"rešitev frakcijskih racionalnih enačb". Racionalne enačbe

Za poenostavitev se uporablja najnižji skupni imenovalec dano enačbo. Ta metoda se uporablja, ko dane enačbe ne morete napisati z enim racionalnim izrazom na vsaki strani enačbe (in uporabite metodo navzkrižnega množenja). Ta metoda se uporablja, ko dobite racionalno enačbo s 3 ali več ulomki (v primeru dveh ulomkov je bolje navzkrižno množenje).

Poiščite najmanjši skupni imenovalec ulomkov (ali najmanjši skupni mnogokratnik). NOZ je najmanjše število, ki je enakomerno deljiva z vsakim imenovalcem.

• Včasih je NOZ očitna številka. Na primer, če je enačba podana: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, potem je očitno, da bo najmanjši skupni večkratnik številk 3, 2 in 6 6.
• Če NOD ni očiten, zapišite večkratnike največjega imenovalca in med njimi poiščite tistega, ki je tudi večkratnik drugih imenovalcev. NOD lahko pogosto najdete tako, da preprosto pomnožite dva imenovalca. Na primer, če je podana enačba x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, potem je NOZ = 8*9 = 72.
• Če eden ali več imenovalcev vsebuje spremenljivko, je postopek nekoliko bolj zapleten (vendar ne nemogoč). V tem primeru je NOZ izraz (ki vsebuje spremenljivko), ki je deljiv z vsakim imenovalcem. Na primer, v enačbi 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), ker je ta izraz deljiv z vsakim imenovalcem: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Pomnožite tako števec kot imenovalec vsakega ulomka s številom, ki je enako rezultatu deljenja NOZ z ustreznim imenovalcem vsakega ulomka. Ker tako števec kot imenovalec množite z istim številom, dejansko pomnožite ulomek z 1 (na primer 2/2 = 1 ali 3/3 = 1).

• Torej v našem primeru pomnožite x/3 z 2/2, da dobite 2x/6, in pomnožite 1/2 s 3/3, da dobite 3/6 (3x + 1/6 ni treba pomnožiti, ker je imenovalec 6).
• Podobno ravnajte, ko je spremenljivka v imenovalcu. V našem drugem primeru NOZ = 3x(x-1), torej je 5/(x-1) krat (3x)/(3x) 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x krat 3(x-1)/3(x-1), da dobimo 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) pomnožite z (x-1)/(x-1) in dobite 2(x-1)/3x(x-1).

Najdi x. Zdaj, ko ste ulomke zmanjšali na skupni imenovalec, se lahko znebite imenovalca. Če želite to narediti, pomnožite vsako stran enačbe s skupnim imenovalcem. Nato rešite nastalo enačbo, torej poiščite "x". Če želite to narediti, izolirajte spremenljivko na eni strani enačbe.

• V našem primeru: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Dodate lahko 2 frakciji z enak imenovalec, zato zapišite enačbo kot: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Pomnožite obe strani enačbe s 6 in se znebite imenovalcev: 2x+3 = 3x +1. Reši in dobi x = 2.
• V našem drugem primeru (s spremenljivko v imenovalcu) je enačba videti tako (po redukciji na skupni imenovalec): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Če pomnožite obe strani enačbe z NOZ, se znebite imenovalca in dobite: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), ali 15x = 3x - 3 + 2x -2, oz. 15x = x - 5 Reši in dobi: x = -5/14.

Preprosto povedano, to so enačbe, v katerih je vsaj ena s spremenljivko v imenovalcu.

Na primer:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Primer ne frakcijski racionalne enačbe:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Kako se rešujejo frakcijske racionalne enačbe?

Glavna stvar, ki si jo morate zapomniti pri ulomnih racionalnih enačbah, je, da morate vanje pisati. In ko najdete korenine, jih preverite glede sprejemljivosti. V nasprotnem primeru se lahko pojavijo tuje korenine in celotna rešitev se bo štela za napačno.

Algoritem za reševanje delne racionalne enačbe:

Izpiši in "reši" ODZ.

Vsak člen v enačbi pomnožite s skupnim imenovalcem in zmanjšajte nastale ulomke. Imenovalci bodo izginili.

Napišite enačbo brez odpiranja oklepajev.

Rešite dobljeno enačbo.

Najdene korenine preverite z ODZ.

V odgovor zapišite korenine, ki so opravili test v 7. koraku.

Ne zapomnite si algoritma, 3-5 rešenih enačb - in zapomnil si bo sam.

Primer . Rešite ulomno racionalno enačbo \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Odločitev:

odgovor: \(3\).

Primer . Poiščite korenine ulomne racionalne enačbe \(=0\)

Odločitev:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Zapišemo in "rešimo" ODZ. Razširite \(x^2+7x+10\) v formulo: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Na srečo smo \(x_1\) in \(x_2\) že našli.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Očitno je skupni imenovalec ulomkov: \((x+2)(x+5)\). Z njim pomnožimo celotno enačbo.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Zmanjšamo ulomke
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Odpiranje oklepajev
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Dajemo podobne pogoje
\(2x^2+9x-5=0\)		Iskanje korenin enačbe
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Ena od korenin ne sodi pod ODZ, zato v odgovor zapišemo le drugi koren.

odgovor: \(\frac(1)(2)\).

