Теоретична механіка лекції 2 курс. Основи механіки для чайників

У межах будь-якого навчального курсу вивчення фізики починається з механіки. Не з теоретичної, не з прикладної та не обчислювальної, а зі старої доброї класичної механіки. Цю механіку ще називають механікою Ньютона. За легендою, вчений гуляв садом, побачив, як падає яблуко, і саме це явище підштовхнуло його до відкриття закону всесвітнього тяжіння. Звичайно, закон існував завжди, а Ньютон лише надав йому зрозумілої для людей форми, але його заслуга – безцінна. У цій статті ми не розписуватимемо закони Ньютонівської механіки максимально докладно, але викладемо основи, базові знання, визначення та формули, які завжди можуть зіграти Вам на руку.

Механіка - розділ фізики, наука, що вивчає рух матеріальних тіл та взаємодії між ними.

Саме слово має грецьке походженняі перекладається як «мистецтво побудови машин». Але до побудови машин нам ще як до Місяця, тому підемо стопами наших предків, і вивчатимемо рух каменів, кинутих під кутом до горизонту, і яблук, що падають на голови з висоти h.

Чому вивчення фізики починається саме з механіки? Тому що це абсолютно природно, не з термодинамічної рівноваги його починати?!

Механіка – одна з найстаріших наук, і історично вивчення фізики розпочалося саме з основ механіки. Поміщені в рамки часу та простору, люди, по суті, ніяк не могли почати з чогось іншого, за всього бажання. Ті, що рухаються - перше, на що ми звертаємо свою увагу.

Що таке рух?

Механічне рух – це зміна становища тіл у просторі щодо одне одного з часом.

Саме після цього визначення ми природно приходимо до поняття системи відліку. Зміна положення тіл у просторі щодо один одного.Ключові слова тут: щодо один одного . Адже пасажир у машині рухається щодо людини, що стоїть на узбіччі з певною швидкістю, і спочиває щодо свого сусіда на сидінні поруч, і рухається з якоюсь іншою швидкістю щодо пасажира в машині, яка їх обганяє.

Саме тому, для того, щоб нормально вимірювати параметри об'єктів, що рухаються, і не заплутатися, нам потрібна система відліку - жорстко пов'язані між собою тіло відліку, система координат та годин. Наприклад, земля рухається навколо сонця в геліоцентричну систему відліку. У побуті практично всі свої виміри ми проводимо у геоцентричній системі відліку, пов'язаної із Землею. Земля – тіло відліку, щодо якого рухаються машини, літаки, люди, тварини.

Механіка як наука має своє завдання. Завдання механіки – будь-якої миті часу знати становище тіла у просторі. Іншими словами, механіка будує математичний опис руху і знаходить зв'язок між фізичними величинами, що його характеризують.

Для того, щоб рухатися далі, нам знадобиться поняття “ матеріальна точка ”. Кажуть, фізика – точна наука, але фізикам відомо, скільки наближень та припущень доводиться робити, щоб узгодити цю точність. Ніхто ніколи не бачив матеріальної точки та не нюхав ідеального газу, але вони є! З ними просто легше жити.

Матеріальна точка - тіло, розмірами і формою якого в контексті цього завдання можна знехтувати.

Розділи класичної механіки

Механіка складається з кількох розділів

Кінематика
Динаміка
Статика

Кінематиказ фізичного погляду вивчає, як саме тіло рухається. Інакше кажучи, цей розділ займається кількісними характеристиками руху. Знайти швидкість, шлях – типові завдання кінематики

Динамікавирішує питання, чому вона рухається саме так. Тобто розглядає сили, які діють тіло.

Статикавивчає рівновагу тіл під впливом сил, тобто відповідає питанням: чому вона взагалі падає?

Межі застосування класичної механіки.

Класична механіка вже не претендує на статус науки, що пояснює все (на початку минулого століття все було зовсім інакше), і має чіткі рамки застосування. Взагалі, закони класичної механіки справедливі звичному нам за розміром світі (макросвіт). Вони перестають працювати у разі світу частинок, коли на зміну класичній приходить квантова механіка. Також класична механіка не застосовується до випадків, коли рух тіл відбувається зі швидкістю, близькою до швидкості світла. У разі яскраво вираженими стають релятивістські ефекти. Грубо кажучи, у рамках квантової та релятивістської механіки – класична механіка, це окремий випадокколи розміри тіла великі, а швидкість – мала. Докладніше про ви можете дізнатися з нашої статті.

Взагалі кажучи, квантові та релятивістські ефекти ніколи нікуди не діваються, вони мають місце і при звичайному русі макроскопічних тіл зі швидкістю, набагато меншою за швидкість світла. Інша справа, що дія цих ефектів така мала, що не виходить за рамки самих точних вимірів. Класична механіка, таким чином, ніколи не втратить свого фундаментального значення.

Ми продовжимо вивчення фізичних основ механіки у наступних статтях. Для кращого розуміння механіки Ви завжди можете звернутися до , які в індивідуальному порядку проллють світло на темна пляманайскладнішого завдання.

1 слайд

Курс лекцій з теоретичної механіки Динаміка (І частина) Бондаренко О.М. Москва - 2007 Електронний навчальний курс написаний на основі лекцій, що читалися автором для студентів, які навчалися за спеціальностями СЗ, ПГС та СДМ у НДІЗТ та МІІТ (1974-2006 рр.). Навчальний матеріалвідповідає календарним планам обсягом трьох семестрів. Для повної реалізації анімаційних ефектів під час презентації необхідно використовувати засіб перегляду Power Point не нижче, ніж вбудований у Microsoft Office операційної системи Windows-ХР Professional. Зауваження та пропозиції можна надіслати на e-mail: [email protected]. Московський державний університетшляхів сполучення (МІІТ) Кафедра теоретичної механіки Науково-технічний центр транспортних технологій

2 слайд

Лекція 1. Введення в динаміку. Закони та аксіоми динаміки матеріальної точки. Основне рівняння динаміки. Диференціальні та природні рівняння руху. Два основні завдання динаміки. Приклади розв'язання прямої задачі динаміки Лекція 2. Розв'язання зворотної задачі динаміки. Загальні вказівки до вирішення зворотного завдання динаміки. Приклади вирішення зворотного завдання динаміки. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту, не враховуючи опору повітря. Лекція 3. Прямолінійні коливання матеріальної точки. Умова виникнення коливань. Класифікація коливань. Вільні коливання без урахування сил опору. Загасні коливання. Декремент коливань. Лекція 4. Вимушені коливання матеріальної точки. Резонанс. Вплив опору руху за вимушених коливань. Лекція 5. Відносне рух матеріальної точки. Сила інерції. Окремі випадки руху для різних видів переносного руху. Вплив обертання Землі на рівновагу та рух тел. 6. Динаміка механічної системи. Механічна система. Зовнішні та внутрішні сили. Центр мас системи. Теорема про рух центру мас. Закони збереження. Приклад вирішення завдання використання теореми про рух центру мас. лекція 7. Імпульс сили. Кількість руху. Теорема про зміну кількості руху. Закони збереження. Теорема Ейлер. Приклад вирішення завдання використання теореми про зміну кількості руху. Момент кількості руху. Теорема про зміну моменту кількості руху. Лекція 8. Закони збереження. Елементи теорії моментів інерції. Кінетичний момент твердого тіла. Диференціальне рівняння обертання твердого тіла. Приклад вирішення завдання використання теореми про зміну моменту кількості руху системи. Елементарна теорія гіроскопу. Рекомендована литература 1. Яблонський А.А. Курс теоретичної механіки. Ч.2. М.: вища школа. 1977 368 с. 2. Мещерський І.В. Збірник задач з теоретичної механіки. М: Наука. 1986 416 с. 3. Збірник завдань для курсових робіт/ За ред. А.А. Яблонської. М: Вища школа. 1985 366 с. 4. Бондаренко О.М. “ Теоретична механікау прикладах та завданнях. Динаміка” (електронний посібник www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004

