Головна > Математика

Ступінь з раціональним показником варіант 3. Ступінь числа: визначення, позначення, приклади

Від цілих показників ступеня числа a напрошується перехід до раціональних показників. Нижче ми визначимо ступінь з раціональним показником, причому це робитимемо так, щоб зберігалися всі властивості ступеня з цілим показником. Це необхідно, оскільки цілі є частиною раціональних чисел.

Відомо, що безліч раціональних чисел складається з цілих і дрібних чисел, причому кожне дробове числоможе бути представлено у вигляді позитивної або негативної звичайного дробу. Ступінь із цілим показником ми визначили у попередньому пункті, тому, щоб закінчити визначення ступеня з раціональним показником, потрібно надати сенс ступеня числа aз дробовим показником m/n, де m- ціле число, а n- Натуральне. Зробимо це.

Розглянемо ступінь із дробовим показником виду. Щоб зберігати силу властивість ступеня, повинна виконуватися рівність . Якщо врахувати отриману рівність і те, як ми визначили корінь n-ого ступеня, то логічно прийняти за умови, що за даних m, nі aвираз має сенс.

Неважко перевірити, що при справедливі всі характеристики ступеня з цілим показником (це зроблено в розділі якості ступеня з оптимальним показником).

Наведені міркування дозволяють зробити наступний висновок: якщо дані m, nі aвираз має сенс, то ступенем числа aз дробовим показником m/nназивають корінь n-ой міри з aу ступені m.

Це твердження впритул підводить нас до визначення ступеня з дрібним показником. Залишається лише розписати, за яких m, nі aмає сенс вираз. Залежно від обмежень, що накладаються на m, nі aіснують два основні підходи.

1. Найпростіше накласти обмеження на a, Прийнявши a≥0для позитивних mі a>0для негативних m(бо при m≤0ступінь 0 mне визначена). Тоді ми отримуємо таке визначення ступеня з дрібним показником.

Визначення.

Ступенем позитивного числа aз дробовим показником m/n , де m- ціле, а n- натуральне число, називається корінь n-ой з числа aу ступені m, тобто, .



Також визначається дробовий ступінь нуля з тим лише застереженням, що показник має бути позитивним.

Визначення.

Ступінь нуля з дрібним позитивним показником m/n , де m- ціле позитивне, а n- натуральне число, визначається як .
При ступінь не визначається, тобто ступінь числа нуль з дробовим негативним показником не має сенсу.

Слід зазначити, що за такого визначення ступеня з дробовим показником існує один нюанс: при деяких негативних aта деяких mі nвираз має сенс, а ми відкинули ці випадки, ввівши умову a≥0. Наприклад, мають сенс запису або , а дане вище визначення змушує нас говорити, що ступеня з дробовим показником виду немає сенсу, оскільки основа має бути негативним.

2. Інший підхід до визначення ступеня з дрібним показником m/nполягає в роздільному розгляді парних та непарних показниках кореня. Цей підхід вимагає додаткової умови: степінь числа a, показником якого є скоротитий звичайний дріб, вважається ступенем числа a, показником якого є відповідний нескоротний дріб (важливість цієї умови пояснимо трохи нижче). Тобто якщо m/n- Нескоротний дріб, то для будь-якого натурального числа kступінь попередньо замінюється на .

При парних nта позитивних mвираз має сенс за будь-якого неотрицательного a(корінь парного ступеня з негативного числа немає сенсу), при негативних mчисло aмає бути ще відмінним від нуля (інакше буде поділ на нуль). А при непарних nта позитивних mчисло aможе бути будь-яким (корінь непарного ступеня визначено для будь-якого дійсного числа), а при негативних mчисло aмає бути відмінним від нуля (щоб був поділу на нуль).

Наведені міркування призводять нас до такого визначення ступеня з дрібним показником.

Визначення.

Нехай m/n- Нескоротний дріб, m- ціле, а n- натуральне число. Для будь-якого скоротливого звичайного дробу ступінь замінюється на . Степінь числа aз нескоротним дробовим показником m/n- це для

o будь-якого дійсного числа a, цілого позитивного mта непарного натурального n, наприклад, ;

o будь-якого відмінного від нуля дійсного числа a, цілого негативного mта непарного n, наприклад, ;

o будь-якого невід'ємного числа a, цілого позитивного mта парного n, наприклад, ;

o будь-якого позитивного a, цілого негативного mта парного n, наприклад, ;

o в інших випадках ступінь з дробовим показником не визначається, як, наприклад, не визначені ступеня .a записи ми не надаємо жодного сенсу, ступінь числа нуль ми визначаємо для позитивних дробових показників m/nяк для негативних дробових показників ступінь числа нуль не визначаємо.

