Максимальна сила струму формула коливального контуру. Коливальний контур

Електромагнітне поле може існувати і за відсутності електричних зарядів або струмів: саме такі «самопідтримувані» електричне та магнітне поля є електромагнітні хвилі, до яких відносяться видиме світло, інфрачервоне, ультрафіолетове та рентгенівське випромінювання, радіохвилі тощо.

§ 25. Коливальний контур

Найпростіша система, в якій можливі власні електромагнітні коливання, - це так званий коливальний контур, що складається із з'єднаних між собою конденсатора та котушки індуктивності (рис. 157). Як і механічного осцилятора, наприклад масивного тіла на пружній пружині, власні коливання в контурі супроводжуються енергетичними перетвореннями.

Рис. 157. Коливальний контур

Аналогія між механічними та електромагнітними коливаннями.Для коливального контуру аналог потенційної енергії механічного осцилятора (наприклад пружної енергії деформованої пружини) - це енергія електричного поля в конденсаторі. Аналог кінетичної енергії тіла, що рухається - енергія магнітного поляу котушці індуктивності. Справді, енергія пружини пропорційна квадрату зміщення з положення рівноваги а енергія конденсатора пропорційна квадрату заряду Кінетична енергія тіла пропорційна квадрату його швидкості а енергія магнітного поля в котушці

Повна механічна енергія пружинного осцилятора Е дорівнює сумі потенційної та кінетичної енергій:

Енергія коливань.Аналогічно, повна електромагнітна енергія коливального контуру дорівнює сумі енергій електричного поля в конденсаторі та магнітного поля в котушці:

Зі зіставлення формул (1) і (2) слід, що аналогом жорсткості до пружинного осцилятора в коливальному контурі служить величина зворотна ємності конденсатора, а аналогом маси - індуктивність котушки

Нагадаємо, що в механічній системі, енергія якої дається виразом (1), можуть відбуватися власні незатухаючі гармонічні коливання. Квадрат частоти таких коливань дорівнює відношенню коефіцієнтів при квадратах зміщення та швидкості у вираженні для енергії:

Власна частота.У коливальному контурі, електромагнітна енергія якого дається виразом (2), можуть відбуватися власні незатухаючі гармонічні коливання, квадрат частоти яких теж, очевидно, дорівнює відношенню відповідних коефіцієнтів (тобто коефіцієнтів при квадратах заряду та сили струму):

З (4) випливає вираз для періоду коливань, зване формулою Томсона:

При механічних коливаннях залежність зміщення х від часу визначається косінусоїдальною функцією, аргумент якої називається фазою коливань:

Амплітуда та початкова фаза.Амплітуда А та початкова фаза а визначаються початковими умовами, тобто значеннями зсуву та швидкості при

Аналогічно, при власних електромагнітних коливаннях в контурі заряд конденсатора залежить від часу за законом

де частота визначається, відповідно (4), тільки властивостями самого контуру, а амплітуда коливань заряду і початкова фаза а, як і у механічного осцилятора, визначається

Таким чином, власна частота не залежить від способу збудження коливань, в той час як амплітуда і початкова фаза визначаються саме умовами збудження.

Енергетичні перетворення.Розглянемо докладніше енергетичні перетворення при механічних та електромагнітних коливаннях. На рис. 158 схематично зображені стани механічного та електромагнітного осциляторів через проміжки часу у чверть періоду

Рис. 158. Енергетичні перетворення при механічних та електромагнітних коливаннях

Двічі за період коливань енергія перетворюється з одного виду на інший і назад. Повна енергія коливального контуру як і повна енергія механічного осцилятора, без диссипації залишається постійною. Щоб переконатися в цьому, потрібно у формулу (2) підставити вираз (6) для і вираз для сили струму

Використовуючи формулу (4) для отримуємо

Рис. 159. Графіки залежно від часу заряду конденсатора енергії електричного поля конденсатора та енергії магнітного поля в котушці

Постійна повна енергія збігається з потенційною енергією в моменти, коли заряд конденсатора максимальний, і збігається з енергією магнітного поля котушки – «кінетичною» енергією – в моменти, коли заряд конденсатора звертається в нуль, а струм максимальний. При взаємних перетвореннях два види енергії здійснюють гармонійні коливання з однаковою амплітудою в протифазі один з одним та з частотою щодо свого середнього значення. У цьому легко переконатися як із рис. 158, так і за допомогою формул тригонометричних функційполовинного аргументу:

Графіки залежно від часу заряду конденсатора енергії електричного поля та енергії магнітного поля показані на рис. 159 для початкової фази

Кількісні закономірності власних електромагнітних коливань можна встановити безпосередньо з урахуванням законів для квазистаціонарних струмів, не звертаючись до аналогії з механічними коливаннями.

Рівняння для коливань у контурі.Розглянемо найпростіший коливальний контур, показаний на рис. 157. При обході контуру, наприклад, проти годинникової стрілки, сума напруги на котушці індуктивності та конденсаторі в такому замкнутому послідовному ланцюгу дорівнює нулю:

Напруга на конденсаторі пов'язана із зарядом пластини та з ємністю З співвідношенням Напруга на індуктивності у будь-який момент часу дорівнює за модулем і протилежно за знаком ЕРС самоіндукції, тому Струм у ланцюгу дорівнює швидкості зміни заряду конденсатора: Підставляючи силу струму у вираз для напруги на котушці індуктивності та позначаючи другу похідну заряду конденсатора за часом через

Отримаємо Тепер вираз (10) набуває вигляду

Перепишемо це рівняння інакше, вводячи за визначенням:

Рівняння (12) збігається з рівнянням гармонійних коливаньмеханічного осцилятора з власною частотою Розв'язання такого рівняння дається гармонійною (синусоїдальною) функцією часу (6) з довільними значеннями амплітуди та початкової фази а. Звідси випливають усі наведені вище результати, що стосуються електромагнітних коливань у контурі.

Згасання електромагнітних коливань.До цього часу обговорювалися власні коливання в ідеалізованій механічній системі та ідеалізованому LC-контурі. Ідеалізація полягала у нехтуванні тертям в осциляторі та електричним опором у контурі. Тільки в цьому випадку система буде консервативною і енергія коливань зберігатиметься.

Рис. 160. Коливальний контур із опором

Облік диссипації енергії коливань у контурі можна здійснити аналогічно тому, як це було зроблено у разі механічного осцилятора з тертям. Наявність електричного опору котушки і з'єднувальних проводів неминуче пов'язані з виділенням джоулевої теплоти. Як і раніше, цей опір можна розглядати як самостійний елементв електричної схемиколивального контуру, вважаючи котушку та дроти ідеальними (рис. 160). При розгляді квазистаціонарного струму в такому контурі рівняння (10) потрібно додати напругу на опорі

Підставляючи в отримуємо

Вводячи позначення

перепишемо рівняння (14) у вигляді

Рівняння (16) має такий самий вигляд, як і рівняння при коливаннях механічного осцилятора з

тертям, пропорційним швидкості (в'язким тертям). Тому за наявності електричного опору в контурі електромагнітні коливання відбуваються за таким самим законом, як і механічні коливання осцилятора з в'язким тертям.

