Trova l'angolo tra le equazioni date dirette. Angolo tra le linee

Definizione. Se vengono date due rette y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , allora l'angolo acuto tra queste rette sarà definito come

Due rette sono parallele se k 1 = k 2 . Due rette sono perpendicolari se k 1 = -1/ k 2 .

Teorema. Le rette Ax + Vy + C \u003d 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sono parallele quando i coefficienti A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB sono proporzionali. Se anche С 1 = λС, allora le linee coincidono. Le coordinate del punto di intersezione di due rette si trovano come soluzione al sistema di equazioni di queste rette.

Equazione di una retta passante per un dato punto

Perpendicolare a questa linea

Definizione. La retta passante per il punto M 1 (x 1, y 1) e perpendicolare alla retta y \u003d kx + b è rappresentata dall'equazione:

Distanza da punto a linea

Teorema. Se viene fornito un punto M(x 0, y 0), la distanza dalla linea Ax + Vy + C \u003d 0 è definita come

Prova. Sia il punto M 1 (x 1, y 1) la base della perpendicolare caduta dal punto M alla retta data. Quindi la distanza tra i punti M e M 1:

(1)

Le coordinate x 1 e y 1 possono essere trovate come soluzione del sistema di equazioni:

La seconda equazione del sistema è l'equazione di una retta passante per un dato punto M 0 perpendicolare ad una data retta. Se trasformiamo la prima equazione del sistema nella forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Per 0 + C = 0,

quindi, risolvendo, otteniamo:

Sostituendo queste espressioni nell'equazione (1), troviamo:

Il teorema è stato dimostrato.

Esempio. Determina l'angolo tra le linee: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Esempio. Mostra che le linee 3x - 5y + 7 = 0 e 10x + 6y - 3 = 0 sono perpendicolari.

Decisione. Troviamo: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, quindi le linee sono perpendicolari.

Esempio. Sono dati i vertici del triangolo A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Trova l'equazione per l'altezza ricavata dal vertice C.

Decisione. Troviamo l'equazione del lato AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3 anni + 3 = 0;

L'equazione dell'altezza desiderata è: Ax + By + C = 0 o y = kx + b. k = . Allora y = . Perché l'altezza passa per il punto C, quindi le sue coordinate soddisfano questa equazione: da cui b = 17. Totale: .

Risposta: 3x + 2y - 34 = 0.

Equazione di una retta passante per un dato punto in una data direzione. Equazione di una retta passante per due punti dati. Angolo tra due linee. Condizione di parallelismo e perpendicolarità di due rette. Determinazione del punto di intersezione di due rette

1. Equazione di una retta passante per un dato punto UN(X 1 , y 1) in una determinata direzione, determinata dalla pendenza K,

y - y 1 = K(X - X 1). (1)

Questa equazione definisce una matita di linee passanti per un punto UN(X 1 , y 1), che prende il nome di centro della trave.

2. Equazione di una retta passante per due punti: UN(X 1 , y 1) e B(X 2 , y 2) si scrive così:

La pendenza di una retta passante per due punti dati è determinata dalla formula

3. Angolo tra rette UN e Bè l'angolo di cui deve essere ruotata la prima retta UN attorno al punto di intersezione di queste linee in senso antiorario fino a coincidere con la seconda linea B. Se due rette sono date da equazioni di pendenza

y = K 1 X + B 1 ,

y = K 2 X + B 2 , (4)

quindi l'angolo tra loro è determinato dalla formula

Si noti che al numeratore della frazione la pendenza della prima retta viene sottratta dalla pendenza della seconda retta.

