poi prendi la radice quadrata del prodotto risultante. Tuttavia, sarai d'accordo sul fatto che la soluzione proposta sopra sembri più culturale.

Osservazione 4. Nel primo metodo, abbiamo effettuato calcoli frontali. Il secondo modo è più elegante:
abbiamo applicato formula a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) e ha utilizzato la proprietà delle radici quadrate.

Osservazione 5. Alcune "teste calde" a volte offrono la seguente "soluzione" all'Esempio 3:

Questo, ovviamente, non è vero: vedi - il risultato non è lo stesso del nostro esempio 3. Il fatto è che non c'è alcuna proprietà come no e proprietà Ci sono solo proprietà riguardanti la moltiplicazione e la divisione delle radici quadrate. Stai attento e attento, non pensare a un pio desiderio.

Esempio 4. Calcola: a)
Decisione. Qualsiasi formula in algebra viene utilizzata non solo "da destra a sinistra", ma anche "da sinistra a destra". Quindi, la prima proprietà delle radici quadrate significa che, se necessario, può essere rappresentata come , e viceversa, che può essere sostituita dall'espressione Lo stesso vale per la seconda proprietà delle radici quadrate. Con questo in mente, risolviamo l'esempio proposto.

Concludendo il paragrafo, ne notiamo uno più piuttosto semplice e allo stesso tempo proprietà importante:
se a > 0 e n - numero naturale , poi

Esempio 5 Calcolare , senza utilizzare una tabella di quadrati di numeri e una calcolatrice.

Decisione. Scomponiamo il numero radice in fattori primi:

Osservazione 6. Questo esempio potrebbe essere risolto allo stesso modo dell'esempio simile del § 15. È facile intuire che la risposta sarà “80 con la coda”, poiché 80 2 2 . Troviamo la "coda", ovvero l'ultima cifra del numero desiderato. Finora sappiamo che se viene estratta la radice, la risposta può essere 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 o 89. È necessario controllare solo due numeri: 84 e 86, poiché solo loro, al quadrato, darà come risultato quattro cifre un numero che termina con 6, cioè la stessa cifra che termina con il numero 7056. Abbiamo 84 2 \u003d 7056: questo è ciò di cui abbiamo bisogno. Si intende,

Mordkovich A.G., Algebra. Grado 8: Proc. per l'istruzione generale istituzioni - 3a ed., finalizzata. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 p.: ill.

Libri, download di libri di testo di matematica, abstract per aiutare l'insegnante e gli studenti, imparare online

Se hai correzioni o suggerimenti per questa lezione, scrivici.

Se vuoi vedere altre correzioni e suggerimenti per le lezioni, guarda qui - Education Forum.

Come aggiungere radici quadrate

La radice quadrata di un numero X chiamato un numero UN, che in procinto di moltiplicarsi per se stessa ( AA) può dare un numero X.
Quelli. A * A = A 2 = X, e √X = A.

Su radici quadrate ( √x), come con altri numeri, puoi eseguire operazioni aritmetiche come sottrazione e addizione. Per sottrarre e aggiungere radici, queste devono essere collegate utilizzando i segni corrispondenti a queste azioni (ad es √x - √y ).
E poi porta loro le radici la forma più semplice- se ce ne sono di simili tra loro, è necessario fare un calco. Consiste nel fatto che vengono presi i coefficienti di termini simili con i segni dei termini corrispondenti, quindi vengono racchiusi tra parentesi e la radice comune viene visualizzata fuori dalle parentesi del moltiplicatore. Il coefficiente che abbiamo ottenuto viene semplificato secondo le regole abituali.

Passaggio 1. Estrazione delle radici quadrate

Innanzitutto, per aggiungere radici quadrate, devi prima estrarre queste radici. Questo può essere fatto se i numeri sotto il segno della radice sono quadrati perfetti. Ad esempio, prendi l'espressione data √4 + √9 . Primo numero 4 è il quadrato del numero 2 . Secondo numero 9 è il quadrato del numero 3 . Si può quindi ottenere la seguente uguaglianza: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Tutto, l'esempio è risolto. Ma non sempre succede così.

Passaggio 2. Estrarre il moltiplicatore di un numero da sotto la radice

Se non ci sono quadrati interi sotto il segno della radice, puoi provare a togliere il moltiplicatore del numero da sotto il segno della radice. Ad esempio, prendi l'espressione √24 + √54 .

Fattorizziamo i numeri:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

In lista 24 abbiamo un moltiplicatore 4 , può essere tolto da sotto il segno della radice quadrata. In lista 54 abbiamo un moltiplicatore 9 .

Otteniamo l'uguaglianza:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Considerando questo esempio, otteniamo la rimozione del fattore da sotto il segno della radice, semplificando così l'espressione data.

Passaggio 3. Ridurre il denominatore

Considera la seguente situazione: la somma di due radici quadrate è il denominatore di una frazione, ad esempio, A / (√a + √b).
Ora ci troviamo di fronte al compito di "sbarazzarsi dell'irrazionalità nel denominatore".
Usiamo il seguente metodo: moltiplichiamo il numeratore e il denominatore della frazione per l'espressione √a - √b.

Ora otteniamo la formula abbreviata di moltiplicazione al denominatore:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Allo stesso modo, se il denominatore contiene la differenza delle radici: √a - √b, il numeratore e il denominatore della frazione vengono moltiplicati per l'espressione √a + √b.

Prendiamo una frazione come esempio:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Un esempio di riduzione del denominatore complesso

Ora consideriamo abbastanza esempio complesso eliminare l'irrazionalità al denominatore.

Prendiamo una frazione come esempio: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Devi prendere il suo numeratore e denominatore e moltiplicare per l'espressione √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Passaggio 4. Calcola il valore approssimativo sulla calcolatrice

Se hai solo bisogno di un valore approssimativo, questo può essere fatto su una calcolatrice calcolando il valore delle radici quadrate. Separatamente, per ogni numero, il valore viene calcolato e registrato con la precisione richiesta, determinata dal numero di cifre decimali. Inoltre, vengono eseguite tutte le operazioni richieste, come con i numeri ordinari.

Esempio di calcolo stimato

È necessario calcolare il valore approssimativo di questa espressione √7 + √5 .

Di conseguenza, otteniamo:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Nota: in nessun caso le radici quadrate devono essere aggiunte come numeri primi, questo è del tutto inaccettabile. Cioè, se aggiungi la radice quadrata di cinque e tre, non possiamo ottenere la radice quadrata di otto.

