"la teoria della probabilità nei compiti dell'esame e dell'oge". Semplici problemi nella teoria della probabilità

Presentato fino ad oggi nella banca aperta dei problemi USE in matematica (mathege.ru), la cui soluzione si basa su una sola formula, che è una definizione classica di probabilità.

Il modo più semplice per comprendere la formula è con degli esempi.
Esempio 1 Ci sono 9 palline rosse e 3 blu nel canestro. Le palline differiscono solo per il colore. A caso (senza guardare) ne prendiamo uno. Qual è la probabilità che la pallina scelta in questo modo sia blu?

Commento. Nei problemi di probabilità, succede qualcosa (in questo caso, la nostra azione di tirare la palla) che può avere risultato diverso- risultato. Va notato che il risultato può essere visualizzato in diversi modi. Un risultato è anche "Abbiamo tirato fuori una palla". "Abbiamo tirato fuori la palla azzurra" è il risultato. "Abbiamo estratto questa palla particolare da tutte le palle possibili" - questa visione meno generalizzata del risultato è chiamata risultato elementare. Sono i risultati elementari che si intendono nella formula per il calcolo della probabilità.

Decisione. Ora calcoliamo la probabilità di scegliere una pallina blu.
Evento A: "la palla scelta è risultata blu"
Numero totale di tutti i possibili risultati: 9+3=12 (numero di tutte le palline che potremmo estrarre)
Numero di esiti favorevoli per l'evento A: 3 (il numero di tali esiti in cui si è verificato l'evento A, ovvero il numero di palline blu)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Risposta: 0,25

Calcoliamo per lo stesso problema la probabilità di scegliere una pallina rossa.
Il numero totale di possibili esiti rimarrà lo stesso, 12. Il numero di esiti favorevoli: 9. La probabilità desiderata: 9/12=3/4=0,75

La probabilità di qualsiasi evento è sempre compresa tra 0 e 1.
A volte nel linguaggio quotidiano (ma non nella teoria della probabilità!) la probabilità degli eventi è stimata in percentuale. La transizione tra valutazione matematica e conversazionale avviene moltiplicando (o dividendo) per il 100%.
Così,
In questo caso, la probabilità è zero per eventi che non possono accadere - improbabili. Ad esempio, nel nostro esempio, questa sarebbe la probabilità di estrarre una pallina verde dal canestro. (Il numero di esiti favorevoli è 0, P(A)=0/12=0 se conteggiato secondo la formula)
La probabilità 1 ha eventi che accadranno sicuramente, senza opzioni. Ad esempio, la probabilità che "la pallina scelta sia rossa o blu" è per il nostro problema. (Numero di esiti favorevoli: 12, P(A)=12/12=1)

Abbiamo esaminato un classico esempio che illustra la definizione di probabilità. Tutti simili UTILIZZA le attività secondo la teoria della probabilità vengono risolti applicando questa formula.
Al posto delle palline rosse e blu possono esserci mele e pere, ragazzi e ragazze, biglietti dotti e non, biglietti contenenti e non contenenti una domanda su un determinato argomento (prototipi, ), borse difettose e di alta qualità o pompe da giardino (prototipi , ) - il principio rimane lo stesso.

Differiscono leggermente nella formulazione del problema della teoria della probabilità USE, dove è necessario calcolare la probabilità che un evento si verifichi in un determinato giorno. ( , ) Come nelle attività precedenti, è necessario determinare quale sia un risultato elementare e quindi applicare la stessa formula.

Esempio 2 La conferenza dura tre giorni. Il primo e il secondo giorno, 15 relatori ciascuno, il terzo giorno - 20. Qual è la probabilità che la relazione del professor M. cada il terzo giorno, se l'ordine delle relazioni è determinato a sorte?

Qual è il risultato elementare qui? - Assegnare la relazione di un professore a uno di tutti i numeri seriali possibili per un discorso. Al sorteggio partecipano 15+15+20=50 persone. Pertanto, la relazione del professor M. può ricevere uno di 50 numeri. Ciò significa che ci sono solo 50 risultati elementari.
Quali sono gli esiti favorevoli? - Quelle in cui risulta che il professore parlerà il terzo giorno. Cioè, gli ultimi 20 numeri.
Secondo la formula, la probabilità P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Risposta: 0.4

L'estrazione a sorte qui è l'instaurazione di una corrispondenza casuale tra persone e luoghi ordinati. Nell'Esempio 2, la corrispondenza è stata considerata in termini di quale dei posti una determinata persona potrebbe prendere. Puoi avvicinarti alla stessa situazione dall'altra parte: quale delle persone con quale probabilità potrebbe arrivare in un luogo particolare (prototipi , , , ):

Esempio 3 Al sorteggio partecipano 5 tedeschi, 8 francesi e 3 estoni. Qual è la probabilità che il primo (/secondo/settimo/ultimo - non importa) sia un francese.