Se si danno le equazioni di una retta vista generale

UN 1 X + B 1 y + C 1 = 0,

UN 2 X + B 2 y + C 2 = 0, (6)

l'angolo tra loro è determinato dalla formula

4. Condizioni per il parallelismo di due rette:

a) Se le rette sono date dalle equazioni (4) con pendenza, la condizione necessaria e sufficiente per il loro parallelismo è l'uguaglianza delle loro pendenze:

K 1 = K 2 . (8)

b) Nel caso in cui le rette siano date da equazioni nella forma generale (6), la condizione necessaria e sufficiente per il loro parallelismo è che i coefficienti alle corrispondenti coordinate di corrente nelle loro equazioni siano proporzionali, cioè

5. Condizioni per la perpendicolarità di due rette:

a) Nel caso in cui le rette siano date dalle equazioni (4) con pendenza, la condizione necessaria e sufficiente per la loro perpendicolarità è che esse fattori di pendenza sono reciproche in grandezza e opposte nel segno, cioè

Questa condizione può anche essere scritta nel modulo

K 1 K 2 = -1. (11)

b) Se le equazioni delle rette sono date nella forma generale (6), allora la condizione della loro perpendicolarità (necessaria e sufficiente) è soddisfare l'uguaglianza

UN 1 UN 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Le coordinate del punto di intersezione di due rette si trovano risolvendo il sistema di equazioni (6). Le linee (6) si intersecano se e solo se

1. Scrivi le equazioni delle rette passanti per il punto M, di cui una parallela e l'altra perpendicolare alla retta data l.

angolo tra rette nello spazio chiameremo uno qualsiasi degli angoli adiacenti formati da due rette tracciate attraverso un punto arbitrario parallelo ai dati.

Siano date due rette nello spazio:

Ovviamente, l'angolo φ tra le linee può essere preso come l'angolo tra i loro vettori di direzione e . Poiché , quindi secondo la formula per il coseno dell'angolo tra i vettori otteniamo

Le condizioni di parallelismo e perpendicolarità di due rette sono equivalenti alle condizioni di parallelismo e perpendicolarità dei loro vettori di direzione e:

Due dritti sono paralleli se e solo se i rispettivi coefficienti sono proporzionali, cioè l 1 parallelo l 2 se e solo se parallela .

Due dritti perpendicolare se e solo se la somma dei prodotti dei coefficienti corrispondenti è uguale a zero: .

In obiettivo tra linea e piano

Lascia la linea d- non perpendicolare al piano θ;
d′− proiezione di una retta d al piano θ;
Il più piccolo degli angoli tra le rette d e d«Chiameremo angolo tra retta e piano.
Indichiamolo come φ=( d,θ)
Se un d⊥θ , quindi ( d,θ)=π/2

Oi→j→K→− sistema di coordinate rettangolari.
Equazione piana:

θ: Ascia+Di+cz+D=0

Consideriamo che la retta è data da un punto e da un vettore di direzione: d[M 0,p→]
Vettore n→(UN,B,C)⊥θ
Quindi resta da scoprire l'angolo tra i vettori n→ e p→, denotalo come γ=( n→,p→).

Se l'angolo γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Se l'angolo γ>π/2 , allora l'angolo richiesto φ=γ−π/2

sinφ=peccato(2π−γ)=cosγ

sinφ=peccato(γ−2π)=−cosγ

Quindi, angolo tra retta e piano può essere calcolato utilizzando la formula:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √UN 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

Domanda 29. Il concetto di forma quadratica. La definizione di segno delle forme quadratiche.

Forma quadratica j (x 1, x 2, ..., x n) n variabili reali x 1, x 2, ..., x n si chiama somma della forma
, (1)

dove aij sono alcuni numeri chiamati coefficienti. Senza perdita di generalità, possiamo presumerlo aij = un ji.

Viene chiamata la forma quadratica valido, Se aij О GR. Matrice di forma quadraticaè chiamata matrice composta dai suoi coefficienti. La forma quadratica (1) corrisponde a un'unica matrice simmetrica
cioè. A T = A. Pertanto, la forma quadratica (1) può essere scritta in forma matriciale j ( X) = x T Ah, dove x t = (X 1 X 2 … x n). (2)

E viceversa, ogni matrice simmetrica (2) corrisponde a un'unica forma quadratica fino alla notazione delle variabili.

Il rango della forma quadraticaè chiamato rango della sua matrice. Viene chiamata la forma quadratica non degenerato, se la sua matrice è non singolare MA. (ricordiamo che la matrice MA si dice non degenerato se il suo determinante non lo è zero). In caso contrario, la forma quadratica è degenerata.

definito positivo(o strettamente positivo) se

j ( X) > 0 , per chiunque X = (X 1 , X 2 , …, x n), Oltretutto X = (0, 0, …, 0).

