Qualsiasi lingua può esprimere le stesse informazioni parole diverse e fatturati. Il linguaggio matematico non fa eccezione. Ma la stessa espressione può essere scritta in modo equivalente in modi diversi. E in alcune situazioni, una delle voci è più semplice. Parleremo della semplificazione delle espressioni in questa lezione.

Le persone continuano a comunicare lingue differenti. Per noi, un confronto importante è la coppia "lingua russa - lingua matematica". Le stesse informazioni possono essere riportate in lingue diverse. Ma, oltre a questo, può essere pronunciato in modo diverso in una lingua.

Ad esempio: "Peter è amico di Vasya", "Vasya è amico di Petya", "Peter e Vasya sono amici". Detto diversamente, ma lo stesso. Con ognuna di queste frasi, capiremmo la posta in gioco.

Diamo un'occhiata a questa frase: "Il ragazzo Petya e il ragazzo Vasya sono amici". Capiamo cosa in questione. Tuttavia, non ci piace come suona questa frase. Non possiamo semplificarlo, diciamo lo stesso, ma più semplice? "Ragazzo e ragazzo" - puoi dire una volta: "I ragazzi Petya e Vasya sono amici".

"Ragazzi" ... Non è chiaro dai loro nomi che non sono ragazze. Rimuoviamo i "ragazzi": "Petya e Vasya sono amici". E la parola "amici" può essere sostituita con "amici": "Petya e Vasya sono amici". Di conseguenza, la prima, lunga e brutta frase è stata sostituita con un'affermazione equivalente, più facile da dire e più facile da capire. Abbiamo semplificato questa frase. Semplificare significa dire che è più facile, ma non perdere, non snaturare il significato.

La stessa cosa accade nel linguaggio matematico. La stessa cosa si può dire diversamente. Cosa significa semplificare un'espressione? Ciò significa che per l'espressione originale esistono molte espressioni equivalenti, cioè quelle che significano la stessa cosa. E da tutta questa moltitudine, dobbiamo scegliere il più semplice, secondo noi, o il più adatto ai nostri ulteriori scopi.

Si consideri ad esempio un'espressione numerica. Sarà equivalente a .

Sarà anche equivalente ai primi due: .

Si scopre che abbiamo semplificato le nostre espressioni e trovato l'espressione equivalente più breve.

Per le espressioni numeriche, devi sempre fare tutto il lavoro e ottenere l'espressione equivalente come un singolo numero.

Considera un esempio di un'espressione letterale . Ovviamente sarà più semplice.

Quando si semplificano le espressioni letterali, è necessario eseguire tutte le azioni possibili.

È sempre necessario semplificare un'espressione? No, a volte una notazione equivalente ma più lunga sarà più conveniente per noi.

Esempio: Sottrarre il numero dal numero.

È possibile calcolare, ma se il primo numero fosse rappresentato dalla sua notazione equivalente: , allora i calcoli sarebbero istantanei: .

Cioè, un'espressione semplificata non è sempre vantaggiosa per noi per ulteriori calcoli.

Tuttavia, molto spesso ci troviamo di fronte a un compito che suona solo come "semplificare l'espressione".

Semplificare l'espressione: .

Decisione

1) Eseguire le azioni nella prima e nella seconda parentesi: .

2) Calcola i prodotti: .

Ovviamente l'ultima espressione ha una forma più semplice di quella iniziale. L'abbiamo semplificato.

Per semplificare l'espressione, deve essere sostituita con un equivalente (uguale).

Per determinare l'espressione equivalente, è necessario:

1) eseguire tutte le azioni possibili,

2) utilizzare le proprietà di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione per semplificare i calcoli.

Proprietà di addizione e sottrazione:

1. Proprietà commutativa dell'addizione: la somma non cambia dal riordinamento dei termini.

2. Proprietà associativa dell'addizione: per sommare un terzo numero alla somma di due numeri, è possibile sommare al primo numero la somma del secondo e del terzo numero.

