Система лінійних рівнянь називається спільною якщо мті. Як знайти загальне та приватне рішення системи лінійних рівнянь

Продовжуємо розбиратися із системами лінійних рівнянь. До цього часу ми розглядали системи, які мають єдине рішення. Такі системи можна вирішити будь-яким способом: методом підстановки(«шкільним»), за формулами Крамера, матричним методом, методом Гауса. Однак на практиці широко поширені ще два випадки, коли:

1) система несумісна (не має рішень);

2) система має безліч рішень.

Для цих систем застосовують найуніверсальніший з усіх способів вирішення – метод Гауса. Насправді, до відповіді призведе і «шкільний» спосіб, але вищої математикиприйнято використовувати Гаусівський метод послідовного виключення невідомих. Ті, хто не знайомий з алгоритмом методу Гауса, будь ласка, спочатку вивчіть урок метод Гауса

Самі елементарні перетворення матриці – такі самі, різниця буде наприкінці рішення. Спочатку розглянемо кілька прикладів, коли система немає рішень (несовместная).

Приклад 1

Що відразу впадає в око в цій системі? Кількість рівнянь – менше, ніж кількість змінних. Є така теорема, яка стверджує: «Якщо кількість рівнянь у системі менше кількостізмінних, то система або несумісна, або має безліч рішень».І це залишилося лише з'ясувати.

Початок рішення цілком звичайний – запишемо розширену матрицю системи і за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

(1). На лівій верхній сходинці нам потрібно отримати (+1) або (-1). Таких чисел у першому стовпці немає, тому перестановка рядків нічого не дасть. Одиниці доведеться організувати самостійно, і зробити це можна кількома способами. Ми вчинили так. До першого рядка додаємо третій рядок, помножений на (-1).

(2). Тепер отримуємо два нулі у першому стовпці. До другого рядка додаємо перший рядок, помножений на 3. До третього рядка додаємо перший, помножений на 5.

(3). Після виконаного перетворення завжди доцільно подивитися, а чи не можна спростити отримані рядки? Можна, можливо. Другий рядок ділимо на 2, заодно отримуючи потрібний (-1) на другій сходинці. Третій рядок ділимо на (-3).

(4). До третього рядка додаємо другий рядок. Напевно, всі звернули увагу на поганий рядок, який вийшов у результаті елементарних перетворень:

. Ясно, що так не може бути.

Дійсно, перепишемо отриману матрицю

назад у систему лінійних рівнянь:

Якщо в результаті елементарних перетворень отримано рядок виду , деλ - Число, відмінне від нуля, то система несумісна (не має рішень).

Як записати закінчення завдання? Необхідно записати фразу:

«В результаті елементарних перетворень отримано рядок виду , де λ ≠ 0 ». Відповідь: "Система не має рішень (неспільна)".

Зверніть увагу, що в цьому випадку немає жодного зворотного ходу алгоритму Гауса, рішень немає і знаходити нічого.

Приклад 2

Розв'язати систему лінійних рівнянь

Це приклад самостійного рішення. Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку.

Знову нагадуємо, що Ваш хід рішення може відрізнятись від нашого ходу рішення, метод Гауса не ставить однозначного алгоритму, про порядок дій та про самі дії треба здогадуватися в кожному випадку самостійно.

Ще одна технічна особливістьрішення: елементарні перетворення можна припиняти одразу жяк тільки з'явився рядок виду , де λ ≠ 0 . Розглянемо умовний приклад: припустимо, що після першого ж перетворення вийшла матриця

Ця матриця ще не приведена до ступінчастого вигляду, але в подальших елементарних перетвореннях немає необхідності, тому що з'явився рядок виду, де λ ≠ 0 . Слід одразу дати відповідь, що система несумісна.

Коли система лінійних рівнянь не має рішень – це майже подарунок студенту, зважаючи на те, що виходить коротке рішення, іноді буквально на 2-3 дії. Але все в цьому світі врівноважене, і завдання, в якому система має безліч рішень – якраз довше.

Приклад 3:

Розв'язати систему лінійних рівнянь

Тут 4 рівнянь і 4 невідомі, таким чином, система може мати або єдине рішення, або не мати рішень, або мати безліч рішень. Як би там не було, але метод Гауса у будь-якому разі приведе нас до відповіді. У цьому його універсальність.

Початок знову стандартний. Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Ось і все, а ви боялися.

(1). Зверніть увагу, що всі числа у першому стовпці поділяються на 2, тому на лівій верхній сходинці нас влаштовує і двійка. До другого рядка додаємо перший рядок, помножений на (-4). До третього рядка додаємо перший рядок, помножений на (-2). До четвертого рядка додаємо перший рядок, помножений на (-1).

Увага!У багатьох може виникнути спокуса з четвертого рядка віднятиперший рядок. Так робити можна, але не потрібно, досвід показує, що ймовірність помилки у обчисленнях збільшується у кілька разів. Тільки складаємо: до четвертого рядка додаємо перший рядок, помножений на (–1) – саме так!

