Poiščite kot med neposrednimi danimi enačbami. Kot med črtami

Opredelitev.Če sta podani dve premici y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , bo ostri kot med tema črtama definiran kot

Dve premici sta vzporedni, če je k 1 = k 2 . Dve premici sta pravokotni, če je k 1 = -1/ k 2 .

Izrek. Ravne črte Ax + Vy + C = 0 in A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 so vzporedne, ko so koeficienti A 1 = λA, B 1 = λB sorazmerni. Če tudi С 1 = λС, potem premici sovpadata. Koordinate presečišča dveh premic najdemo kot rešitev sistema enačb teh premic.

Enačba premice, ki poteka skozi dano točko

Pravokotno na to črto

Opredelitev. Premica, ki poteka skozi točko M 1 (x 1, y 1) in je pravokotna na premico y = kx + b, je predstavljena z enačbo:

Razdalja od točke do črte

Izrek.Če je podana točka M(x 0, y 0), je razdalja do premice Ax + Vy + C \u003d 0 definirana kot

Dokaz. Naj bo točka M 1 (x 1, y 1) osnova navpičnice, spuščena iz točke M na dano premico. Potem je razdalja med točkama M in M 1:

(1)

Koordinati x 1 in y 1 lahko najdemo kot rešitev sistema enačb:

Druga enačba sistema je enačba premice, ki poteka skozi dano točko M 0 pravokotno na dano premo črto. Če prvo enačbo sistema pretvorimo v obliko:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potem z reševanjem dobimo:

Če te izraze nadomestimo v enačbo (1), ugotovimo:

Izrek je dokazan.

Primer. Določi kot med premici: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Primer. Pokažite, da sta premici 3x - 5y + 7 = 0 in 10x + 6y - 3 = 0 pravokotni.

Odločitev. Najdemo: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, zato so črte pravokotne.

Primer. Podana so oglišča trikotnika A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Poiščite enačbo za višino, potegnjeno iz oglišča C.

Odločitev. Najdemo enačbo stranice AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Želena višinska enačba je: Ax + By + C = 0 ali y = kx + b. k = . Potem je y =. Ker višina poteka skozi točko C, potem njene koordinate izpolnjujejo to enačbo: od koder je b = 17. Skupaj: .

Odgovor: 3x + 2y - 34 = 0.

Enačba premice, ki poteka skozi dano točko v dani smeri. Enačba premice, ki poteka skozi dve dani točki. Kot med dvema črtama. Pogoj vzporednosti in pravokotnosti dveh premic. Določanje presečišča dveh premic

1. Enačba premice, ki poteka skozi dano točko A(x 1 , y 1) v določeni smeri, ki jo določa naklon k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ta enačba definira svinčnik premic, ki potekajo skozi točko A(x 1 , y 1), ki se imenuje središče žarka.

2. Enačba premice, ki poteka skozi dve točki: A(x 1 , y 1) in B(x 2 , y 2) je napisano takole:

Naklon premice, ki poteka skozi dve dani točki, je določen s formulo

3. Kot med ravnimi črtami A in B je kot, za katerega je treba zasukati prvo ravno črto A okoli točke presečišča teh premic v nasprotni smeri urinega kazalca, dokler ne sovpada z drugo črto B. Če sta dve premici podani z enačbami naklona

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

potem je kot med njima določen s formulo

Upoštevati je treba, da se v števcu ulomka naklon prve premice odšteje od naklona druge premice.

Če so podane enačbe ravne črte splošni pogled

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

kot med njima je določen s formulo

4. Pogoji za vzporednost dveh premic:

a) Če so premice podane z enačbami (4) z naklonom, potem je nujni in zadostni pogoj za njihovo vzporednost enakost njunih naklonov:

k 1 = k 2 . (8)

b) Za primer, ko so premice podane z enačbami v splošni obliki (6), je nujen in zadosten pogoj za njihovo vzporednost, da so koeficienti na ustreznih tokovnih koordinatah v njihovih enačbah sorazmerni, t.j.