Consiglio utile: se decidi di fattorizzare un numero, per ricavare un quadrato da sotto il segno della radice, devi fare un controllo inverso, cioè moltiplicare tutti i fattori risultanti dai calcoli, e il risultato finale di questo il calcolo matematico dovrebbe essere il numero che ci era stato originariamente dato.

Azione con radici: addizione e sottrazione

L'estrazione della radice quadrata di un numero non è l'unica operazione che può essere eseguita con questo fenomeno matematico. Proprio come i numeri normali radici quadrate somma e sottrai.

Regole per sommare e sottrarre radici quadrate

Azioni come l'aggiunta e la sottrazione di una radice quadrata sono possibili solo se l'espressione della radice è la stessa.

Puoi aggiungere o sottrarre espressioni 2 3 e 6 3, ma non 5 6 e 9 4 . Se è possibile semplificare l'espressione e portarla alla radice con lo stesso numero di radice, semplificare e quindi aggiungere o sottrarre.

Azioni di root: le basi

6 50 — 2 8 + 5 12

1. Semplifica l'espressione radice. Per fare ciò, è necessario scomporre l'espressione radice in 2 fattori, uno dei quali è un numero quadrato (il numero da cui viene estratta la radice quadrata intera, ad esempio 25 o 9).
2. Quindi è necessario estrarre la radice da numero quadrato e scrivi il valore risultante prima del segno della radice. Si noti che il secondo fattore è inserito sotto il segno della radice.
3. Dopo il processo di semplificazione, è necessario sottolineare le radici con le stesse espressioni radicali: solo loro possono essere aggiunte e sottratte.
4. Per le radici con le stesse espressioni radicali, è necessario aggiungere o sottrarre i fattori che precedono il segno della radice. L'espressione radice rimane invariata. Non aggiungere o sottrarre numeri di radice!

Se hai un esempio con grande quantità espressioni radicali identiche, quindi sottolineare tali espressioni con linee singole, doppie e triple per facilitare il processo di calcolo.

Proviamo questo esempio:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Per prima cosa devi scomporre 50 in 2 fattori 25 e 2, quindi prendere la radice di 25, che è 5, ed estrarre 5 da sotto la radice. Dopodiché, devi moltiplicare 5 per 6 (il moltiplicatore alla radice) e ottenere 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Per prima cosa, devi scomporre 8 in 2 fattori: 4 e 2. Quindi, da 4, estrai la radice, che è uguale a 2, ed estrai 2 da sotto la radice. Dopodiché, devi moltiplicare 2 per 2 (il fattore alla radice) e ottenere 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Per prima cosa, devi scomporre 12 in 2 fattori: 4 e 3. Quindi estrai la radice da 4, che è 2, ed estraila da sotto la radice. Dopodiché, devi moltiplicare 2 per 5 (il fattore alla radice) e ottenere 10 3 .

Risultato della semplificazione: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Di conseguenza, abbiamo visto in quante espressioni radicali identiche sono contenute questo esempio. Ora facciamo pratica con altri esempi.

• Semplificare (45) . Fattorizziamo 45: (45) = (9 × 5) ;
• Estraiamo 3 da sotto la radice (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• Aggiungiamo i fattori alle radici: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
• Semplificare 6 40 . Fattorizziamo 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
• Estraiamo 2 da sotto la radice (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• Moltiplichiamo i fattori che stanno davanti alla radice: 12 10;
• Scriviamo l'espressione in forma semplificata: 12 10 - 3 10 + 5;
• Poiché i primi due termini hanno gli stessi numeri radice, possiamo sottrarli: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Come possiamo vedere, non è possibile semplificare i numeri radicali, quindi nell'esempio cerchiamo membri con gli stessi numeri radicali, eseguiamo operazioni matematiche (addizione, sottrazione, ecc.) e scriviamo il risultato:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Consiglio:

• Prima di aggiungere o sottrarre, è imperativo semplificare (se possibile) le espressioni radicali.
• È severamente vietato aggiungere e sottrarre radici con espressioni di radice diverse.
• Non aggiungere o sottrarre un intero o una radice quadrata: 3 + (2 x) 1 / 2 .
• Quando si eseguono azioni con frazioni, è necessario trovare un numero che sia completamente divisibile per ogni denominatore, quindi portare le frazioni a un denominatore comune, quindi sommare i numeratori e lasciare invariati i denominatori.

Proprietà della radice quadrata aritmetica. Potenza della radice quadrata aritmetica

Conversione delle radici quadrate aritmetiche. Conversione di radici quadrate aritmetiche

Estrarre radice quadrata di un polinomio, è necessario calcolare il polinomio ed estrarre la radice dal numero risultante.

Attenzione!È impossibile estrarre la radice da ogni termine (ridotto e sottratto) separatamente.

Shchob per vincere radice quadrata del polinomio, il requisito è calcolare il termine rich e dal numero sottratto prendere la radice.

Rispetto!È impossibile estrarre la radice dall'integratore cutaneo (modificato e visibile) OKremo.

Per estrarre la radice quadrata del prodotto (quoziente), puoi calcolare la radice quadrata di ogni fattore (dividendo e divisore) e prendere i valori risultanti dal prodotto (quoziente).

Per vincere la radice quadrata della dobutka (parti), puoi calcolare la radice quadrata del moltiplicatore skin (diviso e dilnik) e rimuovere il valore prendendo un supplemento (frequente).

Prendere la radice quadrata di una frazione, è necessario estrarre separatamente la radice quadrata del numeratore e del denominatore e lasciare i valori risultanti come frazione o calcolare come quoziente (se possibile per condizione).

Per vincere la radice quadrata della frazione, devi prendere la radice quadrata del libro dei numeri e lo stendardo dell'okremo, e privare il valore della frazione con una frazione, oppure contarla come una parte (come è possibile per la mente).

Un fattore può essere estratto da sotto il segno della radice e un fattore può essere introdotto sotto il segno della radice. Quando un fattore viene tolto, ne viene estratta la radice e, quando viene introdotto, viene elevato alla potenza corrispondente.

Il 3° segno di radice può essere moltiplicato e il segno di radice può essere moltiplicato. Per colpa del moltiplicatore, le radici sono attorcigliate, e con l'introduzione, le radici sono costruite ai piedi più alti.

Esempi. Applicare

Per convertire la somma (differenza) delle radici quadrate, devi portare le espressioni della radice su una base del grado, se possibile, estrai le radici dai gradi e scrivile prima dei segni delle radici, e le restanti radici quadrate con si possono aggiungere le stesse espressioni di radice, per le quali i coefficienti vengono aggiunti prima della radice del segno e aggiungono la stessa radice quadrata.

