casa > industria meccanica

Proprietà della funzione y x n. Funzione esponenziale - proprietà, grafici, formule

Funzione dove X – variabile, UN – dato numero, è chiamato funzione di potenza .

Se allora è una funzione lineare, il suo grafico è una retta (vedi Sezione 4.3, Figura 4.7).

Se poi- funzione quadratica, il suo grafico è una parabola (vedi paragrafo 4.3, Fig. 4.8).

Se allora il suo grafico è una parabola cubica (vedi Sezione 4.3, Figura 4.9).

Funzione di alimentazione

Questo è funzione inversa per

1. Dominio:

2. Valori multipli:

3. Pari e dispari: funzione dispari.

4. Periodicità della funzione: non periodico.

5. Funzioni nulle: X= 0 è l'unico zero.

6. La funzione non ha un valore massimo o minimo.

7.

8. Grafico delle funzioni Simmetrico al grafico di una parabola cubica rispetto a una retta Y=X e mostrato in Fig. 5.1.

Funzione di alimentazione

1. Dominio:

2. Valori multipli:

3. Pari e dispari: la funzione è pari.

4. Periodicità della funzione: non periodico.

5. Funzioni nulle: singolo zero X = 0.

6. I valori più grande e più piccolo della funzione: prende il valore più piccolo per X= 0, è uguale a 0.

7. Intervalli ascendenti e discendenti: la funzione è decrescente sull'intervallo e crescente sull'intervallo

8. Grafico delle funzioni(per tutti N Î N) "sembra" un grafico parabola quadratica(i grafici delle funzioni sono mostrati in Fig. 5.2).

Funzione di alimentazione

1. Dominio:

2. Valori multipli:

3. Pari e dispari: funzione dispari.

4. Periodicità della funzione: non periodico.

5. Funzioni nulle: X= 0 è l'unico zero.

6. Valori massimi e minimi:

7. Intervalli ascendenti e discendenti: la funzione è crescente nell'intero dominio di definizione.

8. Grafico delle funzioni(per ogni ) "sembra" un grafico di una parabola cubica (i grafici delle funzioni sono mostrati in Fig. 5.3).

Funzione di alimentazione

1. Dominio:

2. Valori multipli:

3. Pari e dispari: funzione dispari.

4. Periodicità della funzione: non periodico.

5. Funzioni nulle: non ha zeri.

6. I valori più grande e più piccolo della funzione: la funzione non ha i valori più grandi e più piccoli per nessuno

7. Intervalli ascendenti e discendenti: la funzione è decrescente nel dominio di definizione.

8. Asintoti:(asse UO) è l'asintoto verticale;

(asse Oh) è l'asintoto orizzontale.

9. Grafico delle funzioni(per chiunque N) "sembra" un grafico di un'iperbole (i grafici delle funzioni sono mostrati in Fig. 5.4).

Funzione di alimentazione

1. Dominio:

2. Valori multipli:

3. Pari e dispari: la funzione è pari.

4. Periodicità della funzione: non periodico.

5. I valori più grande e più piccolo della funzione: la funzione non ha i valori più grandi e più piccoli per nessuno

6. Intervalli ascendenti e discendenti: la funzione aumenta e diminuisce

7. Asintoti: X= 0 (asse UO) è l'asintoto verticale;

Y= 0 (asse Oh) è l'asintoto orizzontale.

8. Grafici delle funzioni Sono iperboli quadratiche (Fig. 5.5).

Funzione di alimentazione

1. Dominio:

2. Valori multipli:

3. Pari e dispari: la funzione non ha la proprietà pari e dispari.

4. Periodicità della funzione: non periodico.

5. Funzioni nulle: X= 0 è l'unico zero.

6. I valori più grande e più piccolo della funzione: il valore più piccolo uguale a 0, la funzione assume nel punto X= 0; il valore più grande non ha.