3. La proprietà di sottrarre una somma a un numero: per sottrarre la somma a un numero, puoi sottrarre ogni termine singolarmente.

Proprietà di moltiplicazione e divisione

1. La proprietà commutativa della moltiplicazione: il prodotto non cambia da una permutazione di fattori.

2. Proprietà associativa: per moltiplicare un numero per il prodotto di due numeri, puoi prima moltiplicarlo per il primo fattore, quindi moltiplicare il prodotto risultante per il secondo fattore.

3. La proprietà distributiva della moltiplicazione: per moltiplicare un numero per una somma, è necessario moltiplicarlo separatamente per ciascun termine.

Vediamo come facciamo effettivamente i calcoli mentali.

Calcolare:

Decisione

1) Immagina come

2) Rappresentiamo il primo fattore come somma termini di bit e fai la moltiplicazione:

3) puoi immaginare come ed eseguire la moltiplicazione:

4) Sostituisci il primo fattore con una somma equivalente:

La legge distributiva può essere usata anche nella direzione opposta: .

Segui questi passi:

1) 2)

Decisione

1) Per comodità, puoi usare la legge di distribuzione, basta usarla nella direzione opposta - togli il fattore comune tra parentesi.

2) Togliamo da parentesi il fattore comune

È necessario acquistare linoleum in cucina e in corridoio. Zona cucina - disimpegno -. Esistono tre tipi di linoleum: per e rubli per. Quanto costerà ciascuno dei tre tipi di linoleum? (Fig. 1)

Riso. 1. Illustrazione per la condizione del problema

Decisione

Metodo 1. Puoi trovare separatamente quanti soldi ci vorranno per acquistare il linoleum in cucina, quindi aggiungerlo al corridoio e sommare i lavori risultanti.

Espressioni, conversione di espressioni

Espressioni di potere (espressioni con poteri) e loro trasformazione

In questo articolo parleremo di trasformare le espressioni con poteri. In primo luogo, ci concentreremo sulle trasformazioni che vengono eseguite con espressioni di qualsiasi tipo, comprese le espressioni di potere, come parentesi aperte, riducendo termini simili. E poi analizzeremo le trasformazioni inerenti specificamente alle espressioni con gradi: lavorare con la base e l'esponente, usare le proprietà dei gradi, ecc.

Navigazione della pagina.

Cosa sono le espressioni di potenza?

Il termine "espressioni di potere" non si trova praticamente nei libri di testo scolastici di matematica, ma compare spesso in raccolte di problemi, appositamente progettati per preparare l'esame di stato unificato e l'OGE, ad esempio,. Dopo aver analizzato le attività in cui è necessario eseguire qualsiasi azione con le espressioni di potenza, diventa chiaro che le espressioni di potenza sono intese come espressioni contenenti gradi nelle loro voci. Pertanto, per te, puoi prendere la seguente definizione:

Definizione.

Espressioni di potere sono espressioni contenenti poteri.

Portiamo esempi di espressioni di potere. Inoltre, li rappresenteremo in base a come avviene lo sviluppo delle opinioni da una laurea con indicatore naturale a una laurea con indicatore reale.

Come sai, prima c'è una conoscenza del grado di un numero con un esponente naturale, in questa fase le prime espressioni di potenza più semplici del tipo 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 ecc.

Poco dopo, viene studiata la potenza di un numero con esponente intero, che porta alla comparsa di espressioni di potenza con potenze intere negative, come le seguenti: 3 −2, , un −2 +2 b −3 + c 2 .

Nelle classi senior, tornano di nuovo ai gradi. Viene introdotta una laurea con indicatore razionale, che porta alla comparsa delle corrispondenti espressioni di potenza: , , eccetera. Infine si considerano i gradi con esponenti irrazionali ed espressioni che li contengono: , .