Дисипація енергії коливань.Як і при механічних коливаннях, можна встановити закон спадання з часом енергії власних коливань, застосовуючи закон Джоуля-Ленца для підрахунку теплоти, що виділяється:

В результаті у разі малого згасання для проміжків часу, багато великих періоду коливань, швидкість зменшення енергії коливань виявляється пропорційною самої енергії:

Рішення рівняння (18) має вигляд

Енергія своїх електромагнітних коливань у контурі з опором зменшується за експонентним законом.

Енергія коливань пропорційна квадрату їхньої амплітуди. Для електромагнітних коливань це випливає, наприклад, (8). Тому амплітуда загасаючих коливань, відповідно (19), убуває за законом

Час життя коливань.Як видно з (20), амплітуда коливань зменшується в раз за час, що дорівнює незалежно від початкового значення амплітуди Цей час х носить назву часу життя коливань, хоча, як видно з (20), коливання формально продовжуються нескінченно довго. Насправді, звичайно, про коливання має сенс говорити лише до тих пір, поки їхня амплітуда перевищує характерне значення рівня теплових шумів у цьому ланцюзі. Тому фактично коливання в контурі «живуть» кінцевий час, який, проте, може у кілька разів перевершувати введений вище час життя х.

Часто буває важливо знати не саме по собі час життя коливань х, а кількість повних коливань, що відбудеться в контурі за цей час х. Це число помножене називають добротністю контуру.

Строго кажучи, загасаючі коливання є періодичними. При малому згасанні можна умовно говорити про період, під яким розуміють проміжок часу між двома

максимальними значеннями заряду конденсатора (однакової полярності), або максимальними значеннями струму (одного напрямку).

Згасання коливань впливає період, призводячи до його зростання проти ідеалізованим випадком відсутності згасання. При малому згасанні збільшення періоду коливань дуже незначне. Однак при сильному згасанні коливань взагалі може не бути: заряджений конденсатор буде розряджатися аперіодично, тобто без зміни напрямку струму в контурі. Так буде при т. е. при

Точне рішення. Сформульовані вище закономірності загасаючих коливань випливають із точного розв'язання диференціального рівняння (16). Безпосередньою підстановкою можна переконатися, що вона має вигляд

де - довільні постійні, значення яких визначаються початковими умовами. При малому згасанні множник при косинусі можна розглядати як амплітуду коливань, що повільно змінюється.

Завдання

Перезаряджає конденсатори через котушку індуктивності. У ланцюзі, схема якої показано на рис. 161 заряд верхнього конденсатора дорівнює а нижній не заряджений. На момент ключ замикають. Знайти залежність від часу заряду верхнього конденсатора та струму в котушці.

Рис. 161. У початковий момент часу заряджено лише один конденсатор

Рис. 162. Заряди конденсаторів та струм у контурі після замикання ключа

Рис. 163. Механічна аналогія для електричного кола, показаного на рис. 162

Рішення. Після замикання ключа в ланцюзі виникають коливання: верхній конденсатор починає розряджатися через котушку, заряджаючи нижній; потім все відбувається у зворотному напрямку. Нехай, наприклад, при позитивно заряджена верхня обкладка конденсатора. Тоді

через малий проміжок часу знаки зарядів обкладок конденсаторів та напрямок струму будуть такими, як показано на рис. 162. Позначимо через заряди обкладок верхнього і нижнього конденсаторів, які з'єднані між собою через котушку індуктивності. На підставі закону збереження електричного заряду

Сума напруги на всіх елементах замкнутого контуру в кожний момент часу дорівнює нулю:

Знак напруги на конденсаторі відповідає розподілу на рис. 162. та зазначеному напрямку струму. Вираз для струму через котушку можна записати у будь-якому з двох видів:

Виключимо з рівняння за допомогою співвідношень (22) та (24):

Вводячи позначення

перепишемо (25) у такому вигляді:

Якщо замість ввести функцію

і врахувати, що те (27) набуває вигляду

Це звичайне рівняння незатухаючих гармонійних коливань, що має вирішення

де - довільні постійні.

Повертаючись від функції, отримаємо для залежності від часу заряду верхнього конденсатора наступний вираз:

Для визначення постійних і врахуємо, що в початковий момент заряду Для сили струму з (24) і (31) маємо

Оскільки звідси випливає, що підставляючи тепер і враховуючи, що отримуємо

Отже, вирази для заряду та сили струму мають вигляд

Характер осциляцій заряду і струму особливо наочний при однакових значенняхємностей конденсаторів. В цьому випадку

Заряд верхнього конденсатора осциллює з амплітудою близько середнього значення, рівного За половину періоду коливань він зменшується від максимального значення початковий момент до нуля, коли весь заряд опиняється на нижньому конденсаторі.

Вираз (26) для частоти коливань зрозуміло, можна було написати відразу, оскільки в контурі, що розглядається, конденсатори з'єднані послідовно. Однак написати вирази (34) безпосередньо важко, так як за таких початкових умов не можна конденсатори, що входять в контур, замінити одним еквівалентним.

Наочне уявлення про процеси, що тут відбуваються, дає механічний аналог даного електричного ланцюга, показаний на рис. 163. Однакові пружини відповідають випадку конденсаторів однакової ємності. У початковий момент ліва пружина стиснута, що відповідає зарядженому конденсатору, а права знаходиться в недеформованому стані, оскільки аналогом заряду конденсатора тут служить ступінь деформації пружини. При проходженні через середнє положення обидві пружини частково стиснуті, а в крайньому правому положенні ліва пружина недеформована, а права стиснута так само, як ліва у початковий момент, що відповідає повному перетіканню заряду з одного конденсатора на інший. Хоча куля здійснює нормальні гармонійні коливання біля положення рівноваги, деформація кожної з пружин описується функцією, середнє значення якої відрізняється від нуля.

На відміну від коливального контуру з одним конденсатором, де при коливаннях відбувається повторювана його полпая перезарядка, у розглянутій системі спочатку заряджений конденсатор повністю не перезаряджається. Наприклад, за його заряд зменшується до нуля, а потім знову відновлюється в тій же полярності. В іншому ці коливання не відрізняються від гармонійних коливань у звичайному контурі. Енергія цих коливань зберігається, якщо, зрозуміло, можна знехтувати опором котушки та сполучних проводів.

Поясніть, чому зі зіставлення формул (1) і (2) для механічної та електромагнітної енергій зроблено висновок про те, що аналогом жорсткості є а аналогом маси індуктивність а не навпаки.

Наведіть обґрунтування виведення виразу (4) для власної частоти електромагнітних коливань у контурі з аналогії з механічним пружинним осцилятором.

Гармонічні коливання в контурі характеризуються амплітудою, частотою, періодом, фазою коливань, початковою фазою. Які з цих величин визначаються властивостями самого коливального контуру, які залежать від способу порушення коливань?

Доведіть, що середні значення електричної та магнітної енергій при власних коливаннях у контурі рівні між собою та становлять половину повної електромагнітної енергії коливань.

Як застосувати закони квазістаціонарних явищ в електричному ланцюзі для виведення диференціального рівняння (12) гармонійних коливань у контурі?

Яке диференціальне рівняння задовольняє сила струму в LC-контурі?

Проведіть висновок рівняння для швидкості зменшення енергії коливань при малому згасанні аналогічно тому, як це було зроблено для механічного осцилятора з тертям, пропорційним швидкості, і покажіть, що для проміжків часу, що значно перевершують період коливань, це спадання відбувається за експоненційним законом. Який сенс має використаний термін «мале згасання»?

Покажіть, що функція, що дається формулою (21), задовольняє рівнянню (16) за будь-яких значень і а.