7. Intervalli ascendenti e discendenti: la funzione è crescente nell'intero dominio di definizione.

8. Ciascuna di queste funzioni con un determinato indicatore è inversa alla funzione fornita

9. Grafico delle funzioni"sembra" come un grafico di una funzione per qualsiasi N e mostrato in Fig. 5.6.

Funzione di alimentazione

1. Dominio:

2. Valori multipli:

3. Pari e dispari: funzione dispari.

4. Periodicità della funzione: non periodico.

5. Funzioni nulle: X= 0 è l'unico zero.

6. I valori più grande e più piccolo della funzione: la funzione non ha i valori più grandi e più piccoli per nessuno

7. Intervalli ascendenti e discendenti: la funzione è crescente nell'intero dominio di definizione.

8. Grafico delle funzioni Mostrato in fig. 5.7.

Richiama le proprietà e i grafici delle funzioni di potenza con un esponente intero negativo.

Per anche n, :

Esempio di funzione:

Tutti i grafici di tali funzioni passano per due punti fissi: (1;1), (-1;1). Una caratteristica delle funzioni di questo tipo è la loro parità, i grafici sono simmetrici rispetto all'asse op-y.

Riso. 1. Grafico di una funzione

Per n dispari, :

Esempio di funzione:

Tutti i grafici di tali funzioni passano per due punti fissi: (1;1), (-1;-1). Una caratteristica delle funzioni di questo tipo è la loro stranezza, i grafici sono simmetrici rispetto all'origine.

Riso. 2. Grafico delle funzioni

Ricordiamo la definizione principale.

Si dice numero il grado di un numero non negativo a con esponente razionale positivo.

Si dice numero il grado di un numero positivo a con esponente razionale negativo.

Per la seguente uguaglianza vale:

Per esempio: ; - l'espressione non esiste per definizione di grado con esponente razionale negativo; esiste, poiché l'esponente è un intero,

Passiamo alla considerazione delle funzioni di potenza con esponente razionale negativo.

Per esempio:

Per tracciare questa funzione, puoi creare una tabella. Faremo diversamente: in primo luogo, costruiremo e studieremo il grafico del denominatore - lo sappiamo (Figura 3).

Riso. 3. Grafico di una funzione

Il grafico della funzione denominatore passa per un punto fisso (1;1). Quando si costruisce un grafico della funzione originale, questo punto rimane, quando anche la radice tende a zero, la funzione tende all'infinito. E, al contrario, poiché x tende all'infinito, la funzione tende a zero (Figura 4).

Riso. 4. Grafico delle funzioni

Considera un'altra funzione dalla famiglia di funzioni in studio.

È importante che per definizione

Si consideri il grafico della funzione al denominatore: , conosciamo il grafico di questa funzione, esso cresce nel suo dominio di definizione e passa per il punto (1; 1) (Figura 5).

Riso. 5. Grafico delle funzioni

Quando si costruisce un grafico della funzione originale, il punto (1; 1) rimane, quando anche la radice tende a zero, la funzione tende all'infinito. E, al contrario, poiché x tende all'infinito, la funzione tende a zero (Figura 6).

Riso. 6. Grafico delle funzioni

Gli esempi considerati aiutano a capire come va il grafico e quali sono le proprietà della funzione in studio, una funzione con esponente razionale negativo.

I grafici delle funzioni di questa famiglia passano per il punto (1;1), la funzione decresce sull'intero dominio di definizione.

Ambito della funzione:

La funzione non è delimitata dall'alto, ma delimitata dal basso. La funzione non ha né un massimo né il valore più piccolo.

La funzione è continua, prende tutti i valori positivi da zero a più infinito.

Funzione convessa verso il basso (Figura 15.7)

I punti A e B vengono presi sulla curva, un segmento viene tracciato attraverso di essi, l'intera curva è al di sotto del segmento, questa condizione è soddisfatta per due punti arbitrari sulla curva, quindi la funzione è convessa verso il basso. Riso. 7.

Riso. 7. Convessità di una funzione

È importante capire che le funzioni di questa famiglia sono delimitate dal basso da zero, ma non hanno il valore più piccolo.

Esempio 1: trova il massimo e il minimo di una funzione nell'intervallo \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Grafico (Fig. 2).

Figura 2. Grafico della funzione $f\left(x\right)=x^(2n)$

Proprietà di una funzione di potenza con esponente dispari naturale

    Il dominio di definizione sono tutti i numeri reali.

    $f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ è una funzione dispari.

    $f(x)$ è continuo sull'intero dominio di definizione.

    L'intervallo è tutti numeri reali.

    $f"\sinistra(x\destra)=\sinistra(x^(2n-1)\destra)"=(2n-1)\cpunto x^(2(n-1))\ge 0$

    La funzione aumenta nell'intero dominio di definizione.

    $f\sinistra(x\destra)0$, per $x\in (0,+\infty)$.

    $f(""\sinistra(x\destra))=(\sinistra(\sinistra(2n-1\destra)\cdot x^(2\sinistra(n-1\destra))\destra))"=2 \sinistra(2n-1\destra)(n-1)\cpunto x^(2n-3)$

    \ \

    La funzione è concava per $x\in (-\infty ,0)$ e convessa per $x\in (0,+\infty)$.

    Grafico (Fig. 3).

Figura 3. Grafico della funzione $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Funzione di potenza con esponente intero

Per cominciare, introduciamo il concetto di grado con esponente intero.

Definizione 3

Il grado di un numero reale $a$ con esponente intero $n$ è determinato dalla formula:

Figura 4

Consideriamo ora una funzione di potenza con un esponente intero, le sue proprietà e il grafico.

Definizione 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ è chiamata funzione di potenza con esponente intero.

Se il grado è maggiore di zero, veniamo al caso di una funzione di potenza con esponente naturale. Lo abbiamo già considerato sopra. Per $n=0$ otteniamo una funzione lineare $y=1$. Lasciamo la sua considerazione al lettore. Resta da considerare le proprietà di una funzione di potenza con esponente intero negativo

Proprietà di una funzione di potenza con esponente intero negativo

    L'ambito è $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

    Se l'esponente è pari, la funzione è pari; se è dispari, la funzione è dispari.

    $f(x)$ è continuo sull'intero dominio di definizione.

    Intervallo di valori:

    Se l'esponente è pari, allora $(0,+\infty)$, se dispari, allora $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

    Se l'esponente è dispari, la funzione diminuisce come $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Per un esponente pari, la funzione diminuisce di $x\in (0,+\infty)$. e aumenta come $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

    $f(x)\ge 0$ sull'intero dominio

Vengono forniti dati di riferimento sulla funzione esponenziale: proprietà di base, grafici e formule. Vengono considerate le seguenti domande: dominio di definizione, insieme di valori, monotonia, funzione inversa, derivata, integrale, espansione e rappresentazione di serie di potenze mediante numeri complessi.

Definizione

Funzione esponenziale è una generalizzazione del prodotto di n numeri uguali a a :
y (n) = a n = a a a a,
all'insieme dei numeri reali x :
y (x) = x.
Qui a è fisso numero reale, che è chiamato la base della funzione esponenziale.
Viene anche chiamata una funzione esponenziale con base a esponenziale in base a.

La generalizzazione si effettua come segue.
Per x naturale = 1, 2, 3,... , la funzione esponenziale è il prodotto di x fattori:
.
Inoltre, ha le proprietà (1.5-8) (), che seguono dalle regole per la moltiplicazione dei numeri. A zero e valori negativi interi , la funzione esponenziale è determinata dalle formule (1.9-10). Per valori frazionari x = m/n numeri razionali, , è determinato dalla formula (1.11). Per real , la funzione esponenziale è definita come limite di sequenza:
,
dove è una sequenza arbitraria di numeri razionali convergenti in x : .
Con questa definizione, la funzione esponenziale è definita per all , e soddisfa le proprietà (1.5-8), così come per x naturale.

Una rigorosa formulazione matematica della definizione di una funzione esponenziale e una dimostrazione delle sue proprietà è data alla pagina "Definizione e dimostrazione delle proprietà di una funzione esponenziale".

Proprietà della funzione esponenziale

La funzione esponenziale y = a x ha le seguenti proprietà sull'insieme dei numeri reali () :
(1.1) è definito e continuo, per, per tutti;
(1.2) quando a ≠ 1 ha molti significati;
(1.3) aumenta rigorosamente a , diminuisce rigorosamente a ,
è costante a ;
(1.4) A ;
A ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Altre formule utili
.
La formula per la conversione in una funzione esponenziale con una diversa base del grado:

Per b = e , otteniamo l'espressione della funzione esponenziale in termini di esponente:

Valori privati

, , , , .

La figura mostra i grafici della funzione esponenziale
y (x) = x
per quattro valori basi di laurea:a= 2 , un = 8 , un = 1/2 e un = 1/8 . Si può vedere che per un > 1 la funzione esponenziale è monotonicamente crescente. Maggiore è la base del grado a, maggiore è la crescita. In 0 < a < 1 la funzione esponenziale è monotonicamente decrescente. Come meno indicatore grado a , maggiore è la diminuzione.

Ascendente, discendente

La funzione esponenziale at è strettamente monotona, quindi non ha estremi. Le sue proprietà principali sono presentate nella tabella.

y = a x , a > 1 y = x, 0 < a < 1
Dominio - ∞ < x < + ∞ - ∞ < x < + ∞
Intervallo di valori 0 < y < + ∞ 0 < y < + ∞
Monotono aumenta in modo monotono diminuisce in modo monotono
Zero, y= 0 No No
Punti di intersezione con l'asse y, x = 0 y= 1 y= 1
+ ∞ 0
0 + ∞

Funzione inversa

Il reciproco di una funzione esponenziale con base di grado a è il logaritmo in base a.

Se poi
.
Se poi
.

Differenziazione della funzione esponenziale

Per differenziare una funzione esponenziale, la sua base deve essere ridotta al numero e, applicare la tabella delle derivate e la regola per differenziare una funzione complessa.

Per fare ciò, è necessario utilizzare la proprietà dei logaritmi
e la formula dalla tabella delle derivate:
.

Sia data una funzione esponenziale:
.
Lo portiamo alla base e:

Applichiamo la regola di differenziazione di una funzione complessa. Per fare ciò, introduciamo una variabile

Quindi

Dalla tabella delle derivate abbiamo (sostituisci la variabile x con z ):
.
Poiché è una costante, la derivata di z rispetto a x è
.
Secondo la regola di differenziazione di una funzione complessa:
.

Derivata di funzione esponenziale

.
Derivata dell'ennesimo ordine:
.
Derivazione di formule > > >

Un esempio di differenziazione di una funzione esponenziale

Trova la derivata di una funzione
y= 35x

Decisione

Esprimiamo la base della funzione esponenziale in termini di numero e.
3 = e log 3
Quindi
.
Introduciamo una variabile
.
Quindi

Dalla tabella delle derivate troviamo:
.
Nella misura in cui 5ln 3è una costante, allora la derivata di z rispetto a x è:
.
Secondo la regola di differenziazione di una funzione complessa, abbiamo:
.

Risposta

Integrante

Espressioni in termini di numeri complessi

Considera la funzione dei numeri complessi z:
f (z) = az
dove z = x + iy ; io 2 = - 1 .
Esprimiamo la costante complessa a in termini di modulo r e l'argomento φ :
a = r e io φ
Quindi


.
L'argomento φ non è definito in modo univoco. A vista generale
φ = φ 0 + 2 pag,
dove n è un numero intero. Pertanto, la funzione f (z)è anche ambiguo. Spesso considerata la sua importanza principale
.

Espansione in serie


.

Riferimenti:
IN. Bronstein, KA Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti di istituti di istruzione superiore, Lan, 2009.

Consigliamo anche

Caricamento in corso...Caricamento in corso...