Primeri najmanjšega skupnega večkratnika treh številk. Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika: metode, primeri iskanja LCM

Če želite razumeti, kako izračunati LCM, morate najprej določiti pomen izraza "večkrat".

Mnogokratnik A je naravno število, ki je brez ostanka deljivo z A. Tako lahko 15, 20, 25 in tako naprej štejemo za večkratnike števila 5.

Število delilcev določenega števila je lahko omejeno, večkratnikov pa je neskončno.

Skupni večkratnik naravnih števil je število, ki je z njimi deljivo brez ostanka.

Kako najti najmanjši skupni večkratnik števil

Najmanjši skupni večkratnik (LCM) števil (dva, tri ali več) je najmanjše naravno število, ki je enakomerno deljivo z vsemi temi števili.

Če želite najti NOC, lahko uporabite več metod.

Za majhna števila je priročno zapisati v vrstico vse večkratnike teh števil, dokler med njimi ne najdemo skupnega. Večkratniki so v zapisu označeni z veliko črko K.

Na primer, večkratnike 4 lahko zapišemo takole:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Torej lahko vidite, da je najmanjši skupni večkratnik številk 4 in 6 število 24. Ta vnos se izvede na naslednji način:

LCM(4, 6) = 24

Če so številke velike, poiščite skupni večkratnik treh ali več številk, potem je bolje uporabiti drug način za izračun LCM.

Za dokončanje naloge je treba predlagana števila razstaviti na prafaktorje.

Najprej morate zapisati razširitev največje od številk v vrstici, pod njo pa ostale.

Pri razširitvi vsake številke je lahko različno število dejavnikov.

Na primer, razdelimo številki 50 in 20 v prafaktorje.

Pri razširjanju manjšega števila je treba podčrtati faktorje, ki manjkajo pri razširitvi prvega največjega števila, in jim jih nato prišteti. V predstavljenem primeru manjka dvojka.

Zdaj lahko izračunamo najmanjši skupni večkratnik 20 in 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Tako bo zmnožek prafaktorjev večjega števila in faktorjev drugega števila, ki niso vključeni v razgradnjo večjega števila, najmanjši skupni mnogokratnik.

Če želite najti LCM treh ali več števil, jih je treba vse razstaviti na prafaktorje, kot v prejšnjem primeru.

Kot primer lahko najdete najmanjši skupni večkratnik številk 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Tako le dve dvojki iz razgradnje šestnajst nista bili vključeni v faktorizacijo večjega števila (ena je v razgradnji štiriindvajset).

Zato jih je treba dodati k razgradnji večjega števila.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Obstajajo posebni primeri določanja najmanjšega skupnega večkratnika. Torej, če lahko eno od številk brez preostanka delimo z drugim, bo večje od teh številk najmanjši skupni večkratnik.

Na primer, NOC-ji dvanajst in štiriindvajset bi bili štiriindvajset.

Če je treba najti najmanjši skupni večkratnik sopramestnih števil, ki nimajo enakih deliteljev, bo njihov LCM enak njihovemu produktu.

Na primer, LCM(10, 11) = 110.

Razmislite o treh načinih za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika.

Iskanje s faktoringom

Prvi način je poiskati najmanjši skupni mnogokratnik tako, da dana števila razčlenimo v prafaktorje.

Recimo, da moramo najti LCM števil: 99, 30 in 28. Za to vsako od teh števil razstavimo na prafaktorje:

Da je želeno število deljivo z 99, 30 in 28, je potrebno in zadostno, da vključuje vse pra faktorje teh deliteljev. Da bi to naredili, moramo vse primarne faktorje teh števil vzeti na najvišjo pojavno moč in jih pomnožiti skupaj:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Torej LCM (99, 30, 28) = 13 860. Nobeno drugo število, ki je manjše od 13 860, ni enakomerno deljivo z 99, 30 ali 28.

