Найменше загальне кратне трьох чисел приклади. Знаходження найменшого загального кратного: способи, приклади знаходження НОК

Щоб зрозуміти, як обчислювати НОК, слід визначитися насамперед із значенням терміна "кратне".

Кратним числу А називають таке натуральне число, яке без залишку ділиться на А. Так, кратними числами 5 можна вважати 15, 20, 25 і так далі.

Дільників конкретного числа може бути обмежена кількість, а ось кратних безліч.

Загальне кратне натуральних чисел – число, яке ділиться на них без залишку.

Як знайти найменше загальне кратне чисел

Найменше загальне кратне (НОК) чисел (двох, трьох або більше) - це найменше натуральне число, яке ділиться на всі ці числа націло.

Щоб знайти НОК, можна використати кілька способів.

Для невеликих чисел зручно виписати у рядок усі кратні цих чисел доти, доки серед них не знайдеться загального. Кратні позначають у записі великою літерою До.

Наприклад, кратні числа 4 можна записати так:

До (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

До (6) = (12, 18, 24, ...)

Так, можна побачити, що найменшим загальним кратним чисел 4 і 6 є число 24. Цей запис виконують таким чином:

НОК (4, 6) = 24

Якщо числа великі, знайти загальне кратне трьох чи більше чисел, краще використовувати інший спосіб обчислення НОК.

Для виконання завдання необхідно розкласти пропоновані числа на прості множники.

Спочатку потрібно виписати в рядок розкладання найбільшого з чисел, а під ним - решту.

У розкладанні кожного числа може бути різна кількість множників.

Наприклад, розкладемо на прості множники числа 50 та 20.

У розкладанні меншого числа слід підкреслити множники, які відсутні в розкладанні першого найбільшого числа, а потім додати до нього. У наведеному прикладі не вистачає двійки.

Тепер можна вирахувати найменше загальне кратне 20 та 50.

НОК (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Так, добуток простих множників більшого числа та множників другого числа, які не увійшли до розкладання більшого, буде найменшим загальним кратним.

Щоб знайти НОК трьох чисел і більше, слід їх розкласти на прості множники, як і в попередньому випадку.

Як приклад можна знайти найменше загальне кратне чисел 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Так, у розкладання більшого числа на множники не увійшли лише дві двійки з розкладання шістнадцяти (одна є в розкладі двадцяти чотирьох).

Таким чином, їх потрібно додати до розкладання більшого числа.

НОК (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Існують окремі випадки визначення найменшого загального кратного. Так, якщо одне з чисел можна поділити без залишку на інше, то більше з цих чисел буде найменшим загальним кратним.

Наприклад, НОК дванадцяти та двадцяти чотирьох буде двадцять чотири.

Якщо потрібно знайти найменше загальне кратне взаємно простих чисел, які мають однакових дільників, їх НОК дорівнюватиме їх твору.

Наприклад, НОК (10, 11) = 110.

Розглянемо три способи знаходження найменшого загального кратного.

Знаходження шляхом розкладання на множники

Перший спосіб полягає у знаходженні найменшого загального кратного шляхом розкладання даних чисел на прості множники.

Допустимо, нам потрібно знайти НОК чисел: 99, 30 і 28. Для цього розкладемо кожне з цих чисел на прості множники:

Щоб число ділилося на 99, на 30 і на 28, необхідно і достатньо, щоб до нього входили всі прості множники цих дільників. Для цього нам необхідно взяти всі прості множники цих чисел найбільшою мірою, що зустрічається, і перемножити їх між собою:

2 2 · 3 2 · 5 · 7 · 11 = 13 860

Таким чином, НОК (99, 30, 28) = 13860. Ніяке інше число менше 13860 не ділиться націло на 99, на 30 і на 28.

Щоб знайти найменшу загальну кратність даних чисел, потрібно розкласти їх на прості множники, потім взяти кожен простий множник з найбільшим показником ступеня, з яким він зустрічається, і перемножити ці множники між собою.

Оскільки взаємно прості числа немає загальних простих множників, їх найменше загальне кратне і добутку цих чисел. Наприклад, три числа: 20, 49 та 33 – взаємно прості. Тому

НОК (20, 49, 33) = 20 · 49 · 33 = 32340.

Так само треба чинити, коли знаходиться найменше загальне кратне різних простих чисел. Наприклад, НОК (3, 7, 11) = 3 · 7 · 11 = 231.

Знаходження шляхом підбору

Другий спосіб полягає у знаходженні найменшого загального кратного шляхом підбору.