Розгляньте механічну систему, показану на рис. 163 і знайдіть залежність від часу деформації лівої пружини і швидкості масивного тіла.

Контур без опору з неминучими втратами.У розглянутій вище задачі, незважаючи на не зовсім звичайні початкові умови для зарядів на конденсаторах, можна було застосувати звичайні рівняння для електричних ланцюгів, оскільки там були виконані умови квазістаціонарності процесів, що протікають. А ось у ланцюгу, схема якого показана на рис. 164 при формальному зовнішньому подібності зі схемою на рис. 162 умови квазістаціонарності не виконуються, якщо в початковий момент один конденсатор заряджений, а другий - ні.

Докладніше обговоримо причини, з яких тут порушуються умови квазістаціонарності. Одразу після замикання

Рис. 164. Електричний ланцюг, для якого не виконуються умови квазістаціонарності

ключа всі процеси розігруються тільки в з'єднаних між собою конденсаторах, так як наростання струму через котушку індуктивності відбувається порівняно повільно і спочатку відгалуженням струму в котушку можна знехтувати.

При замиканні ключа виникають швидкі затухаючі коливання в контурі, що складається з конденсаторів і проводів, що з'єднують їх. Період таких коливань дуже малий, оскільки мала індуктивність сполучних дротів. Внаслідок цих коливань заряд на пластинах конденсаторів перерозподіляється, після чого два конденсатори можна розглядати як один. Але в перший момент цього робити не можна, бо разом із перерозподілом зарядів відбувається і перерозподіл енергії, частина якої переходить у теплоту.

Після згасання швидких коливань в системі відбуваються коливання, як у контурі з одним конденсатором ємності, заряд якого в початковий момент дорівнює початковому заряду конденсатора.

Як і в розглянутому завданні, корисно тут знайти механічну аналогію. Якщо там дві пружини, що відповідають конденсаторам, були розташовані по обидва боки масивного тіла, то тут вони повинні бути розташовані по один бік від нього, так щоб коливання однієї з них могли передаватися іншій при нерухомому тілі. Замість двох пружин можна взяти одну, але тільки в початковий момент вона має бути деформована неоднорідно.

Друга половина пружини залишиться в недеформованому стані, так що вантаж у початковий момент зміщений із положення рівноваги вправо на відстань і спочиває. Потім відпустимо пружину. До яких особливостей призведе та обставина, що у початковий момент пружина деформована неоднорідно? бо, як неважко збагнути, жорсткість «половини» пружини дорівнює Якщо маса пружини мала в порівнянні з масою кулі, частота власних коливань пружини як протяжної системи набагато більша за частоту коливань кулі на пружині. Ці «швидкі» коливання загаснуть за час, що становить малу частку періоду коливань кулі. Після згасання швидких коливань натяг у пружині перерозподіляється, а зміщення вантажу практично залишається рівним, оскільки вантаж за цей час не встигає помітно зрушити. Деформація пружини стає однорідною, а енергія системи дорівнює

Отже, роль швидких коливань пружини звелася до того що, що запас енергії системи зменшився до значення, що відповідає однорідної початкової деформації пружини. Зрозуміло, що подальші процеси у системі не відрізняються від випадку однорідної початкової деформації. Залежність зміщення вантажу іноді виражається тією ж формулою (36).

У розглянутому прикладі в результаті швидких коливань перетворилася на внутрішню енергію(В теплоту) половина первинного запасу механічної енергії. Ясно, що, піддаючи початковій деформації не половину, а довільну частину пружини, можна перетворити на внутрішню енергію будь-яку частку первинного запасу механічної енергії. Але у всіх випадках енергія коливань вантажу на пружині відповідає запасу енергії за тієї ж однорідної початкової деформації пружини.

В електричному ланцюзі в результаті швидких коливань, що загасають, енергія зарядженого конденсатора частково виділяється у вигляді джоулевої теплоти в сполучних проводах. При рівних ємностях це половина первісного запасу енергії. Друга половина залишається у формі енергії порівняно повільних електромагнітних коливань у контурі, що складається з котушки і двох з'єднаних паралельно конденсаторів,

Отже, у системі принципово неприпустима ідеалізація, коли він нехтується диссипацією енергії коливань. Причина цього в тому, що тут можливі швидкі коливання, що не торкаються котушки індуктивності або масивного тіла в аналогічній механічній системі.

Коливальний контур із нелінійними елементами.Під час вивчення механічних коливань ми бачили, що коливання які завжди бувають гармонійними. Гармонічні коливання – це характерна властивість лінійних систем, в яких

повертає сила пропорційна відхилення від положення рівноваги, а потенційна енергія - квадрат відхилення. Реальні механічні системи цими властивостями, як правило, не володіють, і коливання в них можна вважати гармонійними лише за малих відхилень від положення рівноваги.

Що стосується електромагнітних коливань у контурі може скластися враження, що маємо справу з ідеальними системами, у яких коливання суворо гармонійні. Однак це вірно лише доти, поки ємність конденсатора та індуктивність котушки можна вважати постійними, тобто не залежними від заряду та струму. Конденсатор з діелектриком і котушка з сердечником, строго кажучи, є нелінійними елементами. Коли конденсатор заповнений сегнетоэлектриком, т. е. речовиною, діелектрична проникність якого залежить від прикладеного електричного поля, ємність конденсатора не можна вважати постійної. Аналогічно, індуктивність котушки з феромагнітним сердечником залежить від сили струму, оскільки феромагнетик має властивість магнітного насичення.

Якщо в механічних коливальних системах масу, як правило, можна вважати постійною і нелінійність виникає тільки через нелінійний характер чинної сили, то в електромагнітному коливальному контурі нелінійність може виникати як за рахунок конденсатора (аналогу пружної пружини), так і за рахунок котушки індуктивності ( аналога маси).

Чому для коливального контуру з двома паралельними конденсаторами (рис. 164) не застосовується ідеалізація, у якій система вважається консервативною?

Чому швидкі коливання, що призводять до дисипації енергії коливань у контурі на рис. 164 не виникали в контурі з двома послідовними конденсаторами, показаними на рис. 162?

Які причини можуть призводити до несинусоїдності електромагнітних коливань у контурі?

Електричний коливальний контур це система для збудження та підтримки електромагнітних коливань. У найпростішому вигляді це ланцюг, що складається з включених послідовно котушки індуктивністю L, конденсатора ємністю і резистора опором R (рис.129). Коли перемикач П встановлений у положенні 1, відбувається зарядка конденсатора до напруги U т. При цьому між пластинами конденсатора утворюється електричне поле, максимальна енергія якого дорівнює

При переведенні перемикача в положення 2 контур замикається і протікають в ньому наступні процеси. Конденсатор починає розряджатися і по ланцюгу піде струм i, величина якого зростає від нуля до максимального значення , а потім знову зменшується до нуля. Так як в ланцюзі протікає змінний за величиною струм, то в котушці індукується ЕРС, яка перешкоджає розрядження конденсатора. Тому процес розряджання конденсатора відбувається не миттєво, а поступово. Внаслідок появи струму в котушці виникає магнітне поле, енергія якого
досягає максимального значення при струмі рівному . Максимальна енергія магнітного поля дорівнюватиме

Після досягнення максимального значення струм у контурі почне спадати. При цьому відбуватиметься перезаряджання конденсатора, енергія магнітного поля в котушці зменшуватиметься, а енергія електричного поля в конденсаторі зростатиме. Після досягнення максимального значення. Процес почне повторюватися і в контурі відбуваються коливання електричного та магнітного полів. Якщо вважати, що опір
(тобто енергія на нагрівання не витрачається), то згідно із законом збереження енергії повна енергія Wзалишається постійною

і
;
.

