Riduzione delle frazioni algebriche: una regola, esempi. Come risolvere le frazioni algebriche? Teoria e pratica

Le frazioni e la loro riduzione è un altro argomento che inizia in 5a elementare. Qui si formano le basi di questa azione e quindi queste abilità vengono trascinate da un filo nella matematica superiore. Se lo studente non ha imparato, allora potrebbe avere problemi con l'algebra. Pertanto, è meglio capire alcune regole una volta per tutte. E ricorda un divieto e non infrangerlo mai.

Frazione e sua riduzione

Di cosa si tratta, ogni studente lo sa. Due cifre qualsiasi che si trovano tra la barra orizzontale vengono immediatamente percepite come una frazione. Tuttavia, non tutti capiscono che qualsiasi numero può diventarlo. Se è un numero intero, può sempre essere diviso per uno, quindi ottieni una frazione impropria. Ma ne parleremo più avanti.

L'inizio è sempre semplice. Per prima cosa devi capire come ridurre la frazione corretta. Cioè, uno il cui numeratore è inferiore al denominatore. Per fare ciò, è necessario ricordare la proprietà principale di una frazione. Afferma che moltiplicando (oltre a dividere) sia il numeratore che il denominatore per lo stesso numero, risulta che la frazione originale è equivalente.

Le azioni di divisione eseguite su questa proprietà comportano una riduzione. Cioè, la sua massima semplificazione. Una frazione può essere ridotta purché ci siano fattori comuni sopra e sotto la linea. Quando non esistono più, la riduzione è impossibile. E dicono che questa frazione è irriducibile.

due strade

1.Riduzione graduale. Utilizza il metodo dell'ipotesi, quando entrambi i numeri sono divisi per il minimo fattore comune notato dallo studente. Se dopo la prima riduzione è chiaro che questa non è la fine, allora la divisione continua. Fino a quando la frazione diventa irriducibile.

2. Trovare il massimo comun divisore di numeratore e denominatore. Questo è il modo più razionale per ridurre le frazioni. Implica la scomposizione del numeratore e del denominatore in fattori primi. Tra questi, quindi devi scegliere lo stesso. Il loro prodotto darà il più grande fattore comune di cui la frazione viene ridotta.

Entrambi questi metodi sono equivalenti. Lo studente è invitato a padroneggiarli e utilizzare quello che gli è piaciuto di più.

E se ci sono lettere e operazioni di addizione e sottrazione?

Con la prima parte della domanda, tutto è più o meno chiaro. Le lettere possono essere abbreviate proprio come i numeri. La cosa principale è che agiscono come moltiplicatori. Ma con il secondo, molti hanno problemi.

Importante da ricordare! Puoi solo ridurre i numeri che sono fattori. Se sono termini, è impossibile.

Per capire come ridurre le frazioni che sembrano un'espressione algebrica, devi imparare la regola. Innanzitutto, esprimi numeratore e denominatore come prodotto. Quindi puoi ridurre se ci sono fattori comuni. Per la rappresentazione come moltiplicatori, sono utili i seguenti trucchi:

• raggruppamento;
• parentesi;
• applicazione di identità di moltiplicazione abbreviate.

Inoltre, quest'ultimo metodo consente di ottenere immediatamente termini sotto forma di fattori. Pertanto, deve essere sempre utilizzato se è visibile un modello noto.

Ma questo non fa ancora paura, quindi compaiono compiti con gradi e radici. È allora che devi raccogliere il coraggio e imparare un paio di nuove regole.

Espressione di potere

Frazione. Il prodotto al numeratore e al denominatore. Ci sono lettere e numeri. E sono anche elevati a un potere, che consiste anche in termini o fattori. C'è qualcosa di cui aver paura.

Per capire come ridurre le frazioni con i poteri, devi imparare due punti:

• se c'è una somma nell'esponente, allora può essere scomposta in fattori, le cui potenze saranno i termini originali;
• se la differenza, quindi nel dividendo e nel divisore, il primo nel grado verrà ridotto, il secondo sottratto.