Il numero dei risultati elementari è il numero di tutti persone possibili chi potrebbe, a sorte, entrare dato luogo. 5+8+3=16 persone.
Esiti favorevoli: i francesi. 8 persone.
Probabilità desiderata: 8/16=1/2=0,5
Risposta: 0,5

Il prototipo è leggermente diverso. Ci sono attività su monete () e dadi () che sono un po' più creative. Le soluzioni a questi problemi possono essere trovate nelle pagine dei prototipi.

Ecco alcuni esempi di lancio di monete o di dadi.

Esempio 4 Quando lanciamo una moneta, qual è la probabilità di ottenere croce?
Risultato 2 - testa o croce. (si ritiene che la moneta non cada mai sul bordo) Risultato favorevole - croce, 1.
Probabilità 1/2=0,5
Risposta: 0,5.

Esempio 5 E se lanciassimo una moneta due volte? Qual è la probabilità che esca testa entrambe le volte?
La cosa principale è determinare quali risultati elementari prenderemo in considerazione quando si lanciano due monete. Dopo aver lanciato due monete, può verificarsi uno dei seguenti risultati:
1) PP - entrambe le volte è uscito croce
2) PO - la prima volta croce, la seconda volta testa
3) OP - la prima volta testa, la seconda volta croce
4) OO - testa a testa entrambe le volte
Non ci sono altre opzioni. Ciò significa che gli esiti elementari sono 4. Solo il primo è favorevole, 1.
Probabilità: 1/4=0,25
Risposta: 0,25

Qual è la probabilità che due lanci di una moneta escano croce?
Il numero di risultati elementari è lo stesso, 4. Gli esiti favorevoli sono il secondo e il terzo, 2.
Probabilità di ottenere una coda: 2/4=0,5

In tali problemi, un'altra formula può tornare utile.
Se con un lancio di una moneta opzioni abbiamo 2 risultati, quindi per due tiri i risultati saranno 2 2=2 2 =4 (come nell'esempio 5), per tre tiri 2 2 2=2 3 =8, per quattro: 2 2 2 2 =2 4 = 16, … per N tiri ci sono 2·2·...·2=2 N possibili esiti.

Quindi, puoi trovare la probabilità di ottenere 5 croce su 5 lanci di monete.
Il numero totale di risultati elementari: 2 5 =32.
Esiti favorevoli: 1. (RRRRRR - tutte e 5 le crocette)
Probabilità: 1/32=0,03125

Lo stesso vale per i dadi. Con un tiro i risultati possibili sono 6. Quindi, per due tiri: 6 6=36, per tre 6 6 6=216, ecc.

Esempio 6 Tiriamo un dado. Qual è la probabilità di ottenere un numero pari?

Risultato totale: 6, in base al numero di facce.
Favorevole: 3 esiti. (2, 4, 6)
Probabilità: 3/6=0,5

Esempio 7 Lancia due dadi. Qual è la probabilità che il totale dia 10? (arrotondato ai centesimi)

Ci sono 6 possibili risultati per un dado. Quindi, per due, secondo la regola di cui sopra, 6·6=36.
Quali risultati saranno favorevoli alla caduta di un totale di 10?
10 deve essere scomposto nella somma di due numeri da 1 a 6. Questo può essere fatto in due modi: 10=6+4 e 10=5+5. Quindi, per i cubi, sono possibili opzioni:
(6 sulla prima e 4 sulla seconda)
(4 sulla prima e 6 sulla seconda)
(5 sulla prima e 5 sulla seconda)
In totale, 3 opzioni. Probabilità desiderata: 3/36=1/12=0,08
Risposta: 0,08

Altri tipi di problemi B6 saranno discussi in uno dei seguenti articoli "Come risolvere".

Descrizione della presentazione su singole diapositive:

1 diapositiva

Descrizione della diapositiva:

Compiti chiave nella teoria della probabilità Preparazione per l'OGE n. 9 MBOU "Gymnasium n. 4 intitolato. COME. Pushkin” Compilato da: Sofina N.Yu.

2 diapositive

Descrizione della diapositiva:

Requisiti di base verificabili per la preparazione matematica N. 9 OGE in matematica Risolvere problemi pratici che richiedono un'enumerazione sistematica delle opzioni; confrontare le probabilità di accadimento di eventi casuali, valutare le probabilità di un evento casuale, confrontare ed esplorare modelli di una situazione reale utilizzando l'apparato della probabilità e della statistica. N. 9 - compito di base. Il punteggio massimo per il completamento dell'attività è 1.

3 diapositiva

Descrizione della diapositiva:

La probabilità di un evento A è il rapporto tra il numero m di esiti favorevoli a questo evento e numero totale n tutti gli eventi ugualmente possibili incompatibili che possono verificarsi a seguito di un test o di un'osservazione Definizione classica di probabilità Richiamare la formula per calcolare la probabilità classica di un evento casuale Р = n m

4 diapositive

Descrizione della diapositiva:

Definizione classica di probabilità Esempio: Il Comitato Genitori ha acquistato 40 pagine da colorare per regali di laurea per bambini anno scolastico. Di questi, 14 sono basati sulle fiabe di A.S. Pushkin e 26 basati sulle fiabe di G.Kh. Andersen. I regali sono distribuiti casualmente. Trova la probabilità che Nastya riceva un libro da colorare basato sulle fiabe di A.S. Puskin. Soluzione: m= 14; n= 14 +26=40 Р= 14/40= 0,35 Risposta: 0,35.

