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La parentesi aperta è un numero. Parentesi espandibili - Ipermercato della conoscenza

Le parentesi vengono utilizzate per indicare l'ordine in cui vengono eseguite le azioni nelle espressioni numeriche e alfabetiche, nonché nelle espressioni con variabili. È conveniente passare da un'espressione tra parentesi a in modo identico uguale espressione senza parentesi. Questa tecnica è chiamata apertura di parentesi.

Espandere le parentesi significa liberare l'espressione di queste parentesi.

Un altro punto merita un'attenzione particolare, che riguarda le particolarità delle soluzioni di scrittura in fase di apertura delle parentesi. Possiamo scrivere l'espressione iniziale tra parentesi e il risultato ottenuto dopo aver aperto le parentesi come uguaglianza. Ad esempio, dopo aver aperto le parentesi, invece dell'espressione
3−(5−7) otteniamo l'espressione 3−5+7. Possiamo scrivere entrambe queste espressioni come uguaglianza 3−(5−7)=3−5+7.

E un altro punto importante. In matematica, per ridurre le voci, è consuetudine non scrivere un segno più se è il primo in un'espressione o tra parentesi. Ad esempio, se aggiungiamo due numeri positivi, ad esempio sette e tre, non scriviamo +7 + 3, ma semplicemente 7 + 3, nonostante anche sette sia un numero positivo. Allo stesso modo, se vedi, ad esempio, l'espressione (5 + x) - sappi che c'è un più davanti alla parentesi, che non è scritto, e c'è un più + (+5 + x) davanti a cinque.

Regola di espansione della staffa per aggiunta

Quando si aprono le parentesi, se c'è un più prima delle parentesi, questo più viene omesso insieme alle parentesi.

Esempio. Apri le parentesi nell'espressione 2 + (7 + 3) Prima delle parentesi più, quindi i caratteri davanti ai numeri tra parentesi non cambiano.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

La regola per espandere le parentesi durante la sottrazione

Se c'è un meno prima delle parentesi, questo meno viene omesso insieme alle parentesi, ma i termini che erano tra parentesi cambiano il loro segno nell'opposto. L'assenza di segno prima del primo termine tra parentesi implica un segno +.

Esempio. parentesi aperte nell'espressione 2 − (7 + 3)

C'è un meno prima delle parentesi, quindi è necessario cambiare i segni prima dei numeri dalle parentesi. Non c'è alcun segno tra parentesi prima del numero 7, il che significa che il sette è positivo, si considera che il segno + sia davanti ad esso.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Quando apriamo le parentesi, rimuoviamo il meno dall'esempio, che era prima delle parentesi, e le parentesi stesse 2 − (+ 7 + 3) e cambiamo i segni che erano tra parentesi con quelli opposti.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Espansione delle parentesi durante la moltiplicazione

Se c'è un segno di moltiplicazione davanti alle parentesi, allora ogni numero all'interno delle parentesi viene moltiplicato per il fattore davanti alle parentesi. Allo stesso tempo, moltiplicando un meno per un meno si ottiene un più e moltiplicando un meno per un più, come moltiplicare un più per un meno, si ottiene un meno.

Pertanto, le parentesi nei prodotti vengono espanse in base alla proprietà distributiva della moltiplicazione.

Esempio. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Quando si moltiplicano parentesi per parentesi, ogni termine della prima parentesi viene moltiplicato per ogni termine della seconda parentesi.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

Infatti non c'è bisogno di ricordare tutte le regole, basta ricordarne solo una, questa: c(a−b)=ca−cb. Come mai? Perché se sostituiamo uno al posto di c, otteniamo la regola (a−b)=a−b. E se sostituiamo meno uno, otteniamo la regola −(a−b)=−a+b. Bene, se sostituisci un'altra parentesi invece di c, puoi ottenere l'ultima regola.

Espandi le parentesi durante la divisione

Se c'è un segno di divisione dopo le parentesi, allora ogni numero all'interno delle parentesi è divisibile per il divisore dopo le parentesi e viceversa.

Esempio. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

Come espandere le parentesi nidificate

Se l'espressione contiene parentesi nidificate, vengono espanse nell'ordine, a partire da external o internal.

Allo stesso tempo, quando si apre una delle parentesi, è importante non toccare le altre parentesi, semplicemente riscrivendole così come sono.

