Рівняння площини. Як скласти рівняння площини?
Взаємне розташуванняплощин. Завдання

Просторова геометрія не набагато складніша за «плоску» геометрію, і наші польоти в просторі починаються з цієї статті. Для засвоєння теми необхідно добре розібратись у векторахКрім того, бажано бути знайомим з геометрією площини – буде багато схожого, багато аналогій, тому інформація перетравиться значно краще. У серії моїх уроків 2D-світ відкривається статтею Рівняння прямої на площині. Але зараз Бетмен зійшов із плоского екрану телевізора та стартує з космодрому Байконур.

Почнемо з креслень та позначень. Схематично площину можна намалювати як паралелограма, що створює враження простору:

Площина нескінченна, але ми маємо можливість зобразити лише її шматочок. Насправді крім паралелограма також промальовують овал чи навіть хмарку. Мені з технічних причин зручніше зображати площину саме так і саме у такому положенні. Реальні площини, які ми розглянемо у практичні приклади, Можуть розташовуватися як завгодно - подумки візьміть креслення в руки і покрутіть його в просторі, надавши площині будь-який нахил, будь-який кут.

Позначення: площині прийнято позначати маленькими грецькими літерами , мабуть, щоб не плутати їх з прямий на площиніабо з прямий у просторі. Я звик використати букву. На кресленні саме буква «сигма», а не дірочка. Хоча, дірка площина, це, безумовно, дуже кумедно.

У ряді випадків для позначення площин зручно використовувати ті ж самі грецькі літериз нижніми підрядковими індексами, наприклад, .

Очевидно, що площина однозначно визначається трьома. різними точками, що не лежать на одній прямій. Тому досить популярні трибуквенні позначення площин – за точками, що належать їм, наприклад, і т.д. Нерідко букви укладають у круглі дужки: щоб не переплутати площину з іншою геометричною фігурою.

Для досвідчених читачів наведу меню швидкого доступу:

• Як скласти рівняння площини за точкою та двома векторами?
• Як скласти рівняння площини за точкою та вектором нормалі?

і ми не будемо нудитися довгими очікуваннями:

Загальне рівняння площини

Загальне рівняння площини має вигляд , де коефіцієнти одночасно не дорівнюють нулю.

Ряд теоретичних викладок та практичних завдань справедливі як для звичного ортонормованого базису, так і для афінного базису простору (якщо олія - ​​олійна, поверніться до уроку Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів). Для простоти будемо вважати, що всі події відбуваються в ортонормованому базисі та декартовій прямокутній системі координат.

А тепер трохи потренуємо просторову уяву. Нічого страшного, якщо у вас воно погане, зараз трохи розвинемо. Навіть для гри на нервах потрібні тренування.

У загальному випадку, коли числа не дорівнюють нулю, площина перетинає всі три координатні осі. Наприклад, так:

Ще раз повторю, що площина нескінченно продовжується на всі боки, і у нас є можливість зобразити тільки її частину.

Розглянемо найпростіші рівняння площин:

Як розуміти дане рівняння? Вдумайтеся: «зет» ЗАВЖДИ, при будь-яких значеннях «ікс» та «ігрок» дорівнює нулю. Це рівняння «рідної» координатної площини. Справді, формально рівняння можна переписати так: , Звідки добре видно, що нам по барабану, які значення набувають «ікс» і «ігрок», важливо, що «Зет» дорівнює нулю.

Аналогічно:
- Рівняння координатної площини;
- Рівняння координатної площини.

Трохи ускладнимо завдання, розглянемо площину (тут і далі в параграфі припускаємо, що числові коефіцієнти не дорівнюють нулю). Перепишемо рівняння як: . Як його розуміти? "Ікс" ЗАВЖДИ, при будь-яких значеннях "ігрок" і "зет" дорівнює деякому числу . Ця площина паралельна координатній площині. Наприклад, площина паралельна площині і проходить через точку .

Аналогічно:
– рівняння площини, яка паралельна координатній площині;
- Рівняння площини, яка паралельна координатній площині.