Dopo aver completato questi passaggi, i moltiplicatori comuni diventano visibili. In tali esempi, non è necessario calcolare tutte le potenze. Basta semplicemente ridurre i gradi con gli stessi indicatori e basi.

Per padroneggiare finalmente come ridurre le frazioni con i poteri, hai bisogno di molta pratica. Dopo diversi esempi dello stesso tipo, le azioni verranno eseguite automaticamente.

Cosa succede se l'espressione contiene una radice?

Può anche essere accorciato. Ancora una volta, basta seguire le regole. Inoltre, tutti quelli descritti sopra sono vere. In generale, se la domanda è come ridurre una frazione con le radici, è necessario dividere.

Può anche essere suddiviso in espressioni irrazionali. Cioè, se il numeratore e il denominatore hanno gli stessi fattori racchiusi sotto il segno della radice, possono essere tranquillamente ridotti. Ciò semplificherà l'espressione e porterà a termine il lavoro.

Se, dopo la riduzione, l'irrazionalità rimane al di sotto della linea della frazione, è necessario sbarazzarsene. In altre parole, moltiplica il numeratore e il denominatore per esso. Se dopo questa operazione sono comparsi fattori comuni, sarà necessario ridurli nuovamente.

Questo, forse, è tutto su come ridurre le frazioni. Poche regole, ma un divieto. Non ridurre mai i termini!

In questo articolo ci concentreremo su riduzione delle frazioni algebriche. Per prima cosa, scopriamo cosa si intende con il termine "riduzione di una frazione algebrica", e scopriamo se una frazione algebrica è sempre riducibile. Successivamente, diamo una regola che ci consente di effettuare questa trasformazione. Infine, considera le soluzioni di esempi tipici che consentiranno di comprendere tutte le sottigliezze del processo.

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Cosa significa ridurre una frazione algebrica?

Studiando, abbiamo parlato della loro riduzione. abbiamo chiamato la divisione del suo numeratore e denominatore per il fattore comune. Ad esempio, la frazione comune 30/54 può essere ridotta di 6 (cioè divisa per 6 il suo numeratore e denominatore), che ci porterà alla frazione 5/9.

La riduzione di una frazione algebrica è intesa come un'azione simile. Riduci la frazione algebricaè dividere numeratore e denominatore per un fattore comune. Ma se il fattore comune del numeratore e denominatore di una frazione ordinaria può essere solo un numero, allora il fattore comune del numeratore e denominatore di una frazione algebrica può essere un polinomio, in particolare un monomio o un numero.

Ad esempio, una frazione algebrica può essere ridotta del numero 3, che dà la frazione . È anche possibile ridurre sulla variabile x , che risulterà nell'espressione . La frazione algebrica originale può essere ridotta del monomio 3 x, così come di uno qualsiasi dei polinomi x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y o 3 x 2 +6 x y .

L'obiettivo finale della riduzione di una frazione algebrica è ottenere una frazione di una forma più semplice, nel migliore dei casi una frazione irriducibile.

Qualche frazione algebrica è soggetta a riduzione?

Sappiamo che le frazioni ordinarie sono suddivise in . Le frazioni irriducibili non hanno fattori comuni diversi dall'unità al numeratore e al denominatore, quindi non possono essere ridotte.

Le frazioni algebriche possono avere o meno fattori comuni di numeratore e denominatore. In presenza di fattori comuni è possibile ridurre la frazione algebrica. Se non ci sono fattori comuni, allora la semplificazione della frazione algebrica mediante la sua riduzione è impossibile.