(2). Останні три рядки пропорційні, два можна видалити. Тут знову треба виявити підвищена увага, а чи справді рядки пропорційні? Для перестрахування не зайвим буде другий рядок помножити на (–1), а четвертий рядок поділити на 2, отримавши в результаті три однакові рядки. І лише після цього видалити дві з них. В результаті елементарних перетворень розширена матриця системи наведена до ступінчастого вигляду:

При оформленні завдання у зошиті бажано для наочності робити такі самі позначки олівцем.

Перепишемо відповідну систему рівнянь:

"Звичайним" єдиним рішенням системи тут і не пахне. Поганого рядка , де λ ≠ 0, теж немає. Значить, це і є третій випадок, що залишився – система має нескінченно багато рішень.

Безліч рішень системи коротко записують у вигляді так званого загального вирішення системи.

Загальне рішення системи знайдемо за допомогою зворотного ходу методу Гауса. Для систем рівнянь з безліччю рішень з'являються нові поняття: «базисні змінні»і «вільні змінні». Спочатку визначимо, які змінні у нас є базисними, а які змінні - вільними. Не обов'язково докладно роз'яснювати терміни лінійної алгебри, досить запам'ятати, що ось такі базисні змінніі вільні змінні.

Базисні змінні завжди сидять строго на сходах матриці.. У цьому прикладі базовими змінними є x 1 та x 3 .

Вільні змінні – це все рештазмінні, яким не дісталося сходинки. У нашому випадку їх дві: x 2 та x 4 – вільні змінні.

Тепер потрібно Усебазисні зміннівисловити тільки черезвільні змінні. Зворотний хід алгоритму Гауса традиційно працює знизу нагору. З другого рівняння системи виражаємо базову змінну x 3:

Тепер дивимося на перше рівняння: . Спочатку в нього підставляємо знайдений вираз:

Залишилося висловити базову змінну x 1 через вільні змінні x 2 та x 4:

У результаті вийшло те, що потрібно – Усебазисні змінні ( x 1 та x 3) виражені тільки черезвільні змінні ( x 2 та x 4):

Власне, загальне рішення готове:

Як правильно записати загальне рішення? Насамперед, вільні змінні записуються у загальне рішення «самі собою» і суворо своїх місцях. У цьому випадку вільні змінні x 2 та x 4 слід записати на другій та четвертій позиції:

Отримані вирази для базисних змінних і, очевидно, потрібно записати на першій та третій позиції:

Із загального рішення системи можна знайти нескінченно багато приватних рішень. Це дуже просто. Вільними змінними x 2 та x 4 називають так, тому що їм можна надавати будь-які кінцеві значення. Найпопулярнішими значеннями є нульові значення, оскільки при цьому приватне рішення виходить найпростіше.

Підставивши ( x 2 = 0; x 4 = 0) у загальне рішення, отримаємо одне з приватних рішень:

, або – це приватне рішення, що відповідає вільним змінним при значеннях ( x 2 = 0; x 4 = 0).

Інший солодкою парочкою є одиниці, підставимо ( x 2 = 1 та x 4 = 1) у загальне рішення:

, Т. е. (-1; 1; 1; 1) - ще одне приватне рішення.

Легко помітити, що система рівнянь має нескінченно багато рішень,оскільки вільним змінним ми можемо надати будь-якізначення.

кожнеприватне рішення має задовольняти кожномурівняння системи. На цьому ґрунтується «швидка» перевірка правильності рішення. Візьміть, наприклад, часткове рішення (-1; 1; 1; 1) і підставте його в ліву частину кожного рівняння вихідної системи:

Все має зійтися. І з будь-яким отриманим вами приватним рішенням – теж все має зійтися.

Строго кажучи, перевірка приватного рішення іноді дурить, тобто. якесь приватне рішення може задовольняти кожному рівнянню системи, а загальне рішення насправді знайдено неправильно. Тому, перш за все, ґрунтовніша і надійніша перевірка загального рішення.

Як перевірити отримане загальне рішення ?

Це нескладно, але вимагає тривалих перетворень. Потрібно взяти вирази базиснихзмінних, у разі і , і підставити їх у ліву частину кожного рівняння системи.

У ліву частину першого рівняння системи:

Отримано праву частину вихідного першого рівняння системи.

У ліву частину другого рівняння системи:

Отримано праву частину вихідного другого рівняння системи.

І далі – у ліві частини третього та четвертого рівняння системи. Ця перевірка довша, зате гарантує стовідсоткову правильність загального рішення. Крім того, деякі завдання потребують саме перевірку загального рішення.

Приклад 4:

Вирішити систему методом Гауса. Знайти спільне рішення та два приватні. Зробити перевірку загального рішення.

Це приклад самостійного рішення. Тут, до речі, знову кількість рівнянь менша, ніж кількість невідомих, а отже, відразу зрозуміло, що система буде або несумісною, або з безліччю рішень.

Приклад 5:

Розв'язати систему лінійних рівнянь. Якщо система має безліч рішень, знайти два приватних рішення і зробити перевірку загального рішення

Рішення:Запишемо розширену матрицю системи та, за допомогою елементарних перетворень, наведемо її до ступінчастого вигляду:

(1). До другого рядка додаємо перший рядок. До третього рядка додаємо перший рядок, помножений на 2. До четвертого рядка додаємо перший рядок, помножений на 3.