Per rifare la somma (costo) delle radici quadrate, è necessario portare le radici delle radici in una delle basi del gradino, in quanto è possibile prendere la radice dei gradini e trascriverle prima dei segni di le radici e la soluzione delle radici quadrate con le stesse parole radice, che posso mettere insieme per quello che posso aggiungere e aggiungere la stessa radice quadrata.

Portiamo tutte le espressioni radicali alla base 2.

Da un grado pari si estrae completamente la radice, da un grado dispari si lascia la radice della base di grado 1 sotto il segno della radice.

Diamo interi simili e aggiungiamo i coefficienti con le stesse radici. Scriviamo il binomio come prodotto di un numero e il binomio della somma.

Porta tutte le sottoradici dei virazi alla base 2.

Dalla fase accoppiata, le radici vengono disegnate in fila, dalla fase non accoppiata, le radici della base nella fase 1 vengono riempite sotto il segno della radice.

Si suggerisce di sommare alle stesse radici numeri e coefficienti simili. Scriviamo il binomio come supplemento del numero i del binomio sumi.

Portiamo le espressioni radicali alla base più piccola o il prodotto di potenze con basi più piccole. Estraiamo la radice da gradi pari di espressioni radicali, lasciamo i resti sotto forma di una base di grado con un indicatore di 1 o il prodotto di tali basi sotto il segno della radice. Diamo termini simili (somma i coefficienti delle stesse radici).

Portiamo la radice dei virazi alla base più piccola o all'aggiunta di gradini con le basi più piccole. Dai passaggi gemelli sotto le radici del viraz, viene presa la radice, gli eccessi alla base del gradino con l'indicatore 1 o l'aggiunta di tali basi viene riempita sotto il segno della radice. Suggeriamo termini simili (sommando i coefficienti delle stesse radici).

Sostituiamo la divisione delle frazioni con la moltiplicazione (con la sostituzione della seconda frazione con il reciproco). Moltiplica separatamente numeratori e denominatori. Sotto ogni segno della radice, evidenziamo i gradi. Cancelliamo gli stessi fattori al numeratore e al denominatore. Estraiamo radici da poteri pari.

Sostituiamo la divisione delle frazioni con una moltiplicazione (con la sostituzione di un'altra frazione con un ritorno). Moltiplica i numeri di okremo e gli stendardi delle frazioni. I passaggi sono visibili sotto il segno cutaneo della radice. Accelereremo gli stessi moltiplicatori nel libro dei numeri e nello striscione. Incolpare la radice dei passi gemelli.

Per confrontare due radici quadrate, le loro espressioni radicali devono essere ridotte a gradi con la stessa base, quindi più si mostrano i gradi dell'espressione radicale, maggiore è il valore della radice quadrata.

In questo esempio, le espressioni radicali non possono essere ridotte a una base, poiché la base è 3 nella prima e 3 e 7 nella seconda.

Il secondo modo per confrontare è inserire il coefficiente della radice nell'espressione radicale e confrontare i valori numerici delle espressioni radicali. Per una radice quadrata, maggiore è l'espressione della radice, maggiore è il valore della radice.

Per abbinare due radici quadrate, le loro sottoradici devono essere portate al livello con la stessa base, mentre maggiore è l'indicatore del grado della sottoradice del virus, maggiore è il valore della radice quadrata.

In questo caso, non è possibile portare a una base le radici della virazi, poiché nel primo la base è 3 e nell'altro - 3 e 7.

Un altro modo per equalizzare è aggiungere il coefficiente di radice alla radice virasi e equalizzare i valori numerici della radice virasi. La radice quadrata ha più sub-radice viraz, maggiore è il valore della radice.

Usando la legge distributiva della moltiplicazione e la regola per moltiplicare le radici con gli stessi esponenti (nel nostro caso le radici quadrate), abbiamo ottenuto la somma di due radici quadrate con il prodotto sotto il segno della radice. Scomponiamo 91 in fattori primi e togliamo la radice da parentesi con fattori radicali comuni (13 * 5).

Abbiamo ottenuto il prodotto di una radice e di un binomio, in cui uno dei monomi è un intero (1).

Vikoristovuyuchi rozpodilny legge di moltiplicazione e regola di moltiplicazione delle radici con gli stessi indicatori (nel nostro caso - radici quadrate), hanno preso la somma di due radici quadrate con una radice aggiuntiva sotto il segno della radice. Mettiamo 91 nei moltiplicatori semplici e prendiamo la radice per gli archi dai moltiplicatori della radice della testa (13 * 5).

Abbiamo preso l'aggiunta di una radice e di un binario, che ha uno dei mononomi nel numero intero (1).

Esempio 9:

Nelle espressioni radicali, selezioniamo per fattori i numeri da cui possiamo estrarre la radice quadrata intera. Estraiamo le radici quadrate dalle potenze e mettiamo i numeri in base ai coefficienti delle radici quadrate.

I termini di questo polinomio hanno un fattore comune √3, che può essere tolto dalle parentesi. Presentiamo termini simili.

Nelle viras sub-radice, è visto come moltiplicatore del numero, da cui si può ricavare la radice quadrata. Diamo la colpa alle radici quadrate dei gradini e mettiamo i numeri in base ai coefficienti delle radici quadrate.

I termini di questo polinomio hanno un moltiplicatore comune √3, che può essere attribuito alle armi. Suggeriamo aggiunte simili.

Il prodotto della somma e della differenza di due stesse basi(3 e √5) usando la formula abbreviata di moltiplicazione può essere scritta come la differenza dei quadrati delle basi.

La radice quadrata al quadrato è sempre uguale all'espressione radicale, quindi elimineremo il radicale (segno della radice) nell'espressione.

La somma e la differenza di Dobutok di due basi identiche (3 і √5) dalla formula della moltiplicazione veloce possono essere scritte come differenza di basi quadrate.

La radice quadrata del quadrato zavzhd è uguale alla sottoradice virasi, quindi chiameremo il radicale (segno della radice) della virasi.

Di nuovo a scuola. Aggiunta di radici

Ai nostri tempi, nei moderni computer elettronici, il calcolo della radice del numero non è rappresentato compito difficile. Ad esempio, √2704=52, qualsiasi calcolatrice lo calcolerà per te. Fortunatamente, la calcolatrice non è solo in Windows, ma anche in un telefono ordinario, anche il più semplice. Vero, se improvvisamente (con un piccolo grado di probabilità, il cui calcolo, tra l'altro, include l'aggiunta di radici) ti ritrovi senza fondi disponibili, quindi, ahimè, dovrai fare affidamento solo sul tuo cervello.