Cilji lekcije:

Vadnica:

• oblikovanje pojma ulomnih racionalnih enačb;
• razmisliti o različnih načinih reševanja frakcijskih racionalnih enačb;
• razmisliti o algoritmu za reševanje ulomnih racionalnih enačb, vključno s pogojem, da je ulomek enak nič;
• naučiti reševanje ulomnih racionalnih enačb po algoritmu;
• preverjanje stopnje asimilacije teme z izvajanjem testnega dela.

Razvoj:

• razvoj sposobnosti pravilnega delovanja s pridobljenim znanjem, logičnega razmišljanja;
• razvoj intelektualnih veščin in miselnih operacij - analiza, sinteza, primerjava in posploševanje;
• razvoj pobude, sposobnost sprejemanja odločitev, ne ustaviti se tam;
• razvoj kritično razmišljanje;
• razvoj raziskovalnih veščin.

Negovanje:

• vzgoja kognitivni interes na predmet;
• vzgoja samostojnosti pri reševanju vzgojnih problemov;
• vzgoja volje in vztrajnosti za doseganje končnih rezultatov.

Vrsta lekcije: pouk - razlaga novega gradiva.

Med poukom

1. Organizacijski trenutek.

Živjo družba! Enačbe so zapisane na tabli, pozorno si jih oglejte. Ali lahko rešite vse te enačbe? Katere niso in zakaj?

Enačbe, pri katerih sta leva in desna stran ulomna racionalna izraza, se imenujejo ulomne racionalne enačbe. Kaj menite, da bomo učili danes v lekciji? Oblikujte temo lekcije. Torej odpremo zvezke in zapišemo temo lekcije "Rešitev ulomnih racionalnih enačb".

2. Aktualizacija znanja. Frontalna anketa, ustno delo z razredom.

In zdaj bomo ponovili glavno teoretično gradivo, ki ga moramo preučiti nova tema. Prosimo, odgovorite na naslednja vprašanja:

1. Kaj je enačba? ( Enakost s spremenljivko ali spremenljivkami.)
2. Kako se imenuje enačba #1? ( Linearna.) Metoda za reševanje linearnih enačb. ( Premaknite vse z neznano na levo stran enačbe, vsa števila v desno. Prinesite podobne pogoje. Poiščite neznani množitelj).
3. Kako se imenuje enačba 3? ( Kvadrat.) Metode reševanja kvadratnih enačb. ( Izbira polnega kvadrata po formulah z uporabo Vietinega izreka in njegovih posledic.)
4. Kaj je delež? ( Enakost dveh odnosov.) Glavna lastnost sorazmernosti. ( Če je delež resničen, je produkt njegovih skrajnih členov enak produktu srednjih členov.)
5. Katere lastnosti se uporabljajo za reševanje enačb? ( 1. Če v enačbi prenesemo izraz iz enega dela v drugega in mu spremenimo predznak, dobimo enačbo, ki je enakovredna podani. 2. Če oba dela enačbe pomnožimo ali delimo z istim številom, ki ni nič, dobimo enačbo, ki je enakovredna danemu.)
6. Kdaj je ulomek enak nič? ( Ko je števec, je ulomek nič nič, imenovalec pa ni enak nič.)

3. Razlaga novega gradiva.

Reši enačbo št. 2 v zvezkih in na tabli.

Odgovori: 10.

Katero ulomno racionalno enačbo lahko poskusite rešiti z osnovno lastnostjo sorazmernosti? (št. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Reši enačbo št. 4 v zvezkih in na tabli.

Odgovori: 1,5.

Katero ulomno racionalno enačbo lahko poskusite rešiti tako, da obe strani enačbe pomnožite z imenovalcem? (št. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Odgovori: 3;4.

Zdaj poskusite rešiti enačbo #7 na enega od načinov.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 = 0 x 2 = 5 D \u003d 49
x 3 = 5 x 4 = -2			x 3 = 5 x 4 = -2
Odgovori: 0;5;-2.			Odgovori: 5;-2.

Pojasnite, zakaj se je to zgodilo? Zakaj so v enem primeru tri korenine, v drugem pa dve? Katera števila so korenine te frakcijske racionalne enačbe?

Študenti do zdaj niso spoznali pojma tujega korena, res jim je zelo težko razumeti, zakaj se je to zgodilo. Če nihče v razredu ne more jasno razložiti te situacije, potem učitelj postavlja napotljiva vprašanja.

• Kako se enačbi št. 2 in 4 razlikujeta od enačb št. 5,6,7? ( V enačbah št. 2 in 4 v imenovalcu števila, št. 5-7 - izrazi s spremenljivko.)
• Kaj je koren enačbe? ( Vrednost spremenljivke, pri kateri enačba postane prava enakost.)
• Kako ugotoviti, ali je število koren enačbe? ( Preverite.)

Nekateri učenci pri testu opazijo, da morajo deliti z nič. Sklepajo, da številki 0 in 5 nista koreni te enačbe. Postavlja se vprašanje: ali obstaja način za reševanje frakcijskih racionalnih enačb, ki odpravlja to napako? Da, ta metoda temelji na pogoju, da je ulomek enak nič.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Če je x=5, potem je x(x-5)=0, torej je 5 tuj koren.

Če je x=-2, potem x(x-5)≠0.

Odgovori: -2.

Poskusimo na ta način formulirati algoritem za reševanje ulomnih racionalnih enačb. Otroci sami oblikujejo algoritem.