(2). До третього рядка додаємо другий рядок, помножений на (-5). До четвертого рядка додаємо другий рядок, помножений на (-7).

(3). Третій і четвертий рядки однакові, один з них видаляємо. Ось така краса:

Базисні змінні сидять на сходах, тому базисні змінні.

Вільна змінна, якій не дісталося сходинки тут лише одна: .

(4). Зворотній хід. Виразимо базисні змінні через вільну змінну:

З третього рівняння:

Розглянемо друге рівняння і підставимо в нього знайдений вираз:

, , ,

Розглянемо перше рівняння і підставимо в нього знайдені вирази:

Таким чином, загальне рішення при одній вільній змінній x 4:

Ще раз, як воно вийшло? Вільна змінна x 4 самотньо сидить на своєму законному четвертому місці. Отримані висловлювання для базисних змінних, - теж на своїх місцях.

Відразу здійснимо перевірку загального рішення.

Підставляємо базисні змінні , , в ліву частину кожного рівняння системи:

Отримано відповідні праві частини рівнянь, таким чином, знайдено правильне рішення.

Тепер із знайденого загального рішення отримаємо два приватні рішення. Усі змінні виражаються тут через єдину вільну змінну x 4 . Ламати голову не треба.

Нехай x 4 = 0, тоді - Перше приватне рішення.

Нехай x 4 = 1, тоді - Ще одне приватне рішення.

Відповідь:Спільне рішення: . Приватні рішення:

та .

Приклад 6:

Знайти загальне рішення системи лінійних рівнянь.

Перевірку загального рішення у нас уже зроблено, відповіді можна довіряти. Ваш хід рішення може відрізнятись від нашого ходу рішення. Головне, щоб збіглися спільні рішення. Напевно, багато хто помітив неприємний момент у рішеннях: дуже часто при зворотному ході методу Гауса нам довелося поратися звичайними дробами. Насправді це справді так, випадки, коли дробів немає – зустрічаються значно рідше. Будьте готові морально і, найголовніше, технічно.

Зупинимося на особливостях рішення, які не зустрілися у прикладах. До загального рішення системи іноді може входити константа (або константи).

Наприклад, загальне рішення: . Тут одне з базисних змінних дорівнює постійному числу: . У цьому немає нічого екзотичного, то буває. Очевидно, що в даному випадку будь-яке приватне рішення міститиме п'ятірку на першій позиції.

Рідко, але зустрічаються системи, у яких кількість рівнянь більша за кількість змінних. Однак метод Гауса працює в найсуворіших умовах. Слід незворушно привести розширену матрицю системи до ступінчастого виду стандартного алгоритму. Така система може бути несумісною, може мати безліч рішень, і, як не дивно, може мати єдине рішення.

Повторимося у своїй раді – щоб комфортно почуватися при вирішенні системи методом Гауса, слід набити руку і вирішувати хоча б десяток систем.

Рішення та відповіді:

Приклад 2:

Рішення:Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду.

Виконані елементарні перетворення:

(1) Перший і третій рядки поміняли місцями.

(2) До другого рядка додали перший рядок, помножений на (-6). До третього рядка додали перший рядок, помножений на (-7).

(3) До третього рядка додали другий рядок, помножений на (–1).

В результаті елементарних перетворень отримано рядок виду, де λ ≠ 0 .Виходить, система несумісна.Відповідь: рішень немає.

Приклад 4:

Рішення:Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Виконані перетворення:

(1). До другого рядка додали перший рядок, помножений на 2. До третього рядка додали перший рядок, помножений на 3.

Для другої сходинки немає одиниці , і перетворення (2) спрямовано її отримання.

(2). До третього рядка додали другий рядок, помножений на -3.

(3). Другий з третього рядка поміняли місцями (переставили отриману –1 на другу сходинку)

(4). До третього рядка додали другий рядок, помножений на 3.

(5). У перших двох рядків змінили знак (помножили на -1), третій рядок розділили на 14.

Зворотній хід:

(1). Тут - базисні змінні (які на сходах), а - Вільні змінні (кому не дісталося сходинки).

(2). Висловимо базисні змінні через вільні змінні:

З третього рівняння: .

(3). Розглянемо друге рівняння:, приватні рішення:

Відповідь: Спільне рішення:

Комплексні числа

У цьому розділі ми познайомимося з поняттям комплексного числа, розглянемо алгебраїчну, тригонометричнуі показову формукомплексного числа. А також навчимося виконувати дії з комплексними числами: додавання, віднімання, множення, розподіл, зведення в ступінь та вилучення кореня.

Для освоєння комплексних чисел не потрібні якісь спеціальні знання з курсу вищої математики, і матеріал доступний навіть школяру. Досить вміти виконувати алгебраїчні дії зі «звичайними» числами, і пам'ятати тригонометрію.

Спочатку згадаємо «звичайні» Числа. У математиці вони називаються безліччю дійсних чисел і позначаються буквою R,або R (потовщеною). Усі дійсні числа сидять на знайомій числовій прямій:

Компанія дійсних чисел дуже строката - тут і цілі числа, і дроби, і ірраціональні числа. При цьому кожній точці числової осі обов'язково відповідає деяке дійсне число.