3 слайд

Лекція 1 Динаміка - розділ теоретичної механіки, що вивчає механічний рух із найзагальнішої точки зору. Рух у зв'язку з діючими на об'єкт силами. Розділ складається з трьох відділів: Динаміка матеріальної точки Динаміка Динаміка механічної системи Аналітична механіка ■ Динаміка точки – вивчає рух матеріальної точки з урахуванням сил, що викликають цей рух. Основний об'єкт - матеріальна точка - матеріальне тіло, що має масу, розмірами якого можна знехтувати. Основні припущення: – існує абсолютний простір (має чисто геометричні властивості, що не залежать від матерії та її руху. – існує абсолютний час (не залежить від матерії та її руху). Звідси випливає: – існує абсолютно нерухома система відліку. – час не залежить від рухи системи відліку – маси точок, що рухаються, не залежать від руху системи відліку Ці допущення використовуються в класичній механіці, створеній Галілеєм і Ньютоном, вона має досі досить широку сферу застосування, оскільки механічні системи, що розглядаються в прикладних науках, не мають таких великих мас і швидкостями руху, для яких необхідний облік їх впливу на геометрію простору, час, рух, як це робиться в релятивістській механіці (теорії відносності) ■ Основні закони динаміки – вперше відкриті Галілеєм та сформульовані Ньютоном становлять основу всіх методів опису та аналізу руху механічних систем та їх динамічного взаємодію дії під дією різних сил. ■ Закон інерції (закон Галілея-Ньютона) – Ізольована матеріальна точка тіло зберігає свій стан спокою або рівномірного прямолінійного руху доти, додані сили не змусять її змінити цей стан. Звідси випливає еквівалентність стану спокою та руху за інерцією (закон відносності Галілея). Система відліку, стосовно якої виконується закон інерції, називається інерційною. Властивість матеріальної точки прагнути зберегти незмінною швидкість свого руху (свій кінематичний стан) називається інертністю. ■ Закон пропорційності сили та прискорення (Основне рівняння динаміки - II закон Ньютона) – Прискорення, що повідомляється матеріальною точкою силою, прямо пропорційно силі і обернено пропорційно масі цієї точки: або Тут m – маса точки (міра інертності), вимірюється в кг, чисельно дорівнює ваги, поділеній на прискорення вільного падіння: F – діюча сила, що вимірюється в Н (1 Н повідомляє точці масою 1 кг прискорення 1 м/c2, 1 Н = 1/9.81 кг-с). ■ Динаміка механічної системи – вивчає рух сукупності матеріальних точок та твердих тіл, що об'єднуються загальними законами взаємодії, з урахуванням сил, що викликають цей рух. ■ Аналітична механіка – вивчає рух невільних механічних систем за допомогою загальних аналітичних методів. 1

4 слайд

Лекція 1 (продовження – 1.2) Диференціальні рівняння руху матеріальної точки: - диференціальне рівняння руху точки у векторному вигляді. - диференціальні рівняння руху точки в координатному вигляді. Цей результат можна отримати формальним проектуванням векторного диференціального рівняння (1). Після угруповання векторне співвідношення розпадається на три скалярні рівняння: У координатному вигляді: Використовуємо зв'язок радіуса-вектора з координатами та вектора сили з проекціями: або: Підставимо прискорення точки при векторному завданні руху в основне рівняння динаміки: Природні рівняння руху матеріальної точки – виходять проектуванням диференціального рівняння руху на природні (рухливі) осі координат: або: - природні рівняння руху точки. ■ Основне рівняння динаміки: - відповідає векторному способу завдання руху точки. ■ Закон незалежності дії сил – Прискорення матеріальної точки під дією кількох сил дорівнює геометричній сумі прискорень точки від дії кожної з сил окремо: або Закон справедливий для будь-якого кінематичного стану тіл. Сили взаємодії, будучи прикладені до різних точок (тіл), не врівноважуються. ■ Закон рівності дії та протидії (III закон Ньютона) – Будь-якій дії відповідає рівна за величиною та протилежно спрямована протидія: 2

5 слайд

Дві основні завдання динаміки: 1. Пряме завдання: Задано рух (рівняння руху, траєкторія). Потрібно визначити сили, під впливом яких відбувається заданий рух. 2. Зворотне завдання: Задано сили, під дією яких відбувається рух. Потрібно знайти параметри руху (рівняння руху, траєкторію руху). Обидві задачі вирішуються за допомогою основного рівняння динаміки та проекції його на координатні осі. Якщо розглядається рух невільної точки, то як і статики, використовується принцип звільнення від зв'язків. Внаслідок реакції зв'язків включаються до складу сил, що діють на матеріальну точку. Вирішення першого завдання пов'язане з операціями диференціювання. Вирішення зворотного завдання вимагає інтегрування відповідних диференціальних рівнянь і це значно складніше, ніж диференціювання. Зворотне завдання складніше за пряме завдання. Розв'язання прямої задачі динаміки – розглянемо на прикладах: Приклад 1. Кабіна вагою G ліфта піднімається тросом із прискоренням a . Визначити натяг троса. 1. Вибираємо об'єкт (кабіна ліфта рухається поступально та її можна розглядати як матеріальну точку). 2. Відкидаємо зв'язок (трос) і замінюємо реакцією R. 3. Складаємо основне рівняння динаміки: Визначаємо реакцію троса: Визначаємо натяг троса: При рівномірному русі кабіни ay = 0 і натяг троса дорівнює вазі: T = G. При обриві тросу і прискорення кабіни і прискорення вільного падіння: ay = -g. 3 4. Проектуємо основне рівняння динаміки на вісь y: y Приклад 2. Точка масою m рухається горизонтальною поверхнею (площини Oxy) відповідно до рівнянь: x = a coskt, y = b coskt. Визначити силу, що діє на точку. 1. Вибираємо об'єкт (матеріальну точку). 2. Відкидаємо зв'язок (площину) і замінюємо реакцією N. 3. Додаємо до системи сил невідому силу F. 4. Складаємо основне рівняння динаміки: 5. Проектуємо основне рівняння динаміки на осі x,y: Визначаємо проекції сили: Модуль сили: Напрямні косинуси: Таким чином, величина сили пропорційна відстані точки до центра координат і направлена до центру лінії, що з'єднує точку з центром. Траєкторія руху точки є еліпс з центром на початку координат: O r Лекція 1 (продовження – 1.3)

6 слайд

Лекція 1 (продовження 1.4) Приклад 3: Вантаж вагою G підвішений на тросі довжиною l і рухається круговою траєкторією в горизонтальній площині з деякою швидкістю. Кут відхилення троса від вертикалі дорівнює. Визначити натяг троса та швидкість вантажу. 1. Вибираємо об'єкт (вантаж). 2. Відкидаємо зв'язок (трос) і замінюємо реакцією R. 3. Складаємо основне рівняння динаміки: З третього рівняння визначаємо реакцію троса: Визначаємо натяг тросу: Підставляємо значення реакції троса, нормального прискорення у друге рівняння і визначаємо швидкість вантажу: 4 динаміки на осі, n, b: Приклад 4: Автомашина вагою G рухається опуклим мостом (радіус кривизни дорівнює R) зі швидкістю V. Визначити тиск автомашини на міст. 1. Вибираємо об'єкт (автомашина, розмірами нехтуємо та розглядаємо як точку). 2. Відкидаємо зв'язок (шорстку поверхню) і замінюємо реакціями N і силою тертя Fтр. 3. Складаємо основне рівняння динаміки: 4. Проектуємо основне рівняння динаміки на вісь n: Звідси визначаємо нормальну реакцію: Визначаємо тиск автомашини на міст: Звідси можна визначити швидкість, що відповідає нульовому тиску на міст (Q = 0): 4

7 слайд

Лекція 2 Після підстановки знайдених значень постійних отримуємо: Таким чином, під дією однієї і тієї ж системи сил матеріальна точка може здійснювати цілий клас рухів, що визначаються початковими умовами. Початкові координати враховують вихідне положення точки. Початкова швидкість, що задається проекціями, враховує вплив на її рух по ділянці траєкторії сил, що діяли на точку до приходу на цю ділянку, тобто. початковий кінематичний стан. Вирішення зворотного завдання динаміки – У випадку руху точки сили, що діють точку, є змінними, залежними від часу, координат і швидкості. Рух точки описується системою трьох диференціальних рівнянь другого порядку: Після інтегрування кожного з них буде шість постійних C1, C2,…., C6: Значення постійних C1, C2,…., C6 знаходяться із шести початкових умов при t = 0: Приклад 1 рішення зворотного завдання: Вільна матеріальна точка маси m рухається дією сили F, постійної за модулем і величиною. . У початковий момент швидкість точки становила v0 і збігалася у напрямку силою. Визначити рівняння руху точки. 1. Складаємо основне рівняння динаміки: 3. Знижуємо порядок похідної: 2. Виберемо декартову систему відліку, спрямовуючи вісь x вздовж напрямку сили і спроектуємо основне рівняння динаміки на цю вісь: або x y z 4. Розділяємо змінні: 5. Обчислюємо інтегр : 6. Представимо проекцію швидкості як похідну координати за часом: 8. Обчислюємо інтеграли від обох частин рівняння: 7. Розділяємо змінні: 9. Для визначення значень постійних C1 та C2 використовуємо початкові умови t = 0, vx = v0 , x = x0: У результаті отримуємо рівняння рівнозмінного руху(по осі x): 5