La questione non si limita alle espressioni di potenza elencate: inoltre la variabile penetra nell'esponente e ci sono, ad esempio, tali espressioni 2 x 2 +1 o . E dopo aver preso conoscenza, iniziano ad apparire espressioni con poteri e logaritmi, ad esempio x 2 lgx −5 x lgx.

Quindi, abbiamo capito la domanda su cosa sono le espressioni di potere. Successivamente, impareremo come trasformarli.

I principali tipi di trasformazioni delle espressioni di potere

Con le espressioni di potenza, puoi eseguire qualsiasi trasformazione dell'identità di base delle espressioni. Ad esempio, puoi espandere le parentesi, sostituire le espressioni numeriche con i relativi valori, aggiungere termini simili e così via. Naturalmente, in questo caso è necessario seguire la procedura accettata per l'esecuzione delle azioni. Diamo esempi.

Esempio.

Calcola il valore dell'espressione di potenza 2 3 ·(4 2 −12) .

Decisione.

In base all'ordine delle azioni, eseguiamo prima le azioni tra parentesi. Lì, in primo luogo, sostituiamo la potenza di 4 2 con il suo valore 16 (vedi se necessario), e in secondo luogo, calcoliamo la differenza 16−12=4 . abbiamo 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Nell'espressione risultante, sostituiamo la potenza di 2 3 con il suo valore 8 , dopodiché calcoliamo il prodotto 8·4=32 . Questo è il valore desiderato.

Così, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Risposta:

2 3 (4 2 -12)=32 .

Esempio.

Semplifica le espressioni di potenza 3 un 4 b −7 −1+2 un 4 b −7.

Decisione.

Ovviamente questa espressione contiene termini simili 3 · a 4 · b − 7 e 2 · a 4 · b − 7 , e possiamo ridurli: .

Risposta:

3 un 4 b −7 −1+2 un 4 b −7 =5 un 4 b −7 −1.

Esempio.

Esprimi un'espressione con poteri come prodotto.

Decisione.

Per far fronte al compito consente la rappresentazione del numero 9 come potenza di 3 2 e il successivo utilizzo della formula di moltiplicazione abbreviata, la differenza dei quadrati:

Risposta:

Ci sono anche una serie di trasformazioni identiche inerenti alle espressioni di potere. Successivamente, li analizzeremo.

Lavorare con base ed esponente

Ci sono gradi, nella base e/o indicatore dei quali non ci sono solo numeri o variabili, ma alcune espressioni. Ad esempio, scriviamo (2+0.3 7) 5−3.7 e (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Quando si lavora con espressioni simili, sia l'espressione nella base del grado che l'espressione nell'esponente possono essere sostituite in modo identico uguale espressione sulla ODZ delle sue variabili. In altre parole, secondo le regole a noi note, possiamo convertire separatamente la base del grado e, separatamente, l'indicatore. È chiaro che a seguito di tale trasformazione si ottiene un'espressione identicamente uguale a quella originaria.

Tali trasformazioni ci consentono di semplificare le espressioni con poteri o di raggiungere altri obiettivi di cui abbiamo bisogno. Ad esempio, nell'espressione di potenza (2+0.3 7) 5−3.7 sopra menzionata, puoi eseguire operazioni con numeri in base ed esponente, che ti permetteranno di passare alla potenza di 4.1 1.3. E dopo aver aperto le parentesi e portato termini simili nella base del grado (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) otteniamo un'espressione di potenza more forma semplice a 2 (x+1) .

Utilizzo delle proprietà di alimentazione

Uno degli strumenti principali per trasformare le espressioni con poteri sono le uguaglianze che riflettono. Ricordiamo i principali. Per qualsiasi numero positivo aeb e arbitrario numeri reali r e s hanno le seguenti proprietà delle potenze:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s = a r s .

Si noti che per esponenti naturali, interi e positivi, le restrizioni sui numeri aeb potrebbero non essere così rigide. Ad esempio, per numeri naturali m e n l'uguaglianza a m ·a n =a m+n vale non solo per a positivi, ma anche per quelli negativi, e per a=0 .