Системи mлінійних рівнянь з nневідомими.
Вирішення системи лінійних рівнянь- це така безліч чисел ( x 1 , x 2 , …, x n), при підстановці яких у кожне із рівнянь системи виходить правильна рівність.
де a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n- Коефіцієнти системи;
b i , i = 1, …, m- Вільні члени;
x j , j = 1, …, n- Невідомі.
Наведена вище система може бути записана в матричному вигляді: A · X = B,

де ( A|B) - основна матриця системи;
A- Розширена матриця системи;
X- Стовпець невідомих;
B- Стовпець вільних членів.
Якщо матриця Bне є нуль-матрицею ∅, то дана система лінійних рівнянь називається неоднорідною.
Якщо матриця B= ∅, то ця система лінійних рівнянь називається однорідною. Однорідна система завжди має нульове (тривіальне) рішення: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
Спільна система лінійних рівнянь— це система лінійних рівнянь, що має рішення.
Несумісна система лінійних рівнянь— це система лінійних рівнянь, що не має рішення.
Певна система лінійних рівнянь— це система лінійних рівнянь, що має єдине рішення.
Невизначена система лінійних рівнянь— це система лінійних рівнянь, що має безліч рішень.
Системи n лінійних рівнянь із n невідомими
Якщо число невідомих дорівнює кількості рівнянь, то матриця – квадратна. Визначник матриці називається головним визначником системи лінійних рівнянь та позначається символом Δ.
Метод Крамерадля вирішення систем nлінійних рівнянь з nневідомими.
Правило Крамер.
Якщо головний визначник системи лінійних рівнянь не дорівнює нулю, то система спільна та визначена, причому єдине рішення обчислюється за формулами Крамера:
де Δ i - визначники, одержувані з головного визначника системи Δ заміною i-го стовпця на стовпець вільних членів .
Системи m лінійних рівнянь із n невідомими
Теорема Кронекера-Капеллі.

Для того щоб дана система лінійних рівнянь була спільною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи дорівнював рангу розширеної матриці системи, rang(Α) = rang(Α|B).
Якщо rang(Α) ≠ rang(Α|B), то система свідомо немає рішень.
Якщо rang(Α) = rang(Α|B), то можливі два випадки:
1) rang(Α) = n(числу невідомих) – рішення єдине і може бути отримане за формулами Крамера;
2) rang(Α)< n − рішень нескінченно багато.
Метод Гаусадля вирішення систем лінійних рівнянь

Складемо розширену матрицю ( A|B) даної системи з коефіцієнтів при невідомих та правих частин.
Метод Гауса або метод виключення невідомих полягає у приведенні розширеної матриці ( A|B) за допомогою елементарних перетворень над її рядками до діагонального вигляду (до верхнього трикутного вигляду). Повертаючись до системи рівнянь, визначають усі невідомі.
До елементарних перетворень над рядками відносяться такі:
1) зміна місцями двох рядків;
2) множення рядка на число, відмінне від 0;
3) додавання до рядка іншого рядка, помноженого на довільне число;
4) викидання нульового рядка.
Розширеної матриці, наведеної до діагонального вигляду, відповідає лінійна система, еквівалентна даній, вирішення якої не викликає труднощів. .
Система однорідних лінійних рівнянь.
Однорідна система має вигляд:

їй відповідає матричне рівняння A · X = 0.
1) Однорідна система завжди спільна, оскільки r(A) = r(A|B), завжди існує нульове рішення (0, 0, …, 0).
2) Для того, щоб однорідна система мала ненульове рішення, необхідно і достатньо, щоб r = r(A)< n , Що рівносильно Δ = 0.
3) Якщо r< n , то наперед Δ = 0, тоді виникають вільні невідомі c 1 , c 2 , …, c n-r, система має нетривіальні рішення, причому їх дуже багато.
4) Загальне рішення Xпри r< n може бути записано у матричному вигляді наступним чином:
X = c 1 · X 1 + c 2 · X 2 + … + c n-r · X n-r,
де рішення X 1 , X 2 , …, X n-rутворюють фундаментальну систему розв'язків.
5) Фундаментальна система рішень може бути отримана із загального рішення однорідної системи:

,
якщо послідовно вважати значення параметрів рівними (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …,1).
Розкладання загального рішення щодо фундаментальної системи рішень- Це запис загального рішення у вигляді лінійної комбінації рішень, що належать до фундаментальної системи.
Теорема. Для того щоб система лінійних однорідних рівнянь мала ненульове рішення, необхідно і достатньо, щоб Δ ≠ 0.
Отже, якщо визначник Δ 0, то система має єдине рішення.
Якщо ж Δ ≠ 0, то система лінійних однорідних рівнянь має безліч рішень.
Теорема. Для того, щоб однорідна система мала ненульове рішення, необхідно і достатньо, щоб r(A)< n .
Доказ:
1) rне може бути більше n(Ранг матриці не перевищує числа стовпців або рядків);
2) r< n , т.к. якщо r = n, то головний визначник системи Δ ≠ 0 і, за формулами Крамера, існує єдине тривіальне рішення x 1 = x 2 = … = x n = 0що суперечить умові. Значить, r(A)< n .
Слідство. Для того щоб однорідна система nлінійних рівнянь з nневідомими мала ненульове рішення, необхідно та достатньо, щоб Δ = 0.