Esempio. 12 - (un + (6 - b) - 3) = 12 - un - (6 - b) + 3 = 12 - un - 6 + b + 3 = 9 - un + b

formare la capacità di aprire le parentesi, tenendo conto del segno davanti alle parentesi;

  • sviluppando:
    • sviluppare pensiero logico, attenzione, discorso matematico, capacità di analizzare, confrontare, generalizzare, trarre conclusioni;
  • educatori:
    •  formazione di responsabilità, interesse cognitivo per la materia

    Durante le lezioni

    I. Momento organizzativo.

    Dai un'occhiata amico
    Sei pronto per la lezione?
    È tutto a posto? Va tutto bene?
    Penna, libro e taccuino.
    Sono tutti seduti correttamente?
    Tutti stanno guardando da vicino?

    Voglio iniziare la lezione con una domanda per te:

    Quale pensi sia la cosa più preziosa sulla terra? (Risposte dei bambini.)

    Questa domanda ha turbato l'umanità per migliaia di anni. Ecco la risposta data dal famoso scienziato Al-Biruni: “La conoscenza è il possesso più eccellente. Tutti si sforzano per questo, ma non viene da sé”.

    Che queste parole siano il motto della nostra lezione.

    II. Attualizzazione delle conoscenze, abilità, abilità pregresse:

    Conteggio verbale:

    1.1. Che giorno è oggi?

    2. Cosa sai del numero 20?

    3. E dove si trova questo numero sulla linea delle coordinate?

    4. Nomina il numero del suo rovescio.

    5. Assegna un nome al numero di fronte ad esso.

    6. Qual è il nome del numero - 20?

    7. Quali numeri sono chiamati opposti?

    8. Quali numeri sono chiamati negativi?

    9. Qual è il modulo del numero 20? - venti?

    10. Qual è la somma di numeri opposti?

    2. Spiegare le seguenti voci:

    a) L'antico matematico di genio Archimede nacque nel 0 287 aC.

    b) Il brillante matematico russo N.I. Lobachevsky nacque nel 1792.

    per la prima volta Olimpiadi ebbe luogo in Grecia nel 776.

    d) I primi Giochi Olimpici Internazionali si sono svolti nel 1896.

    e) I XXII Giochi Olimpici Invernali si sono svolti nel 2014.

    3. Scopri quali numeri girano sul "carosello matematico" (tutte le azioni vengono eseguite oralmente).

    II. Formazione di nuove conoscenze, abilità e abilità.

    Hai imparato come eseguire diverse operazioni con numeri interi. Cosa faremo dopo? Come risolveremo esempi ed equazioni?

    Scopriamo il significato di queste espressioni

    7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
    -7 + 3 + 4 = 0

    Qual è la procedura in 1 esempio? Quanto è tra parentesi? L'ordine delle azioni nel secondo esempio? Risultato della prima azione? Cosa si può dire di queste espressioni?

    Naturalmente, i risultati della prima e della seconda espressione sono gli stessi, quindi puoi mettere un segno di uguale tra di loro: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4

    Cosa abbiamo fatto con le parentesi? (Perduto.)

    Cosa pensi che faremo in classe oggi? (I bambini formulano l'argomento della lezione). Nel nostro esempio, quale segno c'è davanti alle parentesi. (Più.)

    E così arriviamo alla regola successiva:

    Se c'è un segno + prima delle parentesi, allora puoi omettere le parentesi e questo segno +, mantenendo i segni dei termini tra parentesi. Se il primo termine tra parentesi è scritto senza segno, allora deve essere scritto con un segno +.

    Ma cosa succede se c'è un segno meno davanti alle parentesi?

    In questo caso bisogna ragionare allo stesso modo di quando si sottrae: bisogna sommare il numero opposto a quello sottratto:

    7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14

    - Quindi, abbiamo aperto le parentesi quando c'era un segno meno davanti a loro.

    La regola per espandere le parentesi quando c'è un segno "-" davanti alle parentesi.

    Per aprire le parentesi precedute dal segno -, è necessario sostituire questo segno con +, cambiando i segni di tutti i termini tra parentesi in quelli opposti, quindi aprire le parentesi.

    Ascoltiamo le regole per aprire le parentesi nei versetti:

    C'è un vantaggio davanti alla parentesi.
    Ne parla
    Cosa stai facendo cadere le parentesi
    Lascia uscire tutti i segni!
    Prima della parentesi meno rigoroso
    Ci bloccherà la strada
    Per rimuovere le parentesi
    Dobbiamo cambiare i segni!

    Sì, ragazzi, il segno meno è molto insidioso, è un "guardiano" al cancello (parentesi), rilascia numeri e variabili solo quando cambiano i "passaporti", cioè i segni.

    Perché è necessario aprire le parentesi? (Quando ci sono parentesi, c'è un momento di qualche elemento di incompletezza, una sorta di mistero. È come Porta chiusa, dietro il quale c'è qualcosa di interessante.) Oggi abbiamo appreso questo segreto.

