Найпростіші геометричні фігури: точка, пряма, відрізок, промінь, ламана лінія. Урок "Пряма"

Сторінка 1 з 3

§1. Контрольні питання
Питання 1. Наведіть приклади геометричних фігур.
Відповідь.Приклади геометричних фігур: трикутник, квадрат, коло.

Запитання 2.Назвіть основні геометричні фігурина площині.
Відповідь.Основними геометричними фігурами на площині є точка та пряма.

Запитання 3.Як позначаються точки та прямі?
Відповідь.Крапки позначаються великими латинськими літерами: A, B, C, D, …. Прямі позначаються малими латинськими літерами: a, b, c, d, ….
Пряму можна позначати двома точками, що лежать у ньому. Наприклад, пряму a малюнку 4 можна позначити AC, а пряму b можна позначити BC.

Запитання 4.Сформулюйте основні властивості належності точок та прямих.
Відповідь.Якою б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.
Через будь-які дві точки можна провести пряму, і лише одну.
Запитання 5.Поясніть, що таке відрізок із кінцями у даних точках.
Відповідь.Відрізком називається частина прямої, що складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними її точками. Ці точки називаються кінцями відрізка. Відрізок позначається вказівкою його кінців. Коли кажуть чи пишуть: "відрізок AB", то мають на увазі відрізок із кінцями у точках A та B.

Запитання 6.Сформулюйте основну властивість розташування точок на прямій.
Відповідь.Із трьох точок на прямій одна і лише одна лежить між двома іншими.
Запитання 7.Сформулюйте основні властивості виміру відрізків.
Відповідь.Кожен відрізок має певну довжину, більшу за нуль. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, куди він розбивається будь-якою його точкою.
Запитання 8.Що називається відстанню між двома даними точками?
Відповідь.Довжину відрізка AB називають відстанню між точками A та B.
Запитання 9.Якими властивостями має розбиття площини на дві півплощини?
Відповідь.Розбиття площини на дві півплощини має наступну властивість. Якщо кінці якогось відрізка належать одній півплощині, то відрізок не перетинає пряму. Якщо кінці відрізка належать різним півплощин, то відрізок перетинає пряму.

Незважаючи на те, що геометрія належить до точних наук, вчені не можуть однозначно дати визначення терміну «пряма». В самому загальному виглядіможна дати таке визначення: "Пряма - це лінія, шлях вздовж якої дорівнює відстані між двома точками".

Що таке пряма у математиці? Визначення прямої в математиці: пряма немає кінців і може продовжуватися в обидві сторони до нескінченності.

До основних понять геометрії відносяться точка, пряма та площина, вони даються без визначення, але визначення інших геометричних фігур даються через ці поняття. Площина, як і пряма, - це первинне поняття, яке має визначення. Це твердження встановлюється наступною аксіомою: якщо дві точки прямої лежать у певній площині, всі точки цієї прямої лежать у цій площині. А саме твердження, яке доводиться, називається теоремою. Формулювання теореми зазвичай складається із двох частин.

Завдання: де пряме, промінь, відрізок, крива? Вершини ламаної (схожі на вершини гір) - це точка, з якої починається ламана, точки, в яких з'єднуються відрізки, що утворюють ламану, точка, якою закінчується ламана. Завдання: яке ламане довше, а яке більше вершин? Сумежні сторони багатокутника – це суміжні ланки ламаної. Вершини багатокутника – це вершини ламаної. Сусідні вершини – це точки кінців однієї сторони багатокутника.

На уроках математики можна почути таке пояснення: математичний відрізок має довжину та кінці. Відрізок у математиці - це сукупність всіх точок, що лежать на прямій між кінцями відрізка.

Надалі будуть визначення для різних фігуркрім двох - точка та пряма. Значить іноді позначити пряму можемо і двома великими латинськими літерами, наприклад, пряма (AB), так як ніяка інша пряма через ці дві точки не може бути проведена. Символічно записуємо відрізок (AB).

Що таке точка математики?

Теорема: Середня лінія трикутника паралельна одній з його сторін і дорівнює половині цієї сторони. С. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, розділяє трикутник на два подібні прямокутний трикутник, кожен з яких подібний до цього трикутника. С. Вписаний кут, що спирається на півколо - прямий. Тут зібрано основні визначення, теореми, властивості фігур на площині.

Вектор з координатами точки називається нормальним вектором, він перпендикулярний до прямої.