Додамо членів: . Рівняння можна переписати так: тобто «зет» може бути будь-яким. Що це означає? "Ікс" і "ігрок" пов'язані співвідношенням , яке прокреслює в площині деяку пряму (дізнаєтеся рівняння прямої на площині?). Оскільки "зет" може бути будь-яким, то ця пряма "тиражується" на будь-якій висоті. Таким чином, рівняння визначає площину, паралельну координатній осі

Аналогічно:
- Рівняння площини, яка паралельна координатній осі;
- Рівняння площини, яка паралельна координатній осі .

Якщо вільні члени нульові, то площини безпосередньо проходитимуть через відповідні осі. Наприклад, класична "пряма пропорційність": . Накресліть у площині пряму і подумки розмножте її вгору і вниз (оскільки «зет» будь-яке). Висновок: площина, задана рівнянням, проходить через координатну вісь.

Завершуємо огляд: рівняння площини проходить через початок координат. Ну, тут очевидно, що точка задовольняє даному рівнянню.

І, нарешті, випадок, який зображений на кресленні: - Площина дружить з усіма координатними осями, при цьому вона завжди "відсікає" трикутник, який може розташовуватися в будь-якому з восьми октантів.

Лінійні нерівності у просторі

Для розуміння інформації необхідно добре вивчити лінійні нерівності на площині, оскільки багато речей буду схожі. Параграф матиме короткий оглядовий характер із кількома прикладами, оскільки матеріал практично зустрічається досить рідко.

Якщо рівняння задає площину, то нерівності
задають напівпростору. Якщо нерівність непогана (два останніх у списку), то у розв'язання нерівності крім напівпростору входить і сама площина.

Приклад 5

Знайти одиничний нормальний вектор площині .

Рішення: Одиничний вектор - це вектор, довжина якого дорівнює одиниці Позначимо цей вектор через . Цілком зрозуміло, що вектори колінеарні:

Спочатку з рівняння поверхні знімемо вектор нормалі: .

Як знайти одиничний вектор? Для того щоб знайти одиничний вектор, потрібно кожнукоординату вектора розділити на довжину вектора.

Перепишемо вектор нормалі у вигляді та знайдемо його довжину:

Відповідно до вищесказаного:

Відповідь:

Перевірка: , Що й потрібно перевірити.

Читачі, які уважно вивчили останній параграф уроку, мабуть, помітили, що координати одиничного вектора – це точно напрямні косинуси вектора:

Відвернемося від розібраного завдання: коли вам дано довільний ненульовий вектор , і за умовою потрібно знайти його напрямні косинуси (див. останні завдання уроку Скалярне твір векторів), то ви, по суті, знаходите і одиничний вектор, колінеарний даному. Фактично два завдання в одному флаконі.

Необхідність знайти одиничний вектор нормалі виникає у деяких завданнях математичного аналізу.

З вивуджування нормального вектора розібралися, тепер відповімо на протилежне питання:

Як скласти рівняння площини за точкою та вектором нормалі?

Цю жорстку конструкцію вектора нормалі та точки добре знає мету для гри в дартс. Будь ласка, витягніть руку вперед і оберіть довільну точку простору, наприклад, маленьку кішечку в серванті. Очевидно, що через цю точку можна провести єдину площину, перпендикулярну до вашої руки.

Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до вектора , виражається формулою:

Ця стаття дає уявлення про те, як скласти рівняння площини, що проходить через задану точку тривимірного простору перпендикулярно до заданої прямої. Розберемо наведений алгоритм з прикладу розв'язання типових завдань.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Знаходження рівняння площини, що проходить через задану точку простору перпендикулярно до заданої прямої

Нехай заданий тривимірний простір та прямокутна система координат O x y z у ньому. Задано також точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1) , пряма a і площину α , що проходить через точку М 1 перпендикулярно до прямої a . Необхідно записати рівняння площини α.

Перш ніж приступити до вирішення цього завдання, згадаймо теорему геометрії з програми 10 – 11 класів, яка каже:

Визначення 1

Через задану точку тривимірного простору проходить єдина площина перпендикулярна до заданої прямої.

Тепер розглянемо, як знайти рівняння цієї єдиної площині, що проходить через вихідну точку і перпендикулярної даної прямої.

Можна записати загальне рівняння площини, якщо відомі координати точки, що належить цій площині, і координати нормального вектора площини.