L'allenamento mentale non fallisce mai. Soprattutto per chi non lavora così spesso con i numeri, e ancor di più con le radici. L'aggiunta e la sottrazione di radici è un buon allenamento per una mente annoiata. E ti mostrerò l'aggiunta delle radici passo dopo passo. Esempi di espressioni possono essere i seguenti.

L'equazione da semplificare è:

Questa è un'espressione irrazionale. Per semplificarlo, è necessario ridurre tutte le espressioni radicali a vista generale. Lo facciamo in più fasi:

Il primo numero non può più essere semplificato. Passiamo al secondo mandato.

3√48 fattoriamo 48: 48=2×24 o 48=3×16. La radice quadrata di 24 non è un numero intero, cioè ha un resto frazionario. Dal momento che abbiamo bisogno valore esatto, allora le radici approssimative non ci vanno bene. La radice quadrata di 16 è 4, estrailo da sotto il segno della radice. Otteniamo: 3×4×√3=12×√3

La nostra prossima espressione è negativa, cioè scritto con un segno meno -4×√(27.) Fattorizzazione 27. Otteniamo 27=3×9. Non utilizziamo fattori frazionari, perché è più difficile calcolare la radice quadrata dalle frazioni. Tiriamo fuori 9 da sotto il segno, cioè calcola la radice quadrata. Otteniamo la seguente espressione: -4×3×√3 = -12×√3

Il termine successivo √128 calcola la parte che si può estrarre da sotto la radice. 128=64×2 dove √64=8. Se ti semplifica le cose, puoi rappresentare questa espressione in questo modo: √128=√(8^2×2)

Riscriviamo l'espressione con termini semplificati:

Ora aggiungiamo i numeri con la stessa espressione radicale. Non è possibile aggiungere o sottrarre espressioni con espressioni radicali diverse. L'aggiunta di radici richiede il rispetto di questa regola.

Otteniamo la seguente risposta:

√2=1×√2 - Spero che sia consuetudine in algebra omettere tali elementi non sia una novità per te.

Le espressioni possono essere rappresentate non solo da radici quadrate, ma anche da radici cubiche o ennesima.

L'addizione e la sottrazione di radici con esponenti diversi, ma con un'espressione radice equivalente, avviene come segue:

Se abbiamo un'espressione come √a+∛b+∜b, allora possiamo semplificare questa espressione in questo modo:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Abbiamo ridotto due termini simili all'esponente comune della radice. Qui è stata utilizzata la proprietà delle radici, che dice: se il numero del grado dell'espressione radicale e il numero dell'esponente della radice vengono moltiplicati per lo stesso numero, il suo calcolo rimarrà invariato.

Nota: gli esponenti vengono aggiunti solo quando moltiplicati.

Si consideri un esempio in cui le frazioni sono presenti in un'espressione.

Risolviamolo passo dopo passo:

5√8=5*2√2 - estraiamo la parte estratta da sotto la radice.

Se il corpo della radice è rappresentato da una frazione, spesso questa frazione non cambierà se viene presa la radice quadrata del dividendo e del divisore. Di conseguenza, abbiamo ottenuto l'uguaglianza sopra descritta.

Ecco la risposta.

La cosa principale da ricordare è che una radice con esponente pari non viene estratta da numeri negativi. Se un'espressione radicale di grado pari è negativa, l'espressione è irrisolvibile.

L'aggiunta delle radici è possibile solo se le espressioni radicali coincidono, poiché sono termini simili. Lo stesso vale per la differenza.

L'addizione di radici con esponenti numerici diversi viene effettuata riducendo entrambi i termini a un grado di radice comune. Questa legge funziona allo stesso modo della riduzione a un denominatore comune quando si sommano o sottraggono frazioni.

Se l'espressione radicale contiene un numero elevato a potenza, allora questa espressione può essere semplificata a condizione che ci sia un denominatore comune tra la radice e l'esponente.

La radice quadrata di un prodotto e una frazione

La radice quadrata di a è un numero il cui quadrato è a. Ad esempio, i numeri -5 e 5 sono le radici quadrate del numero 25. Cioè, le radici dell'equazione x^2=25 sono le radici quadrate del numero 25. Ora devi imparare a lavorare con il Operazione radice quadrata: studiarne le proprietà di base.

La radice quadrata del prodotto

√(a*b)=√a*√b

La radice quadrata del prodotto di due numeri non negativi è uguale al prodotto delle radici quadrate di questi numeri. Ad esempio, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

È importante capire che questa proprietà si applica anche al caso in cui l'espressione radicale è il prodotto di tre, quattro, ecc. moltiplicatori non negativi.

A volte c'è un'altra formulazione di questa proprietà. Se aeb sono numeri non negativi, vale la seguente uguaglianza: √(a*b) =√a*√b. Non c'è assolutamente alcuna differenza tra loro, puoi usare l'una o l'altra dicitura (quale è più comodo da ricordare).

La radice quadrata di una frazione

Se a>=0 e b>0, allora vale la seguente uguaglianza:

√(a/b)=√a/√b.

Ad esempio, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Questa proprietà ha anche una diversa formulazione, a mio avviso, più comoda da ricordare.
La radice quadrata del quoziente è uguale al quoziente delle radici.

Vale la pena notare che queste formule funzionano sia da sinistra a destra che da destra a sinistra. Cioè, se necessario, possiamo rappresentare il prodotto delle radici come la radice del prodotto. Lo stesso vale per la seconda proprietà.

Come puoi vedere, queste proprietà sono molto convenienti e vorrei avere le stesse proprietà per addizione e sottrazione:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Ma sfortunatamente tali proprietà sono quadrate non avere radici, e così non può essere fatto nei calcoli..