8 слайд

Загальні вказівки до вирішення прямої та зворотної задачі. Порядок розв'язання: 1. Упорядкування диференціального рівняння руху: 1.1. Вибрати систему координат - прямокутну (нерухому) при невідомій траєкторії руху, природну (рухливу) при відомій траєкторії, наприклад, коло або пряма лінія. У разі можна використовувати одну прямолінійну координату. Початок відліку поєднати з початковим положенням точки (при t = 0) або з рівноважним положенням точки, якщо воно існує, наприклад, коливання точки. 6 1.2. Зобразити точку в положенні, яке відповідає довільному моменту часу (при t > 0) так, щоб координати були позитивними (s > 0, x > 0). При цьому вважаємо також, що проекція швидкості у цій позиції також позитивна. У разі коливань проекція швидкості змінює знак, наприклад, при поверненні положення рівноваги. Тут слід прийняти, що у момент часу точка віддаляється від положення рівноваги. Виконання цієї рекомендації є важливим у подальшому при роботі з силами опору, що залежать від швидкості. 1.3. Звільнити матеріальну точку від зв'язків, замінити їхню дію реакціями, додати активні сили. 1.4. Записати основний закон динаміки у векторному вигляді, спроектувати на вибрані осі, виразити задаються або реактивні сили через змінні час, координати або швидкості, якщо вони від них залежать. 2. Вирішення диференціальних рівнянь: 2.1. Зменшити похідну, якщо рівняння не наводиться до канонічного (стандартного) виду. наприклад: або 2.2. Розділити змінні, наприклад: або 2.4. Обчислити невизначені інтеграли у лівій та правій частинах рівняння, наприклад: 2.3. Якщо в рівнянні три змінні, то зробити заміну змінних, наприклад: потім розділити змінні. Зауваження. Замість обчислення невизначених інтегралів можна обчислити певні інтеграли зі змінною верхньою межею. Нижні межі представляють початкові значення змінних (початкові умови). Тоді не потрібно окремого знаходження постійної, яка автоматично включається до рішення, наприклад: Використовуючи початкові умови, наприклад, t = 0, vx = vx0, визначити постійну інтегрування: 2.5. Виразити швидкість через похідну координати часу, наприклад, і повторити пункти 2.2 -2.4 Зауваження. Якщо рівняння наводиться до канонічного виду, що має стандартне рішення, то це готове рішеннята використовується. Постійні інтегрування як і раніше з початкових умов. наприклад, коливання (лекція 4, стор.8). Лекція 2 (продовження 2.2)

9 слайд

Лекція 2 (продовження 2.3) Приклад 2 розв'язання оберненої задачі: Сила залежить від часу. Вантаж вагою P починає рухатися гладкою горизонтальною поверхні під дією сили F, величина якої пропорційна часу (F = kt). Визначити пройдену відстань вантажем під час t. 3. Складаємо основне рівняння динаміки: 5. Знижуємо порядок похідної: 4. Проектуємо основне рівняння динаміки на вісь x: або 7 6. Розділяємо змінні: 7. Обчислюємо інтеграли від обох частин рівняння: 9. Представимо проекцію координат 10. Обчислюємо інтеграли від обох частин рівняння: 9. Розділяємо змінні: 8. Визначимо значення постійної C1 з початкової умови t = 0, vx = v0=0: У результаті отримуємо рівняння руху (по осі x), яке дає значення пройденого шляху за час t: 1. Вибираємо систему відліку (декартові координати) так, щоб тіло мало позитивну координату: 2. Приймаємо об'єкт руху за матеріальну точку (тіло рухається поступально), звільняємо від зв'язку (опорної площини) та замінюємо реакцією (нормальною реакцією гладкої поверхні) : 11. Визначимо значення постійної C2 з початкової умови t = 0, x = x0 = 0: Приклад 3 розв'язання зворотного завдання: Сила залежить від координати. Матеріальна точка масою m кинута вгору із Землі зі швидкістю v0. Сила тяжіння Землі обернено пропорційна квадрату відстані від точки до центру тяжіння (центру Землі). Визначити залежність швидкості від відстані до центру Землі. 1. Вибираємо систему відліку (декартові координати) так, щоб тіло мало позитивну координату: 2. Складаємо основне рівняння динаміки: 3. Проектуємо основне рівняння динаміки на вісь y: або Коефіцієнт пропорційності можна знайти, використовуючи вагу точки на поверхні Землі: R рівняння має вигляд: або 4. Знижуємо порядок похідної: 5. Робимо заміну змінної: 6. Розділяємо змінні: 7. Обчислюємо інтеграли від обох частин рівняння: 8. Підставляємо межі: У результаті отримуємо вираз для швидкості функції від координати y: Максимальну висоту польоту можна знайти прирівнюючи швидкість нулю: Максимальна висота польоту при обігу знаменника на нуль: Звідси при постановці радіуса Землі та прискорення вільного падіння виходить II космічна швидкість:

10 слайд

Лекція 2 (продовження 2.4) Приклад 2 розв'язання оберненої задачі: Сила залежить від швидкості. Судно маси m мало швидкість v0. Опір води руху судна пропорційно швидкості. Визначити час, за який швидкість судна впаде вдвічі після вимикання двигуна, а також відстань судном, що пройдено, до повної зупинки. 8 1. Вибираємо систему відліку (декартові координати) так, щоб тіло мало позитивну координату: 2. Приймаємо об'єкт руху за матеріальну точку (судно рухається поступально), звільняємо від зв'язків (води) та замінюємо реакцією (виштовхувальною силою – силою Архімеда), а також силою опору руху. 3. Додаємо активну силу (силу тяжіння). 4. Складаємо основне рівняння динаміки: 5. Проектуємо основне рівняння динаміки на вісь x: або 6. Знижуємо порядок похідної: 7. Розділяємо змінні: 8. Обчислюємо інтеграли від обох частин рівняння: 9. Підставляємо межі: t, звідки можна визначити час руху: Час руху, протягом якого швидкість впаде вдвічі: Цікаво помітити, що з наближенні швидкості нанівець час руху прагне нескінченності, тобто. кінцева швидкість не може дорівнювати нулю. Чим не "вічне рух"? Однак при цьому пройдений шлях до зупинки є кінцевою величиною. Для визначення пройденого шляху звернемося до виразу, отриманого після зниження порядку похідної, і зробимо заміну змінної: Після інтегрування та підстановки меж отримуємо: Пройдений шлях до зупинки: Виключивши час із рівнянь руху отримуємо рівняння траєкторії: Час польоту визначаємо прирівнюванням координати y нулю: Дальність польоту визначаємо підстановкою часу польоту:

11 слайд

Лекція 3 Прямолінійні коливання матеріальної точки – Коливальний рух матеріальної точки відбувається за умови: є сила, що відновлює, що прагне повернути точку в положення рівноваги при будь-якому відхиленні її з цього положення. 9 Відновлююча сила є, положення рівноваги стійке Відновлюючої сили немає, положення рівноваги нестійке Відновлюючої сили немає, положення рівноваги байдуже Відновна сила є, положення рівноваги стійке Необхідний аналіз Сила пружності пружини – приклад лінійної відновлювальної сили. Спрямована завжди до положення рівноваги, величина прямо пропорційна лінійному подовженню (укороченню) пружини, рівному відхиленню тіла від положення рівноваги: с – коефіцієнт жорсткості пружини, чисельно рівний силі, під дією якої пружина змінює свою довжину на одиницю, вимірюється Н/м в системі СІ. x y O Види коливань матеріальної точки: 1. Вільні коливання (не враховуючи опору середовища). 2. Вільні коливання з урахуванням опору середовища (загасні коливання). 3. Вимушені коливання. 4. Вимушені коливання з урахуванням опору середовища. ■ Вільні коливання – відбуваються під дією лише сили, що відновлює. Запишемо основний закон динаміки: Виберемо систему координат з центром у положенні рівноваги (точці O) та спроектуємо рівняння на вісь x: Наведемо отримане рівняння до стандартного (канонічного) виду: Це рівнянняє однорідним лінійним диференціальним рівнянням II порядку, вид розв'язання якого визначається корінням характеристичного рівняння, одержуване за допомогою універсальної підстановки: Коріння характеристичного рівняння уявні та рівні: Спільне рішеннядиференціального рівняння має вигляд: Швидкість точки: Початкові умови: Визначимо постійні: Отже, рівняння вільних коливаньмає вигляд: Рівняння можна уявити одночленним виразом: де a - амплітуда, - Початкова фаза. Нові константи a - пов'язані з постійними C1 і C2 співвідношеннями: Визначимо a і: Причиною виникнення вільних коливань є початкове зміщення x0 і/або початкова швидкість v0.