    Una piccola digressione nella storia:

    Le parentesi graffe compaiono negli scritti di Vieta (1593). Le staffe furono ampiamente utilizzate solo nella prima metà del 18° secolo, grazie a Leibniz e ancor più ad Eulero.

    Fizkultminutka.

    III. Consolidamento di nuove conoscenze, abilità e abilità.

    Lavoro sui libri di testo:

    N. 1234 (parentesi aperte) - orale.

    N. 1236 (parentesi aperte) - orale.

    n. 1235 (trova il significato dell'espressione) - per iscritto.

    N. 1238 (semplificare le espressioni) - lavorare in coppia.

    IV. Riassumendo la lezione.

    1. I punteggi vengono annunciati.

    2. Casa. l'obiettivo. 39 n. 1254 (a, b, c), 1255 (a, b, c), 1259.

    3. Cosa abbiamo imparato oggi?

    Cosa hai imparato?

    E voglio concludere la lezione con gli auguri per ognuno di voi:

    “Mostra la capacità di matematica,
    Non essere pigro, ma sviluppa ogni giorno.
    Moltiplicare, dividere, lavorare, pensare,
    Non dimenticare di essere amico della matematica.

    La funzione principale delle parentesi è quella di modificare l'ordine delle azioni durante il calcolo dei valori. Per esempio, nell'espressione numerica \(5 3+7\) verrà calcolata prima la moltiplicazione, quindi l'addizione: \(5 3+7 =15+7=22\). Ma nell'espressione \(5·(3+7)\), verrà calcolata prima l'addizione tra parentesi e solo dopo la moltiplicazione: \(5·(3+7)=5·10=50\).


    Esempio. Espandi la parentesi: \(-(4m+3)\).
    Soluzione : \(-(4m+3)=-4m-3\).

    Esempio. Espandi la parentesi e fornisci termini simili \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
    Soluzione : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).


    Esempio. Espandi le parentesi \(5(3-x)\).
    Soluzione : Abbiamo \(3\) e \(-x\) nella parentesi e cinque davanti alla parentesi. Ciò significa che ogni membro della parentesi viene moltiplicato per \ (5 \) - te lo ricordo il segno di moltiplicazione tra un numero e una parentesi in matematica non viene scritto per ridurre la dimensione dei record.


    Esempio. Espandi le parentesi \(-2(-3x+5)\).
    Soluzione : Come nell'esempio precedente, i valori tra parentesi \(-3x\) e \(5\) vengono moltiplicati per \(-2\).

    Esempio. Semplifica l'espressione: \(5(x+y)-2(x-y)\).
    Soluzione : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).


    Resta da considerare l'ultima situazione.

    Quando si moltiplicano parentesi per parentesi, ogni termine della prima parentesi viene moltiplicato per ogni termine della seconda:

    \((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

    Esempio. Espandi le parentesi \((2-x)(3x-1)\).
    Soluzione : Abbiamo un prodotto di parentesi e può essere aperto immediatamente utilizzando la formula sopra. Ma per non confonderci, facciamo tutto passo dopo passo.
    Passaggio 1. Rimuovi la prima parentesi: ciascuno dei suoi membri viene moltiplicato per la seconda parentesi:

    Passaggio 2. Espandi i prodotti della parentesi del fattore come descritto sopra:
    - il primo primo...

    Poi il secondo.

    Passaggio 3. Ora moltiplichiamo e portiamo termini simili:

    Non è necessario dipingere tutte le trasformazioni in dettaglio, puoi immediatamente moltiplicare. Ma se stai solo imparando ad aprire le parentesi - scrivi in ​​dettaglio, ci saranno meno possibilità di commettere un errore.

    Nota per l'intera sezione. In effetti, non è necessario ricordare tutte e quattro le regole, ne devi solo ricordare una, questa: \(c(a-b)=ca-cb\) . Come mai? Perché se sostituiamo uno invece di c, otteniamo la regola \((a-b)=a-b\) . E se sostituiamo meno uno, otteniamo la regola \(-(a-b)=-a+b\) . Bene, se sostituisci un'altra parentesi invece di c, puoi ottenere l'ultima regola.

    parentesi tra parentesi

    A volte in pratica ci sono problemi con parentesi nidificate all'interno di altre parentesi. Ecco un esempio di tale compito: semplificare l'espressione \(7x+2(5-(3x+y))\).

    Per avere successo in queste attività, devi:
    - comprendere attentamente l'annidamento delle parentesi - quale si trova in quale;
    - aprire le parentesi in sequenza, partendo, ad esempio, da quella più interna.