Умовою завдання нам задані координати x 1 , y 1 , z 1 точки М 1 , якою проходить площину α . Якщо ми визначимо координати нормального вектора площини α, то отримаємо можливість записати рівняння, що шукається.

Нормальним вектором площини α, так як він ненульовий і лежить на прямій a, перпендикулярній площині α, буде будь-який напрямний вектор прямий a. Так, задача знаходження координат нормального вектора площини α перетворюється на задачу визначення координат напрямного вектора прямої a .

Визначення координат напрямного вектора прямої може здійснюватися різними методами: залежить від варіанта завдання прямої у вихідних умовах. Наприклад, якщо пряма a за умови завдання задана канонічними рівняннями виду

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

або параметричними рівняннями виду:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

то напрямний вектор прямий мати координати а x , а y і z . У разі, коли пряма a представлена ​​двома точками М 2 (x 2 , y 2 , z 2) і М 3 (x 3 , y 3 , z 3) , то координати напрямного вектора визначатимуться як (x3 – x2, y3 – y2 , Z3 - Z2).

Визначення 2

Алгоритм для знаходження рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно заданої прямої:

Визначаємо координати напрямного вектора прямої a: a → = (а x, а y, а z) ;

Визначаємо координати нормального вектора площини як координати напрямного вектора прямої a:

n → = (A, B, C), де A = a x , B = a y , C = a z;

Записуємо рівняння площини, що проходить через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1) і має нормальний вектор n → = (A, B, C) як A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 . Це буде необхідним рівнянням площини, яка проходить через задану точку простору і перпендикулярна до цієї прямої.

Отримане загальне рівняння площини: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 дає можливість отримати рівняння площини у відрізках або нормальне рівняння площини.

Розв'яжемо кілька прикладів, використовуючи отриманий вище алгоритм.

Приклад 1

Задана точка М 1 (3 , - 4 , 5) , через яку проходить площину, і ця площина перпендикулярна до координатної прямої Про z .

Рішення

напрямним вектором координатної прямої O z буде координатний вектор k ⇀ = (0, 0, 1). Отже, нормальний вектор площини має координати (0, 0, 1). Запишемо рівняння площини, що проходить через задану точку М 1 (3, - 4, 5), нормальний вектор якої має координати (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 · (x - 3) + 0 · (y - (- 4)) + 1 · (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Відповідь: z - 5 = 0 .

Розглянемо ще один спосіб вирішити це завдання:

Приклад 2

Площина, яка перпендикулярна до прямої O z буде задана неповним загальним рівнянням площини виду З z + D = 0 , C ≠ 0 . Визначимо значення C та D: такі, при яких площина проходить через задану точку. Підставимо координати цієї точки в рівняння З z + D = 0, отримаємо: З · 5 + D = 0 . Тобто. числа, C і D пов'язані співвідношенням - DC = 5 . Прийнявши З = 1, отримаємо D = -5.

Підставимо ці значення рівняння З z + D = 0 і отримаємо необхідне рівняння площини, перпендикулярної до прямої O z і проходить через точку М 1 (3 - 4 5) .

Воно матиме вигляд: z - 5 = 0 .

Відповідь: z - 5 = 0 .

Приклад 3

Складіть рівняння площини, яка проходить через початок координат і перпендикулярна до прямої x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Рішення

Спираючись на умови завдання, можна стверджувати, що за нормальний вектор n → заданої площини можна прийняти напрямний вектор заданої прямої. Таким чином: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Запишемо рівняння площини, що проходить через точку О (0 , 0 , 0) і має нормальний вектор n → = (- 3 , - 7 , 2) :

3 · (x - 0) - 7 · (y - 0) + 2 · (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Ми отримали необхідне рівняння площини, що проходить через початок координат перпендикулярно заданої прямої.

Відповідь:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Приклад 4

Задано прямокутну систему координат O x y z у тривимірному просторі, у ній – дві точки А (2 , - 1 , - 2) і B (3 , - 2 , 4) . Площина α проходить через точку A перпендикулярно до прямої АВ. Необхідно скласти рівняння площини α у відрізках.