Контур, у якому немає втрат енергії, називається ідеальним. Напруга та струм у контурі змінюються за гармонічним законом

;

де - кругова (циклічна) частота коливань
.

Кругова частота пов'язана із частотою коливань та періодам коливань Т співвідношенні.

Н а рис. 130 представлені графіки зміни напруги U і струму I в котушці ідеального коливального контуру. Видно, що сила струму відстає по фазі від напруги .

;
;
- Формула Томсона.

У тому випадку, коли опір
, формула Томсона набуває вигляду

.

Основи теорії Максвелла

Теорією Максвелла називається теорія єдиного електромагнітного поля, створюваного довільною системою зарядів та струмів. Теоретично вирішується основне завдання електродинаміки – по заданому розподілу зарядів і струмів знаходяться характеристики створюваних ними електричного і магнітного полів. Теорія Максвелла є узагальненням найважливіших законів, що описують електричні та електромагнітні явища – теореми Остроградського-Гауса для електричного та магнітного полів, закону повного струму, закону електромагнітної індукціїта теореми про циркуляцію вектора напруженості електричного поля Теорія Максвелла має феноменологічний характер, тобто. в ній не розглядаються внутрішній механізм явищ, що відбуваються в середовищі та викликають появуелектричного та магнітного полів. У теорії Максвелла середовище описується за допомогою трьох характеристик – діелектричної ε та магнітної μ проникностями середовища та питомою електропровідністю γ.

Під електричними коливаннями розуміють періодичні зміни заряду, сили струму та напруги. Найпростіша система, в якій можливі вільні електричні коливання - це так званий коливальний контур. Це пристрій, що складається із з'єднаних між собою конденсатора та котушки. Вважатимемо, що активний опір котушки відсутній, у цьому випадку контур називають ідеальним. При повідомленні цієї системи енергії в ній відбуватимуться незатухаючі гармонічні коливання заряду на конденсаторі, напруги та струму.

Повідомити коливальному контуру енергію можна різними способами. Наприклад, зарядивши конденсатор від джерела постійного струмуабо збудивши струм у котушці індуктивності. У першому випадку енергія має електричне поле між обкладками конденсатора. У другому, енергія укладена в магнітному полі струму, що тече ланцюга.

§1 Рівняння коливань у контурі

Доведемо, що з повідомленні контуру енергії у ньому відбуватимуться незатухаючі гармонічні коливання. Для цього необхідно отримати диференціальне рівняння гармонійних коливань виду.

Допустимо, конденсатор зарядили і замкнули на котушку. Конденсатор почне розряджатися, по котушці потече струм. Відповідно до другого закону Кірхгофа сума падінь напруги вздовж замкнутого контуру дорівнює сумі ЕРС у цьому контурі .

У нашому випадку падіння напруги, оскільки контур ідеальний. Конденсатор в ланцюзі веде себе як джерело струму, як ЕРС виступає різницю потенціалів між обкладками конденсатора, де - заряд на конденсаторі, - електроємність конденсатора. Крім того, при протіканні через котушку струму, що змінюється, в ній виникає ЕРС самоіндукції, де - індуктивність котушки, - швидкість зміни струму в котушці. Оскільки ЕРС самоіндукції перешкоджає процесу розрядки конденсатора другий закон Кірхгофа набуває вигляду

Але струм у контурі – це струм розрядки чи зарядки конденсатора, отже . Тоді

Диференціальне рівняння перетворюється на вид

Ввівши позначення, отримаємо відоме нам диференціальне рівняння гармонійних коливань.

Це означає, що заряд на конденсаторі в коливальному контурі змінюватиметься за гармонічним законом

де – максимальне значення заряду на конденсаторі, – циклічна частота, – початкова фаза коливань.

Період коливань заряду . Цей вираз називається формули Томпсона.

Напруга на конденсаторі

Струм у ланцюгу

Бачимо, що крім заряду на конденсаторі за гармонічним законом змінюватимуть ще струм у контурі та напругу на конденсаторі. Напруга коливається в одній фазі із зарядом, а сила струму випереджає заряд по

фазі на .

Енергія електричного поля конденсатора

Енергія магнітного поля струму

Таким чином, енергії електричного та магнітного полів теж змінюються за гармонічним законом, але з подвоєною частотою.

Підведемо підсумок

Під електричними коливаннями слід розуміти періодичні зміни заряду, напруги, сил струму, енергії електричного поля, енергії магнітного поля. Ці коливання, як і механічні, можуть бути як вільними, так і вимушеними, гармонійними та негармонічними. Вільні гармонічні електричні коливання можливі в ідеальному коливальному контурі.

§2 Процеси, що відбуваються в коливальному контурі

Ми математично довели факт існування вільних гармонійних коливань у коливальному контурі. Проте залишається незрозумілим, чому такий процес можливий. Що є причиною виникнення коливань у контурі?

У разі вільних механічних коливань таку причину було знайдено – це внутрішня сила, що виникає при виведенні системи з положення рівноваги. Ця сила будь-якої миті спрямована на положення рівноваги і пропорційна координаті тіла (зі знаком «мінус»). Спробуємо знайти аналогічну причину виникнення коливань у коливальному контурі.

Нехай коливання в контурі збуджують зарядивши конденсатор і замкнувши його на котушку.

У початковий час заряд на конденсаторі максимальний. Отже, напруга та енергія електричного поля конденсатора також максимальні.

Струм у контурі відсутня, енергія магнітного поля струму дорівнює нулю.

Перша чверть періоду- Розрядження конденсатора.

Обкладки конденсатора, що мають різні потенціали, з'єднали провідником, тому конденсатор починає розряджатися через котушку. Заряд, напруга на конденсаторі та енергія електричного поля зменшуються.

Струм, що з'явився в ланцюзі, наростає, однак, його наростання перешкоджає ЕРС самоіндукції, що виникає в котушці. Енергія магнітного поля струму збільшується.

Пройшла чверть періоду– конденсатор розрядився.

Конденсатор розрядився, напруга на ньому стала рівною нулю. Енергія електричного поля в цей момент також дорівнює нулю. За законом збереження енергії зникнути вона могла. Енергія поля конденсатора повністю перейшла в енергію магнітного поля котушки, яка в цей момент досягає максимального значення. Максимальний струм у ланцюзі.

Здавалося б, у цей момент струм у ланцюзі повинен припинитися, бо зникла причина виникнення струму – електричне поле. Проте, зникнення струму знову таки перешкоджає ЕРС самоіндукції в котушці. Тепер вона буде підтримувати спадаючий струм, і він продовжуватиме текти в колишньому напрямку, заряджаючи конденсатор. Починається друга чверть періоду.

Друга чверть періоду - Перезаряджання конденсатора.

Струм, що підтримується ЕРС самоіндукції, продовжує текти у колишньому напрямку, поступово зменшуючись. Цей струм заряджає конденсатор у протилежній полярності. Заряд та напруга на конденсаторі збільшуються.

Енергія магнітного поля струму, спадаючи, перетворюється на енергію електричного поля конденсатора.