Приклад 1. Коли найбільше з цих чисел ділиться націло інші дані числа, то НОК цих чисел дорівнює більшому їх. Наприклад, дано чотири числа: 60, 30, 10 та 6. Кожне з них ділиться націло на 60, отже:

НОК (60, 30, 10, 6) = 60

В інших випадках, щоб знайти найменше загальне кратне, використовується наступний порядок дій:

Визначаємо найбільше з даних чисел.
Далі знаходимо числа, кратні максимальному числу, множачи його за натуральні числа порядку їх зростання і перевіряючи чи діляться на отриманий твір інші дані числа.

Приклад 2. Дано три числа 24, 3 та 18. Визначаємо найбільше з них - це число 24. Далі знаходимо числа кратні 24, перевіряючи чи ділиться кожне з них на 18 та на 3:

24 · 1 = 24 – ділиться на 3, але не ділиться на 18.

24 · 2 = 48 – ділиться на 3, але не ділиться на 18.

24 · 3 = 72 - ділиться на 3 та на 18.

Отже, НОК (24, 3, 18) = 72.

Знаходження шляхом послідовного знаходження НОК

Третій спосіб полягає у знаходженні найменшого загального кратного шляхом послідовного знаходження НОК.

НОК двох даних чисел дорівнює добутку цих чисел, поділеного з їхньої загальний дільник.

Приклад 1. Знайдемо НОК двох даних чисел: 12 та 8. Визначаємо їх найбільший спільний дільник: НОД (12, 8) = 4. Перемножуємо дані числа:

Ділимо твір на їхній НОД:

Отже, НОК (12, 8) = 24.

Щоб знайти НОК трьох чи більше чисел використовується наступний порядок дій:

Спочатку знаходять НОК якихось двох з цих чисел.
Потім НОК знайденого найменшого загального кратного і третього даного числа.
Потім, НОК отриманого найменшого загального кратного та четвертого числа тощо.
Таким чином, пошук НОК триває до тих пір, поки є числа.

Приклад 2. Знайдемо НОК трьох даних чисел: 12, 8 та 9. НОК чисел 12 та 8 ми вже знайшли у попередньому прикладі (це число 24). Залишилося знайти найменше загальне кратне числа 24 та третього даного числа - 9. Визначаємо їх найбільший спільний дільник: НОД (24, 9) = 3. Перемножуємо НОК з числом 9:

Ділимо твір на їхній НОД:

Отже, НОК (12, 8, 9) = 72.

Розглянемо рішення наступного завдання. Крок хлопчика становить 75 см, а крок дівчинки 60 см. Необхідно знайти найменшу відстань, на якій вони обидва зроблять за кількістю кроків.

Рішення.Весь шлях що пройдуть хлопці, повинен ділитися без залишку на 60 та на 70, тому що вони мають зробити кожну цілу кількість кроків. Інакше кажучи, у відповіді має бути число, кратне як 75 і 60.

Спочатку виписуватимемо всі кратні числа, для числа 75. Отримуємо:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Тепер випишемо числа, які будуть кратні 60. Отримуємо:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Тепер знаходимо числа, які є в обох рядах.

Загальними кратними числами будуть числа, 300, 600, і т.д.

Найменше їх, це число 300. Воно у разі буде називатися найменшим загальним кратним чисел 75 і 60.

Повертаючись до умови завдання, найменша відстань, на якій хлопці зроблять цілу кількість кроків, буде 300 см. Хлопчик пройде цей шлях за 4 кроки, а дівчинці потрібно зробити 5 кроків.

Визначення найменшого загального кратного

Найменшим загальним кратним двох натуральних чисел a та b називається найменше натуральне число, яке кратне як a, так і b.

Для того, щоб знайти найменше загальне кратне двох чисел, не обов'язково виписати підряд всі кратні для цих чисел.

Можна скористатися таким методом.

Як знайти найменше загальне кратне

Спочатку необхідно розкласти ці числа на прості множники.

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

Тепер випишемо всі множники які є в розкладанні першого числа (2,2,3,5) і додамо до нього всі множники, що відсутні, з розкладання другого числа (5).

Отримаємо у результаті ряд простих чисел: 2,2,3,5,5. Добуток цих чисел і буде найменшим загальним помножувачем для цих чисел. 2 * 2 * 3 * 5 * 5 = 300.

Загальна схема знаходження найменшого загального кратного

1. Розкласти числа на звичайні множники.
2. Виписати прості множники, які входять до складу одного з них.
3. Додати до цих множників усі ті, які є в розкладанні інших, але немає у вибраному.
4. Знайти добуток всіх виписаних співмножників.

Цей спосіб універсальний. З його допомогою можна знайти найменшу загальну кратність будь-якої кількості натуральних чисел.

Визначення.Найбільше натуральне число, яке діляться без залишку числа а і b, називають найбільшим спільним дільником (НДД)цих чисел.