12 слайд

10 Лекція 3 (продовження 3.2) Затухаючі коливання матеріальної точки – Коливальний рух матеріальної точки відбувається за наявності відновлювальної сили та сили опору руху. Залежність сили опору руху від усунення чи швидкості визначається фізичної природи середовища чи зв'язку, що перешкоджає руху. Найбільш простою залежністю є лінійна залежність від швидкості (в'язкий опір): - коефіцієнт в'язкості x y O Основне рівняння динаміки: Проекція рівняння динаміки на вісь: Наведемо рівняння до стандартного вигляду: де Характеристичне рівняння має коріння: Загальне рішення даного диференціального рівняння має різний вигляд залежно від значень коріння: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - Випадок великого в'язкого опору: - Коріння дійсні, різні. або - ці функції аперіодичні: 3. n = k: - коріння дійсне, кратне. ці функції також аперіодичні:

13 слайд

Лекція 3 (Продовження 3.3) Класифікація рішень вільних коливань. Способи з'єднання пружин. Еквівалентна твердість. y y 11 Діфф. рівняння Характер. рівняння Коріння характ. рівняння Розв'язання диференціального рівняння Графік nk n=k

14 слайд

Лекція 4 Вимушені коливання матеріальної точки - Поряд з відновлюючою силою діє сила, що періодично змінюється, звана обурюючою силою. Обурювальна сила може мати різну природу. Наприклад, в окремому випадку інерційний вплив неврівноваженої маси m1 обертового ротора викликає гармонійно змінюються проекції сили: Основне рівняння динаміки: Проекція рівняння динаміки на вісь: Приведемо рівняння до стандартного вигляду: 12 Розв'язання цього неоднорідного диференціального x1 – загальне рішення відповідного однорідного рівняння та x2 – приватне рішення неоднорідного рівняння: Приватне рішення підбираємо у формі правої частини: Отримана рівність має задовольнятися за будь-якого t . Тоді: або Таким чином, за одночасної дії відновлюючої та обурюючої сил матеріальна точка робить складне коливальний рух, Що являє собою результат додавання (накладання) вільних (x1) і вимушених (x2) коливань. Якщо p< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием повного рішення(!): Таким чином, приватне рішення: Якщо p > k (вимушені коливання великої частоти), то фаза коливань протилежна фазі сили, що обурює:

15 слайд

Лекція 4 (продовження 4.2) 13 Коефіцієнт динамічності – відношення амплітуди вимушених коливань до статичного відхилення точки під дією постійної сили H = const: Амплітуда вимушених коливань: Статичне відхилення можна знайти з рівняння рівноваги: Тут: Звідси: Таким чином, p< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (велика частота вимушених коливань) коефіцієнт динамічності: Резонанс – виникає коли частота вимушених коливань збігається з частотою власних коливань (p = k). Це найчастіше відбувається при запуску та зупинці обертання погано збалансованих роторів, закріплених на пружних підвісках. Диференціальне рівняння коливань за рівності частот: Приватне рішення у вигляді правої частини взяти не можна, т.к. вийде лінійно залежне рішення (див. загальне рішення). Загальне рішення: Підставимо в диференціальне рівняння: Візьмемо приватне рішення у вигляді та обчислимо похідні: Таким чином, отримано рішення: або Вимушені коливання при резонансі мають амплітуду, що необмежено зростає пропорційно часу. Вплив опору руху за вимушених коливань. Диференціальне рівняння за наявності в'язкого опору має вигляд: Загальне рішення вибирається з таблиці (Лекція 3, стор. 11) залежно від співвідношення n та до (подивитися). Приватне рішення візьмемо у вигляді та обчислимо похідні: Підставимо у диференціальне рівняння: Прирівнюючи коефіцієнти за однакових тригонометричних функціяхотримуємо систему рівнянь: Зведенням у ступінь обох рівнянь і складанням їх отримуємо амплітуду вимушених коливань: Поділом другого рівняння на перше отримуємо зсув фази вимушених коливань: Таким чином, рівняння руху при вимушених коливань з урахуванням опору руху, наприклад, при n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 слайд

Лекція 5 Відносний рух матеріальної точки – припустимо, що рухома (неінерціальна) система координат Oxyz рухається за деяким законом щодо нерухомої (інерціальної) системи координат O1x1y1z1. Рух матеріальної точки M (x, y, z) щодо рухомої системи Oxyz – відносний, відносно нерухомої системи O1x1y1z1 – абсолютний. Рух рухомої системи Oxyz щодо нерухомої системи O1x1y1z1 – переносний рух. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O Основне рівняння динаміки: Абсолютне прискорення точки: Підставимо абсолютне прискорення точки в основне рівняння динаміки: Перенесемо доданки з переносним та коріолісовим прискоренням у праву частину: Перенесені доданки мають розмірність сил і розглядаються як рівні: Тоді відносний рух точки можна розглядати як абсолютний, якщо до чинних сил додати переносну та коріолісову сили інерції: У проекціях на осі рухомої системи координат маємо: Приватні випадки відносного руху точки різного видупереносного руху: 1. Обертання навколо нерухомої осі: Якщо обертання рівномірне, то εe = 0:2. : Жодними механічними явищами не можна виявити прямолінійного. рівномірного руху(Принцип відносності класичної механіки). Вплив обертання Землі на рівновагу тіл – Припустимо, що тіло знаходиться в рівновазі на поверхні Землі на довільній широті (паралелі). Земля обертається навколо своєї осі із заходу на схід із кутовою швидкістю: Радіус Землі становить близько 6370 км. S R – повна реакція негладкої поверхні. G – сила тяжіння Землі до центру. Ф – відцентрова сила інерції. Умова відносної рівноваги: Равнодіюча сил тяжіння та інерції – сила тяжіння (вага): Величина сили тяжіння (ваги) лежить на поверхні Землі дорівнює P = mg . Відцентрова сила інерції становить малу частку від сили тяжіння: Відхилення сили тяжіння від напрямку сили тяжіння також мало: Таким чином, вплив обертання Землі на рівновагу тіл надзвичайно мало і в практичних розрахунках не береться до уваги. Максимальна величинасили інерції (при φ = 0 - на екваторі) становить лише 0.00343 від величини сили тяжіння

17 слайд

Лекція 5 (продовження 5.2) 15 Вплив обертання Землі на рух тіл у полі тяжіння Землі – Покладемо тіло, що падає на Землю з деякої висоти H над поверхнею Землі на широті φ . Виберемо рухливу систему відліку, жорстко пов'язану із Землею, спрямовуючи осі x, y по дотичній до паралелі та до меридіана: Рівняння відносного руху: Тут враховано трохи відцентрової сили інерції порівняно з силою тяжіння. Таким чином, сила тяжіння ототожнюється з силою тяжіння. Крім того, вважаємо, що сила тяжіння спрямована перпендикулярно поверхні Землі внаслідок незначності її відхилення, як розглянуто вище. Прискорення Коріоліса рівне і спрямоване паралельно осі y на захід. Сила інерції Коріоліса дорівнює спрямована у протилежний бік. Спроектуємо рівняння відносного руху на осі: Розв'язання першого рівняння дає: Початкові умови: Рішення третього рівняння дає: Початкові умови: Третє рівняння набуває вигляду: Початкові умови: Його рішення дає: Отримане рішення показує, що тіло при падінні відхиляється на схід. Обчислимо величину цього відхилення, наприклад, при падінні з висоти 100 м. Час падіння знайдемо з другого рівняння: Таким чином, вплив обертання Землі на рух тіл надзвичайно мало для практичних висот і швидкостей і в технічних розрахунках не враховується. З вирішення другого рівняння також слідує існування швидкості по осі y, яка також повинна викликати і викликає відповідне прискорення та силу інерції Коріоліса. Вплив цієї швидкості та сили інерції, пов'язаної з нею, на зміну руху буде ще меншим, ніж розглянута сила інерції Коріоліса, пов'язана з вертикальною швидкістю.