Пройшла друга чверть періоду – конденсатор перезарядився.

Конденсатор перезаряджається доти, доки існує струм. Тому в той момент, коли струм припиняється, заряд та напруга на конденсаторі набувають максимального значення.

Енергія магнітного поля на цей момент повністю перейшла в енергію електричного поля конденсатора.

Ситуація в контурі в цей момент еквівалентна вихідній. Процеси в контурі повторяться, але у зворотному напрямку. Одне повне коливання в контурі, що триває протягом періоду, закінчиться, коли система повернеться у вихідний стан, тобто, коли конденсатор перезарядиться в початковій полярності.

Неважко бачити, що причиною виникнення коливань у контурі є явище самоіндукції. ЕРС самоіндукції перешкоджає зміні струму: вона не дає йому миттєво наростати та миттєво зникати.

До речі, буде не зайвим зіставити висловлювання для розрахунку квазіпружної сили в механічній коливальній системі та ЕРС самоіндукції в контурі:

Раніше були отримані диференціальні рівняння для механічної та електричної коливальної систем:

Незважаючи на принципові відмінності фізичних процесівдо механічних та електричних коливальних системах, явно проглядається математична тотожність рівнянь, що описують процеси у цих системах. Про це слід поговорити докладніше.

§3 Аналогія між електричними та механічними коливаннями

Уважний аналіз диференціальних рівнянь для пружинного маятника і коливального контуру, а також формул, що зв'язують величини, що характеризують процеси в цих системах, дозволяє виявити, які величини поводяться однаково (таблиця 2).

Пружинний маятник	Коливальний контур
Координата тіла ()	Заряд на конденсаторі ()
Швидкість тіла	Сила струму в контурі
Потенційна енергія пружно деформованої пружини	Енергія електричного поля конденсатора
Кінетична енергія вантажу	Енергія магнітного поля котушки зі струмом
Величина, зворотна до жорсткості пружини	Ємність конденсатора
Маса вантажу	Індуктивність котушки
Сила пружності	ЕРС самоіндукції, що дорівнює напрузі на конденсаторі

Таблиця 2

Важливо не просто формальну схожість між величинами, що описують процеси коливання маятника та процеси в контурі. Тотожні самі процеси!

Крайні положення маятника еквівалентні стану контуру, коли заряд на конденсаторі максимальний.

Положення рівноваги маятника еквівалентне стану контуру, коли конденсатор розряджений. У цей момент сила пружності перетворюється на нуль, а в контурі відсутня напруга на конденсаторі. Швидкість маятника та сила струму в контурі максимальні. Потенційна енергія пружної деформації пружини та енергія електричного поля конденсатора дорівнюють нулю. Енергія системи складається з кінетичної енергії вантажу або енергії магнітного поля струму.

Розрядка конденсатора протікає аналогічно до руху маятника з крайнього становищау положення рівноваги. Процес перезарядки конденсатора тотожний процесу видалення вантажу з положення рівноваги крайнє положення.

Повна енергія коливальної системи або залишається незмінною з часом.

Подібна аналогія може бути простежена не тільки між пружинним маятником та коливальним контуром. Загальні закономірності вільних коливань будь-якої природи! Ці закономірності, проілюстровані на прикладі двох коливальних систем (пружинному маятнику та коливальному контурі) не просто можна, а треба бачити у коливаннях будь-якої системи.

В принципі, можна вирішити задачу про будь-який коливальний процес, замінивши його коливаннями мятника. Для цього досить грамотно побудувати еквівалентну механічну систему, вирішити механічне завдання та провести заміну величин в остаточному результаті. Наприклад, потрібно знайти період коливань у контурі, що містить конденсатор та дві котушки, з'єднані паралельно.

Коливальний контур містить один конденсатор та дві котушки. Оскільки котушка поводиться як вантаж пружинного маятника, а конденсатор як пружина, то еквівалентна механічна система повинна містити одну пружину та два вантажі. Вся проблема у тому, як вантажі прикріплені до пружини. Можливі два випадки: один кінець пружини закріплений, а до вільного кінця прикріплений один вантаж, другий знаходиться на першому або вантажі прикріплені до різних кінців пружини.

При паралельному з'єднаннікотушок різної індуктивності струми по них течуть різні. Отже, швидкості вантажів у тотожній механічній системі теж мають бути різними. Очевидно, це можливо лише у другому випадку.

Період цієї коливальної системи вже знайдено. Він дорівнює . Замінюючи маси вантажів на індуктивності котушок, а величину, обернену до жорсткості пружини, на ємність конденсатора, отримуємо .

§4 Коливальний контур із джерелом постійного струму

Розглянемо коливальний контур, що містить джерело постійного струму. Нехай конденсатор спочатку не заряджений. Що відбуватиметься у системі після замикання ключа К? Чи будуть у цьому випадку спостерігатися коливання та яка їх частота та амплітуда?

Очевидно, що після замикання ключа конденсатор почне заряджатися. Записуємо другий закон Кірхгофа:

Струм у контурі – це струм зарядки конденсатора, отже . Тоді. Диференціальне рівняння перетворюється на вид

*Вирішуємо рівняння заміною змінних.

Позначимо. Диференціюємо двічі і з огляду на те, що , отримуємо . Диференціальне рівняння набуває вигляду

Це диференціальне рівняння гармонійних коливань, його вирішенням є функція

де - циклічна частота, константи інтегрування і з початкових умов.

Заряд на конденсаторі змінюється за законом

Відразу після замикання ключа заряд на конденсаторі дорівнює нулюі струм у контурі відсутній . З урахуванням початкових умов отримуємо систему рівнянь:

Вирішуючи систему, отримуємо та . Після замикання ключа заряд на конденсаторі змінюється за законом.

Неважко бачити, що у контурі відбуваються гармонійні коливання. Наявність у контурі джерела постійного струму не вплинула частоту коливань, вона залишилася рівною . Змінилося «становище рівноваги» - у той момент, коли струм у ланцюгу максимальний, конденсатор заряджений. Амплітуда коливань заряду на конденсаторі дорівнює Cε.

Цей результат можна отримати простіше, використовуючи аналогію між коливаннями в контурі і коливаннями пружинного маятника. Джерело постійного струму еквівалентне постійному силовому полю, в яке поміщений пружинний маятник, наприклад, поля тяжіння. Відсутність заряду на конденсаторі в момент замикання ланцюга тотожно відсутності деформації пружини в момент приведення маятника в коливальний рух.

У постійному силовому полі період коливань пружинного маятника не змінюється. Період коливань у контурі поводиться так само - він залишається незмінним при введенні в контур джерела постійного струму.

У положенні рівноваги, коли швидкість вантажу максимальна, пружина деформована:

Коли струм у коливальному контурі максимальний . Другий закон Кірхгофа запишеться так

У цей момент заряд на конденсаторі дорівнює Цей результат можна було отримати на підставі виразу (*), виконавши заміну

§5 Приклади розв'язання задач

Завдання 1Закон збереження енергії

L= 0,5 мкГн та конденсатора ємністю З= 20 пФ відбуваються електричні коливання. Чому максимальна напруга на конденсаторі дорівнює, якщо амплітуда струму в контурі 1 мА? Активний опір котушки дуже мало.