Nel caso generale, dall'aspetto di una frazione algebrica, è abbastanza difficile determinare se sia possibile eseguirne la riduzione. Indubbiamente, in alcuni casi i fattori comuni di numeratore e denominatore sono evidenti. Ad esempio, si vede chiaramente che numeratore e denominatore di una frazione algebrica hanno un fattore comune di 3. È anche facile vedere che una frazione algebrica può essere ridotta di x, di y o immediatamente di x·y. Ma molto più spesso, il fattore comune del numeratore e denominatore di una frazione algebrica non è immediatamente visibile e, ancor più spesso, semplicemente non esiste. Ad esempio, una frazione può essere ridotta di x−1 , ma questo fattore comune chiaramente non è presente nella notazione. E una frazione algebrica non può essere ridotto perché il suo numeratore e denominatore non hanno fattori comuni.

In generale, la questione della contrattibilità di una frazione algebrica è molto difficile. E a volte è più facile risolvere un problema lavorando con una frazione algebrica nella sua forma originale che scoprire se questa frazione può essere ridotta preliminarmente. Tuttavia, ci sono trasformazioni che in alcuni casi consentono, con relativamente poco sforzo, di trovare i fattori comuni del numeratore e del denominatore, se presenti, o di concludere che la frazione algebrica originale è irriducibile. Tali informazioni saranno rese pubbliche nel prossimo paragrafo.

Regola algebrica di riduzione della frazione

Le informazioni dei paragrafi precedenti consentono di percepire naturalmente quanto segue regola algebrica di riduzione della frazione, che si compone di due passaggi:

• in primo luogo si trovano i fattori comuni del numeratore e denominatore della frazione originaria;
• se presente, viene eseguita la riduzione di questi fattori.

Questi passaggi della norma annunciata necessitano di chiarimenti.

Il modo più conveniente per trovare quelli comuni è fattorizzare i polinomi che si trovano nel numeratore e nel denominatore della frazione algebrica originale. In questo caso, i fattori comuni del numeratore e del denominatore diventano immediatamente visibili, oppure diventa chiaro che non esistono fattori comuni.

Se non ci sono fattori comuni, allora possiamo concludere che la frazione algebrica è irriducibile. Se vengono trovati i fattori comuni, nel secondo passaggio vengono ridotti. Il risultato è una nuova frazione di una forma più semplice.

La regola di riduzione delle frazioni algebriche si basa sulla proprietà principale di una frazione algebrica, che è espressa dall'uguaglianza , dove a , b e c sono dei polinomi e b e c sono diversi da zero. Nella prima fase, la frazione algebrica originale viene ridotta alla forma , da cui diventa visibile il fattore comune c, e nella seconda fase, viene eseguita la riduzione: il passaggio alla frazione .

Passiamo alla risoluzione di esempi usando questa regola. Su di essi analizzeremo tutte le possibili sfumature che emergono scomponendo il numeratore e denominatore di una frazione algebrica in fattori e successiva riduzione.

Esempi tipici

Per prima cosa devi parlare della riduzione delle frazioni algebriche, il cui numeratore e denominatore sono gli stessi. Tali frazioni sono identicamente uguali a una sull'intera ODZ delle variabili in essa incluse, ad esempio,
eccetera.

Ora non fa male ricordare come viene eseguita la riduzione delle frazioni ordinarie: dopotutto, sono un caso speciale di frazioni algebriche. Numeri naturali al numeratore e denominatore di una frazione ordinaria, dopodiché i fattori comuni vengono ridotti (se presenti). Per esempio, . Il prodotto di fattori primi identici può essere scritto sotto forma di gradi e, quando ridotto, uso. In questo caso, la soluzione sarebbe simile a questa: , qui abbiamo diviso numeratore e denominatore per un fattore comune 2 2 3 . Oppure, per maggiore chiarezza, in base alle proprietà di moltiplicazione e divisione, la soluzione è presentata nella forma.

Secondo principi assolutamente simili si effettua la riduzione delle frazioni algebriche, al numeratore e al denominatore di cui sono presenti monomi a coefficienti interi.