Призначення сервісу. Онлайн-калькулятор призначено для дослідження системи лінійних рівнянь. Зазвичай за умови завдання потрібно знайти загальне та приватне рішення системи. При дослідженні систем лінійних рівнянь вирішуються такі:

чи є система спільною;
якщо система спільна, то визначена чи невизначена (критерій спільності системи визначається за теоремою);
якщо система визначена, то як визначити її єдине рішення (використовуються метод Крамера, метод зворотної матриці або метод Жордана-Гаусса);
якщо система невизначена, як описати безліч її рішень.

Класифікація систем лінійних рівнянь

Довільна система лінійних рівнянь має вигляд:
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m

Системи лінійних неоднорідних рівнянь (кількість змінних дорівнює кількості рівнянь, m = n).
Довільні системи лінійних неоднорідних рівнянь (m > n чи m< n).

Визначення. Рішенням системи називається будь-яка сукупність чисел c 1, c 2, ..., c n, Підстановка яких в систему замість відповідних невідомих звертає кожне рівняння системи в тотожність.

Визначення. Дві системи називаються еквівалентними, якщо рішення першої є рішенням другої та навпаки.

Визначення. Система, що має хоча б одне рішення, називається спільної. Система, яка має жодного рішення, називається несовместной.

Визначення. Система, що має єдине рішення, називається певною, А що має більше одного рішення – невизначеною.

Алгоритм розв'язання систем лінійних рівнянь

Знаходимо ранги основної та розширеної матриць. Якщо вони не рівні, то за теоремою Кронекера-Капеллі система несумісна, і на цьому дослідження закінчується.
Нехай rang(A) = rang(B). Виділяємо базовий мінор. При цьому всі невідомі системи лінійних рівнянь поділяються на два класи. Невідомі, коефіцієнти за яких увійшли до базисного мінору, називають залежними, а невідомі, коефіцієнти за яких не потрапили до базисного мінору – вільними. Зауважимо, що вибір залежних та вільних невідомих не завжди однозначний.
Викреслюємо ті рівняння системи, коефіцієнти яких увійшли до складу базисного мінору, оскільки є наслідками інших (по теоремі про базисному мінорі).
Члени рівнянь, що містять вільні невідомі, перенесемо до правої частини. В результаті отримаємо систему з r рівнянь з r невідомими, еквівалентну даній, визначник якої відмінний від нуля.
Отримана система вирішується одним із способів: метод Крамера, метод зворотної матриці чи метод Жордана-Гаусса. Знаходяться співвідношення, що виражають залежні змінні через вільні.

Системою m лінійних рівнянь із n невідомиминазивається система виду

де a ijі b i (i=1,…,m; b=1,…,n) – деякі відомі числа, а x 1 ,…, x n- Невідомі. У позначенні коефіцієнтів a ijперший індекс iпозначає номер рівняння, а другий j- Номер невідомого, при якому стоїть цей коефіцієнт.

Коефіцієнти при невідомих записуватимемо у вигляді матриці , яку назвемо матрицею системи.

Числа, що стоять у правих частинах рівнянь, b 1 ,…,b mназиваються вільними членами.

Сукупність nчисел c 1 ,…, c nназивається рішеннямданої системи, якщо кожне рівняння системи звертається до рівності після підстановки до нього чисел c 1 ,…, c nзамість відповідних невідомих x 1 ,…, x n.

Наше завдання полягатиме у знаходженні рішень системи. При цьому можуть виникнути три ситуації:

Система лінійних рівнянь, що має хоча б одне рішення, називається спільної. Інакше, тобто. якщо система не має рішень, то вона називається несумісний.

Розглянемо методи знаходження рішень системи.

МАТРИЧНИЙ МЕТОД РІШЕННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

Матриці дають змогу коротко записати систему лінійних рівнянь. Нехай дана система з 3-х рівнянь із трьома невідомими:

Розглянемо матрицю системи та матриці стовпці невідомих та вільних членів

Знайдемо твір

тобто. в результаті твору ми отримуємо ліві частини рівнянь цієї системи. Тоді користуючись визначенням рівності матриць цю системуможна записати у вигляді

або коротше A∙X=B.

Тут матриці Aі Bвідомі, а матриця Xневідома. Її треба знайти, т.к. її елементи є рішенням цієї системи. Це рівняння називають матричним рівнянням.

Нехай визначник матриці відмінний від нуля A| ≠ 0. Тоді матричне рівняння вирішується в такий спосіб. Помножимо обидві частини рівняння зліва на матрицю A -1, зворотну матрицю A: . Оскільки A -1 A = Eі E∙X = X, то отримуємо рішення матричного рівняння у вигляді X = A -1 B .