Рішення:

(1)

2 В той момент, коли напруга на конденсаторі максимальна (максимальний заряд на конденсаторі), струм у ланцюзі відсутній. Повна енергія системи складається лише з енергії електричного поля конденсатора

(2)

3 У момент, коли струм у ланцюгу максимальний, конденсатор повністю розряджений. Повна енергія системи складається лише з енергії магнітного поля котушки

(3)

4 На підставі виразів (1), (2), (3) отримуємо рівність . Максимальна напруга на конденсаторі дорівнює

Завдання 2Закон збереження енергії

У коливальному контурі, що складається з котушки індуктивністю Lта конденсатора ємністю З,відбуваються електричні коливання із періодом Т = 1 мкс. Максимальне значення заряду . Чому дорівнює струм у контурі в той момент, коли заряд на конденсаторі дорівнює? Активний опір котушки дуже мало.

Рішення:

1 Оскільки активний опір котушки можна знехтувати, повна енергія системи, що складається з енергії електричного поля конденсатора та енергії магнітного поля котушки, залишається незмінною з часом:

(1)

2 В той момент, коли заряд на конденсаторі максимальний, струм у ланцюзі відсутній. Повна енергія системи складається лише з енергії електричного поля конденсатора

(2)

3 На підставі (1) та (2) отримуємо рівність . Струм у контурі дорівнює .

4 Період коливань у контурі визначається формулою Томсона. Звідси. Тоді для струму в контурі отримуємо

Завдання 3Коливальний контур із двома паралельно з'єднаними конденсаторами

У коливальному контурі, що складається з котушки індуктивністю Lта конденсатора ємністю З,відбуваються електричні коливання з амплітудою заряду. Коли заряд на конденсаторі максимальний, замикають ключ К. Яким стане період коливань у контурі після замикання ключа? Чому дорівнює амплітуда струму в контурі після замикання ключа? Омічним опором контуру знехтувати.

Рішення:

1 Замикання ключа призводить до появи в контурі ще одного конденсатора, підключеного паралельно до першого. Загальна ємність двох паралельно з'єднаних конденсаторів дорівнює.

Період коливань у контурі залежить тільки від його параметрів і не залежить від того, як у системі порушили коливання та яку енергію надали системі для цього. Відповідно до формули Томсона.

2 Для знаходження амплітуди струму з'ясуємо, які процеси відбуваються у контурі після замикання ключа.

Другий конденсатор підключили в той момент, коли заряд на першому конденсаторі був максимальний, отже струм у контурі був відсутній.

Контурний конденсатор повинен почати розряджатися. Струм розрядки, дійшовши до вузла, повинен розділитися на дві частини. Однак, у галузі з котушкою, виникає ЕРС самоіндукції, що перешкоджає наростанню струму розрядки. Тому весь струм розрядки потече у гілку з конденсатором, омічний опір якої дорівнює нулю. Струм припиниться, як тільки зрівняються напруги на конденсаторах, при цьому початковий заряд конденсатора перерозподілиться між двома конденсаторами. Час перерозподілу заряду між двома конденсаторами мізерно мало внаслідок відсутності омічного опору у гілках із конденсаторами. За цей час струм у галузі з котушкою виникнути не встигне. Коливання в новій системіпродовжаться вже після перерозподілу заряду між конденсаторами.

Важливо зрозуміти, що у процесі перерозподілу заряду між двома конденсаторами енергія системи не зберігається! До замикання ключа енергією володів один конденсатор, контурний:

Після перерозподілу заряду енергією має батарея конденсаторів:

Неважко бачити, що енергія системи зменшилась!

3 Нову амплітуду струму знайдемо, скориставшись законом збереження енергії. У процесі коливань енергія батареї конденсаторів перетворюється на енергію магнітного поля струму:

Зверніть увагу, що закон збереження енергії починає «працювати» тільки після завершення перерозподілу заряду між конденсаторами.

Завдання 4Коливальний контур із двома послідовно з'єднаними конденсаторами

Коливальний контур складається з котушки індуктивністю L та двох послідовно з'єднаних конденсаторів С та 4С. Конденсатор ємністю З заряджений до напруги конденсатор ємністю 4С не заряджений. Після замикання ключа у контурі починаються коливання. Чому дорівнює період цих коливань? Визначте амплітуду струму, максимальне та мінімальне значення напруги на кожному конденсаторі.

Рішення:

1 У момент, коли струм у ланцюгу максимальний, ЕРС самоіндукції в котушці відсутня . Записуємо для цього моменту другий закон Кірхгофа

Бачимо, що в той момент, коли струм у контурі максимальний, конденсатори заряджені до однакової напруги, але в протилежній полярності:

2 До замикання ключа повна енергія системи складалася тільки з енергії електричного поля конденсатора:

У момент, коли струм у ланцюгу максимальний, енергія системи складається з енергії магнітного поля струму та енергії двох заряджених до однакової напруги конденсаторів:

Відповідно до закону збереження енергії

Для знаходження напруги на конденсаторах скористаємося законом збереження заряду – заряд нижньої обкладки конденсатора С частково перейшов на верхню обкладку конденсатора 4С:

Підставляємо знайдене значення напруги в закон збереження енергії та знаходимо амплітуду струму в контурі:

3 Знайдемо, у яких межах змінюється напруга на конденсаторах у процесі коливань.

Зрозуміло, що в момент замикання ланцюга на конденсаторі була максимальна напруга . Конденсатор 4С не був заряджений, отже, .

Після замикання ключа конденсатор починає розряджатися, а конденсатор ємністю 4С - заряджатися. Процес розрядки першого та зарядки другого конденсаторів закінчується, як тільки припиняється струм у ланцюгу. Це станеться через половину періоду. Відповідно до законів збереження енергії та електричного заряду:

Вирішуючи систему, знаходимо:

.

Знак «мінус» означає, що через півперіоду конденсатор ємності З заряджений у полярності, зворотній початковій.

Завдання 5Коливальний контур із двома послідовно з'єднаними котушками

Коливальний контур складається з конденсатора ємністю З і двох котушок індуктивністю L 1і L 2. У той момент, коли струм у контурі прийняв максимальне значення, в першу котушку швидко (порівняно з періодом коливань) вносять залізний сердечник, що призводило до збільшення її індуктивності в μ разів. Чому дорівнює амплітуда напруги у процесі подальших коливань у контурі?

Рішення:

1 При швидкому внесенні сердечника в котушку слід зберегти магнітний потік(Явлення електромагнітної індукції). Тому швидка зміна індуктивності однієї з котушок призведе до швидкої зміни струму в контурі.

2 За час внесення сердечника в котушку заряд на конденсаторі змінитися не встиг, він залишився незарядженим (сердечник вносили в той момент, коли струм ланцюга був максимальний). Через чверть періоду енергія магнітного поля струму перейде в енергію зарядженого конденсатора:

Підставляємо в отриманий вираз значення струму Iі знаходимо амплітуду напруги на конденсаторі:

Завдання 6Коливальний контур із двома паралельно з'єднаними котушками

Котушки індуктивності L 1 і L 2 підключені через ключі К1 і К2 до конденсатора ємністю С. У початковий момент обидва ключі розімкнуті, а конденсатор заряджений до різниці потенціалів. Спочатку замикають ключ К1 і коли напруга на конденсаторі стане рівним нулю, замикають К2. Визначте максимальну напругу на конденсаторі після замикання К2. Опір котушок знехтувати.

Рішення:

1 При розімкнутому ключі К2 у контурі, що складається з конденсатора та першої котушки, відбуваються коливання. На момент замикання К2 енергія конденсатора перейшла в енергію магнітного поля струму в першій котушці:

2 Після замикання К2 у коливальному контурі виявляються дві котушки, з'єднані паралельно.