На закінчення цього пункту звернемо увагу на те, що дробовий показник ступеня може бути записаний у вигляді десяткового дробу або змішаного числа, наприклад, . Для обчислення значень виразів подібного виду необхідно показник ступеня записати як звичайного дробу, після чого користуватися визначенням ступеня з дробовим показником. Для вказаних прикладів маємо і


Після того як визначено ступінь числа, логічно поговорити про властивості ступеня. У цій статті ми дамо основні властивості ступеня числа, при цьому торкнемося всіх можливих показників ступеня. Тут же ми наведемо докази всіх властивостей ступеня, а також покажемо, як ці властивості застосовують при вирішенні прикладів.

Навігація на сторінці.

Властивості ступенів із натуральними показниками

За визначенням ступеня з натуральним показником ступінь a n є твір n множників, кожен з яких дорівнює a . Відштовхуючись від цього визначення, а також використовуючи властивості множення дійсних чисел , можна отримати та обґрунтувати наступні властивості ступеня з натуральним показником:

  1. основна властивість ступеня a m · a n = a m + n, його узагальнення;
  2. властивість приватного ступенів з однаковими основами a m:a n =a m−n ;
  3. властивість ступеня твору (a b) n = a n b n, його розширення;
  4. властивість частки в натуральному ступені (a:b) n =a n:b n ;
  5. зведення ступеня до ступеня (a m) n =a m·n , його узагальнення (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·...·n k;
  6. порівняння ступеня з нулем:
    • якщо a>0, то an>0 для будь-якого натурального n;
    • якщо a = 0, то a n = 0;
    • якщо a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 , якщо a<0 и показатель степени есть непарне число 2·m−1 , то a 2·m−1<0 ;
  7. якщо a та b – позитивні числа та a
  8. якщо m і n такі натуральні числа, що m>n, то при 0 0 справедлива нерівність a m >a n .

Відразу зауважимо, що всі записані рівності є тотожнимиза дотримання зазначених умов, та його праві і ліві частини можна поміняти місцями. Наприклад, основна властивість дробу a m ·a n =a m+n при спрощення виразівчасто застосовується як a m+n =a m ·a n .

Тепер розглянемо кожне з них докладно.

    Почнемо з якості твору двох ступенів з однаковими основами, яке називають основною властивістю ступеня: для будь-якого дійсного числа a та будь-яких натуральних чисел m і n справедлива рівність a m ·a n =a m+n .

    Доведемо основну властивість ступеня. За визначенням ступеня з натуральним показником добуток ступенів з однаковими основами виду a m · a n можна записати як добуток. В силу властивостей множення отриманий вираз можна записати як , а це твір є ступінь числа a з натуральним показником m+n, тобто, a m+n. У цьому доказ завершено.

    Наведемо приклад, що підтверджує основну властивість ступеня. Візьмемо ступеня з однаковими основами 2 і натуральними ступенями 2 і 3 за основною властивістю ступеня можна записати рівність 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Перевіримо його справедливість, для чого обчислимо значення виразів 2223 і 25. Виконуючи зведення на ступінь , маємо 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 ​​· 2 · 2) = 4 · 8 = 32і 2 5 =2·2·2·2·2=32 , оскільки виходять рівні значення, то рівність 2 2 · 2 3 = 2 5 - правильне, і воно підтверджує основну властивість ступеня.

    Основна властивість ступеня на основі властивостей множення можна узагальнити на твір трьох та більшої кількості ступенів з однаковими основами та натуральними показниками. Так для будь-якої кількості k натуральних чисел n 1 , n 2 , …, n k справедлива рівність a n 1 ·a n 2 ·...·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

    Наприклад, (2,1) 3 · (2,1) 3 · (2,1) 4 · (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    Можна переходити до наступної якості степенів з натуральним показником – властивості приватного ступеня з однаковими підставами: для будь-якого відмінного від нуля дійсного числа a і довільних натуральних чисел m і n, що задовольняють умові m>n, справедлива рівність a m:a n =a m−n .