Зауважимо, що оскільки зворотну матрицю можна знайти тільки для квадратних матриць, то матричним методом можна вирішувати ті системи, в яких число рівнянь збігається з кількістю невідомих. Однак, матричний запис системи можливий і у випадку, коли число рівнянь не дорівнює кількості невідомих, тоді матриця Aне буде квадратною і тому не можна знайти рішення системи у вигляді X = A -1 B.

приклади.Розв'язати системи рівнянь.

ПРАВИЛО КРАМЕРУ

Розглянемо систему 3-х лінійних рівнянь із трьома невідомими:

Визначник третього порядку, який відповідає матриці системи, тобто. складений з коефіцієнтів за невідомих,

називається визначником системи.

Складемо ще три визначники наступним чином: замінимо у визначнику D послідовно 1, 2 та 3 стовпці стовпцем вільних членів

Тоді можна довести наступний результат.

Теорема (правило Крамера).Якщо визначник системи Δ ≠ 0, то система, що розглядається, має одне і тільки одне рішення, причому

Доказ. Отже, розглянемо систему 3-х рівнянь із трьома невідомими. Помножимо перше рівняння системи на алгебраїчне доповнення A 11елемента a 11, 2-е рівняння – на A 21і 3-те – на A 31:

Складемо ці рівняння:

Розглянемо кожну з дужок та праву частину цього рівняння. По теоремі про розкладання визначника за елементами 1-го стовпця

Аналогічно можна показати, що і .

Нарешті неважко помітити, що

Отже, отримуємо рівність: .

Отже, .

Аналогічно виводяться рівність і , звідки і слідує твердження теореми.

Отже, зауважимо, що й визначник системи Δ ≠ 0, то система має єдине рішення і назад. Якщо ж визначник системи дорівнює нулю, то система або має безліч рішень, або немає рішень, тобто. несумісна.

приклади.Розв'язати систему рівнянь

МЕТОД ГАУСА

Раніше розглянуті методи можна застосовувати під час вирішення лише тих систем, у яких число рівнянь збігається з числом невідомих, причому визначник системи має бути відмінний від нуля. Метод Гауса є більш універсальним і придатний для систем із будь-яким числом рівнянь. Він полягає у послідовному виключенні невідомих із рівнянь системи.

Знову розглянемо систему з трьох рівнянь із трьома невідомими:

Перше рівняння залишимо без зміни, а з 2-го та 3-го виключимо доданки, що містять x 1. Для цього друге рівняння розділимо на а 21 і помножимо на – а 11 а потім складемо з 1-им рівнянням. Аналогічно третє рівняння розділимо на а 31 і помножимо на – а 11, а потім складемо з першим. В результаті вихідна система набуде вигляду:

Тепер з останнього рівняння виключимо доданок, що містить x 2. Для цього третє рівняння розділимо на , помножимо на та складемо з другим. Тоді матимемо систему рівнянь:

Звідси з останнього рівняння легко знайти x 3, потім із 2-го рівняння x 2і, нарешті, з 1-го – x 1.

При використанні методу Гауса рівняння за необхідності можна міняти місцями.

Часто замість писати нову системурівнянь, що обмежуються тим, що виписують розширену матрицю системи:

і потім призводять до трикутного або діагонального вигляду за допомогою елементарних перетворень.

До елементарним перетвореннямматриці відносяться такі перетворення:

перестановка рядків чи стовпців;
множення рядка на число, відмінне від нуля;
додавання до одного рядка інших рядків.

Приклади:Розв'язати системи рівнянь методом Гауса.

Таким чином, система має безліч рішень.

Системи рівнянь набули широкого застосування в економічній галузі при математичному моделюванні різних процесів. Наприклад, при вирішенні завдань управління та планування виробництва, логістичних маршрутів (транспортне завдання) або розміщення обладнання.

Системи рівняння використовуються у галузі математики, а й фізики, хімії та біології, під час вирішення завдань з знаходженню чисельності популяції.

Системою лінійних рівнянь називають два і більше рівняння з декількома змінними, котрим необхідно знайти загальне рішення. Таку послідовність чисел, у яких всі рівняння стануть вірними рівностями чи довести, що послідовності немає.

Лінійне рівняння

Рівняння виду ax+by=c називають лінійними. Позначення x, y – це невідомі, значення яких треба знайти, b, a – коефіцієнти при змінних, c – вільний член рівняння.
Рішення рівняння шляхом побудови його графіка матиме вигляд прямої, всі точки якої є рішенням багаточлена.

Види систем лінійних рівнянь

Найбільш простими вважаються приклади систем лінійних рівнянь із двома змінними X та Y.

F1(x, y) = 0 і F2(x, y) = 0, де F1,2 – функції, а (x, y) – змінні функцій.

Розв'язати систему рівнянь - це означає знайти такі значення (x, y), при яких система перетворюється на правильну рівність або встановити, що відповідних значень x та y не існує.

Пара значень (x, y), записана як координат точки, називається рішенням системи лінійних рівнянь.

Якщо системи мають одне загальне рішення або рішення не існує, їх називають рівносильними.

Однорідними системами лінійних рівнянь є системи права частина яких дорівнює нулю. Якщо права після знака "рівність" частина має значення чи виражена функцією, така система неоднорідна.