Рішення

Площина α перпендикулярна до прямої АВ, тоді вектор АВ → буде нормальним вектором площини α . Координати цього вектора визначаються як різниці відповідних координат точок В (3, - 2, 4) і А (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Загальне рівняння площини буде записано у такому вигляді:

1 · x - 2 - 1 · y - (- 1 + 6 · (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Тепер складемо шукане рівняння площини у відрізках:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Відповідь:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Також слід зазначити, що зустрічаються завдання, вимога яких – написати рівняння площини, яка проходить через задану точку і перпендикулярна до двох заданих площин. Загалом, вирішення цього завдання у тому, щоб скласти рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої прямої, т.к. дві площини, що перетинаються, задають пряму лінію.

Приклад 5

Задано прямокутну систему координат O x y z , у ній – точка М 1 (2 , 0 , - 5) . Задано також рівняння двох площин 3 x + 2 y + 1 = 0 та x + 2 z – 1 = 0 , які перетинаються по прямій a . Необхідно скласти рівняння площини, що проходить через точку М1 перпендикулярно до прямої a.

Рішення

Визначимо координати напрямного вектора прямої a. Він перпендикулярний як до нормального вектора n 1 → (3 , 2 , 0) площини n → (1 , 0 , 2) , так і до нормального вектора 3 x + 2 y + 1 = 0 площини x + 2 z - 1 = 0 .

Тоді напрямним вектором α → прямий a візьмемо векторний добуток векторів n 1 → і n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 · i → - 6 · j → - 2 · k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Таким чином, вектор n → = (4 , - 6 , - 2) буде нормальним вектором площини перпендикулярної до прямої a . Запишемо шукане рівняння площини:

4 · (x - 2) - 6 · (y - 0) - 2 · (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Відповідь: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Нехай потрібно знайти рівняння площини, що проходить через три дані точки, що не лежать на одній прямій. Позначаючи їх радіуси-вектори через поточний радіус-вектор через , ми легко отримаємо шукане рівняння у векторній формі. Справді, вектори повинні бути компланарні (вони всі лежать у потрібній площині). Отже, векторно-скалярний добуток цих векторів має дорівнювати нулю:

Це і є рівняння площини, що проходить через три дані точки у векторній формі.

Переходячи до координат, отримаємо рівняння в координатах:

Якби три дані точки лежали на одній прямій, то вектори були колінеарні. Тому відповідні елементи двох останніх рядків визначника, що стоїть у рівнянні (18), були пропорційні і визначник тотожно дорівнює нулю. Отже, рівняння (18) зверталося б у тотожність при будь-яких значеннях х, у і z. Геометрично це означає, що через кожну точку простору проходить площину, в якій лежать три дані точки.

Примітка 1. Це завдання можна вирішити, не користуючись векторами.

Позначаючи координати трьох цих точок відповідно через напишемо рівняння будь-якої площини, що проходить через першу точку:

Щоб отримати рівняння площини, потрібно шукати, щоб рівняння (17) задовольнялося координатами двох інших точок:

З рівнянь (19) слід визначити відношення двох коефіцієнтів до третього і внести знайдені значення рівняння (17).

Приклад 1. Скласти рівняння площини через крапки .

Рівняння площини, що проходить через першу з даних точок, буде:

Умови проходження площини (17) через дві інші точки і першу точку суть:

Складаючи друге рівняння з першим, знайдемо:

Підставляючи у друге рівняння, отримаємо:

Підставляючи в рівняння (17) замість А, В, З відповідно 1, 5, -4 (числа, їм пропорційні), отримаємо:

Приклад 2. Скласти рівняння площини, що проходить через точки (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Рівняння будь-якої площини, що проходить через точку (0, 0, 0), буде]

Умови проходження цієї площини через точки (1, 1, 1) і (2, 2, 2) суть:

Зменшуючи друге рівняння на 2, бачимо, що для визначення двох невідомих відношенні має одне рівняння з

Звідси отримаємо. Підставляючи тепер рівняння площині замість його значення, знайдемо:

Це і є рівняння шуканої площини; воно залежить від довільних

кількостей У, З (зокрема, від відношення т. е. є безліч площин, що проходять через три дані точки (три дані точки лежать на одній прямій лінії).