Algoritem za reševanje frakcijskih racionalnih enačb:

1. Premaknite vse na levo.
2. Pripeljite ulomke k skupnemu imenovalcu.
3. Sestavite sistem: ulomek je nič, če je števec nič in imenovalec ni nič.
4. Reši enačbo.
5. Preverite neenakost, da izključite tuje korenine.
6. Zapišite odgovor.

Razprava: kako formalizirati rešitev, če uporabimo osnovno lastnost sorazmernosti in množenje obeh strani enačbe s skupnim imenovalcem. (Dopolni rešitev: iz njenih korenin izloči tiste, ki obračajo skupni imenovalec na nič).

4. Primarno razumevanje nove snovi.

Delo v parih. Učenci izberejo, kako bodo enačbo rešili sami, odvisno od vrste enačbe. Naloge iz učbenika "Algebra 8", Yu.N. Makaryčev, 2007: št. 600 (b, c, i); št. 601 (a, e, g). Učitelj nadzoruje izvedbo naloge, odgovarja na zastavljena vprašanja in pomaga slabo uspešnim učencem. Samopreverjanje: odgovori so napisani na tabli.

b) 2 je tuj koren. Odgovor: 3.

c) 2 je tuj koren. Odgovor: 1.5.

a) Odgovor: -12.5.

g) Odgovor: 1; 1.5.

5. Izjava o domači nalogi.

1. Preberite 25. točko iz učbenika, analizirajte primere 1-3.
2. Naučite se algoritma za reševanje ulomnih racionalnih enačb.
3. Reši v zvezkih št. 600 (a, d, e); št. 601 (g, h).
4. Poskusite rešiti #696(a) (neobvezno).

6. Izpolnitev kontrolne naloge na preučeno temo.

Delo se izvaja na listih.

Primer dela:

A) Katere od enačb so ulomno racionalne?

B) Ulomek je nič, če je števec ______________________, imenovalec pa _______________________.

Q) Ali je število -3 koren enačbe #6?

D) Reši enačbo št. 7.

Merila za ocenjevanje nalog:

• "5" dobi, če je učenec pravilno opravil več kot 90 % naloge.
• "4" - 75 % -89 %
• "3" - 50 % -74 %
• "2" dobi študent, ki je opravil manj kot 50 % naloge.
• Ocena 2 se ne vpiše v dnevnik, 3 je neobvezna.

7. Refleksija.

Na letake s samostojnim delom postavite:

• 1 - če vam je bila lekcija zanimiva in razumljiva;
• 2 - zanimivo, vendar ni jasno;
• 3 - ni zanimivo, a razumljivo;
• 4 - ni zanimivo, ni jasno.

8. Povzetek lekcije.

Tako smo se danes v lekciji seznanili z ulomnimi racionalnimi enačbami, se naučili reševati te enačbe različne poti, s pomočjo usposabljanja preverili svoje znanje samostojno delo. Rezultate samostojnega dela se boste naučili v naslednji lekciji, doma boste imeli priložnost utrditi pridobljeno znanje.

Katera metoda reševanja ulomnih racionalnih enačb je po vašem mnenju lažja, dostopnejša, bolj racionalna? Ne glede na način reševanja frakcijskih racionalnih enačb, na kaj ne gre pozabiti? Kakšna je "zvitost" ulomnih racionalnih enačb?

Hvala vsem, lekcije je konec.

Spoznajmo se z racionalnimi in frakcijskimi racionalnimi enačbami, damo njihovo definicijo, navedemo primere in analiziramo najpogostejše vrste problemov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionalna enačba: definicija in primeri

Spoznavanje racionalnih izrazov se začne v 8. razredu šole. V tem času se pri pouku algebre učenci vse bolj začenjajo srečevati z nalogami z enačbami, ki vsebujejo racionalni izrazi v vaših zapiskih. Osvežimo si spomin, kaj je.

Opredelitev 1

racionalna enačba je enačba, v kateri obe strani vsebujeta racionalne izraze.

V različnih priročnikih lahko najdete drugo besedilo.

2. opredelitev

racionalna enačba- to je enačba, katere zapis leve strani vsebuje racionalni izraz, desna pa nič.

Definicije, ki smo jih dali za racionalne enačbe, so enakovredne, saj pomenijo isto stvar. Pravilnost naših besed potrjuje dejstvo, da za vse racionalne izraze P in Q enačb P=Q in P − Q = 0 bodo enakovredni izrazi.

Zdaj pa se obrnimo na primere.

Primer 1

Racionalne enačbe:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Racionalne enačbe, tako kot enačbe drugih vrst, lahko vsebujejo poljubno število spremenljivk od 1 do več. Za začetek bomo razmislili preprosti primeri, v katerem bodo enačbe vsebovale samo eno spremenljivko. In potem začnemo postopoma zapletati nalogo.

Racionalne enačbe so razdeljene v dve veliki skupini: cele in ulomne. Poglejmo, katere enačbe bodo veljale za vsako od skupin.

Opredelitev 3

Racionalna enačba bo celo število, če zapis njenega levega in desnega dela vsebuje celotne racionalne izraze.

Opredelitev 4

Racionalna enačba bo ulomka, če en ali oba njena dela vsebujeta ulomek.

Ulomno racionalne enačbe nujno vsebujejo deljenje s spremenljivko ali pa je spremenljivka prisotna v imenovalcu. Pri pisanju celoštevilskih enačb takšne delitve ni.

Primer 2

3 x + 2 = 0 in (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5 so cele racionalne enačbe. Tu sta oba dela enačbe predstavljena s celimi izrazi.

1 x - 1 = x 3 in x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 so ulomno racionalne enačbe.

Celotne racionalne enačbe vključujejo linearne in kvadratne enačbe.

Reševanje celotnih enačb

Rešitev takšnih enačb se običajno reducira na njihovo preoblikovanje v enakovredne algebraične enačbe. To je mogoče doseči z izvajanjem enakovrednih transformacij enačb v skladu z naslednjim algoritmom:

• najprej dobimo nič na desni strani enačbe, za to je treba izraz, ki je na desni strani enačbe, prenesti na njeno levo stran in spremeniti predznak;
• nato pa izraz na levi strani enačbe pretvorimo v polinom standardni pogled.

Dobiti moramo algebraično enačbo. Ta enačba bo enaka izvirni enačbi. Preprosti primeri nam omogočajo, da rešimo problem tako, da celotno enačbo reduciramo na linearno ali kvadratno. V splošnem primeru rešimo algebraično enačbo stopenj n.

Primer 3

Treba je najti korenine celotne enačbe 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Odločitev

Pretvorimo izvirni izraz, da dobimo algebraično enačbo, ki mu je enakovredna. Če želite to narediti, bomo prenesli izraz na desni strani enačbe na levo stran in spremenili predznak v nasprotno. Kot rezultat dobimo: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Sedaj bomo pretvorili izraz, ki je na levi strani, v polinom standardne oblike in izvedeli potrebna dejanja s tem polinomom:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Rešitev prvotne enačbe nam je uspelo reducirati na rešitev kvadratne enačbe oblike x 2 − 5 x − 6 = 0. Diskriminanta te enačbe je pozitivna: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . To pomeni, da bosta dve pravi korenini. Najdemo jih s formulo korenin kvadratne enačbe:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 ali x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 ali x 2 = - 1

Preverimo pravilnost korenin enačbe, ki smo jo našli pri reševanju. Za to število, ki smo ga prejeli, nadomestimo v prvotno enačbo: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 in 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. V prvem primeru 63 = 63 , v drugem 0 = 0 . Korenine x=6 in x = − 1 so dejansko korenine enačbe, podane v primeru pogoja.

odgovor: 6 , − 1 .

Poglejmo, kaj pomeni "moč celotne enačbe". Na ta izraz bomo pogosto naleteli v tistih primerih, ko moramo celotno enačbo predstaviti v obliki algebraične. Opredelimo pojem.

Definicija 5

Stopnja celoštevilske enačbe je stopnja algebraične enačbe, ki je enaka izvirni celotni enačbi.

Če pogledate enačbe iz zgornjega primera, lahko ugotovite: stopnja te celotne enačbe je druga.

Če bi bil naš tečaj omejen na reševanje enačb druge stopnje, bi lahko obravnavanje teme zaključili tukaj. A vse ni tako preprosto. Reševanje enačb tretje stopnje je polno težav. In za enačbe nad četrto stopnjo sploh ne obstaja splošne formule korenine. V zvezi s tem reševanje celotnih enačb tretje, četrte in drugih stopenj od nas zahteva uporabo številnih drugih tehnik in metod.

Najpogosteje uporabljen pristop k reševanju celotnih racionalnih enačb temelji na metodi faktorizacije. Algoritem dejanj v tem primeru je naslednji:

• izraz prenesemo z desne na levo stran, tako da ostane nič na desni strani zapisa;
• izraz na levi strani predstavimo kot produkt faktorjev, nato pa preidemo na niz več enostavnejših enačb.

Primer 4

Poiščite rešitev enačbe (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Odločitev

Prenesemo izraz z desne strani zapisa na levo stran z nasprotnim predznakom: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Pretvorba leve strani v polinom standardne oblike je nepraktična zaradi dejstva, da nam bo to dalo algebraično enačbo četrte stopnje: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Enostavnost transformacije ne opravičuje vseh težav pri reševanju takšne enačbe.

Veliko lažje je iti po drugi poti: odstranimo skupni faktor x 2 − 10 x + 13 . Tako pridemo do enačbe oblike (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Sedaj dobljeno enačbo nadomestimo z nizom dveh kvadratnih enačb x 2 − 10 x + 13 = 0 in x 2 − 2 x − 1 = 0 in poiščite njihove korenine skozi diskriminanto: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

odgovor: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Podobno lahko uporabimo metodo uvedbe nove spremenljivke. Ta metoda nam omogoča, da preidemo na enakovredne enačbe z manjšimi močmi od tistih v izvirni celotni enačbi.

Primer 5

Ali ima enačba korenine? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Odločitev

Če zdaj poskušamo celotno racionalno enačbo reducirati na algebraično, bomo dobili enačbo stopnje 4, ki nima racionalnih korenin. Zato bomo lažje šli v drugo smer: uvedli novo spremenljivko y, ki bo nadomestila izraz v enačbi x 2 + 3 x.

Zdaj bomo delali s celotno enačbo (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Desno stran enačbe prenesemo na levo stran z nasprotnim predznakom in izvedemo potrebne transformacije. Dobimo: y 2 + 4 y + 3 = 0. Poiščimo korenine kvadratne enačbe: y = − 1 in y = − 3.

Zdaj pa naredimo obratno zamenjavo. Dobimo dve enačbi x 2 + 3 x = − 1 in x 2 + 3 x = - 3 . Prepišimo jih kot x 2 + 3 x + 1 = 0 in x 2 + 3 x + 3 = 0. Uporabimo formulo korenin kvadratne enačbe, da poiščemo korene prve pridobljene enačbe: - 3 ± 5 2 . Diskriminanta druge enačbe je negativna. To pomeni, da druga enačba nima pravih korenin.

odgovor:- 3 ± 5 2

Celoštevilske enačbe visokih stopenj se v težavah pogosto srečujejo. Ni se jih treba bati. Za njihovo reševanje morate biti pripravljeni uporabiti nestandardno metodo, vključno s številnimi umetnimi transformacijami.

Rešitev ulomno racionalnih enačb

Obravnavo te podteme začnemo z algoritmom za reševanje frakcijsko racionalnih enačb oblike p (x) q (x) = 0 , kjer je p(x) in q(x) so celoštevilski racionalni izrazi. Rešitev drugih ulomno racionalnih enačb je vedno mogoče reducirati na rešitev enačb navedene oblike.

Najpogosteje uporabljena metoda za reševanje enačb p (x) q (x) = 0 temelji na naslednji trditvi: številčni ulomek u v, kje v je število, ki je različno od nič, enako nič le v primerih, ko je števec ulomka enak nič. Po logiki zgornje trditve lahko trdimo, da je rešitev enačbe p (x) q (x) = 0 reducirana na izpolnjevanje dveh pogojev: p(x)=0 in q(x) ≠ 0. Na tem je zgrajen algoritem za reševanje frakcijskih racionalnih enačb oblike p (x) q (x) = 0:

• najdemo rešitev celotne racionalne enačbe p(x)=0;
• preverimo, ali je pogoj izpolnjen za korenine, ki jih najdemo med rešitvijo q(x) ≠ 0.

Če je ta pogoj izpolnjen, potem najdeni koren, če ne, potem koren ni rešitev problema.

Primer 6

Poiščite korenine enačbe 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Odločitev

Opravka imamo z ulomno racionalno enačbo oblike p (x) q (x) = 0 , v kateri je p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Začnimo reševati linearno enačbo 3 x - 2 = 0. Koren te enačbe bo x = 2 3.

Preverimo najdeni koren, ali izpolnjuje pogoj 5 x 2 - 2 ≠ 0. Če želite to narediti, v izraz nadomestite številsko vrednost. Dobimo: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Pogoj je izpolnjen. To pomeni, da x = 2 3 je koren prvotne enačbe.

odgovor: 2 3 .

Obstaja še ena možnost za reševanje ulomnih racionalnih enačb p (x) q (x) = 0 . Spomnimo se, da je ta enačba enakovredna celotni enačbi p(x)=0 na območju dopustnih vrednosti spremenljivke x prvotne enačbe. To nam omogoča, da pri reševanju enačb p(x) q(x) = 0 uporabimo naslednji algoritem:

• reši enačbo p(x)=0;
• poiščite obseg sprejemljivih vrednosti za spremenljivko x;
• vzamemo korenine, ki ležijo v območju dopustnih vrednosti spremenljivke x kot želene korene prvotne ulomne racionalne enačbe.

Primer 7

Reši enačbo x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Odločitev

Za začetek se odločimo kvadratna enačba x 2 − 2 x − 11 = 0. Za izračun njegovih korenin uporabimo korensko formulo za sodi drugi koeficient. Dobimo D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12 in x = 1 ± 2 3 .

Zdaj lahko najdemo ODV za x za prvotno enačbo. To so vse številke za katere x 2 + 3 x ≠ 0. To je isto kot x (x + 3) ≠ 0, od koder je x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Zdaj pa preverimo, ali so koreni x = 1 ± 2 3, dobljeni na prvi stopnji rešitve, v območju sprejemljivih vrednosti spremenljivke x. Vidimo, kaj pride. To pomeni, da ima izvirna ulomna racionalna enačba dva korena x = 1 ± 2 3 .

odgovor: x = 1 ± 2 3

Opisana je druga metoda rešitve lažje kot prvi v primerih, ko je enostavno najti območje ​​dopustnih vrednosti spremenljivke x in korenine enačbe p(x)=0 iracionalno. Na primer, 7 ± 4 26 9 . Korenine so lahko racionalne, vendar z velikim števcem ali imenovalcem. na primer 127 1101 in − 31 59 . To prihrani čas za preverjanje stanja. q(x) ≠ 0: veliko lažje je izločiti korenine, ki se ne prilegajo, pravi ODZ.

Ko so korenine enačbe p(x)=0 so cela števila, je bolj smotrno uporabiti prvi od opisanih algoritmov za reševanje enačb oblike p (x) q (x) = 0 . Hitrejše iskanje korenin celotne enačbe p(x)=0, nato pa preverite, ali je pogoj zanje izpolnjen q(x) ≠ 0, in ne poiščite ODZ, nato pa rešite enačbo p(x)=0 na tem ODZ. To je posledica dejstva, da je v takih primerih običajno lažje opraviti pregled kot najti ODZ.

Primer 8

Poiščite korenine enačbe (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .

Odločitev

Začnemo z upoštevanjem celotne enačbe (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 in iskanje njenih korenin. Za to uporabimo metodo reševanja enačb s faktorizacijo. Izkazalo se je, da je prvotna enačba enakovredna nizu štirih enačb 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, od katerih so tri linearne in ena je kvadratna. Najdemo korenine: iz prve enačbe x = 1 2, od drugega x=6, od tretjega - x \u003d 7, x \u003d - 2, od četrtega - x = − 1.

Preverimo pridobljene korenine. ODZ v tem primeru težko določimo, saj bomo za to morali rešiti algebraično enačbo pete stopnje. Lažje bomo preverili pogoj, po katerem imenovalec ulomka, ki je na levi strani enačbe, ne sme izginiti.

Namesto spremenljivke x v izrazu nadomestite korenine x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 in izračunaj njegovo vrednost:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Opravljeno preverjanje nam omogoča ugotoviti, da so korenine prvotne ulomne racionalne enačbe 1 2 , 6 in − 2 .

odgovor: 1 2 , 6 , - 2

Primer 9

Poiščite korene ulomne racionalne enačbe 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Odločitev

Začnimo z enačbo (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Poiščimo njegove korenine. To enačbo nam je lažje predstaviti kot kombinacijo kvadratnih in linearnih enačb 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 in x − 2 = 0.

Za iskanje korenin uporabimo formulo korenin kvadratne enačbe. Iz prve enačbe dobimo dva korena x = 7 ± 69 10 in iz druge x=2.

Nadomestitev vrednosti korenin v prvotno enačbo za preverjanje pogojev bo za nas precej težavna. Lažje bo določiti LPV spremenljivke x. V tem primeru so DPV spremenljivke x vsa števila, razen tistih, za katere je pogoj izpolnjen x 2 + 5 x − 14 = 0. Dobimo: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Zdaj pa preverimo, ali najdene korenine spadajo v obseg sprejemljivih vrednosti za spremenljivko x.

Korenine x = 7 ± 69 10 - pripadajo, torej so korenine prvotne enačbe in x=2- ne sodi, zato je tuj koren.

odgovor: x = 7 ± 69 10 .

Ločeno preučimo primere, ko števec ulomne racionalne enačbe oblike p (x) q (x) = 0 vsebuje število. V takih primerih, če števec vsebuje število, ki ni nič, enačba ne bo imela korenin. Če je to število enako nič, bo koren enačbe poljubno število iz ODZ.

Primer 10

Rešite ulomno racionalno enačbo - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Odločitev

Ta enačba ne bo imela korenin, saj števec ulomka z leve strani enačbe vsebuje število, ki ni nič. To pomeni, da za nobene vrednosti x vrednost ulomka, podanega v pogoju problema, ne bo enaka nič.

odgovor: brez korenin.

Primer 11

Reši enačbo 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Odločitev

Ker je števec ulomka nič, bo rešitev enačbe katera koli vrednost x iz spremenljivke ODZ x.

Zdaj pa definirajmo ODZ. Vsebuje vse vrednosti x, za katere x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Rešitve enačb x 4 + 5 x 3 = 0 so 0 in − 5 , saj je ta enačba enakovredna enačbi x 3 (x + 5) = 0, in je po drugi strani enakovreden nizu dveh enačb x 3 = 0 in x + 5 = 0 kjer so te korenine vidne. Prišli smo do zaključka, da je želeni razpon sprejemljivih vrednosti poljuben x, razen x=0 in x = -5.

Izkazalo se je, da ima ulomna racionalna enačba 0 x 4 + 5 x 3 = 0 neskončno število rešitev, ki so poljubna števila, razen nič in - 5.

odgovor: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Zdaj pa se pogovorimo o frakcijskih racionalnih enačbah poljubne oblike in metodah za njihovo reševanje. Lahko se zapišejo kot r(x) = s(x), kje r(x) in s(x) so racionalni izrazi in vsaj eden od njih je ulomek. Rešitev takšnih enačb se reducira na rešitev enačb oblike p (x) q (x) = 0 .

Že vemo, da lahko dobimo enakovredno enačbo tako, da izraz z desne strani enačbe prenesemo na levo stran z nasprotnim predznakom. To pomeni, da je enačba r(x) = s(x) je enakovredna enačbi r (x) − s (x) = 0. Prav tako smo že razpravljali o tem, kako pretvoriti racionalni izraz v racionalni ulomek. Zahvaljujoč temu lahko enostavno transformiramo enačbo r (x) − s (x) = 0 v svoj enak racionalni ulomek oblike p (x) q (x) .

Torej se premaknemo od prvotne frakcijske racionalne enačbe r(x) = s(x) na enačbo oblike p (x) q (x) = 0 , ki smo se jo že naučili reševati.

Treba je opozoriti, da pri prehodih iz r (x) − s (x) = 0 na p (x) q (x) = 0 in nato na p(x)=0 morda ne bomo upoštevali razširitve obsega veljavnih vrednosti spremenljivke x.

Povsem realno je, da izvirna enačba r(x) = s(x) in enačbo p(x)=0 zaradi transformacij ne bodo več enakovredni. Nato rešitev enačbe p(x)=0 nam lahko da korenine, ki jim bodo tuje r(x) = s(x). V zvezi s tem je treba v vsakem primeru opraviti preverjanje s katero koli od zgoraj opisanih metod.

Da bi vam olajšali preučevanje teme, smo vse informacije posplošili v algoritem za reševanje ulomne racionalne enačbe v obliki r(x) = s(x):

• prenesemo izraz z desne strani z nasprotnim predznakom in na desni dobimo nič;
• prvotni izraz pretvorimo v racionalni ulomek p (x) q (x) z zaporednim izvajanjem dejanj z ulomki in polinomi;
• reši enačbo p(x)=0;
• tuje korenine razkrijemo s preverjanjem njihove pripadnosti ODZ ali z zamenjavo v prvotno enačbo.

Vizualno bo veriga dejanj izgledala takole:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → osip r o n d e r o o n s

Primer 12

Rešite ulomno racionalno enačbo x x + 1 = 1 x + 1 .

Odločitev

Pojdimo na enačbo x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Pretvorimo frakcijski racionalni izraz na levi strani enačbe v obliko p (x) q (x) .

Za to moramo prinesti racionalne ulomke na skupni imenovalec in poenostavi izraz:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Da bi našli korenine enačbe - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, moramo rešiti enačbo − 2 x − 1 = 0. Dobimo en koren x = - 1 2.

Ostaja nam, da izvedemo preverjanje s katero koli od metod. Upoštevajmo oba.

Dobljeno vrednost nadomestite v izvirno enačbo. Dobimo - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Prišli smo do pravilne številčne enakosti − 1 = − 1 . To pomeni, da x = − 1 2 je koren prvotne enačbe.

Zdaj bomo preverili preko ODZ. Določimo obseg sprejemljivih vrednosti za spremenljivko x. To bo celotna množica števil, razen − 1 in 0 (ko je x = − 1 in x = 0, imenovalci ulomkov izginejo). Korenina, ki smo jo dobili x = − 1 2 pripada ODZ. To pomeni, da je koren prvotne enačbe.

odgovor: − 1 2 .

Primer 13

Poiščite korenine enačbe x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Odločitev

Imamo opravka z ulomno racionalno enačbo. Zato bomo ravnali po algoritmu.

Prestavimo izraz z desne na levo stran z nasprotnim predznakom: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Izvedemo potrebne transformacije: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Pridemo do enačbe x=0. Koren te enačbe je nič.

Preverimo, ali je ta koren tuj za prvotno enačbo. Zamenjajte vrednost v prvotni enačbi: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Kot lahko vidite, nastala enačba nima smisla. To pomeni, da je 0 tuj koren in izvirna ulomna racionalna enačba nima korenin.

odgovor: brez korenin.

Če v algoritem nismo vključili drugih enakovrednih transformacij, to sploh ne pomeni, da jih ni mogoče uporabiti. Algoritem je univerzalen, vendar je zasnovan tako, da pomaga, ne omeji.

Primer 14

Reši enačbo 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Odločitev

Najlažje je rešiti dano frakcijsko racionalno enačbo po algoritmu. Ampak obstaja še en način. Razmislimo o tem.

Od desnega in levega dela odštejemo 7, dobimo: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Iz tega lahko sklepamo, da mora biti izraz v imenovalcu leve strani enak številu, ki je recipročno število z desne strani, to je 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Od obeh delov odštejemo 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Po analogiji 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, od koder 1 5 - x 2 = 1 3, in dalje 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x \u003d ± 2

Preverimo, da ugotovimo, ali so najdene korenine korenine prvotne enačbe.

odgovor: x = ± 2

Če opazite napako v besedilu, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Enačbo smo uvedli zgoraj v § 7. Najprej se spomnimo, kaj je racionalni izraz. To je - algebraični izraz, sestavljen iz številk in spremenljivke x z uporabo operacij seštevanja, odštevanja, množenja, deljenja in stopnjevanja z naravnim eksponentom.

Če je r(x) racionalen izraz, potem se enačba r(x) = 0 imenuje racionalna enačba.

Vendar je v praksi bolj priročno uporabiti nekoliko več široka razlaga izraz "racionalna enačba": to je enačba v obliki h(x) = q(x), kjer sta h(x) in q(x) racionalna izraza.

Do sedaj nismo mogli rešiti nobene racionalne enačbe, ampak samo eno, ki je bila zaradi različnih transformacij in sklepanja reducirana na linearna enačba. Zdaj so naše možnosti veliko večje: lahko bomo rešili racionalno enačbo, ki se ne reducira le na linearno
mu, ampak tudi na kvadratno enačbo.

Spomnite se, kako smo prej reševali racionalne enačbe in poskusite oblikovati algoritem rešitve.

Primer 1 reši enačbo

Odločitev. Enačbo prepišemo v obrazec

V tem primeru kot običajno uporabljamo dejstvo, da enakosti A = B in A - B = 0 izražata enako razmerje med A in B. To nam je omogočilo, da izraz prenesemo na levo stran enačbe z nasprotno znamenje.

Izvedemo transformacije leve strani enačbe. Imamo

Spomnimo se pogojev enakosti frakcije nič: če in samo če sta dve relaciji izpolnjeni hkrati:

1) števec ulomka je nič (a = 0); 2) imenovalec ulomka je drugačen od nič).
Če izenačimo na nič števec ulomka na levi strani enačbe (1), dobimo

Preostalo je še preveriti izpolnjevanje drugega zgoraj omenjenega pogoja. Razmerje za enačbo (1) pomeni, da . Vrednosti x 1 = 2 in x 2 = 0,6 ustrezata navedenim razmerjem in zato služita kot korenine enačbe (1), hkrati pa tudi korenine dane enačbe.