5 diapositiva

Descrizione della diapositiva:

Esempio: c'erano 60 domande per l'esame. Ivan non ne ha imparati 3. Trova la probabilità che si imbatta nella domanda appresa. Soluzione: qui n=60. Ivan non ha imparato 3, quindi ha imparato tutto il resto, ad es. m=60-3=57. P=57/60=0,95. Definizione classica di probabilità Risposta: 0,95.

6 diapositiva

Descrizione della diapositiva:

"L'ordine è determinato da un pareggio" Esempio: 20 atleti partecipano al campionato di ginnastica: 8 dalla Russia, 7 dagli Stati Uniti, il resto dalla Cina. L'ordine in cui si esibiscono le ginnaste è determinato a sorte. Trova la probabilità che il quinto atleta sia cinese. Soluzione: nella condizione del problema c'è una parola "magica" "lotto", il che significa che dimentichiamo l'ordine di parola. Quindi, m= 20-8-7=5 (dalla Cina); n=20. P \u003d 20/5 \u003d 0,25. Risposta: 0,25.

7 diapositiva

Descrizione della diapositiva:

Esempio: una conferenza scientifica si tiene in 5 giorni. Sono previsti un totale di 75 rapporti: i primi 3 giorni, 17 rapporti ciascuno, il resto è distribuito equamente tra il 4° e il 5° giorno. L'ordine dei rapporti è determinato da un sorteggio. Qual è la probabilità che la relazione del professor Ivanov sia programmata per l'ultimo giorno della conferenza? Soluzione: mettiamo i dati nella tabella. Abbiamo ottenuto che m=12; n=75. P=12/75=0,16. Risposta: 0,16. “Ordine determinato dalla lotteria” Giorno I II III IV V Totale Numero di presentazioni 17 17 17 12 12 75

8 diapositiva

Descrizione della diapositiva:

Frequenza dell'evento Allo stesso modo della probabilità, si trova la frequenza dell'evento, i cui compiti sono anche nei prototipi. Qual è la differenza? La probabilità è un valore prevedibile e la frequenza è un dato di fatto. Esempio: la probabilità che un nuovo tablet venga riparato entro un anno è 0,045. In una certa città, su 1000 tablet venduti nell'anno, 51 pezzi sono arrivati ​​in officina di garanzia. Quanto è diversa la frequenza dell'evento "riparazione in garanzia" dalla sua probabilità in questa città? Soluzione: trova la frequenza dell'evento: 51/1000=0,051. E la probabilità è 0,045 (a seconda della condizione), ciò significa che in questa città l'evento “riparazione in garanzia” si verifica più spesso del previsto. Troviamo la differenza ∆= 0,051- 0,045= 0,006. Allo stesso tempo, dobbiamo tenere conto che il segno della differenza NON è importante per noi, ma solo il suo valore assoluto. Risposta: 0,006.

9 diapositiva

Descrizione della diapositiva:

Problemi con l'enumerazione delle opzioni ("monete", "fiammiferi") Sia k il numero di lanci di monete, quindi il numero di possibili esiti: n = 2k. Esempio: in un esperimento casuale, una moneta simmetrica viene lanciata due volte. Trova la probabilità che esca testa esattamente una volta. Soluzione: Opzioni per la consegna delle monete: OO; O; RR; RO. Quindi, n=4. Esiti favorevoli: RR e RR. Cioè, m = 2. P = 2/4 = 1/2 = 0,5. Risposta: 0,5.

10 diapositive

Descrizione della diapositiva:

Esempio: prima di iniziare partita di calcio L'arbitro lancia una moneta per determinare quale squadra avrà la palla per prima. La squadra "Mercury" gioca a sua volta con le squadre "Mars", "Jupiter", "Urano". Trova la probabilità che in tutte le partite il diritto di possedere la palla sia vinto dalla squadra "Mercury"? Problemi con l'enumerazione delle opzioni ("monete", "fiammiferi") Soluzione: Designiamo il diritto di possesso del primo pallone della squadra "Mercury" nell'incontro con una delle altre tre squadre come "Croce". Quindi il diritto di possesso della seconda palla di questa squadra è "Aquila". Quindi, scriviamo tutti i possibili risultati del lancio di una moneta tre volte. "O" - testa, "P" - croce. ; cioè, n=8; m=1. P=1/8=0,125. Risposta: 0,125 n = 23 "Marte" "Giove" "Urano"

11 diapositiva

Descrizione della diapositiva:

Problemi sui "dadi" (dadi) Sia k il numero di lanci dei dadi, quindi il numero di possibili esiti: n = 6k. Esempio: Dasha lancia un dado due volte. Trova la probabilità che il suo totale abbia ottenuto 8. Arrotonda il risultato al centesimo più vicino. Risposta: 0,14. Soluzione: La somma dei due dadi deve essere 8 punti. Ciò è possibile se sono presenti le seguenti combinazioni: 2 e 6 6 e 2 3 e 5 5 e 3 4 e 4 m= 5 (5 combinazioni adatte) n \u003d 36 P \u003d 5/36 \u003d 0,13 (8)

12 diapositiva

Descrizione della diapositiva:

Eventi indipendenti e legge della moltiplicazione La probabilità di trovare sia il 1°, sia il 2° e l'n-esimo evento si trovano con la formula: Р= Р1*Р2*…*Рn Esempio: Un biatleta spara cinque volte al bersaglio. La probabilità di colpire il bersaglio con un colpo è 0,8. Trova la probabilità che il biatleta abbia colpito i bersagli le prime tre volte e mancato le ultime due. Arrotonda il risultato al centesimo più vicino. Risposta: 0,02. Soluzione: Il risultato di ogni scatto successivo non dipende da quelli precedenti. Pertanto, gli eventi "hanno colpito al primo colpo", "hanno colpito il secondo colpo", ecc. indipendente. La probabilità di ogni colpo è 0,8. Quindi la probabilità di un errore è 1 - 0,8 = 0,2. 1 colpo: 0.8 2 colpi: 0.8 3 colpi: 0.8 4 colpi: 0.2 5 colpi: 0.2 .8 ∙ 0.2 ∙ 0.2 = 0.02048 ≈ 0.02.

13 diapositiva

Descrizione della diapositiva:

Combinazioni di leggi "e" e leggi "o" Esempio: un ufficio acquista articoli di cancelleria per i dipendenti di 3 diverse aziende. Inoltre, i prodotti della 1a azienda costituiscono il 40% di tutte le consegne e il resto della 2a azienda è equamente diviso. Si è scoperto che il 2% delle penne della seconda azienda sono difettose. La percentuale di matrimonio nella 1a e 3a azienda, rispettivamente, è dell'1% e del 3%. L'impiegato A ha preso una penna da una nuova spedizione. Trova la probabilità che sia corretto. Soluzione: I prodotti della 2a e 3a azienda sono (100%-40%):2=30% delle forniture. P(matrimonio) \u003d 0,4 0,01 + 0,3 0,02 + 0,3 0,03 \u003d 0,019. P (penne riparabili) \u003d 1 - 0,019 \u003d 0,981. Risposta: 0,981.

Compiti facili

Ci sono 25 torte sul tavolo: 7 - con marmellata, 9 - con patate, il resto con cavolo. Qual è la probabilità che una torta scelta a caso sia con cavolo?

0,36

Il taxi impiega 40 auto: 14 sono marchi Lada, 8 sono marchi Renault, 2 sono marchi Mercedes e il resto sono marchi Skoda. Qual è la probabilità che una Mercedes venga alla tua chiamata?

0,05

Determina la probabilità che esca un numero di almeno tre quando viene lanciato un dado.

Ira, Dima, Vasya, Natasha e Andrey superano lo standard in 60 metri. Qual è la probabilità che la ragazza corra più veloce?

La probabilità che un telefono acquistato in un sottopassaggio sia falso è 0,83. Qual è la probabilità che il telefono acquistato nella transizione non sia un falso?

0,17

Al torneo di basket partecipano 20 squadre, inclusa la squadra “Ragazzi”. Tutte le squadre sono divise in 4 gironi: A, B, C, D. Qual è la probabilità che la squadra “Ragazzi” sia nel girone A?

0,25

La borsa della lotteria contiene fusti numerati da 5 a 94 inclusi. Qual è la probabilità che il fusto estratto dalla borsa contenga un numero a due cifre? Arrotonda la tua risposta al centesimo più vicino.

0,94

Prima dell'esame, Igor ha raggiunto l'ultimo ed è riuscito a imparare solo 5 biglietti su 80. Determina la probabilità che incontri un biglietto appreso.

0,0625

Anya accende la radio e seleziona casualmente un'onda radio. In totale, il suo ricevitore radio cattura 20 onde radio e solo 7 di esse entrano questo momento la musica sta suonando. Trova la probabilità che Anya cada su un'onda musicale.

0,35

In ogni ventesima bottiglia di soda, sotto il tappo è nascosto un codice con una vincita. Determina la probabilità che la bottiglia acquistata abbia un codice vincente sotto il tappo.

0,05

I compiti sono più difficili

Qual è la probabilità che un numero di 3 cifre scelto a caso sia divisibile per 5?

0,2

Viene registrata l'altezza (in cm) di cinque studenti: 166, 158, 132, 136, 170. Quanto differisce la media aritmetica di questo insieme di numeri dalla sua mediana?