Кількість змінних може бути набагато більше двох, тоді слід говорити про приклад системи лінійних рівнянь із трьома змінними або більше.

Зіткнувшись із системами школярі припускають, що кількість рівнянь обов'язково має співпадати з кількістю невідомих, але це не так. Кількість рівнянь у системі залежить від змінних, їх може бути скільки завгодно багато.

Прості та складні методи вирішення систем рівнянь

Немає загального аналітичного способу вирішення подібних систем, всі методи засновані на чисельних рішеннях. У шкільному курсі математики докладно описані такі методи як перестановка, алгебраїчне додавання, підстановка, а також графічний та матричний спосіб, вирішення методом Гауса.

Основне завдання при навчанні способів вирішення – це навчити правильно аналізувати систему та знаходити оптимальний алгоритмрішення для кожного прикладу. Головне не визубрити систему правил та дій для кожного способу, а зрозуміти принципи застосування того чи іншого методу

Розв'язання прикладів систем лінійних рівнянь 7 класу програми загальноосвітньої школиДосить просте і пояснене дуже докладно. У будь-якому підручнику математики цьому розділу приділяється достатньо уваги. Рішення прикладів систем лінійних рівнянь методом Гауса і Крамера докладніше вивчають перших курсах вищих навчальних закладів.

Рішення систем методом підстановки

Події способу підстановки спрямовані на вираження значення однієї змінної через другу. Вираз підставляється в рівняння, що залишилося, потім його приводять до вигляду з однією змінною. Дія повторюється в залежності від кількості невідомих у системі

Наведемо рішення прикладу системи лінійних рівнянь 7 класу методом підстановки:

Як видно з прикладу, змінна x була виражена через F(X) = 7 + Y. Отримане вираз, підставлений у 2-е рівняння системи на місце X, допомогло отримати одну змінну Y на 2-му рівнянні. Вирішення цього прикладу не викликає труднощів і дозволяє отримати значення Y. Останній крок це перевірка отриманих значень.

Вирішити приклад системи лінійних рівнянь підстановкою який завжди можливо. Рівняння можуть бути складними і вираз змінної через другий невідомий виявиться занадто громіздким для подальших обчислень. Коли невідомих у системі більше трьох рішень підстановкою також недоцільно.

Розв'язання прикладу системи лінійних неоднорідних рівнянь:

Рішення за допомогою алгебраїчної складання

При пошуку рішенні систем методом додавання виробляють почленное складання і множення рівнянь на різні числа. Кінцевою метою математичних процесів є рівняння з однією змінною.

Для застосування даного методу необхідна практика та спостережливість. Вирішити систему лінійних рівнянь шляхом додавання при кількості змінних 3 і більше складно. Алгебраїчне додавання зручно застосовувати коли в рівняннях присутні дроби та десяткові числа.

Алгоритм дій рішення:

Помножити обидві частини рівняння на кілька. В результаті арифметичної діїодин із коефіцієнтів при змінній повинен стати рівним 1.
Почленно скласти отриманий вираз і знайти один із невідомих.
Підставити отримане значення у 2-е рівняння системи для пошуку змінної, що залишилася.

Спосіб вирішення запровадженням нової змінної

Нову змінну можна вводити, якщо в системі потрібно знайти рішення не більше ніж для двох рівнянь, кількість невідомих теж має бути не більшою за два.

Спосіб використовується, щоб спростити одне із рівнянь, введенням нової змінної. Нове рівняння вирішується щодо введеної невідомої, а отримане значення використовується визначення початкової змінної.

З прикладу видно, що, ввівши нову змінну t, вдалося звести 1-е рівняння системи до стандартного. квадратному тричлену. Вирішити багаточлен можна, знайшовши дискримінант.

Необхідно знайти значення дискримінанта з відомою формулою: D = b2 - 4*a*c, де D - шуканий дискримінант, b, a, c - множники многочлена. У заданому прикладі a=1, b=16, c=39, отже, D=100. Якщо дискримінант більший за нуль, то рішень два: t = -b±√D / 2*a, якщо дискримінант менший за нуль, то рішення одне: x= -b / 2*a.

Рішення отриманих у результаті системи знаходять шляхом складання.

Наочний метод вирішення систем

Підходить для систем з трьома рівняннями. Метод полягає у побудові на координатній осі графіків кожного рівняння, що входить до системи. Координати точок перетину кривих та будуть загальним рішенням системи.

Графічний метод має низку аспектів. Розглянемо кілька прикладів розв'язання систем лінійних рівнянь наочним способом.

Як видно з прикладу, для кожної прямої було побудовано дві точки, значення змінної x були обрані довільно: 0 і 3. Виходячи із значень x, знайдені значення для y: 3 та 0. Точки з координатами (0, 3) та (3, 0) були відзначені на графіку та з'єднані лінією.

Події необхідно повторити для другого рівняння. Крапка перетину прямих є рішенням системи.

У наступному прикладі потрібно знайти графічне рішення системи лінійних рівнянь: 0,5x-y+2=0 та 0,5x-y-1=0.

Як видно з прикладу, система не має рішення, тому що графіки паралельні і не перетинаються по всьому своєму протязі.