Matrice MA forma quadratica definita positiva j ( X) è detto anche definito positivo. Pertanto, una forma quadratica definita positiva corrisponde a un'unica matrice definita positiva e viceversa.

Viene chiamata la forma quadratica (1). definito negativo(o strettamente negativo) se

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), Oltretutto X = (0, 0, …, 0).

Analogamente a quanto sopra, una matrice quadratica definita negativa è anche chiamata definita negativa.

Pertanto, una forma quadratica definita positivamente (negativamente) j ( X) raggiunge il valore minimo (massimo) j ( X*) = 0 per X* = (0, 0, …, 0).

Si noti che la maggior parte delle forme quadratiche non sono definite di segno, cioè non sono né positive né negative. Tali forme quadratiche svaniscono non solo all'origine del sistema di coordinate, ma anche in altri punti.

quando n> 2, sono richiesti criteri speciali per verificare la definizione di segno di una forma quadratica. Consideriamoli.

Minori maggiori le forme quadratiche sono dette minori:

cioè si tratta di minori di ordine 1, 2, …, n matrici MA situato a sinistra angolo superiore, l'ultimo coincide con il determinante della matrice MA.

Criterio per la determinatezza positiva (Criterio Silvestro)

X) = x T Ahè definito positivo, è necessario e sufficiente che tutti i principali minori della matrice MA erano positivi, ovvero: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Criterio di certezza negativa Affinché la forma quadratica j ( X) = x T Ahè definita negativa, è necessario e sufficiente che i suoi principali minori di ordine pari siano positivi, e quelli di ordine dispari siano negativi, cioè: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

ANGOLO TRA I PIANI

Consideriamo due piani α 1 e α 2 dati rispettivamente dalle equazioni:

Sotto angolo tra due piani ne capiremo uno angoli diedri formato da questi piani. È ovvio che l'angolo tra i vettori normali ed i piani α 1 e α 2 è uguale ad uno degli angoli diedri adiacenti indicati o . Così . Perché e , poi

Esempio. Determina l'angolo tra i piani X+2y-3z+4=0 e 2 X+3y+z+8=0.

Condizione di parallelismo di due piani.

Due piani α 1 e α 2 sono paralleli se e solo se i loro vettori normali e sono paralleli, e quindi .

Quindi, due piani sono paralleli tra loro se e solo se i coefficienti alle coordinate corrispondenti sono proporzionali:

Condizione di perpendicolarità dei piani.

È chiaro che due piani sono perpendicolari se e solo se i loro vettori normali sono perpendicolari, e quindi, o .

Così, .

Esempi.

DIRETTA NELLO SPAZIO.

EQUAZIONE VETTORIALE DIRETTA.

EQUAZIONI PARAMETRICHE DIRETTE

La posizione di una retta nello spazio è completamente determinata specificando uno qualsiasi dei suoi punti fissi M 1 e un vettore parallelo a questa retta.

Viene chiamato un vettore parallelo a una retta guida il vettore di questa linea.

Quindi andiamo dritto l passa per un punto M 1 (X 1 , y 1 , z 1) giacente su una retta parallela al vettore.

Considera un punto arbitrario M(x,y,z) su una linea retta. Si può vedere dalla figura che .

I vettori e sono collineari, quindi esiste un tale numero t, cosa , dov'è il moltiplicatore t può assumere qualsiasi valore numerico a seconda della posizione del punto M su una linea retta. Fattore tè chiamato parametro. Indicazione dei vettori raggio dei punti M 1 e M rispettivamente, attraverso e , otteniamo . Questa equazione è chiamata vettore equazione di linea retta. Mostra che ogni valore di parametro t corrisponde al vettore raggio di un punto M sdraiato su una linea retta.

Scriviamo questa equazione in forma di coordinate. Notare che , e da qui

Le equazioni risultanti sono chiamate parametrico equazioni in linea retta.

Quando si modifica il parametro t cambiano le coordinate X, y e z e punto M si muove in linea retta.

EQUAZIONI CANONICHE DIRETTE

Lascia stare M 1 (X 1 , y 1 , z 1) - un punto che giace su una linea retta l, e è il suo vettore di direzione. Ancora una volta, prendi un punto arbitrario su una linea retta M(x,y,z) e considera il vettore.