При систематичному викладі геометрії пряма лінія зазвичай приймається одне з вихідних понять, яке лише опосередковано визначається аксіомами геометрії.

4.Дві неспадні прямі на площині або перетинаються в єдиній точці, або вони паралельні. Променем називають частину прямої лінії, обмежену з одного боку. Відрізок, як і пряма лінія, позначається або однією літерою або двома. У разі ці літери вказують кінці відрізка.

Крапка — це абстрактний об'єкт, який має вимірювальних характеристик: ні висоти, ні довжини, ні радіуса. У рамках завдання важливе лише його місцезнаходження

Крапка позначається цифрою або великою (великою) латинською літерою. Декілька точок — різними цифрами або різними літерамищоб їх можна було розрізняти

точка A, точка B, точка C

A B C

точка 1, точка 2, точка 3

1 2 3

Можна намалювати на аркуші паперу три точки "А" і запропонувати дитині провести лінію через дві точки "А". Але як зрозуміти через які? A A A

Лінія – це безліч точок. У неї вимірюють лише довжину. Ширини та товщини вона не має

Позначається малими (маленькими) латинськими літерами

лінія a, лінія b, лінія c

a b c

Лінія може бути

1. замкнутої, якщо її початок і кінець знаходяться в одній точці,
2. розімкнутої, якщо її початок і кінець не з'єднані

замкнуті лінії

розімкнені лінії

Ти вийшов із квартири, купив у магазині хліб і повернувся назад у квартиру. Яка лінія вийшла? Правильно замкнута. Ти повернувся у вихідну точку. Ти вийшов із квартири, купив у магазині хліб, зайшов у під'їзд і розговорився із сусідом. Яка лінія вийшла? Розімкнена. Ти не повернувся у вихідну точку. Ти вийшов із квартири, купив у магазині хліб. Яка лінія вийшла? Розімкнена. Ти не повернувся у вихідну точку.

1. самоперетинається
2. без самоперетинів

самоперетинальні лінії

лінії без самоперетинів

1. прямий
2. ламаною
3. кривий

прямі лінії

ламані лінії

криві лінії

Пряма лінія - це лінія, яка не викривляється, не має ні початку, ні кінця, її можна нескінченно продовжувати в обидві сторони

Навіть коли видно невелика ділянкапрямий, передбачається, що вона нескінченно продовжується в обидві сторони

Позначається малою (малою) латинською літерою. Або двома великими (великими) латинськими літерами - точками, що лежать на прямій

пряма лінія a

a

пряма лінія AB

B A

Прямі можуть бути

1. такими, що перетинаються, якщо мають загальну точку. Дві прямі можуть перетинатися лише в одній точці.
   • перпендикулярними, якщо перетинаються під прямим кутом (90 °).
2. паралельними, якщо не перетинаються, немає загальної точки.

паралельні лінії

лінії, що перетинаються

перпендикулярні лінії

Промінь - це частина прямої, яка має початок, але не має кінця, її можна нескінченно продовжувати лише в один бік

У променя світла на малюнку початковою точкою є сонце

сонечко

Крапка поділяє пряму на дві частини - два промені A A

Промінь позначається малою латинською літерою. Або двома великими (великими) латинськими літерами, де перша - це точка, з якої починається промінь, а друга - точка, що лежить на промені.

промінь a

a

промінь AB

B A

Промені збігаються, якщо

1. розташовані на одній і тій же прямій,
2. починаються в одній точці,
3. спрямовані в один бік

промені AB та AC збігаються

промені CB та CA збігаються

C B A

Відрізок - це частина прямої, яка обмежена двома точками, тобто вона має початок і кінець, а значить можна виміряти її довжину. Довжина відрізка - це відстань між його початковою та кінцевою точками

Через одну точку можна провести будь-яку кількість ліній, у тому числі прямих

Через дві точки — необмежену кількість кривих, але лише одну пряму

криві лінії, що проходять через дві точки

B A

пряма лінія AB

B A

Від прямої «відрізали» шматочок і залишився відрізок. З прикладу вище видно, що його довжина - найкоротша відстань між двома точками. ✂ B A ✂

Відрізок позначається двома великими латинськими літерами, де перша — це точка, з якої починається відрізок, а друга — точка, якою закінчується відрізок.

відрізок AB

B A

Завдання: де пряма, промінь, відрізок, крива?

Ломана лінія - це лінія, що складається з послідовно з'єднаних відрізків не під кутом 180 °

Довгий відрізок «поломали» на кілька коротких

Ланки ламаної (схожі на ланки ланцюга) - це відрізки, з яких складається ламана. Сумежні ланки - це ланки, у яких кінець однієї ланки є початком іншої. Сумежні ланки не повинні лежати на одній прямій.