Системи з прикладів 2 і 3 схожі, але при побудові стає очевидним, що їхні рішення різні. Слід пам'ятати, що не завжди можна сказати, чи має система рішення чи ні, завжди необхідно побудувати графік.

Матриця та її різновиди

Матриці використовуються для короткого запису системи лінійних рівнянь. Матрицею називають таблицю спеціального виду, заповнену числами. n*m має n - рядків та m - стовпців.

Матриця є квадратною, коли кількість стовпців і рядків дорівнює між собою. Матрицею - вектором називається матриця з одного стовпця з нескінченно можливою кількістю рядків. Матриця з одиницями по одній із діагоналей та іншими нульовими елементами називається одиничною.

Зворотна матриця - це така матриця при множенні на яку вихідна перетворюється на одиничну, така матриця існує тільки для вихідної квадратної.

Правила перетворення системи рівнянь на матрицю

Щодо систем рівнянь як чисел матриці записують коефіцієнти та вільні члени рівнянь, одне рівняння - один рядок матриці.

Рядок матриці називається ненульовим, якщо хоча б один елемент рядка не дорівнює нулю. Тому якщо в якомусь із рівнянь кількість змінних відрізняється, то необхідно на місці відсутньої невідомої вписати нуль.

Стовпці матриці повинні відповідати змінним. Це означає, що коефіцієнти змінної x можуть бути записані тільки в один стовпець, наприклад перший, коефіцієнт невідомої y - тільки в другий.

При множенні матриці всі елементи матриці послідовно множаться на число.

Варіанти знаходження зворотної матриці

Формула знаходження зворотної матриці досить проста: K -1 = 1 / | K |, де K -1 – зворотна матриця, а | K | - Визначник матриці. |K| не повинен дорівнювати нулю, тоді система має рішення.

Визначник легко обчислюється для матриці два на два, необхідно лише помножити один на одного елементи по діагоналі. Для варіанта "три на три" існує формула | K | b 2 c 1 . Можна скористатися формулою, а можна запам'ятати що необхідно взяти по одному елементу з кожного рядка та кожного стовпця так, щоб у творі не повторювалися номери стовпців та рядків елементів.

Розв'язання прикладів систем лінійних рівнянь матричним методом

Матричний спосіб пошуку рішення дозволяє скоротити громіздкі записи при вирішенні систем великою кількістюзмінних та рівнянь.

У прикладі a nm – коефіцієнти рівнянь, матриця – вектор x n – змінні, а b n – вільні члени.

Рішення систем методом Гауса

У вищій математиці метод Гаусса вивчають разом із методом Крамера, а процес пошуку рішення систем і називається метод рішення Гаусса - Крамера. Дані методи застосовують при знаходженні змінних систем з великою кількістю лінійних рівнянь.

Метод Гаус дуже схожий на рішення за допомогою підстановок і алгебраїчного складання, але більш систематичний. У шкільному курсі рішення способом Гауса застосовується для систем із 3 та 4 рівнянь. Мета методу полягає у приведенні системи до виду перевернутої трапеції. Шляхом перетворень алгебри і підстановок знаходиться значення однієї змінної в одному з рівнянні системи. Друге рівняння є виразом з 2-ма невідомими, ну а 3 і 4 - відповідно з 3-ма і 4-ма змінними.

Після приведення системи до описаного виду, подальше рішення зводиться до послідовної підстановки відомих змінних рівнянь системи.

У шкільних підручниках для 7 класу приклад рішення методом Гауса описаний таким чином:

Як видно з прикладу, на кроці (3) отримано два рівняння 3x 3 -2x 4 =11 і 3x 3 +2x 4 =7. Рішення будь-якого рівняння дозволить дізнатися одну зі змінних x n .

Теорема 5, про яку згадується в тексті, говорить, що якщо одне з рівнянь системи замінити рівносильним, то отримана система буде також рівносильна вихідної.

Метод Гауса важкий для сприйняття учнів середньої школи, але є одним з найбільш цікавих способівдля розвитку кмітливості дітей, які навчаються за програмою поглибленого вивчення у математичних та фізичних класах.

Для простоти запису обчислень прийнято робити так:

Коефіцієнти рівнянь та вільні члени записуються у вигляді матриці, де кожен рядок матриці співвідноситься з одним із рівнянь системи. відокремлює ліву частину рівняння від правої. Римськими цифрами позначаються номери рівнянь у системі.

Спочатку записують матрицю, з якою належить працювати, потім всі дії, що проводяться з одного з рядків. Отриману матрицю записують після знака "стрілка" і продовжують виконувати необхідні дії алгебри до досягнення результату.

У результаті повинна вийти матриця в якій по одній з діагоналей стоять 1, а всі інші коефіцієнти дорівнюють нулю, тобто матрицю призводять до поодинокого виду. Не можна забувати робити обчислення з цифрами обох частин рівняння.

Цей спосіб запису менш громіздкий і дозволяє не відволікатися на перелік численних невідомих.

Вільне застосування будь-якого способу вирішення потребує уважності та певного досвіду. Не всі методи мають прикладний характер. Якісь способи пошуку рішень більш кращі у тій іншій галузі діяльності людей, інші існують з метою навчання.