A scuola, l'attenzione principale nella trasformazione delle espressioni di potere è focalizzata proprio sulla capacità di scegliere proprietà adatta e applicalo correttamente. In questo caso, le basi dei gradi sono generalmente positive, il che consente di utilizzare le proprietà dei gradi senza restrizioni. Lo stesso vale per la trasformazione di espressioni contenenti variabili nelle basi dei gradi: l'intervallo dei valori accettabili delle variabili è solitamente tale che le basi assumano solo valori positivi su di essa, il che consente di utilizzare liberamente le proprietà di gradi. In generale, è necessario chiedersi costantemente se è possibile applicare qualsiasi proprietà dei gradi in questo caso, perché l'uso impreciso delle proprietà può portare a un restringimento dell'ODZ e ad altri problemi. Questi punti sono discussi in dettaglio e con esempi nell'articolo trasformazione delle espressioni usando le proprietà dei gradi. Qui ci limitiamo a pochi semplici esempi.

Esempio.

Esprimi l'espressione a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 come potenza di base a .

Decisione.

Innanzitutto, trasformiamo il secondo fattore (a 2) −3 per la proprietà di elevare una potenza a potenza: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. In questo caso, l'espressione di potenza iniziale assumerà la forma a 2.5 ·a −6:a −5.5 . Ovviamente, resta da usare le proprietà di moltiplicazione e divisione dei poteri con la stessa base che abbiamo
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Risposta:

a 2.5 (a 2) -3:a -5.5 \u003d a 2.

Le proprietà di potenza vengono utilizzate quando si trasformano le espressioni di potenza sia da sinistra a destra che da destra a sinistra.

Esempio.

Trova il valore dell'espressione di potenza.

Decisione.

L'uguaglianza (a·b) r =a r ·b r , applicata da destra a sinistra, permette di passare dall'espressione originaria al prodotto della forma e oltre. E quando si moltiplicano i poteri con gli stessi motivi gli indicatori si sommano: .

Era possibile eseguire la trasformazione dell'espressione originale in un altro modo:

Risposta:

.

Esempio.

Data un'espressione di potenza a 1.5 −a 0.5 −6 , inserisci una nuova variabile t=a 0.5 .

Decisione.

Il grado a 1.5 può essere rappresentato come 0.5 3 e inoltre in base alla proprietà del grado nel grado (a r) s =a s s applicata da destra a sinistra, convertirlo nella forma (a 0.5) 3 . Così, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Ora è facile introdurre una nuova variabile t=a 0.5 , otteniamo t 3 −t−6 .

Risposta:

t 3 −t −6 .

Conversione di frazioni contenenti potenze

Le espressioni di potenza possono contenere frazioni con poteri o rappresentare tali frazioni. Qualsiasi delle trasformazioni di frazioni di base inerenti a frazioni di qualsiasi tipo è pienamente applicabile a tali frazioni. Cioè, le frazioni che contengono gradi possono essere ridotte, ridotte a un nuovo denominatore, lavorare separatamente con il loro numeratore e separatamente con il denominatore, ecc. Per illustrare le parole di cui sopra, considera le soluzioni di diversi esempi.

Esempio.

Semplifica l'espressione di potenza .

Decisione.

Questa espressione di potere è una frazione. Lavoriamo con il suo numeratore e denominatore. Al numeratore apriamo le parentesi e semplifichiamo l'espressione ottenuta successivamente utilizzando le proprietà delle potenze, e al denominatore presentiamo termini simili:

E cambiamo anche il segno del denominatore mettendo un meno davanti alla frazione: .

Risposta:

.

