La formula per trovare il coseno tra i vettori. Prodotto scalare di vettori

Istruzione

Siano dati due vettori diversi da zero sul piano, tracciati da un punto: vettore A con coordinate (x1, y1) B con coordinate (x2, y2). Iniezione tra di loro è indicato come θ. Per trovare la misura in gradi dell'angolo θ, è necessario utilizzare la definizione del prodotto scalare.

Il prodotto scalare di due vettori diversi da zero è un numero uguale al prodotto delle lunghezze di questi vettori per il coseno dell'angolo tra di loro, cioè (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Ora devi esprimere il coseno dell'angolo da questo: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Il prodotto scalare può essere trovato anche usando la formula (A,B)=x1*x2+y1*y2, poiché il prodotto di due vettori diversi da zeroè uguale alla somma dei prodotti dei vettori corrispondenti. Se il prodotto scalare di vettori diversi da zero è uguale a zero, i vettori sono perpendicolari (l'angolo tra loro è di 90 gradi) e ulteriori calcoli possono essere omessi. Se il prodotto scalare di due vettori è positivo, allora l'angolo tra questi vettori acuto e, se negativo, l'angolo è ottuso.

Ora calcola le lunghezze dei vettori A e B usando le formule: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). La lunghezza del vettore è calcolata come Radice quadrata dalla somma dei quadrati delle sue coordinate.

Sostituisci i valori trovati del prodotto scalare e le lunghezze dei vettori nella formula per l'angolo ottenuto nel passaggio 2, ovvero cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+ y1²)+√(x2²+y2²)). Ora, conoscendo il valore di , per trovare la misura in gradi dell'angolo tra vettori devi usare la tabella Bradis o prendere da questa: θ=arccos(cos(θ)).

Se i vettori A e B sono dati nello spazio tridimensionale e hanno coordinate (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2), rispettivamente, viene aggiunta un'altra coordinata quando si trova il coseno dell'angolo. In questo caso coseno: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Consigli utili

Se due vettori non vengono tracciati da un punto, per trovare l'angolo tra di loro mediante traslazione parallela, è necessario combinare l'inizio di questi vettori.
L'angolo tra due vettori non può essere maggiore di 180 gradi.

Fonti:

come calcolare l'angolo tra i vettori
Angolo tra linea e piano

Per risolvere molti problemi, sia applicativi che teorici, in fisica e algebra lineare, è necessario calcolare l'angolo tra i vettori. Questo compito apparentemente semplice può causare molte difficoltà se non si comprende chiaramente l'essenza del prodotto scalare e quale valore appare come risultato di questo prodotto.

Istruzione

L'angolo tra i vettori in uno spazio vettoriale lineare è l'angolo minimo in corrispondenza del quale si ottiene la codirezione dei vettori. Uno dei vettori viene portato attorno al suo punto di partenza. Dalla definizione risulta evidente che il valore dell'angolo non può superare i 180 gradi (vedi passo).

In questo caso, si presume giustamente che in uno spazio lineare, quando i vettori vengono trasferiti in parallelo, l'angolo tra loro non cambia. Pertanto, per il calcolo analitico dell'angolo, l'orientamento spaziale dei vettori non ha importanza.

Il risultato del prodotto scalare è un numero, altrimenti uno scalare. Ricorda (questo è importante da sapere) per evitare errori in ulteriori calcoli. La formula per il prodotto scalare, situato su un piano o nello spazio dei vettori, ha la forma (vedi figura per il passaggio).

Se i vettori si trovano nello spazio, eseguire il calcolo in modo simile. L'unica cosa sarà l'aspetto del termine nel dividendo: questo è il termine per l'applicata, ad es. la terza componente del vettore. Di conseguenza, quando si calcola il modulo dei vettori, deve essere presa in considerazione anche la componente z, quindi per i vettori situati nello spazio, l'ultima espressione viene trasformata come segue (vedi Figura 6 al passaggio).

Un vettore è un segmento di linea con una data direzione. L'angolo tra i vettori ha significato fisico, ad esempio, quando si trova la lunghezza della proiezione di un vettore su un asse.