Esempio.

Riduci la frazione algebrica .

Decisione.

Puoi rappresentare il numeratore e il denominatore della frazione algebrica originale come prodotto di semplici fattori e variabili, quindi eseguire la riduzione:

Ma è più razionale scrivere la soluzione come un'espressione con poteri:

Risposta:

.

Per quanto riguarda la riduzione delle frazioni algebriche che hanno coefficienti numerici frazionari al numeratore e al denominatore, puoi fare due cose: dividere separatamente questi coefficienti frazionari o prima eliminare i coefficienti frazionari moltiplicando numeratore e denominatore per un numero naturale. Abbiamo parlato dell'ultima trasformazione nell'articolo portando una frazione algebrica a un nuovo denominatore, può essere eseguita per la proprietà principale di una frazione algebrica. Affrontiamo questo con un esempio.

Esempio.

Eseguire la riduzione della frazione.

Decisione.

Puoi ridurre la frazione in questo modo: .

Ed è stato possibile eliminare prima i coefficienti frazionari moltiplicando il numeratore e il denominatore per i denominatori di questi coefficienti, cioè per LCM(5, 10)=10 . In questo caso abbiamo .

Risposta:

.

Puoi passare alle frazioni algebriche di una forma generale, in cui il numeratore e il denominatore possono contenere sia numeri e monomi, sia polinomi.

Quando si riducono tali frazioni, il problema principale è che il fattore comune di numeratore e denominatore non è sempre visibile. Inoltre, non sempre esiste. Per trovare un fattore comune o assicurarsi che non esista, è necessario fattorizzare il numeratore e il denominatore di una frazione algebrica.

Esempio.

Riduci la frazione razionale .

Decisione.

Per fare ciò, fattorizziamo i polinomi al numeratore e al denominatore. Cominciamo con le parentesi: . Ovviamente, le espressioni tra parentesi possono essere convertite utilizzando

In base alla loro proprietà principale: se numeratore e denominatore di una frazione sono divisi per lo stesso polinomio diverso da zero, si otterrà una frazione uguale ad esso.

Puoi solo ridurre i moltiplicatori!

I membri dei polinomi non possono essere ridotti!

Per ridurre una frazione algebrica, i polinomi al numeratore e al denominatore devono prima essere fattorizzati.

Considera esempi di riduzione della frazione.

Il numeratore e il denominatore di una frazione sono monomi. Loro rappresentano lavoro(numeri, variabili e loro gradi), moltiplicatori possiamo ridurre.

Riduciamo i numeri del loro massimo comun divisore, cioè del numero più grande per cui ciascuno dei numeri dati è divisibile. Per 24 e 36, questo è 12. Dopo la riduzione da 24, 2 rimane, da 36 - 3.

Riduciamo i gradi del grado con l'indicatore più piccolo. Ridurre una frazione significa dividere numeratore e denominatore per lo stesso divisore e sottrarre gli esponenti.

a² e a⁷ sono ridotti di a². Allo stesso tempo si rimane al numeratore da a² (scriviamo 1 solo se non ci sono altri fattori rimasti dopo la riduzione. 2 rimane da 24, quindi non scriviamo l'1 rimanente da a²). Da a⁷ dopo la riduzione rimane a⁵.

b e b sono abbreviati con b, le unità risultanti non sono scritte.

c³º e c⁵ sono ridotti di c⁵. Da c³º, c²⁵ rimane, da c⁵ - unità (non lo scriviamo). Così,

Il numeratore e il denominatore di questa frazione algebrica sono polinomi. È impossibile ridurre i termini dei polinomi! (non può essere ridotto, ad esempio, 8x² e 2x!). Per ridurre questa frazione, è necessario. Il numeratore ha un fattore comune di 4x. Togliamolo da parentesi:

Sia il numeratore che il denominatore hanno lo stesso fattore (2x-3). Riduciamo la frazione di questo fattore. Abbiamo 4x al numeratore, 1 al denominatore Secondo la proprietà 1 delle frazioni algebriche, la frazione è 4x.

