Risoluzione di esempi di equazioni trigonometriche. Equazioni trigonometriche

Metodi di soluzione equazioni trigonometriche

Introduzione 2

Metodi per la risoluzione di equazioni trigonometriche 5

Algebrica 5

Risolvere equazioni utilizzando la condizione di uguaglianza delle omonime funzioni trigonometriche 7

Fattorizzazione 8

Riduzione ad un'equazione omogenea 10

Introduzione dell'angolo ausiliario 11

Converti prodotto in somma 14

Sostituzione universale 14

Conclusione 17

introduzione

Fino al decimo anno, l'ordine delle azioni di molti esercizi che portano all'obiettivo, di regola, è definito in modo inequivocabile. Ad esempio, equazioni e disequazioni lineari e quadratiche, equazioni frazionarie ed equazioni riducibili a quadratiche, ecc. Senza analizzare in dettaglio il principio di risoluzione di ciascuno degli esempi citati, notiamo la cosa generale necessaria per la loro soluzione di successo.

Nella maggior parte dei casi, è necessario determinare il tipo di attività, ricordare la sequenza di azioni che portano all'obiettivo ed eseguire queste azioni. È ovvio che il successo o il fallimento dello studente nel padroneggiare i metodi di risoluzione delle equazioni dipende principalmente da quanto sarà in grado di determinare correttamente il tipo di equazione e ricordare la sequenza di tutte le fasi della sua soluzione. Naturalmente, questo presuppone che lo studente abbia le capacità per esibirsi identiche trasformazioni e informatica.

Una situazione completamente diversa si verifica quando uno studente incontra equazioni trigonometriche. Allo stesso tempo, non è difficile stabilire il fatto che l'equazione sia trigonometrica. Le difficoltà sorgono quando si trova una linea di condotta che porterebbe a risultato positivo. E qui lo studente deve affrontare due problemi. Di aspetto le equazioni sono difficili da determinare il tipo. E senza conoscere il tipo, è quasi impossibile scegliere la formula desiderata tra le diverse dozzine disponibili.

Per aiutare gli studenti a orientarsi nel complesso labirinto delle equazioni trigonometriche, vengono prima introdotti alle equazioni, che, dopo aver introdotto una nuova variabile, vengono ridotte a quadrate. Quindi risolvi equazioni omogenee e ad esse ridotte. Tutto finisce, di regola, con equazioni, per la cui soluzione è necessario fattorizzare il lato sinistro, eguagliando poi ciascuno dei fattori a zero.

Comprendendo che l'una e mezza dozzina di equazioni analizzate a lezione non sono chiaramente sufficienti per far navigare lo studente in autonomia sul "mare" trigonometrico, l'insegnante aggiunge alcune sue raccomandazioni in più.

Per risolvere l'equazione trigonometrica, dobbiamo provare:

Porta tutte le funzioni incluse nell'equazione "agli stessi angoli";

Porta l'equazione alle "stesse funzioni";

Fattorizzare il lato sinistro dell'equazione, ecc.

Ma, nonostante la conoscenza dei principali tipi di equazioni trigonometriche e diversi principi per trovarne la soluzione, molti studenti si trovano ancora in un vicolo cieco davanti a ciascuna equazione che differisce leggermente da quelle risolte prima. Non è chiaro a cosa ci si dovrebbe sforzare, avendo questa o quella equazione, perché in un caso è necessario applicare le formule doppio angolo, in un'altra metà e nelle formule di terza aggiunta, ecc.

Definizione 1. Un'equazione trigonometrica è un'equazione in cui l'incognita è contenuta sotto il segno delle funzioni trigonometriche.

Definizione 2. Si dice che un'equazione trigonometrica ha gli stessi angoli se tutte le funzioni trigonometriche incluse in essa hanno argomenti uguali. Si dice che un'equazione trigonometrica ha le stesse funzioni se contiene solo una delle funzioni trigonometriche.

Definizione 3. Il grado di un monomio contenente funzioni trigonometriche è la somma degli esponenti delle potenze delle funzioni trigonometriche in esso contenute.

Definizione 4. Un'equazione si dice omogenea se tutti i monomi in essa contenuti hanno lo stesso grado. Questo grado è chiamato ordine dell'equazione.

Definizione 5. Equazione trigonometrica contenente solo funzioni peccato e cos, si dice omogeneo se tutti i monomi rispetto alle funzioni trigonometriche hanno lo stesso grado, e le funzioni trigonometriche stesse hanno angoli uguali e il numero di monomi è 1 maggiore dell'ordine dell'equazione.