5. Pogoji za pravokotnost dveh premic:

a) V primeru, ko so premice podane z enačbami (4) z naklonom, je nujen in zadosten pogoj za njihovo pravokotnost, da faktorji naklona so vzajemni po velikosti in nasprotni po predznaku, t.j.

Ta pogoj lahko zapišemo tudi v obliki

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Če so enačbe ravnih črt podane v splošni obliki (6), potem je pogoj za njihovo pravokotnost (potrebna in zadostna) izpolnjevanje enakosti

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Koordinate presečišča dveh premic najdemo z reševanjem sistema enačb (6). Premice (6) se sekajo, če in samo če

1. Napiši enačbe premic, ki potekajo skozi točko M, od katerih je ena vzporedna, druga pa pravokotna na dano premico l.

kotiček med ravnimi črtami v prostoru bomo imenovali katerega koli od sosednjih kotov, ki ju tvorita dve ravni črti, potegnjeni skozi poljubno točko, vzporedno s podatki.

Naj sta v prostoru podani dve ravni črti:

Očitno lahko kot φ med črtami vzamemo kot kot med njihovimi smernimi vektorji in . Ker , Potem po formuli za kosinus kota med vektorji dobimo

Pogoji vzporednosti in pravokotnosti dveh premic so enakovredni pogojem vzporednosti in pravokotnosti njunih smernih vektorjev in:

Dva naravnost so vzporedneče in samo če so njihovi koeficienti sorazmerni, t.j. l 1 vzporednica l 2 če in samo če je vzporedna .

Dva naravnost pravokotnoče in samo če je vsota zmnožkov ustreznih koeficientov enaka nič: .

Pri cilj med črto in ravnino

Pustite črto d- ni pravokotno na ravnino θ;
d′− projekcija premice d na ravnino θ;
Najmanjši kot med ravnimi črtami d in d′ poklicali bomo kot med črto in ravnino.
Označimo ga kot φ=( d,θ)
Če d⊥θ , potem ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− pravokotni koordinatni sistem.
Ravninska enačba:

θ: Ax+Avtor+cz+D=0

Menimo, da je črta podana s točko in smernim vektorjem: d[M 0,str→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Nato ostane še ugotoviti kot med vektorji n→ in str→, označimo ga kot γ=( n→,str→).

Če je kot γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Če je kot γ>π/2, potem zahtevani kot φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

potem kot med črto in ravnino se lahko izračuna po formuli:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√str 21+str 22+str 23

29. vprašanje. Koncept kvadratne oblike. Znak-določenost kvadratnih oblik.

Kvadratna oblika j (x 1, x 2, ..., x n) n realnih spremenljivk x 1, x 2, ..., x n se imenuje vsota oblike
, (1)

kje aij so nekatera števila, imenovana koeficienti. Brez izgube splošnosti lahko domnevamo, da aij = a ji.

Kvadratna oblika se imenuje veljaven,če aij О GR. Matrica kvadratne oblike se imenuje matrika, sestavljena iz njenih koeficientov. Kvadratna oblika (1) ustreza edinstveni simetrični matriki
tj. A T = A. Zato lahko kvadratno obliko (1) zapišemo v matrični obliki j ( X) = x T Ah, kje x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

In obratno, vsaka simetrična matrika (2) ustreza edinstveni kvadratni obliki do zapisa spremenljivk.

Uvrstitev kvadratne oblike se imenuje rang njegove matrike. Kvadratna oblika se imenuje nedegeneriran,če je njegova matrica nesingularna AMPAK. (spomnimo se, da je matrica AMPAK se imenuje nedegenerirana, če njena determinanta ni nič). V nasprotnem primeru je kvadratna oblika degenerirana.

pozitivno določeno(ali strogo pozitivno), če

j ( X) > 0 , za vsakogar X = (X 1 , X 2 , …, x n), Poleg tega X = (0, 0, …, 0).