18 слайд

Лекція 6. Динаміка механічної системи. Система матеріальних точок або механічна система - Сукупність матеріальних точок або матеріальних тих, що об'єднуються загальними законами взаємодії (становище або рух кожної з точок або тіла залежить від положення та руху всіх інших) Система вільних точок - рух яких не обмежується жодними зв'язками (наприклад, планетна система , в якій планети розглядаються як матеріальні точки). Система невільних точок або невільна механічна система – рух матеріальних точок або тіл обмежуються накладеними на систему зв'язками (наприклад, механізм, машина тощо). 16 Сили, що діють систему. На додаток до раніше існуючої класифікації сил (активні та реактивні сили) вводиться нова класифікація сил: 1. Зовнішні сили (e) – діючі на точки і тіла системи з боку точок або тіл, що не входять до складу цієї системи. 2. Внутрішні сили (i) – сили взаємодії між матеріальними точками або тілами, що входять до цю систему. Одна і та сама сила може бути як зовнішньою, так і внутрішньою силою. Усе залежить від цього, яка механічна система розглядається. Наприклад: У системі Сонце, Земля та Місяць всі сили тяжіння між ними є внутрішніми. При розгляді системи Земля і Місяць сили тяжіння, прикладені з боку Сонця – зовнішні: C З Л На підставі закону дії та протидії кожній внутрішній силі Fk відповідає інша внутрішня сила Fk', рівна за модулем та протилежна за напрямом. З цього випливають дві чудові властивості внутрішніх сил: Головний вектор усіх внутрішніх сил системи дорівнює нулю: Головний момент усіх внутрішніх сил системи щодо будь-якого центру дорівнює нулю: Або у проекціях на координатні осі: Примітка. Хоча ці рівняння схожі на рівняння рівноваги, вони не є такими, оскільки внутрішні сили прикладені до різним точкамабо тіла системи і можуть викликати рух цих точок (тіл) відносно один одного. З цих рівнянь випливає, що внутрішні сили не впливають на рух системи, що розглядається як ціле. Центр мас системи матеріальних точок. Для опису руху системи загалом вводиться геометрична точка, званої центром мас, радіус-вектор якої визначається виразом, де M – маса всієї системи: Або у проекціях на координатні осі: Формули для центру мас аналогічні формулам центру тяжкості. Проте, поняття центру мас загальне, оскільки вона пов'язані з силами тяжіння чи силами тяжкості.

19 слайд

Лекція 6 (продовження 6.2) 17 Теорема про рух центру мас системи – Розглянемо систему n матеріальних точок. Прикладені до кожної точки сили розділимо на зовнішні та внутрішні та замінимо їх на відповідні рівнодіючі Fke та Fki. Запишемо для кожної точки основне рівняння динаміки: або Підсумуємо ці рівняння по всіх точках: У лівій частині рівняння внесемо маси під знак похідної та замінимо суму похідних на похідну суми: З визначення центру мас: Підставимо в отримане рівняння: Після винесення маси системи за знак похідної отримуємо або: Твір маси системи на прискорення її центру масі дорівнює головному вектору зовнішніх сил. У проекціях на координатні осі: Центр мас системи рухається як матеріальна точка масою, що дорівнює масі всієї системи, до якої прикладені всі зовнішні сили, що діють на систему. Наслідки з теореми про рух центру мас системи (закони збереження): 1. Якщо в інтервалі часу головний вектор зовнішніх сил системи дорівнює нулю, Re = 0, то швидкість центру мас постійна, vC = const (центр мас рухається рівномірно прямолінійно – закон збереження руху центру мас). 2. Якщо в інтервалі часу проекція головного вектора зовнішніх сил системи на вісь x дорівнює нулю, Rxe = 0, швидкість центру мас по осі x постійна, vCx = const (центр мас рухається по осі рівномірно). Аналогічні твердження справедливі для осей y та z. Приклад: Двоє людей масами m1 і m2 перебувають у човні масою m3. У початковий момент часу човен з людьми перебував у спокої. Визначити переміщення човна, якщо людина масою m2 пересіла до носа човна на відстань а. 3. Якщо в інтервалі часу головний вектор зовнішніх сил системи дорівнює нулю, Re = 0, і в початковий момент швидкість центру мас дорівнює нулю, vC = 0, то радіус-вектор центру мас залишається постійним, rC = const (центр мас перебуває в спокої - Закон збереження становища центру мас). 4. Якщо в інтервалі часу проекція головного вектора зовнішніх сил системи на вісь x дорівнює нулю, Rxe = 0, і в початковий момент швидкість центру мас цієї осі дорівнює нулю, vCx = 0, то координата центру мас по осі x залишається постійною, xC = const (центр мас не рухається по цій осі). Аналогічні твердження справедливі для осей y та z. 1. Об'єкт руху (човен з людьми): 2. Відкидаємо зв'язку (воду): 3. Замінюємо зв'язок реакцією: 4. Додаємо активні сили: 5. Записуємо теорему про центр мас: Проектуємо на вісь x: O Визначимо на яку відстань треба пересісти людині маси m1, щоб човен залишився на місці: Човен переміститься на відстань l у протилежний бік.

20 слайд

Лекція 7 Імпульс сили – міра механічної взаємодії, що характеризує передачу механічного рухуз боку діючих на точку сил за цей проміжок часу: 18 У проекціях на координатні осі: У разі постійної сили: У проекціях на координатні осі: Імпульс рівнодіючої – дорівнює геометричній сумі імпульсів прикладених до точки сил за один і той самий проміжок часу: Помножимо на dt: Проінтегруємо на даному проміжку часу: Кількість руху точки – міра механічного руху, що визначається вектором, що дорівнює добутку маси точки на вектор її швидкості: Теорема про зміну кількості руху системи – Розглянемо систему n матеріальних точок. Прикладені до кожної точки сили розділимо на зовнішні та внутрішні та замінимо їх на відповідні рівнодіючі Fke та Fki. Запишемо для кожної точки основне рівняння динаміки: або Кількість руху системи матеріальних точок геометрична сумакількості руху матеріальних точок: За визначенням центру мас: Вектор кількості руху системи дорівнює добутку маси всієї системи на вектор швидкості центру мас системи. Тоді: У проекціях на координатні осі: Похідна вектора кількості руху системи за часом дорівнює головному вектору зовнішніх сил системи. Підсумуємо ці рівняння по всіх точках: У лівій частині рівняння внесемо маси під знак похідної та замінимо суму похідних на похідну суми: З визначення кількості руху системи: У проекціях на координатні осі:

21 слайд

Теорема Ейлера – Застосування теореми про зміну кількості руху системи руху суцільного середовища (води) . 1.Вибираємо як об'єкт руху обсяг води, що знаходиться в криволінійному каналі турбіни: 2. Відкидаємо зв'язки та замінюємо їх дію реакціями (Rпов – рівнодіюча поверхневих сил) 3. Додаємо активні сили (Rоб – рівнодіюча об'ємних сил): 4. Записуємо теоре зміни кількості руху системи: Кількість руху води в моменти часу t0 і t1 представимо як суми: Зміна кількості руху води в інтервалі часу : Зміна кількості руху води за нескінченно малий інтервал часу dt: , де F1 F2 Приймаючи добуток щільності, площі поперечного перерізу та швидкості за секундну масу отримуємо: Підставляючи диференціал кількості руху системи в теорему про зміну отримуємо: Наслідки з теореми про зміну кількості руху системи (закони збереження): 1. Якщо в інтервалі часу головний вектор зовнішніх сил системи дорівнює нулю, Re = 0, то вектор кількості руху постійний, Q = const – закон збереження кількості руху системи). 2. Якщо в інтервалі часу проекція головного вектора зовнішніх сил системи на вісь дорівнює нулю, Rxe = 0, то проекція кількості руху системи на вісь x постійна, Qx = const. Аналогічні твердження справедливі для осей y та z. Лекція 7 (продовження 7.2) Приклад: Граната маси M, що летіла зі швидкістю v, розірвалася на дві частини. Швидкість одного з осколків маси m1 зросла у напрямку до величини v1. Визначити швидкість другого уламка. 1. Об'єкт руху (граната): 2. Об'єкт – вільна система, зв'язку та його реакції відсутні. 3. Додаємо активні сили: 4. Записуємо теорему про зміну кількості руху: Проектуємо на вісь: β Розділяємо змінні та інтегруємо: Правий інтеграл практично дорівнює нулю, т.к. час вибуху t