Знайдемо найбільший спільний дільник чисел 24 та 35.
Дільниками 24 будуть числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а дільниками 35 будуть числа 1, 5, 7, 35.
Бачимо, що числа 24 та 35 мають лише один спільний дільник – число 1. Такі числа називають взаємно простими.

Визначення.Натуральні числа називають взаємно простими, Якщо їх найбільший спільний дільник (НД) дорівнює 1.

Найбільший спільний дільник (НД)можна знайти, не виписуючи всіх дільників цих чисел.

Розкладемо на множники числа 48 та 36, отримаємо:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
З множників, що входять до розкладання першого з цих чисел, викреслимо ті, які не входять до розкладання другого числа (тобто дві двійки).
Залишаються множники 2 * 2 * 3. Їх добуток дорівнює 12. Це число і є найбільшим спільним дільником чисел 48 і 36. Також знаходять найбільший загальний дільник трьох і більше чисел.

Щоб знайти найбільший спільний дільник

2) з множників, що входять до розкладання одного з цих чисел, викреслити ті, які не входять до розкладання інших чисел;
3) знайти виробництво множників, що залишилися.

Якщо всі дані числа діляться одне з них, це число і є найбільшим спільним дільникомданих чисел.
Наприклад, найбільшим загальним дільником чисел 15, 45, 75 і 180 буде число 15, тому що на нього діляться всі інші числа: 45, 75 і 180.

Найменше загальне кратне (НОК)

Визначення. Найменшим загальним кратним (НОК)натуральних чисел а і Ь називають найменше натуральне число, яке кратне і a, і b. Найменше загальне кратне (НОК) чисел 75 та 60 можна знайти і не виписуючи поспіль кратні цих чисел. Для цього розкладемо 75 та 60 на прості множники: 75 = 3*5*5, а 60 = 2*2*3*5.
Випишемо множники, що входять у розкладання першого з цих чисел, і додамо до них множники 2 і 2, що відсутні, з розкладання другого числа (тобто об'єднуємо множники).
Отримуємо п'ять множників 2*2*3*5*5, добуток яких дорівнює 300. Це число є найменшим загальним кратним чисел 75 та 60.

Також знаходять найменше загальне кратне для трьох і більше чисел.

Щоб знайти найменше спільне кратнекількох натуральних чисел, треба:
1) розкласти їх на прості множники;
2) виписати множники, що входять до розкладання одного з чисел;
3) додати до них множники, що відсутні, з розкладів інших чисел;
4) знайти добуток множників, що вийшли.

Зауважимо, що й одне з даних чисел ділиться на всі інші числа, це число і є найменшим загальним кратним даних чисел.
Наприклад, найменшим загальним кратним чисел 12, 15, 20 і 60 буде число 60, оскільки воно поділяється на всі дані числа.

Піфагор (VI ст. До н. Е..) І його учні вивчали питання про подільність чисел. Число, що дорівнює сумі всіх його дільників (без самого числа), вони називали досконалим числом. Наприклад, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) вчинені. Наступні досконалі числа - 496, 8128, 33550336. Піфагорійці знали тільки перші три досконалих числа. Четверте – 8128 – стало відомо у I ст. н. е. П'яте - 33550336 - було знайдено в XV ст. До 1983 було відомо вже 27 досконалих чисел. Але досі вчені не знають, чи є непарні досконалі числа, чи є найбільше досконале число.
Інтерес древніх математиків до простим числам пов'язані з тим, що будь-яке число або просте, або може бути представлене як твори простих чисел, т. е. прості числа - це хіба що цеглинки, у тому числі будуються інші натуральні числа.
Ви, напевно, звернули увагу, що прості числа у ряді натуральних чисел зустрічаються нерівномірно – в одних частинах ряду їх більше, в інших – менше. Але що далі ми просуваємось по числовому ряду, тим рідше зустрічаються прості числа. Виникає питання: чи існує останнє (найбільше) просте число? Давньогрецький математик Евклід (III ст. до н. е.) у своїй книзі «початку», що була протягом двох тисяч років основним підручником математики, довів, що простих чисел нескінченно багато, тобто за кожним простим числом є ще більше просте число.
Для відшукання простих чисел інший грецький математик того ж часу Ератосфен вигадав такий спосіб. Він записував всі числа від 1 до якогось числа, а потім викреслював одиницю, яка не є ні простим, ні складовим числом, потім викреслював через одне всі числа, що йдуть після 2 (числа, кратні 2, тобто 4, 6 , 8 і т. д.). Першим числом, що залишилося, після 2 було 3. Далі викреслювалися через два всі числа, що йдуть після 3 (числа, кратні 3, тобто 6, 9, 12 і т. д.). зрештою залишалися невикресленими лише прості числа.