1) Enačbo pretvorimo v obliko

2) Izvedemo transformacije leve strani te enačbe:

(hkrati spremenili znake v števcu in
ulomki).
tako, dano enačbo prevzame obliko

3) Reši enačbo x 2 - 6x + 8 = 0. Poišči

4) Za najdene vrednosti preverite pogoj . Število 4 izpolnjuje ta pogoj, število 2 pa ne. Torej je 4 koren dane enačbe, 2 pa je tuj koren.
Odgovor: 4.

2. Rešitev racionalnih enačb z uvedbo nove spremenljivke

Način uvedbe nove spremenljivke vam je znan, že večkrat smo ga uporabili. Pokažimo s primeri, kako se uporablja pri reševanju racionalnih enačb.

Primer 3 Reši enačbo x 4 + x 2 - 20 = 0.

Odločitev. Uvajamo novo spremenljivko y \u003d x 2. Ker je x 4 = (x 2) 2 = y 2, lahko dano enačbo prepišemo v obliki

y 2 + y - 20 = 0.

To je kvadratna enačba, katere korenine bomo našli s pomočjo znanega formule; dobimo y 1 = 4, y 2 = - 5.
Toda y \u003d x 2, kar pomeni, da je bila težava zmanjšana na reševanje dveh enačb:
x2=4; x 2 \u003d -5.

Iz prve enačbe ugotovimo, da druga enačba nima korenin.
Odgovor: .
Enačba v obliki ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 se imenuje bikvadratna enačba ("bi" - dva, t.j. tako rekoč enačba "dva kvadratna"). Pravkar rešena enačba je bila natančno bikvadratna. Vsaka bikvadratna enačba se reši na enak način kot enačba iz primera 3: uvede se nova spremenljivka y = x 2, nastala kvadratna enačba se reši glede na spremenljivko y in se nato vrne k spremenljivki x.

Primer 4 reši enačbo

Odločitev. Upoštevajte, da se isti izraz x 2 + 3x tukaj pojavi dvakrat. Zato je smiselno uvesti novo spremenljivko y = x 2 + Zx. To nam bo omogočilo, da prepišemo enačbo v enostavnejši in prijetnejši obliki (kar je pravzaprav namen uvedbe novega spremenljivka- in snemanje je lažje
in struktura enačbe postane bolj jasna):

In zdaj bomo uporabili algoritem za reševanje racionalne enačbe.

1) Prestavimo vse člene enačbe v en del:

= 0
2) Pretvorimo levo stran enačbe

Torej, dano enačbo smo preoblikovali v obliko

3) Iz enačbe - 7y 2 + 29y -4 = 0 najdemo (rešili smo že precej kvadratnih enačb, zato verjetno ni vredno vedno navajati podrobnih izračunov v učbeniku).

4) Preverimo najdene korenine s pogojem 5 (y - 3) (y + 1). Obe korenini izpolnjujeta ta pogoj.
Torej je kvadratna enačba za novo spremenljivko y rešena:
Ker y = x 2 + Zx in y, kot smo ugotovili, ima dve vrednosti: 4 in, - moramo še rešiti dve enačbi: x 2 + Zx = 4; x 2 + Zx \u003d. Korenine prve enačbe so številki 1 in -4, korenine druge enačbe so številke

V obravnavanih primerih je bil način uvedbe nove spremenljivke, kot radi rečejo matematiki, ustrezen situaciji, torej ji je dobro ustrezal. Zakaj? Da, ker je bil isti izraz v zapisu enačb večkrat očitno naletel in je bilo smiselno ta izraz označiti z novo črko. A ni vedno tako, včasih se nova spremenljivka "pojavi" šele v procesu transformacij. Točno to se bo zgodilo v naslednjem primeru.

Primer 5 reši enačbo
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Odločitev. Imamo
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Tako dano enačbo lahko prepišemo kot

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Zdaj se je "pojavila" nova spremenljivka: y = x 2 - Zx.

Z njeno pomočjo lahko enačbo prepišemo v obliki y (y + 2) \u003d 24 in nato y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Korenini te enačbe sta številki 4 in -6.

Če se vrnemo k izvirni spremenljivki x, dobimo dve enačbi x 2 - Zx \u003d 4 in x 2 - Zx \u003d - 6. Iz prve enačbe najdemo x 1 = 4, x 2 \u003d - 1; druga enačba nima korenin.

Odgovor: 4, - 1.

Vsebina lekcije povzetek lekcije podpora okvir predstavitev lekcije pospeševalne metode interaktivne tehnologije Vadite naloge in vaje samoizpit delavnice, treningi, primeri, naloge domača naloga razprava vprašanja retorična vprašanja študentov Ilustracije avdio, video posnetke in večpredstavnost fotografije, slike grafike, tabele, sheme humor, anekdote, šale, stripovske prispodobe, izreki, križanke, citati Dodatki povzetkičlanki čipi za radovedne varalice učbeniki osnovni in dodatni slovarček izrazov drugo Izboljšanje učbenikov in poukapopravljanje napak v učbeniku posodabljanje fragmenta v učbeniku elementi inovativnosti v lekciji zamenjava zastarelo znanje z novim Samo za učitelje popolne lekcije koledarski načrt za eno leto smernice razpravni programi Integrirane lekcije