    È importante quando si apre una delle parentesi non toccare il resto dell'espressione, riscrivendolo così com'è.
    Prendiamo il compito sopra come esempio.

    Esempio. Apri le parentesi e dai termini simili \(7x+2(5-(3x+y))\).
    Soluzione:


    Esempio. Espandi le parentesi e dai termini simili \(-(x+3(2x-1+(x-5))))\).
    Soluzione :

    \(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)

    Questa è una tripla nidificazione di parentesi. Iniziamo con quello più interno (evidenziato in verde). C'è un vantaggio davanti alla parentesi, quindi viene semplicemente rimosso.

    \(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)

    Ora devi aprire la seconda parentesi, intermedia. Ma prima, semplificheremo l'espressione applicando il ghosting a termini simili in questa seconda parentesi.

    \(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)

    Ora apriamo la seconda parentesi (evidenziata in blu). C'è un moltiplicatore davanti alla parentesi, quindi ogni termine tra parentesi viene moltiplicato per esso.

    \(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)

    E apri l'ultima parentesi. Prima della parentesi meno - quindi tutti i segni sono invertiti.

    L'apertura della parentesi è un'abilità di base in matematica. Senza questa abilità, è impossibile avere un voto superiore a tre nei gradi 8 e 9. Pertanto, consiglio una buona comprensione di questo argomento.

    In questo articolo considereremo in dettaglio le regole di base per un argomento così importante in un corso di matematica come parentesi di apertura. È necessario conoscere le regole per l'apertura delle parentesi al fine di risolvere correttamente le equazioni in cui vengono utilizzate.

    Come aprire correttamente le parentesi durante l'aggiunta

    Espandi le parentesi precedute dal segno "+".

    Questo è il caso più semplice, perché se c'è un segno di addizione davanti alle parentesi, quando le parentesi vengono aperte, i segni al loro interno non cambiano. Esempio:

    (9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

    Come aprire le parentesi precedute da un segno "-".

    In questo caso, devi riscrivere tutti i termini senza parentesi, ma allo stesso tempo cambiare tutti i segni al loro interno con quelli opposti. I segni cambiano solo per i termini di quelle parentesi precedute dal segno “-”. Esempio:

    (9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

    Come aprire le parentesi durante la moltiplicazione

    Le parentesi sono precedute da un moltiplicatore

    In questo caso, devi moltiplicare ogni termine per un fattore e aprire le parentesi senza cambiare segno. Se il moltiplicatore ha il segno "-", quando si moltiplica, i segni dei termini vengono invertiti. Esempio:

    3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

    Come aprire due parentesi con un segno di moltiplicazione tra di loro

    In questo caso, devi moltiplicare ogni termine della prima parentesi per ogni termine della seconda parentesi e poi sommare i risultati. Esempio:

    (9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

    Come aprire le parentesi in un quadrato

    Se la somma o la differenza di due termini è al quadrato, le parentesi devono essere ampliate secondo la seguente formula:

    (x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

    In caso di meno tra parentesi, la formula non cambia. Esempio:

    (9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

    Come aprire le parentesi in un grado diverso

    Se la somma o la differenza dei termini viene aumentata, ad esempio, alla 3a o 4a potenza, devi solo spezzare il grado della parentesi in "quadrati". Si aggiungono le potenze degli stessi fattori e, dividendo, il grado del divisore viene sottratto dal grado del dividendo. Esempio:

    (9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

    Come aprire 3 parentesi

    Ci sono equazioni in cui vengono moltiplicate 3 parentesi contemporaneamente. In questo caso, devi prima moltiplicare tra loro i termini delle prime due parentesi, quindi moltiplicare la somma di questa moltiplicazione per i termini della terza parentesi. Esempio:

    (1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

    Queste regole di apertura delle parentesi si applicano allo stesso modo alle equazioni lineari e trigonometriche.

    L'espansione della parentesi è un tipo di trasformazione dell'espressione. In questa sezione descriveremo le regole per espandere le parentesi, oltre a considerare gli esempi più comuni di problemi.

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    Che cos'è l'espansione delle parentesi?

    Le parentesi vengono utilizzate per indicare l'ordine in cui vengono eseguite le azioni nelle espressioni numeriche e alfabetiche, nonché nelle espressioni con variabili. È conveniente passare da un'espressione tra parentesi a un'espressione identicamente uguale senza parentesi. Ad esempio, sostituisci l'espressione 2 (3 + 4) con un'espressione simile 2 3 + 2 4 senza parentesi. Questa tecnica è chiamata apertura di parentesi.