• 13. Percorrere gli incroci 2018 con commenti online 13.1. Quando si svolta a destra o a sinistra, il conducente deve lasciare il passo ai pedoni e ai ciclisti che attraversano carreggiata la strada in cui si trasforma. Questa istruzione si applica a tutti […]
• Incontro con i genitori "Diritti, doveri e responsabilità dei genitori" Presentazione della lezione Scarica la presentazione (536.6 kB) Attenzione! L'anteprima della diapositiva è solo a scopo informativo e potrebbe non rappresentare tutti […]
• Capitale regionale della maternità nella regione di Orel La capitale regionale della maternità (MC) a Orel e nella regione di Oryol è stata fondata nel 2011. Ora è una misura aggiuntiva supporto sociale famiglie numerose sotto forma di una tantum in contanti [...]
• L'importo dell'indennità forfettaria al momento dell'iscrizione prime date nel 2018 La pagina richiesta non è stata trovata. Potresti aver inserito l'indirizzo sbagliato o la pagina è stata eliminata. Utilizzo […]
• Avvocato per cause economiche sfera economicaè un concetto piuttosto ampio. Queste attività includono frode, affari illegali, legalizzazione I soldi ottenuto illegalmente, banca illegale […]
• Servizio Stampa della Banca Centrale Federazione Russa(Banca di Russia) Servizio stampa 107016, Mosca, st. Neglinnaya, 12www.cbr.ru Sulla nomina di un'amministrazione provvisoria, il Dipartimento per le relazioni esterne e pubbliche della Banca di Russia informa che, ai sensi del paragrafo 2 […]
• caratteristiche generali e breve recensione corsi d'acqua Classificazione dei bacini idrici La classificazione dei bacini idrici per la navigazione di (piccole) navi da diporto, supervisionata dal GIMS della Russia, viene effettuata in base a […]
• Kucherena = l'avvocato di Viktor Tsoi E questa è un'esclusiva: la lettera di oggi di Anatoly Kucherena. In continuazione dell'argomento. Nessuno ha ancora pubblicato questa lettera. E dovrebbe, credo. Parte 1 per ora. Presto pubblicherò la seconda parte, firmata dal famoso avvocato. Perché è importante? […]

Ciao gattini! L'ultima volta abbiamo analizzato nel dettaglio quali sono le radici (se non vi ricordate vi consiglio di leggere). La conclusione principale di quella lezione: c'è solo una definizione universale di radici, che devi conoscere. Il resto è una sciocchezza e una perdita di tempo.

Oggi andiamo oltre. Impareremo a moltiplicare le radici, studieremo alcuni problemi legati alla moltiplicazione (se questi problemi non vengono risolti, possono diventare fatali all'esame) e ci eserciteremo correttamente. Quindi fai scorta di popcorn, mettiti comodo - e inizieremo. :)

Non hai ancora fumato, vero?

La lezione si è rivelata piuttosto ampia, quindi l'ho divisa in due parti:

1. Per prima cosa, esamineremo le regole per la moltiplicazione. Il tappo sembra alludere: questo è quando ci sono due radici, c'è un segno di "moltiplicazione" tra di loro - e vogliamo farci qualcosa.
2. Quindi analizzeremo la situazione inversa: c'è una grande radice, ed eravamo impazienti di presentarla come un prodotto di due radici in un modo più semplice. Con quale spavento è necessario è una domanda a parte. Analizzeremo solo l'algoritmo.

Per coloro che non vedono l'ora di entrare subito nella Parte 2, siete i benvenuti. Cominciamo con il resto in ordine.

Regola di base della moltiplicazione

Iniziamo con le radici quadrate più semplici: classiche. Quelli indicati con $\sqrt(a)$ e $\sqrt(b)$. Per loro, tutto è generalmente chiaro:

regola di moltiplicazione. Per moltiplicare una radice quadrata per un'altra, devi solo moltiplicare le loro espressioni radicali e scrivere il risultato sotto il radicale comune:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Non vengono imposte ulteriori restrizioni sui numeri a destra o a sinistra: se esistono le radici del moltiplicatore, allora esiste anche il prodotto.

Esempi. Considera quattro esempi con numeri contemporaneamente:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \fine(allineamento)\]

Come puoi vedere, il significato principale di questa regola è semplificare le espressioni irrazionali. E se nel primo esempio avremmo estratto le radici da 25 e 4 senza nuove regole, allora inizia il tin: $\sqrt(32)$ e $\sqrt(2)$ non contano da soli, ma il loro prodotto risulta essere un quadrato esatto, quindi la sua radice è uguale a un numero razionale.

Separatamente, vorrei annotare l'ultima riga. Lì, entrambe le espressioni radicali sono frazioni. Grazie al prodotto molti fattori si annullano e l'intera espressione si trasforma in un numero adeguato.

Certo, non tutto sarà sempre così bello. A volte ci saranno schifezze complete sotto le radici: non è chiaro cosa farne e come trasformarsi dopo la moltiplicazione. Poco dopo, quando inizierai a studiare equazioni irrazionali e disuguaglianze, ci saranno generalmente tutti i tipi di variabili e funzioni. E molto spesso, i compilatori dei problemi contano solo sul fatto che troverai alcuni termini o fattori contrattuali, dopodiché il compito sarà notevolmente semplificato.

Inoltre, non è necessario moltiplicare esattamente due radici. Puoi moltiplicare tre in una volta, quattro - sì anche dieci! Questo non cambierà la regola. Guarda:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \fine(allineamento)\]

E ancora una piccola osservazione sul secondo esempio. Come puoi vedere, nel terzo moltiplicatore c'è una frazione decimale sotto la radice: nel processo di calcolo, la sostituiamo con una normale, dopodiché tutto viene facilmente ridotto. Quindi: consiglio vivamente di eliminare le frazioni decimali in qualsiasi espressione irrazionale (cioè contenente almeno un'icona radicale). Questo ti farà risparmiare un sacco di tempo e nervi in ​​futuro.

Ma era una digressione lirica. Consideriamo ora un caso più generale: quando l'esponente radice contiene un numero arbitrario $n$ e non solo i due "classici".

Il caso di un indicatore arbitrario

Quindi, abbiamo capito le radici quadrate. E cosa fare con i cubetti? O in generale con radici di grado arbitrario $n$? Sì, è tutto uguale. La regola rimane la stessa:

Per moltiplicare due radici di grado $n$ basta moltiplicare le loro espressioni radicali, dopo di che il risultato si scrive sotto un radicale.

In generale, niente di complicato. A meno che il volume dei calcoli non possa essere maggiore. Diamo un'occhiata a un paio di esempi:

Esempi. Calcola prodotti:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \fine(allineamento)\]

E ancora attenzione alla seconda espressione. Moltiplichiamo le radici del cubo, eliminiamo la frazione decimale e, di conseguenza, otteniamo il prodotto dei numeri 625 e 25 al denominatore.Questo è abbastanza gran numero- Personalmente, non considero immediatamente a cosa sia uguale.

