Primeri ulomnih racionalnih izrazov z rešitvami. racionalno izražanje

Članek govori o preobrazbi racionalni izrazi. Razmislite o vrstah racionalnih izrazov, njihovih transformacijah, združevanju v skupine, skupnem faktorju v oklepajih. Naučimo se predstaviti ulomne racionalne izraze v obliki racionalne ulomke.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Definicija in primeri racionalnih izrazov

Opredelitev 1

Izrazi, ki so sestavljeni iz številk, spremenljivk, oklepajev, stopinj z dejanji seštevanja, odštevanja, množenja, deljenja s prisotnostjo ulomne črte se imenujejo racionalni izrazi.

Na primer, imamo, da je 5 , 2 3 x - 5 , - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 xy 2 - 1 11 x 3 .

To pomeni, da so to izrazi, ki nimajo delitve na izraze s spremenljivkami. Preučevanje racionalnih izrazov se začne pri 8. razredu, kjer jih imenujemo ulomni racionalni izrazi, posebna pozornost je namenjena ulomkom v števcu, ki se pretvarjajo s pomočjo transformacijskih pravil.

To nam omogoča, da nadaljujemo s preoblikovanjem racionalnih ulomkov poljubne oblike. Takšen izraz lahko obravnavamo kot izraz s prisotnostjo racionalnih ulomkov in celoštevilskih izrazov z znaki dejanj.

Glavne vrste transformacij racionalnih izrazov

Racionalni izrazi se uporabljajo za izvajanje enakih transformacij, združevanja, redukcije podobnih, izvajanje drugih operacij s številkami. Namen takšnih izrazov je poenostavitev.

Primer 1

Pretvori racionalni izraz 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

Rešitev

Vidimo, da je tak racionalni izraz razlika 3 · x x · y-1 in 2 · x x · y-1. Upoštevajte, da imajo enak imenovalec. To pomeni, da ima redukcija podobnih izrazov obliko

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

odgovor: 3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 .

Primer 2

Izvedite transformacijo 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) .

Rešitev

Na začetku izvedemo dejanja v oklepajih 3 · x − x = 2 · x . Ta izraz je predstavljen kot 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x. Pridemo do izraza, ki vsebuje dejanja z eno stopnjo, torej ima seštevanje in odštevanje.

Znebite se oklepajev z uporabo lastnosti delitve. Potem dobimo, da je 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x .

Številčne faktorje združimo s spremenljivko x, nato pa lahko izvajamo operacije s potenci. To razumemo

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

odgovor: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4 .

Primer 3

Pretvori izraz v obliki x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .

Rešitev

Najprej pretvorimo števec in imenovalec. Nato dobimo izraz v obliki (x (x + 3) - (3 x + 1)) : 1 2 x 4 + 2 in najprej se izvedejo dejanja v oklepajih. V števcu se izvajajo dejanja in faktorji so združeni. Nato dobimo izraz v obliki x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x 2 + 3 x - 3 x - 1 1 2 4 x + 2 = x 2 - 1 2 x + 2 .

Pretvorimo formulo za razliko kvadratov v števcu, nato dobimo to

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

Odgovori: x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x - 1 2 .

Predstavitev kot racionalni ulomek

Algebraični ulomek je pri reševanju najpogosteje podvržen poenostavitvi. Vsak razum je reduciran na to različne poti. Vse je treba narediti potrebna dejanja s polinomi, tako da lahko racionalni izraz na koncu da racionalni ulomek.

Primer 4

Izrazite kot racionalni ulomek a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a .

Rešitev

Ta izraz lahko predstavimo kot 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a . Množenje se najprej izvede v skladu s pravili.

Začeti bi morali z množenjem, potem to dobimo

a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a

Izdelamo predstavitev rezultata, pridobljenega z izvirnikom. To razumemo

a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a

Zdaj pa naredimo odštevanje:

a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a = a + 5 a + 3 a (a - 3) (a + 3) - (a - 5) (a - 3) (a + 3) a ( a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 aa (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9

Po tem je očitno, da bo prvotni izraz dobil obliko 16 a 2 - 9 .

odgovor: a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = 16 a 2 - 9 .

Primer 5

Izrazite x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x kot racionalni ulomek.

Rešitev

Dani izraz je zapisan kot ulomek, v števcu katerega je x x + 1 + 1, v imenovalcu pa 2 x - 1 1 + x. Potrebno je narediti transformacije x x + 1 + 1 . Če želite to narediti, morate dodati ulomek in številko. Dobimo, da je xx + 1 + 1 = xx + 1 + 1 1 = xx + 1 + 1 (x + 1) 1 (x + 1) = xx + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

Iz tega sledi, da je x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

Nastali ulomek lahko zapišemo kot 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x .