Če želite najti najmanjši skupni večkratnik danih števil, jih morate razstaviti na prafaktorje, nato vzeti vsak prafaktor z največjim eksponentom, s katerim se pojavi, in te faktorje pomnožiti skupaj.

Ker sopraprosta števila nimajo skupnih prafaktorjev, je njihov najmanjši skupni večkratnik enak zmnožku teh števil. Na primer, tri števila: 20, 49 in 33 so sopraprosta. Torej

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Enako je treba storiti, ko iščemo najmanjši skupni večkratnik različnih praštevil. Na primer, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Iskanje z izbiro

Drugi način je najti najmanjši skupni večkratnik s prileganjem.

Primer 1. Ko je največje od danih številk enakomerno deljivo z drugimi danimi števili, je LCM teh števil enak večjemu od njih. Na primer, dane štiri številke: 60, 30, 10 in 6. Vsako od njih je deljivo s 60, torej:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

V drugih primerih se za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika uporabi naslednji postopek:

Iz podanih številk določi največje število.
Nato poiščemo števila, ki so večkratnik največjega števila, ga pomnožimo z naravnimi števili v naraščajočem vrstnem redu in preverimo, ali so preostala podana števila deljiva z nastalim zmnožkom.

Primer 2. Za tri števila 24, 3 in 18. Določite največje od njih - to je število 24. Nato poiščite večkratnike 24 in preverite, ali je vsako od njih deljivo z 18 in s 3:

24 1 = 24 je deljivo s 3, ni pa deljivo z 18.

24 2 = 48 - deljivo s 3, ni pa deljivo z 18.

24 3 \u003d 72 - deljivo s 3 in 18.

Torej LCM(24, 3, 18) = 72.

Iskanje z zaporednim iskanjem LCM

Tretji način je najti najmanjši skupni večkratnik z zaporednim iskanjem LCM.

LCM dveh danih števil je enak zmnožku teh števil, deljenim z njunim največjim skupnim deliteljem.

Primer 1. Poiščite LCM dveh danih števil: 12 in 8. Določite njun največji skupni delitelj: GCD (12, 8) = 4. Pomnožite ta števila:

Izdelek delimo na njihove GCD:

Torej LCM(12, 8) = 24.

Za iskanje LCM treh ali več številk se uporablja naslednji postopek:

Najprej se najde LCM poljubnih dveh od danih številk.
Nato LCM najdenega najmanjšega skupnega večkratnika in tretjega danega števila.
Nato LCM nastalega najmanjšega skupnega večkratnika in četrtega števila itd.
Tako se iskanje LCM nadaljuje, dokler obstajajo številke.

Primer 2. Najdimo LCM treh danih števil: 12, 8 in 9. LCM števil 12 in 8 smo že našli v prejšnjem primeru (to je število 24). Ostaja še najti najmanjši skupni večkratnik 24 in tretje dano število - 9. Določite njun največji skupni delitelj: gcd (24, 9) = 3. LCM pomnožite s številom 9:

Izdelek delimo na njihove GCD:

Torej LCM(12, 8, 9) = 72.

Razmislite o rešitvi naslednjega problema. Dečkov korak je 75 cm, korak deklice pa 60 cm.Poiskati je treba najmanjšo razdaljo, na kateri bosta oba naredila celo število korakov.

Odločitev. Celotna pot, skozi katero bodo šli fantje, mora biti deljiva s 60 in 70 brez preostanka, saj mora vsak narediti celo število korakov. Z drugimi besedami, odgovor mora biti večkratnik 75 in 60.

Najprej bomo izpisali vse večkratnike za število 75. Dobimo:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Zdaj pa zapišimo števila, ki bodo večkratnik 60. Dobimo:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Zdaj najdemo številke, ki so v obeh vrsticah.

Navadni večkratniki števil bodo številke, 300, 600 itd.

Najmanjše med njimi je število 300. V tem primeru se bo imenovalo najmanjši skupni večkratnik številk 75 in 60.