Струм у першій котушці не може припинитися внаслідок явища самоіндукції. У вузлі він ділиться: одна частина струму йде в другу котушку, а інша заряджає конденсатор.

3 Напруга на конденсаторі стане максимальною, коли припиниться струм I, що заряджає конденсатор. Очевидно, що в цей момент струми в котушках зрівняються.

: На вантажі діють однакові за модулем сили – обидва вантажі прикріплені до пружини Відразу після замикання К2 у першій котушці існував струм Спочатку перший вантаж мав швидкість Відразу після замикання К2 струм у другій котушці був відсутній У початковий момент другий вантаж спочивав Яким є максимальне значення напруги на конденсаторі? Чому дорівнює максимальна сила пружності, що виникає у пружині в процесі коливань?

Маятник рухається поступово зі швидкістю центру мас і здійснює коливання щодо центру мас.

Сила пружності максимальна на момент максимальної деформації пружини. Очевидно, в цей момент відносна швидкість вантажів дорівнює нулю, а щодо столу вантажі рухаються зі швидкістю центру мас. Записуємо закон збереження енергії:

Вирішуючи систему, знаходимо

Виробляємо заміну

і отримуємо для максимальної напругизнайдене раніше значення

§6 Завдання для самостійного вирішення

Вправа1 Розрахунок періоду та частоти власних коливань

1 В коливальний контур входять котушка змінної індуктивності, що змінюється в межах L 1= 0,5 мкГн до L 2= 10 мкГн, та конденсатор, ємність якого може змінюватися в межах від З 1= 10 пФ до

З 2=500 пФ. Який діапазон частот можна охопити налаштуванням цього контуру?

2 У скільки разів зміниться частота власних коливань у контурі, якщо його індуктивність збільшити у 10 разів, а ємність зменшити у 2,5 рази?

3 Коливальний контур із конденсатором ємність 1 мкФ налаштований на частоту 400 Гц. Якщо підключити до нього паралельно другий конденсатор, то частота коливань у контурі дорівнює 200 Гц. Визначте ємність другого конденсатора.

4 Коливальний контур складається з котушки та конденсатора. У скільки разів зміниться частота власних коливань у контурі, якщо в контур послідовно включити другий конденсатор, ємність якого втричі менша за ємність першого?

5 Визначте період коливань контуру, до складу якого входить котушка (без осердя) довжини в= 50 см м площі поперечного перерізу

S= 3 см 2 , що має N= 1000 витків, і конденсатора ємності З= 0,5 мкф.

6 До складу коливального контуру входить котушка індуктивності L= 1,0 мкГн та повітряний конденсатор, площі пластин якого S= 100 см 2 . Контур настроєно на частоту 30 МГц. Визначте відстань між пластинами. Активний опір контуру дуже мало.

ЕЛЕКТРОМАГНІТНІ КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ

§1 Коливальний контур.

Власні коливання у коливальному контурі.

Формула Томсон.

Затухаючі та вимушені коливання в к.к.

1. Вільні коливання в к.к.

Коливальним контуром (к.к.) називається ланцюг, що складається з конденсатора та котушки індуктивності. За певних умов у к.к. можуть виникнути електромагнітні коливання заряду, струму, напруги та енергії.

Розглянемо ланцюг, показаний на рис.2. Якщо поставити ключ у положення 1, буде відбуватися заряд конденсатора і на його обкладках з'явиться зарядQта напруга U C. Якщо потім перевести ключ у положення 2, то конденсатор почне розряджатися, в ланцюзі потече струм, при цьому енергія електричного поля, укладеного між обкладинками конденсатора, перетворюватиметься на енергію магнітного поля, зосереджену в котушці індуктивностіL. Наявність котушки індуктивності призводить до того, що струм в ланцюзі збільшується не миттєво, а поступово через явища самоіндукції. У міру розряду конденсатора заряд на його обкладках зменшуватиметься, струм у ланцюгу збільшуватиметься. Максимального значення контурний струм досягне заряду на обкладках рівному нулі. З цього моменту контурний струм почне зменшуватися, але, завдяки явищу самоіндукції, підтримуватиметься магнітним полем котушки індуктивності, тобто. за повного розряду конденсатора енергія магнітного поля, запасеного в котушці індуктивності, почне переходити в енергію електричного поля. Через контурний струм почнеться перезаряд конденсатора і на його обкладках почне накопичуватися заряд протилежний початковому. Перезаряд конденсатора буде відбуватися доти, доки вся енергія магнітного поля котушки індуктивності не перейде в енергію електричного поля конденсатора. Потім процес повториться у зворотному напрямку, і, таким чином, ланцюги виникнуть електромагнітні коливання.

Запишемо 2-й закон Кірхгофа для аналізованого к.к,

Диференціальне рівняння к.к.

Ми отримали диференціальне рівняння коливань заряду к.к. Це рівняння аналогічне диференційного рівняння, що описує рух тіла під дією квазіпружної сили. Отже, аналогічно буде записуватись і вирішення цього рівняння

Рівняння коливань заряду в к.к.

Рівняння коливань напруги на обкладках конденсатора к.к.

Рівняння коливань струму к.к.

1. Загасні коливання в к.к.

Розглянемо к.к., що містить ємність, індуктивність та опір. 2-й закон Кірхгофа у разі запишеться як

- коефіцієнт загасання,

Власна циклічна частота.

- - диференціальне рівняння загасаючих коливань у к.к.

Рівняння загасаючих коливань заряду в к.к.

Закон зміни амплітуди заряду при загасаючих коливаннях к.к.;

Період загасаючих коливань.

Декремент згасання.

- логарифмічний декремент згасання.

Добротність контуру.

Якщо згасання слабке, тоді Т ≈Т 0

Досліджуємо зміну напруги на обкладинках конденсатора.

Зміна струму відрізняється фазою на φ від напруги.

при - можливі загасні коливання,

при - критичне становище

при , тобто. R > RДо- коливання не виникають (аперіодичний розряд конденсатора).

• Електромагнітні коливання– це періодичні зміни з часом електричних та магнітних величинв електричному ланцюзі.

• Вільниминазиваються такі вагання, які виникають у замкнутій системі внаслідок відхилення цієї системи стану стійкого рівноваги.

При коливання відбувається безперервний процес перетворення енергії системи з однієї форми в іншу. У разі коливань електромагнітного поляобмін може йти лише між електричною та магнітною складовою цього поля. Найпростішою системою, де може відбуватися цей процес, є коливальний контур.

• Ідеальний коливальний контур (LC-контур) - електричний ланцюг, що складається з котушки індуктивністю Lта конденсатора ємністю C.

На відміну від реального коливального контуру, який має електричний опір R, електричний опірідеального контуру завжди дорівнює нулю. Отже, ідеальний коливальний контур є спрощеною моделлю реального контуру.

На малюнку 1 зображено схему ідеального коливального контуру.

Енергії контуру

Повна енергія коливального контуру

\(W=W_(e) + W_(m), \; \;\;W_(e) =\dfrac(C\cdot u^(2) )(2) = \dfrac(q^(2) ) (2C), \;\;\;W_(m) =\dfrac(L\cdot i^(2))(2),\)

Де W e- енергія електричного поля коливального контуру Наразічасу, З- електроємність конденсатора, u- значення напруги на конденсаторі на даний момент часу, q- значення заряду конденсатора на даний момент часу, W m- енергія магнітного поля коливального контуру на даний момент часу, L- індуктивність котушки, iзначення сили струму в котушці в даний момент часу.