Secondo le statistiche di un piccolo paese, è noto che la probabilità che il bambino nato sia un maschio è 0,507. Nel 2017, c'erano una media di 486 ragazze ogni 1.000 bambini nati in questo paese. Quanto è diversa la frequenza delle nascite femminili nel 2017 in questo paese dalla probabilità di questo evento?

0,007

Un dado viene lanciato due volte. Trova la probabilità che la somma dei due numeri estratti sia 3 o 7. Arrotonda la risposta al centesimo più vicino.

0,22

Qual è la probabilità che un numero di tre cifre scelto a caso sia divisibile per 2?

0,5

Trova la probabilità che due lanci di monete escano croce esattamente una volta.

0,5

Un dado viene lanciato due volte, trova la probabilità che un numero maggiore di tre esca entrambe le volte. Arrotonda la tua risposta al centesimo più vicino.

0,31

Secondo le statistiche di un piccolo paese, è noto che la probabilità che un bambino nasca un maschio è 0,594. Nel 2017, c'erano una media di 513 ragazze ogni 1.000 bambini nati in questo paese. Quanto è diversa la frequenza delle nascite femminili nel 2017 in questo paese dalla probabilità di questo evento?

0,107

Viene registrata l'altezza (in cm) di cinque studenti: 184, 145, 176, 192, 174. Quanto differisce la media aritmetica di questo insieme di numeri dalla sua mediana?

1,8

L'altezza media degli abitanti del villaggio "Giants" è di 194 cm L'altezza di Nikolai Petrovich è di 195 cm Quale delle seguenti affermazioni è corretta?

1) L'altezza di uno degli abitanti del villaggio deve essere di 194 cm.

2) Nikolai Petrovich è il residente più alto del villaggio.

3) Ci sarà sicuramente almeno un uomo da questo villaggio sotto Nikolai Petrovich.

4) Ci sarà sicuramente almeno un residente di questo villaggio sotto Nikolai Petrovich.

4

Compiti difficili

Il tiratore spara 4 volte con una pistola ai bersagli. La probabilità del suo colpo esatto sul bersaglio con un colpo è 0,5. Trova la probabilità che il tiratore colpisca il bersaglio le prime due volte e manchi le ultime due.

0,0625

La probabilità che la batteria sia difettosa è 0,05. Il cliente in negozio sceglie un pacco casuale con due batterie. Trova la probabilità che entrambe le batterie siano buone.

0,9025

Il tiratore spara ai bersagli 5 volte di seguito. La probabilità di colpire il bersaglio quando viene sparato è 0,7. Trova la probabilità che il tiratore abbia colpito il bersaglio le prime quattro volte e mancato l'ultima volta. Arrotonda il risultato al centesimo più vicino.

Gli eventi che si verificano nella realtà o nella nostra immaginazione possono essere suddivisi in 3 gruppi. Questi sono determinati eventi che sono destinati ad accadere, eventi impossibili ed eventi casuali. La teoria della probabilità studia gli eventi casuali, ad es. eventi che possono verificarsi o meno. Questo articolo sarà presentato in sommario formule di teoria della probabilità ed esempi di risoluzione di problemi in teoria della probabilità, che saranno nel 4° compito dell'USE in matematica (livello di profilo).

Perché abbiamo bisogno della teoria della probabilità

Storicamente, la necessità di studiare questi problemi è sorta nel XVII secolo in connessione con lo sviluppo e la professionalizzazione di gioco d'azzardo e l'avvento del casinò. Era un fenomeno reale che richiedeva il suo studio e la sua ricerca.

Carte da gioco, dadi, roulette creavano situazioni in cui poteva verificarsi uno qualsiasi di un numero finito di eventi ugualmente probabili. Era necessario fornire stime numeriche della possibilità del verificarsi di un evento.

Nel 20° secolo, è diventato chiaro che questa scienza apparentemente frivola gioca un ruolo importante nella comprensione dei processi fondamentali che si verificano nel microcosmo. È stato creato teoria moderna probabilità.

Concetti di base della teoria della probabilità

L'oggetto di studio della teoria della probabilità sono gli eventi e le loro probabilità. Se l'evento è complesso, può essere scomposto in componenti semplici, le cui probabilità sono facili da trovare.

La somma degli eventi A e B è chiamata evento C, che consiste nel fatto che l'evento A, o l'evento B, o gli eventi A e B si sono verificati contemporaneamente.

Il prodotto degli eventi A e B è l'evento C, che consiste nel fatto che si sono verificati sia l'evento A che l'evento B.

Gli eventi A e B si dicono incompatibili se non possono verificarsi contemporaneamente.

Un evento A si dice impossibile se non può accadere. Un tale evento è indicato dal simbolo .

Un evento A si dice certo se si verificherà definitivamente. Un tale evento è indicato dal simbolo .

Assegniamo a ciascun evento A un numero P(A). Questo numero P(A) è detto probabilità dell'evento A se con tale corrispondenza sono soddisfatte le seguenti condizioni.