Če se vrnemo k stanju problema, bo najmanjša razdalja, na kateri fantje naredijo celo število korakov, 300 cm.Fant bo šel to pot v 4 korakih, dekle pa bo morala narediti 5 korakov.

Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika

Najmanjši skupni večkratnik dveh naravnih števil a in b je najmanjše naravno število, ki je večkratnik obeh a in b.

Da bi našli najmanjši skupni večkratnik dveh števil, ni treba zapisati vseh večkratnikov teh števil v vrsti.

Uporabite lahko naslednjo metodo.

Kako najti najmanjši skupni večkratnik

Najprej morate te številke razstaviti na osnovne faktorje.

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

Zdaj pa zapišimo vse faktorje, ki so v razširitvi prvega števila (2,2,3,5) in ji prištejmo vse manjkajoče faktorje iz razširitve drugega števila (5).

Kot rezultat dobimo vrsto praštevil: 2,2,3,5,5. Zmnožek teh številk bo najmanj pogost faktor za ta števila. 2*2*3*5*5 = 300.

Splošna shema za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika

1. Razčlenite števila na prafaktorje.
2. Zapišite glavne faktorje, ki so del enega od njih.
3. Tem faktorjem prištej vse tiste, ki so v razgradnji preostalih, ne pa v izbranem.
4. Poiščite zmnožek vseh zapisanih faktorjev.

Ta metoda je univerzalna. Uporablja se lahko za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika poljubnega števila naravnih števil.

Opredelitev. Imenuje se največje naravno število, s katerim sta števili a in b deljivi brez ostanka največji skupni delilec (gcd) te številke.

Poiščimo največji skupni delilec števil 24 in 35.
Delitelji 24 bodo števila 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, delitelji 35 pa števila 1, 5, 7, 35.
Vidimo, da imata številki 24 in 35 samo en skupni delilec – število 1. Takšna števila se imenujejo soprimeren.

Opredelitev. Naravna števila se imenujejo soprimerenče je njihov največji skupni delitelj (gcd) 1.

Največji skupni delilec (GCD) najdemo, ne da bi zapisali vse delitelje danih števil.

Če množimo številki 48 in 36, dobimo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Iz faktorjev, vključenih v razširitev prvega od teh številk, izbrišemo tiste, ki niso vključeni v razširitev drugega števila (tj. dve dvojki).
Ostanejo faktorji 2 * 2 * 3. Njihov produkt je 12. To število je največji skupni delilec števil 48 in 36. Najdemo tudi največjega skupnega delitelja treh ali več števil.

Najti največji skupni delilec

2) iz faktorjev, vključenih v razširitev enega od teh številk, prečrtajte tiste, ki niso vključeni v razširitev drugih številk;
3) poiščite produkt preostalih faktorjev.

Če so vsa podana števila deljiva z enim od njih, potem je to število največji skupni delilec dane številke.
Na primer, največji skupni delilec 15, 45, 75 in 180 je 15, saj deli vsa ostala števila: 45, 75 in 180.

Najmanj pogosti večkratnik (LCM)

Opredelitev. Najmanj pogosti večkratnik (LCM) naravni števili a in b sta najmanjše naravno število, ki je večkratnik obeh a in b. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) številk 75 in 60 je mogoče najti brez zapisovanja večkratnikov teh števil v vrsti. Če želite to narediti, razgradimo 75 in 60 na preproste faktorje: 75 \u003d 3 * 5 * 5 in 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Izpišemo faktorje, ki so vključeni v razširitev prvega od teh številk, in jim dodamo manjkajoči faktor 2 in 2 iz razširitve drugega števila (torej združimo faktorje).
Dobimo pet faktorjev 2 * 2 * 3 * 5 * 5, katerih produkt je 300. To število je najmanjši skupni večkratnik števil 75 in 60.

Poišči tudi najmanjši skupni večkratnik treh ali več številk.