La riduzione delle potenze di contenimento delle frazioni a un nuovo denominatore viene eseguita in modo simile alla riduzione a un nuovo denominatore frazioni razionali. Allo stesso tempo, si trova anche un fattore aggiuntivo e per esso si moltiplicano il numeratore e il denominatore della frazione. Quando si esegue questa azione, vale la pena ricordare che la riduzione a un nuovo denominatore può portare a un restringimento del DPV. Per evitare che ciò accada, è necessario che il fattore aggiuntivo non svanisca per nessun valore delle variabili dalle variabili ODZ per l'espressione originale.

Esempio.

Porta le frazioni a un nuovo denominatore: a) al denominatore a, b) al denominatore.

Decisione.

a) In questo caso, è abbastanza facile capire quale fattore aggiuntivo aiuta a raggiungere il risultato desiderato. Questo è un moltiplicatore a 0.3, poiché a 0.7 a 0.3 = a 0.7+0.3 = a . Si noti che nell'intervallo di valori accettabili della variabile a (questo è l'insieme di tutti i numeri reali positivi), il grado a 0,3 non svanisce, quindi abbiamo il diritto di moltiplicare numeratore e denominatore della frazione data da questo fattore aggiuntivo:

b) Osservando più da vicino il denominatore, troviamo che

e moltiplicando questa espressione per darà la somma di cubi e , cioè . E questo è il nuovo denominatore a cui bisogna portare la frazione originaria.

Quindi abbiamo trovato un fattore aggiuntivo. L'espressione non svanisce nell'intervallo di valori accettabili delle variabili xey, quindi possiamo moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per essa:

Risposta:

un) , b) .

Non c'è nulla di nuovo anche nella riduzione delle frazioni contenenti gradi: il numeratore e il denominatore sono rappresentati come un certo numero di fattori e gli stessi fattori del numeratore e del denominatore sono ridotti.

Esempio.

Ridurre la frazione: a) , b).

Decisione.

a) Innanzitutto, il numeratore e il denominatore possono essere ridotti dei numeri 30 e 45, che è uguale a 15. Inoltre, ovviamente, puoi ridurre di x 0,5 +1 e di . Ecco cosa abbiamo:

b) In questo caso, gli stessi fattori al numeratore e al denominatore non sono immediatamente visibili. Per ottenerli, devi eseguire trasformazioni preliminari. In questo caso consistono nel scomporre il denominatore in fattori secondo la formula della differenza dei quadrati:

Risposta:

un)

b) .

La riduzione delle frazioni a un nuovo denominatore e la riduzione delle frazioni vengono utilizzate principalmente per eseguire operazioni sulle frazioni. Le azioni vengono eseguite secondo regole note. Quando si sommano (sottraggono) le frazioni, vengono ridotte a un denominatore comune, dopo di che vengono aggiunti (sottratti) i numeratori e il denominatore rimane lo stesso. Il risultato è una frazione il cui numeratore è il prodotto dei numeratori e il denominatore è il prodotto dei denominatori. La divisione per una frazione è moltiplicazione per il suo reciproco.

Esempio.

Segui i passi .

Decisione.

Per prima cosa sottraiamo le frazioni tra parentesi. Per fare questo, li portiamo a un denominatore comune, che è , quindi sottrai i numeratori:

Ora moltiplichiamo le frazioni:

Ovviamente è possibile una riduzione della potenza x 1/2, dopo di che abbiamo .

Puoi anche semplificare l'espressione della potenza al denominatore usando la formula della differenza dei quadrati: .

Risposta:

Esempio.

Semplifica l'espressione di potenza .

Decisione.

Ovviamente, questa frazione può essere ridotta di (x 2,7 +1) 2, questo dà la frazione . È chiaro che bisogna fare qualcos'altro con le potenze di x. Per fare ciò, convertiamo la frazione risultante in un prodotto. Questo ci dà l'opportunità di utilizzare la proprietà di dividere i poteri con le stesse basi: . E alla fine del processo, si passa dall'ultimo prodotto alla frazione.

Risposta:

.