Metodi per la risoluzione di equazioni trigonometriche.

La soluzione delle equazioni trigonometriche consiste in due fasi: la trasformazione dell'equazione per ottenere la sua forma più semplice e la soluzione della risultante equazione trigonometrica più semplice. Esistono sette metodi di base per risolvere le equazioni trigonometriche.

io. metodo algebrico. Questo metodo è ben noto dall'algebra. (Metodo di sostituzione delle variabili e sostituzione).

Risolvi equazioni.

Introduciamo la notazione X=2 peccato3 t, noi abbiamo

Risolvendo questa equazione, otteniamo:
o

quelli. può essere scritto

Durante la scrittura la soluzione ottenuta per la presenza di segni livello
non ha senso scrivere.

Risposta:

Denota

Noi abbiamo equazione quadrata
. Le sue radici sono numeri
e
. Pertanto, questa equazione si riduce alle più semplici equazioni trigonometriche
e
. Risolvendoli, lo troviamo
o
.

Risposta:
;
.

Denota

non soddisfa la condizione

Si intende

Risposta:

Trasformiamo il lato sinistro dell'equazione:

Pertanto, questa equazione iniziale può essere scritta come:

, cioè.

Denotando
, noi abbiamo
Risolvendo questa equazione quadratica, abbiamo:

non soddisfa la condizione

Scriviamo la soluzione dell'equazione originale:

Risposta:

Sostituzione
riduce questa equazione a un'equazione quadratica
. Le sue radici sono numeri
e
. Come
, poi data equazione non ha radici.

Risposta: niente radici.

II. Soluzione di equazioni utilizzando la condizione di uguaglianza delle omonime funzioni trigonometriche.

un)
, Se

b)
, Se

in)
, Se

Usando queste condizioni, considera la soluzione delle seguenti equazioni:

Utilizzando quanto detto al punto a), troviamo che l'equazione ha soluzione se e solo se
.

Risolvendo questa equazione, troviamo
.

Abbiamo due gruppi di soluzioni:

.

7) Risolvi l'equazione:
.

Usando la condizione della parte b) lo deduciamo
.

Risolvendo queste equazioni quadratiche, otteniamo:

8) Risolvi l'equazione
.

Da questa equazione deduciamo che . Risolvendo questa equazione quadratica, lo troviamo

.

III. Fattorizzazione.

Consideriamo questo metodo con esempi.

9) Risolvi l'equazione
.

Decisione. Spostiamo tutti i termini dell'equazione a sinistra: .

Trasformiamo e fattorizziamo l'espressione sul lato sinistro dell'equazione:
.

1)
2)

Perché
e
non prendere il valore null

allo stesso tempo, separiamo entrambe le parti

equazioni per
,

Risposta:

10) Risolvi l'equazione:

Decisione.

Risposta:

11) Risolvi l'equazione

Decisione:

1)
2)
3)

Risposta:

IV. Riduzione ad un'equazione omogenea.

Per risolvere un'equazione omogenea, hai bisogno di:

Sposta tutti i suoi membri sul lato sinistro;

Metti tutti i fattori comuni fuori parentesi;

Uguaglia tutti i fattori e le parentesi a zero;

Le parentesi uguali a zero danno un'equazione omogenea di grado minore, che dovrebbe essere divisa per
(o
) nel corso di laurea;

Risolvi ricevuto equazione algebrica relativamente
.

Considera esempi:

12) Risolvi l'equazione:

Decisione.

Dividi entrambi i membri dell'equazione per
,

Introduzione alla notazione
, nome

le radici di questa equazione sono:

da qui 1)
2)

Risposta:

13) Risolvi l'equazione:

Decisione. Usando le formule del doppio angolo e l'identità trigonometrica di base, riduciamo questa equazione a un mezzo argomento:

Dopo aver ridotto i termini simili, abbiamo:

Dividendo l'ultima equazione omogenea per
, noi abbiamo

designerò
, otteniamo l'equazione quadratica
, le cui radici sono numeri

così

Espressione
svanisce a
, cioè. A
,
.

La nostra soluzione all'equazione non include questi numeri.

Risposta:
, .

V. Introduzione di un angolo ausiliario.

Considera un'equazione della forma

In cui si a, b, c- coefficienti, X- sconosciuto.