Зауваження 2. Завдання про проведення площини через три дані точки, що не лежать на одній прямій, легко вирішується в загальному вигляді, якщо користуватися визначниками. Дійсно, так як в рівняннях (17) і (19) коефіцієнти А, В, С не можуть бути одночасно дорівнюють нулю, то, розглядаючи ці рівняння як однорідну систему з трьома невідомими А, В, С, пишемо необхідну та достатню умову існування рішення цієї системи, відмінного від нульового (ч. 1, гл. VI, § 6):

Розклавши цей визначник елементами першого рядка, отримаємо рівняння першого ступеня щодо поточних координат , якому задовольнятимуть, зокрема, координати трьох даних точок.

У цьому останньому також можна переконатися і безпосередньо, якщо підставити в рівняння, записане за допомогою визначника, координати будь-якої з даних точок замість . У лівій частині виходить визначник, у якого елементи першого рядка нулі, або є два однакові рядки. Таким чином, складене рівняння є площиною, що проходить через три дані точки.

13. Кут між площинами, відстань від точки до площини.

Нехай площини і β перетинаються по прямій с.
Кут між площинами - це кут між перпендикулярами до лінії їхнього перетину, проведеними в цих площинах .

Іншими словами, в площині ми провели пряму а, перпендикулярну с. У площині - пряму b, також перпендикулярну с. Кут між площинами і β дорівнює куту між прямими а і b.

Зауважимо, що при перетині двох площин взагалі утворюються чотири кути. Бачите їх на малюнку? Як кут між площинами ми беремо гострийкут.

Якщо кут між площинами дорівнює 90 градусів, то площині перпендикулярні,

Це визначення перпендикулярності площин. Вирішуючи завдання з стереометрії, ми використовуємо також ознака перпендикулярності площин:

Якщо площина α проходить через перпендикуляр до площини β, то площини α та β перпендикулярні.

відстань від точки до площини

Розглянемо точку T, задану своїми координатами:

T = (x 0 , y 0 , z 0)

Також розглянемо площину α, задану рівнянням:

Ax + By + Cz + D = 0

Тоді відстань L від точки T до площини можна вважати за формулою:

Іншими словами, ми підставляємо координати точки рівняння площини, а потім ділимо це рівняння на довжину вектора-нормалі n до площини:

Отримане число є відстань. Давайте подивимося, як ця теорема працює практично.

Ми вже виводили параметичні рівняння прямої на площині, отримаємо параметричні рівняння прямої, яка задана в прямокутній системі координат у тривимірному просторі.

Нехай у тривимірному просторі зафіксовано прямокутну систему координат Oxyz. Задамо в ній пряму a(дивіться розділ способи завдання прямої в просторі), вказавши напрямний вектор прямий та координати деякої точки прямої . Від цих даних відштовхуватимемося при складанні параметричних рівнянь прямої в просторі.

Нехай – довільна точка тривимірного простору. Якщо відняти з координат точки Мвідповідні координати точки М 1, то отримаємо координати вектора (дивіться статтю знаходження координат вектора за координатами точок його кінця і початку), тобто, .

Очевидно, що безліч точок визначає пряму атоді і тільки тоді, коли вектори та колінеарні.

Запишемо необхідну та достатню умову колінеарності векторів і : де - деяке дійсне число. Отримане рівняння називається векторно-параметричним рівнянням прямоїу прямокутній системі координат Oxyzу тривимірному просторі. Векторно-параметричне рівняння прямої в координатній формі має вигляд і є параметричні рівняння прямої a. Назва "параметричні" не випадкова, оскільки координати всіх точок прямої задаються за допомогою параметра .

Наведемо приклад параметричних рівнянь прямої у прямокутній системі координат Oxyzв просторі: . Тут

15. Кут між прямою і площиною. Точка перетину пряма з площиною.

Будь-яке рівняння першого ступеня щодо координат x, y, z

Ax + By + Cz + D = 0 (3.1)

задає площину, і навпаки: будь-яка площина може бути представлена ​​рівнянням (3.1), яке називається рівнянням площини.

Вектор n(A, B, C), ортогональна площина, називається нормальним векторомплощині. У рівнянні (3.1) коефіцієнти A, B, C одночасно не дорівнюють 0.