Pertanto, abbiamo semplicemente selezionato il cubo esatto nel numeratore e denominatore, e quindi abbiamo utilizzato una delle proprietà chiave (o, se vuoi, la definizione) della radice del $n$esimo grado:

\[\begin(allineamento) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\sinistra| a\destra|. \\ \fine(allineamento)\]

Tali "truffe" possono farti risparmiare molto tempo per l'esame o lavoro di controllo quindi ricorda:

Non affrettarti a moltiplicare i numeri nell'espressione radicale. Innanzitutto, controlla: cosa succede se il grado esatto di qualsiasi espressione è "crittografato" lì?

Con tutta l'ovvietà di questa osservazione, devo ammettere che la maggior parte degli studenti impreparati a bruciapelo non vede i gradi esatti. Invece, moltiplicano tutto in anticipo, e poi si chiedono: perché hanno ottenuto numeri così brutali? :)

Tuttavia, tutto questo è un gioco da ragazzi rispetto a quello che studieremo ora.

Moltiplicazione di radici con diversi esponenti

Bene, ora possiamo moltiplicare le radici con gli stessi esponenti. E se i punteggi sono diversi? Dì, come moltiplichi un normale $\sqrt(2)$ per una schifezza come $\sqrt(23)$? È anche possibile farlo?

Sì, certo che puoi. Tutto avviene secondo questa formula:

Regola di moltiplicazione delle radici. Per moltiplicare $\sqrt[n](a)$ per $\sqrt[p](b)$, esegui la seguente trasformazione:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Tuttavia, questa formula funziona solo se le espressioni radicali non sono negative. Questa è un'osservazione molto importante, sulla quale torneremo poco dopo.

Per ora, diamo un'occhiata a un paio di esempi:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \fine(allineamento)\]

Come puoi vedere, niente di complicato. Ora scopriamo da dove viene il requisito di non negatività e cosa accadrà se lo violiamo. :)

È facile moltiplicare le radici.

Perché le espressioni radicali devono essere non negative?

Certo, puoi essere come insegnanti della scuola e citare abilmente il libro di testo:

Il requisito della non negatività è associato a diverse definizioni di radici di grado pari e dispari (rispettivamente, anche i loro domini di definizione sono diversi).

Bene, è diventato più chiaro? Personalmente, quando ho letto queste sciocchezze in terza media, ho capito da me qualcosa del genere: "Il requisito della non negatività è associato a *#&^@(*#@^#)~%" - in breve, io non capivo un cazzo in quel momento. :)

Quindi ora spiegherò tutto in modo normale.

Per prima cosa, scopriamo da dove viene la formula di moltiplicazione sopra. Per fare ciò, lascia che ti ricordi una proprietà importante della radice:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

In altre parole, possiamo tranquillamente elevare l'espressione radice a qualsiasi potenza naturale $k$ - in questo caso, l'indice radice dovrà essere moltiplicato per la stessa potenza. Pertanto, possiamo facilmente ridurre qualsiasi radice a un indicatore comune, dopo di che moltiplichiamo. Ecco da dove deriva la formula di moltiplicazione:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Ma c'è un problema che limita gravemente l'applicazione di tutte queste formule. Considera questo numero:

Secondo la formula appena data, possiamo aggiungere qualsiasi grado. Proviamo ad aggiungere $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Abbiamo rimosso il meno proprio perché il quadrato brucia il meno (come qualsiasi altro grado pari). E ora eseguiamo la trasformazione inversa: "riduciamo" i due nell'esponente e nel grado. Dopotutto, qualsiasi uguaglianza può essere letta sia da sinistra a destra che da destra a sinistra:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](un); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Freccia destra \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \fine(allineamento)\]

Ma poi succede qualcosa di pazzesco:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Non può essere perché $\sqrt(-5) \lt 0$ e $\sqrt(5) \gt 0$. Ciò significa che per potenze pari e numeri negativi, la nostra formula non funziona più. Dopo di che abbiamo due opzioni:

1. Combattere contro il muro per affermare che la matematica è una scienza stupida, dove “ci sono delle regole, ma questa è imprecisa”;
2. Introdurre ulteriori restrizioni in base alle quali la formula diventerà funzionante al 100%.

Nella prima opzione, dovremo catturare costantemente casi "non funzionanti": questo è difficile, lungo e generalmente fu. Pertanto, i matematici hanno preferito la seconda opzione. :)

Ma non preoccuparti! In pratica, questa restrizione non incide in alcun modo sui calcoli, perché tutti i problemi descritti riguardano solo le radici di grado dispari e da esse possono essere tolti i meno.

Pertanto, formuliamo un'altra regola che si applica in generale a tutte le azioni con radici:

Prima di moltiplicare le radici, assicurati che le espressioni radicali non siano negative.

Esempio. Nel numero $\sqrt(-5)$, puoi eliminare il segno meno da sotto il segno della radice, quindi tutto andrà bene:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Freccia destra \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Senti la differenza? Se lasci un segno meno sotto la radice, quando l'espressione radicale è al quadrato, scomparirà e inizieranno le cazzate. E se prima elimini un meno, puoi persino aumentare / rimuovere un quadrato finché non sei blu in faccia: il numero rimarrà negativo. :)

Pertanto, il modo più corretto e affidabile per moltiplicare le radici è il seguente:

1. Rimuovi tutti gli svantaggi da sotto i radicali. Gli svantaggi sono solo nelle radici della molteplicità dispari: possono essere posizionati davanti alla radice e, se necessario, ridotti (ad esempio, se ci sono due di questi svantaggi).
2. Esegui la moltiplicazione secondo le regole discusse sopra nella lezione di oggi. Se gli indici delle radici sono gli stessi, moltiplica semplicemente le espressioni della radice. E se sono diversi, usiamo la formula malvagia \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Ci piace il risultato e i buoni voti. :)

Bene? Facciamo pratica?

Esempio 1. Semplifica l'espressione:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \fine(allineamento)\]

Questa è l'opzione più semplice: gli indicatori delle radici sono gli stessi e dispari, il problema è solo nel meno del secondo moltiplicatore. Sopportiamo questo meno nafig, dopo di che tutto è facilmente considerato.

Esempio 2. Semplifica l'espressione:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( allineare)\]

Qui, molti sarebbero confusi da ciò che è risultato il risultato numero irrazionale. Sì, succede: non siamo riusciti a eliminare completamente la radice, ma almeno abbiamo semplificato notevolmente l'espressione.