Вершини ламаної (схожі на вершини гір) - це точка, з якої починається ламана, точки, в яких з'єднуються відрізки, що утворюють ламану, точка, якою закінчується ламана.

Позначається ламана перерахуванням її вершин.

ламана лінія ABCDE

вершина ломанної A, вершина ломанної B, вершина ломанної C, вершина ломанної D, вершина ломанної E

ланка ломанної AB, ланка ломанної BC, ланка ломанної CD, ланка ломанної DE

ланка AB та ланка BC є суміжними

ланка BC та ланка CD є суміжними

ланка CD та ланка DE є суміжними

A B C D E 64 62 127 52

Довжина ламаної - це сума довжин її ланок: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Завдання: яка ламана довша, а у якої більше вершин? У першої лінії всі ланки однакової довжини, саме по 13см. У другій лінії всі ланки однакової довжини, саме по 49см. У третьої лінії всі ланки однакової довжини, саме по 41см.

Багатокутник - це замкнута ламана лінія

Сторони багатокутника (допоможуть запам'ятати висловлювання: "піти на всі чотири сторони", "бігти у бік будинку", "з якого боку столу сядеш?") - це ланки ламаною. Сумежні сторони багатокутника – це суміжні ланки ламаної.

Вершини багатокутника – це вершини ламаною. Сусідні вершини – це точки кінців однієї сторони багатокутника.

Позначається багатокутник перерахуванням усіх його вершин.

замкнута ламана лінія, що не має самоперетину, ABCDEF

багатокутник ABCDEF

вершина багатокутника A, вершина багатокутника B, вершина багатокутника C, вершина багатокутника D, вершина багатокутника E, вершина багатокутника F

вершина A та вершина B є сусідніми

вершина B та вершина C є сусідніми

вершина C та вершина D є сусідніми

вершина D та вершина E є сусідніми

вершина E та вершина F є сусідніми

вершина F та вершина A є сусідніми

сторона багатокутника AB, сторона багатокутника BC, сторона багатокутника CD, сторона багатокутника DE, сторона багатокутника EF

сторона AB та сторона BC є суміжними

сторона BC та сторона CD є суміжними

сторона CD та сторона DE є суміжними

сторона DE та сторона EF є суміжними

сторона EF та сторона FA є суміжними

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Периметр багатокутника - це довжина ламанної: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Багатокутник із трьома вершинами називається трикутником, із чотирма — чотирикутником, із п'ятьма — п'ятикутником тощо.

У геометрії основними геометричними фігурами є точка та пряма. Для позначення точок прийнято використовувати великі латинські літери: A, B, C, D, E, F…. Для позначення прямих використовують малі латинські літери: a, b, c, d, e, f … . На малюнку нижче представлена ​​пряма а і кілька точок A, B, C, D.

Для зображення на малюнку прямий ми користуємося лінійкою, але ми зображаємо не всю пряму, а лише її шматок. Так як пряма в нашому уявленні тягнеться до нескінченності в обидві сторони, то пряма є нескінченна.

На малюнку представленому вище ми бачимо, що точки А та С розташовані на прямій а. У разі говорять, що точки А і З належать прямий а. Або кажуть, що пряма проходить через точки А та С. При записі належність точки до прямої позначають спеціальним значком. А той факт, що точка не належить прямої, відзначають таким самим значком, тільки закресленим.

У разі точки B і D не належать прямий а.

Як зазначалося вище, малюнку точки А і З належать прямий а. Частина прямої, що складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними крапками, називається відрізком. Іншими словами, відрізком називається частина прямої, обмежена двома точками.

У нашому випадку ми маємо відрізок АB. Точки А та B називаються кінцями відрізка. Щоб позначити відрізок вказують його кінці, у разі АB. Однією з основних властивостей належності точок та прямих є наступне властивість: через будь-які дві точки можна провести пряму, і лише одну.

Якщо дві прямі мають спільну точку, то кажуть, що ці дві прямі перетинаються. На малюнку прямі a та b перетинаються у точці A. Прямі а і с не перетинаються.

Будь-які дві прямі мають лише одну загальну точку або не мають спільних точок. Якщо припустити зворотне, що дві прямі мають дві спільні точки, тоді через них проходили дві прямі. А це неможливо, тому що через дві точки можна провести лише одну пряму.