Puoi solo ridurre i fattori (non puoi ridurre una determinata frazione di 25x²!). Pertanto, i polinomi al numeratore e al denominatore di una frazione devono essere fattorizzati.

Il numeratore è il quadrato intero della somma e il denominatore è la differenza dei quadrati. Dopo l'espansione con le formule della moltiplicazione abbreviata, otteniamo:

Riduciamo la frazione di (5x + 1) (per questo, al numeratore cancelliamo i due come esponente, da (5x + 1)² rimarrà (5x + 1)):

Il numeratore ha un fattore comune di 2, prendiamolo tra parentesi. Al denominatore - la formula per la differenza di cubi:

Come risultato dell'espansione del numeratore e del denominatore, abbiamo ottenuto lo stesso fattore (9 + 3a + a²). Riduciamo la frazione su di esso:

Il polinomio al numeratore è composto da 4 termini. il primo termine con il secondo, il terzo con il quarto, e dalle prime parentesi togliamo il fattore comune x². Scomponiamo il denominatore secondo la formula per la somma dei cubi:

Al numeratore, togliamo il fattore comune (x + 2) tra parentesi:

Riduciamo la frazione di (x + 2):

Questo articolo prosegue il tema della trasformazione delle frazioni algebriche: si consideri un'azione come la riduzione delle frazioni algebriche. Definiamo il termine stesso, formuliamo la regola di abbreviazione e analizziamo esempi pratici.

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Che cosa è Abbreviazione di frazione algebrica

Nei materiali sulla frazione ordinaria abbiamo considerato la sua riduzione. Abbiamo definito la riduzione di una frazione comune dividendo il suo numeratore e denominatore per un fattore comune.

La riduzione di una frazione algebrica è un'operazione simile.

Definizione 1

Riduzione di frazione algebricaè la divisione del suo numeratore e denominatore per un fattore comune. In questo caso, a differenza della riduzione di una frazione ordinaria (solo un numero può essere un denominatore comune), un polinomio, in particolare un monomio o un numero, può fungere da fattore comune per il numeratore e denominatore di una frazione algebrica.

Ad esempio, la frazione algebrica 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 può essere ridotta del numero 3, di conseguenza otteniamo: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2. Possiamo ridurre la stessa frazione della variabile x, e questo ci darà l'espressione 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . È anche possibile ridurre una data frazione di un monomio 3x o uno qualsiasi dei polinomi x + 2 anni, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y o 3 x 2 + 6 x a.

L'obiettivo finale di ridurre una frazione algebrica è una frazione di una forma più semplice, nel migliore dei casi una frazione irriducibile.

Tutte le frazioni algebriche sono soggette a riduzione?

Ancora, dai materiali sulle frazioni ordinarie, sappiamo che esistono frazioni riducibili e irriducibili. Irriducibile - queste sono frazioni che non hanno fattori comuni del numeratore e denominatore, diversi da 1.

Con le frazioni algebriche, tutto è uguale: possono avere o meno fattori comuni di numeratore e denominatore. La presenza di fattori comuni permette di semplificare la frazione originaria mediante riduzione. Quando non ci sono fattori comuni, è impossibile ottimizzare una data frazione con il metodo della riduzione.

In casi generali, per un dato tipo di frazione, è abbastanza difficile capire se sia soggetta a riduzione. Naturalmente, in alcuni casi, è ovvia la presenza di un fattore comune di numeratore e denominatore. Ad esempio, nella frazione algebrica 3 · x 2 3 · y è abbastanza chiaro che il fattore comune è il numero 3 .

In una frazione - x · y 5 · x · y · z 3 capiamo anche subito che è possibile ridurla di x, o y, o di x · y. Eppure, gli esempi di frazioni algebriche sono molto più comuni, quando il fattore comune del numeratore e del denominatore non è così facile da vedere, e ancora più spesso - è semplicemente assente.