Школярам задають чимало завдань з математики. Серед них дуже часто зустрічаються завдання з таким формулюванням: є два значення. Як знайти найменше загальне кратне для заданих чисел? Необхідно вміти виконувати такі завдання, оскільки набуті навички застосовують для роботи з дробами при різних знаменниках. У статті розберемо, як знайти НОК та основні поняття.

Перш ніж знайти відповідь на питання, як знаходити НОК, потрібно визначитися з терміном кратне. Найчастіше формулювання цього поняття звучить так: кратним деякому значенню А називають таке натуральне число, яке без залишку буде ділитися на А. Так, для 4 кратними будуть 8, 12, 16, 20 і так далі, до необхідної межі.

При цьому кількість дільників для конкретного значення може бути обмеженою, а кратних нескінченно багато. Також є така сама величина для натуральних значень. Це такий показник, який ділиться на них без залишку. Розібравшись із поняттям найменшого значення для певних показників, перейдемо до того, як його знаходити.

Знаходимо НОК

Найменше кратне двох або більше показників є найменшим натуральним числом, яке повністю поділяється на всі зазначені числа.

Існує кілька способів знайти таке значення, Розглянемо такі способи:

Якщо числа невеликі, то випишіть у рядок всі, що діляться на нього. Продовжуйте це робити, доки знайдеться серед них спільне. У запису їх позначають літерою К. Наприклад, для 4 і 3 найменшим кратним є 12.
Якщо це великі або потрібно знайти кратне для 3 і більше значень, тут слід скористатися іншою методикою, що передбачає розкладання чисел на прості множники. Спочатку розкладаєте найбільше із зазначених, потім усі інші. Кожна з них має свою кількість множників. Як приклад розкладемо 20 (2*2*5) та 50 (5*5*2). У меншого з них підкресліть множники та додайте до найбільшого. В результаті вийде 100, яке буде найменшим загальним кратним для вищеописаних чисел.
При знаходженні 3 чисел (16, 24 та 36) принципи такі самі, як і для двох інших. Розкладемо кожне з них: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Не увійшли до розкладання найбільшого лише дві двійки з розкладання числа 16. Додаємо їх і отримуємо 144, що є найменшим результатом для зазначених раніше чисельних значень.

Тепер ми знаємо, якою є загальна методика знаходження найменшого значення для двох, трьох і більше значень. Проте є й приватні методи, які допомагають шукати НОК, якщо попередні не допомагають.

Як знаходити НОД та НОК.

Приватні засоби знаходження

Як і для будь-якого математичного розділу, є окремі випадки знаходження НОК, які допомагають у специфічних ситуаціях:

якщо одне з чисел ділиться на інші без залишку, то найнижче кратне цих чисел дорівнює йому (НОК 60 і 15 і 15);
взаємно прості числа немає спільних простих дільників. Їх найменше значення дорівнює твору цих чисел. Таким чином, для чисел 7 та 8 таким буде 56;
це ж правило працює і для інших випадків, включаючи спеціальні, про які можна прочитати у спеціалізованій літературі. Сюди слід віднести і випадки розкладання складових чисел, які є темою окремих статей і навіть кандидатських дисертацій.

Окремі випадки трапляються рідше, ніж стандартні приклади. Але завдяки їм можна навчитися працювати з дробами різного ступеня складності. Особливо це актуально для дробів, де є різні знаменники.

Небагато прикладів

Розберемо кілька прикладів, завдяки яким можна зрозуміти принцип знаходження найменшого кратного:

Знаходимо НОК (35; 40). Розкладаємо спочатку 35 = 5 * 7, потім 40 = 5 * 8. Додаємо до найменшої цифри 8 і отримуємо НОК 280.
НОК (45; 54). Розкладаємо кожне з них: 45 = 3 * 3 * 5 і 54 = 3 * 3 * 6. Додаємо до 45 цифру 6. Отримуємо НОК, що дорівнює 270.
Та й останній приклад. Є 5 і 4. Простих кратних їм немає, тому найменше загальне кратне у разі буде їх твір, рівне 20.

Завдяки прикладам можна зрозуміти, як є НОК, які є нюанси і в чому полягає сенс таких маніпуляцій.

Знаходить НОК набагато простіше, ніж може здатися спочатку. І тому застосовується як просте розкладання, і множення простих значень друг на друга. Уміння працювати з цим розділом математики допомагає при подальшому вивченні математичних тем, особливо дробів різного ступеня складності.

Не забувайте періодично вирішувати приклади у різний спосіб, це розвиває логічний апарат і дозволяє запам'ятати численні терміни. Вивчайте методи знаходження такого показника, і ви зможете добре працювати з іншими математичними розділами. Вдалого вивчення математики!