Za poišči najmanjši skupni večkratnik več naravnih števil, potrebujete:
1) jih razstavimo na prafaktorje;
2) napišite faktorje, ki so vključeni v razširitev ene od številk;
3) prištej jim manjkajoče faktorje iz razširitev preostalih številk;
4) poiščite produkt nastalih faktorjev.

Upoštevajte, da če je eno od teh številk deljivo z vsemi drugimi števili, je to število najmanjši skupni večkratnik teh števil.
Na primer, najmanjši skupni večkratnik 12, 15, 20 in 60 bi bil 60, saj je deljiv z vsemi danimi števili.

Pitagora (VI stoletje pr.n.št.) in njegovi učenci so preučevali vprašanje deljivosti števil. Število, ki je enako vsoti vseh njegovih deliteljev (brez števila samega), so imenovali popolno število. Na primer, številke 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) so popolne. Naslednja popolna števila so 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejci so poznali le prva tri popolna števila. Četrti - 8128 - je postal znan v 1. stoletju. n. e. Peti - 33 550 336 - je bil najden v 15. stoletju. Do leta 1983 je bilo znanih že 27 popolnih številk. Toda do zdaj znanstveniki ne vedo, ali obstajajo liha popolna števila, ali obstaja največje popolno število.
Zanimanje starodavnih matematikov za praštevila je posledica dejstva, da je katero koli število praštevilo ali pa ga je mogoče predstaviti kot produkt praštevil, to je, da so praštevila kot opeke, iz katerih so zgrajena preostala naravna števila.
Verjetno ste opazili, da se praštevila v nizu naravnih števil pojavljajo neenakomerno - v nekaterih delih niza jih je več, v drugih - manj. Toda bolj ko se premikamo po številski vrsti, redkejša so praštevila. Postavlja se vprašanje: ali obstaja zadnje (največje) praštevilo? Starogrški matematik Evklid (3. stoletje pr.n.št.) je v svoji knjigi »Začetki«, ki je bila dva tisoč let glavni učbenik matematike, dokazal, da je neskončno veliko praštevil, torej za vsakim praštevilom je sodo večje praštevilo.
Za iskanje praštevil je tako metodo izmislil drug grški matematik istega časa, Eratosten. Zapisal je vsa števila od 1 do nekega števila, nato pa prečrtal enoto, ki ni niti pra niti sestavljeno število, nato pa skozi eno prečrtal vsa števila za 2 (števila, ki so večkratniki 2, tj. 4, 6, 8 itd.). Prvo preostalo število po 2 je bilo 3. Nato so po dveh prečrtali vse številke za 3 (številke, ki so večkratniki 3, tj. 6, 9, 12 itd.). na koncu so ostala neprečrtana le praštevila.

Učenci dobijo veliko matematičnih nalog. Med njimi so zelo pogosto naloge z naslednjo formulacijo: obstajata dve vrednosti. Kako najti najmanjši skupni večkratnik danih števil? Takšne naloge je treba znati izvajati, saj se pridobljene veščine uporabljajo za delo z ulomki z različnimi imenovalci. V članku bomo analizirali, kako najti LCM in osnovne koncepte.

Preden najdete odgovor na vprašanje, kako najti LCM, morate definirati izraz večkratnik. Najpogosteje je besedilo tega koncepta naslednje: večkratnik neke vrednosti A je naravno število, ki bo brez ostanka deljivo z A. Torej, za 4, 8, 12, 16, 20 in tako naprej, do potrebno mejo.

V tem primeru je lahko število deliteljev za določeno vrednost omejeno in obstaja neskončno veliko večkratnikov. Enaka vrednost je tudi za naravne vrednote. To je kazalnik, ki ga delijo brez ostanka. Ko smo se ukvarjali s konceptom najmanjše vrednosti za določene kazalnike, pojdimo na to, kako jo najti.

Iskanje NOC

Najmanjši večkratnik dveh ali več eksponentov je najmanjše naravno število, ki je v celoti deljivo z vsemi danimi števili.