22 слайд

Лекція 7 (продовження 7.3) 20 Момент кількості руху точки або кінетичний момент руху щодо деякого центру – міра механічного руху, що визначається вектором, рівним векторному добутку радіуса-вектора матеріальної точки на вектор її кількості руху: Кінетичний момент системи матеріальних точок щодо деякого центру – геометрична сума моментів кількості рухів всіх матеріальних точок щодо цього ж центру: У проекціях на осі: У проекціях на осі: Теорема про зміну моменту кількості руху системи – Розглянемо систему n матеріальних точок. Прикладені до кожної точки сили розділимо на зовнішні та внутрішні та замінимо їх на відповідні рівнодіючі Fke та Fki. Запишемо для кожної точки основне рівняння динаміки: або Підсумуємо ці рівняння по всіх точках: Замінимо суму похідних на похідну суми: Вираз у дужках є моментом кількості руху системи. Звідси: Помножимо векторно кожну з рівностей на радіус-вектор зліва: Подивимося, чи можна винести знак похідної за межі векторного твору: Таким чином, отримали: центру. У проекціях на координатні осі: Похідна моменту кількості руху системи щодо деякої осі за часом дорівнює головному моменту зовнішніх сил системи щодо цієї осі.

23 слайд

Лекція 8 21 ■ Наслідки з теореми про зміну моменту кількості руху системи (закони збереження): 1. Якщо в інтервалі часу вектор головного моменту зовнішніх сил системи щодо деякого центру дорівнює нулю, MOe = 0, то вектор моменту кількості руху системи щодо цього ж центру постійно, KO = const – закон збереження моменту кількості руху системи). 2. Якщо в інтервалі часу головний момент зовнішніх сил системи щодо осі x дорівнює нулю, Mxe = 0, то момент кількості руху системи щодо осі x постійний, Kx = const. Аналогічні твердження справедливі для осей y та z. 2. Момент інерції твердого тіла щодо осі: Момент інерції матеріальної точки щодо осі дорівнює добутку маси точки на квадрат відстані точки до осі. Момент інерції твердого тіла щодо осі дорівнює сумі добутків маси кожної точки на квадрат відстані цієї точки до осі. ■ Елементи теорії моментів інерції – При обертальному русі твердого тіла мірою інерції (опір зміні руху) є момент інерції щодо осі обертання. Розглянемо основні поняття визначення та способи обчислення моментів інерції. 1. Момент інерції матеріальної точки щодо осі: При переході від дискретної малої маси до нескінченно малої маси точки межа такої суми визначається інтегралом: осьовий момент інерції твердого тіла. Крім осьового моменту інерції твердого тіла, існують інші види моментів інерції: відцентровий момент інерції твердого тіла. момент інерції твердого тіла. 3. Теорема про моменти інерції твердого тіла щодо паралельних осей – формула переходу до паралельних осей: Момент інерції щодо вихідної осі Статичні моменти інерції щодо вихідних осей Маса тіла Відстань між осями z1 та z2 Таким чином: Якщо вісь z1 проходить через центр мас, то статичні моменти дорівнюють нулю:

24 слайд

Лекція 8 (продовження 8.2) 22 Момент інерції однорідного стрижня постійного перерізу щодо осі: x z L Виділимо елементарний об'єм dV = Adx на відстані x: x dx Елементарна маса: Для обчислення моменту інерції щодо центральної осі (що проходить через центр тяжіння) достатньо змінити розташування і встановити межі інтегрування (-L/2, L/2). Тут продемонструємо формулу переходу до паралельних осей: zС 5. Момент інерції однорідного суцільного циліндра щодо осі симетрії: H dr r Виділимо елементарний об'єм dV = 2πrdrH (тонкий циліндр радіуса r): Елементарна маса: Тут використана формула об'єму циліндра V=π Для обчислення моменту інерції пустотілого (товстого) циліндра достатньо задати межі інтегрування від R1 до R2 (R2> R1): 6. Момент інерції тонкого циліндра щодо осі симетрії (t

25 слайд

Лекція 8 (продовження 8.3) 23 ■ Диференціальне рівняння обертання твердого тіла щодо осі: Запишемо теорему про зміну кінетичного моменту твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі: Кінетичний момент твердого тіла, що обертається, дорівнює: Момент зовнішніх сил щодо осі обертання сил тяжкості моментів не створюють): Підставляємо кінетичний момент і момент, що обертає, в теорему Приклад: Дві людини однакової ваги G1 = G2 висять на канаті, перекинутому через суцільний блок вагою G3 = G1/4. У якийсь момент один з них почав підніматися канатом з відносною швидкістю u. Визначити швидкість підйому кожного з людей. 1. Вибираємо об'єкт руху (блок з людьми): 2. Відкидаємо зв'язки (опорний пристрій блоку): 3. Замінюємо зв'язок реакціями (підшипника): 4. Додаємо активні сили (сили тяжіння): 5. Записуємо теорему про зміну кінетичного моменту системи щодо осі обертання блоку: R Оскільки момент зовнішніх сил дорівнює нулю, то кінетичний момент повинен залишатися постійним: У початковий момент часу t = 0 була рівновага і Kz0 = 0. Після початку руху однієї людини щодо каната вся система почала рухатися, але кінетичний момент системи повинен залишитися рівним нулю: Kz = 0. Кінетичний момент системи складається з кінетичних моментів обох людей та блоку: Тут v2 – швидкість другої людини, рівна швидкості троса, Приклад: Визначити період малих вільних коливань однорідного стрижня маси M та довжиною l, підвішеного одним кінцем до нерухомої осі обертання. Або: У разі малих коливань sinφ φ: Період коливань: Момент інерції стрижня:

26 слайд

Лекція 8 (продовження 8.4 – додатковий матеріал) 24 ■ Елементарна теорія гіроскопа: Гіроскоп – тверде тіло, що обертається навколо осі матеріальної симетрії, одна з точок якої є нерухомою. Вільний гіроскоп – закріплений отже центр мас залишається нерухомим, а вісь обертання проходить через центр мас і може приймати будь-яке становище у просторі, тобто. вісь обертання змінює своє положення подібно до осі власного обертання тіла при сферичному русі. Основне припущення наближеної (елементарної) теорії гіроскопа – вектор моменту кількості руху (кінетичний момент) ротора вважається спрямованим вздовж власної осі обертання. Таким чином, незважаючи на те, що в загальному випадку ротор бере участь у трьох обертаннях, береться до уваги лише кутова швидкість власного обертання ω = dφ/dt. Підставою для цього є те, що в сучасної технікиротор гіроскопа обертається з кутовою швидкістю порядку 5000-8000 рад/c (близько 50000-80000 об/хв), тоді як дві інші кутові швидкості, пов'язані з прецесією та нутацією власної осі обертання в десятки тисяч разів менше цієї швидкості. Основна властивість вільного гіроскопа - вісь ротора зберігає постійне напрямок у просторі по відношенню до інерційної (зоряної) системи відліку (демонструється маятником Фуко, що зберігає незмінною по відношенню до зірок площину хитання, 1852). Це випливає із закону збереження кінетичного моменту щодо центру мас ротора за умови нехтування тертям у підшипниках осей підвіски ротора, зовнішньої та внутрішньої рами: Дія сили на вісь вільного гіроскопа. У разі дії сили, прикладеної до осі ротора, момент зовнішніх сил щодо центру мас не дорівнює нулю: ω ω С Похідна кінетичного моменту за часом дорівнює швидкості кінця цього вектора (теорема Резалю): Це означає, що вісь ротора відхилятиметься не у бік дії сили, а бік вектора моменту цієї сили, тобто. буде повертатися не щодо осі x (внутрішня підвіска), а щодо осі y (зовнішня підвіска). При припиненні дії сили вісь ротора залишиться в незмінному положенні, що відповідає останньому моментучасу дії сили, т.к. з цього моменту часу момент зовнішніх сил знову стає рівним нулю. У разі короткочасної дії сили (удару) вісь гіроскопа практично не змінює свого становища. Таким чином, швидке обертання ротора повідомляє гіроскоп здатність протидіяти випадковим впливам, що прагнуть змінити положення осі обертання ротора, а при постійної діїсили зберігає положення площини, перпендикулярної чинної сили, в якій лежить вісь ротора. Ці властивості використовуються у роботі інерційних системнавігації.