Un caso particolare importante è la situazione in cui ci sono risultati elementari ugualmente probabili e arbitrari di questi risultati formano eventi A. In questo caso, la probabilità può essere introdotta dalla formula . La probabilità introdotta in questo modo è chiamata probabilità classica. Si può dimostrare che le proprietà 1-4 valgono in questo caso.

I problemi di teoria della probabilità, che si trovano all'esame di matematica, sono principalmente legati alla probabilità classica. Tali compiti possono essere molto semplici. Particolarmente semplici sono i problemi della teoria della probabilità in versioni demo. È facile calcolare il numero di esiti favorevoli, il numero di tutti gli esiti è scritto direttamente nella condizione.

Otteniamo la risposta secondo la formula.

Un esempio di un compito dell'esame di matematica per determinare la probabilità

Ci sono 20 torte sul tavolo: 5 con cavolo cappuccio, 7 con mele e 8 con riso. Marina vuole prendere una torta. Qual è la probabilità che lei prenda la torta di riso?

Decisione.

Ci sono 20 risultati elementari equiprobabili in totale, cioè Marina può prendere una qualsiasi delle 20 torte. Ma dobbiamo stimare la probabilità che Marina prenda il tortino di riso, cioè dove A è la scelta del tortino di riso. Ciò significa che abbiamo un totale di 8 esiti favorevoli (scegliendo le torte di riso), quindi la probabilità sarà determinata dalla formula:

Eventi indipendenti, opposti e arbitrari

Tuttavia, nella banca aperta di compiti, più di compiti difficili. Pertanto, attiriamo l'attenzione del lettore su altre questioni studiate nella teoria della probabilità.

Gli eventi A e B sono detti indipendenti se la probabilità di ciascuno di essi non dipende dal fatto che l'altro evento si sia verificato.

L'evento B consiste nel fatto che l'evento A non si è verificato, cioè l'evento B è opposto all'evento A. La probabilità dell'evento opposto è uguale a uno meno la probabilità dell'evento diretto, cioè .

Teoremi di addizione e moltiplicazione, formule

Per gli eventi arbitrari A e B, la probabilità della somma di questi eventi è uguale alla somma delle loro probabilità senza la probabilità del loro evento congiunto, cioè .

Per gli eventi indipendenti A e B, la probabilità del prodotto di questi eventi è uguale al prodotto delle loro probabilità, cioè in questo caso .

Le ultime 2 affermazioni sono chiamate teoremi di addizione e moltiplicazione delle probabilità.

Non sempre contare il numero di risultati è così semplice. In alcuni casi è necessario utilizzare formule combinatorie. La cosa più importante è contare il numero di eventi che soddisfano determinate condizioni. A volte tali calcoli possono diventare compiti indipendenti.

In quanti modi 6 studenti possono sedere in 6 posti vuoti? Il primo studente prenderà uno qualsiasi dei 6 posti. Ognuna di queste opzioni corrisponde a 5 modi per posizionare il secondo studente. Per il terzo studente sono previsti 4 posti liberi, per il quarto - 3, per il quinto - 2 il sesto prenderà l'unico posto rimasto. Per trovare il numero di tutte le opzioni, devi trovare il prodotto, che è indicato dal simbolo 6! e leggi "sei fattoriale".

Nel caso generale, la risposta a questa domanda è data dalla formula per il numero di permutazioni di n elementi.Nel nostro caso, .

Consideriamo ora un altro caso con i nostri studenti. In quanti modi possono sedere 2 studenti in 6 posti vuoti? Il primo studente prenderà uno qualsiasi dei 6 posti. Ognuna di queste opzioni corrisponde a 5 modi per posizionare il secondo studente. Per trovare il numero di tutte le opzioni, devi trovare il prodotto.

Nel caso generale, la risposta a questa domanda è data dalla formula per il numero di posizionamenti di n elementi per k elementi

Nel nostro caso .

E l'ultimo di questa serie. Quanti modi ci sono per scegliere 3 studenti su 6? Il primo studente può essere scelto in 6 modi, il secondo in 5 modi e il terzo in 4 modi. Ma tra queste opzioni, gli stessi tre studenti ricorrono 6 volte. Per trovare il numero di tutte le opzioni, devi calcolare il valore: . Nel caso generale, la risposta a questa domanda è data dalla formula per il numero di combinazioni di elementi per elementi:

Nel nostro caso .

Esempi di risoluzione dei problemi dell'esame di matematica per determinare la probabilità

Compito 1. Dalla raccolta, ed. Yashchenko.

Ci sono 30 focacce su un piatto: 3 con carne, 18 con cavolo cappuccio e 9 con ciliegie. Sasha sceglie a caso una torta. Trova la probabilità che finisca con una ciliegia.

.

Risposta: 0.3.

Problema 2. Dalla raccolta, ed. Yashchenko.

In ogni lotto di 1000 lampadine, una media di 20 difettose. Trova la probabilità che una lampadina scelta a caso da un lotto sia buona.