Особливі випадки рівняння (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 – площина проходить через початок координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - площина паралельна осі Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 – площина проходить через вісь Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 – площина паралельна площині Oyz.

Рівняння координатних площин: x=0, y=0, z=0.

Пряма в просторі може бути задана:

1) як лінія перетину двох площин, тобто. системою рівнянь:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) двома своїми точками M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2 , y 2 , z 2), тоді пряма, через них проходить, задається рівняннями:

3) точкою M 1 (x 1 , y 1 , z 1), що їй належить, і вектором a(m, n, р), їй колінеарним. Тоді пряма визначається рівняннями:

. (3.4)

Рівняння (3.4) називаються канонічними рівняннями прямою.

Вектор aназивається напрямним вектором прямий.

Параметричні рівняння прямий отримаємо, прирівнявши кожне із відношень (3.4) параметру t:

x=x1+mt, y=y1+nt, z=z1+рт. (3.5)

Вирішуючи систему (3.2) як систему лінійних рівняньщодо невідомих xі y, приходимо до рівнянь прямої в проекціяхабо до наведеним рівнянням прямої:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Від рівнянь (3.6) можна перейти до канонічних рівнянь, знаходячи zз кожного рівняння та прирівнюючи отримані значення:

.

Від загальних рівнянь (3.2) можна переходити до канонічним та іншим способом, якщо знайти якусь точку цієї прямої та її напрямний вектор n= [n 1 , n 2 ], де n 1 (A 1 , B 1 , C 1) та n 2 (A 2, B 2, C 2) - нормальні вектори заданих площин. Якщо один із знаменників m, nабо рв рівняннях (3.4) виявиться рівним нулю, Чисельник відповідного дробу треба покласти рівним нулю, тобто. система

рівносильна системі ; така пряма перпендикулярна до осі Ох.

Система рівносильна системі x = x 1, y = y 1; пряма паралельна осі Oz.

Приклад 1.15. Складіть рівняння площини, знаючи, що точка А(1,-1,3) є підставою перпендикуляра, проведеного з початку координат до цієї площини.

Рішення.За умовою завдання вектор ОА(1,-1,3) є нормальним вектором площини, тоді її рівняння можна записати як
x-y+3z+D=0. Підставивши координати точки А(1,-1,3), що належить площині, знайдемо D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. Отже, x-y+3z-11=0.

Приклад 1.16. Складіть рівняння площини, що проходить через вісь Оz і утворює з площиною 2x+y-z-7=0 кут 60 о.

Рішення.Площина, що проходить через вісь Oz, задається рівнянням Ax+By=0, де А і одночасно не звертаються в нуль. Нехай не
одно 0, A/Bx+y=0. За формулою косинуса кута між двома площинами

.

Вирішуючи квадратне рівняння 3m 2 + 8m - 3 = 0, знаходимо його коріння
m 1 = 1/3, m 2 = -3, звідки отримуємо дві площини 1/3x+y = 0 та -3x+y = 0.

приклад 1.17.Складіть канонічні рівняння прямої:
5x + y + z = 0, 2x + 3y – 2z + 5 = 0.

Рішення.Канонічні рівняння прямої мають вигляд:

де m, n, р- координати напрямного вектора прямої, x 1 , y 1 , z 1- координати будь-якої точки, що належить прямій. Пряма задана як лінія перетину двох площин. Щоб знайти точку, що належить прямої, фіксують одну з координат (найпростіше покласти, наприклад, x=0) і отриману систему вирішують як систему лінійних рівнянь з двома невідомими. Отже, хай x = 0, тоді y + z = 0, 3y - 2z + 5 = 0, звідки y = -1, z = 1. Координати точки М(x 1 , y 1 , z 1), що належить даній прямій, ми виявили: M (0,-1,1). Напрямний вектор прямий легко знайти, знаючи нормальні вектори вихідних площин. n 1 (5,1,1) та n 2 (2,3,-2). Тоді

Канонічні рівняння прямої мають вигляд: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z – 1)/13.

Приклад 1.18. У пучку, який визначається площинами 2х-у+5z-3=0 і х+у+2z+1=0, знайти дві перпендикулярні площини, одна з яких проходить через точку М(1,0,1).