Matrika AMPAK pozitivno določena kvadratna oblika j ( X) se imenuje tudi pozitivno določen. Zato pozitivno določena kvadratna oblika ustreza edinstveni pozitivno določeni matriki in obratno.

Kvadratna oblika (1) se imenuje negativno določeno(ali strogo negativno), če

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), Poleg tega X = (0, 0, …, 0).

Podobno kot zgoraj, se negativno določena kvadratna matrika imenuje tudi negativno določena.

Zato je pozitivno (negativno) določena kvadratna oblika j ( X) doseže najmanjšo (maksimalno) vrednost j ( X*) = 0 for X* = (0, 0, …, 0).

Upoštevajte, da večina kvadratnih oblik ni predznakovno določenih, torej niso niti pozitivne niti negativne. Takšne kvadratne oblike izginejo ne samo v izhodišču koordinatnega sistema, ampak tudi v drugih točkah.

Kdaj n> 2, so potrebna posebna merila za preverjanje predznakovne določnosti kvadratne oblike. Upoštevajmo jih.

Glavni mladoletniki kvadratne oblike imenujemo minori:

to so mladoletniki reda 1, 2, …, n matrice AMPAK ki se nahaja na levi strani zgornji kot, zadnji od njih sovpada z determinanto matrike AMPAK.

Kriterij pozitivne določnosti (Sylvestrovo merilo)

X) = x T Ah je pozitivno določen, je potrebno in zadostno, da so vsi glavni minori matrike AMPAK so bili pozitivni, to je: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Kriterij negativne gotovosti Da bi kvadratna oblika j ( X) = x T Ah je negativno določena, je potrebno in zadostno, da so njeni glavni manjše sodnega reda pozitivni, neparni pa negativni, t.j.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

KOT MED RAVINAMI

Poglejmo dve ravnini α 1 in α 2, ki sta podani z enačbami:

Spodaj kotiček med dvema ravninama bomo razumeli eno od diedrski koti tvorijo te ravnine. Očitno je, da je kot med normalnima vektorjema in ravninama α 1 in α 2 enak enemu od navedenih sosednjih diedrskih kotov oz. . Torej . Ker in , potem

Primer. Določite kot med ravninami x+2y-3z+4=0 in 2 x+3y+z+8=0.

Pogoj vzporednosti dveh ravnin.

Dve ravnini α 1 in α 2 sta vzporedni, če in samo če sta njuna normalna vektorja in vzporedna, in zato .

Torej, dve ravnini sta med seboj vzporedni, če in samo če so koeficienti na ustreznih koordinatah sorazmerni:

Pogoj pravokotnosti ravnin.

Jasno je, da sta dve ravnini pravokotni, če in samo če sta njuna normalna vektorja pravokotna in zato ali .

Tako,.

Primeri.

NEPOSREDNO V VESOLU.

VEKTORSKA ENAČBA DIRECT.

PARAMETRIČNE ENAČBE DIRECT

Položaj ravne črte v prostoru je popolnoma določen z določitvijo katere koli njene fiksne točke M 1 in vektor, ki je vzporeden s to premico.

Imenuje se vektor, ki je vzporeden z ravno črto vodenje vektor te črte.

Torej pustite naravnost l gre skozi točko M 1 (x 1 , y 1 , z 1) leži na ravni črti, vzporedni z vektorjem.

Razmislite o poljubni točki M(x,y,z) na ravni črti. Iz slike je razvidno, da .

Vektorji in so kolinearni, zato obstaja takšno število t, kaj , kje je množitelj t lahko ima katero koli številčno vrednost, odvisno od položaja točke M na ravni črti. Faktor t se imenuje parameter. Označevanje polmernih vektorjev točk M 1 in M oziroma skozi in , Dobimo . Ta enačba se imenuje vektor enačba ravne črte. Kaže, da je vsaka vrednost parametra t ustreza vektorju polmera neke točke M leži na ravni črti.

To enačbo zapišemo v koordinatni obliki. Upoštevajte, da, in od tukaj

Dobljene enačbe se imenujejo parametrično enačbe ravne črte.