Obstaja več načinov za iskanje takšne vrednosti. Razmislimo o naslednjih metodah:

Če so številke majhne, napišite v vrstico vse, ki so deljive z njo. Nadaljujte s tem, dokler med njimi ne najdete nekaj skupnega. V zapisu so označeni s črko K. Na primer, za 4 in 3 je najmanjši večkratnik 12.
Če so te velike ali morate najti večkratnik za 3 ali več vrednosti, potem uporabite drugo tehniko, ki vključuje razgradnjo števil na prafaktorje. Najprej položite največjega od navedenih, nato vse ostale. Vsak od njih ima svoje število množiteljev. Kot primer razstavimo 20 (2*2*5) in 50 (5*5*2). Za manjše od njih podčrtajte faktorje in dodajte največjemu. Rezultat bo 100, kar bo najmanjši skupni večkratnik zgornjih številk.
Pri iskanju 3 številk (16, 24 in 36) so načela enaka kot pri ostalih dveh. Razširimo vsakega od njih: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. V razgradnjo največjega nista bili vključeni le dve dvojki iz raztezanja števila 16. Seštejemo ju in dobimo 144, kar je najmanjši rezultat za prej navedene številčne vrednosti.

Zdaj vemo, kakšna je splošna tehnika za iskanje najmanjše vrednosti za dve, tri ali več vrednosti. Vendar pa obstajajo tudi zasebne metode, pomoč pri iskanju NOC-jev, če prejšnji ne pomagajo.

Kako najti GCD in NOC.

Zasebni načini iskanja

Kot pri vsakem matematičnem oddelku obstajajo posebni primeri iskanja LCM, ki pomagajo v posebnih situacijah:

če je eno od številk deljivo z drugimi brez ostanka, potem mu je najmanjši večkratnik teh številk enak (NOC 60 in 15 je enako 15);
Kopraprosta števila nimajo skupnih prostih deliteljev. Njihova najmanjša vrednost je enaka zmnožku teh številk. Tako bo za številki 7 in 8 to 56;
enako pravilo velja tudi za druge primere, tudi posebne, o katerih lahko preberete v strokovni literaturi. Sem sodijo tudi primeri dekompozicije sestavljenih števil, ki so predmet ločenih člankov in celo doktorskih disertacij.

Posebni primeri so manj pogosti kot standardni primeri. Toda zahvaljujoč njim se lahko naučite delati z ulomki različnih stopenj zapletenosti. To še posebej velja za frakcije., kjer so različni imenovalci.

Nekaj primerov

Oglejmo si nekaj primerov, zahvaljujoč katerih lahko razumete načelo iskanja najmanjšega večkratnika:

Najdemo LCM (35; 40). Najprej položimo 35 = 5 * 7, nato 40 = 5 * 8. Najmanjšemu številu dodamo 8 in dobimo NOC 280.
NOO (45; 54). Vsakega od njih položimo: 45 = 3 * 3 * 5 in 54 = 3 * 3 * 6. 45 dodamo številko 6. Dobimo NOC 270.
No, zadnji primer. Obstajata 5 in 4. Zanje ni preprostih večkratnikov, zato bo najmanjši skupni večkratnik v tem primeru njihov produkt, enak 20.

Zahvaljujoč primerih lahko razumete, kako se nahaja NOC, kakšne so nianse in kakšen je pomen takšnih manipulacij.

Najti NOC je veliko lažje, kot se zdi na prvi pogled. Za to se uporabljata tako preprosta razširitev kot množenje preprostih vrednosti med seboj.. Sposobnost dela s tem oddelkom matematike pomaga pri nadaljnjem preučevanju matematičnih tem, zlasti frakcij različnih stopenj zapletenosti.

Ne pozabite občasno reševati primerov z različnimi metodami, to razvija logični aparat in vam omogoča, da si zapomnite številne izraze. Naučite se metod za iskanje takšnega indikatorja in dobro boste sodelovali z ostalimi matematičnimi odseki. Srečno učenje matematike!