Soluzione: il numero di lampadine utilizzabili è 1000-20=980. Quindi la probabilità che una lampadina presa a caso dal lotto sia funzionante è:

Risposta: 0,98.

La probabilità che lo studente U. risolva correttamente più di 9 problemi in un test di matematica è 0,67. La probabilità che U. risolva correttamente più di 8 problemi è 0,73. Trova la probabilità che U. risolva correttamente esattamente 9 problemi.

Se immaginiamo una linea numerica e vi segniamo i punti 8 e 9, allora vedremo che la condizione "U. risolvere correttamente esattamente 9 problemi” è incluso nella condizione “U. risolvere correttamente più di 8 problemi", ma non si applica alla condizione "W. risolvere correttamente più di 9 problemi.

Tuttavia, la condizione "U. risolvere correttamente più di 9 problemi" è contenuta nella condizione "U. risolvere correttamente più di 8 problemi. Quindi, se designiamo eventi: “W. risolvere correttamente esattamente 9 problemi" - attraverso A, "U. risolvere correttamente più di 8 problemi" - tramite B, "U. risolvi correttamente più di 9 problemi "attraverso C. Quindi la soluzione sarà simile a questa:

Risposta: 0,06.

Nell'esame di geometria, lo studente risponde a una domanda dall'elenco delle domande d'esame. La probabilità che si tratti di una domanda di trigonometria è 0,2. La probabilità che questa sia una domanda Outer Corners è 0,15. Non ci sono domande relative a questi due argomenti contemporaneamente. Trova la probabilità che lo studente riceva una domanda su uno di questi due argomenti dell'esame.

Pensiamo a quali eventi abbiamo. Ci vengono dati due eventi incompatibili. Cioè, la domanda riguarderà l'argomento "Trigonometria" o l'argomento "Angoli esterni". Secondo il teorema di probabilità, la probabilità di eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità di ogni evento, dobbiamo trovare la somma delle probabilità di questi eventi, ovvero:

Risposta: 0,35.

La stanza è illuminata da una lanterna con tre lampade. La probabilità che una lampada si spenga in un anno è 0,29. Trova la probabilità che almeno una lampada non si esaurisca entro un anno.

Consideriamo possibili eventi. Abbiamo tre lampadine, ognuna delle quali può bruciarsi o meno indipendentemente da qualsiasi altra lampadina. Questi sono eventi indipendenti.

Quindi indicheremo le varianti di tali eventi. Accettiamo la notazione: - la lampadina è accesa, - la lampadina è bruciata. E subito dopo calcoliamo la probabilità di un evento. Ad esempio, la probabilità di un evento in cui si sono verificati tre eventi indipendenti “lampadina bruciata”, “lampadina accesa”, “lampadina accesa”: .

Si noti che ci sono solo 7 eventi incompatibili a noi favorevoli La probabilità di tali eventi è uguale alla somma delle probabilità di ciascuno degli eventi: .

Risposta: 0,975608.

Puoi vedere un altro problema nella foto:

Così, tu ed io abbiamo capito cos'è la teoria della probabilità, formule ed esempi di problem solving per i quali puoi incontrare nella versione dell'esame.

Questa presentazione presenta i problemi più comuni nell'esame di teoria della probabilità. Compiti di livello base. La presentazione aiuterà sia gli insegnanti nelle lezioni di generalizzazione della ripetizione, sia gli studenti auto allenamento all'esame.

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Didascalie delle diapositive:

TEORIA DELLA PROBABILITÀ COMPITI CHIAVE Prepararsi per l'OGE

LANCIO DELLA MONETA

1. Una moneta viene lanciata due volte. Qual è la probabilità di ottenere una testa e una croce? Decisione: quando si lancia una moneta, sono possibili due risultati: "testa" o "croce". Quando si lanciano due monete - 4 risultati (2 * 2 \u003d 4): "aquila" - "code" "code" - "code" "code" - "eagles" "eagles" - "eagles" Una "aquila" e una "croce" cadrà in due casi su quattro. P(A)=2:4=0,5. Risposta: 0,5.

2. Una moneta viene lanciata tre volte. Qual è la probabilità di ottenere due teste e una croce? Soluzione: quando viene lanciato tre monete Sono possibili 8 risultati (2*2*2=8): “aquila” - “croce” - “croce” “croce” - “croce” - “croce” “croce” - “testa” - “croce” “testa” - "aquila" - "code" "code" - "code" - "teste" "code" - "eagles" - "eagles" "eagles" - "code" - "eagles" "eagles" - "eagles" - " aquile" » Due "aquile" e una "coda" cadranno dentro tre casi su otto. P(A)=3:8=0,375. Risposta: 0,375.

3. In un esperimento casuale, una moneta simmetrica viene lanciata quattro volte. Trova la probabilità che non esca mai testa. Soluzione: quando si lanciano quattro monete, sono possibili 16 risultati: (2 * 2 * 2 * 2 = 16): risultati favorevoli - 1 (cadranno quattro croci). P(A)=1:16=0,0625. Risposta: 0,0625.

GIOCO DEI DADI

4. Determinare la probabilità che più di tre punti siano caduti quando è stato lanciato il dado. Soluzione: ci sono 6 possibili risultati in totale. I numeri grandi sono 3 - 4, 5, 6. P(A)=3:6=0,5. Risposta: 0,5.

5. Viene lanciato un dado. Trova la probabilità di ottenere un numero pari di punti. Soluzione: Totale risultati possibili - 6. 1, 3, 5 - numeri dispari; 2, 4, 6 sono numeri pari. La probabilità di ottenere un numero pari di punti è 3:6=0,5. Risposta: 0,5.

6. In un esperimento casuale, vengono lanciati due dadi. Trova la probabilità di ottenere 8 punti in totale. Arrotonda il risultato al centesimo più vicino. Soluzione: questa azione - lanciare due dadi ha un totale di 36 possibili risultati, poiché 6² = 36. Risultati favorevoli: 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 La probabilità di ottenere otto punti è 5:36 ≈ 0,14. Risposta: 0,14.

7. Lancia un dado due volte. In totale, sono caduti 6 punti. Trova la probabilità di ottenere 5 su uno dei lanci. Decisione: Risultati totali di 6 punti - 5: 2 e 4; 4 e 2; 3 e 3; 1 e 5; 5 e 1. Risultati favorevoli - 2. P(A)=2:5=0,4. Risposta: 0.4.

8. C'erano 50 biglietti nell'esame, Timofey non ne ha imparati 5. Trova la probabilità che otterrà il biglietto appreso. Soluzione: Timofey ha appreso 45 biglietti. P(A)=45:50=0,9. Risposta: 0.9.

CONCORSI

9. 20 atleti partecipano al campionato di ginnastica: 8 dalla Russia, 7 dagli Stati Uniti, il resto dalla Cina. L'ordine di esecuzione è determinato a sorte. Trova la probabilità che l'atleta che gareggia per primo provenga dalla Cina. Soluzione: risultati totali 20. Risultati favorevoli 20-(8+7)=5. P(A)=5:20=0,25. Risposta: 0,25.

10. 4 atleti dalla Francia, 5 dall'Inghilterra e 3 dall'Italia hanno partecipato alla gara di lancio del peso. L'ordine delle esibizioni è determinato da un pareggio. Trova la probabilità che il quinto atleta sia italiano. Soluzione: il numero di tutti i possibili risultati è 12 (4 + 5 + 3 = 12). Il numero di esiti favorevoli è 3. P(A)=3:12=0,25. Risposta: 0,25.

11. Prima dell'inizio del primo round del campionato di badminton, i partecipanti vengono divisi casualmente in coppie di gioco tramite sorteggio. In totale, 26 giocatori di badminton partecipano al campionato, inclusi 12 partecipanti dalla Russia, tra cui Vladimir Orlov. Trova la probabilità che al primo turno Vladimir Orlov giocherà con un qualsiasi giocatore di badminton russo? Decisione: risultati totali - 25 (Vladimir Orlov con 25 giocatori di badminton). Esiti favorevoli - (12-1) = 11. P(A)=11:25=0,44. Risposta: 0,44.

12. Il concorso degli esecutori si svolge in 5 giorni. Sono stati annunciati un totale di 75 spettacoli, uno per ogni paese. Ci sono 27 spettacoli il primo giorno, il resto è distribuito equamente tra i giorni rimanenti. L'ordine delle esibizioni è determinato da un pareggio. Qual è la probabilità che l'esibizione del rappresentante della Russia avrà luogo il terzo giorno della competizione? Decisione: Risultati totali - 75. Gli artisti russi si esibiscono il terzo giorno. Esiti favorevoli - (75-27): 4 = 12. P(A)=12: 75=0,16. Risposta: 0,16.

13. Kolya sceglie un numero a due cifre. Trova la probabilità che sia divisibile per 5. Soluzione: Numeri a due cifre: 10;11;12;…;99. Risultati totali - 90. Numeri divisibili per 5: 10; quindici; 20; 25; …; 90; 95. Risultati favorevoli - 18. P(A)=18:90=0,2. Risposta: 0.2.

COMPITI DIVERSI PER DETERMINARE LA PROBABILITÀ

14. La fabbrica produce borse. In media, ogni 170 buste di qualità, ci sono sei buste con difetti nascosti. Trova la probabilità che la borsa acquistata sia di alta qualità. Arrotonda il risultato al centesimo più vicino. Soluzione: Risultati totali - 176. Risultati favorevoli - 170. Р(А)=170:176 ≈ 0,97. Risposta: 0,97.

15. In media, su 100 batterie vendute, vengono caricate 94 batterie. Trova la probabilità che la batteria acquistata non sia carica. Soluzione: Risultati totali - 100. Risultati favorevoli - 100-94=6. P(A)=6:100=0,06. Risposta: 0,06.

FONTI http://mathgia.ru http://www.schoolmathematics.ru