    Перш ніж навести доказ цієї властивості, обговоримо сенс додаткових умов у формулюванні. Умова a≠0 потрібна у тому, щоб уникнути розподілу на нуль, оскільки 0 n =0 , а при знайомстві з розподілом ми домовилися, що у нуль ділити не можна. Умова m>n вводиться для того, щоб ми не виходили за межі натуральних показників ступеня. Дійсно, при m>n показник ступеня a m−n є натуральним числом, інакше він буде або нулем (що відбувається при m−n ), або негативним числом (що відбувається при m

    Доказ. Основна властивість дробу дозволяє записати рівність a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. З отриманої рівності a m-n · a n = a m і випливає, що a m-n є приватним ступенів a m і a n . Цим доведено властивість приватного ступеня з однаковими підставами.

    Наведемо приклад. Візьмемо два ступені з однаковими основами π і натуральними показниками 5 і 2, розглянутій властивості ступеня відповідає рівність π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 .

    Тепер розглянемо властивість ступеня твору: натуральний ступінь n добутку двох будь-яких дійсних чисел a і b дорівнює добутку ступенів a n і b n , тобто, (a b) n = a n b n .

    Дійсно, за визначенням ступеня з натуральним показником маємо . Останній твір на підставі властивостей множення можна переписати як що дорівнює a n · b n .

    Наведемо приклад: .

    Ця властивість поширюється на ступінь добутку трьох і більшої кількості множників. Тобто властивість натурального ступеня n твору k множників записується як (a 1 · a 2 · ... · a k) n = a 1 n · a 2 n · ... · a k n.

    Для наочності покажемо цю властивість з прикладу. Для добутку трьох множників у ступені 7 маємо.

    Наступна властивість є властивість приватного в натуральному ступені: приватне дійсних чисел a і b , b≠0 в натуральному ступені n дорівнює приватному ступені a n і b n , тобто, (a:b) n =a n:b n .

    Доказ можна провести, використовуючи попередню властивість. Так (a:b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n, А з рівності (a:b) n · b n = a n слід, що (a: b) n є приватним від розподілу a n на b n .

    Запишемо цю властивість на прикладі конкретних чисел: .

    Тепер озвучимо властивість зведення ступеня до ступеня: для будь-якого дійсного числа a та будь-яких натуральних чисел m і n ступінь a m у ступені n дорівнює ступеню числа a з показником m·n , тобто (a m) n =a m·n .

    Наприклад, (5 2) 3 = 5 2 · 3 = 5 6 .

    Доказом якості ступеня є такий ланцюжок рівностей: .

    Розглянуту властивість можна поширити на ступінь ступеня ступеня і т.д. Наприклад, для будь-яких натуральних чисел p , q , r і s справедлива рівність . Для більшої ясності наведемо приклад із конкретними числами: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    Залишилося зупинитися на властивостях порівняння ступенів із натуральним показником.

    Почнемо з доказу якості порівняння нуля і ступеня з натуральним показником.

    Для початку обґрунтуємо, що a n >0 за будь-якого a>0 .

    Добуток двох позитивних чисел є позитивним числом, що випливає з визначення множення. Цей факт та властивості множення дозволяють стверджувати, що результат множення будь-якого числа позитивних чисел також буде позитивним числом. А ступінь числа a з натуральним показником n за визначенням є добутком n множників, кожен із яких дорівнює a . Ці міркування дозволяють стверджувати, що з будь-якого позитивного підстави a ступінь a n є позитивне число. З огляду на доведеного властивості 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 і .

    Досить очевидно, що з будь-якого натурального n при a=0 ступінь a n є нуль. Справді, 0 n =0 · 0 · ... · 0 = 0 . Наприклад, 0 3 = 0 і 0762 = 0 .

    Переходимо до негативних підстав ступеня.

    Почнемо з випадку, коли показник ступеня є парним числом, позначимо його як 2m, де m - натуральне. Тоді . По кожен із творів виду a·a дорівнює добутку модулів чисел a та a , отже, є позитивним числом. Отже, позитивним буде і твір і ступінь a 2·m. Наведемо приклади: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 та .

    Нарешті, коли основа ступеня a є негативним числом, а показник ступеня є непарне число 2·m−1 , то . Всі твори a · a є позитивними числами, добуток цих позитивних чисел також позитивно, а його множення на негативне число, що залишилося a дає в результаті негативне число. В силу цієї властивості (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    Переходимо до властивості порівняння ступенів з однаковими натуральними показниками, яке має наступне формулювання: з двох ступенів з однаковими натуральними показниками n менше та, основа якої менша, а більша за та, основа якої більша. Доведемо його.

    Нерівність a n властивостей нерівностейсправедлива і доведена нерівність виду a n (2,2) 7 та .

    Залишилося довести останню з перерахованих властивостей ступенів із натуральними показниками. Сформулюємо його. З двох ступенів з натуральними показниками та однаковими позитивними основами, меншими одиниці, більший той ступінь, показник якого менший; а з двох ступенів з натуральними показниками та однаковими основами, більшими одиниці, більший той ступінь, показник якого більший. Переходимо до підтвердження цієї якості.

    Доведемо, що за m>n і 0 0 в силу вихідної умови m>n, звідки випливає, що при 0

    Залишилося довести другу частину якості. Доведемо, що за m>n і a>1 справедливо a m >a n . Різниця a m -a n після винесення a n за дужки набуває вигляду a n · (a m−n −1) . Це твір позитивно, тому що при a>1 ступінь an є позитивне число, і різницю am−n −1 є позитивне число, тому що m−n>0 через початкову умову, і при a>1 ступінь am−n більше одиниці . Отже, a m −a n >0 і a m >a n , що потрібно було довести. Ілюстрацією цієї властивості є нерівність 3 7 >3 2 .

Властивості ступенів із цілими показниками

Так як цілі позитивні числа є натуральними числами, то всі властивості ступенів з цілими позитивними показниками точно збігаються з властивостями ступенів з натуральними показниками, перерахованими і доведеними в попередньому пункті.

Ступінь із цілим негативним показником, а також ступінь з нульовим показником ми визначали так, щоб залишалися справедливими всі властивості ступенів з натуральними показниками, що виражаються рівностями. Тому всі ці властивості справедливі і для нульових показників ступеня, і для негативних показників, при цьому, звичайно, підстави ступенів відмінні від нуля.

Отже, для будь-яких дійсних і відмінних від нуля чисел a і b, а також будь-яких цілих чисел m і n справедливі такі властивості ступенів із цілими показниками:

  1. a m · a n = a m+n;
  2. a m:a n =a m−n;
  3. (a b) n = a n b n ;
  4. (a:b) n = n:b n ;
  5. (a m) n = a m · n;
  6. якщо n – ціле позитивне число, a та b – позитивні числа, причому a b −n;
  7. якщо m і n - цілі числа, причому m>n, то при 0 1 виконується нерівність a m >a n .

При a=0 ступеня a m і a n мають сенс коли і m , і n позитивні цілі числа, тобто, натуральні числа. Отже, щойно записані властивості також справедливі випадків, коли a=0 , а числа m і n – цілі позитивні.

Довести кожну з цих властивостей нескладно, для цього достатньо використовувати визначення ступеня з натуральним і цілим показником, а також властивості дій з дійсними числами. Наприклад доведемо, що властивість ступеня ступеня виконується як цілих позитивних чисел, так цілих непозитивних чисел. Для цього потрібно показати, що якщо p є нуль або натуральне число і q є нуль або натуральне число, то справедливі рівність (ap) q =ap·q , (a −p) q =a (−p)·q , (ap ) −q =ap·(−q) і (a −p) −q =a (−p)·(−q). Зробимо це.

Для позитивних p і q рівність (a p) q =a p·q доведено у попередньому пункті. Якщо p = 0, то маємо (a 0) q = 1 q = 1 і a 0 · q = a 0 = 1, звідки (a 0) q = a 0 · q. Аналогічно, якщо q = 0, то (a p) 0 = 1 і a p · 0 = a 0 = 1, звідки (a p) 0 = a p · 0 . Якщо і p=0 і q=0 , то (a 0) 0 =1 0 =1 і a 0·0 =a 0 =1 , звідки (a 0) 0 =a 0·0 .

Тепер доведемо, що (a −p) q =a (−p)·q . За визначенням ступеня з цілим негативним показником, тоді . За якістю приватної у ступеня маємо . Оскільки 1 p =1·1·…·1=1 і , то . Останнє вираз за визначенням є ступенем виду a −(p·q) , який з правил множення можна записати як a (−p)·q .

Аналогічно .

І .

За таким же принципом можна довести решту ступеня з цілим показником, записані у вигляді рівностей.

У передостанньому із записаних властивостей варто зупинитися на доказі нерівності a −n >b −n , яка справедлива для будь-якого цілого негативного −n та будь-яких позитивних a та b , для яких виконується умова a . Оскільки за умовою a 0 . Добуток a n · b n теж позитивно як добуток позитивних чисел a n і b n . Тоді отриманий дріб позитивний як приватний позитивних чисел b n -a n і a n · b n . Отже, звідки a −n >b −n , що потрібно довести.

Остання властивість ступенів із цілими показниками доводиться так само, як аналогічна властивість ступенів із натуральними показниками.

Властивості ступенів із раціональними показниками

Ступінь з дробовим показником ми визначали, поширюючи її у властивості ступеня з цілим показником. Іншими словами, ступеня з дробовими показниками мають ті ж властивості, що й ступеня з цілими показниками. А саме:

Доказ властивостей ступенів з дробовими показниками базується на визначенні ступеня з дробовим показником, на властивостях ступеня з цілим показником. Наведемо докази.

За визначенням ступеня з дробовим показником і , тоді . Властивості арифметичного кореня дозволяють нам записати наступні рівністі. Далі, використовуючи властивість ступеня з цілим показником, отримуємо , звідки за визначенням ступеня з дробовим показником маємо , А показник отриманого ступеня можна перетворити так: . У цьому доказ завершено.

Абсолютно аналогічно доводиться друга властивість ступенів із дробовими показниками:

За подібними принципами доводяться та інші рівності:

Переходимо до підтвердження наступного властивості. Доведемо, що для будь-яких позитивних a і b, a b p. Запишемо раціональне число p як m/n, де m – ціле число, а n – натуральне. Умовам p<0 и p>0 у цьому випадку будуть еквівалентні умови m<0 и m>0 відповідно. При m>0 та a

Аналогічно, при m<0 имеем a m >b m , звідки , тобто, і a p > b p .

Залишилося довести останню з перерахованих властивостей. Доведемо, що раціональних чисел p і q , p>q при 0 0 - нерівність a p > a q. Ми завжди можемо привести до спільного знаменника раціональні числа p і q, нехай при цьому ми отримаємо прості дроби і де m 1 і m 2 - цілі числа, а n - натуральне. При цьому умові p>q відповідатиме умова m 1 >m 2 , що випливає з . Тоді за властивістю порівняння ступенів з однаковими основами та натуральними показниками при 0 1 – нерівність a m 1 >a m 2 . Ці нерівності за властивостями коренів можна переписати відповідно як і . А визначення ступеня з раціональним показником дозволяє перейти до нерівностей та відповідно. Звідси робимо остаточний висновок: при p>q і 0 0 - нерівність a p > a q.

Властивості ступенів із ірраціональними показниками

З того, як визначається ступінь з ірраціональним показником, можна зробити висновок, що вона має всі властивості ступенів з раціональними показниками. Так для будь-яких a>0, b>0 та ірраціональних чисел p і q справедливі наступні властивості ступенів з ірраціональними показниками :

  1. a p · a q = a p + q;
  2. a p: a q = a p-q;
  3. (a b) p = a p b ;
  4. (a:b) p = a p: b p;
  5. (a p) q = a p · q;
  6. для будь-яких позитивних чисел a і b, a 0 справедлива нерівність a p b p;
  7. для ірраціональних чисел p і q p при 0 0 - нерівність a p > a q.

Звідси можна зробити висновок, що ступеня з будь-якими дійсними показниками p і q при a>0 мають ті ж властивості.

Список літератури.

  • Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. МатематикаЖ підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ.
  • Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 7 кл. загальноосвітніх установ.
  • Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
  • Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 9 кл. загальноосвітніх установ.
  • Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
  • Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

МБОУ «Сидорська

загальноосвітня школа»

Розробка плану-конспекту відкритого уроку

з алгебри в 11 класі на тему:

Підготувала та провела

вчитель з математики

Ісхакова Є.Ф.

План-конспект відкритого уроку з алгебри у 11 класі.

Тема : «Ступінь з раціональним показником»

Тип уроку : Вивчення нового матеріалу

Цілі уроку:

    Познайомити учнів із поняттям ступеня з раціональним показником та її основними властивостями, на основі раніше вивченого матеріалу (ступінь із цілим показником).

    Розвивати обчислювальні навички та вміння перетворювати та порівнювати числа з раціональним показником ступеня.

    Виховувати математичну грамотність та математичний інтерес у учнів.

Обладнання : Картки-завдання, презентація учениці за рівнем з цілим показником, презентація вчителя за рівнем з раціональним показником, ноутбук, мультимедійний проектор, екран.

Хід уроку:

    Організаційний момент.

Перевірка засвоєння пройденої теми за індивідуальними картками-завданнями.

Завдання №1.

=2;

Б) = х + 5;

Вирішіть систему ірраціональних рівнянь: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Завдання №2.

Розв'яжіть ірраціональне рівняння: = - 3;

Б) = х – 2;

Розв'яжіть систему ірраціональних рівнянь: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

    Повідомлення теми та цілей уроку.

Тема нашого сьогоднішнього уроку « Ступінь із раціональним показником».

    Пояснення нового матеріалу з прикладу вивченого раніше.

Вам вже знайоме поняття ступеня із цілим показником. Хто мені допоможе їх згадати?

Повторення за допомогою презентації « Ступінь із цілим показником».

Для будь-яких чисел a, b і будь-яких цілих чисел m і n справедливі рівність:

a m * a n = a m+n;

a m: a n = m-n (a ≠ 0);

(a m) n = a mn;

(a b) n = a n * b n;

(a/b) n = a n / b n (b ≠ 0);

a 1 = a; a 0 = 1(a ≠ 0)

Сьогодні ми узагальним поняття ступеня числа і надамо сенс виразам, що мають дрібний показник ступеня. Введемо визначенняступеня з раціональним показником (Презентація «Ступінь з раціональним показником»):

Ступенем числа а > 0 з раціональним показником r = , де m - ціле число, а n - Натуральне ( n > 1), називається число m .

Отже, за визначенням отримуємо, що = m .

Давайте спробуємо застосувати це визначення під час виконання завдання.

ПРИКЛАД №1

I Подайте у вигляді кореня у складі вираз:

А) Б) В) .

А тепер давайте спробуємо застосувати це визначення навпаки

II Подайте вираз у вигляді ступеня з раціональним показником:

А) 2 Б) В) 5 .

Ступінь числа 0 визначено лише позитивних показників.

0 r= 0 для будь-якого r> 0.

Використовуючи це визначення, вдомави виконаєте №428 та №429.

Покажемо тепер, що з сформульованому вище визначенні ступеня з раціональним показником зберігаються основні властивості ступенів, правильні будь-яких показників.

Для будь-яких раціональних чисел r і s та будь-яких позитивних a і b справедливі рівність:

1 0 . a r a s =a r+s ;

ПРИКЛАД: *

2 0 . a r: a s = a r-s;

ПРИКЛАД: :

3 0 . (a r ) s = a rs ;

ПРИКЛАД: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = a r b r ; 5 0 . ( = .

ПРИКЛАД: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

ПРИКЛАД на застосування відразу кількох властивостей: * : .

    Фізкультхвилинка.

Поклали авторучки на парту, спинки випрямили, а тепер тягнемося вперед, хочемо доторкнутися до дошки. А тепер підняли і нахиляємось вправо, вліво, вперед, назад. Ручки мені показали, а тепер покажіть, як уміють танцювати ваші пальчики.

    Робота над матеріалом

Відзначимо ще дві властивості ступенів з раціональними показниками:

6 0 . Нехай r – раціональне число та 0< a < b . Тогда

a r < b rпри r> 0,

a r < b rпри r< 0.

7 0 . Для будь-яких раціональних чиселrі sз нерівності r> sвипливає, що

a r> а rпри а> 1,

a r < а rпри 0< а < 1.

ПРИКЛАД: Порівняйте числа:

І ; 2 300 та 3 200 .

    Підсумки уроку:

Сьогодні на уроці ми згадали властивості ступеня з цілим показником, дізналися визначення та основні властивості ступеня з раціональним показником, розглянули застосування цього теоретичного матеріалупрактично під час виконання вправ. Хочу звернути вашу увагу на те, що тема «Ступінь з раціональним показником» є обов'язковою завданнях ЄДІ. Під час підготовки домашнього завдання (№428 та №429

Відеоурок «Ступінь з раціональним показником» містить наочний навчальний матеріалдля ведення уроку з цієї теми. У відеоуроці міститься інформація про поняття ступеня з раціональним показником, властивості таких ступенів, а також приклади, що описують застосування навчального матеріалу для вирішення практичних завдань. Завдання даного відеоуроку - наочно та зрозуміло уявити навчальний матеріал, полегшити його освоєння та запам'ятовування учнями, формувати вміння вирішувати завдання з використанням вивчених понять.