E aggiungiamo che è possibile e in molti casi desiderabile trasferire fattori con esponenti negativi dal numeratore al denominatore o dal denominatore al numeratore cambiando il segno dell'esponente. Tali trasformazioni spesso semplificano ulteriori azioni. Ad esempio, un'espressione di potenza può essere sostituita da .

Conversione di espressioni con radici e poteri

Spesso nelle espressioni in cui sono richieste alcune trasformazioni, insieme ai gradi con esponenti frazionari, ci sono anche radici. Per convertire una tale espressione in il tipo giusto, nella maggior parte dei casi basta andare solo alle radici o solo alle potenze. Ma poiché è più conveniente lavorare con i gradi, di solito si spostano dalle radici ai gradi. Tuttavia, è consigliabile eseguire tale transizione quando l'ODZ delle variabili per l'espressione originale consente di sostituire le radici con i gradi senza la necessità di accedere al modulo o dividere l'ODZ in più intervalli (ne abbiamo discusso in dettaglio nel articolo, il passaggio dalle radici alle potenze e viceversa Dopo aver preso confidenza con il grado con un esponente razionale viene introdotto un grado con un indicatore irrazionale, che consente di parlare di un grado con un indicatore reale arbitrario. In questa fase, il la scuola inizia a studiare funzione esponenziale , che è analiticamente dato dal grado, in base al quale c'è un numero, e nell'indicatore - una variabile. Quindi ci troviamo di fronte a espressioni di potenza contenenti numeri nella base del grado, e nell'esponente - espressioni con variabili, e naturalmente sorge la necessità di eseguire trasformazioni di tali espressioni.

Va detto che la trasformazione delle espressioni del tipo indicato di solito deve essere eseguita durante la risoluzione equazioni esponenziali e disuguaglianze esponenziali , e queste trasformazioni sono abbastanza semplici. Nella stragrande maggioranza dei casi, si basano sulle proprietà della laurea e mirano principalmente a introdurre una nuova variabile in futuro. L'equazione ci permetterà di dimostrarli 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

In primo luogo, gli esponenti, nei cui esponenti si trova la somma di una variabile (o espressione con variabili) e un numero, vengono sostituiti da prodotti. Questo vale per il primo e l'ultimo termine dell'espressione sul lato sinistro:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x -3 5 x 7 x -2 7 2 x =0.

Successivamente, entrambe le parti dell'uguaglianza sono divise dall'espressione 7 2 x , che assume solo valori positivi sull'ODZ della variabile x per l'equazione originale (questa è una tecnica standard per risolvere equazioni di questo tipo, non lo siamo parlandone ora, quindi concentrati sulle successive trasformazioni di espressioni con poteri):

Ora le frazioni con poteri sono cancellate, il che dà .

Infine, il rapporto delle potenze con gli stessi esponenti è sostituito da potenze dei rapporti, che porta all'equazione , che equivale a . Le trasformazioni effettuate consentono di introdurre una nuova variabile, che riduce la soluzione dell'equazione esponenziale originale alla soluzione dell'equazione quadratica

IV Boikov, L. D. Romanova Raccolta di compiti per la preparazione all'esame. Parte 1. Penza 2003.

Un'espressione algebrica nella cui registrazione, insieme alle operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione, utilizza anche la divisione in espressioni letterali, è chiamata espressione algebrica frazionaria. Tali sono, ad esempio, le espressioni

Chiamiamo frazione algebrica un'espressione algebrica che ha la forma di un quoziente di divisione di due espressioni algebriche intere (ad esempio, monomi o polinomi). Tali sono, ad esempio, le espressioni

la terza delle espressioni).

Le trasformazioni di identità delle espressioni algebriche frazionarie sono per la maggior parte intese a rappresentarle nella forma frazione algebrica. Per trovare un denominatore comune, viene utilizzata la fattorizzazione dei denominatori delle frazioni - termini per trovare il minimo comune multiplo. Quando si riducono le frazioni algebriche, si può violare l'identità rigorosa delle espressioni: è necessario escludere i valori delle quantità a cui svanisce il fattore con cui viene effettuata la riduzione.