Po delitvi pridemo do racionalnega ulomka obrazca

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1

Rešite ga lahko drugače.

Namesto da bi delili z 2 x - 1 1 + x, pomnožimo z recipročno vrednostjo 1 + x 2 x - 1. Z uporabo lastnosti distribucije dobimo to

xx + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = xx + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = xx + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = xx + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

odgovor: x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 2 x - 1 .

Če opazite napako v besedilu, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Ta lekcija bo zajemala osnovne informacije o racionalnih izrazih in njihovih transformacijah ter primere transformacije racionalnih izrazov. Ta tema povzema teme, ki smo jih do sedaj preučevali. Transformacije racionalnih izrazov vključujejo seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje, stopnjevanje algebraične ulomke, redukcija, faktorizacija itd. V sklopu lekcije si bomo ogledali, kaj je racionalni izraz, in analizirali tudi primere za njihovo preoblikovanje.

tema:Algebraični ulomki. Aritmetične operacije nad algebrskimi ulomki

Lekcija:Osnovne informacije o racionalnih izrazih in njihovih transformacijah

Opredelitev

racionalno izražanje je izraz, sestavljen iz številk, spremenljivk, aritmetičnih operacij in stopnjevanja.

Razmislite o primeru racionalnega izraza:

Posebni primeri racionalnih izrazov:

1. stopnja: ;

2. monom: ;

3. ulomek: .

Racionalna transformacija izraza je poenostavitev racionalnega izraza. Vrstni red operacij pri pretvorbi racionalnih izrazov: najprej so dejanja v oklepajih, nato množenje (deljenje) in nato seštevanje (odštevanje).

Oglejmo si nekaj primerov preoblikovanja racionalnih izrazov.

Primer 1

rešitev:

Rešimo ta primer korak za korakom. Najprej se izvede dejanje v oklepajih.

odgovor:

Primer 2

rešitev:

odgovor:

Primer 3

rešitev:

odgovor: .

Opomba: mogoče ko vidiš ta primer pojavila se je ideja: zmanjšati ulomek, preden pripeljemo do skupnega imenovalca. Dejansko je popolnoma pravilno: najprej je zaželeno čim bolj poenostaviti izraz in ga nato preoblikovati. Isti primer poskusimo rešiti na drugi način.

Kot vidite, se je odgovor izkazal za popolnoma podoben, vendar se je rešitev izkazala za nekoliko preprostejšo.

V tej lekciji smo si ogledali racionalni izrazi in njihove transformacije, pa tudi več konkretni primeri podatke o transformaciji.

Bibliografija

1. Bašmakov M.I. Algebra 8. razred. - M.: Razsvetljenje, 2004.

2. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovič E.A. in drugi Algebra 8. - 5. izd. - M.: Izobraževanje, 2010.

Ta članek govori o transformacija racionalnih izrazov, večinoma delno racionalno, je eno ključnih vprašanj predmeta algebra za 8. razrede. Najprej se spomnimo, kakšne vrste izrazov imenujemo racionalni. Nato se bomo osredotočili na izvajanje standardnih transformacij z racionalnimi izrazi, kot so združevanje izrazov, izločanje skupnih faktorjev iz oklepajev, zmanjševanje podobnih izrazov itd. Na koncu se bomo naučili predstaviti ulomne racionalne izraze kot racionalne ulomke.

Navigacija po straneh.

Definicija in primeri racionalnih izrazov

Racionalni izrazi so ena od vrst izrazov, ki se preučujejo pri pouku algebre v šoli. Dajmo definicijo.

Opredelitev.

Izrazi, sestavljeni iz številk, spremenljivk, oklepajev, stopinj s celimi eksponenti, povezani z znaki aritmetične operacije+, − in:, kjer je deljenje mogoče označiti s črto ulomka, se kličejo racionalni izrazi.

Tukaj je nekaj primerov racionalnih izrazov: .

Racionalne izraze se začnejo namensko učiti v 7. razredu. Še več, v 7. razredu se učijo osnove dela s t.i celotne racionalne izraze, torej z racionalnimi izrazi, ki ne vsebujejo delitve na izraze s spremenljivkami. Za to se dosledno preučujejo monomi in polinomi ter načela za izvajanje dejanj z njimi. Vse to znanje vam sčasoma omogoča izvedbo transformacije celih izrazov.