Dividi entrambi i membri di questa equazione per

Ora i coefficienti dell'equazione hanno le proprietà di seno e coseno, vale a dire: il modulo di ciascuno di essi non supera l'unità e la somma dei loro quadrati è uguale a 1.

Quindi possiamo etichettarli di conseguenza
(qui - angolo ausiliario) e la nostra equazione assume la forma: .

Quindi

E la sua decisione

Si noti che la notazione introdotta è intercambiabile.

14) Risolvi l'equazione:

Decisione. Qui
, quindi dividiamo entrambi i membri dell'equazione per

Risposta:

15) Risolvi l'equazione

Decisione. Come
, allora questa equazione è equivalente all'equazione

Come
, allora c'è un angolo tale che
,
(quelli.
).

abbiamo

Come
, quindi finalmente otteniamo:

Si noti che un'equazione della forma ha una soluzione se e solo se

16) Risolvi l'equazione:

Per risolvere questa equazione, raggruppiamo le funzioni trigonometriche con gli stessi argomenti

Dividi entrambi i membri dell'equazione per due

Trasformiamo la somma delle funzioni trigonometriche in un prodotto:

Risposta:

VI. Converti prodotto in somma.

Qui vengono utilizzate le formule corrispondenti.

17) Risolvi l'equazione:

Decisione. Convertiamo il lato sinistro in una somma:

VII.Sostituzione universale.

queste formule valgono per tutti

Sostituzione
chiamato universale.

18) Risolvi l'equazione:

Soluzione: sostituire e
alla loro espressione attraverso
e denotare
.

Otteniamo un'equazione razionale
, che viene convertito in quadrato
.

Le radici di questa equazione sono i numeri
.

Pertanto, il problema è stato ridotto alla risoluzione di due equazioni
.

Lo troviamo
.

Visualizza valore
non soddisfa l'equazione originale, che si verifica controllando - sostituzione dato valore t all'equazione originale.

Risposta:
.

Commento. L'equazione 18 potrebbe essere risolta in modo diverso.

Dividi entrambi i membri di questa equazione per 5 (cioè per
):
.

Come
, allora c'è un numero
, che cosa
e
. Quindi l'equazione diventa:
o
. Da qui lo troviamo
dove
.

19) Risolvi l'equazione
.

Decisione. Dal momento che le funzioni
e
avere valore più alto uguale a 1, allora la loro somma è uguale a 2 se
e
, allo stesso tempo, cioè
.

Risposta:
.

Quando si risolve questa equazione, è stata utilizzata la limitatezza delle funzioni e.

Conclusione.

Lavorando sull'argomento "Soluzioni di equazioni trigonometriche", è utile che ogni insegnante segua le seguenti raccomandazioni:

Sistematizzare i metodi per la risoluzione di equazioni trigonometriche.

Scegli tu stesso i passaggi per eseguire l'analisi dell'equazione e i segni dell'opportunità di utilizzare l'uno o l'altro metodo di soluzione.

Riflettere sulle modalità di autocontrollo dell'attività sull'attuazione del metodo.

Impara a creare le "tue" equazioni per ciascuno dei metodi studiati.

Domanda n. 1

Risolvi equazioni omogenee o riducibili.

1.	Rappresentante.
	Rappresentante.

	Rappresentante.
5.	Rappresentante.
	Rappresentante.
7.	Rappresentante.
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Il concetto di risoluzione di equazioni trigonometriche.

Per risolvere un'equazione trigonometrica, convertila in una o più equazioni trigonometriche di base. La risoluzione dell'equazione trigonometrica alla fine si riduce alla risoluzione delle quattro equazioni trigonometriche di base.

Soluzione di equazioni trigonometriche di base.

Esistono 4 tipi di equazioni trigonometriche di base:
peccato x = a; cos x = a
abbronzatura x = a; ctg x = a
La risoluzione delle equazioni trigonometriche di base implica l'osservazione delle diverse posizioni x sul cerchio unitario, nonché l'utilizzo di una tabella di conversione (o calcolatrice).
Esempio 1. sin x = 0,866. Usando una tabella di conversione (o calcolatrice), ottieni la risposta: x = π/3. Il cerchio unitario dà un'altra risposta: 2π/3. Ricorda: tutte le funzioni trigonometriche sono periodiche, ovvero i loro valori vengono ripetuti. Ad esempio, la periodicità di sin x e cos x è 2πn e la periodicità di tg x e ctg x è πn. Quindi la risposta è scritta così:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Esempio 2 cos x = -1/2. Usando una tabella di conversione (o calcolatrice), ottieni la risposta: x = 2π/3. Il cerchio unitario fornisce un'altra risposta: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
Esempio 3. tg (x - π/4) = 0.
Risposta: x \u003d π / 4 + πn.
Esempio 4. ctg 2x = 1.732.
Risposta: x \u003d π / 12 + πn.