Esempio 3. Semplifica l'espressione:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Questo è ciò su cui vorrei attirare la vostra attenzione. Ci sono due punti qui:

1. Sotto la radice non c'è un numero o un grado specifico, ma la variabile $a$. A prima vista, questo è un po' insolito, ma in realtà, quando si risolvono problemi matematici, molto spesso dovrai avere a che fare con variabili.
2. Alla fine siamo riusciti a “ridurre” l'esponente radicale e il grado nell'espressione radicale. Questo accade abbastanza spesso. E questo significa che è stato possibile semplificare notevolmente i calcoli se non si utilizza la formula principale.

Ad esempio, potresti fare questo:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a))^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \fine(allineamento)\]

Infatti tutte le trasformazioni sono state eseguite solo con il secondo radicale. E se non dipingi in dettaglio tutti i passaggi intermedi, alla fine la quantità di calcoli diminuirà in modo significativo.

In effetti, abbiamo già riscontrato un'attività simile sopra durante la risoluzione dell'esempio $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Ora si può scrivere molto più facilmente:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \fine(allineamento)\]

Bene, abbiamo capito la moltiplicazione delle radici. Consideriamo ora l'operazione inversa: cosa fare quando c'è un'opera sotto la radice?

In matematica, le radici possono essere quadrate, cubiche o avere qualsiasi altro esponente (potenza), che è scritto a sinistra sopra il segno della radice. L'espressione sotto il segno della radice è chiamata espressione della radice. L'addizione della radice è simile all'addizione del termine. espressione algebrica, cioè richiede la definizione di radici simili.

Passi

Parte 1 di 2: Trovare le radici

Designazione della radice. Un'espressione sotto il segno della radice () significa che è necessario estrarre una radice di un certo grado da questa espressione.

• La radice è indicata da un segno.
• L'indice (grado) della radice è scritto a sinistra sopra il segno della radice. Ad esempio, la radice cubica di 27 è scritta come: (27)
• Se l'esponente (grado) della radice è assente, allora l'esponente è considerato uguale a 2, cioè è la radice quadrata (o la radice del secondo grado).
• Il numero scritto prima del segno della radice è chiamato moltiplicatore (cioè questo numero viene moltiplicato per la radice), ad esempio 5 (2)
• Se non c'è alcun fattore davanti alla radice, allora è uguale a 1 (ricorda che qualsiasi numero moltiplicato per 1 è uguale a se stesso).
• Se stai lavorando per la prima volta con le radici, prendi le note appropriate sul moltiplicatore e sull'esponente della radice in modo da non confonderti e capirne meglio lo scopo.

Ricorda quali radici possono essere piegate e quali no. Proprio come non puoi aggiungere termini diversi a un'espressione, come 2a + 2b 4ab, non puoi aggiungere radici diverse.

Non è possibile aggiungere radici con espressioni di radice diverse, ad esempio (2) + (3) (5). Ma puoi aggiungere numeri sotto la stessa radice, ad esempio (2 + 3) = (5) (la radice quadrata di 2 è circa 1,414, la radice quadrata di 3 è circa 1,732 e la radice quadrata di 5 è circa 2,236 ).

Non è possibile aggiungere radici con le stesse espressioni di radice, ma con esponenti diversi, ad esempio (64) + (64) (questa somma non è uguale a (64), poiché la radice quadrata di 64 è 8, la radice cubica di 64 è 4, 8 + 4 = 12, che è molto più grande della quinta radice di 64, che è circa 2,297).

Parte 2 di 2: Semplificare e aggiungere radici

Identificare e raggruppare radici simili. Radici simili sono radici che hanno gli stessi esponenti e le stesse espressioni di radice. Si consideri ad esempio l'espressione:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• Innanzitutto, riscrivi l'espressione in modo che le radici con lo stesso esponente siano in serie.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• Quindi riscrivi l'espressione in modo che le radici con lo stesso esponente e la stessa espressione radice siano in serie.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Semplifica le tue radici. Per fare ciò, scomponi (ove possibile) le espressioni radicali in due fattori, uno dei quali viene estratto da sotto la radice. In questo caso, il numero reso e il fattore radice vengono moltiplicati.

Nell'esempio sopra, trasforma 50 in 2*25 e il numero 32 in 2*16. Da 25 e 16, puoi estrarre le radici quadrate (rispettivamente 5 e 4) e prendere 5 e 4 da sotto la radice, moltiplicandole rispettivamente per i fattori 2 e 1. Quindi, ottieni un'espressione semplificata: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Il numero 81 può essere scomposto in 3 * 27 e la radice cubica di 3 può essere presa dal numero 27. Questo numero 3 può essere estratto da sotto la radice. Quindi, ottieni un'espressione ancora più semplificata: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Aggiungi i fattori di radici simili. Nel nostro esempio, ci sono radici quadrate simili di 2 (possono essere aggiunte) e radici quadrate simili di 3 (possono anche essere aggiunte). In radice cubica su 3 non ci sono tali radici.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Espressione semplificata finale: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

• Non ci sono regole generalmente accettate per l'ordine in cui le radici sono scritte in un'espressione. Pertanto, puoi scrivere le radici in ordine ascendente dei loro esponenti e in ordine crescente di espressioni radicali.

Attenzione, solo OGGI!

Tutto interessante

Il numero che si trova sotto il segno della radice spesso interferisce con la soluzione dell'equazione, è scomodo lavorarci. Anche se è elevato a una potenza, frazionario, o non può essere rappresentato come un intero in una certa misura, si può provare a derivarlo da...

Una radice di un numero x è un numero che, elevato alla potenza della radice, sarà uguale a x. Il moltiplicatore è il numero che viene moltiplicato. Cioè, in un'espressione come x*ª-&radic-y, devi aggiungere x sotto la radice. Istruzione 1 Determinare il grado ...

Se l'espressione radice contiene un insieme di operazioni matematiche con variabili, a volte, come risultato della sua semplificazione, è possibile ottenere un valore relativamente semplice, parte del quale può essere estratto da sotto la radice. Questa semplificazione è utile...

Le operazioni aritmetiche con radici di vari gradi possono semplificare notevolmente i calcoli in fisica e tecnologia e renderli più accurati. Quando si moltiplica e si divide, è più conveniente non estrarre la radice da ciascun fattore o dividendo e divisore, ma prima ...

La radice quadrata del numero x è il numero a, che moltiplicato per se stesso dà il numero x: a * a = a^2 = x, x = a. Come con qualsiasi numero, puoi eseguire le operazioni aritmetiche di addizione e sottrazione su radici quadrate. Istruzioni...

Una radice in matematica può avere due significati: è un'operazione aritmetica e ciascuna delle soluzioni di un'equazione, algebrica, parametrica, differenziale o qualsiasi altra. Istruzione 1La radice dell'n-esimo grado del numero a è un numero tale che ...

Quando si eseguono vari operazioni aritmetiche con le radici, spesso è necessario saper trasformare espressioni radicali. Per semplificare i calcoli, può essere necessario togliere il fattore dal segno del radicale o metterlo sotto di esso. Questa azione può...

La radice è l'icona che rappresenta operazione matematica trovando un tale numero, la cui costruzione alla potenza indicata prima del segno della radice dovrebbe dare il numero indicato sotto questo stesso segno. Spesso, per risolvere problemi in cui ci sono ...

Si chiama il segno della radice nelle scienze matematiche simbolo per le radici. Il numero sotto il segno della radice è chiamato espressione radicale. In assenza di esponente, la radice è un quadrato, altrimenti la figura indica...

Aritmetica la radice dell'ennesima gradi da numero reale a è un tale numero non negativo x, ennesimo grado che è uguale al numero a. Quelli. (n) a = x, x^n = a. Esistere vari modi aggiunte radice aritmetica e un numero razionale...

La radice n-esima di un numero reale a è un numero b per il quale l'uguaglianza b^n = a è vera. Esistono radici dispari per numeri negativi e positivi e radici pari solo per numeri positivi....

La radice quadrata di un numero x è il numero a, che moltiplicato per se stesso dà il numero x: a * a = a^2 = x, √x = a. Come con qualsiasi numero, puoi eseguire le operazioni aritmetiche di addizione e sottrazione su radici quadrate.

Istruzione

• Innanzitutto, quando aggiungi radici quadrate, prova a estrarre quelle radici. Ciò sarà possibile se i numeri sotto il segno della radice sono quadrati perfetti. Ad esempio, sia data l'espressione √4 + √9. Il primo numero 4 è il quadrato del numero 2. Il secondo numero 9 è il quadrato del numero 3. Quindi risulta che: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
• Se non ci sono quadrati interi sotto il segno della radice, prova a estrarre il moltiplicatore del numero da sotto il segno della radice. Ad esempio, diciamo che √24 + √54 è dato. Fattorizzare i numeri: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Il numero 24 ha un fattore 4, che può essere preso dal segno della radice quadrata. Il numero 54 ha un fattore 9. Pertanto, risulta che: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . In questo esempio, come risultato dell'eliminazione del moltiplicatore dal segno della radice, è risultato semplificare l'espressione data.
• Sia la somma di due radici quadrate il denominatore di una frazione, ad esempio A / (√a + √b). E lascia che il tuo compito sia quello di "sbarazzarti dell'irrazionalità nel denominatore". Quindi puoi utilizzare il seguente metodo. Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per l'espressione √a - √b. Quindi, al denominatore, si otterrà la formula per la moltiplicazione abbreviata: (√a + √b) * (√a - √b) = a - b. Per analogia, se la differenza delle radici è data al denominatore: √a - √b, allora il numeratore e il denominatore della frazione devono essere moltiplicati per l'espressione √a + √b. Ad esempio, data una frazione 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
• Considera un esempio più complesso di sbarazzarsi dell'irrazionalità nel denominatore. Sia data la frazione 12 / (√2 + √3 + √5). È necessario moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per l'espressione √2 + √3 - √5:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• E infine, se hai solo bisogno di un valore approssimativo, puoi calcolare le radici quadrate sulla calcolatrice. Calcola i valori separatamente per ogni numero e annota con la precisione richiesta (ad esempio due cifre decimali). E quindi eseguire le operazioni aritmetiche richieste, come con i numeri ordinari. Ad esempio, supponiamo di voler conoscere il valore approssimativo dell'espressione √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

La tua privacy è importante per noi. Per questo motivo, abbiamo sviluppato un'Informativa sulla privacy che descrive come utilizziamo e memorizziamo le tue informazioni. Si prega di leggere la nostra politica sulla privacy e di farci sapere se avete domande.

Raccolta e utilizzo delle informazioni personali

Le informazioni personali si riferiscono a dati che possono essere utilizzati per identificare o contattare una persona specifica.

È possibile che ti venga chiesto di fornire le tue informazioni personali in qualsiasi momento quando ci contatti.

Di seguito sono riportati alcuni esempi dei tipi di informazioni personali che potremmo raccogliere e di come potremmo utilizzare tali informazioni.

Quali informazioni personali raccogliamo:

• Quando invii una domanda sul sito, potremmo raccogliere varie informazioni, incluso il tuo nome, numero di telefono, indirizzo E-mail eccetera.

Come utilizziamo le tue informazioni personali:

• Raccolti da noi informazione personale ci permette di contattarti e informarti offerte uniche, promozioni e altri eventi e prossimi eventi.
• Di tanto in tanto, potremmo utilizzare le tue informazioni personali per inviarti avvisi e messaggi importanti.
• Possiamo anche utilizzare le informazioni personali per scopi interni, come condurre audit, analisi dei dati e ricerche varie al fine di migliorare i servizi che forniamo e fornire consigli sui nostri servizi.
• Se partecipi a un'estrazione a premi, un concorso o un incentivo simile, potremmo utilizzare le informazioni fornite per amministrare tali programmi.

Divulgazione a terzi

Non divulghiamo le informazioni ricevute da te a terzi.

Eccezioni:

• Se necessario - in conformità con la legge, l'ordine giudiziario, in procedimenti giudiziari e/o sulla base di richieste o richieste pubbliche da parte di agenzie governative sul territorio della Federazione Russa - divulgare le tue informazioni personali. Potremmo anche divulgare informazioni su di te se stabiliamo che tale divulgazione è necessaria o appropriata per motivi di sicurezza, applicazione della legge o altri scopi di interesse pubblico.
• In caso di riorganizzazione, fusione o vendita, potremmo trasferire le informazioni personali che raccogliamo al successore di terze parti pertinente.

Protezione delle informazioni personali

Adottiamo precauzioni, comprese quelle amministrative, tecniche e fisiche, per proteggere le tue informazioni personali da perdita, furto e uso improprio, nonché da accesso, divulgazione, alterazione e distruzione non autorizzati.

Mantenere la privacy a livello aziendale

Per garantire che le tue informazioni personali siano al sicuro, comunichiamo le pratiche di privacy e sicurezza ai nostri dipendenti e applichiamo rigorosamente le pratiche sulla privacy.