    Definizione 1

    Con l'apertura delle parentesi si intendono i metodi per eliminare le parentesi e sono generalmente considerati in relazione ad espressioni che possono contenere:

    • segni "+" o "-" davanti a parentesi che contengono somme o differenze;
    • il prodotto di un numero, lettera o più lettere, e la somma o differenza, che è posta tra parentesi.

    Questo è il modo in cui consideravamo il processo di apertura delle parentesi nel corso curriculum scolastico. Tuttavia, nessuno ci impedisce di guardare a questa azione in modo più ampio. Possiamo chiamare espansione delle parentesi il passaggio da un'espressione che contiene numeri negativi tra parentesi a un'espressione che non ha parentesi. Ad esempio, possiamo passare da 5 + (− 3) − (− 7) a 5 − 3 + 7 . In effetti, questa è anche l'espansione delle parentesi.

    Allo stesso modo, possiamo sostituire il prodotto di espressioni tra parentesi della forma (a + b) · (c + d) con la somma a · c + a · d + b · c + b · d . Anche questa tecnica non contraddice il significato dell'espansione delle parentesi.

    Ecco un altro esempio. Possiamo presumere che nelle espressioni, invece di numeri e variabili, possa essere utilizzata qualsiasi espressione. Ad esempio, l'espressione x 2 1 a - x + sin (b) corrisponderà a un'espressione senza parentesi della forma x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b) .

    Un altro punto merita un'attenzione particolare, che riguarda le particolarità delle soluzioni di scrittura quando si aprono le parentesi. Possiamo scrivere l'espressione iniziale tra parentesi e il risultato ottenuto dopo aver aperto le parentesi come uguaglianza. Ad esempio, dopo aver aperto le parentesi, invece dell'espressione 3 − (5 − 7) otteniamo l'espressione 3 − 5 + 7 . Possiamo scrivere entrambe queste espressioni come uguaglianza 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .

    L'esecuzione di azioni con espressioni ingombranti può richiedere la registrazione di risultati intermedi. Quindi la soluzione avrà la forma di una catena di uguaglianze. Per esempio, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 o 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

    Regole per l'apertura di parentesi, esempi

    Iniziamo con le regole per l'apertura delle parentesi.

    Numeri singoli tra parentesi

    I numeri negativi tra parentesi appaiono spesso nelle espressioni. Ad esempio, (− 4) e 3 + (− 4) . Si registrano anche numeri positivi tra parentesi.

    Formuliamo la regola per l'apertura di parentesi che contengono singoli numeri positivi. Supponiamo che a sia un qualsiasi numero positivo. Quindi possiamo sostituire (a) con a, + (a) con + a, - (a) con - a. Se invece di a prendiamo un numero specifico, allora secondo la regola: il numero (5) verrà scritto come 5 , assumerà la forma l'espressione 3 + (5) senza parentesi 3 + 5 , poiché + (5) è sostituito da + 5 , e l'espressione 3 + (− 5) è equivalente all'espressione 3 − 5 , perché + (− 5) è sostituito da − 5 .

    I numeri positivi vengono generalmente scritti senza l'uso di parentesi, poiché in questo caso le parentesi sono ridondanti.

    Consideriamo ora la regola per l'apertura di parentesi che contengono un solo numero negativo. + (-a) sostituiamo con − a, − (− a) è sostituito da + a . Se l'espressione inizia con un numero negativo (-un), che è scritto tra parentesi, le parentesi vengono omesse e invece di (-un) resti − a.

    Ecco alcuni esempi: (− 5) può essere scritto come − 5 , (− 3) + 0 , 5 diventa − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) diventa 4 − 3 , e − (− 4) − (− 3) dopo aver aperto le parentesi assume la forma 4 + 3 , poiché − (− 4) e − (− 3) è sostituito da + 4 e + 3 .

    Va inteso che l'espressione 3 · (− 5) non può essere scritta come 3 · − 5. Questo sarà discusso nei paragrafi seguenti.

    Vediamo su cosa si basano le regole di espansione delle parentesi.

    Secondo la regola, la differenza a − b è uguale a a + (− b) . Sulla base delle proprietà delle azioni con i numeri, possiamo creare una catena di uguaglianze (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a che sarà giusto. Questa catena di uguaglianze, in virtù del significato di sottrazione, dimostra che l'espressione a + (− b) è la differenza a-b.

    Sulla base delle proprietà dei numeri opposti e delle regole per la sottrazione dei numeri negativi, possiamo asserire che − (− a) = a , a − (− b) = a + b .

    Ci sono espressioni composte da un numero, segni meno e diverse coppie di parentesi. L'uso delle regole di cui sopra consente di eliminare in sequenza le parentesi, spostandosi dalle parentesi interne a quelle esterne o viceversa. Un esempio di tale espressione sarebbe − (− ((− (5)))) . Apriamo le parentesi, spostandoci dall'interno verso l'esterno: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Questo esempio può anche essere analizzato al contrario: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

    Sotto un e b può essere inteso non solo come numeri, ma anche come numeri arbitrari o espressioni letterali con un "+" davanti che non sono somme o differenze. In tutti questi casi, puoi applicare le regole come abbiamo fatto con i singoli numeri tra parentesi.

    Ad esempio, dopo aver aperto le parentesi, l'espressione − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) assume la forma 2 x − x 2 − 1 x − 2 x y 2: z . Come abbiamo fatto? Sappiamo che − (− 2 x) è + 2 x , e poiché questa espressione viene prima, allora + 2 x può essere scritto come 2 x , - (x 2) = - x 2, + (− 1 x) = − 1 x e - (2 x y 2: z) = - 2 x y 2: z.

    Nei prodotti di due numeri

    Iniziamo con la regola per espandere le parentesi nel prodotto di due numeri.

    Facciamo finta che un e b sono due numeri positivi. In questo caso, il prodotto di due numeri negativi − a e − b della forma (− a) (− b) può essere sostituito da (a b) , e i prodotti di due numeri con segni opposti della forma (− a) b e a (− b) possono essere sostituiti da (- a b). Moltiplicando un meno per un meno si ottiene un più, e moltiplicando un meno per un più, come moltiplicare un più per un meno, si ottiene un meno.

    La correttezza della prima parte della regola scritta è confermata dalla regola per la moltiplicazione dei numeri negativi. Per confermare la seconda parte della regola, possiamo usare le regole per moltiplicare i numeri con segni diversi.

    Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

    Esempio 1

    Considera l'algoritmo per aprire le parentesi nel prodotto di due numeri negativi - 4 3 5 e - 2 , della forma (- 2) · - 4 3 5 . Per fare ciò, sostituiamo l'espressione originale con 2 · 4 3 5 . Espandiamo le parentesi e otteniamo 2 · 4 3 5 .

    E se prendiamo il quoziente di numeri negativi (− 4) : (− 2) , il record dopo aver aperto le parentesi sarà simile a 4: 2

    Invece di numeri negativi − a e − b può essere qualsiasi espressione con un segno meno iniziale che non sia somma o differenza. Ad esempio, possono essere prodotti, parziali, frazioni, gradi, radici, logaritmi, funzioni trigonometriche eccetera.

    Apriamo le parentesi nell'espressione - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Secondo la regola, possiamo fare le seguenti trasformazioni: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5 .

    Espressione (-3) 2 può essere convertito nell'espressione (− 3 2) . Successivamente, puoi aprire le parentesi: − 3 2.

    2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5

    La divisione dei numeri con segni diversi può anche richiedere l'ampliamento preliminare delle parentesi: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 e 2 3 4: (- 3 , 5) = - 2 3 4: 3 , 5 = - 2 3 4: 3 , 5 .

    La regola può essere utilizzata per eseguire la moltiplicazione e la divisione di espressioni con segni diversi. Facciamo due esempi.

    1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

    sin (x) (- x 2) \u003d (- sin (x) x 2) \u003d - sin (x) x 2

    Nei prodotti di tre o più numeri

    Passiamo al prodotto e ai quozienti, che contengono grande quantità numeri. Per le parentesi espanse, qui agirà prossima regola. In numero pari numeri negativi, puoi omettere le parentesi, sostituendo i numeri con i loro opposti. Successivamente, è necessario racchiudere l'espressione risultante tra nuove parentesi. Per un numero dispari di numeri negativi, omettendo le parentesi, sostituisci i numeri con i loro opposti. Successivamente, l'espressione risultante deve essere presa tra nuove parentesi e mettere un segno meno davanti ad essa.

    Esempio 2

    Ad esempio, prendiamo l'espressione 5 · (− 3) · (− 2) , che è il prodotto di tre numeri. Ci sono due numeri negativi, quindi possiamo scrivere l'espressione come (5 3 2) e infine aprire le parentesi, ottenendo l'espressione 5 3 2 .

    Nel prodotto (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) cinque numeri sono negativi. quindi (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 . 5 3: 2 4: 1 , 25: 1) . Finalmente aprendo le parentesi, otteniamo −2,5 3:2 4:1,25:1.

    La regola di cui sopra può essere giustificata come segue. In primo luogo, possiamo riscrivere tali espressioni come un prodotto, sostituendo la divisione con la moltiplicazione per il reciproco. Rappresentiamo ogni numero negativo come il prodotto di un moltiplicatore e sostituiamo - 1 o - 1 con (-1) a.

    Usando la proprietà commutativa della moltiplicazione, scambiamo i fattori e trasferiamo tutti i fattori uguali a − 1 , all'inizio dell'espressione. Il prodotto di un numero pari meno uno è uguale a 1 e un numero dispari è uguale a − 1 , che ci consente di utilizzare il segno meno.

    Se non abbiamo utilizzato la regola, la catena di azioni per l'apertura di parentesi nell'espressione - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 sarebbe simile a questa:

    2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

    La regola precedente può essere utilizzata quando si espandono parentesi in espressioni che sono prodotti e quozienti con un segno meno che non sono somme o differenze. Prendi ad esempio l'espressione

    x 2 (- x) : (- 1 x) x - 3: 2 .

    Può essere ridotto a un'espressione senza parentesi x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 .

    Parentesi di apertura precedute dal segno +

    Si consideri una regola che può essere applicata per espandere le parentesi precedute da un segno più e il "contenuto" di tali parentesi non viene moltiplicato o diviso per alcun numero o espressione.

    Secondo la regola si omettono le parentesi insieme al segno che le precede, mentre si conservano i segni di tutti i termini tra parentesi. Se non c'è alcun segno davanti al primo termine tra parentesi, è necessario inserire un segno più.

    Esempio 3

    Ad esempio, diamo l'espressione (12 − 3 , 5) − 7 . Omettendo le parentesi, manteniamo i segni dei termini tra parentesi e mettiamo un segno più davanti al primo termine. La voce sarà simile a (12 − ​​​​3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . Nell'esempio sopra non è necessario mettere un segno davanti al primo termine, poiché + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7.

    Esempio 4

    Consideriamo un altro esempio. Prendi l'espressione x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x ed esegui azioni con essa x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

    Ecco un altro esempio di parentesi espandibili:

    Esempio 5

    2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x2

    Come espandere le parentesi precedute da un segno meno

    Considera i casi in cui è presente un segno meno davanti alle parentesi e che non vengono moltiplicati (o divisi) per alcun numero o espressione. Secondo la regola per l'apertura delle parentesi precedute dal segno “-”, le parentesi con il segno “-” vengono omesse, mentre i segni di tutti i termini all'interno delle parentesi sono invertiti.

    Esempio 6

    Per esempio:

    1 2 \u003d 1 2, - 1 x + 1 \u003d - 1 x + 1, - (- x 2) \u003d x 2

    Le espressioni variabili possono essere convertite utilizzando la stessa regola:

    X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

    otteniamo x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2 .

    Apertura di parentesi quando si moltiplica un numero per una parentesi, espressioni per una parentesi

    Qui considereremo i casi in cui è necessario aprire parentesi che vengono moltiplicate o divise per qualsiasi numero o espressione. Qui formule della forma (a 1 ± a 2 ± ... ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± ... ± a n b) o b (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b a 1 ± b a 2 ± … ± b a n), dove a 1 , a 2 , … , a n e b sono alcuni numeri o espressioni.

    Esempio 7

    Ad esempio, espandiamo le parentesi nell'espressione (3-7) 2. Secondo la regola, possiamo fare le seguenti trasformazioni: (3 − 7) 2 = (3 2 − 7 2) . Otteniamo 3 · 2 − 7 · 2 .

    Espandendo le parentesi nell'espressione 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, otteniamo 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.

    Moltiplica una parentesi per una parentesi

    Considera il prodotto di due parentesi della forma (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Questo ci aiuterà a ottenere una regola per espandere le parentesi quando si moltiplica una parentesi per una parentesi.

    Per risolvere l'esempio precedente, indichiamo l'espressione (b 1 + b 2) come b. Questo ci permetterà di usare la regola di moltiplicazione tra parentesi ed espressioni. Otteniamo (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b . Effettuando una sostituzione inversa B su (b 1 + b 2), applica ancora la regola per moltiplicare l'espressione per parentesi: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (un 1 b 1 + un 1 b 2) + (un 2 b 1 + un 2 b 2) = = un 1 b 1 + un 1 b 2 + un 2 b 1 + un 2 b 2

    Grazie a una serie di semplici accorgimenti, possiamo arrivare alla somma dei prodotti di ciascuno dei termini della prima fascia e di ciascuno dei termini della seconda fascia. La regola può essere estesa a un numero qualsiasi di termini compresi tra parentesi.

    Formuliamo le regole per moltiplicare parentesi per parentesi: per moltiplicare tra loro due somme, è necessario moltiplicare ciascuno dei termini della prima somma per ciascuno dei termini della seconda somma e sommare i risultati.

    La formula sarà simile a:

    (a 1 + a 2 + . . . + a m) (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + un 1 b n + + un 2 b 1 + un 2 b 2 + . . . + un 2 b n + + . . . + + un m b 1 + un m b 1 + . . . a m b n

    Espandiamo le parentesi nell'espressione (1 + x) · (x 2 + x + 6) È un prodotto di due somme. Scriviamo la soluzione: (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + xx 2 + xx + x 6

    Separatamente, vale la pena soffermarsi su quei casi in cui c'è un segno meno tra parentesi insieme a segni più. Ad esempio, prendiamo l'espressione (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

    Innanzitutto, rappresentiamo le espressioni tra parentesi come somme: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)). Ora possiamo applicare la regola: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x y 3) + (− x) 3 xy + ( − x) (− 2 xy 3))

    Espandiamo le parentesi: 1 3 x y − 1 2 x y 3 − x 3 x y + x 2 x y 3 .

    Espansione delle parentesi nei prodotti di più parentesi ed espressioni

    Se nell'espressione sono presenti tre o più espressioni tra parentesi, è necessario espandere le parentesi in sequenza. È necessario iniziare la trasformazione con il fatto che i primi due fattori sono presi tra parentesi. All'interno di queste parentesi, possiamo eseguire trasformazioni secondo le regole discusse sopra. Ad esempio, le parentesi nell'espressione (2 + 4) 3 (5 + 7 8) .

    L'espressione contiene tre fattori contemporaneamente (2 + 4) , 3 e (5 + 7 8) . Espanderemo le parentesi in sequenza. Racchiudiamo i primi due fattori tra un'altra parentesi, che renderemo rossa per chiarezza: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

    Secondo la regola di moltiplicare una parentesi per un numero, possiamo eseguire le seguenti azioni: ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) .

    Moltiplica parentesi per parentesi: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .

    Parentesi in natura

    I gradi, le cui basi sono alcune espressioni scritte tra parentesi, con indicatori naturali possono essere considerati come un prodotto di più parentesi. Inoltre, secondo le regole dei due commi precedenti, possono essere scritti senza queste parentesi.

    Considera il processo di trasformazione dell'espressione (a + b + c) 2 . Può essere scritto come prodotto di due parentesi (a + b + c) (a + b + c). Moltiplichiamo parentesi per parentesi e otteniamo a a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + c b + c c .

    Facciamo un altro esempio:

    Esempio 8

    1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2

    Dividere una parentesi per un numero e una parentesi per una parentesi

    Dividere una parentesi per un numero suggerisce di dividere per il numero tutti i termini racchiusi tra parentesi. Ad esempio, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .

    La divisione può essere preliminarmente sostituita dalla moltiplicazione, dopodiché puoi usarla regola adatta parentesi aperte in un'opera. La stessa regola si applica quando si divide una parentesi per una parentesi.

    Ad esempio, dobbiamo aprire le parentesi nell'espressione (x + 2) : 2 3 . Per fare ciò, sostituisci prima la divisione moltiplicando per il reciproco di (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Moltiplica la parentesi per il numero (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3 .

    Ecco un altro esempio di divisione tra parentesi:

    Esempio 9

    1x+x+1: (x+2) .

    Sostituiamo la divisione con la moltiplicazione: 1 x + x + 1 1 x + 2 .

    Facciamo la moltiplicazione: 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2 .

    Ordine di espansione della staffa

    Consideriamo ora l'ordine di applicazione delle regole discusse sopra nelle espressioni vista generale, cioè. nelle espressioni che contengono somme con differenze, prodotti con quozienti, parentesi in natura.

    L'ordine delle azioni:

    • il primo passo è elevare le parentesi a un potere naturale;
    • nella seconda fase si aprono parentesi in opere e private;
    • l'ultimo passaggio consiste nell'aprire le parentesi nelle somme e differenze.

    Consideriamo l'ordine delle azioni usando l'esempio dell'espressione (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Trasformiamo dalle espressioni 3 (− 2) : (− 4) e 6 (− 7) , che dovrebbero assumere la forma (3 2:4) e (− 6 7) . Sostituendo i risultati ottenuti nell'espressione originale, otteniamo: (− 5) + 3 (− 2) : (− 4) − 6 (− 7) = (− 5) + (3 2: 4) − (− 6 7 ). Espandi le parentesi: − 5 + 3 2: 4 + 6 7 .

    Quando si tratta di espressioni che contengono parentesi all'interno di parentesi, è conveniente eseguire trasformazioni dall'interno verso l'esterno.

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