Вступ

Теоретична механіка є одним із найважливіших фундаментальних загальнонаукових дисциплін. Вона грає істотну роль підготовці інженерів будь-яких спеціальностей. На результатах теоретичної механіки базуються загальноінженерні дисципліни: опір матеріалів, деталі машин, теорія механізмів та машин та інші.

Основне завдання теоретичної механіки вивчення руху матеріальних тіл під впливом сил. Важливим приватним завданням є вивчення рівноваги тіл під впливом сил.

Курс лекцій. Теоретична механіка

Структура теоретичної механіки. Основи статики

Умови рівноваги довільної системи сил.

Рівняння рівноваги твердого тіла.

Плоска система сил.

Окремі випадки рівноваги твердого тіла.

Завдання про рівновагу бруса.

Визначення внутрішніх зусиль у стрижневих конструкціях.

Основи кінематики.

Природні координати.

Формула Ейлер.

Розподіл прискорень точок твердого тіла.

Поступальний та обертальний рухи.

Плоскопаралельний рух.

Складне рух точки.

Основи динаміки точки.

Диференціальні рівняння руху точки.

Приватні види силових полів

Основи динаміки системи точок.

Загальні теореми динаміки системи точок.

Динаміка обертального руху тіла.

Добронравов В.В., Нікітін Н.М. Курс теоретичної механіки. М., Вища школа, 1983.

Бутенін Н.В., Лунц Я.Л., Меркін Д.Р. Курс теоретичної механіки, ч.1 та 2. М., Вища школа, 1971.

Петкевич В.В. Теоретична механіка. М., наука, 1981.

Збірник завдань для курсових робіт із теоретичної механіки. За ред. А.А.Яблонського. М., Вища школа, 1985.

лекція 1.Структура теоретичної механіки. Основи статики

У теоретичній механіці вивчається рух тіл щодо інших тіл, що є фізичними системами відліку.

Механіка дозволяє як описувати, а й передбачати рух тіл, встановлюючи причинні зв'язку у певному, дуже широкому, колі явищ.

Основні абстрактні моделі реальних тіл:

матеріальна точка - має масу, але не має розмірів;

абсолютно тверде тіло - Обсяг кінцевих розмірів, суцільно заповнений речовиною, причому відстані між будь-якими двома точками середовища, що заповнює обсяг, не змінюються під час руху;

суцільне деформоване середовище - Заповнює кінцевий обсяг або необмежений простір; відстані між точками такого середовища можуть змінюватись.

З них – системи:

Система вільних матеріальних точок;

Системи із зв'язками;

Абсолютно тверде тіло із порожниною, заповненою рідиною, тощо.

«Вироджені»моделі:

Нескінченно тонкі стрижні;

Нескінченно тонкі пластини;

Невагомі стрижні та нитки, що пов'язують між собою матеріальні точки, тощо.

З досвіду: механічні явища протікають неоднаково різних місцяхфізичної системи відліку. Ця властивість – неоднорідність простору, який визначається фізичною системою відліку. Під неоднорідністю тут розуміється залежність характеру перебігу явища від місця, де ми спостерігаємо це явище.

Ще властивість – анізотропність (неізотропність) рух тіла щодо фізичної системи відліку може бути різним залежно від напрямку. Приклади: течія річки по меридіану (з півночі на південь - Волга); політ снаряд, маятник Фуко.

Властивості системи відліку (неоднорідність та анізотропність) ускладнюють спостереження за рухом тіла.

Практичновільна від цього – геоцентричнасистема: центр системи в центрі Землі та системи не обертається щодо «нерухомих» зірок). Геоцентрична система зручна для розрахунків рухів Землі.

Для небесної механіки(для тіл сонячної системи): геліоцентрична система відліку, яка рухається з центром мас Сонячної системиі не обертається щодо «нерухомих» зірок. Для цієї системи поки не виявленонеоднорідність та анізотропність простору

по відношенню до явищ механіки.

Отже, запроваджується абстрактна інерційнасистема відліку, для якої простір однорідний та ізотропний по відношенню до явищ механіки.

Інерційна система відліку- Така, власний рух якої не може бути виявлено жодним механічним досвідом. Думковий експеримент: «крапка, самотня у всьому світі» (ізольована) або спочиває, або рухається прямолінійно і рівномірно.

Усі системи відліку що рухаються щодо вихідної прямолінійно, поступово будуть інерційними. Це дозволяє запровадити єдину декартову систему координат. Такий простір називається евклідовим.

Умовна угода – беруть праву систему координат (рис. 1).

В ремя– у класичній (нерелятивістській) механіці абсолютно, єдине всім систем відліку тобто початковий момент – довільний. На відміну від релятивістської механіки, де застосовується принцип відносності.

Стан руху системи у момент часу t визначається координатами та швидкостями точок у цей момент.

Реальні тіла взаємодіють у своїй виникають сили, які змінюють стан руху системи. Це і є суть теоретичної механіки.

Як вивчається теоретична механіка?

Вчення про рівновагу сукупності тіл певної системи відліку – розділ Статика.

Розділ кінематика: частина механіки, в якій вивчаються залежності між величинами, що характеризують стан руху систем, але не розглядаються причини, що спричиняють зміну стану руху.

Після цього розглянемо вплив сил [ОСНОВНА ЧАСТИНА].

Розділ динаміка: частина механіки, у якій розглядається вплив зусиль на стан руху систем матеріальних об'єктів.

Принципи побудови основного курсу – динаміки:

1) основу – система аксіом (з урахуванням досвіду, спостережень);

Постійно – безжальний контроль практики. Ознака точної науки - Наявність внутрішньої логіки (без неї - набір не пов'язаних рецептів)!

Статикоюназивається та частина механіки, де вивчаються умови, яким повинні задовольняти сили, що діють на систему матеріальних точок, щоб система перебувала в рівновазі, та умови еквівалентності систем сил.

Буде розглянуто завдання про рівновагу в елементарній статиці із застосуванням виключно геометричних методів, що ґрунтуються на властивостях векторів. Такий підхід застосовується в геометричній статиці(На відміну від аналітичної статики, яка тут не розглядається).

Положення різних матеріальних тіл відноситимемо до системи координат, яку приймемо за нерухому.

Ідеальні моделі матеріальних тіл:

1) матеріальна точка – геометрична точка із масою.

2) абсолютно тверде тіло - сукупність матеріальних точок, відстані між якими не можуть бути змінені жодними діями.

Силамибудемо називати Об'єктивні причини, що є результатом взаємодії матеріальних об'єктів, здатні викликати рух тіл зі стану спокою або змінити рух останніх.

Оскільки сила визначається викликаним нею рухом, вона також має відносний характер, залежить від вибору системи відліку.

Питання про природу сил розглядається у фізиці.

Система матеріальних точок перебуває у рівновазі, якщо, спокої, вона отримує ніякого руху від сил, її у діючих.

З повсякденного досвіду: сили мають векторний характер, тобто величину, напрямок, лінію дії, точку застосування. Умова рівноваги сил, які діють тверде тіло, зводиться до властивостей систем векторів.

Узагальнюючи досвід вивчення фізичних законів природи, Галілей та Ньютон сформулювали основні закони механіки, які можуть розглядатись як аксіоми механіки, так як мають у основі експериментальні факти.

Аксіома 1.Дія на точку твердого тіла кількох сил рівносильна дії однієї рівнодіючої сили,що будується за правилом складання векторів (рис.2).

Наслідок.Сили, що додаються до точки твердого тіла, складаються за правилом паралелограма.

Аксіома 2.Дві сили, прикладені до твердого тіла, взаємно врівноважуютьсяі тоді, коли вони рівні за величиною, спрямовані в протилежні сторони і лежать на одній прямій.