Istruzione

Angolo tra due vettori diversi da zero utilizzando il calcolo del prodotto scalare. Per definizione, il prodotto è uguale al prodotto delle lunghezze e dell'angolo tra di esse. Si calcola invece il prodotto interno per due vettori a con coordinate (x1; y1) eb con coordinate (x2; y2): ab = x1x2 + y1y2. Di questi due modi, il prodotto scalare è facile da inclinare tra i vettori.

Trova le lunghezze o i moduli dei vettori. Per i nostri vettori aeb: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Trova il prodotto interno dei vettori moltiplicando le loro coordinate a coppie: ab = x1x2 + y1y2. Dalla definizione del prodotto scalare ab = |a|*|b|*cos α, dove α è l'angolo tra i vettori. Quindi otteniamo che x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Allora cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Trova l'angolo α usando le tabelle di Bradys.

Video collegati

Nota

Il prodotto scalare è una caratteristica scalare delle lunghezze dei vettori e dell'angolo tra di loro.

Il piano è uno dei concetti base della geometria. Un piano è una superficie per la quale l'affermazione è vera: qualsiasi linea retta che collega due dei suoi punti appartiene interamente a questa superficie. Gli aerei sono designati Lettere grecheα, β, γ, ecc. Due piani si intersecano sempre in una retta che appartiene a entrambi i piani.

Istruzione

Si considerino i semipiani α e β formati all'intersezione di . Angolo formato da una retta a e da due semipiani α e β da un angolo diedro. In questo caso, i semipiani che formano un angolo diedro per facce, la linea a lungo la quale i piani si intersecano è chiamata spigolo angolo diedro.

Angolo diedro, come un angolo piatto, in gradi. Per fare un angolo diedro, è necessario scegliere un punto arbitrario sulla sua faccia O. In entrambi, due raggi a sono disegnati per il punto O. L'angolo risultante AOB è chiamato angolo lineare dell'angolo diedro a.

Quindi, siano dati il vettore V = (a, b, c) e il piano A x + B y + C z = 0, dove A, B e C sono le coordinate della normale N. Quindi il coseno dell'angolo α tra i vettori V e N è: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Per calcolare il valore dell'angolo in gradi o radianti, è necessario calcolare la funzione inversa al coseno dall'espressione risultante, ad es. arcoseno: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Esempio: trova iniezione tra vettore(5, -3, 8) e aereo, data dall'equazione generale 2 x - 5 y + 3 z = 0. Soluzione: annotare le coordinate del vettore normale del piano N = (2, -5, 3). Sostituisci tutto valori noti nella formula precedente: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

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Scrivi un'equazione e isola da essa il coseno. Secondo una formula, il prodotto scalare dei vettori è uguale alle loro lunghezze moltiplicate tra loro e per il coseno angolo e dall'altro - la somma dei prodotti delle coordinate lungo ciascuno degli assi. Uguagliando entrambe le formule, possiamo concludere che il coseno angolo deve essere uguale al rapporto tra la somma dei prodotti delle coordinate e il prodotto delle lunghezze dei vettori.

Annota l'equazione risultante. Per fare ciò, dobbiamo designare entrambi i vettori. Diciamo che sono dati in un sistema cartesiano 3D e i loro punti di partenza sono in una griglia. La direzione e la grandezza del primo vettore saranno date dal punto (X₁,Y₁,Z₁), il secondo - (X₂,Y₂,Z₂), e l'angolo sarà indicato dalla lettera γ. Quindi le lunghezze di ciascuno dei vettori possono essere, ad esempio, secondo il teorema di Pitagora per formato dalle loro proiezioni su ciascuno degli assi coordinati: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) e √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Sostituisci queste espressioni nella formula formulata nel passaggio precedente e ottieni l'uguaglianza: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² )).

Usa il fatto che la somma del quadrato seno e co seno da angolo un valore ne dà sempre uno. Quindi, elevando quanto ottenuto al passaggio precedente per co seno al quadrato e sottratto dall'unità, e poi

Quando si studia la geometria, sorgono molte domande sul tema dei vettori. Lo studente incontra particolari difficoltà quando è necessario trovare gli angoli tra i vettori.