Рішення.Рівняння пучка, що визначається даними площинами, має вигляд u(2х-у+5z-3) + v(х+у+2z+1)=0, де u та v не звертаються в нуль одночасно. Перепишемо рівняння пучка таким чином:

(2u+v)x+(-u+v)y+(5u+2v)z - 3u+v=0.

Для того, щоб з пучка виділити площину, що проходить через точку М, підставимо координати точки М рівняння пучка. Отримаємо:

(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, або v = - u.

Тоді рівняння площини, що містить M, знайдемо, підставивши v = - u рівняння пучка:

u(2x-y+5z-3) - u(x+y+2z+1) = 0.

Т.к. u¹0 (інакше v=0, а це суперечить визначенню пучка), маємо рівняння площини x-2y+3z-4=0. Друга площина, що належить пучку, має бути їй перпендикулярна. Запишемо умову ортогональності площин:

(2u+ v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, або v = - 19/5u.

Отже, рівняння другої площини має вигляд:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 або 9x +24y + 13z + 34 = 0

У цьому уроці ми розглянемо, як за допомогою визначника скласти рівняння площини. Якщо ви не знаєте, що таке визначник, зайдіть у першу частину уроку – «Матриці та визначники». Інакше ви ризикуєте нічого не зрозуміти у сьогоднішньому матеріалі.

Рівняння площини за трьома точками

Навіщо взагалі потрібне рівняння площини? Все просто: знаючи його, ми легко вирахуємо кути, відстані та іншу хрень у задачі C2. Загалом без цього рівняння не обійтися. Тому сформулюємо завдання:

Завдання. У просторі дано три точки, що не лежать на одній прямій. Їхні координати:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Потрібно скласти рівняння площини, що проходить через ці три точки. Причому рівняння повинно мати вигляд:

Ax + By + Cz + D = 0

де числа A, B, C і D - коефіцієнти, які, власне, і потрібно знайти.

Ну і як отримати рівняння площини, якщо відомі лише координати точок? Найпростіший спосіб – підставити координати в рівняння Ax + By + Cz + D = 0. Вийде система із трьох рівнянь, яка легко вирішується.

Багато учнів вважають таке рішення вкрай стомлюючим та ненадійним. Торішній ЄДІ з математики показав, що ймовірність припустити обчислювальну помилку справді велика.

Тому найбільш просунуті вчителі стали шукати більш прості та витончені рішення. І знайшли! Щоправда, отриманий прийом швидше належить до вищої математики. Особисто мені довелося перерити весь Федеральний перелік підручників, щоб переконатися, що ми маємо право застосовувати цей прийом без жодних обґрунтувань та доказів.

Рівняння площини через визначник

Досить лірики, приступаємо до справи. Для початку - теорема про те, як пов'язані визначник матриці та рівняння площини.

Теорема. Нехай дані координати трьох точок, через які треба провести площину: M = (x 1 , y 1 , z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x3, y3, z3). Тоді рівняння цієї площини можна записати через визначник:

Наприклад спробуємо визначити пару площин, які реально зустрічаються у завданнях С2. Погляньте, як швидко все вважається:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Складаємо визначник і прирівнюємо його до нуля:

Розкриваємо визначник:

a = 1 · 1 · (z − 1) + 0 · 0 · x + (−1) · 1 · y = z − 1 − y;
b = (−1) · 1 · x + 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Як бачите, при розрахунку числа d я трохи «причесав» рівняння, щоб змінні x, y і z йшли в правильної послідовності. От і все! Рівняння площини готове!

Завдання. Складіть рівняння площини, що проходить через точки:

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Відразу підставляємо координати точок у визначник:

Знову розкриваємо визначник:

a = 1 · 1 · z + 0 · 1 · x + 1 · 0 · y = z;
b = 1 · 1 · x + 0 · 0 · z + 1 · 1 · y = x + y;
d = a − b = z − (x + y) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Отже, рівняння поверхні знову отримано! Знову ж таки, на останньому кроці довелося поміняти в ньому знаки, щоб отримати більш «гарну» формулу. Робити це в цьому рішенні зовсім не обов'язково, але все-таки рекомендується - щоб спростити подальше вирішення завдання.

