Proučujejo se tudi problemi na kvadratni enačbi šolski kurikulum in na univerzah. Razumemo jih kot enačbe oblike a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, kjer je x- spremenljivka, a,b,c – konstante; a<>0 . Težava je najti korenine enačbe.

Geometrijski pomen kvadratne enačbe

Graf funkcije, ki jo predstavlja kvadratna enačba, je parabola. Rešitve (korenine) kvadratne enačbe so presečišča parabole z osjo x. Iz tega sledi, da so možni trije primeri:
1) parabola nima presečišča z osjo x. To pomeni, da je v zgornji ravnini z vejami navzgor ali spodnji z vejami navzdol. V takih primerih kvadratna enačba nima realnih korenin (ima dve kompleksni koreni).

2) parabola ima eno točko preseka z osjo Ox. Takšna točka se imenuje oglišče parabole in kvadratna enačba v njej pridobi svojo najmanjšo ali največjo vrednost. V tem primeru ima kvadratna enačba en pravi koren (ali dva enaka korena).

3) Zadnji primer je v praksi bolj zanimiv - obstajata dve točki presečišča parabole z osjo abscise. To pomeni, da obstajata dve realni koreni enačbe.

Na podlagi analize koeficientov pri potencih spremenljivk lahko potegnemo zanimive zaključke o postavitvi parabole.

1) Če je koeficient a večji od nič, je parabola usmerjena navzgor, če je negativna, so veje parabole usmerjene navzdol.

2) Če je koeficient b večji od nič, potem leži vrh parabole v levi polravnini, če ima negativno vrednost, potem v desni.

Izpeljava formule za reševanje kvadratne enačbe

Prenesimo konstanto iz kvadratne enačbe

za znak enakosti dobimo izraz

Obe strani pomnožite s 4a

Če želite dobiti cel kvadrat na levi, dodajte b ^ 2 v oba dela in izvedite transformacijo

Od tu najdemo

Formula diskriminante in korenine kvadratne enačbe

Diskriminanta je vrednost radikalnega izraza. Če je pozitivna, ima enačba dva realna korena, izračunana po formuli Ko je diskriminanta nič, ima kvadratna enačba eno rešitev (dve sovpadajoči koreni), kar je enostavno dobiti iz zgornje formule za D = 0. Ko je diskriminanta negativna, ni pravih korenin. Vendar pa se za preučevanje rešitev kvadratne enačbe v kompleksni ravnini njihova vrednost izračuna po formuli

Vietin izrek

Razmislite o dveh koreninah kvadratne enačbe in na njuni podlagi sestavite kvadratno enačbo. Sam Vietin izrek zlahka sledi iz zapisa: če imamo kvadratno enačbo oblike potem je vsota njenih korenov enaka koeficientu p, vzetemu z nasprotnim predznakom, in je produkt korenov enačbe enak prostemu členu q. Formula za zgoraj bo videti tako: Če konstanta a v klasični enačbi ni nič, potem morate celotno enačbo deliti z njo in nato uporabiti Vietin izrek.

Razpored kvadratne enačbe na faktorjih

Naj bo postavljena naloga: razstaviti kvadratno enačbo na faktorje. Za izvedbo najprej rešimo enačbo (poiščemo korenine). Nato najdene korenine nadomestimo v formulo za razširitev kvadratne enačbe.Ta problem bo rešen.

Naloge za kvadratno enačbo

1. naloga. Poiščite korenine kvadratne enačbe

x^2-26x+120=0 .

Rešitev: Zapišite koeficiente in jih nadomestite z diskriminantno formulo

koren od dano vrednost enako 14, ga je enostavno najti s kalkulatorjem ali si ga zapomniti ob pogosti uporabi, vendar vam bom zaradi udobja na koncu članka dal seznam kvadratov števil, ki jih je pogosto mogoče najti v takšnih nalogah .
Najdena vrednost se nadomesti v korensko formulo

in dobimo

2. naloga. reši enačbo

2x2+x-3=0.

Rešitev: Imamo popolno kvadratno enačbo, izpišemo koeficiente in poiščemo diskriminanta


Avtor znane formule poiščite korenine kvadratne enačbe

3. naloga. reši enačbo

9x2 -12x+4=0.

Rešitev: Imamo popolno kvadratno enačbo. Določite diskriminanto

Dobili smo primer, ko korenine sovpadajo. Vrednosti korenov najdemo po formuli

4. naloga. reši enačbo

x^2+x-6=0 .

Rešitev: V primerih, ko so koeficienti za x majhni, je priporočljivo uporabiti Vietin izrek. Glede na njegov pogoj dobimo dve enačbi

Iz drugega pogoja dobimo, da mora biti produkt enak -6. To pomeni, da je ena od korenin negativna. Imamo naslednji možni par rešitev(-3;2), (3;-2) . Ob upoštevanju prvega pogoja zavrnemo drugi par rešitev.
Korenine enačbe so

5. naloga. Poišči dolžine stranic pravokotnika, če je njegov obseg 18 cm, površina pa 77 cm 2.

Rešitev: polovica oboda pravokotnika je enaka vsoti sosednjih stranic. Označimo x - velika stran, potem je 18-x njegova manjša stran. Površina pravokotnika je enaka zmnožku teh dolžin:
x(18x)=77;
oz
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Poiščite diskriminanto enačbe

Izračunamo korenine enačbe

Če x=11, potem 18x=7, velja tudi obratno (če je x=7, potem je 21-x=9).

Problem 6. Faktorizirajte kvadratno enačbo 10x 2 -11x+3=0.

Rešitev: Izračunajte korenine enačbe, za to najdemo diskriminanta

Najdeno vrednost nadomestimo v formulo korenin in izračunamo

Uporabimo formulo za razširitev kvadratne enačbe v smislu korenin

Če razširimo oklepaje, dobimo identiteto.

Kvadratna enačba s parametrom

Primer 1. Za katere vrednosti parametra a , ali ima enačba (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 en koren?

Rešitev: Z neposredno zamenjavo vrednosti a=3 vidimo, da nima rešitve. Nadalje bomo uporabili dejstvo, da ima enačba z ničelnim diskriminantom en koren večkratnosti 2. Izpišimo diskriminant

poenostavimo in izenačimo z nič

Dobili smo kvadratno enačbo glede na parameter a, katere rešitev je enostavno dobiti z uporabo Vietovega izreka. Vsota korenin je 7, njihov zmnožek pa 12. S preprostim naštevanjem ugotovimo, da bodo številke 3.4 korenine enačbe. Ker smo rešitev a=3 že na začetku izračunov zavrnili, bo edina pravilna - a=4. Tako ima enačba za a = 4 en koren.

Primer 2. Za katere vrednosti parametra a , enačbo a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ima več kot en koren?

Rešitev: Najprej razmislite o singularnih točkah, to bo vrednosti a=0 in a=-3. Ko je a=0, bo enačba poenostavljena na obliko 6x-9=0; x=3/2 in bo en koren. Za a= -3 dobimo identiteto 0=0.
Izračunaj diskriminanto

in poiščite vrednosti a, za katere je pozitiven

Iz prvega pogoja dobimo a>3. Za drugo najdemo diskriminanto in korenine enačbe


Določimo intervale, kjer funkcija zavzame pozitivne vrednosti. Z zamenjavo točke a=0 dobimo 3>0 . Torej, zunaj intervala (-3; 1/3) je funkcija negativna. Ne pozabite na piko a=0 kar je treba izključiti, saj ima izvirna enačba en koren.
Kot rezultat dobimo dva intervala, ki izpolnjujeta pogoj problema

Podobnih nalog bo v praksi veliko, poskusite se z nalogami ukvarjati sami in ne pozabite upoštevati pogojev, ki se med seboj izključujejo. Dobro preučite formule za reševanje kvadratnih enačb, pogosto so potrebne pri izračunih v različnih problemih in znanostih.

AT moderna družba sposobnost izvajanja operacij z enačbami, ki vsebujejo kvadratno spremenljivko, je lahko uporabna na številnih področjih dejavnosti in se v praksi pogosto uporablja v znanstvenih in tehnični razvoj. To lahko dokazuje zasnova morskih in rečnih plovil, letal in raket. S pomočjo takšnih izračunov se določijo trajektorije gibanja različnih teles, vključno z vesoljskimi objekti. Primeri z reševanjem kvadratnih enačb se ne uporabljajo samo pri ekonomskem napovedovanju, pri načrtovanju in gradnji stavb, temveč tudi v najbolj običajnih vsakdanjih okoliščinah. Morda bodo potrebni v pohodniški izleti, pri športu, v trgovinah pri nakupovanju in v drugih zelo pogostih situacijah.

Izraz razdelimo na komponentne faktorje

Stopnja enačbe je določena z največjo vrednostjo stopnje spremenljivke, ki jo vsebuje podani izraz. Če je enak 2, se takšna enačba imenuje kvadratna enačba.

Če govorimo v jeziku formul, potem lahko te izraze, ne glede na to, kako izgledajo, vedno spravimo v obliko, ko je leva stran izraza sestavljena iz treh izrazov. Med njimi: ax 2 (to je spremenljivka na kvadrat s svojim koeficientom), bx (neznana brez kvadrata s svojim koeficientom) in c (prosta komponenta, torej navadno število). Vse to je na desni strani enako 0. V primeru, ko tak polinom nima enega od svojih sestavnih členov, z izjemo osi 2, se imenuje nepopolna kvadratna enačba. Najprej je treba obravnavati primere z rešitvijo tovrstnih problemov, pri katerih vrednosti spremenljivk ni težko najti.

Če je videti, da ima izraz dva izraza na desni strani izraza, natančneje ax 2 in bx, je x najlažje najti tako, da spremenljivko v oklepaju. Zdaj bo naša enačba videti takole: x(ax+b). Nadalje postane očitno, da je bodisi x=0, ali pa se problem zmanjša na iskanje spremenljivke iz naslednjega izraza: ax+b=0. To narekuje ena od lastnosti množenja. Pravilo pravi, da zmnožek dveh faktorjev povzroči 0 samo, če je eden od njiju nič.

Primer

x=0 ali 8x - 3 = 0

Kot rezultat dobimo dva korena enačbe: 0 in 0,375.

Takšne enačbe lahko opišejo gibanje teles pod delovanjem gravitacije, ki so se začela premikati od določene točke, vzete za izhodišče. tukaj matematični zapis ima naslednjo obliko: y = v 0 t + gt 2 /2. Če zamenjate potrebne vrednosti, izenačite desno stran z 0 in poiščete možne neznanke, lahko ugotovite čas, ki je pretekel od trenutka, ko se telo dvigne do trenutka, ko pade, pa tudi številne druge količine. Toda o tem bomo govorili kasneje.

Faktoriranje izraza

Zgoraj opisano pravilo omogoča reševanje teh težav in še več težki primeri. Razmislite o primerih z rešitvijo kvadratnih enačb te vrste.

X2 - 33x + 200 = 0

tole kvadratni trinom je popolna. Najprej pretvorimo izraz in ga razstavimo na faktorje. Dva sta: (x-8) in (x-25) = 0. Kot rezultat, imamo dva korena 8 in 25.

Primeri z rešitvijo kvadratnih enačb v razredu 9 omogočajo tej metodi, da najde spremenljivko v izrazih ne le drugega, ampak celo tretjega in četrtega reda.

Na primer: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Ko delimo desno stran na faktorje s spremenljivko, so trije izmed njih, torej (x + 1), (x-3) in (x + 3).

Posledično postane očitno, da dano enačbo ima tri korenine: -3; -ena; 3.

Ekstrahiranje kvadratnega korena

Drug primer nepopolne enačbe drugega reda je izraz, napisan v jeziku črk tako, da je desna stran zgrajena iz komponent ax 2 in c. Tukaj, da dobimo vrednost spremenljivke, se prenese prosti izraz desna stran, nato pa iz obeh delov enakosti, Kvadratni koren. Treba je opozoriti, da sta v tem primeru običajno dva korena enačbe. Izjema so le enakosti, ki sploh ne vsebujejo izraza c, kjer je spremenljivka enaka nič, pa tudi različice izrazov, ko se desna stran izkaže za negativno. V slednjem primeru rešitev sploh ni, saj zgornjih dejanj ni mogoče izvesti s koreninami. Upoštevati je treba primere rešitev tovrstnih kvadratnih enačb.

V tem primeru bosta koreni enačbe številki -4 in 4.

Izračun površine zemljišča

Potreba po tovrstnih izračunih se je pojavila že v starih časih, saj je razvoj matematike v veliki meri v teh daljni časi je bila posledica potrebe po čim bolj natančno določitvi površin in obodov zemljiških parcel.

Upoštevati moramo tudi primere z reševanjem kvadratnih enačb, sestavljenih na podlagi tovrstnih problemov.

Torej, recimo, da obstaja pravokotno območje zemljišča, katerega dolžina je 16 metrov večja od širine. Poiščite dolžino, širino in obseg mesta, če je znano, da je njegova površina 612 m 2.

Ko se lotimo posla, bomo najprej naredili potrebno enačbo. Označimo širino odseka kot x, potem bo njegova dolžina (x + 16). Iz zapisanega sledi, da je površina določena z izrazom x (x + 16), ki je glede na pogoj našega problema 612. To pomeni, da je x (x + 16) \u003d 612.

Rešitve popolnih kvadratnih enačb in ta izraz je ravno to, ni mogoče narediti na enak način. zakaj? Čeprav leva stran še vedno vsebuje dva faktorja, njun zmnožek sploh ni enak 0, zato se tukaj uporabljajo druge metode.

Diskriminantno

Najprej naredimo potrebne transformacije, nato videz ta izraz bo videti takole: x 2 + 16x - 612 = 0. To pomeni, da smo prejeli izraz v obliki, ki ustreza predhodno določenemu standardu, kjer je a=1, b=16, c=-612.

To je lahko primer reševanja kvadratnih enačb z diskriminanto. tukaj potrebni izračuni izdelano po shemi: D = b 2 - 4ac. Ta pomožna vrednost ne omogoča samo iskanja želenih vrednosti v enačbi drugega reda, temveč določa število opcije. V primeru D>0 sta dva; za D=0 obstaja en koren. V primeru D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O koreninah in njihovi formuli

V našem primeru je diskriminant: 256 - 4(-612) = 2704. To pomeni, da ima naš problem odgovor. Če veste, da je treba reševanje kvadratnih enačb nadaljevati s spodnjo formulo. Omogoča vam izračun korenin.

To pomeni, da je v predstavljenem primeru: x 1 =18, x 2 =-34. Druga možnost v tej dilemi ne more biti rešitev, saj velikosti parcele ni mogoče izmeriti v negativnih vrednostih, kar pomeni, da je x (to je širina parcele) 18 m. Od tu izračunamo dolžino: 18+16=34, obod pa 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Primeri in naloge

Nadaljujemo s študijem kvadratnih enačb. Primeri in podrobna rešitev večih od njih bodo navedeni spodaj.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Vse prenesemo na levo stran enačbe, naredimo transformacijo, torej dobimo obliko enačbe, ki jo običajno imenujemo standardna, in jo enačimo z ničlo.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Ko dodamo podobne, določimo diskriminanta: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Torej bo naša enačba imela dva korena. Izračunamo jih po zgornji formuli, kar pomeni, da bo prvi od njih enak 4/3, drugi pa 1.

2) Zdaj bomo razkrili uganke drugačne vrste.