Termini di base

Prima di considerare gli angoli tra vettori, è necessario familiarizzare con la definizione di vettore e il concetto di angolo tra vettori.

Un vettore è un segmento che ha una direzione, cioè un segmento per il quale sono definiti il suo inizio e la sua fine.

L'angolo tra due vettori su un piano che hanno un'origine comune è il più piccolo degli angoli, per cui è necessario spostare uno dei vettori attorno a un punto comune, in una posizione in cui le loro direzioni coincidono.

Formula di soluzione

Una volta capito cos'è un vettore e come viene determinato il suo angolo, puoi calcolare l'angolo tra i vettori. La formula di soluzione per questo è abbastanza semplice e il risultato della sua applicazione sarà il valore del coseno dell'angolo. Per definizione, è uguale al quoziente del prodotto scalare dei vettori e del prodotto delle loro lunghezze.

Il prodotto scalare dei vettori è considerato come la somma delle corrispondenti coordinate dei vettori moltiplicatori moltiplicate tra loro. La lunghezza di un vettore, o il suo modulo, è calcolata come radice quadrata della somma dei quadrati delle sue coordinate.

Dopo aver ricevuto il valore del coseno dell'angolo, puoi calcolare il valore dell'angolo stesso usando una calcolatrice o usando tavola trigonometrica.

Esempio

Dopo aver capito come calcolare l'angolo tra i vettori, la soluzione al problema corrispondente diventa semplice e diretta. Ad esempio, consideriamo il semplice problema di trovare l'ampiezza di un angolo.

Innanzitutto sarà più conveniente calcolare i valori delle lunghezze dei vettori e il loro prodotto scalare necessario per la risoluzione. Usando la descrizione sopra, otteniamo:

Sostituendo i valori ottenuti nella formula, calcoliamo il valore del coseno dell'angolo desiderato:

Questo numero non è uno dei cinque valori del coseno comuni, quindi per ottenere il valore dell'angolo, dovrai utilizzare una calcolatrice o la tabella trigonometrica di Bradis. Ma prima di ottenere l'angolo tra i vettori, la formula può essere semplificata per eliminare il segno extra negativo:

La risposta finale può essere lasciata in questo modulo per mantenere la precisione, oppure puoi calcolare il valore dell'angolo in gradi. Secondo la tabella Bradis, il suo valore sarà di circa 116 gradi e 70 minuti e la calcolatrice mostrerà un valore di 116,57 gradi.

Calcolo dell'angolo nello spazio n-dimensionale

Quando si considerano due vettori nello spazio tridimensionale, è molto più difficile capire di quale angolo stiamo parlando se non giacciono sullo stesso piano. Per semplificare la percezione, puoi disegnare due segmenti intersecanti che formano l'angolo più piccolo tra loro e sarà quello desiderato. Nonostante la presenza di una terza coordinata nel vettore, il processo di calcolo degli angoli tra i vettori non cambierà. Calcola il prodotto scalare e i moduli dei vettori, l'arcoseno del loro quoziente e sarà la risposta a questo problema.

In geometria, spesso si verificano problemi con spazi che hanno più di tre dimensioni. Ma per loro, l'algoritmo per trovare la risposta è simile.

Differenza tra 0 e 180 gradi

Uno degli errori comuni quando si scrive una risposta a un problema progettato per calcolare l'angolo tra i vettori è la decisione di scrivere che i vettori sono paralleli, ovvero l'angolo desiderato è risultato essere 0 o 180 gradi. Questa risposta non è corretta.

Avendo ricevuto un valore di angolo di 0 gradi come risultato della soluzione, la risposta corretta sarebbe designare i vettori come co-direzionali, cioè i vettori avranno la stessa direzione. Nel caso di ottenere 180 gradi, i vettori saranno nella natura di direzioni opposte.

Vettori specifici

Trovando gli angoli tra i vettori, si può trovare uno dei tipi speciali, oltre a quelli co-diretti e opposti descritti sopra.