Pri spreminjanju parametra t spremembe koordinat x, y in z in pika M se premika v ravni črti.

KANONIČNE ENAČBE DIRECT

Naj bo M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - točka, ki leži na ravni črti l, in je njegov vektor smeri. Spet vzemite poljubno točko na ravni črti M(x,y,z) in upoštevaj vektor.

Jasno je, da sta vektorja in kolinearna, zato morajo biti njihove koordinate sorazmerne

– kanonično enačbe ravne črte.

Opomba 1. Upoštevajte, da bi lahko kanonične enačbe premice dobili iz parametričnih enačb z odstranitvijo parametra t. Dejansko iz parametričnih enačb dobimo oz .

Primer. Napišite enačbo ravne črte na parametričen način.

Označi , torej x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Opomba 2. Naj bo črta pravokotna na eno od koordinatnih osi, na primer na os Ox. Potem je vektor smeri premice pravokoten Ox, torej, m=0. Posledično imajo parametrične enačbe premice obliko

Odstranitev parametra iz enačb t, dobimo enačbe premice v obliki

Vendar se tudi v tem primeru strinjamo, da formalno zapišemo kanonične enačbe premice v obliki . Torej, če je imenovalec enega od ulomkov nič, potem to pomeni, da je črta pravokotna na ustrezno koordinatno os.

Podobno veljajo tudi kanonične enačbe ustreza ravni črti, pravokotni na osi Ox in oj ali vzporedna os Oz.

Primeri.

SPLOŠNE ENAČBE Direktna premica KOT premica prestrezanja dveh ravnin

Skozi vsako ravno črto v prostoru poteka neskončno število ravnin. Vsaka od njiju, ki se križata, ga definirata v prostoru. Zato sta enačbi poljubnih dveh takih ravnin, obravnavani skupaj, enačbi te premice.

Na splošno kateri koli dve nevzporedni ravnini, podani s splošnimi enačbami

določi njihovo presečišče. Te enačbe se imenujejo splošne enačbe naravnost.

Primeri.

Konstruiraj ravno črto, dano z enačbami

Za konstruiranje premice je dovolj, da poiščemo kateri koli dve njeni točki. Najlažje je izbrati točke presečišča premice s koordinatnimi ravninami. Na primer, točka presečišča z ravnino xOy dobimo iz enačb premice ob predpostavki z= 0:

Z reševanjem tega sistema najdemo točko M 1 (1;2;0).

Podobno, ob predpostavki y= 0, dobimo točko presečišča premice z ravnino xOz:

Iz splošnih enačb ravne črte lahko nadaljujemo z njenimi kanoničnimi ali parametričnimi enačbami. Če želite to narediti, morate najti neko točko M 1 na premici in vektor smeri črte.

Koordinate točke M 1 dobimo iz tega sistema enačb, pri čemer eni od koordinat damo poljubno vrednost. Da bi našli vektor smeri, upoštevajte, da mora biti ta vektor pravokoten na oba normalna vektorja in . Zato za smerni vektor premice l lahko vzamete navzkrižni produkt normalnih vektorjev:

Primer. Podajte splošne enačbe premice v kanonično obliko.

Poiščite točko na ravni črti. Če želite to narediti, poljubno izberemo eno od koordinat, npr. y= 0 in reši sistem enačb:

Vektorji normale ravnin, ki določajo črto, imajo koordinate Zato bo vektor smeri raven

. zato l: .

KOT MED PRAVICAMI

kotiček med ravnimi črtami v prostoru bomo imenovali katerega koli od sosednjih kotov, ki ju tvorita dve ravni črti, vlečeni skozi poljubno točko, vzporedno s podatki.