Як бачите, складати рівняння площини тепер набагато простіше. Підставляємо крапки в матрицю, вважаємо визначник – і все, рівняння готове.

На цьому можна було б закінчити урок. Проте багато учнів постійно забувають, що стоїть усередині визначника. Наприклад, в якому рядку стоїть x 2 або x 3 , а в якому - просто x . Щоб остаточно розібратися з цим, простежимо, звідки береться кожне число.

Звідки береться формула із визначником?

Отже, знаємося, звідки виникає таке суворе рівняння з визначником. Це допоможе вам запам'ятати його та успішно застосовувати.

Всі площини, що зустрічаються в задачі C2, задаються трьома точками. Ці точки завжди зазначені на кресленні, або навіть зазначені у тексті завдання. У будь-якому випадку, для складання рівняння нам потрібно виписати їх координати:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x3, y3, z3).

Розглянемо ще одну точку на нашій площині із довільними координатами:

T = (x, y, z)

Беремо будь-яку точку з першої трійки (наприклад, точку M ) і проведемо з неї вектори в кожну з трьох точок, що залишилися. Отримаємо три вектори:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1);
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1);
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1).

Тепер складемо із цих векторів квадратну матрицю і прирівняємо її визначник до нуля. Координати векторів стануть рядками матриці - і ми отримаємо той самий визначник, який зазначений у теоремі:

Ця формула означає, що обсяг паралелепіпеда, побудованого на векторах MN , MK і MT дорівнює нулю. Отже всі три вектори лежать в одній площині. Зокрема, і довільна точка T = (x, y, z) - саме те, що ми шукали.

Заміна точок та рядків визначника

У визначників є кілька чудових властивостей, які ще спрощують розв'язання задачі C2. Наприклад, нам не важливо, з якої точки проводити вектори. Тому такі визначники дають таке ж рівняння площини, як і наведений вище:

Також можна міняти місцями рядки визначника. Рівняння у своїй залишиться незмінним. Наприклад, багато хто любить записувати рядок з координатами точки T = (x; y; z) в самому верху. Будь ласка, якщо вам так зручно:

Деяких бентежить, що в одному з рядків присутні змінні x, y і z, які не зникають при підстановці точок. Але вони не повинні зникати! Підставивши числа в визначник, ви повинні отримати таку конструкцію:

Потім визначник розкривається за схемою, наведеною на початку уроку, і виходить стандартне рівняння площини:

Ax + By + Cz + D = 0

Погляньте на приклад. Він останній у сьогоднішньому уроці. Я спеціально поміняю рядки місцями, щоб переконатися, що у відповіді вийде одне й те саме рівняння площини.

Завдання. Складіть рівняння площини, що проходить через точки:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Отже, розглядаємо 4 точки:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Для початку складемо стандартний визначник і прирівнюємо його до нуля:

Розкриваємо визначник:

a = 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · (x − 1) + (−1) · (−1) · y = 0 + 0 + y;
b = (−1) · 1 · (x − 1) + 1 · (−1) · (z − 1) + 0 · 0 · y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Всі ми отримали відповідь: x + y + z − 2 = 0 .

Тепер переставимо пару рядків у визначнику і подивимося, що відбудеться. Наприклад, запишемо рядок зі змінними x, y, z не внизу, а вгорі:

Знову розкриваємо отриманий визначник:

a = (x − 1) · 1 · (−1) + (z − 1) · (−1) · 1 + y · 0 · 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) · 1 · 0 + y · (−1) · (−1) + (x − 1) · 1 · 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Ми отримали таке саме рівняння площини: x + y + z − 2 = 0. Отже, воно дійсно не залежить від порядку рядків. Залишилось записати відповідь.

Отже, ми переконалися, що рівняння площини залежить від послідовності рядків. Можна провести аналогічні обчислення та довести, що рівняння площини не залежить і від точки, координати якої ми віднімаємо з решти точок.

У розглянутій вище задачі ми використовували точку B 1 = (1, 0, 1), але можна було взяти C = (1, 1, 0) або D 1 = (0, 1, 1). Загалом, будь-яку точку з відомими координатами, що лежить на площині.