Più vettori paralleli a un piano sono detti complanari.
I vettori uguali in lunghezza e direzione sono detti uguali.
I vettori che giacciono sulla stessa retta, indipendentemente dalla direzione, sono detti collineari.
Se la lunghezza del vettore è zero, cioè il suo inizio e la sua fine coincidono, allora viene chiamato zero e se è uno, viene chiamato uno.

Angolo tra due vettori,:

Se l'angolo tra due vettori è acuto, il loro prodotto scalare è positivo; se l'angolo tra i vettori è ottuso, il prodotto scalare di questi vettori è negativo. Il prodotto scalare di due vettori diversi da zero è zero se e solo se questi vettori sono ortogonali.

L'obiettivo. Trova l'angolo tra i vettori e

Soluzione. Coseno dell'angolo desiderato

16. Calcolo dell'angolo tra rette, una retta e un piano

Angolo tra linea e piano intersecante questa linea e non perpendicolare ad essa è l'angolo tra la linea e la sua proiezione su questo piano.

Determinare l'angolo tra una retta e un piano permette di concludere che l'angolo tra una retta e un piano è l'angolo tra due rette che si intersecano: la retta stessa e la sua proiezione sul piano. Pertanto, l'angolo tra una linea e un piano è un angolo acuto.

L'angolo tra una retta perpendicolare e un piano è considerato uguale e l'angolo tra una retta parallela e un piano non è affatto determinato o è considerato uguale a .

§ 69. Calcolo dell'angolo tra rette.

Il problema del calcolo dell'angolo tra due rette nello spazio è risolto allo stesso modo del piano (§ 32). Indichiamo con φ l'angolo tra le linee l 1 e l 2 , e attraverso ψ - l'angolo tra i vettori di direzione ma e B queste linee rette.

Allora se

ψ 90° (Fig. 206.6), quindi φ = 180° - ψ. È ovvio che in entrambi i casi l'uguaglianza cos φ = |cos ψ| è vera. Per la formula (1) § 20 abbiamo

Di conseguenza,

Sia le rette date dalle loro equazioni canoniche

Quindi l'angolo φ tra le linee viene determinato utilizzando la formula

Se una delle linee (o entrambe) è data da equazioni non canoniche, per calcolare l'angolo è necessario trovare le coordinate dei vettori di direzione di queste linee, quindi utilizzare la formula (1).

17. Rette parallele, Teoremi su rette parallele

Definizione. Si chiamano due rette in un piano parallelo se non hanno punti in comune.

Si chiamano due linee in tre dimensioni parallelo se giacciono sullo stesso piano e non hanno punti in comune.

Angolo tra due vettori.

Dalla definizione del prodotto scalare:

Condizione di ortogonalità di due vettori:

Condizione di collinearità per due vettori:

Segue dalla definizione 5 - . Infatti, dalla definizione del prodotto di un vettore per un numero, segue. Pertanto, in base alla regola di uguaglianza dei vettori, scriviamo , , , che implica . Ma il vettore risultante dalla moltiplicazione di un vettore per un numero è collineare al vettore.

Proiezione da vettore a vettore:

Esempio 4. Dati punti , , , .

Trova il prodotto scalare.

Soluzione. troviamo dalla formula del prodotto scalare dei vettori dato dalle loro coordinate. Nella misura in cui

, ,

Esempio 5 Dati punti , , , .

Trova la proiezione.

Soluzione. Nella misura in cui

, ,

Sulla base della formula di proiezione, abbiamo

Esempio 6 Dati punti , , , .

Trova l'angolo tra i vettori e .

Soluzione. Nota che i vettori

, ,

non sono collineari, poiché le loro coordinate non sono proporzionali:

Anche questi vettori non sono perpendicolari, poiché il loro prodotto scalare è .

Cerchiamo,

Iniezione trova dalla formula:

Esempio 7 Determina per quali vettori e collineare.

Soluzione. Nel caso di collinearità, le corrispondenti coordinate dei vettori e deve essere proporzionale, ovvero:

Da qui e .

Esempio 8. Determina a quale valore del vettore e sono perpendicolari.

Soluzione. Vettore e sono perpendicolari se il loro prodotto scalare è zero. Da questa condizione si ottiene: . Questo è, .