È chiaro che i vettori e sono collineari, quindi le rispettive coordinate devono essere proporzionali, quindi

– canonico equazioni in linea retta.

Nota 1. Si noti che le equazioni canoniche della retta possono essere ottenute dalle equazioni parametriche eliminando il parametro t. Infatti, dalle equazioni parametriche otteniamo o .

Esempio. Scrivi l'equazione di una retta in modo parametrico.

Denota , quindi X = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Nota 2. Lascia che la linea sia perpendicolare a uno degli assi delle coordinate, ad esempio l'asse Bue. Allora il vettore di direzione della retta è perpendicolare Bue, quindi, m=0. Di conseguenza, le equazioni parametriche della retta prendono la forma

Eliminazione del parametro dalle equazioni t, otteniamo le equazioni della retta nella forma

Tuttavia, anche in questo caso, accettiamo di scrivere formalmente le equazioni canoniche della retta nella forma . Pertanto, se il denominatore di una delle frazioni è zero, significa che la linea è perpendicolare all'asse delle coordinate corrispondente.

Allo stesso modo, le equazioni canoniche corrisponde ad una retta perpendicolare agli assi Bue e Ehi o asse parallelo Oz.

Esempi.

EQUAZIONI GENERALI UNA LINEA DIRETTA COME LINEA DI INTERCETTAZIONE DI DUE AEREI

Per ogni retta nello spazio passa un numero infinito di piani. Due di loro, intersecantisi, lo definiscono nello spazio. Pertanto, le equazioni di due piani qualsiasi, considerati insieme, sono le equazioni di questa retta.

In generale, due piani non paralleli qualsiasi dati dalle equazioni generali

determinare la loro linea di intersezione. Queste equazioni sono chiamate equazioni generali dritto.

Esempi.

Costruisci una retta data da equazioni

Per costruire una retta basta trovare due dei suoi punti. Il modo più semplice è scegliere i punti di intersezione della linea con i piani delle coordinate. Ad esempio, il punto di intersezione con il piano xOy otteniamo dalle equazioni di una retta, assumendo z= 0:

Risolvendo questo sistema, troviamo il punto M 1 (1;2;0).

Allo stesso modo, supponendo y= 0, otteniamo il punto di intersezione della retta con il piano xOz:

Dalle equazioni generali di una retta si può procedere alle sue equazioni canoniche o parametriche. Per fare questo, devi trovare un punto M 1 sulla retta e il vettore di direzione della retta.

Coordinate del punto M 1 otteniamo da questo sistema di equazioni, dando a una delle coordinate un valore arbitrario. Per trovare il vettore di direzione, si noti che questo vettore deve essere perpendicolare a entrambi i vettori normali e . Pertanto, per il vettore di direzione della retta l puoi prendere il prodotto incrociato di vettori normali:

Esempio. Fornisci le equazioni generali della retta alla forma canonica.

Trova un punto su una retta. Per fare ciò, scegliamo arbitrariamente una delle coordinate, ad esempio, y= 0 e risolvi il sistema di equazioni:

I vettori normali dei piani che definiscono la linea hanno coordinate Pertanto, il vettore di direzione sarà dritto

. Quindi, l: .

ANGOLO TRA DIRITTI

angolo tra rette nello spazio chiameremo uno qualsiasi degli angoli adiacenti formati da due rette tracciate attraverso un punto arbitrario parallelo ai dati.

Siano date due rette nello spazio:

Ovviamente, l'angolo φ tra le linee può essere preso come l'angolo tra i loro vettori di direzione e . Poiché , quindi secondo la formula per il coseno dell'angolo tra i vettori otteniamo

sarò breve. L'angolo tra due linee è uguale all'angolo tra i loro vettori di direzione. Pertanto, se riesci a trovare le coordinate dei vettori di direzione a \u003d (x 1; y 1; z 1) e b \u003d (x 2; y 2; z 2), puoi trovare l'angolo. Più precisamente, il coseno dell'angolo secondo la formula:

Vediamo come funziona questa formula su esempi specifici:

Compito. I punti E ed F sono segnati nel cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - rispettivamente i punti medi dei bordi A 1 B 1 e B 1 C 1. Trova l'angolo tra le linee AE e BF.