Naj sta v prostoru podani dve ravni črti:

Očitno lahko kot φ med črtami vzamemo kot kot med njihovimi smernimi vektorji in . Ker , Potem po formuli za kosinus kota med vektorji dobimo

bom kratek. Kot med dvema črtama je enak kotu med njunima smernima vektorjema. Če torej uspete najti koordinate smernih vektorjev a = (x 1; y 1; z 1) in b = (x 2; y 2; z 2), lahko najdete kot. Natančneje, kosinus kota po formuli:

Poglejmo, kako ta formula deluje na posebnih primerih:

Naloga. Točki E in F sta označeni v kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - središčih robov A 1 B 1 oziroma B 1 C 1. Poiščite kot med črtama AE in BF.

Ker rob kocke ni določen, postavimo AB = 1. Uvedemo standardni koordinatni sistem: izhodišče je v točki A, osi x, y, z pa so usmerjene vzdolž AB, AD in AA 1 oz. . Segment enote je enak AB = 1. Zdaj poiščimo koordinate smernih vektorjev za naše črte.

Poiščite koordinate vektorja AE. Za to potrebujemo točki A = (0; 0; 0) in E = (0,5; 0; 1). Ker je točka E sredina odseka A 1 B 1 , so njene koordinate enake aritmetični sredini koordinat koncev. Upoštevajte, da izhodišče vektorja AE sovpada z izhodiščem, zato je AE = (0,5; 0; 1).

Zdaj pa se ukvarjamo z vektorjem BF. Podobno analiziramo točki B = (1; 0; 0) in F = (1; 0,5; 1), ker F - sredina segmenta B 1 C 1 . Imamo:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Torej, vektorji smeri so pripravljeni. Kosinus kota med premici je kosinus kota med vektorjema smeri, tako da imamo:

Naloga. V pravilni triedrski prizmi ABCA 1 B 1 C 1, katere vsi robovi so enaki 1, sta označeni točki D in E - središča robov A 1 B 1 oziroma B 1 C 1. Poiščite kot med črtama AD in BE.

Uvedemo standardni koordinatni sistem: izhodišče je v točki A, os x je usmerjena vzdolž AB, z - vzdolž AA 1 . Os y usmerimo tako, da ravnina OXY sovpada z ravnino ABC. Odsek enote je enak AB = 1. Poiščite koordinate smernih vektorjev za želene črte.

Najprej poiščimo koordinate vektorja AD. Upoštevajte točki: A = (0; 0; 0) in D = (0,5; 0; 1), ker D - sredina segmenta A 1 B 1 . Ker začetek vektorja AD sovpada z izhodiščem, dobimo AD = (0,5; 0; 1).

Zdaj poiščimo koordinate vektorja BE. Točko B = (1; 0; 0) je enostavno izračunati. S točko E - sredina segmenta C 1 B 1 - malo težje. Imamo:

Ostaja še najti kosinus kota:

Naloga. V pravilni šesterokotni prizmi ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, katere vsi robovi so enaki 1, sta označeni točki K in L - središči robov A 1 B 1 in B 1 C 1, oz. Poiščite kot med premici AK in BL.

Uvedemo standardni koordinatni sistem za prizmo: izhodišče koordinat postavimo v središče spodnje osnove, os x usmerimo vzdolž FC, os y skozi središča segmentov AB in DE ter os z navpično navzgor. Odsek enote je spet enak AB = 1. Zapišimo koordinate točk, ki nas zanimajo:

Točki K in L sta središči segmentov A 1 B 1 oziroma B 1 C 1, zato njune koordinate najdemo prek aritmetične sredine. Če poznamo točke, najdemo koordinate smernih vektorjev AK in BL:

Zdaj poiščimo kosinus kota:

Naloga. V desni štirikotna piramida SABCD, katerih vsi robovi so enaki 1, sta označeni točki E in F - središča stranic SB oziroma SC. Poiščite kot med črtama AE in BF.

Uvedemo standardni koordinatni sistem: izhodišče je v točki A, os x in y sta usmerjeni vzdolž AB in AD, os z pa je usmerjena navpično navzgor. Segment enote je enak AB = 1.

Točki E in F sta središči segmentov SB oziroma SC, zato se njune koordinate najdejo kot aritmetična sredina koncev. Zapišemo koordinate točk, ki nas zanimajo:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)