Esempio 9. Trovare , Se , , .

Soluzione. A causa delle proprietà del prodotto scalare, abbiamo:

Esempio 10. Trova l'angolo tra i vettori e , dove e - vettori unitari e l'angolo tra i vettori ed è uguale a 120o.

Soluzione. Abbiamo: , ,

Infine abbiamo: .

5B. prodotto vettoriale.

Definizione 21.arte vettoriale da vettore a vettore è chiamato vettore , o , definito dalle seguenti tre condizioni:

1) Il modulo del vettore è , dove è l'angolo tra i vettori e , cioè .

Ne consegue che il modulo del prodotto vettoriale è numericamente uguale ad area parallelogramma costruito sui vettori e come sui lati.

2) Il vettore è perpendicolare a ciascuno dei vettori e ( ; ), cioè perpendicolare al piano del parallelogramma costruito sui vettori e .

3) Il vettore è diretto in modo che, se visto dalla sua estremità, il giro più breve da vettore a vettore sarebbe in senso antiorario (vettori , , formano una tripla destra).

Come calcolare gli angoli tra i vettori?

Quando si studia la geometria, sorgono molte domande sul tema dei vettori. Lo studente incontra particolari difficoltà quando è necessario trovare gli angoli tra i vettori.

Termini di base

Prima di considerare gli angoli tra vettori, è necessario familiarizzare con la definizione di vettore e il concetto di angolo tra vettori.

Un vettore è un segmento che ha una direzione, cioè un segmento per il quale sono definiti il suo inizio e la sua fine.

Formula di soluzione

Dopo aver ricevuto il valore del coseno dell'angolo, è possibile calcolare il valore dell'angolo stesso utilizzando una calcolatrice o utilizzando una tabella trigonometrica.

Esempio

Innanzitutto sarà più conveniente calcolare i valori delle lunghezze dei vettori e il loro prodotto scalare necessario per la risoluzione. Usando la descrizione sopra, otteniamo:

Sostituendo i valori ottenuti nella formula, calcoliamo il valore del coseno dell'angolo desiderato:

Calcolo dell'angolo nello spazio n-dimensionale

In geometria, spesso si verificano problemi con spazi che hanno più di tre dimensioni. Ma per loro, l'algoritmo per trovare la risposta è simile.

Differenza tra 0 e 180 gradi

Vettori specifici

Trovando gli angoli tra i vettori, si può trovare uno dei tipi speciali, oltre a quelli co-diretti e opposti descritti sopra.

Più vettori paralleli a un piano sono detti complanari.
I vettori uguali in lunghezza e direzione sono detti uguali.
I vettori che giacciono sulla stessa retta, indipendentemente dalla direzione, sono detti collineari.
Se la lunghezza del vettore è zero, cioè il suo inizio e la sua fine coincidono, allora viene chiamato zero e se è uno, viene chiamato uno.

Come trovare l'angolo tra i vettori?

aiutami per favore! Conosco la formula ma non riesco a capirla
vettore a (8; 10; 4) vettore b (5; -20; -10)

Alessandro Titov

L'angolo tra i vettori dato dalle loro coordinate si trova secondo l'algoritmo standard. Per prima cosa devi trovare il prodotto scalare dei vettori aeb: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Sostituiamo qui le coordinate di questi vettori e consideriamo:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Successivamente, determiniamo le lunghezze di ciascuno dei vettori. La lunghezza o modulo di un vettore è la radice quadrata della somma dei quadrati delle sue coordinate:
|a| = radice di (x1^2 + y1^2 + z1^2) = radice di (8^2 + 10^2 + 4^2) = radice di (64 + 100 + 16) = radice di 180 = 6 radici di cinque
|b| = radice quadrata di (x2^2 + y2^2 + z2^2) = radice quadrata di (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = radice quadrata di (25 + 400 + 100 ) = radice quadrata su 525 = 5 radici su 21.
Moltiplichiamo queste lunghezze. Otteniamo 30 radici su 105.
E infine, dividiamo il prodotto scalare dei vettori per il prodotto delle lunghezze di questi vettori. Otteniamo -200 / (30 radici su 105) o
- (4 radici di 105) / 63. Questo è il coseno dell'angolo tra i vettori. E l'angolo stesso è uguale all'arcocoseno di questo numero
f \u003d arccos (-4 radici di 105) / 63.
Se ho contato correttamente.