Diamo esempi di trasformazioni identiche di espressioni algebriche frazionarie.

Esempio 1: semplificare un'espressione

Tutti i termini possono essere ridotti a un denominatore comune (conviene cambiare il segno al denominatore dell'ultimo termine e il segno davanti ad esso):

La nostra espressione è uguale a uno per tutti i valori tranne questi valori, non è definita e la riduzione della frazione è illegale).

Esempio 2. Rappresenta l'espressione come una frazione algebrica

Decisione. L'espressione può essere assunta come denominatore comune. Troviamo successivamente:

Esercizi

1. Trova i valori delle espressioni algebriche per i valori specificati dei parametri:

2. Fattorizzare.

Math-Calculator-Online v.1.0

La calcolatrice esegue le seguenti operazioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, lavoro con i decimali, estrazione della radice, elevazione a potenza, calcolo di percentuali e altre operazioni.

Decisione:

Come usare la calcolatrice matematica

Chiave	Designazione	Spiegazione
5	numeri 0-9	Numeri arabi. Immettere numeri interi naturali, zero. Per ottenere un numero intero negativo, premere il tasto +/-
.	punto e virgola)	Un separatore decimale. Se non ci sono cifre prima del punto (virgola), la calcolatrice sostituirà automaticamente uno zero prima del punto. Ad esempio: verrà scritto .5 - 0.5
+	segno più	Somma di numeri (interi, decimali)
-	segno meno	Sottrazione di numeri (interi, decimali)
÷	segno di divisione	Divisione di numeri (interi, decimali)
X	segno di moltiplicazione	Moltiplicazione di numeri (interi, decimali)
√	radice	Estrazione della radice da un numero. Quando si preme nuovamente il pulsante "radice", la radice viene calcolata dal risultato. Ad esempio: radice quadrata di 16 = 4; radice quadrata di 4 = 2
x2	squadratura	La quadratura di un numero. Premendo nuovamente il pulsante "quadratura", il risultato è quadrato, ad esempio: quadrato 2 = 4; quadrato 4 = 16
1/x	frazione	Uscita in decimali. Al numeratore 1, al denominatore il numero di input
%	per cento	Ottieni una percentuale di un numero. Per lavorare, devi inserire: il numero da cui verrà calcolata la percentuale, il segno (più, meno, dividi, moltiplica), quante percentuali in forma numerica, il pulsante "%"
(	parentesi aperta	Una parentesi aperta per impostare la priorità di valutazione. È necessaria una parentesi chiusa. Esempio: (2+3)*2=10
)	parentesi chiusa	Una parentesi chiusa per impostare la priorità di valutazione. Disponibilità richiesta parentesi aperta
±	più meno	Cambia segno in opposto
=	è uguale a	Visualizza il risultato della soluzione. Inoltre, i calcoli intermedi e il risultato vengono visualizzati sopra la calcolatrice nel campo "Soluzione".
←	cancellare un carattere	Elimina l'ultimo carattere
Insieme a	Ripristina	Pulsante di reset. Reimposta completamente la calcolatrice su "0"

L'algoritmo del calcolatore online con esempi

Aggiunta.

Somma di numeri naturali interi ( 5 + 7 = 12 )

Somma di numeri interi naturali e negativi ( 5 + (-2) = 3 )

Addizione decimale numeri frazionari { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

Sottrazione.

Sottrazione di numeri naturali interi ( 7 - 5 = 2 )

Sottrazione di numeri interi naturali e negativi ( 5 - (-2) = 7 )

Sottrazione di numeri decimali frazionari ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )

Moltiplicazione.

Prodotto di numeri naturali interi ( 3 * 7 = 21 )

Prodotto di numeri interi naturali e negativi ( 5 * (-3) = -15 )

Prodotto di numeri decimali frazionari ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

Divisione.