Основні переваги відеоуроку - можливість проводити наочно перетворення та обчислення, можливість використання анімаційних ефектів для покращення ефективності навчання. Голосове супроводження допомагає розвивати правильну математичну мову, і навіть дає можливість замінити пояснення вчителя, звільняючи його щодо індивідуальної роботи.

Відеоурок починається з представлення теми. Зв'язуючи вивчення нової темиз раніше вивченим матеріалом, пропонується згадати, що n √aінакше позначається a 1/n для натурального n і позитивного a. Дане уявлення кореня n-ступеня відображається на екрані. Далі пропонується розглянути, що означає вираз a m/n , у якому a - позитивне число, а m/n - певний дріб. Дається виділене в рамці визначення ступеня з раціональним показником a m/n = n √a m . При цьому зазначено, що n може бути натуральним числом, а m цілим.

Після визначення ступеня з раціональним показником її значення розкривається на прикладах: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Також демонструється приклад, в якому ступінь, представлений десятковим дробом, перетворюється на звичайний дріб, щоб бути представленим у вигляді кореня: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 і приклад з негативним значеннямступеня: 3 -1/8 = 8√3 -1 .

Окремо вказується особливість окремого випадку, коли основа ступеня - нуль. Відзначено, що цей ступінь має сенс лише з позитивним дробовим показником. І тут її значення дорівнює нулю: 0 m/n =0.

Відзначено ще одну особливість ступеня з раціональним показником - те, що ступінь із дробовим показником не може розглядатися з дробовим показником. Наведено приклади некоректного запису ступеня: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Далі у відеоуроці розглядаються властивості ступеня із раціональним показником. Помічено, що властивості ступеня з цілим показником будуть справедливі і для ступеня з раціональним показником. Пропонується згадати перелік властивостей, які також справедливі у цьому випадку:

  1. При множенні ступенів з однаковими основами їх показники складаються: a p a q = a p+q.
  2. Розподіл ступенів з однаковими основами зводиться до ступеня з цією основою та різницею показників ступенів: a p:a q =a p-q .
  3. Якщо звести ступінь у деякий ступінь, то в результаті отримуємо ступінь з цією основою та добутком показників: (a p) q = a pq.

Всі ці властивості справедливі для ступенів з раціональними показниками p, q та позитивною основою a>0. Також вірними залишаються перетворення ступеня при розкритті дужок:

  1. (ab) p = a p b p - зведення на деякий ступінь з раціональним показником добутку двох чисел зводиться до добутку чисел, кожне з яких зведено на цей ступінь.
  2. (a/b) p =a p /b p - зведення у ступінь з раціональним показником дробу зводиться до дробу, чисельник і знаменник якого зведено на цей ступінь.

У відеоуроці розглядається рішення прикладів, у яких використовуються розглянуті властивості степенів із раціональним показником. У першому прикладі пропонується знайти значення виразу, в якому містяться змінні х в дрібному ступені: (х 1/6 -8) 2 -16х 1/6 (х -1/6 -1). Незважаючи на складність вираження, із застосуванням властивостей ступенів воно вирішується досить просто. Рішення завдання починається зі спрощення виразу, в якому використовується правило зведення ступеня з раціональним показником у ступінь, а також перемноження ступенів однаковою основою. Після підстановки заданого значення х=8 у спрощене вираження х 1/3+48 легко отримати значення - 50.

У другому прикладі потрібно скоротити дріб, чисельник і знаменник якого міститиме ступеня з раціональним показником. Використовуючи властивості ступеня, виділяємо з різниці множник х 1/3, який потім скорочується в чисельнику та знаменнику, а використовуючи формулу різниці квадратів, на множники розкладається чисельник, що дає ще скорочення однакових множників у чисельнику та знаменнику. Підсумком таких перетворень стає короткий дріб х 1/4+3.

Відеоурок «Ступінь із раціональним показником» може бути використаний замість пояснення вчителем нової теми уроку. Також цей посібник містить досить повну інформацію для самостійного вивченняучнем. Матеріал може бути корисним і за дистанційного навчання.

Рекомендуємо також

Loading...Loading...