Рівняння ірраціональні та способи їх вирішення. Ірраціональні рівняння
Муніципальний загальноосвітній заклад
«Куединська середня загальноосвітня школа №2»
Способи розв'язання ірраціональних рівнянь
Виконала: Єгорова Ольга,
Керівник:
Вчитель
математики,
вищої кваліфікаційної
Вступ....……………………………………………………………………………………… 3
Розділ 1. Методи розв'язання ірраціональних рівнянь…………………………………6
1.1 Рішення ірраціональних рівнянь частини С……….….….……………………21
Розділ 2. Індивідуальні завдання…………………………………………….....………...24
Відповіді………………………………………………………………………………………….25
Список літератури…….…………………………………………………………………….26
Вступ
Математичне освіту, отримуване в загальноосвітній школі, є найважливішим компонентом загальної освітита загальної культури сучасної людини. Практично все, що оточує сучасну людину – це все так чи інакше пов'язане з математикою. А останні досягненняу фізиці, техніці та інформаційних технологіях не залишають жодного сумніву, що й у майбутньому стан речей залишиться незмінним. Тому вирішення багатьох практичних завдань зводиться до вирішення різних видіврівнянь, які необхідно навчитися розв'язувати. Одним із цих видів є ірраціональні рівняння.
Ірраціональні рівняння
Рівняння, що містить невідоме (або раціональне алгебраїчний виразвід невідомого) під знаком радикала, називають ірраціональним рівнянням. В елементарній математиці рішення ірраціональних рівнянь знаходиться в безлічі дійсних чисел.
Всяке ір раціональне рівнянняза допомогою елементарних алгебраїчних операцій (множення, розподіл, зведення в цілу міру обох частин рівняння) може бути зведено до раціонального рівня алгебри. При цьому слід мати на увазі, що отримане раціональне алгебраїчне рівнянняможе виявитися нееквівалентним вихідному ірраціональному рівнянню, а саме може містити "зайві" корені, які не будуть корінням вихідного ірраціонального рівняння. Тому, знайшовши корені отриманого раціонального рівняння алгебри, необхідно перевірити, а чи будуть всі корені раціонального рівняння корінням ірраціонального рівняння.
У загальному випадку важко вказати будь-який універсальний метод розв'язання будь-якого ірраціонального рівняння, тому що бажано, щоб в результаті перетворень вихідного ірраціонального рівняння вийшло не просто якесь раціональне рівняння алгебри, серед коренів якого будуть і корені даного ірраціонального рівняння, а раціональне алге утворене з багаточленів якнайменше. Бажання отримати те раціональне алгебраїчне рівняння, утворене з багаточленів якнайменше, цілком природно, оскільки перебування всіх коренів раціонального алгебраїчного рівняння саме собою може бути досить важким завданням, вирішити яку цілком ми можемо лише у дуже обмеженому числі випадків.
Види ірраціональних рівнянь
Вирішення ірраціональних рівнянь парного ступеня завжди викликає більше проблем, ніж вирішення ірраціональних рівнянь непарного ступеня. При вирішенні ірраціональних рівнянь непарного ступеня зміна ОДЗ не відбувається. Тому нижче розглядатимуться ірраціональні рівняння, ступінь яких є парним. Існує два види ірраціональних рівнянь:
2.
.
Розглянемо перший із них.
ОДЗ рівняння: f(x)≥ 0. В ОДЗ ліва частина рівняння завжди невід'ємна – тому рішення може існувати лише тоді, коли g(x)≥ 0. У цьому випадку обидві частини рівняння невід'ємні, і зведення в ступінь 2 nдає рівносильне рівняння. Ми отримуємо, що
Звернемо увагу на те, що при цьому ОДЗ виконується автоматично, і його можна не писати, а умоваg(x) ≥ 0 необхідно перевіряти.
Примітка:
Це дуже важлива умоварівносильності. По-перше, воно звільняє учня від необхідності досліджувати, а після знаходження рішень перевіряти умову f(x) ≥ 0 – невід'ємність підкореного виразу. По-друге, акцентує увагу на перевірці умовиg(x) ≥ 0 – невід'ємність правої частини. Адже після зведення у квадрат вирішується рівняння 
тобто вирішуються відразу два рівняння (але на різних проміжках числової осі!):
1. - там, де g(x)≥ 0 та
2. 
- там, де g(x) ≤ 0.
Тим часом багато хто, за шкільною звичкою знаходити ОДЗ, надходять при вирішенні таких рівнянь навпаки:
а) перевіряють, після знаходження рішень, умову f(x) ≥ 0 (яке автоматично виконано), роблять при цьому арифметичні помилки та отримують невірний результат;
б) ігнорують умовуg(x) ≥ 0 - і знову відповідь може виявитися неправильною.
Примітка: Умова рівносильності особливо корисна при розв'язанні тригонометричних рівнянь, у яких знаходження ОДЗ пов'язане з розв'язанням тригонометричних нерівностей, що набагато складніше, ніж розв'язання тригонометричних рівнянь. Перевірку в тригонометричних рівнянняхнавіть умови g(x)≥ 0 не завжди легко зробити.
Розглянемо другий вид ірраціональних рівнянь.
.
Нехай задано рівняння . Його ОДЗ:
В ОДЗ обидві частини невід'ємні, і зведення у квадрат дає рівносильне рівняння f(x) =g(x).Тому в ОДЗ або
За такого способу вирішення достатньо перевірити невід'ємність однієї з функцій – можна вибрати простішу.
Розділ 1. Методи розв'язання ірраціональних рівнянь
1 метод. Звільнення від радикалів шляхом послідовного зведення обох частин рівняння у відповідний натуральний ступінь
Найчастіше застосовуваним методом розв'язання ірраціональних рівнянь є метод звільнення від радикалів шляхом послідовного зведення обох частин рівняння у відповідний натуральний ступінь. При цьому слід мати на увазі, що при зведенні обох частин рівняння в непарний рівень отримане рівняння, еквівалентне вихідному, а при зведенні обох частин рівняння в парний рівень отримане рівняння буде, взагалі кажучи, нееквівалентним вихідному рівнянню. У цьому легко переконатися, звівши обидві частини рівняння будь-який парний ступінь. В результаті цієї операції виходить рівняння 
, безліч рішень якого є об'єднання безлічі рішень: http://www.pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" , Саме процедура зведення обох частин рівняння в деяку (часто парну) ступінь є найпоширенішою процедурою зведення ірраціонального рівняння до раціонального рівняння.
Розв'язати рівняння:
Де 
- Деякі багаточлени. В силу визначення операції вилучення кореня в безлічі дійсних чисел допустимі значення невідомого https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" " width="243" height="28 src=">.
Так як обидві частини 1 рівняння зводилися в квадрат, може виявитися, що не всі корені 2 рівняння буде рішеннями вихідного рівняння, необхідна перевірка коренів.
Розв'язати рівняння:
https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">
Зводячи обидві частини рівняння в куб, отримаємо
Враховуючи, що (останнє рівняння може мати коріння, яке, взагалі кажучи, не є корінням рівняння). 
).
Зводимо обидві частини цього рівняння куб: . Перепишемо рівняння як х3 – х2 = 0 ↔ х1 = 0, х2 = 1. перевіркою встановлюємо, що х1 = 0 – сторонній корінь рівняння (-2 ≠ 1), а х2 = 1 задовольняє вихідному рівнянню.
Відповідь:х = 1.
2 метод. Заміна суміжною системою умов
При вирішенні ірраціональних рівнянь, що містять радикали парного порядку, у відповідях можуть з'явитися сторонні корені, виявити які не завжди просто. Щоб легше було виявити та відкинути сторонні корені, у ході рішень ірраціональних рівнянь його одразу замінюють суміжною системою умов. Додаткові нерівності у системі фактично враховують ОДЗ розв'язуваного рівняння. Можна знаходити ОДЗ окремо та враховувати його пізніше, проте краще застосовувати саме змішані системи умов: менше небезпека щось забути, не врахувати у процесі вирішення рівняння. Тому в деяких випадках раціональніше використовувати спосіб переходу до змішаних систем.
Розв'язати рівняння: 
Відповідь: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">
Дане рівняння рівносильне системі
Відповідь:рівняння рішень немає.
3 метод. Використання властивостей кореня n-ого ступеня
При розв'язанні ірраціональних рівнянь використовуються властивості кореня n-ого ступеня. Арифметичним корінням n-йступеня з числа аназивають невід'ємне число, n-я ступінь числа якого дорівнює а. Якщо n –парне( 2n), то а ≥ 0, інакше корінь не існує. Якщо n –непарне( 2 n+1), то а - будь-яке і = - ..gif" width="45" height="19">
2. 
3. 
4. 
5. 
Застосовуючи будь-яку з цих формул, формально (без урахування зазначених обмежень), слід мати на увазі, що ОДЗ лівої та правої частин кожної з них можуть бути різними. Наприклад, вираз визначено при f ≥ 0і g ≥ 0, а вираз - як за f ≥ 0і g ≥ 0, так і при f ≤ 0і g ≤ 0.
Для кожної з формул 1-5 (без урахування зазначених обмежень) ОДЗ правої її частини може бути ширше за ОДЗ лівої. Звідси випливає, що перетворення рівняння з формальним використанням формул 1-5 «ліворуч - праворуч» (як вони написані) призводять до рівняння, що є наслідком вихідного. В цьому випадку можуть з'явитися сторонні корені вихідного рівняння, тому обов'язковим етапом у вирішенні вихідного рівняння є перевірка.
Перетворення рівнянь з формальним використанням формул 1-5 «справа – наліво» неприпустимі, оскільки можливе судження ОДЗ вихідного рівняння, отже, і втрата коренів.
https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,
що є наслідком вихідного. Вирішення цього рівняння зводиться до вирішення сукупності рівнянь 
.
З першого рівняння цієї сукупності знаходимо звідки знаходимо . Таким чином корінням даного рівнянняможуть бути лише числа (-1) та (-2). Перевірка показує, що обидва знайдені корені задовольняють даному рівнянню.
Відповідь: -1,-2.
Розв'яжіть рівняння: .
Рішення: на підставі тотожності перше доданок замінити на . Зауважимо, що як сума двох невід'ємних чисел лівої частини. «Зняти» модуль та після приведення подібних членів вирішити рівняння. Оскільки, то отримуємо рівняння. Так як і 
, то і https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= ">.gif" width="145" height="21 src=">
Відповідь:х = 4,25.
4 метод. Введення нових змінних
Іншим прикладом розв'язання ірраціональних рівнянь є спосіб запровадження нових змінних, щодо яких виходить або простіше ірраціональне рівняння, або раціональне рівняння.
Рішення ірраціональних рівнянь шляхом заміни рівняння його наслідком (з подальшою перевіркою коріння) можна проводити так:
1. Знайти ОДЗ вихідного рівняння.
2. Перейти від рівняння до його слідства.
3. Знайти коріння отриманого рівняння.
4. Перевірити, чи є корінням вихідного рівняння.
Перевірка полягає в наступному:
А) перевіряється належність кожного знайденого кореня ОДЗ вихідного рівняння. Ті коріння, які не належать ОДЗ, є сторонніми для вихідного рівняння.
Б) для кожного кореня, що входить до ОДЗ вихідного рівняння, перевіряється, чи мають однакові знакиліва і права частини кожного з рівнянь, що виникають у процесі вирішення вихідного рівняння і що зводяться на парний ступінь. Те коріння, для якого частини будь-якого рівня, що зводиться в парний ступінь, мають різні знакиє сторонніми для вихідного рівняння.
В) тільки ті корені, які належать ОДЗ вихідного рівняння і для яких обидві частини кожного з рівнянь, що виникають у процесі вирішення вихідного рівняння і що зводяться у парний ступінь, мають однакові знаки, що перевіряються безпосередньою підстановкою у вихідне рівняння.
Такий метод вирішення із зазначеним способом перевірки дозволяє уникнути громіздких обчислень у разі безпосередньої підстановки кожного із знайдених коренів останнього рівняння у вихідне.
Розв'язати ірраціональне рівняння:
.
Безліч допустимих значень цього рівняння:
Поклавши , після підстановки отримаємо рівняння
або еквівалентне йому рівняння
яке можна розглядати як квадратне рівняння щодо. Вирішуючи це рівняння, отримаємо
.
Отже, безліч рішень вихідного ірраціонального рівняння є об'єднанням безлічі рішень наступних двох рівнянь:
, .
Звівши обидві частини кожного з цих рівнянь у куб, отримаємо два раціональні рівняння алгебри:
, .
Вирішуючи ці рівняння, знаходимо, що це ірраціональне рівняння має єдиний корінь х = 2 (перевірка не потрібно, тому що всі перетворення рівносильні).
Відповідь:х = 2.
Розв'язати ірраціональне рівняння:
Позначимо 2x2 + 5x - 2 = t. Тоді вихідне рівняння набуде вигляду 
. Звівши обидві частини отриманого рівняння квадрат і привівши подібні члени, отримаємо рівняння , що є наслідком попереднього. З нього знаходимо t = 16.
Повертаючись до невідомого х, отримаємо рівняння 2x2 + 5x - 2 = 16, що є наслідком вихідного. Перевіркою переконуємося, що його коріння х1 = 2 та х2 = - 9/2 є корінням вихідного рівняння.
Відповідь:х1 = 2, х2 = -9/2.
5 метод. Тотожне перетворення рівняння
При розв'язанні ірраціональних рівнянь не слід розпочинати рішення рівняння з зведення обох частин рівнянь у натуральний ступінь, намагаючись звести рішення ірраціонального рівняння до розв'язання раціонального рівняння алгебри. Спочатку необхідно подивитися, чи не можна зробити якесь тотожне перетворення рівняння, яке може суттєво спростити його розв'язання.
Розв'язати рівняння:
Безліч допустимих значень даного рівняння: Розділимо дане рівняння на .
.
Отримаємо:
При а = 0 рівняння рішень не матиме; при рівнянні може бути записано у вигляді
при даному рівнянні рішень не має, тому що при будь-якому х, Що належить множині допустимих значень рівняння, вираз, що стоїть у лівій частині рівняння, позитивно;
при рівнянні має рішення
Зважаючи на те, що безліч допустимих рішень рівняння визначається умовою , отримуємо остаточно:
При розв'язанні цього ірраціонального рівняння буде вирішенням рівняння буде . При всіх інших значеннях хрівняння рішень немає.
ПРИКЛАД 10:
Розв'язати ірраціональне рівняння: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">
Рішення квадратного рівняннясистеми дає два корені: х1 = 1 і х2 = 4. перший із отриманих коренів не задовольняє нерівності системи, тому х = 4.
Примітки.
1) Проведення тотожних перетворень дозволяє обходитися без перевірки.
2) Нерівність х – 3 ≥0 відноситься до тотожним перетворенням, а чи не до області визначення рівняння.
3) У лівій частині рівняння стоїть спадна функція, а правої частини цього рівняння розташована зростаюча функція. Графіки спадної та зростаючої функцій у перетині їх областей визначення можуть мати не більше однієї загальної точки. Вочевидь, що у разі х = 4 є абсцисою точки перетину графіків.
Відповідь:х = 4.
6 метод. Використання області визначення функцій під час вирішення рівнянь
Цей метод найбільш результативний при розв'язанні рівнянь, до складу яких входять функції і знайти її область. визначення (f)..gif" width="53" height="21"> 
.gif" width="88" height="21 src=">, то потрібно перевірити чи правильно рівняння на кінцях проміжку, причому, якщо а< 0, а b >0, то потрібна перевірка на проміжках (а; 0)і . Найменше ціле число в Є дорівнює 3.
Відповідь: х = 3
8 метод. Застосування похідної під час вирішення ірраціональних рівнянь
Найчастіше під час вирішення рівнянь з допомогою методу застосування похідної використовується метод оцінки.
ПРИКЛАД 15:
Розв'яжіть рівняння: (1)
Рішення: Так як https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, або (2). Розглянемо функцію 
..gif width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> при всіх і, отже, зростає. Тому рівняння 
рівносильно рівнянню, що має корінь, що є коренем вихідного рівняння.
Відповідь:
ПРИКЛАД 16:
Розв'язати ірраціональне рівняння:
Область визначення функції є відрізок. Знайдемо найбільше та найменше значеннязначення цієї функції на відрізку. Для цього знайдемо похідну функцію f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Знайдемо значення функції f(x)на кінцях відрізка і в точці : Значить, Але, отже, рівність можлива лише за умови https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > Перевірка показує, що число 3 – корінь цього рівняння.
Відповідь:х = 3.
9 метод. Функціональний
На іспитах іноді пропонують вирішити рівняння, які можна записати у вигляді де - це деяка функція.
Наприклад, деякі рівняння: 1) 
2) 
. Справді, у першому випадку 
, у другому випадку 
. Тому вирішувати ірраціональні рівняння за допомогою наступного твердження: якщо функція строго зростає на множині Хі для будь - якого , то рівняння і т. д. рівносильні на безлічі Х .
Розв'язати ірраціональне рівняння: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> строго зростає на безлічі R,і https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > яке має єдиний корінь Отже, і рівносильне йому рівняння (1) також має єдиний корінь
Відповідь:х = 3.
ПРИКЛАД 18:
Розв'язати ірраціональне рівняння: 
(1)
В силу визначення квадратного кореня отримуємо, що якщо рівняння (1) має коріння, то вони належать множині DIV_ADBLOCK166">
. (2)
Розглянемо функцію https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" ="41"> яке має єдиний корінь Отже, і рівносильне йому на множині Хрівняння (1) має єдиний корінь
Відповідь: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">
Рішення: Дане рівняння рівносильно змішаній системі
Якщо рівнянні змінна міститься під знаком квадратного кореня, то рівняння називають ірраціональним.
Розглянемо ірраціональне рівняння
Ця рівність, за визначенням квадратного кореня, означає, що 2х + 1 = З2. Фактично від заданого ірраціонального рівняння ми перейшли до раціонального рівняння 2х + 1 = 9, звівши квадрат обидві частини ірраціонального рівняння. Метод зведення у квадрат обох частин рівняння - основний метод розв'язання ірраціональних рівнянь. Втім, це зрозуміло: як інакше звільнитися від знака квадратного кореня? З рівняння 2х + 1 = 9 знаходимо х = 4.
Це і корінь рівняння 2х + 1 = 9, і заданого ірраціонального рівняння.
Метод зведення в квадрат технічно нескладний, але іноді призводить до неприємностей. Розглянемо, наприклад, ірраціональне рівняння
Звівши обидві його частини у квадрат, отримаємо
Далі маємо:
2x-4x = -7+5; -2x = -2; х = 1.
Але значення х – 1, будучи коренем раціонального рівняння 2x – 5 = 4x – 7, не є коренем заданого ірраціонального рівняння. Чому? Підставивши 1 замість х у задане ірраціональне рівняння, отримаємо 
. Як же можна говорити про виконання числової рівності, якщо і в лівій і правій його частині містяться вирази, що не мають сенсу? У таких випадках кажуть: х = 1 — сторонній корінь для заданого ірраціонального рівняння. Виходить, що задане ірраціональне рівняння не має коріння.
Розв'яжемо ірраціональне рівняння
-
Коріння цього рівняння можна знайти усно, як ми це робили наприкінці попереднього параграфа: їхній добуток дорівнює - 38, а сума дорівнює - 17; неважко здогадатися, що це числа 2
і – 19. Отже, х 1 = 2, х 2 = – 19.
Підставивши значення 2 замість х у задане ірраціональне рівняння, отримаємо
Це не вірно.
Підставивши значення - 19 замість х у задане ірраціональне рівняння, отримаємо
Це також не так.
Який висновок? Обидва знайдені значення - сторонні корені. Іншими словами, задане ірраціональне рівняння, як і попереднє, не має коріння.
Стороннє коріння — не нове для вас поняття, стороннє коріння вже зустрічалося при вирішенні раціональних рівнянь, виявити їх допомагає перевірка. Для ірраціональних рівнянь перевірка — обов'язковий етап вирішення рівняння, який допоможе виявити стороннє коріння, якщо воно є, і відкинути його (зазвичай кажуть «відсіяти»).
Отже, ірраціональне рівняння вирішують шляхом зведення обох його частин у квадрат; вирішивши отримане в результаті раціональне рівняння, треба обов'язково зробити перевірку, відсіявши можливе стороннє коріння.
Використовуючи цей висновок, розглянемо кілька прикладів.
приклад 1.Розв'язати рівняння
Рішення. Зведемо обидві частини рівняння (1) у квадрат:
Далі послідовно маємо
5х – 16 = х 2 – 4х + 4;
х 2 – 4х + 4 – 5х + 16 = 0;
х 2 – 9х + 20 = 0;
х 1 = 5, х 2 = 4.
Перевірка. Підставивши х = 5 рівняння (1), отримаємо - правильну рівність. Підставивши х = 4 рівняння (1), отримаємо - правильна рівність. Отже, обидва знайдені значення – корені рівняння (1).
Відповідь: 4; 5.
приклад 2.Розв'язати рівняння 
(це рівняння зустрілося нам у § 22 і його рішення ми «відклали до кращих часів»).
2x2 + 8* + 16 = (44 – 2х) 2 .
Далі маємо
2х 2 + 8х + 16 = 1936 - 176x + 4x2;
- 2х 2 + 184x - 1920 = 0;
х 2 – 92x + 960 = 0;
х 1 = 80, х 2 = 12.
Перевірка. Підставивши х = 80 у задане ірраціональне рівняння, отримаємо
Це, очевидно, неправильна рівність, оскільки у його правій частині міститься негативне число, а лівій — позитивне число. Отже, х = 80 — сторонній корінь для рівняння.
Підставивши х = 12 у задане ірраціональне рівняння, отримаємо
Т. е. . = 20, - правильна рівність. Отже, х = 12 – корінь даного рівняння.
Відповідь: 12.
Розділимо обидві частини останнього рівняння почленно на 2:
Перевірка. Підставивши значення x = 14 рівняння (2), отримаємо 
- Неправильна рівність, значить, x = 14 - сторонній корінь.
Підставивши значення x = -1 рівняння (2), отримаємо 
- Правильна рівність. Тому x = - 1 - Корінь рівняння (2).
Відповідь: - 1.
Приклад 4.Розв'язати рівняння 
Рішення. Звичайно, можна вирішити це рівняння за тією самою схемою, яку ми застосовували у попередніх прикладах: переписати рівняння у вигляді
Звести обидві частини цього рівняння в квадрат, вирішити отримане раціональне рівняння та перевірити знайдені корені підстановкою їх у
вихідне ірраціональне рівняння.
Але ми застосуємо більш витончений спосіб: введемо нову змінну у = . Тоді отримаємо 2у 2 + у - 3 = 0 – квадратне рівняння щодо змінної у. Знайдемо його коріння: у 1 = 1, у 2 = -. Таким чином, завдання звелося до вирішення двох
З першого рівняння знаходимо х = 1, друге рівняння не має коріння (ви ж пам'ятаєте, що набуває лише невід'ємних значень).
Відповідь: 1.
Завершимо цей параграф досить серйозною теоретичною розмовою. Справа в наступному. Ви вже накопичили деякий досвід у вирішенні різних рівнянь: лінійних, квадратних, раціональних, ірраціональних. Ви знаєте, що при вирішенні рівнянь виконують різні перетворення,
наприклад: член рівняння переносять з однієї частини рівняння до іншої з протилежним знаком; обидві частини рівняння множать або ділять на те саме відмінне від нуля число; звільняються від знаменника, тобто замінюють рівняння = 0 рівнянням р(х) = 0; обидві частини рівняння зводять у квадрат.
Звичайно, ви звернули увагу на те, що в результаті деяких перетворень могли з'явитися сторонні корені, а тому доводилося бути пильними: перевіряти все знайдене коріння. Ось ми й спробуємо зараз осмислити це з теоретичної точки зору.
Визначення. Два рівняння f(x) = g(x) і r(x) = s(х) називають рівносильними, якщо вони мають однакові корені (або, зокрема, якщо обидва рівняння не мають коріння).
Зазвичай під час вирішення рівняння намагаються замінити це рівняння простішим, але рівносильним йому. Таку заміну називають рівносильним перетворенням рівняння.
Рівносильними перетвореннями рівняння є такі перетворення:
1. Перенесення членів рівняння з однієї частини рівняння до іншої з протилежними знаками.
Наприклад, заміна рівняння 2х + 5 = 7х - 8 рівнянням 2х - 7х = - 8 - 5 є рівносильне перетворення рівняння. Це означає що
рівняння 2х + 5 = 7х -8 та 2х - 7х = -8 - 5 рівносильні.
2. Множення або розподіл обох частин рівняння на те саме відмінне від нуля число.
Наприклад, заміна рівняння 0,5x 2 - 0,3x = 2 рівнянням 5х2 - Зх = 20
(обидві частини рівняння помножили почленно на 10) є рівносильне перетворення рівняння.
Нерівносильними перетвореннями рівняння є такі перетворення:
1. Звільнення від знаменників, які містять змінні.
Наприклад, заміна рівняння рівнянням х 2 = 4 є нерівносильним перетворенням рівняння. Справа в тому, що рівняння х 2 = 4 має два корені: 2 і – 2, а заданому рівняннюзначення х = 2 задовольняти неспроможна (знаменник перетворюється на нуль). У таких випадках ми говорили так: х = 2 — сторонній корінь.
2. Зведення обох частин рівняння квадрат.
Приклади наводити не будемо, тому що їх було чимало у цьому параграфі.
Якщо в процесі вирішення рівняння застосовувалося одне із зазначених нерівносильних перетворень, то всі знайдені корені треба перевірити підстановкою у вихідне рівняння, оскільки серед них можуть виявитися сторонні корені.
Тема: «Ірраціональні рівняння виду , 
.»
(Методична розробка.)
Основні поняття
Ірраціональними рівняннями називаються рівняння, у яких змінна міститься під знаком кореня (радикала) чи знаком зведення в дробовий ступінь.
Рівняння виду f(x)=g(x), де хоча б один із виразів f(x) або g(x) ірраціонально є ірраціональним рівнянням.
Основні властивості радикалів:
- Усі радикали парного ступеня є арифметичними, тобто. якщо підкорене вираз негативне, то радикал немає сенсу (не існує); якщо підкорене вираз дорівнює нулю, то радикал теж дорівнює нулю; якщо підкорене вираз позитивно, то значення радикала існує і позитивно.
- Усі радикали непарного ступеня визначені за будь-якого значення підкореного виразу. При цьому радикал негативний, якщо підкорене вираз негативне; дорівнює нулю, якщо підкорене вираз дорівнює нулю; позитивний, якщо підкорений вираз позитивний.
Методи вирішення ірраціональних рівнянь
Розв'язати ірраціональне рівняння – отже знайти все дійсні значення змінної, при підстановці яких у вихідне рівняння воно звертається у правильну числову рівність, або довести, що таких значень немає. Ірраціональні рівняння вирішуються на множині дійсних чисел R.
Областю допустимих значень рівняння складається з тих значень змінної, у яких неотрицательны все висловлювання, які стоять під знаком радикалів парного ступеня.
Основними методами вирішення ірраціональних рівнянь є:
а) метод зведення обох частин рівняння в один і той самий ступінь;
б) метод запровадження нових змінних (метод замін);
в) штучні прийоми розв'язання ірраціональних рівнянь.
У цій статті зупинимося на розгляді рівнянь певного виду і наведемо 6 методів розв'язання таких рівнянь.
1 метод. Зведення в куб.
Цей спосіб вимагає застосування формул скороченого множення і містить «підводних» каменів, тобто. не призводить до появи сторонніх коренів.
приклад 1.Розв'язати рівняння 
Рішення:
Перепишемо рівняння у вигляді 
і зведемо в куб обидві його частини. Отримаємо рівняння рівносильне даному рівнянню ,
Відповідь: х = 2, х = 11.
Приклад 2. Розв'язати рівняння .
Рішення:
Перепишемо рівняння у вигляді та зведемо в куб обидві його частини. Отримаємо рівняння рівносильне даному рівнянню
і розглянемо отримане рівняння як квадратне щодо одного з коренів
отже, дискримінант дорівнює 0,а рівняння може вирішення х=-2.
Перевірка: 
Відповідь: х = -2.
Зауваження: Перевірка може бути опущена, якщо дорішується квадратне рівняння.
2 метод. Зведення у куб за формулою.
Як і раніше, зводитимемо рівняння в куб, але при цьому користуватися модифікованими формулами скороченого множення.
Скористаємося формулами:
(Незначна модифікація відомої формули), тоді
Приклад3.Розв'язати рівняння 
.
Рішення:
Зведемо рівняння куб з використанням формул, наведених вище.
Але вираз 
має дорівнювати правої частини. Тому маємо:
.
Тепер при зведенні в куб отримуємо звичайне квадратне рівняння:
, і два його корені
Обидва значення, як свідчить перевірка, правильні.
Відповідь: х = 2, х = -33.
Але чи всі перетворення тут є рівносильними? Перш ніж відповісти на це питання, розв'яжемо ще одне рівняння.
Приклад4.Розв'язати рівняння .
Рішення:
Зводячи, як і раніше, обидві частини в третій ступінь, маємо:
Звідки (враховуючи, що вираз у дужках дорівнює), отримуємо:
Отримуємо, .Зробимо перевірку і переконаємося х = 0 - сторонній корінь.
Відповідь: .
Відповімо на запитання: «Чому виникло стороннє коріння?»
Рівність тягне рівність 
. Замінимо з на -с, отримаємо:
Неважко перевірити тотожність
Отже, якщо , або , або . Рівняння можна подати у вигляді 
, .
Замінюючи з на -с, отримуємо: якщо 
, або , або
Тому при використанні цього методу рішення обов'язково потрібно зробити перевірку і переконатися, що сторонніх коренів немає.
3 метод. Спосіб системи.
Приклад 5.Розв'язати рівняння 
.
Рішення:
Нехай,. Тоді:
Звідки очевидно, що 
Друге рівняння системи утворюється таким чином, щоб лінійна комбінація підкорених виразів не залежала від вихідної змінної.
Легко переконатися, що система немає рішення, отже і вихідне рівняння немає рішення.
Відповідь: Коренів немає
Приклад 6.Розв'язати рівняння 
.
Рішення:
Введемо заміну, складемо і розв'яжемо систему рівнянь.
Нехай,. Тоді
Повертаючись до вихідної змінної маємо:
Відповідь: х = 0.
4 метод. Використання монотонності функцій.
Перш ніж використати цей метод звернемося до теорії.
Нам знадобляться такі властивості:
Приклад 7.Розв'язати рівняння 
.
Рішення:
Ліва частина рівняння зростаюча функція, а права – число, тобто. константа, отже, рівняння має трохи більше одного кореня, який підберемо: х=9. Перевірте переконання, що корінь підходить.
Ірраціональними називаються рівняння, що містять невідому величину під знаком кореня. Такі, наприклад, рівняння
У багатьох випадках, застосовуючи одноразово або багаторазово зведення в ступінь обох частин рівняння, вдається звести ірраціональне рівняння до рівня алгебри тому чи іншого ступеня (що є наслідком вихідного рівняння). Оскільки при зведенні рівняння у ступінь можуть виникнути сторонні рішення, то, вирішивши алгебраїчне рівняння, якого ми привели дане ірраціональне рівняння, слід знайдені коріння перевірити підстановкою у вихідне рівняння і зберегти лише ті, які йому задовольняють, інші - сторонні - відкинути.
При вирішенні ірраціональних рівнянь ми обмежуємося тільки їх дійсним корінням; все коріння парного ступеня запису рівнянь розуміються в арифметичному сенсі.
Розглянемо деякі типові прикладиірраціональних рівнянь.
А. Порівняння, що містять невідому під знаком квадратного кореня. Якщо дане рівняння містить лише один квадратний корінь, під знаком якого є невідома то слід цей корінь усамітнити, тобто помістити в одній частині рівняння, а всі інші члени перенести в іншу частину. Після зведення в квадрат обох частин рівняння ми вже звільнимось від ірраціональності і отримаємо рівняння алгебри для
Приклад 1. Розв'язати рівняння.
Рішення. Усамітнюємо корінь у лівій частині рівняння;
Зводимо отриману рівність у квадрат:
Знаходимо коріння цього рівняння:
Перевірка показує, що лише задовольняє вихідне рівняння.
Якщо рівняння входить два і більше кореня, що містять х, то зведення в квадрат доводиться повторювати кілька разів.
Приклад 2. Розв'язати такі рівняння:
Рішення, а) Зводимо обидві частини рівняння у квадрат:
Усамітнюємо корінь:
Отримане рівняння знову зводимо у квадрат:
Після перетворень отримуємо наступне квадратне рівняння:
вирішуємо його:
Підстановкою у вихідне рівняння переконуємось у тому, що є його корінь, а є для нього стороннім коренем.
б) Приклад можна вирішити тим самим способом, яким було вирішено приклад а). Однак, скориставшись тим, що права частина даного рівняння не містить невідомої величини, вчинимо інакше. Помножимо рівняння на вираз, пов'язане з його лівою частиною; отримаємо
Справа стоїть твір суми на різницю, тобто різницю квадратів. Звідси
У лівій частині цього рівняння стояла сума квадратного коріння; в лівій частині отриманого тепер рівняння стоїть різниця того ж коріння. Запишемо дане та отримане рівняння:
Взявши суму цих рівнянь, отримуємо
Зведемо в квадрат останнє рівняння і після спрощень отримаємо
Звідси знаходимо. Перевіркою переконуємося у цьому, що коренем цього рівняння служить лише число . Приклад 3. Розв'язати рівняння
Тут уже під знаком радикала маємо квадратні тричлени.
Рішення. Помножуємо рівняння на вираз, пов'язане з його лівою частиною:
Віднімемо останнє рівняння з цього:
Зводимо це рівняння у квадрат:
З останнього рівняння знаходимо. Перевіркою переконуємося, що коренем цього рівняння є лише число х = 1.
Б. У рівняння, що містять коріння третього ступеня. Системи ірраціональних рівнянь. Обмежимося окремими прикладами таких рівнянь та систем.
Приклад 4. Розв'язати рівняння
Рішення. Покажемо два способи розв'язання рівняння (70.1). Перший метод. Зведемо обидві частини даного рівняння куб (див. формулу (20.8)):
(тут ми замінили суму кубічного коріннячислом 4, користуючись рівнянням).
Отже, маємо
тобто, після спрощень,
звідки Обидва корені задовольняють вихідне рівняння.
Другий спосіб. Покладемо
Рівняння (70.1) запишеться як . Крім того, видно, що . Від рівняння (70.1) ми перейшли до системи
Розділивши перше рівняння системи почленно на друге, знайдемо
Ірраціональне рівняння це будь-яке рівняння, що містить функцію під знаком кореня. Наприклад:
Такі рівняння завжди вирішуються за 3 кроки:
- Усамітнити корінь. Іншими словами, якщо ліворуч від знака рівності крім кореня стоять інші числа або функції, все це треба перенести праворуч, помінявши знак. Зліва при цьому має залишитися лише радикал – без жодних коефіцієнтів.
- 2. Зводимо обидві частини рівняння квадрат. При цьому пам'ятаємо, що область значень кореня – всі негативні числа. Отже, функція праворуч ірраціонального рівняннятакож має бути невід'ємною: g (x ) ≥ 0.
- Третій крок логічно випливає з другого: треба виконати перевірку. Справа в тому, що на другому кроці у нас могли з'явитися зайві корені. І щоб відсікти їх, треба підставити отримані числа-кандидати у вихідне рівняння і перевірити: чи справді виходить вірна числова рівність?
Рішення ірраціонального рівняння
Розберемося з нашим ірраціональним рівнянням, даним на самому початку уроку. Тут корінь уже усамітнений: ліворуч від знаку рівності немає нічого, крім кореня. Зводимо обидві сторони в квадрат:
2x 2 − 14x + 13 = (5 − x ) 2
2x 2 − 14x + 13 = 25 − 10x + x 2
x 2 − 4x − 12 = 0
Вирішуємо отримане квадратне рівняння через дискримінант:
D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 · 1 · (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 = −2
Залишилося лише підставити ці числа вихідне рівняння, тобто. виконати перевірку. Але і тут можна зробити грамотно, щоб спростити підсумкове рішення.
Як спростити рішення
Давайте подумаємо: навіщо ми виконуємо перевірку наприкінці рішення ірраціонального рівняння? Ми хочемо переконатися, що при підстановці нашого коріння праворуч від знака рівності стоятиме невід'ємна кількість. Адже ми вже точно знаємо, що ліворуч стоїть саме невід'ємне число, тому що арифметичний квадратний корінь (через яке наше рівняння і називається ірраціональним) за визначенням не може бути меншим за нуль.
Отже, все, що нам треба перевірити, — щоб функція g (x ) = 5 − x , яка стоїть праворуч від знака рівності, була невід'ємною:
g (x) ≥ 0
Підставляємо наше коріння в цю функцію і отримуємо:
g (x 1) = g (6) = 5 − 6 = −1< 0
g(x2) = g(−2) = 5−(−2) = 5 + 2 = 7 > 0
З отриманих значень випливає, що корінь x 1 = 6 нас не влаштовує, оскільки при підстановці праву частину вихідного рівняння ми отримуємо негативне число. А ось корінь x 2 = −2 нам цілком підходить, бо:
- Цей корінь є рішенням квадратного рівняння, отриманого внаслідок зведення обох сторін ірраціонального рівнянняу квадрат.
- Права сторона вихідного ірраціонального рівняння при підстановці кореня x 2 = −2 перетворюється на позитивне число, тобто. область значень арифметичного кореняне порушено.
Ось і весь алгоритм! Як бачите, вирішувати рівняння з радикалами не так вже й складно. Головне — не забувати перевіряти отримане коріння, інакше дуже велика ймовірність отримати зайві відповіді.
Loading...