Divisione di numeri naturali interi ( 27 / 3 = 9 )

Divisione di numeri interi naturali e negativi ( 15 / (-3) = -5 )

Divisione di numeri decimali frazionari ( 6.2 / 2 = 3.1 )

Estrazione della radice da un numero.

Estrazione della radice di un numero intero ( root(9) = 3 )

Estrazione della radice dei decimali ( root(2.5) = 1.58 )

Estrazione della radice dalla somma dei numeri ( root(56 + 25) = 9 )

Estrazione della radice della differenza in numeri ( radice (32 - 7) = 5 )

La quadratura di un numero.

Al quadrato di un intero ( (3) 2 = 9 )

Decimali al quadrato ( (2.2) 2 = 4.84 )

Converti in frazioni decimali.

Calcolo delle percentuali di un numero

Aumenta 230 del 15% ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )

Riduci il numero 510 del 35% ( 510 - 510 * 0,35 = 331,5 )

Il 18% del numero 140 è ( 140 * 0,18 = 25,2 )

Comodo e semplice calcolatrice online frazioni con soluzione dettagliata può essere:

• Somma, sottrai, moltiplichi e dividi frazioni in linea,
• Ricevere soluzione chiavi in ​​mano frazioni con un'immagine ed è conveniente trasferirla.



Il risultato della risoluzione delle frazioni sarà qui ...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Segno di frazione "/" + - * :
_cancella Cancella
Il nostro calcolatore di frazioni online ha un input rapido. Per ottenere la soluzione delle frazioni, ad esempio, basta scrivere 1/2+2/7 nella calcolatrice e premere il tasto " risolvere le frazioni". La calcolatrice ti scriverà soluzione dettagliata frazioni ed emettere immagine adatta alla copia.

I caratteri usati per scrivere nella calcolatrice

Puoi digitare un esempio per una soluzione sia dalla tastiera che utilizzando i pulsanti.

Caratteristiche del calcolatore di frazioni online

Il calcolatore di frazioni può eseguire solo operazioni con 2 frazioni semplici. Possono essere corretti (il numeratore è minore del denominatore) o errati (il numeratore è maggiore del denominatore). I numeri al numeratore e al denominatore non possono essere negativi e maggiori di 999.
Il nostro calcolatore online risolve le frazioni e porta la risposta a forma corretta- riduce la frazione ed evidenzia l'intera parte, se necessario.

Se devi risolvere le frazioni negative, usa semplicemente le proprietà meno. Quando si moltiplicano e si dividono frazioni negative, meno per meno dà più. Cioè, il prodotto e la divisione delle frazioni negative è uguale al prodotto e alla divisione delle stesse frazioni positive. Se una frazione è negativa quando moltiplicata o divisa, rimuovi semplicemente il meno e quindi aggiungilo alla risposta. Quando si aggiungono frazioni negative, il risultato sarà lo stesso come se si aggiungessero le stesse frazioni positive. Se aggiungi una frazione negativa, equivale a sottrarre la stessa frazione positiva.
Quando si sottraggono le frazioni negative, il risultato sarà lo stesso come se fossero invertite e rese positive. Cioè, un meno per un meno in questo caso dà un più e la somma non cambia da un riarrangiamento dei termini. Usiamo le stesse regole quando sottraiamo frazioni, una delle quali è negativa.

Per risolvere le frazioni miste (frazioni in cui è evidenziata l'intera parte), è sufficiente guidare l'intera parte in una frazione. Per fare ciò, moltiplica la parte intera per il denominatore e aggiungi al numeratore.

Se devi risolvere 3 o più frazioni online, dovresti risolverle una per una. Per prima cosa conta le prime 2 frazioni, poi risolvi la frazione successiva con la risposta ricevuta e così via. Esegui le operazioni a turno per 2 frazioni e alla fine otterrai la risposta corretta.