Trasformazioni utilizzate nella risoluzione di equazioni trigonometriche.

Per trasformare le equazioni trigonometriche si utilizzano le trasformazioni algebriche (fattorizzazione, riduzione membri omogenei ecc.) e identità trigonometriche.
Esempio 5. Utilizzando le identità trigonometriche, l'equazione sin x + sin 2x + sin 3x = 0 viene convertita nell'equazione 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Pertanto, le seguenti equazioni trigonometriche di base deve essere risolto: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Trovare angoli di valori noti funzioni.
- Prima di imparare a risolvere le equazioni trigonometriche, devi imparare a trovare angoli da valori noti di funzioni. Questo può essere fatto utilizzando una tabella di conversione o una calcolatrice.
- Esempio: cos x = 0,732. La calcolatrice darà la risposta x = 42,95 gradi. Il cerchio unitario darà angoli aggiuntivi, il cui coseno è anche uguale a 0,732.
Metti da parte la soluzione sul cerchio unitario.
- Puoi mettere soluzioni all'equazione trigonometrica sul cerchio unitario. Le soluzioni dell'equazione trigonometrica sulla circonferenza unitaria sono i vertici di un poligono regolare.
- Esempio: le soluzioni x = π/3 + πn/2 sulla circonferenza unitaria sono i vertici del quadrato.
- Esempio: le soluzioni x = π/4 + πn/3 sulla circonferenza unitaria sono i vertici di un esagono regolare.
Metodi per la risoluzione di equazioni trigonometriche.
- Se una data equazione trigonometrica ne contiene solo una funzione trigonometrica, risolvi questa equazione come un'equazione trigonometrica di base. Se questa equazione include due o più funzioni trigonometriche, allora ci sono 2 metodi per risolvere tale equazione (a seconda della possibilità della sua trasformazione).
  - Metodo 1
- Trasforma questa equazione in un'equazione della forma: f(x)*g(x)*h(x) = 0, dove f(x), g(x), h(x) sono le equazioni trigonometriche di base.
- Esempio 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Decisione. Usando la formula del doppio angolo sin 2x = 2*sin x*cos x, sostituisci sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Ora risolvi due equazioni trigonometriche di base: cos x = 0 e (sin x + 1) = 0.
- Esempio 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Soluzione: utilizzando le identità trigonometriche, trasforma questa equazione in un'equazione della forma: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Ora risolvi due equazioni trigonometriche di base: cos 2x = 0 e (2cos x + 1) = 0.
- Esempio 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
- Soluzione: usando le identità trigonometriche, trasforma questa equazione in un'equazione della forma: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Ora risolvi due equazioni trigonometriche di base: cos 2x = 0 e (2sin x + 1) = 0.
  - Metodo 2
- Converti l'equazione trigonometrica data in un'equazione contenente una sola funzione trigonometrica. Quindi sostituisci questa funzione trigonometrica con qualche incognita, ad esempio t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t, ecc.).
- Esempio 9. 3peccato^2 x - 2cos^2 x = 4peccato x + 7 (0< x < 2π).
- Decisione. A data equazione sostituire (cos^2 x) con (1 - sin^2 x) (secondo l'identità). L'equazione trasformata è simile a:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Sostituisci sin x con t. Ora l'equazione è simile a: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Questa è un'equazione quadratica con due radici: t1 = -1 e t2 = 9/5. La seconda radice t2 non soddisfa l'intervallo della funzione (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Esempio 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Decisione. Sostituisci tg x con t. Riscrivi l'equazione originale come segue: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Ora trova t e poi trova x per t = tg x.

Soluzione delle equazioni trigonometriche più semplici.

La soluzione di equazioni trigonometriche di qualsiasi livello di complessità alla fine si riduce alla risoluzione delle equazioni trigonometriche più semplici. E in questo, il cerchio trigonometrico si rivela ancora una volta il miglior aiuto.

Richiama le definizioni di coseno e seno.