Ad esempio, possiamo ridurre la frazione x 3 - 1 x 2 - 1 di x - 1, mentre il fattore comune specificato non è nel record. Ma la frazione x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 non può essere ridotta, poiché numeratore e denominatore non hanno un fattore comune.

Pertanto, la questione di scoprire la contrattibilità di una frazione algebrica non è così semplice, ed è spesso più facile lavorare con una frazione di una data forma piuttosto che cercare di scoprire se è contrattibile. In questo caso, ci sono tali trasformazioni che in casi particolari ci permettono di determinare il fattore comune di numeratore e denominatore o di concludere che la frazione è irriducibile. Analizzeremo questo problema in dettaglio nel prossimo paragrafo dell'articolo.

Regola algebrica di riduzione della frazione

Regola algebrica di riduzione della frazione si compone di due passaggi consecutivi:

• trovare i fattori comuni del numeratore e denominatore;
• nel caso in cui tale constatazione, l'attuazione dell'azione diretta di riduzione della frazione.

Il metodo più conveniente per trovare i denominatori comuni è quello di fattorizzare i polinomi presenti al numeratore e al denominatore di una data frazione algebrica. Ciò consente di vedere immediatamente visivamente la presenza o l'assenza di fattori comuni.

L'azione stessa di ridurre una frazione algebrica si basa sulla proprietà principale di una frazione algebrica, espressa dall'uguaglianza undefined , dove a , b , c sono dei polinomi e b e c sono diversi da zero. Il primo passo è ridurre la frazione alla forma a c b c, in cui si nota subito il fattore comune c. Il secondo passaggio consiste nell'eseguire la riduzione, ad es. passaggio a una frazione della forma a b .

Esempi tipici

Nonostante alcune ovvietà, chiariamo il caso speciale in cui numeratore e denominatore di una frazione algebrica sono uguali. Frazioni simili sono identicamente uguali a 1 sull'intera ODZ delle variabili di questa frazione:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y ;

Poiché le frazioni ordinarie sono un caso speciale di frazioni algebriche, ricordiamo come vengono ridotte. I numeri naturali scritti al numeratore e al denominatore vengono scomposti in fattori primi, quindi i fattori comuni vengono cancellati (se presenti).

Ad esempio, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Il prodotto di semplici fattori identici può essere scritto come gradi e, nel processo di riduzione della frazione, utilizzare la proprietà di dividere i gradi con le stesse basi. Allora la soluzione di cui sopra sarebbe:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(numeratore e denominatore divisi per un fattore comune 2 2 3). Oppure, per chiarezza, in base alle proprietà di moltiplicazione e divisione, daremo alla soluzione la seguente forma:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Per analogia si effettua la riduzione delle frazioni algebriche, in cui numeratore e denominatore hanno monomi a coefficienti interi.

Esempio 1

Data una frazione algebrica - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Ha bisogno di essere ridotto.

Decisione

È possibile scrivere il numeratore e il denominatore di una data frazione come prodotto di fattori primi e variabili, quindi ridurre:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c c c z = = - 3 3 a a a 2 c c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Tuttavia, un modo più razionale sarebbe scrivere la soluzione come un'espressione con poteri:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 un 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 un 3 2 c 6 = - 9 un 3 2 c 6 .

Risposta:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Quando ci sono coefficienti numerici frazionari nel numeratore e nel denominatore di una frazione algebrica, ci sono due possibili modi per agire ulteriormente: dividere separatamente questi coefficienti frazionari o eliminare prima i coefficienti frazionari moltiplicando numeratore e denominatore per un numero naturale . L'ultima trasformazione viene eseguita a causa della proprietà principale di una frazione algebrica (puoi leggerla nell'articolo "Ridurre una frazione algebrica a un nuovo denominatore").

Esempio 2

Data una frazione 2 5 x 0 , 3 x 3 . Ha bisogno di essere ridotto.

Decisione

È possibile ridurre la frazione in questo modo:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Proviamo a risolvere il problema in modo diverso, avendo precedentemente eliminato i coefficienti frazionari: moltiplichiamo il numeratore e il denominatore per il minimo comune multiplo dei denominatori di questi coefficienti, ad es. per LCM(5, 10) = 10. Quindi otteniamo:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Risposta: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Quando riduciamo le frazioni algebriche generali, in cui i numeratori ei denominatori possono essere sia monomi che polinomi, è possibile un problema quando il fattore comune non è sempre immediatamente visibile. O più, semplicemente non esiste. Quindi, per determinare il fattore comune o fissare il fatto della sua assenza, si fattorizzano il numeratore e il denominatore della frazione algebrica.

Esempio 3

Data una frazione razionale 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Deve essere accorciato.

Decisione

Fattorizziamo i polinomi al numeratore e al denominatore. Facciamo le parentesi:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Vediamo che l'espressione tra parentesi può essere convertita usando le formule di moltiplicazione abbreviate:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Si vede chiaramente che è possibile ridurre la frazione di un fattore comune b 2 (a + 7). Facciamo una riduzione:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Scriviamo una breve soluzione senza spiegazione come catena di uguaglianze:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Risposta: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b .

Succede che i fattori comuni sono nascosti da coefficienti numerici. Quindi, quando si riducono le frazioni, è ottimale estrarre i fattori numerici alle potenze superiori del numeratore e del denominatore.

Esempio 4

Data una frazione algebrica 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Dovrebbe essere ridotto se possibile.

Decisione

A prima vista, numeratore e denominatore non hanno un denominatore comune. Tuttavia, proviamo a convertire la frazione data. Prendiamo il fattore x nel numeratore:

1 5 x - 2 7 x 3 a 5 x 2 a - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 a 5 x 2 a - 3 1 2

Ora puoi vedere una certa somiglianza tra l'espressione tra parentesi e l'espressione al denominatore a causa di x 2 y . Estraiamo i coefficienti numerici alle potenze maggiori di questi polinomi:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Ora il moltiplicatore comune diventa visibile, eseguiamo la riduzione:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Risposta: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Sottolineiamo che la capacità di ridurre le frazioni razionali dipende dalla capacità di fattorizzare i polinomi.

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A prima vista, le frazioni algebriche sembrano molto complicate e uno studente impreparato potrebbe pensare che sia impossibile farci qualcosa. L'accumulo di variabili, numeri e persino poteri ispira paura. Tuttavia, le stesse regole vengono utilizzate per ridurre le frazioni (come 15/25) e le frazioni algebriche.

Passi

Riduzione della frazione

Impara a lavorare con le frazioni semplici. Le operazioni con le frazioni ordinarie e algebriche sono simili. Ad esempio, prendi la frazione 15/35. Per semplificare questa frazione, trovare un divisore comune. Entrambi i numeri sono divisibili per cinque, quindi possiamo estrarre 5 al numeratore e al denominatore:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Ora puoi ridurre i fattori comuni, cioè barrare il 5 al numeratore e al denominatore. Di conseguenza, otteniamo una frazione semplificata 3/7 . Nelle espressioni algebriche, i fattori comuni si distinguono allo stesso modo di quelli ordinari. Nell'esempio precedente, siamo stati in grado di estrarre facilmente 5 su 15: lo stesso principio si applica a espressioni più complesse come 15x - 5. Troviamo il fattore comune. In questo caso sarà 5, poiché entrambi i termini (15x e -5) sono divisibili per 5. Come prima, selezioniamo il fattore comune e lo trasferiamo A sinistra.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

Per verificare se tutto è corretto, è sufficiente moltiplicare l'espressione tra parentesi per 5: il risultato saranno gli stessi numeri che erano all'inizio. I termini complessi possono essere distinti allo stesso modo di quelli semplici. Per le frazioni algebriche valgono gli stessi principi delle frazioni ordinarie. Questo è il modo più semplice per ridurre una frazione. Considera la seguente frazione:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Nota che sia il numeratore (in alto) che il denominatore (in basso) hanno un termine (x+2), quindi può essere ridotto allo stesso modo del fattore comune 5 in 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

Di conseguenza, otteniamo un'espressione semplificata: (x-3)/(x+10)

Riduzione delle frazioni algebriche

Trova il fattore comune nel numeratore, cioè nella parte superiore della frazione. Quando si riduce una frazione algebrica, il primo passo è semplificare entrambe le sue parti. Inizia con il numeratore e cerca di scomporrlo in quanti più fattori possibili. Considera in questa sezione la seguente frazione:

9x-3 15x+6

Iniziamo con il numeratore: 9x - 3. Per 9x e -3, il fattore comune è il numero 3. Prendiamo 3 tra parentesi, come facciamo con i numeri ordinari: 3 * (3x-1). Come risultato di questa trasformazione, si ottiene la seguente frazione:

3(3x-1) 15x+6

Trova il fattore comune nel numeratore. Continuiamo l'esecuzione dell'esempio precedente e scriviamo il denominatore: 15x+6. Come prima, troviamo per quale numero entrambe le parti sono divisibili. E in questo caso il fattore comune è 3, quindi possiamo scrivere: 3 * (5x +2). Riscriviamo la frazione nella forma seguente:

3(3x-1) 3(5x+2)

Riduci termini identici. In questo passaggio, puoi semplificare la frazione. Cancella gli stessi termini al numeratore e al denominatore. Nel nostro esempio, questo numero è 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Determina che la frazione ha la forma più semplice. Una frazione è completamente semplificata quando non sono rimasti fattori comuni nel numeratore e nel denominatore. Nota che non puoi abbreviare quei termini che sono tra parentesi: nell'esempio sopra, non c'è modo di estrarre x da 3x e 5x, poiché (3x -1) e (5x + 2) sono membri a pieno titolo. Pertanto, la frazione non è suscettibile di ulteriore semplificazione e la risposta finale è la seguente:

(3x-1)(5x+2)

Esercitati a ridurre le frazioni da solo. Il modo migliore per imparare il metodo è risolvere i problemi da soli. Le risposte corrette sono fornite sotto gli esempi.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

Risposta:(x=13)

2x 2-x 5 volte

Risposta:(2x-1)/5

Mosse speciali

Sposta il segno negativo fuori dalla frazione. Supponiamo di avere la seguente frazione:

3(x-4) 5(4x)

Si noti che (x-4) e (4-x) sono "quasi" identici, ma non possono essere cancellati completamente perché sono "capovolti". Tuttavia, (x - 4) può essere scritto come -1 * (4 - x), così come (4 + 2x) può essere scritto come 2 * (2 + x). Questo è chiamato "inversione di segno".

-1*3(4-x) 5(4x)

Ora puoi ridurre gli stessi termini (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4x)

Quindi ecco la risposta finale: -3/5 . Impara a riconoscere la differenza dei quadrati. La differenza di quadrati è quando il quadrato di un numero viene sottratto dal quadrato di un altro numero, come nell'espressione (a 2 - b 2). La differenza dei quadrati perfetti può sempre essere scomposta in due parti: la somma e la differenza delle corrispondenti radici quadrate. Quindi l'espressione assumerà la seguente forma:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Questo trucco è molto utile quando si cercano termini comuni nelle frazioni algebriche.

• Controlla se hai scomposto correttamente questa o quell'espressione. Per fare ciò, moltiplica i fattori: il risultato dovrebbe essere la stessa espressione.
• Per semplificare completamente una frazione, seleziona sempre i fattori più grandi.