Come calcolare il seno di un angolo tra vettori dalle coordinate dei vettori

Mikhail Tkachev

Moltiplichiamo questi vettori. Il loro prodotto scalare è uguale al prodotto delle lunghezze di questi vettori e del coseno dell'angolo tra di loro.
L'angolo ci è sconosciuto, ma le coordinate sono note.
Scriviamolo matematicamente in questo modo.
Sia, dati i vettori a(x1;y1) e b(x2;y2)
Quindi

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Noi litighiamo.
a*b-prodotto scalare dei vettori è uguale alla somma dei prodotti delle corrispondenti coordinate delle coordinate di questi vettori, cioè uguale a x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-prodotto delle lunghezze dei vettori è uguale a √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Quindi il coseno dell'angolo tra i vettori è:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Conoscendo il coseno di un angolo, possiamo calcolarne il seno. Discutiamo come farlo:

Se il coseno di un angolo è positivo, allora questo angolo giace in 1 o 4 quarti, quindi il suo seno è positivo o negativo. Ma poiché l'angolo tra i vettori è inferiore o uguale a 180 gradi, il suo seno è positivo. Parliamo allo stesso modo se il coseno è negativo.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Questo è tutto)))) buona fortuna a capirlo)))

Dmitrij Levišchev

Il fatto che sia impossibile seno diretto non è vero.
Oltre alla formula:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
C'è anche questo:
||=|a|*|b|*peccato A
Cioè, invece del prodotto scalare, puoi prendere il modulo del prodotto vettoriale.

"Prodotto scalare vettoriale" - Il prodotto scalare dei vettori. In un triangolo equilatero ABC di lato 1 si traccia l'altezza BD. Per definizione, caratterizzare un angolo? tra vettori e se: a) b) c) d). A quale valore di t è il vettore perpendicolare al vettore se (2, -1), (4, 3). Il prodotto scalare dei vettori e è indicato.

"Geometry 9 class "Vectors"" - La distanza tra due punti. I problemi più semplici in coordinate. Mettiti alla prova! Coordinate vettoriali. Nel 1903, O. Henrichi suggerì che il prodotto scalare fosse denotato dal simbolo (a, c). Un vettore è un segmento diretto. Scomposizione di un vettore in vettori di coordinate. Il concetto di vettore. Decomposizione di un vettore su un piano in due vettori non collineari.

"Vettore di risoluzione dei problemi" - Vettori espressi AM, DA, CA, MB, CD in termini di vettore a e vettore b. № 2 Esprimi i vettori DP, DM, AC attraverso i vettori aeb. RS: PS=2:3; AK: KD = 1: 2. Esprimi i vettori CK, RK attraverso i vettori aeb. BE:EC = 3:1 K è la metà di DC. VK: KС = 3: 4. Esprimi i vettori AK, DK attraverso i vettori aeb. Applicazione dei vettori al problem solving (parte 1).

"Problemi sui vettori" - Teorema. Trova le coordinate. Vengono assegnati tre punti. Vertici del triangolo. Trova le coordinate dei vettori. Trova le coordinate del punto. Trova le coordinate e la lunghezza del vettore. Esprimi la lunghezza del vettore. Coordinate vettoriali. Coordinate vettoriali. Trova le coordinate del vettore. I vettori sono dati. Assegna un nome alle coordinate dei vettori. Il vettore ha coordinate.

"Metodo delle coordinate su un piano" - Viene disegnato un cerchio. Perpendicolari. Asse delle coordinate. Il valore del seno. Sistema di coordinate rettangolari sul piano. Trova le coordinate del vertice. Considera un esempio. La soluzione a questo problema. I punti vengono assegnati sull'aereo. Vertici di un parallelogramma. Espandi i vettori. Calcolare. Molti punti. Risolvi graficamente il sistema di equazioni.

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