Il coseno di un angolo è l'ascissa (cioè la coordinata lungo l'asse) di un punto sulla circonferenza unitaria corrispondente alla rotazione di un dato angolo.

Il seno di un angolo è l'ordinata (cioè la coordinata lungo l'asse) di un punto sulla circonferenza unitaria corrispondente alla rotazione di un dato angolo.

La direzione positiva del movimento lungo il cerchio trigonometrico è considerata movimento antiorario. Una rotazione di 0 gradi (o 0 radianti) corrisponde a un punto con coordinate (1; 0)

Usiamo queste definizioni per risolvere le equazioni trigonometriche più semplici.

1. Risolvi l'equazione

Questa equazione è soddisfatta da tutti questi valori dell'angolo di rotazione, che corrispondono ai punti del cerchio, la cui ordinata è uguale a .

Segniamo un punto con l'ordinata sull'asse y:

Spendiamo linea orizzontale parallelo all'asse x fino a quando non si interseca con il cerchio. Otterremo due punti giacenti su un cerchio e aventi un'ordinata. Questi punti corrispondono agli angoli di rotazione di e radianti:

Se noi, dopo aver lasciato il punto corrispondente all'angolo di rotazione per radiante, facciamo un giro completo, arriveremo ad un punto corrispondente all'angolo di rotazione per radiante e avente la stessa ordinata. Cioè, questo angolo di rotazione soddisfa anche la nostra equazione. Possiamo fare tutti i giri "inattivi" che vogliamo, tornando allo stesso punto, e tutti questi valori angolari soddisferanno la nostra equazione. Il numero di giri "inattivi" è indicato dalla lettera (o). Poiché possiamo fare queste rivoluzioni sia in direzione positiva che negativa, (o ) può assumere qualsiasi valore intero.

Cioè, la prima serie di soluzioni dell'equazione originale ha la forma:

, , - insieme di numeri interi (1)

Allo stesso modo, la seconda serie di soluzioni ha la forma:

, dove , . (2)

Come hai intuito, questa serie di soluzioni si basa sul punto del cerchio corrispondente all'angolo di rotazione di .

Queste due serie di soluzioni possono essere combinate in un'unica voce:

Se prendiamo questa voce (cioè anche), otterremo la prima serie di soluzioni.

Se prendiamo questa voce (cioè dispari), otterremo la seconda serie di soluzioni.

2. Ora risolviamo l'equazione

Poiché è l'ascissa del punto della circonferenza unitaria ottenuta girando per l'angolo, segniamo sull'asse un punto con l'ascissa:

Disegna una linea verticale parallela all'asse fino a quando non si interseca con il cerchio. Otterremo due punti sdraiati su un cerchio e con un'ascissa. Questi punti corrispondono agli angoli di rotazione di e radianti. Ricordiamo che spostandoci in senso orario otteniamo un angolo di rotazione negativo:

Scriviamo due serie di soluzioni:

(Ci cadiamo punto desiderato, andando dal cerchio completo principale, cioè .

Uniamo queste due serie in un post:

3. Risolvi l'equazione

La retta delle tangenti passa per il punto di coordinate (1,0) della circonferenza unitaria parallela all'asse OY

Segna un punto su di esso con un'ordinata uguale a 1 (stiamo cercando la tangente di cui angoli è 1):

Collega questo punto all'origine con una retta e segna i punti di intersezione della retta con il cerchio unitario. I punti di intersezione della retta e del cerchio corrispondono agli angoli di rotazione su e :

Poiché i punti corrispondenti agli angoli di rotazione che soddisfano la nostra equazione giacciono in radianti, possiamo scrivere la soluzione come segue:

4. Risolvi l'equazione

La linea delle cotangenti passa per il punto con le coordinate della circonferenza unitaria parallele all'asse.

Segniamo un punto con l'ascissa -1 sulla linea delle cotangenti:

Collega questo punto all'origine della retta e continua fino a quando non si interseca con il cerchio. Questa linea intersecherà il cerchio nei punti corrispondenti agli angoli di rotazione di e radianti:

Poiché questi punti sono separati l'uno dall'altro di una distanza pari a , allora decisione comune Possiamo scrivere questa equazione come segue:

Negli esempi forniti, illustrando la soluzione delle equazioni trigonometriche più semplici, sono stati utilizzati valori tabulari delle funzioni trigonometriche.

Tuttavia, se c'è un valore non tabellare sul lato destro dell'equazione, sostituiamo il valore nella soluzione generale dell'equazione: