Splošna formula sinusa v trigonometriji. Sinus, kosinus, tangent in kotangens - vse, kar morate vedeti na OGE in USE

Podana so razmerja med glavnimi trigonometričnimi funkcijami - sinusom, kosinusom, tangentom in kotangensom. trigonometrične formule. In ker je med trigonometričnimi funkcijami precej povezav, to pojasnjuje tudi obilico trigonometričnih formul. Nekatere formule povezujejo trigonometrične funkcije istega kota, druge - funkcije večkratnega kota, druge - omogočajo znižanje stopnje, četrte - izražanje vseh funkcij skozi tangento polovičnega kota itd.

V tem članku po vrsti navajamo vse osnovne trigonometrične formule, ki zadostujejo za reševanje velike večine trigonometrijskih problemov. Zaradi lažjega pomnjenja in uporabe jih bomo združili glede na njihov namen in jih vnesli v tabele.

Navigacija po straneh.

Osnovne trigonometrične identitete

Osnovne trigonometrične identitete nastavite razmerje med sinusom, kosinusom, tangentom in kotangensom enega kota. Izhajajo iz definicije sinusa, kosinusa, tangente in kotangensa ter koncepta enotnega kroga. Omogočajo vam, da izrazite eno trigonometrično funkcijo skozi katero koli drugo.

Za podroben opis teh trigonometrijskih formul, njihovo izpeljavo in primere uporabe glejte članek.

Formule za oddajanje

Formule za oddajanje izhajajo iz lastnosti sinusa, kosinusa, tangenta in kotangensa, torej odražajo lastnost periodičnosti trigonometričnih funkcij, lastnost simetrije in tudi lastnost premika za dani kot. Te trigonometrične formule vam omogočajo prehod z dela s poljubnimi koti na delo s koti od nič do 90 stopinj.

Utemeljitev teh formul, mnemonično pravilo za njihovo pomnjenje in primere njihove uporabe je mogoče preučiti v članku.

Formule seštevanja

Trigonometrične formule seštevanja pokažejo, kako so trigonometrične funkcije vsote ali razlike dveh kotov izražene s trigonometričnimi funkcijami teh kotov. Te formule služijo kot osnova za izpeljavo naslednjih trigonometričnih formul.

Formule za dvojno, trojno itd. kota

Formule za dvojno, trojno itd. kota (ime jih tudi formule za več kotov) prikazujejo, kako so trigonometrične funkcije dvojne, trojne itd. koti () so izraženi s trigonometričnimi funkcijami posameznega kota. Njihova izpeljava temelji na formulah za seštevanje.

Podrobnejše informacije so zbrane v formulah članka za dvojno, trojno itd. kot .

Formule polovičnega kota

Formule polovičnega kota pokažejo, kako so trigonometrične funkcije polovičnega kota izražene s kosinusom celega kota. Te trigonometrične formule izhajajo iz formul dvojnega kota.

Njihov zaključek in primere uporabe najdete v članku.

Formule redukcije

Trigonometrične formule za padajoče stopnje so zasnovani tako, da olajšajo prehod od naravnih moči trigonometričnih funkcij do sinusov in kosinusov prve stopnje, vendar več kotov. Z drugimi besedami, omogočajo, da zmanjšamo moči trigonometričnih funkcij na prvo.

Formule za vsoto in razliko trigonometričnih funkcij

glavna destinacija formule vsote in razlike za trigonometrične funkcije sestoji iz prehoda na produkt funkcij, kar je zelo uporabno pri poenostavitvi trigonometričnih izrazov. Te formule se pogosto uporabljajo tudi pri reševanju trigonometričnih enačb, saj omogočajo faktoriranje vsote in razlike sinusov in kosinusov.

Formule za zmnožek sinusov, kosinusov in sinusov za kosinusom

Prehod iz produkta trigonometričnih funkcij na vsoto ali razliko se izvede s formulo za produkt sinusov, kosinusov in sinusov za kosinusom.

Bašmakov M.I. Algebra in začetek analize: Zbornik. za 10-11 celic. povpreč. šola - 3. izd. - M.: Razsvetljenje, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.

algebra in začetek analize: Proc. za 10-11 celic. Splošna izobrazba ustanove / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnicin in drugi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Razsvetljenje, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole): Proc. dodatek.- M.; višje šola, 1984.-351 str., ilustr.

Avtorske pravice pametnih študentov

Vse pravice pridržane.
Zaščiteno z zakonom o avtorskih pravicah. Nobenega dela www.site, vključno z notranjimi materiali in zunanjim dizajnom, ni dovoljeno reproducirati v kakršni koli obliki ali uporabljati brez predhodnega pisnega dovoljenja imetnika avtorskih pravic.

Študij trigonometrije začnemo s pravokotnim trikotnikom. Določimo, kaj sta sinus in kosinus ter tangenta in kotangens akutnega kota. To so osnove trigonometrije.

Spomni se tega pravi kot je kot enak 90 stopinj. Z drugimi besedami, polovica razgrnjenega vogala.

Oster vogal- manj kot 90 stopinj.

Tupi kot- več kot 90 stopinj. V zvezi s takšnim kotom "tupo" ni žalitev, ampak matematični izraz :-)

Narišimo pravokoten trikotnik. Pravi kot je običajno označen. Upoštevajte, da je stran nasproti vogalu označena z isto črko, le majhno. Torej je označena stran, ki leži nasproti kotu A.

Kot je označen z ustrezno grško črko.

Hipotenuza Pravokotni trikotnik je stran, ki je nasprotna pravemu kotu.

Noge- strani nasproti ostrih kotov.

Noga nasproti vogalu se imenuje nasprotno(glede na kot). Druga noga, ki leži na eni strani vogala, se imenuje sosednji.

Sinus ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotnim krakom in hipotenuzo:

kosinus ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo:

Tangenta ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje med nasprotnim krakom in sosednjim:

Druga (enakovredna) definicija: tangent akutnega kota je razmerje med sinusom kota in njegovim kosinusom:

Kotangens ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje med sosednjim krakom in nasprotnim (ali enakovredno razmerje med kosinusom in sinusom):

Bodite pozorni na osnovna razmerja za sinus, kosinus, tangent in kotangens, ki so podana spodaj. Koristne nam bodo pri reševanju težav.

Dokažimo nekatere od njih.

V redu, dali smo definicije in zapisane formule. Toda zakaj potrebujemo sinus, kosinus, tangent in kotangens?

To vemo vsota kotov katerega koli trikotnika je.

Poznamo razmerje med stranke pravokotni trikotnik. To je Pitagorejev izrek: .

Izkazalo se je, da če poznate dva kota v trikotniku, lahko najdete tretjega. Če poznate dve strani v pravokotnem trikotniku, lahko najdete tretjo. Torej, za kote - njihovo razmerje, za stranice - svoje. Toda kaj storiti, če sta v pravokotnem trikotniku znani en kot (razen pravega) in ena stran, vendar morate najti druge strani?

S tem so se ljudje soočali v preteklosti pri izdelavi zemljevidov območja in zvezdnega neba. Navsezadnje ni vedno mogoče neposredno izmeriti vseh stranic trikotnika.

Sinus, kosinus in tangenta - imenujemo jih tudi trigonometrične funkcije kota- navedite razmerje med stranke in vogali trikotnik. Če poznate kot, lahko s posebnimi tabelami najdete vse njegove trigonometrične funkcije. In če poznate sinuse, kosinuse in tangente kotov trikotnika in ene od njegovih stranic, lahko najdete ostalo.

Narisali bomo tudi tabelo vrednosti sinusa, kosinusa, tangenta in kotangensa za "dobre" kote od do.

Bodite pozorni na dve rdeči črtici v tabeli. Za ustrezne vrednosti kotov tangenta in kotangens ne obstajata.

Analizirajmo več problemov v trigonometriji iz nalog Banke FIPI.

1. V trikotniku je kot , . Najti .

Problem je rešen v štirih sekundah.

V kolikor, .

2. V trikotniku je kot , , . Najti .

Poiščimo po Pitagorejevem izreku.

Problem rešen.

Pogosto v težavah so trikotniki s koti in ali s koti in . Zapomnite si osnovna razmerja zanje na pamet!

Za trikotnik s koti in krak nasproti kotu pri je enak polovica hipotenuze.

Trikotnik s koti in je enakokraki. V njem je hipotenuza krat večja od kraka.

Razmišljali smo o problemih za reševanje pravokotnih trikotnikov – torej za iskanje neznanih stranic ali kotov. Ampak to še ni vse! V variantah izpita iz matematike je veliko nalog, kjer se pojavlja sinus, kosinus, tangent ali kotangens zunanjega kota trikotnika. Več o tem v naslednjem članku.

Ne bom te prepričeval, da ne pišeš goljufij. Pišite! Vključno z goljufskimi listi o trigonometriji. Kasneje nameravam razložiti, zakaj so goljufije potrebne in kako so uporabne. In tukaj - informacije o tem, kako se ne naučiti, ampak si zapomniti nekaj trigonometričnih formul. Torej - trigonometrija brez varalice!Za pomnjenje uporabljamo asociacije.

1. Formule seštevanja:

kosinusi vedno "gredo v parih": kosinus-kosinus, sinus-sinus. In še nekaj: kosinusi so "neustrezni". "Vse je narobe", zato spremenijo znake: "-" v "+" in obratno.

Sinusi - "mix": sinus-kosinus, kosinus-sinus.

2. Formule vsote in razlike:

kosinusi vedno "gredo v parih". Ko dodamo dva kosinusa - "žemlje", dobimo par kosinusov - "koloboks". In če odštejemo, kolobokov zagotovo ne bomo dobili. Dobimo par sinusov. Še vedno z minusom naprej.

Sinusi - "mix" :

3. Formule za pretvorbo produkta v vsoto in razliko.

Kdaj dobimo par kosinusov? Pri dodajanju kosinusov. Zato

Kdaj dobimo par sinusov? Pri odštevanju kosinusov. Od tod:

"Mešanje" dobimo tako z dodajanjem kot odštevanjem sinusov. Kaj je bolj zabavno: seštevanje ali odštevanje? Tako je, zložite. In za formulo vzemite dodatek:

V prvi in ​​tretji formuli v oklepaju - znesek. Od prerazporeditve mest izrazov se vsota ne spremeni. Vrstni red je pomemben samo za drugo formulo. Da pa se ne bi zmedli, zaradi lažjega zapomnitve v vseh treh formulah v prvih oklepajih vzamemo razliko

in drugič, vsota

Posteljne rjuhe v žepu zagotavljajo mir: če pozabite formulo, jo lahko odpišete. In dajejo samozavest: če ne uporabite goljufanja, se formule zlahka zapomnijo.

Trigonometrija kot znanost izvira iz starodavnega vzhoda. Prva trigonometrična razmerja so razvili astronomi, da bi ustvarili natančen koledar in orientacijo po zvezdah. Ti izračuni so se nanašali na sferično trigonometrijo, medtem ko v šolskem tečaju preučujejo razmerje med stranicami in kotom ravnega trikotnika.

Trigonometrija je veja matematike, ki se ukvarja z lastnostmi trigonometričnih funkcij ter razmerjem med stranicami in koti trikotnikov.

V času razcveta kulture in znanosti v 1. tisočletju našega štetja se je znanje razširilo od starodavnega vzhoda do Grčije. Toda glavna odkritja trigonometrije so zasluga moških arabskega kalifata. Zlasti turkmenski znanstvenik al-Marazvi je uvedel funkcije, kot sta tangenta in kotangens, sestavil prve tabele vrednosti za sinuse, tangente in kotangense. Koncept sinusa in kosinusa so uvedli indijski znanstveniki. Veliko pozornosti je namenjeno trigonometriji v delih tako velikih antičnih osebnosti, kot so Evklid, Arhimed in Eratosten.

Osnovne količine trigonometrije

Osnovne trigonometrične funkcije numeričnega argumenta so sinus, kosinus, tangent in kotangens. Vsak od njih ima svoj graf: sinus, kosinus, tangent in kotangens.

Formule za izračun vrednosti teh količin temeljijo na Pitagorejevem izreku. Šolarjem je bolj znana formulacija: "Pitagorejske hlače, enake v vseh smereh", saj je dokaz podan na primeru enakokrakega pravokotnega trikotnika.

Sinus, kosinus in druge odvisnosti vzpostavljajo razmerje med ostrimi koti in stranicami katerega koli pravokotnega trikotnika. Podamo formule za izračun teh količin za kot A in sledimo razmerju trigonometričnih funkcij:

Kot lahko vidite, sta tg in ctg inverzni funkciji. Če predstavljamo krak a kot produkt sin A in hipotenuzo c, krak b pa kot cos A * c, dobimo naslednji formuli za tangento in kotangens:

trigonometrični krog

Grafično lahko razmerje omenjenih količin predstavimo na naslednji način:

Krog v tem primeru predstavlja vse možne vrednosti kota α - od 0° do 360°. Kot je razvidno iz slike, ima vsaka funkcija negativno ali pozitivno vrednost, odvisno od kota. Na primer, sin α bo z znakom "+", če α pripada I in II četrtini kroga, torej je v območju od 0 ° do 180 °. Pri α od 180° do 360° (III in IV četrtina) je sin α lahko le negativna vrednost.

Poskusimo sestaviti trigonometrične tabele za določene kote in ugotoviti pomen količin.

Vrednosti α, ki so enake 30°, 45°, 60°, 90°, 180° in tako naprej, se imenujejo posebni primeri. Vrednosti trigonometričnih funkcij zanje so izračunane in predstavljene v obliki posebnih tabel.

Ti koti niso bili izbrani naključno. Oznaka π v tabelah je za radiane. Rad je kot, pri katerem dolžina krožnega loka ustreza njegovemu polmeru. Ta vrednost je bila uvedena, da bi vzpostavili univerzalno razmerje; pri izračunu v radianih dejanska dolžina polmera v cm ni pomembna.

Koti v tabelah za trigonometrične funkcije ustrezajo radianskim vrednostim:

Torej ni težko uganiti, da je 2π cel krog ali 360°.

Lastnosti trigonometričnih funkcij: sinus in kosinus

Za upoštevanje in primerjavo osnovnih lastnosti sinusa in kosinusa, tangenta in kotangensa je treba narisati njihove funkcije. To je mogoče narediti v obliki krivulje, ki se nahaja v dvodimenzionalnem koordinatnem sistemu.

Razmislite o primerjalni tabeli lastnosti za sinusni in kosinusni val:

sinusoida	kosinusni val
y = sin x	y = cos x
ODZ [-1; ena]	ODZ [-1; ena]
sin x = 0, za x = πk, kjer je k ϵ Z	cos x = 0, za x = π/2 + πk, kjer je k ϵ Z
sin x = 1, za x = π/2 + 2πk, kjer je k ϵ Z	cos x = 1, za x = 2πk, kjer je k ϵ Z
sin x = - 1, pri x = 3π/2 + 2πk, kjer je k ϵ Z	cos x = - 1, za x = π + 2πk, kjer je k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, torej liha funkcija	cos (-x) = cos x, torej funkcija je soda
	funkcija je periodična, najmanjša perioda je 2π
sin x › 0, pri čemer x pripada četrti I in II ali od 0° do 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, pri čemer x pripada četrti I in IV ali od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, pri čemer x pripada četrti III in IV ali od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, pri čemer x pripada četrti II in III ali od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
narašča na intervalu [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	narašča na intervalu [-π + 2πk, 2πk]
pada na intervalih [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	v intervalih se zmanjšuje
izpeljanka (sin x)' = cos x	izpeljanka (cos x)’ = - sin x

Ugotavljanje, ali je funkcija soda ali ne, je zelo preprosto. Dovolj je, da si zamislimo trigonometrični krog z znaki trigonometričnih količin in miselno "zložimo" graf glede na os OX. Če so predznaki enaki, je funkcija soda, sicer pa liha.

Uvedba radianov in naštevanje glavnih lastnosti sinusoidnega in kosinusnega vala nam omogočata naslednjo pravilnost:

Zelo enostavno je preveriti pravilnost formule. Na primer, za x = π/2 je sinus enak 1, prav tako kosinus x = 0. Preverjanje je mogoče opraviti s pregledovanjem tabel ali s sledenjem funkcijskih krivulj za dane vrednosti.

Lastnosti tangentoida in kotangtoida

Grafi tangentne in kotangensne funkcije se bistveno razlikujejo od sinusoidnega in kosinusnega vala. Vrednosti tg in ctg sta med seboj inverzni.

1. Y = tgx.
2. Tangenta teži k vrednostim y pri x = π/2 + πk, vendar jih nikoli ne doseže.
3. Najmanjša pozitivna obdobja tangentoida je π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, torej funkcija je liha.
5. Tg x = 0, za x = πk.
6. Funkcija se povečuje.
7. Tg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, za x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Izpeljanka (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Oglejte si grafični prikaz kotangtoida spodaj v besedilu.

Glavne lastnosti kotangtoida:

1. Y = ctgx.
2. Za razliko od sinusnih in kosinusnih funkcij lahko tangentoid Y prevzame vrednosti množice vseh realnih števil.
3. Kotangentoid se nagiba k vrednostim y pri x = πk, vendar jih nikoli ne doseže.
4. Najmanjša pozitivna obdobja kotangentoida je π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, torej funkcija je liha.
6. Ctg x = 0, za x = π/2 + πk.
7. Funkcija se zmanjšuje.
8. Ctg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, za x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Izpeljanka (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Popravi