Poiché il bordo del cubo non è specificato, poniamo AB = 1. Introduciamo un sistema di coordinate standard: l'origine è nel punto A e gli assi x, y, z sono diretti rispettivamente lungo AB, AD e AA 1 . Il segmento unitario è uguale a AB = 1. Ora troviamo le coordinate dei vettori di direzione per le nostre rette.

Trova le coordinate del vettore AE. Per fare ciò, abbiamo bisogno dei punti A = (0; 0; 0) ed E = (0.5; 0; 1). Poiché il punto E è la metà del segmento A 1 B 1 , le sue coordinate sono uguali alla media aritmetica delle coordinate degli estremi. Si noti che l'origine del vettore AE coincide con l'origine, quindi AE = (0,5; 0; 1).

Ora affrontiamo il vettore BF. Allo stesso modo, analizziamo i punti B = (1; 0; 0) e F = (1; 0.5; 1), perché F - il centro del segmento B 1 C 1 . Abbiamo:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Quindi, i vettori di direzione sono pronti. Il coseno dell'angolo tra le linee è il coseno dell'angolo tra i vettori di direzione, quindi abbiamo:

Compito. In un prisma triedrico regolare ABCA 1 B 1 C 1 , i cui spigoli sono tutti uguali a 1, sono contrassegnati i punti D ed E, rispettivamente i punti medi degli spigoli A 1 B 1 e B 1 C 1. Trova l'angolo tra le linee AD e BE.

Introduciamo un sistema di coordinate standard: l'origine è nel punto A, l'asse x è diretto lungo AB, z - lungo AA 1 . Dirigiamo l'asse y in modo che il piano OXY coincida con il piano ABC. Il segmento unitario è uguale a AB = 1. Trova le coordinate dei vettori di direzione per le linee desiderate.

Per prima cosa, troviamo le coordinate del vettore AD. Considera i punti: A = (0; 0; 0) e D = (0,5; 0; 1), perché D - il centro del segmento A 1 B 1 . Poiché l'inizio del vettore AD coincide con l'origine, otteniamo AD = (0.5; 0; 1).

Ora troviamo le coordinate del vettore BE. Il punto B = (1; 0; 0) è facile da calcolare. Con il punto E - il centro del segmento C 1 B 1 - un po' più complicato. Abbiamo:

Resta da trovare il coseno dell'angolo:

Compito. In un prisma esagonale regolare ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , i cui spigoli sono tutti uguali a 1, i punti K e L sono segnati - i punti medi degli spigoli A 1 B 1 e B 1 C 1, rispettivamente. Trova l'angolo tra le linee AK e BL.

Introduciamo un sistema di coordinate standard per un prisma: posizioniamo l'origine delle coordinate al centro della base inferiore, dirigiamo l'asse x lungo FC, l'asse y attraverso i punti medi dei segmenti AB e DE e l'asse z verticalmente verso l'alto. Il segmento unitario è di nuovo uguale a AB = 1. Scriviamo le coordinate dei punti di interesse per noi:

I punti K e L sono rispettivamente i punti medi dei segmenti A 1 B 1 e B 1 C 1, quindi le loro coordinate si trovano attraverso la media aritmetica. Conoscendo i punti, troviamo le coordinate dei vettori di direzione AK e BL:

Ora troviamo il coseno dell'angolo:

Compito. Alla destra piramide quadrangolare SABCD, i cui bordi sono tutti uguali a 1, sono contrassegnati i punti E e F, rispettivamente i punti medi dei lati SB e SC. Trova l'angolo tra le linee AE e BF.

Introduciamo un sistema di coordinate standard: l'origine è nel punto A, gli assi xey sono diretti rispettivamente lungo AB e AD e l'asse z è diretto verticalmente verso l'alto. Il segmento unitario è uguale a AB = 1.

I punti E ed F sono rispettivamente i punti medi dei segmenti SB e SC, quindi le loro coordinate si trovano come media aritmetica degli estremi. Segnaliamo le coordinate dei punti di nostro interesse:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)