V 8. razredu preidejo na študij racionalnih izrazov, ki vsebujejo deljenje z izrazom s spremenljivkami, ki se imenujejo frakcijski racionalni izrazi. Pri čemer Posebna pozornost dano na t.i racionalne ulomke(imenovano tudi algebraične ulomke), to je ulomke, katerih števec in imenovalec vsebujeta polinome. To na koncu omogoča izvedbo transformacije racionalnih ulomkov.

Pridobljene veščine nam omogočajo, da nadaljujemo s preoblikovanjem racionalnih izrazov poljubne oblike. To je razloženo z dejstvom, da lahko vsak racionalni izraz obravnavamo kot izraz, sestavljen iz racionalnih ulomkov in celih izrazov, povezanih z znaki aritmetičnih operacij. In že znamo delati s celimi izrazi in algebrskimi ulomki.

Glavne vrste transformacij racionalnih izrazov

Z racionalnimi izrazi lahko izvedete katero koli od osnovnih transformacij identitete, pa naj gre za združevanje izrazov ali faktorjev, prinašanje podobnih izrazov, izvajanje operacij s številkami itd. Običajno je namen teh transformacij racionalna poenostavitev izraza.

Primer.

.

Rešitev.

Jasno je, da je ta racionalni izraz razlika dveh izrazov in poleg tega sta si ti izrazi podobni, saj imajo enak dobesedni del. Tako lahko izvedemo redukcijo podobnih izrazov:

odgovor:

.

Jasno je, da je treba pri izvajanju transformacij z racionalnimi izrazi, tako kot pri vseh drugih izrazih, ostati v okviru sprejetega vrstnega reda dejanj.

Primer.

Preoblikovanje racionalnega izraza.

Rešitev.

Vemo, da se dejanja v oklepajih izvedejo prva. Zato najprej pretvorimo izraz v oklepajih: 3 x − x=2 x .

Zdaj lahko rezultat nadomestite v izvirnem racionalnem izrazu: . Tako smo prišli do izraza, ki vsebuje dejanja ene stopnje - seštevanje in množenje.

Znebimo se oklepajev na koncu izraza tako, da uporabimo lastnost delitve po produktu: .

Končno lahko združimo številčne faktorje in faktorje s spremenljivko x, nato pa izvedemo ustrezne operacije nad številkami in uporabimo : .

S tem se zaključi transformacija racionalnega izraza in kot rezultat smo dobili monom.

odgovor:

Primer.

Transformirajte racionalni izraz .

Rešitev.

Najprej pretvorimo števec in imenovalec. Ta vrstni red preoblikovanja ulomkov je razložen z dejstvom, da je črta ulomka v bistvu še ena oznaka deljenja, izvirni racionalni izraz pa je v bistvu posebna oblika , in dejanja v oklepajih se izvedejo najprej.

Torej v števcu izvajamo operacije s polinomi, najprej množenje, nato odštevanje, v imenovalcu pa združimo številčne faktorje in izračunamo njihov produkt: .

Predstavljajmo si tudi števec in imenovalec nastalega ulomka kot produkt: nenadoma je mogoče zmanjšati algebraični ulomek. Če želite to narediti, v števcu, ki ga uporabljamo Formula razlike kvadratov, in v imenovalcu vzamemo dvojko iz oklepajev, imamo .

odgovor:

.

Torej, začetno seznanitev s transformacijo racionalnih izrazov lahko štejemo za opravljeno. Prehajamo tako rekoč do najslajšega.

Predstavitev kot racionalni ulomek

Najpogostejši končni cilj preoblikovanja izrazov je poenostavitev njihove oblike. V tej luči najbolj preprost pogled, v katerega je mogoče pretvoriti ulomno racionalni izraz, je racionalni (algebraični) ulomek, v določenem primeru pa polinom, monom ali število.

Ali je mogoče kateri koli racionalni izraz predstaviti kot racionalni ulomek? Odgovor je pritrdilen. Pojasnimo, zakaj je temu tako.

Kot smo že povedali, lahko vsak racionalni izraz obravnavamo kot polinome in racionalne ulomke, povezane z znaki plus, minus, množimo in delimo. Vse ustrezne operacije nad polinomi dajejo polinom ali racionalni ulomek. Vsak polinom lahko pretvorimo v algebraični ulomek tako, da ga zapišemo z imenovalcem 1. In seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje racionalnih ulomkov povzroči nov racionalni ulomek. Zato po izvedbi vseh operacij s polinomi in racionalnimi ulomki v racionalnem izrazu dobimo racionalni ulomek.

Primer.

Izraz izrazite kot racionalni ulomek .

Rešitev.

Prvotni racionalni izraz je razlika med ulomkom in zmnožkom ulomkov oblike . Po vrstnem redu operacij moramo najprej opraviti množenje, šele nato seštevanje.

Začnemo z množenjem algebrskih ulomkov:

Dobljeni rezultat nadomestimo v izvirni racionalni izraz: .

Prišli smo do odštevanja algebraičnih ulomkov z različni imenovalci:

Torej, ko smo izvedli dejanja z racionalnimi ulomki, ki sestavljajo prvotni racionalni izraz, smo ga predstavili kot racionalni ulomek.

odgovor:

.

Za utrjevanje gradiva bomo analizirali rešitev drugega primera.

Primer.

Racionalni izraz izrazite kot racionalni ulomek.

Kaj frakcijski izraz(točka 48) lahko zapišemo kot , kjer sta P in Q racionalna izraza, Q pa nujno vsebuje spremenljivke. Takšen ulomek se imenuje racionalen ulomek.

Primeri racionalnih ulomkov:

Glavna lastnost ulomka je izražena z istovetnostjo, ki velja pod tukajšnjimi pogoji - celoten racionalni izraz. To pomeni, da je mogoče števec in imenovalec racionalnega ulomka pomnožiti ali deliti z istim številom, ki ni nič, monomom ali polinomom.

Na primer, lastnost ulomka se lahko uporabi za spreminjanje predznakov članov ulomka. Če števec in imenovalec ulomka pomnožimo z -1, dobimo Tako se vrednost ulomka ne bo spremenila, če se hkrati spremenita predznaka števca in imenovalca. Če spremenite predznak samo števca ali samo imenovalca, bo ulomek spremenil svoj predznak:

na primer

60. Redukcija racionalnih ulomkov.

Zmanjšanje ulomka pomeni deliti števec in imenovalec ulomka s skupnim faktorjem. Možnost takšnega zmanjšanja je posledica glavne lastnosti ulomka.

Če želite zmanjšati racionalni ulomek, morate razložiti števec in imenovalec. Če se izkaže, da imata števec in imenovalec skupne faktorje, se lahko ulomek zmanjša. Če ni skupnih faktorjev, je pretvorba ulomka z zmanjšanjem nemogoča.

Primer. Zmanjšajte frakcijo

Rešitev. Imamo

Zmanjšanje ulomka se izvede pod pogojem .

61. Približevanje racionalnih ulomkov k skupnemu imenovalcu.

Skupni imenovalec več racionalnih ulomkov je celoten racionalni izraz, ki ga delimo z imenovalcem vsakega ulomka (glej točko 54).

Na primer, polinom služi kot skupni imenovalec ulomkov, saj je deljiv s polinomom in polinomom in polinomom itd. Običajno se vzame tak skupni imenovalec, da je kateri koli drug skupni imenovalec deljiv z Echosen. Ta najpreprostejši imenovalec včasih imenujemo najmanjši skupni imenovalec.

V zgornjem primeru je skupni imenovalec Imamo

Zmanjšanje teh ulomkov na skupni imenovalec dosežemo tako, da števec in imenovalec prvega ulomka pomnožimo z 2. Števec in imenovalec drugega ulomka s polinomi se imenujeta dodatni faktorji za prvi oziroma drugi ulomek. Dodatni faktor za dani ulomek je enak količniku deljenja skupnega imenovalca z imenovalcem danega ulomka.

Če želite več racionalnih ulomkov zmanjšati na skupni imenovalec, potrebujete:

1) imenovalec vsakega ulomka razstavi na faktorje;

2) naredi skupni imenovalec, ki vključuje kot faktorje vse faktorje, pridobljene v odstavku 1) razširitev; če določen faktor obstaja v več razširitvah, se vzame z eksponentom, ki je enak največjemu od razpoložljivih;

3) iskanje dodatnih faktorjev za vsakega od ulomkov (za to se skupni imenovalec deli z imenovalcem ulomka);

4) če pomnožimo števec in imenovalec vsakega ulomka z dodatnim faktorjem, pripeljemo ulomek do skupnega imenovalca.

Primer. Zmanjšaj na skupni imenovalec ulomka

Rešitev. Razložimo imenovalce:

V skupni imenovalec je treba vključiti naslednje faktorje: in najmanjši skupni večkratnik števil 12, 18, 24, tj. Torej je skupni imenovalec

Dodatni množitelji: za prvi ulomek za drugega za tretjega Torej dobimo:

62. Seštevanje in odštevanje racionalnih ulomkov.

Vsota dveh (in na splošno katerega koli končnega števila) racionalnih ulomkov z enaki imenovalci enako enak ulomku z enakim imenovalcem in s števcem, ki je enak vsoti števcev dodanih ulomkov:

Podobna je situacija pri odštevanju ulomkov z enakimi imenovalci:

Primer 1: Poenostavite izraz

Rešitev.

Če želite sešteti ali odšteti racionalne ulomke z različnimi imenovalci, morate najprej ulomke pripeljati do skupnega imenovalca, nato pa izvesti operacije na dobljenih ulomkih z enakimi imenovalci.

Primer 2: Poenostavite izraz

Rešitev. Imamo

63. Množenje in deljenje racionalnih ulomkov.

Zmnožek dveh (in na splošno katerega koli končnega števila) racionalnih ulomkov je identično enak ulomku, katerega števec je enak zmnožku števcev, imenovalec pa je produkt imenovalcev pomnoženih ulomkov:

Kvocient deljenja dveh racionalnih ulomkov je identično enak ulomku, katerega števec je enak zmnožku števca prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka, imenovalec pa je zmnožek imenovalca prvega ulomka z števec drugega ulomka:

Formulirana pravila za množenje in deljenje veljajo tudi za primer množenja ali deljenja s polinomom: dovolj je, da ta polinom zapišemo kot ulomek z imenovalcem 1.

Glede na možnost zmanjšanja racionalnega ulomka, ki ga dobimo z množenjem ali deljenjem racionalnih ulomkov, se običajno pred izvedbo teh operacij skuša razložiti števce in imenovalce prvotnih ulomkov.

Primer 1. Pomnožite

Rešitev. Imamo

Z uporabo pravila množenja ulomkov dobimo:

Primer 2: Izvedite deljenje

Rešitev. Imamo

Z uporabo pravila delitve dobimo:

64. Dvig racionalnega ulomka na celo število.

Če želite dvigniti racionalni ulomek - na naravno moč, morate števec in imenovalec ulomka dvigniti ločeno na to moč; prvi izraz je števec, drugi izraz pa imenovalec rezultata:

Primer 1. Pretvorite v ulomek potenco 3.

Rešitev Rešitev.

Pri dvigu ulomka na negativno celo število se uporabi identiteta, ki velja za vse vrednosti spremenljivk, za katere .

Primer 2. Pretvorite izraz v ulomek

65. Transformacija racionalnih izrazov.

Preoblikovanje katerega koli racionalnega izraza se nanaša na seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje racionalnih ulomkov, pa tudi na dvig ulomka na naravno potenco. Vsak racionalni izraz je mogoče pretvoriti v ulomek, katerega števec in imenovalec sta celoštevilska racionalna izraza; to je običajno cilj identične transformacije racionalni izrazi.

Primer. Poenostavite izražanje

66. Najenostavnejše transformacije aritmetičnih korenin (radikali).

Pri pretvorbi aritmetičnih koria se uporabljajo njihove lastnosti (glej točko 35).

Razmislite o nekaj primerih uporabe lastnosti aritmetične korenine za najpreprostejše transformacije radikalov. V tem primeru se za vse spremenljivke šteje, da imajo samo nenegativne vrednosti.

Primer 1. Izvlecite koren izdelka

Rešitev. Z uporabo lastnosti 1° dobimo:

Primer 2. Odstranite faktor izpod znaka korena

Rešitev.

Takšno preoblikovanje imenujemo faktoring izpod znaka korena. Namen transformacije je poenostaviti radikalni izraz.

Primer 3: Poenostavite.

Rešitev. Glede na lastnost 3° običajno poskušamo poenostaviti radikalni izraz, za kar vzamejo množitelje onstran znaka korija. Imamo

Primer 4: Poenostavite

Rešitev. Izraz transformiramo tako, da vnesemo faktor pod predznakom korena: Po lastnosti 4° imamo

Primer 5: Poenostavite

Rešitev. Z lastnostjo 5° imamo pravico razdeliti eksponent korena in eksponent korenskega izraza na enako naravno število. Če v obravnavanem primeru navedene kazalnike delimo s 3, dobimo .

Primer 6. Poenostavite izraze:

Rešitev, a) Z lastnostjo 1° dobimo, da za množenje korenov iste stopnje zadostuje, da pomnožimo korenske izraze in iz dobljenega rezultata izvlečemo koren iste stopnje. pomeni,

b) Najprej moramo radikale zmanjšati na en indeks. Glede na lastnost 5° lahko eksponent korena pomnožimo z istim naravnim številom. Torej, Nato imamo v rezultatu, ki ga dobimo z deljenjem kazalnikov korena in stopnje radikalnega izraza s 3, dobimo .