Ugotovimo, ali tukaj sploh obstajajo koreni x 2 - 4x + 5 = 1? Za izčrpen odgovor pripeljemo polinom v ustrezno znano obliko in izračunamo diskriminanta. V tem primeru ni treba reševati kvadratne enačbe, ker bistvo problema sploh ni v tem. V tem primeru je D \u003d 16 - 20 \u003d -4, kar pomeni, da v resnici ni korenin.

Vietin izrek

Kvadratne enačbe je primerno reševati z zgornjimi formulami in diskriminanto, ko iz vrednosti slednje izvlečemo kvadratni koren. Toda to se ne zgodi vedno. Vendar pa obstaja veliko načinov za pridobitev vrednosti spremenljivk v tem primeru. Primer: reševanje kvadratnih enačb z uporabo Vietinega izreka. Poimenovana je po človeku, ki je živel v Franciji v 16. stoletju in je zaradi svojega matematičnega talenta in povezav na dvoru naredil sijajno kariero. Njegov portret si lahko ogledate v članku.

Vzorec, ki ga je opazil slavni Francoz, je bil naslednji. Dokazal je, da je vsota korenov enačbe enaka -p=b/a, njihov produkt pa ustreza q=c/a.

Zdaj pa poglejmo konkretne naloge.

3x2 + 21x - 54 = 0

Za preprostost preoblikujemo izraz:

x 2 + 7x - 18 = 0

Z uporabo Vietinega izreka dobimo naslednje: vsota korenin je -7, njihov produkt pa -18. Od tu dobimo, da sta korenina enačbe številki -9 in 2. Ko smo opravili preverjanje, se bomo prepričali, da se te vrednosti spremenljivk resnično ujemajo z izrazom.

Graf in enačba parabole

Koncepti kvadratne funkcije in kvadratne enačbe tesno povezana. Primeri tega so bili že prej navedeni. Zdaj pa si poglejmo nekaj matematičnih ugank malo bolj podrobno. Vsako enačbo opisanega tipa je mogoče vizualno predstaviti. Takšna odvisnost, narisana v obliki grafa, se imenuje parabola. Njegove različne vrste so prikazane na spodnji sliki.

Vsaka parabola ima vrh, to je točko, iz katere izhajajo njene veje. Če je a>0, gredo visoko v neskončnost, in ko a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizualni prikazi funkcij pomagajo rešiti vse enačbe, vključno s kvadratnimi. Ta metoda se imenuje grafična. In vrednost spremenljivke x je abscisna koordinata na točkah, kjer se črta grafa seka z 0x. Koordinate oglišča lahko najdete s formulo, ki je bila pravkar podana x 0 = -b / 2a. In če dobljeno vrednost nadomestite v prvotno enačbo funkcije, lahko ugotovite y 0, to je drugo koordinato oglišča parabole, ki pripada osi y.

Presek vej parabole z osjo abscise

Primerov z rešitvijo kvadratnih enačb je veliko, obstajajo pa tudi splošni vzorci. Upoštevajmo jih. Jasno je, da je presečišče grafa z osjo 0x za a>0 možno le, če ima y 0 negativne vrednosti. In za a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Sicer pa D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Iz grafa parabole lahko določite tudi korenine. Velja tudi obratno. To pomeni, da če ni enostavno dobiti vizualne predstavitve kvadratne funkcije, lahko izenačite desno stran izraza z 0 in rešite nastalo enačbo. In če poznamo presečišča z osjo 0x, je lažje narisati.

Iz zgodovine

S pomočjo enačb, ki vsebujejo kvadratno spremenljivko, v starih časih niso izvajali le matematičnih izračunov in določali površino geometrijskih oblik. Stari ljudje so takšne izračune potrebovali za veličastna odkritja na področju fizike in astronomije, pa tudi za izdelavo astroloških napovedi.

Kot kažejo sodobni znanstveniki, so bili prebivalci Babilona med prvimi, ki so rešili kvadratne enačbe. Zgodilo se je štiri stoletja pred prihodom naše dobe. Seveda so se njihovi izračuni bistveno razlikovali od trenutno sprejetih in so se izkazali za veliko bolj primitivne. Na primer, mezopotamski matematiki niso imeli pojma o obstoju negativnih števil. Prav tako niso poznali drugih tankosti, ki jih pozna kateri koli študent našega časa.

Morda še prej kot babilonski znanstveniki se je modrec iz Indije Baudhayama lotil rešitve kvadratnih enačb. To se je zgodilo približno osem stoletij pred prihodom Kristusove dobe. Res je, enačbe drugega reda, metode za reševanje, ki jih je dal, so bile najpreprostejše. Poleg njega so podobna vprašanja v starih časih zanimala tudi kitajske matematike. V Evropi so kvadratne enačbe začeli reševati šele v začetku 13. stoletja, kasneje pa so jih pri svojem delu uporabljali tako veliki znanstveniki, kot so Newton, Descartes in mnogi drugi.

Kvadratne enačbe se preučujejo v 8. razredu, tako da tukaj ni nič zapletenega. Sposobnost njihovega reševanja je bistvenega pomena.

Kvadratna enačba je enačba v obliki ax 2 + bx + c = 0, kjer so koeficienti a , b in c poljubna števila in a ≠ 0.

Pred preučevanjem posebnih metod reševanja ugotavljamo, da lahko vse kvadratne enačbe razdelimo v tri razrede:

1. Brez korenin;
2. Imajo natanko en koren;
3. Imajo dve različni korenini.

To je pomembna razlika med kvadratnimi in linearnimi enačbami, kjer koren vedno obstaja in je edinstven. Kako ugotoviti, koliko korenov ima enačba? Za to je čudovita stvar - diskriminatorno.

Diskriminantno

Naj je podana kvadratna enačba ax 2 + bx + c = 0. Potem je diskriminant preprosto število D = b 2 − 4ac .

To formulo je treba poznati na pamet. Od kod prihaja, zdaj ni pomembno. Pomembna je še ena stvar: po predznaku diskriminante lahko določite, koliko korenov ima kvadratna enačba. in sicer:

1. Če D< 0, корней нет;
2. Če je D = 0, obstaja točno en koren;
3. Če je D > 0, bosta dva korena.

Upoštevajte: diskriminant označuje število korenin in sploh ne njihovih znakov, kot iz nekega razloga mnogi mislijo. Oglejte si primere in vse boste razumeli sami:

Naloga. Koliko korenov imajo kvadratne enačbe:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapišemo koeficiente za prvo enačbo in poiščemo diskriminanta:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Torej je diskriminant pozitiven, zato ima enačba dva različna korena. Drugo enačbo analiziramo na enak način:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant je negativen, korenin ni. Zadnja enačba ostane:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je enak nič - koren bo ena.

Upoštevajte, da so bili za vsako enačbo izpisani koeficienti. Da, dolgo je, ja, dolgočasno je – vendar ne boste mešali možnosti in ne delajte neumnih napak. Izberite sami: hitrost ali kakovost.

Mimogrede, če "napolnite roko", vam čez nekaj časa ne bo več treba pisati vseh koeficientov. Takšne operacije boste izvajali v glavi. Večina ljudi to začne početi nekje po 50-70 rešenih enačbah – na splošno ne toliko.

Korenine kvadratne enačbe

Zdaj pa preidimo na rešitev. Če je diskriminanta D > 0, lahko korenine najdemo s formulami:

Osnovna formula za korenine kvadratne enačbe

Ko je D = 0, lahko uporabite katero koli od teh formul - dobite enako število, ki bo odgovor. Končno, če D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Prva enačba:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ enačba ima dva korena. Poiščimo jih:

Druga enačba:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ enačba ima spet dva korena. Poiščimo jih

\[\begin(poravnaj) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(poravnaj)\]

Na koncu še tretja enačba:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ enačba ima en koren. Uporabite lahko katero koli formulo. Na primer, prvi:

Kot lahko vidite iz primerov, je vse zelo preprosto. Če poznate formule in znate šteti, ne bo težav. Najpogosteje pride do napak, ko se v formulo nadomestijo negativni koeficienti. Tukaj bo spet pomagala zgoraj opisana tehnika: poglejte formulo dobesedno, pobarvajte vsak korak - in se zelo kmalu znebite napak.

Nepopolne kvadratne enačbe

Zgodi se, da je kvadratna enačba nekoliko drugačna od tiste, ki je podana v definiciji. Na primer:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Zlahka je videti, da v teh enačbah manjka eden od členov. Takšne kvadratne enačbe je še lažje rešiti kot standardne: niti jim ni treba izračunati diskriminante. Torej, predstavimo nov koncept:

Enačbo ax 2 + bx + c = 0 imenujemo nepopolna kvadratna enačba, če je b = 0 ali c = 0, t.j. koeficient spremenljivke x ali prostega elementa je enak nič.

Seveda je možen zelo težak primer, ko sta oba ta koeficienta enaka nič: b \u003d c \u003d 0. V tem primeru ima enačba obliko ax 2 \u003d 0. Očitno ima taka enačba eno samo koren: x \u003d 0.

Razmislimo o drugih primerih. Naj bo b = 0, potem dobimo nepopolno kvadratno enačbo oblike ax 2 + c \u003d 0. Rahlo jo preoblikujemo:

Ker aritmetični kvadratni koren obstaja samo iz nenegativnega števila, je zadnja enakost smiselna le, če je (−c / a ) ≥ 0. Zaključek:

1. Če nepopolna kvadratna enačba v obliki ax 2 + c = 0 izpolnjuje neenakost (−c / a ) ≥ 0, bosta dva korena. Formula je navedena zgoraj;
2. Če (−c / a)< 0, корней нет.

Kot lahko vidite, diskriminant ni bil potreben - v nepopolnih kvadratnih enačbah sploh ni zapletenih izračunov. Pravzaprav se niti ni treba spomniti neenakosti (−c / a ) ≥ 0. Dovolj je, da izrazimo vrednost x 2 in vidimo, kaj je na drugi strani znaka enakosti. Če je število pozitivno, bosta dva korena. Če je negativen, korenin sploh ne bo.

Zdaj pa se ukvarjamo z enačbami v obliki ax 2 + bx = 0, v katerih je prosti element enak nič. Tukaj je vse preprosto: vedno bosta dve korenini. Dovolj je, da polinom faktoriziramo:

Če vzamemo skupni faktor iz oklepaja

Zmnožek je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. Od tod izvirajo korenine. Na koncu bomo analizirali več teh enačb:

Naloga. Rešite kvadratne enačbe:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Ni korenin, ker kvadrat ne more biti enak negativnemu številu.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Kvadratne enačbe. Diskriminantno. Rešitev, primeri.

Pozor!
Obstajajo dodatni
gradivo v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki močno "ni zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Vrste kvadratnih enačb

Kaj je kvadratna enačba? Kako izgleda? V terminu kvadratna enačba ključna beseda je "kvadrat". To pomeni, da v enačbi nujno mora biti x na kvadrat. Poleg tega je v enačbi lahko (ali pa tudi ne!) samo x (do prve stopnje) in samo število (brezplačni član). In ne sme biti x v stopinji, večji od dveh.

V matematičnem smislu je kvadratna enačba enačba v obliki:

tukaj a, b in c- nekaj številk. b in c- absolutno vsak, ampak a- vse prej kot nič. Na primer:

tukaj a =1; b = 3; c = -4

tukaj a =2; b = -0,5; c = 2,2

tukaj a =-3; b = 6; c = -18

No, razumeš idejo...

V teh kvadratnih enačbah je na levi strani polni setčlani. x na kvadrat s koeficientom a, x na prvo potenco s koeficientom b in brezplačni član

Takšne kvadratne enačbe se imenujejo dokončan.

In če b= 0, kaj bomo dobili? Imamo X bo izginil v prvi stopnji. To se zgodi z množenjem z nič.) Izkazalo se je, na primer:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

itd. In če oba koeficienta b in c so enake nič, potem je še enostavneje:

2x 2 = 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Takšne enačbe, kjer nekaj manjka, se imenujejo nepopolne kvadratne enačbe. Kar je povsem logično.) Upoštevajte, da je x na kvadrat prisoten v vseh enačbah.

Mimogrede zakaj a ne more biti nič? In namesto tega zamenjaš a nič.) X v kvadratu bo izginil! Enačba bo postala linearna. In to se naredi drugače ...

To so vse glavne vrste kvadratnih enačb. Popolna in nepopolna.

Rešitev kvadratnih enačb.

Rešitev popolnih kvadratnih enačb.

Kvadratne enačbe je enostavno rešiti. Po formulah in jasno preprosta pravila. Na prvi stopnji potrebujete dano enačbo Voditi do standardni obrazec, tj. na pogled:

Če vam je enačba že dana v tej obliki, vam ni treba narediti prve stopnje.) Glavna stvar je, da pravilno določite vse koeficiente, a, b in c.

Formula za iskanje korenin kvadratne enačbe izgleda takole:

Izraz pod korenskim znakom se imenuje diskriminatorno. A več o njem spodaj. Kot lahko vidite, za iskanje x uporabimo samo a, b in c. tiste. koeficienti iz kvadratne enačbe. Previdno zamenjajte vrednosti a, b in c v to formulo in štejte. Nadomestek s svojimi znaki! Na primer, v enačbi:

a =1; b = 3; c= -4. Tukaj pišemo:

Primer skoraj rešen:

To je odgovor.

Vse je zelo preprosto. In kaj mislite, da ne morete zgrešiti? No ja, kako...

Najpogostejše napake so zamenjava z znaki vrednot a, b in c. Ali bolje rečeno, ne z njihovimi znaki (kje se je tu zmešati?), ampak z zamenjavo negativne vrednosti v formulo za izračun korenin. Tukaj se shrani podroben zapis formule z določenimi številkami. Če obstajajo težave z izračuni, torej naredi!

Recimo, da moramo rešiti naslednji primer:

tukaj a = -6; b = -5; c = -1

Recimo, da veste, da prvič le redko dobite odgovore.

No, ne bodi len. Za pisanje dodatne vrstice bo trajalo 30 sekund in število napak bo močno padel. Zato pišemo podrobno, z vsemi oklepaji in znaki:

Zdi se, da je tako skrbno slikati neverjetno težko. Ampak se samo zdi. Poskusi. No, ali pa izberi. Kaj je bolje, hitro ali prav? Poleg tega te bom osrečil. Čez nekaj časa ne bo treba vsega tako skrbno barvati. Samo prav se bo izkazalo. Še posebej, če uporabljate praktične tehnike, ki so opisane spodaj. Ta zlobni primer s kopico minusov bo rešen enostavno in brez napak!

Toda pogosto so kvadratne enačbe videti nekoliko drugače. Na primer, takole:

Ali ste vedeli?) Da! to je nepopolne kvadratne enačbe.

Rešitev nepopolnih kvadratnih enačb.

Rešimo jih lahko tudi s splošno formulo. Samo pravilno morate ugotoviti, kaj je tukaj enako a, b in c.

Uresničeno? V prvem primeru a = 1; b = -4; a c? Sploh ne obstaja! No, ja, tako je. V matematiki to pomeni, da c = 0 ! To je vse. Namesto tega v formulo nadomestite nič c, in vse se nam bo izšlo. Podobno z drugim primerom. Samo nič tukaj nimamo z, a b !

Toda nepopolne kvadratne enačbe je mogoče rešiti veliko lažje. Brez kakršnih koli formul. Razmislite o prvem nepopolna enačba. Kaj je mogoče storiti na levi strani? X lahko vzamete iz oklepajev! Vzemimo ga ven.

In kaj od tega? In dejstvo, da je produkt enak nič, če in samo če je kateri koli faktor enak nič! Ne verjameš? No, potem si izmislite dve številki, ki ni nič, ki bosta po množenju dali nič!
Ne deluje? nekaj ...
Zato lahko samozavestno zapišemo: x 1 = 0, x 2 = 4.

Vse. To bodo korenine naše enačbe. Oba sta primerna. Ko katero koli od njih nadomestimo v izvirno enačbo, dobimo pravilno identiteto 0 = 0. Kot vidite, je rešitev veliko enostavnejša od splošne formule. Mimogrede ugotavljam, kateri X bo prvi in ​​kateri drugi - je popolnoma brezbrižno. Enostavno pisati po vrstnem redu x 1- kar je manj x 2- tisto, kar je več.

Tudi drugo enačbo je mogoče enostavno rešiti. Premikamo 9 na desno stran. Dobimo:

Ostaja še izvleči koren iz 9 in to je to. Pridobite:

tudi dve korenini . x 1 = -3, x 2 = 3.

Tako se rešujejo vse nepopolne kvadratne enačbe. Ali tako, da vzamemo x iz oklepajev, oz preprost prenosštevilke na desni, sledi ekstrakcija korena.
Te metode je zelo težko zamenjati. Preprosto zato, ker boste morali v prvem primeru izvleči koren iz X, kar je nekako nerazumljivo, v drugem primeru pa ni ničesar vzeti iz oklepajev ...

Diskriminantno. Diskriminantna formula.

Čarobna beseda diskriminatorno ! Redki srednješolec te besede še ni slišal! Besedna zveza "odloči se prek diskriminatorja" je pomirjujoča in pomirjujoča. Ker ni treba čakati na trike diskriminantov! Je preprost in brez težav pri rokovanju.) Najbolj vas spomnim splošna formula za rešitve kaj kvadratne enačbe:

Izraz pod korenskim znakom se imenuje diskriminant. Diskriminant je običajno označen s črko D. Diskriminantna formula:

D = b 2 - 4ac

In kaj je tako posebnega pri tem izrazu? Zakaj si zasluži posebno ime? Kaj pomen diskriminanta? Konec koncev -b, oz 2a v tej formuli ne poimenujejo posebej ... Črke in črke.

Bistvo je to. Pri reševanju kvadratne enačbe s to formulo je to mogoče samo trije primeri.

1. Diskriminant je pozitiven. To pomeni, da lahko iz njega izvlečete koren. Ali je korenina dobro ali slabo izvlečena, je drugo vprašanje. Pomembno je, kaj se načeloma ekstrahira. Potem ima vaša kvadratna enačba dva korena. Dve različni rešitvi.

2. Diskriminant je nič. Potem imate eno rešitev. Ker seštevanje ali odštevanje nič v števcu ne spremeni ničesar. Strogo gledano, to ni en sam koren, ampak dva enaka. Toda v poenostavljeni različici je običajno govoriti o ena rešitev.

3. Diskriminant je negativen. Negativno število ne vzame kvadratnega korena. No, v redu. To pomeni, da ni rešitev.

Če sem iskren, pri preprosta rešitev kvadratne enačbe, koncept diskriminanta ni posebej potreben. V formulo nadomestimo vrednosti koeficientov in upoštevamo. Tam se vse izkaže samo od sebe, in dve korenini, in ena in ne ena sama. Vendar pa pri reševanju več težke naloge, ne da bi vedel pomen in diskriminantna formula ne dovolj. Še posebej - v enačbah s parametri. Takšne enačbe so akrobatika za GIA in enotni državni izpit!)

torej kako rešiti kvadratne enačbe skozi diskriminant, ki si ga zapomnil. Ali naučeno, kar tudi ni slabo.) Znate pravilno prepoznati a, b in c. Ali veste kako pozorno jih nadomestimo v korensko formulo in pozorno preštejte rezultat. Ali ste razumeli, da je ključna beseda tukaj - pozorno?

Zdaj si oglejte praktične tehnike, ki dramatično zmanjšajo število napak. Prav tiste, ki so posledica nepazljivosti ... za kar je potem boleče in žaljivo ...

Prvi sprejem . Ne bodite leni, preden rešite kvadratno enačbo, da jo spravite v standardno obliko. Kaj to pomeni?
Recimo, da po kateri koli transformaciji dobite naslednjo enačbo:

Ne hitite s pisanjem formule korenin! Skoraj zagotovo boste pomešali možnosti a, b in c. Zgradite primer pravilno. Najprej x na kvadrat, nato brez kvadrata, nato prosti član. Všečkaj to:

In še enkrat, ne hitite! Minus pred x na kvadrat vas lahko zelo razburi. Pozabiti je enostavno ... Znebite se minusa. Kako? Ja, kot je bilo učeno v prejšnji temi! Celotno enačbo moramo pomnožiti z -1. Dobimo:

In zdaj lahko varno zapišete formulo za korenine, izračunate diskriminanto in dokončate primer. Odločite se sami. Na koncu bi morali imeti korenine 2 in -1.

Drugi sprejem. Preverite svoje korenine! Po Vietinem izreku. Brez skrbi, vse ti bom razložil! Preverjanje zadnja stvar enačbo. tiste. tisti, s katerim smo zapisali formulo korenin. Če (kot v tem primeru) koeficient a = 1, enostavno preverite korenine. Dovolj je, da jih pomnožimo. Dobiti bi moral brezplačen termin, tj. v našem primeru -2. Bodite pozorni, ne 2, ampak -2! brezplačni član s svojim znakom . Če se ni izšlo, pomeni, da so se že nekje zapletli. Poiščite napako.

Če se je izšlo, morate zložiti korenine. Zadnji in končni pregled. Moralo bi biti razmerje b z nasprotno znak. V našem primeru -1+2 = +1. Koeficient b, ki je pred x, je enako -1. Torej, vse je prav!
Škoda, da je tako preprosto le za primere, kjer je x na kvadrat čist, s koeficientom a = 1. Toda vsaj preverite takšne enačbe! Vse manj napak volja.

Sprejem tretji . Če ima vaša enačba ulomne koeficiente, se znebite ulomkov! Enačbo pomnožite s skupnim imenovalcem, kot je opisano v lekciji "Kako rešiti enačbe? Identitetne transformacije". Pri delu z ulomki se napake iz nekega razloga vzpenjajo ...

Mimogrede, obljubil sem zlobni primer s kopico minusov za poenostavitev. Ni za kaj! Tukaj je.

Da se ne bi zmedli v minusih, enačbo pomnožimo z -1. Dobimo:

To je vse! Odločanje je zabavno!

Torej, povzamemo temo.

Praktični nasveti:

1. Pred reševanjem pripeljemo kvadratno enačbo v standardno obliko, jo zgradimo prav.

2. Če je pred x v kvadratu negativen koeficient, ga odpravimo tako, da celotno enačbo pomnožimo z -1.

3. Če so koeficienti ulomki, ulomke izločimo tako, da celotno enačbo pomnožimo z ustreznim faktorjem.

4. Če je x na kvadrat čist, koeficient pri njem enako ena, rešitev lahko enostavno preverimo z Vietovim izrekom. Naredi!

Zdaj se lahko odločite.)

Reši enačbe:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Odgovori (v neredu):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - poljubno število

x 1 = -3
x 2 = 3

nobenih rešitev

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Ali vse ustreza? V redu! Kvadratne enačbe niso vaše glavobol. Prvi trije so se izkazali, ostali pa ne? Potem problem ni v kvadratnih enačbah. Problem je v identičnih transformacijah enačb. Poglejte povezavo, je v pomoč.

Ne deluje čisto? Ali pa sploh ne deluje? Potem vam bo pomagal razdelek 555. Tam so vsi ti primeri razvrščeni po kosteh. Prikazujem glavni napake v rešitvi. Seveda pa govori tudi o uporabi identične transformacije pri reševanju različnih enačb. Pomaga veliko!

Če vam je to spletno mesto všeč...

Mimogrede, imam za vas še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učenje - z zanimanjem!)

lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

«, torej enačbe prve stopnje. V tej lekciji bomo raziskali kaj je kvadratna enačba in kako jo rešiti.

Kaj je kvadratna enačba

Pomembno!

Stopnja enačbe je določena z najvišjo stopnjo, do katere je neznanka.

Če je največja stopnja, do katere je neznanka, "2", potem imate kvadratno enačbo.

Primeri kvadratnih enačb

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Pomembno! Splošna oblika kvadratne enačbe izgleda takole:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" in "c" - dane številke.

• "a" - prvi ali višji koeficient;
• "b" - drugi koeficient;
• "c" je brezplačen član.

Če želite najti "a", "b" in "c", morate svojo enačbo primerjati s splošno obliko kvadratne enačbe "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Vadimo določanje koeficientov "a", "b" in "c" v kvadratnih enačbah.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Enačba	Kvote
a=5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Kako rešiti kvadratne enačbe

Za razliko od linearne enačbe za reševanje kvadratnih enačb, special formula za iskanje korenin.

Zapomni si!

Za reševanje kvadratne enačbe potrebujete:

• pripeljemo kvadratno enačbo na splošni pogled"ax 2 + bx + c = 0". To pomeni, da na desni strani mora ostati samo "0";
• uporabite formulo za korenine:

Uporabimo primer, da ugotovimo, kako uporabiti formulo za iskanje korenin kvadratne enačbe. Rešimo kvadratno enačbo.

X 2 - 3x - 4 = 0

Enačba "x 2 - 3x - 4 = 0" je že reducirana na splošno obliko "ax 2 + bx + c = 0" in ne zahteva dodatnih poenostavitev. Da ga rešimo, se moramo samo prijaviti Formula za iskanje korenin kvadratne enačbe.

Definirajmo koeficiente "a", "b" in "c" za to enačbo.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Z njeno pomočjo se reši katera koli kvadratna enačba.

V formuli "x 1; 2 \u003d" se korenski izraz pogosto zamenja
"b 2 − 4ac" na črko "D" in se imenuje diskriminant. Koncept diskriminanta je podrobneje obravnavan v lekciji "Kaj je diskriminant".

Razmislite o drugem primeru kvadratne enačbe.

x 2 + 9 + x = 7x

V tej obliki je precej težko določiti koeficiente "a", "b" in "c". Najprej pripeljemo enačbo v splošno obliko "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Zdaj lahko uporabite formulo za korenine.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
Odgovor: x = 3

Obstajajo časi, ko v kvadratnih enačbah ni korenin. Ta situacija se zgodi, ko se v formuli pod korenom pojavi negativno število.