Процеси в коливальному контурі

Розглянемо процеси, що виникають у коливальному контурі.

Для виведення контуру з рівноваги зарядимо конденсатор так, що на його обкладках буде заряд Q m(рис. 2, положення 1 ). З урахуванням рівняння \(U_(m)=\dfrac(Q_(m))(C)\) знаходимо значення напруги на конденсаторі. Струму в ланцюзі у цей час немає, тобто. i = 0.

Після замикання ключа під дією електричного поля конденсатора в ланцюзі з'явиться електричний струм, сила струму iякого збільшуватиметься з часом. Конденсатор тим часом почне розряджатися, т.к. електрони, що створюють струм, (Нагадую, що за напрямок струму прийнято напрямок руху позитивних зарядів) йдуть з негативної обкладки конденсатора і приходять на позитивну (див. рис. 2, положення 2 ). Разом із зарядом qзменшуватиметься і напруга u\(\left(u = \dfrac(q)(C) \right).\) При збільшенні сили струму через котушку виникне ЕРС самоіндукції, що перешкоджає зміні сили струму. Внаслідок цього сила струму в коливальному контурі зростатиме від нуля до деякого максимального значення не миттєво, а протягом деякого проміжку часу, що визначається індуктивністю котушки.

Заряд конденсатора qзменшується і в деякий момент часу стає рівним нулю ( q = 0, u= 0), сила струму в котушці досягне деякого значення I m(див. рис. 2, положення 3 ).

Без електричного поля конденсатора (і опору) електрони, що утворюють струм, продовжують свій рух за інерцією. При цьому електрони, що приходять на нейтральне обкладання конденсатора, повідомляють їй негативний заряд, електрони, що йдуть з нейтральної обкладки, повідомляють їй позитивний заряд. На конденсаторі починає з'являтись заряд q(і напруга u), але протилежного знака, тобто. конденсатор перезаряджається. Тепер нове електричне поле конденсатора перешкоджає руху електронів, тому сила струму iпочинає спадати (див. рис. 2, положення 4 ). Знову ж таки, це відбувається не миттєво, оскільки тепер ЕРС самоіндукції прагне компенсувати зменшення струму і «підтримує» його. А значення сили струму I m(У положенні 3 ) виявляється максимальним значенням сили струмуу контурі.

І знову під дією електричного поля конденсатора в ланцюзі з'явиться електричний струм, але спрямований у протилежний бік, сила струму iякого збільшуватиметься з часом. А конденсатор у цей час буде розряджатися (див. мал. 2, положення 6 ) до нуля (див. рис. 2, положення 7 ). І так далі.

Оскільки заряд на конденсаторі q(і напруга u) визначає його енергію електричного поля W e\(\left(W_(e)=\dfrac(q^(2))(2C)=\dfrac(C \cdot u^(2))(2) \right),\) а сила струму в котушці i- енергію магнітного поля Wm\(\left(W_(m)=\dfrac(L \cdot i^(2))(2) \right),\) то разом із змінами заряду, напруги та сили струму, будуть змінюватися і енергії.

Позначення у таблиці:

\(W_(e\, \max ) =\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot U_(m)^(2) )(2), \;\; W_(e\, 2) =\dfrac(q_(2)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(2)^(2) )(2), \; W_(e\, 4) =\dfrac(q_(4)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(4)^(2) )(2), \;\;\; W_(e\, 6) =\dfrac(q_(6)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(6)^(2) )(2),\)

\(W_(m\; \max ) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2), \;\;\;W_(m2) =\dfrac(L\cdot i_(2) )^(2) )(2), \;\;\;W_(m4) =\dfrac(L\cdot i_(4)^(2) )(2), \;\;\; =\dfrac(L\cdot i_(6)^(2) )(2).\)

Повна енергія ідеального коливального контуру зберігається з часом, оскільки в ньому втрата енергії (немає опору). Тоді

\(W=W_(e\, \max) = W_(m\, \max) = W_(e2) + W_(m2) = W_(e4) +W_(m4) = ...\)

Таким чином, в ідеальному LC-контурі відбуватимуться періодичні зміни значень сили струму i, заряду qта напруги u, причому повна енергія контуру при цьому залишатиметься постійною. І тут кажуть, що у контурі виникли вільні електромагнітні коливання.

• Вільні електромагнітні коливанняу контурі - це періодичні зміни заряду на обкладках конденсатора, сили струму та напруги в контурі, що відбуваються без споживання енергії від зовнішніх джерел.

Таким чином, виникнення вільних електромагнітних коливань у контурі обумовлено перезарядкою конденсатора та виникненням ЕРС самоіндукції в котушці, яка «забезпечує» цю перезарядку. Зауважимо, що заряд конденсатора qі сила струму в котушці iдосягають своїх максимальних значень Q mі I mу різні моменти часу.

Вільні електромагнітні коливання в контурі відбуваються за гармонічним законом:

\(q=Q_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \;\;\;u=U_(m) \cdot \cos \left(\) omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \;\;\;i=I_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(2) \right).\)

Найменший проміжок часу, протягом якого LC-Контур повертається у вихідний стан (до початкового значення заряду даної обкладки), називається періодом вільних (власних) електромагнітних коливань у контурі.

Період вільних електромагнітних коливань у LC-Контурі визначається за формулою Томсона:

\(T=2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C), \;\;\; \omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C)).\)

Сточки зору механічної аналогії, ідеальному коливальному контуру відповідає пружинний маятник без тертя, а реальному - з тертям. Внаслідок дії сил тертя коливання пружинного маятника згасають з часом.

* Висновок формули Томсона

Оскільки повна енергія ідеального LC-контуру, що дорівнює сумі енергій електростатичного поляконденсатора і магнітного поля котушки, що зберігається, то в будь-який момент часу справедлива рівність

\(W=\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2) =\dfrac(q^(2) )(2C ) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) =(\rm const).\)

Отримаємо рівняння коливань у LC-контурі, використовуючи закон збереження енергії Продиференціювавши вираз для його повної енергії за часом, з огляду на те, що

\(W"=0, \;\;\; q"=i, \;\;\; i"=q"",\)

отримуємо рівняння, що описує вільні коливання в ідеальному контурі:

\(\left(\dfrac(q^(2) )(2C) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) \right)^((") ) =\dfrac(q)(C ) \cdot q"+L\cdot i\cdot i" = \dfrac(q)(C) \cdot q"+L\cdot q"\cdot q""=0,\)

\(\dfrac(q)(C) +L\cdot q""=0,\; \; \; q""+\dfrac(1)(L\cdot C) \cdot q=0.\ )

Переписавши його у вигляді:

\(q""+\omega ^(2) \cdot q=0,\)

помічаємо, що це – рівняння гармонічних коливань із циклічною частотою

\(\omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C) ).\)

Відповідно період розглянутих коливань

\(T=\dfrac(2\pi )(\omega ) =2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C).\)

Література

1. Жилко, В.В. Фізика: навч. посібник для 11 класу загальноосвіт. шк. з русявий. яз. навчання/В.В. Жилко, Л.Г. Маркович. - Мінськ: Нар. Асвіта, 2009. – С. 39-43.