Аксіома 3.Дія на тверде тіло системи сил не зміниться, якщо додати до цієї системи або відкинути від неїдві сили, рівні за величиною, спрямовані в протилежні сторони, що лежать на одній прямій.

Наслідок.Силу, що діє на точку твердого тіла, можна переносити вздовж лінії дії сили без зміни рівноваги (тобто сила є ковзним вектором, рис.3)

1) Активні – створюють чи здатні створити рух твердого тіла. Наприклад, сила ваги.

2) Пасивні – не створюють руху, але що обмежують переміщення твердого тіла, що перешкоджають переміщенням. Наприклад, сила натягу нерозтяжної нитки (рис.4).

Аксіома 4.Дія одного тіла на друге рівне і протилежне дії цього другого тіла на перше ( дія одно протидії).

Геометричні умови, що обмежують переміщення точок, називатимемо зв'язками.

Умови зв'язку: наприклад,

- стрижень непрямої довжини l.

- гнучка нерозтяжна нитка довжиною l.

Сили, зумовлені зв'язками та перешкоджають переміщенням, називаються силами реакцій.

Аксіома 5.Зв'язки, накладені систему матеріальних точок, можна замінити силами реакцій, дія яких еквівалентно дії зв'язків.

Коли пасивні сили що неспроможні врівноважити дію активних сил, починається рух.

Два приватні завдання статики

1. Система схожих сил, що діють на тверде тіло

Системою схожих силназивається така система сил, лінії дії якої перетинаються в одній точці, яку можна прийняти за початок координат (рис.5).

Проекції рівнодіючої:

;

Якщо , то сила викликає рух твердого тіла.

Умова рівноваги для системи сил, що збігається:

2. Рівновість трьох сил

Якщо на тверде тіло діють три сили, і лінії дії двох сил перетинаються в деякій точці А, рівновага можлива тоді і тільки тоді, коли лінія дії третьої сили теж проходить через точку А, а сама сила дорівнює за величиною та протилежно спрямована сумі (Рис.6).

Приклади:

Момент сили щодо точкивизначимо як вектор за величиноюрівний подвоєної площі трикутника, основою якого є вектор сили з вершиною в заданій точці; напрямок- ортогонально площині розглянутого трикутника в той бік, звідки обертання, що виробляється силою навколо точки, видно проти ходу годинникової стрілки.є моментом ковзного вектора і є вільним вектором(Рис.9).

Отже: або

де ;;.

Де F – модуль сили, h – плече (відстань від точки до спрямування сили).

Моментом сили щодо осіназивається алгебраїчне значення проекції на цю вісь вектора моменту сили щодо довільної точки, взятої на осі (Рис.10).

Це скаляр, який залежить від вибору точки. Справді, розкладемо:|| та у площині.

Про моменти: нехай О 1 – точка перетину з площиною. Тоді:

а) від - момент => Проекція = 0.

б) від - момент вздовж => є проекцією.

Отже,момент щодо осі – це момент складової сили у перпендикулярній площині до осі щодо точки перетину площини та осі.

Теорема Варіньйона для системи схожих сил:

Момент рівнодіючої сили для системи схожих силщодо довільної точки А дорівнює сумі моментів всіх складових сил щодо тієї самої точки А (рис.11).

Доведеннятеоретично схожих векторів.

Пояснення:складання сил за правилом паралелограма => результуюча сила дає сумарний момент.

Контрольні питання:

1. Назвіть основні моделі реальних тіл у теоретичній механіці.

2. Сформулюйте аксіоми статики.

3. Що називається моментом сили щодо точки?

лекція 2.Умови рівноваги довільної системи сил

З основних аксіом статики випливають елементарні операції над силами:

1) силу можна переносити вздовж лінії дії;

2) сили, лінії дії яких перетинаються, можна складати за правилом паралелограма (за правилом складання векторів);

3) до системи сил, що діють на тверде тіло, можна додати дві сили, рівні за величиною, що лежать на одній прямій і спрямовані в протилежні сторони.

Елементарні операції не змінюють механічний стан системи.

Назвемо дві системи сил еквівалентними,якщо одна з іншої може бути отримана за допомогою елементарних операцій (як теоретично ковзаючих векторів).

Система двох паралельних сил, рівних за величиною та спрямованих у протилежні сторони, називається парою сил(Рис.12).

Момент пари сил- Вектор, за величиною рівний площі паралелограма, побудованого на векторах пари, і спрямований ортогонально до площини пари в той бік, звідки обертання, що повідомляється векторами пари, видно, що відбувається проти ходу годинникової стрілки.

, тобто момент сили щодо точки ст.

Пара сил повністю характеризується своїм моментом.

Пару сил можна переносити елементарними операціями будь-яку площину, паралельну площині пари; змінювати величини сил пари обернено пропорційно плечам пари.

Пари сил можна складати, причому моменти пар сил складаються за правилом складання (вільних) векторів.

Приведення системи сил, що діють на тверде тіло до довільної точки (центру приведення)- означає заміну діючої системи простіше: системою трьох сил, одна з яких проходить через наперед задану точку, А дві інші представляють пару.

Доводиться з допомогою елементарних операцій (рис.13).

Система схожих сил та система пар сил.

- результуюча сила.

Результуюча пара.

Що й потрібно було показати.

Дві системи силбудуть еквівалентнітоді і тільки тоді, коли обидві системи наводяться до однієї результуючої сили та однієї результуючої пари, тобто при виконанні умов:

Загальний випадок рівноваги системи сил, що діють на тверде тіло

Наведемо систему сил до (рис.14):

результуюча сила через початок координат;

Результуюча пара, причому через точку О.

Тобто привели до і- дві сили, одна з яких проходить через задану точку О.

Рівнавага, якщо і на одній прямій, рівні, спрямовані протилежно (аксіома 2).

Тоді проходить через точку О, тобто.

Отже, Загальні умовирівноваги твердого тіла:

Ці умови є справедливими для довільної точки простору.

Контрольні питання:

1. Перерахуйте елементарні операції над силами.

2. Які системи сил називаються еквівалентними?

3. Напишіть загальні умови рівноваги твердого тіла.

лекція 3.Рівняння рівноваги твердого тіла

Нехай – початок координат; - результуюча сила; - момент результуючої пари. Нехай точка О1 новий центр приведення (рис.15).

Нова система сил:

При зміні точки приведення => змінюється тільки (в один бік з одним знаком, в інший – з іншим). Тобтоточка: збігаються лінії

Аналітично: (Колінеарність векторів)

; координати точки О1.

Це рівняння прямої лінії, для всіх точок якої напрямок результуючого вектора збігається з напрямком моменту результуючої пари – пряма називається динамою.

Якщо на осі динами => , то система еквівалентна одній результуючій силі, яку називають рівнодіючою силою системи.При цьому завжди, тобто.

Чотири випадки приведення сил:

1.) ;- динама.

2.) ;- рівнодіюча.

3.); - пара.

4.) ;- рівновага.

Два векторні рівняння рівноваги: головний вектор і головний момент дорівнюють нулю,.

Або шість скалярних рівнянь у проекціях на декартові осі координат:

Тут:

Складність виду рівнянь залежить від вибору точки приведення => мистецтво розрахунків.

Знаходження умов рівноваги системи твердих тіл, що у взаємодії<=>задача про рівновагу кожного тіла окремо, причому на тіло діють зовнішні сили та сили внутрішні (взаємодія тіл у точках дотику з рівними та протилежно спрямованими силами – аксіома IV, рис.17).

Виберемо для всіх тіл системи один центр приведення.Тоді для кожного тіла з номером умови рівноваги:

, , (= 1, 2, …, k)

де ,- результуюча сила та момент результуючої пари всіх сил, крім внутрішніх реакцій.

Результуюча сила та момент результуючої пари сил внутрішніх реакцій.

Формально підсумовуючи і з огляду на IV аксіомі

отримуємо необхідні умови рівноваги твердого тіла:

приклад.

Рівнавага: =?

Контрольні питання:

1. Назвіть усі випадки приведення системи сил до однієї точки.

2. Що таке динаміки?

3. Сформулюйте необхідні умови рівноваги системи твердих тіл.

лекція 4.Плоска система сил

Окремий випадок загального постачання завдання.

Нехай всі чинні сили лежать в одній площині – наприклад, листа. Виберемо за центр приведення точку О – у цій самій площині. Отримаємо результуючу силу і результуючу пару цієї ж площини, тобто (рис.19)